高数积分表
常用积分表
常 用 积 分 公 式（一）含有的积分() ax b +0a ≠1．d x ax b +∫＝1ln ax b C a ++2．＝()ax b x μ+∫d 11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠−）3．d x x ax b +∫＝21(ln )ax b b ax b C a +−++4．2d x x ax b +∫＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+−++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +∫＝1ln ax bC b x +−+6．2d ()x x ax b +∫＝21ln a ax bC bx b x+−++ 7．2d ()x x ax b +∫＝21(ln )bax b C a ax ++++b8．22d ()x x ax b +∫＝231(2ln b ax b b ax b C a ax b +−+−++9．2d ()x x ax b +∫＝211ln ()ax b C b ax b b x+−++的积分10．x ∫C +11．x ∫＝22(3215ax b C a −+12．x x ∫＝22232(15128105a x abx b C a−++13．x∫＝22(23ax b C a −+14．2x ∫＝22232(34815a x abx b C a −++15．∫＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．∫2a bx b −−∫17．d x x ∫＝b + 18．2d xx ∫＝2a x −+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +∫=1arctan xC aa +20．22d ()n x x a +∫=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n n a x a n a x a −−x−+−+−+∫21．22d x x a −∫=1ln 2x a C a x a−++（四）含有的积分2(0ax b a +>)22．2d x ax b +∫＝(0)(0)x C b Cb ⎧+>⎪⎪⎨+<23．2d x x ax b +∫＝21ln 2ax b C a ++24．22d x x ax b +∫＝2d x b xa a axb −+∫25．2d ()x x ax b +∫＝221ln 2x C b ax b++26．22d ()x x ax b +∫＝21d a xbx b ax b −−+∫ 27．32d ()x x ax b +∫＝22221ln 22ax b a C b x bx+−+ 28．22d ()x ax b +∫＝221d 2()2x xb ax b b ax b +++∫（五）含有的积分2ax bx c ++(0a >)29．2d x ax bx c ++∫＝22(4)(4)C b C b ac +<+>ac 30．2d x x ax bx c ++∫＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++−++∫(0a >)的积分31．∫＝1arshxC a +＝ln(x C ++ 32．∫C +33．x ∫C34．x ∫＝C +35．2x ∫2ln(2a x −++C36．2x ∫＝ln(x C +++37．∫1ln aC a x −+38．∫2C a x −+40．x ∫＝2243(25ln(88x x a a x C ++++43．d x x ∫ln a a C x −++44．2d x x∫＝ln(x C x −+++(0a >)的积分45．＝1arch x xC x a+=C + 46．∫C +47．x ∫C +48．x ∫＝C +49．2x ∫22a ++C50．2x ∫＝ln C ++51．∫1arccos aC a x+52．∫2C a x +53．x ∫2ln 2a −+C54．x ∫＝2243(25ln 88x x a a C −++55．x ∫C +56．xx ∫＝422(288x a x a C −−+57．d x x∫arccos aa C x −+58．2d x x ∫＝ln C x −++(0a >)的积分 59．∫＝arcsinxC a + 60．∫C +61．x ∫＝C +62．x ∫C +63．2x ∫＝2arcsin 2a x C a ++64．2x ∫C +65．∫1ln a C a x −+66．∫2C a x −+67．∫x 2arcsin 2a C a++x68．∫x ＝2243(52arcsin 88x x a x a a C −++69．∫x ＝C +70．x∫x ＝422(2arcsin 88x a x x a C a−++71．d x x ∫ln a a C x −++72．2d x x∫＝arcsin xC x a −−+(0a >)的积分73．∫C +74．x ∫2C ++75．x ∫C −+76．∫＝C +77．x ∫2C ++78．x ∫＝C ++79．x ∫＝((x b b a C −−++80．x ∫＝((x b b a C −−+81．∫C+()a b <82．x ∫C ++()a b <（十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ∫＝cos x C −+84．cos d x x ∫＝sin x C + 85．tan d x x ∫＝ln cos x C −+ 86．cot d x x ∫＝ln sin x C + 87．sec d x x ∫＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ∫＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C −+ 89．2sec d x x ∫＝tan x C + 90．2csc d x x ∫＝cot x C −+ 91．sec tan d x x x ∫＝sec x C + 92．csc cot d x x x ∫＝csc x C −+93．2sin d x x ∫＝1sin 224x x C −+ 94．2cos d x x ∫＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ∫＝1211sin cos sin d n n n x x x n n−−−−+∫x 96．cos d n x x ∫＝1211cos sin cos d n n n x x x n n−−−+∫x 97．d sin n x x ∫＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n −−−−⋅+−−∫x 98．d cos n x x ∫＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n −−−⋅+−−∫x99．cos sin d m n x x x ∫＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x m n m n−+−x x −+++∫ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x m n m n +−−x x −−+++∫100．＝sin cos d ax bx x ∫11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b −+−−++−101．＝sin sin d ax bx x ∫11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b −++−++−102．＝cos cos d ax bx x ∫11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++−++−103．d sin xa b x +∫tanxa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +∫C+22()a b <105．d cos xa b x +∫)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +∫C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +∫＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x 1tan ln 2tan b x a C ab b x a +−∫＝+−109．sin d x ax x ∫＝211sin cos ax x ax C a a −+ 110．2sin d x ax x ∫＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a −+++111．cos d x ax x ∫＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ∫＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+−+（十二）含有反三角函数的积分（其中）0a >113．arcsin d x x a ∫＝arcsin xx C a+114．arcsin d xx x a ∫＝C +115．2arcsin d xx x a∫＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d xx a ∫＝arccosxx C a−+117．arccos d xx x a ∫＝C +118．2arccos d xx x a∫＝3221arccos (239x x x a C a −++ 119．arctand x x a ∫＝22arctan ln()2x a x a x C a −++ 120．arctan d x x x a∫＝221()arctan 22x aa x x C a +−+121．2arctan d xx x a∫＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a −+++ （十三）含有指数函数的积分122．＝d xa x ∫1ln xa C a + 123．e d axx ∫＝1e ax C a +124．e d axx x ∫＝21(1)e ax ax C a −+125．e d n axx x ∫＝11e e n ax n ax n d x x x a a−−∫126．d xxa x ∫＝21ln (ln )x xx a a a a C −+ 127．d nxx a x ∫＝11d ln ln n x n xn x a x a a a −−∫x 128．＝e sin d axbx x ∫221e (sin cos )ax a bx b bx C a b −++ 129．＝e cos d ax bx x ∫221e (sin cos )axb bx a bx C a b+++130．＝e sin d ax n bx x ∫12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n−−+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n−−++∫ 131．＝e cos d ax n bx x ∫12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n−++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n−−++∫ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ∫＝ln x x x C −+ 133．d ln x x x ∫＝ln ln x C +134．ln d n x x x ∫＝111(ln )11n x x C n n +−+++ 135．(ln )d n x x ∫＝1(ln )(ln )d n n x x n x −−∫x 136．(ln )d m n x x x ∫＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x m m +−−++∫x （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ∫＝ch x C +138．ch d x x ∫＝sh x C +139．th d x x ∫＝ln ch x C + 140．2sh d x x ∫＝1sh224x x C −++ 141．2ch d x x ∫＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．＝＝0 cos d nx x π−π∫sin d nx x π−π∫143．＝0 cos sin d mx nx x π−π∫144．＝ cos cos d mx nx x π−π∫0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．＝ sin sin d mx nx x π−π∫0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩146．＝＝0sin sin d mx nx x π∫0cos cos d mx nx x π∫0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π∫＝20cos d n x x π∫ n I ＝21n n I n−− 134225n n n I n n −−=⋅⋅⋅⋅−"3（为大于1的正奇数），n 1I ＝1 13312422n n n I n n −−π=⋅⋅⋅⋅⋅"n （为正偶数），0I ＝2π −。
高等数学常用积分表
高等数学常用积分表
高等数学是现代科学技术发展的基础，而积分作为高等数学中的核心内容，更是解决实际问题的重要工具。
在高等数学的学习过程中，掌握常用的积分表对于提高解题效率和巩固理论知识至关重要。
一、高等数学积分表的重要性
高等数学积分表是数学家们总结出来的常用积分公式，它们广泛应用于物理、化学、工程等领域的求解问题。
通过对这些积分表的熟练掌握，可以大大简化积分计算过程，提高解题速度。
二、常见积分表的分类
1.基本积分公式：如线性积分、多项式积分、三角函数积分等。
2.分式积分：如分式积分法、有理函数积分等。
3.反常积分：如瑕积分、反常三角函数积分等。
4.多元函数积分：如重积分、曲线积分、曲面积分等。
5.特殊函数积分：如贝塞尔函数积分、勒让德多项式积分等。
三、积分表的应用实例
1.求解一元函数的定积分：如求解面积、体积、弧长等问题。
2.求解多元函数的积分：如求解质心、惯性矩、曲率等问题。
3.求解微分方程：如求解初值问题、边值问题等。
4.求解概率问题：如求解随机变量的期望、方差等。
四、提高积分计算效率的方法
1.熟练掌握基本积分公式，善于运用分部积分、换元积分等方法。
2.学会利用计算机软件或工具进行积分计算。
3.提高代数运算能力，减少积分过程中的错误。
4.多做练习，积累经验，善于总结规律。
五、总结
掌握高等数学常用积分表对于解决实际问题具有重要意义。
通过熟练运用积分表，我们可以更好地应对各种复杂数学问题，为现代科学技术的发展奠定基础。
高等数学公式(定积分 微积分 三角函数 导函数 等等 应有尽有) 值得搜藏Word版
高等数学公式基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x =-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰ （17）2211ln ||2x adx C x a a x a -=+-+⎰ （18）sinxarc C a=+（19）ln(x C=++（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
3、复习三角函数公式：2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2xx +=， 21cos 2sin 2xx -=。
注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。
高等数学常用积分表
高等数学常用积分表高等数学常用的积分表是大家在学习高等数学的过程中经常使用的工具。
下面将为大家介绍一些常见的积分表和一些常用的积分公式，以供大家参考。
1. 幂函数及其积分(1) 幂函数求积分的基本公式：∫ x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C (n≠-1)其中，C为常数。
(2) 常见的幂函数积分：∫ x dx = (x^2) / 2 + C∫ x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C (n≠-1)∫ (1/x) dx = ln|x| + C∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x) / ln(a) + C (a>0, a≠1)∫ sinx dx = -cosx + C∫ cosx dx = sinx + C∫ sec^2x dx = tanx + C∫ csc^2x dx = -cotx + C∫ secx * tanx dx = secx + C∫ cscx * cotx dx = -cscx + C2. 三角函数及其积分(1) 基本三角函数和其逆函数的积分公式：∫ sinx dx = -cosx + C∫ cosx dx = sinx + C∫ sec^2x dx = tanx + C∫ csc^2x dx = -cotx + C∫ secx * tanx dx = secx + C∫ cscx * cotx dx = -cscx + C∫ dx / (1+x^2) = arctanx + C∫ dx / sqrt(1-x^2) = arcsinx + C∫ dx / (x sqrt(x^2-1)) = arcsecx + C (2) 积分中的三角函数恒等式：∫ sin^2x dx = (x/2) - (sin2x/4) + C∫ cos^2x dx = (x/2) + (sin2x/4) + C ∫ sin^3x dx = -(cos^3x)/3 + cosx + C ∫ cos^3x dx = (sin^3x)/3 + sinx + C 3. 指数函数及其积分(1) 指数函数的积分公式：∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x) / ln(a) + C (a>0, a≠1) (2) 指数函数的变换公式：∫ e^(ax) dx = (e^(ax)) / a + C4. 对数函数及其积分(1) 对数函数的积分公式：∫ ln(x) dx = xln(x) - x + C5. 三角函数与指数函数的积分(1) 涉及三角函数与指数函数积分的公式：∫ sin(ax) * cos(bx) dx = (sin((a-b)x))/(2(a-b)) +(sin((a+b)x))/(2(a+b)) + C∫ sin(ax) * e^(bx) dx = (a e^(bx) sin(ax) - b e^(bx) cos(ax)) /(a^2+b^2) + C∫ cos(ax) * e^(bx) dx = (b e^(bx) sin(ax) + a e^(bx) cos(ax)) /(a^2+b^2) + C以上是高等数学常用的积分表的一些内容，希望能够对大家学习高等数学中的积分有所帮助。
【高等数学】秒杀必背积分表三角部分
【高等数学】秒杀必背积分表三角部分欢迎纠错常用极限，导数，级数秒杀必背积分表实数部分秒杀必背积分表三角部分基本三角公式sec 2 x − tan 2 x = 1 csc 2 x − cot 2 x = 1 ∫ sec x d x = l n ∣ sec x + tan x ∣ + C ∫ csc x d x = l n ∣ csc x − cot x ∣ + C ∫ tan x d x = − ln ∣ cos x ∣+ C ∫ cot x d x = ln ∣ sin x ∣ +C \sec^2x-\tan^2x=1\\\ \\ \csc^2x-\cot^2x=1\\\ \\ \int \sec x dx=ln|\sec x+\tan x|+C\\\ \\ \int \csc x dx=ln|\csc x-\cot x|+C\\\ \\ \int \tan xdx=-\ln |\cos x |+C\\\ \\ \int \cot xdx=\ln |\sin x|+C\\\ \\sec2x−tan2x=1 csc2x−cot2x=1 ∫secxdx=ln∣secx+tanx ∣+C ∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C ∫tanxdx=−ln∣cosx ∣+C ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C∫ arcsin x d x = x arcsin x + 1 − x 2 +C ∫ arccos x d x = x arccos x − 1 − x 2 + C ∫ arctan x d x = x arctan x − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C ∫ a r c c o t x d x = π 2 x − ∫arctan x d x \int \arcsin x dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C\\\ \\ \int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C\\\ \\ \int \arctan x dx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\\\ \\ \int arccot xdx=\frac{\pi}{2}x-\int \arctan x dx∫arcsinxdx=xarcsinx+1−x2ln(1+x2)+C ∫arccotxdx=2πx−∫arctanxdx简单积分策略∫ sin n x cos m x d x m ， n 至少一奇数，凑偶数项 m ， n 均为偶数，倍角降幂 s e c 偶凑 t a n ， s e c 奇凑 s e c \int\sin^nx \cos^m xdx\\\ \\ m，n至少一奇数，凑偶数项\\m，n均为偶数，倍角降幂\\\ \\ sec偶凑tan，sec奇凑sec ∫sinnxcosmxdx m，n至少一奇数，凑偶数项m，n均为偶数，倍角降幂sec偶凑tan，sec奇凑sec三角有理函数积分① 若 R ( − sin x , cos x ) = − R ( sin x , cos x ) ，凑 d cos x ② 若 R ( sin x , − cos x ) = − R ( sin x , cos x ) ，凑 d sin x ③ 若 R ( − sin x , −cos x ) = R ( sin x , cos x ) ，凑 d tan x ∫ 0 π 2 f ( cos x , sin x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( sin x , cos x ) d x ∫ 0 π x f( sin x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x ∫ 0 π x f ( ∣ cos x ∣ ) d x = π2 ∫ 0 π f ( ∣ cos x ∣ ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x = ∫ 0 π x f ( sin x ) d x ∫ 0 1 x m ( 1 − x ) n d x = ∫ 0 1 ( 1 − x ) m x n d x 三角有理函数积分\\ ①若R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)，凑d\cos x\\ ②若R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x, \cos x)，凑d\sin x\\ ③若R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x, \cos x)，凑d\tan x\\\ \\ \\\ \\ \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x,\sin x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sinx,\cos x)dx\\\ \\ \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x) dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx\\\ \\ \int_0^\pixf(|\cos x|) dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(|\cos x|)dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx =\int_0^\pi xf(\sin x) dx\\\ \\ \int_0^1x^m(1-x)^ndx = \int_0^1(1-x)^mx^ndx 三角有理函数积分①若R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx)，凑dcosx②若R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx)，凑dsinx③若R(−sinx,−cosx)=R(sinx,cosx)，凑dtanx ∫02πf(cosx,sinx)dx=∫02πf(sinx,cosx)dx ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx=π∫02πf(sinx)dx=π∫02πf(cosx)dx ∫0πxf(∣cosx∣)dx=2π∫0πf(∣cosx∣)dx=π∫02πf(cosx)dx=∫0πxf(sinx)dx ∫01xm(1−x)ndx=∫01(1−x)mxndx三角秒杀积分∫ 0 π sin θ d θ = 2 ∫ 0 π 2 sin n θ cos θ d θ = ∫ 0 π 2 sin θ cos nθ d θ = 1 n + 1 ∫ 0 π sin 2 θ d θ =∫ 0 π cos 2 θ d θ = π 2 ∫ 0 π sin 3 θ d θ = 3 4 ; ∫ 0 π cos 3 θ d θ = 0 ∫ 0 π sin 4 θ d θ = ∫ 0 π cos 4θ d θ = 3 π 8 ∫ 0 π sin 5 θ d θ =16 15 ; ∫ 0 π cos 5 θ d θ = 0 ∫ 0 π sin 6 θ d θ = ∫ 0 π cos 6 θ d θ = 5 π 16 \int_0^\pi \sin \theta \space d\theta=2\\\ \\ \int_0^{\frac \pi 2}\sin^n \theta \cos \theta\space d\theta =\int_0^{\frac \pi 2}\sin \theta \cos^n \theta \space d\theta =\frac{1}{n+1}\\\ \\ \int_0^\pi \sin^2 \theta\space d\theta=\int_0^\pi \cos^2\theta\space d\theta=\frac \pi 2\\\ \\ \int_0^\pi\sin^3\theta\space d\theta=\frac 3 4 \space ; \space\int_0^\pi \cos^3 \theta\space d\theta=0\\\ \\\int_0^\pi \sin^4 \theta\space d\theta=\int_0^\pi\cos^4 \theta\space d\theta=\frac {3\pi} 8\\\ \\\int_0^\pi \sin^5\theta\space d\theta=\frac {16} {15} \space ; \space \int_0^\pi \cos^5 \theta\spaced\theta=0\\\ \\ \int_0^\pi \sin^6 \theta\spaced\theta=\int_0^\pi \cos^6 \theta\space d\theta=\frac {5\pi} {16}\\\ \\ ∫0πsinθdθ=2 ∫02πsinnθcosθdθ=∫02πsinθcosnθdθ=n+11 ∫0πsin2θdθ=∫0πcos2θdθ=2π∫0πsin3θdθ=43 ; ∫0πcos3θdθ=0 ∫0πsin4θdθ=∫0πcos4θdθ=83π∫0πsin5θdθ=1516 ; ∫0πcos5θdθ=0 ∫0πsin6θdθ=∫0πcos6θdθ=165π∫ 0 π 2 sin n θ d θ = { ( n − 1 ) ( n − 3 ) ⋯ 4 ⋅ 2 n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ， n 为奇整数 ( n − 1 ) ( n − 3 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 n ( n −2 ) ( n − 4 ) ⋯ 4 ⋅ 2 π 2 ， n 为偶整数\int_0^{\frac \pi 2}\sin^n\theta d\theta=\left\{ \begin{array}{c} \frac{(n-1)(n-3)\cdots4\cdot2}{n(n-2)(n-4)\cdots5\cdot3}，n为奇整数\\\ \\ \frac{(n-1)(n-3)\cdots5\cdot3\cdot1}{n(n-2)(n-4)\cdots4\cdot2}\frac{\pi}{2}，n为偶整数 \end{array} \right. ∫02πsinnθdθ=n(n−2)(n−4)⋯5⋅3(n−1)(n−3)⋯4⋅2，n为奇整数n(n−2)(n−4)⋯4⋅2(n−1)(n−3)⋯5⋅3⋅12π，n为偶整数其他积分{ ∫ e a x sin b x d x = 1 a 2 + b 2 ∣ ( e ax ) ′ ( sin b x ) ′ e a x sin b x ∣ + C ∫ e a x cos b x d x = 1 a 2 + b 2 ∣( e a x ) ′ ( cos b x ) ′ e a x cos b x ∣ + C \left\{ \begin{array}{c} \int e^{ax}\sin bx\spacedx=\frac{1}{a^2+b^2} \begin{vmatrix}(e^{ax}) ' & (\sin bx) ' \\ e^{ax} & \sin bx\\ \end{vmatrix}+C\\\ \\ \int e^{ax}\cos bx\space dx=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{vmatrix}(e^{ax}) ' & (\cos bx) ' \\ e^{ax} &\cos bx\\ \end{vmatrix}+C \end{array} \right.∫eaxsinbx dx=a2+b21∣∣∣∣(eax)′eax(sinbx)′sinbx∣∣∣∣+C ∫eaxcosbx dx=a2+b21∣∣∣∣(eax)′eax(cosbx)′cosbx∣∣∣∣+C一些公式诱导公式唯几一个有负号的 cos （π / 2 + α ） = −sin α tan （π / 2 + α ） = − cot α cot （π / 2 + α ） = − tan α 唯几一个有负号的\\\cos（π/2+α）=-\sin α\\\tan（π/2+α）=-\cotα\\\cot（π/2+α）=-\tanα 唯几一个有负号的cos （π/2+α）=−sinαtan（π/2+α）=−cotαcot（π/2+α）=−tanα sin ( w ( π − x ) ) = sin w x , w 为奇数 sin ( k ( π − x ) ) = − sin k x , k 为偶数 \sin (w(\pi-x))=\sin wx,w为奇数\\\sin(k(\pi-x))=-\sin kx,k为偶数sin(w(π−x))=sinwx,w为奇数sin(k(π−x))=−sinkx,k为偶数 sin ( n 2 π ) , n ∈ 1 , 2 , 3 ⋯ = ( − 1 ) n − 1 2 , n ∈ 1 , 3 , 5 ⋯ cos ( n 2 π ) , n ∈ 1 , 2 , 3 ⋯ = ( − 1 ) n 2 , n ∈ 2 , 4 , 6 ⋯\sin(\frac n 2\pi),n\in1,2,3\cdots=(-1)^{\frac{n-1}2},n\in 1,3,5\cdots\\\ \\ \cos(\frac n2\pi),n\in1,2,3\cdots=(-1)^{\frac{n}2},n\in2,4,6\cdots sin(2nπ),n∈1,2,3⋯=(−1)2n−1,n∈1,3,5⋯cos(2nπ),n∈1,2,3⋯=(−1)2n,n∈2,4,6⋯积化和差和差化积。
(完整版)高数公式汇总
高数公式汇总经管学生会内部资料导数公式:(tgx) sec x(ctgx) csc x(secx) secx tgx(cscx) cscx ctgx(a x) a x l na(log a x) 1xl na基本积分表：tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdx~ 2a xdx~ 2x adx~ 2a xdx2a x 高等数学公式In cosx CIn sinx CIn secx tgx C In cscx ctgx C 1 x-arctg — Ca a1 x a —— C 2a x a1 a x —— C 2a a xarcs in仝C aI n2sin xdx cos x2 2 a 'x2 2 a 'a2x2dxdxdxo三角函数的有理式积分:2usin x 2, c osx1 u22u2，1 u(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)dx2~ cosxdx~~~2-sin xxdxx 2—x22 ax 2—x22 ax 21 a2 xn2otg i，111 x211 x2sec2 xdx tgx C2csc xdx ctgx Csecx tgxdx secx Ccscx ctgxdx cscx Cxa x dx — CIn ashxdx chx Cchxdx shx C2 2----------- In( x 、x a ) C2 2 v 7 x aI n2 a —In( x22 a .一In x22a . x arcs in C2x2 a2) C、x2 a2dx2du1 u2高数公式汇总 经管学生会内部资料两个重要极限:sin x ’lim 1x 0 xlim(1 -)x e 2.718281828459045…xarchx In (x x 21)三角函数公式:•诱导公式：-和差角公式:sin( )sin COS COS sin COS ( )COSCOS sin sintg()汽tg1 tg tgCtg()CtgCtg 1Ctg Ctg-和差化积公式:sin sin 2 si nCOS 2 2sinsin2 COSsin22COS COS 2 COSCOS --2 2COS COS2 si nsin2 2一些初等函数: xe e x2xxe e2shx x e x echx x e x ex 21)arthx llnl 双曲正弦：shx双曲余弦:chx双曲正切:thx高数公式汇总经管学生会内部资料sin 2 2sin cos cos2 2cos 2 1ctg2ctg 212ctgtg2 2tg 21 tg•倍角公式: 1 2si n 2-半角公式: 2cos 2sinsin3 3sin 4sin 3 cos3 4cos 3costg33tg tg 31 3tg 2tg 2sin — 2 1 cos 1 cos sin sin 1 cos-余弦定理:-正弦定理:a b sin A sinB c si nC2Rc 2 a 2 b 2 2ab cosC•反三角函数性质： arcs inx arccosx 2 arctgx arcctgx高阶导数公式 ------ 莱布尼兹( Leibniz )公式：2! k ! 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理： f(b) f(a) f ( )(b a) 柯西中值定理：丄型 f (a) f () F(b) F(a) F () n (n) k (n k) (k)(uv) C n u v k 0(n) (n 1) n(n 1) (n 2) n(n 1) (n k 1) (n k) (k)u v nu v u vu v当F(x) x 时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理 曲率:uv(n)高数公式汇总 经管学生会内部资料弧微分公式：ds .1 y 2dx,其中y tg平均曲率：K .:从M 点到M 点，切线斜率的倾角变 化量；s ： MM 弧长。
高等数学积分表大全
常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d xax b +⎰＝1ln ax b C a++ 2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a+-++ 4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()xx ax b +⎰＝1lnax b C b x +-+ 6．2d ()xx ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9．2d ()xx ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ （二）含有ax b+的积分10．d ax b x +⎰＝32()3ax b C a ++ 11．d x ax b x +⎰＝322(32)()15ax b ax b C a -++ 12．2d x ax b x +⎰＝222332(15128)()105a x abx b ax b C a-+++ 13．d x x ax b+⎰＝22(2)3ax b ax b C a -++14．2d x x ax b+⎰＝22232(348)15a x abx b ax b C a -+++ 15．d x x ax b +⎰＝1ln(0)2arctan(0)ax b b C b b ax b b ax b Cb bb +-+>++++<--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩16．2d x x ax b+⎰＝d 2ax b a xbx b x ax b +--+⎰17．d ax b x x +⎰＝d 2xax b b x ax b +++⎰ 18．2d ax b x x +⎰＝d 2ax b a xx x ax b+-++⎰ （三）含有22x a ±的积分19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a + 20．22d xx a-⎰=1ln 2x a C a x a -++ 21．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰ （四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝1arctan (0)1ln(0)2ax C b bab ax bC b ab ax b⎧+>⎪⎪⎨--⎪+<⎪-+-⎩23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +⎰＝2d x b x a a ax b -+⎰ 25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰ （五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝222222222arctan (4)44124ln (4)424ax b C b ac ac b ac b ax b b ac Cb ac b ac ax b b ac +⎧+<⎪--⎪⎨+--⎪+>⎪-++-⎩30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰ （六）含有22x a +(0)a >的积分31．22d x x a +⎰＝1arshxC a +＝22ln()x x a C +++ 32．223d ()x x a +⎰＝222x C a x a ++ 33．22d x x x a +⎰＝22x a C ++34．223d ()x x x a +⎰＝221C x a-++35．222d x x x a +⎰＝22222ln()22x a x a x x a C +-+++ 36．2223d ()x x x a +⎰＝2222ln()x x x a C x a -+++++37．22d xx x a +⎰＝221ln x a aC a x +-+ 38．222d x x x a+⎰＝222x a C a x +-+ 39．22d x a x +⎰＝22222ln()22x a x a x x a C +++++ 40．223()d x a x +⎰＝22224223(25)ln()88x x a x a a x x a C ++++++41．22d x x a x +⎰＝2231()3x a C ++ 42．222d x x a x +⎰＝4222222(2)ln()88x a x a x a x x a C ++-+++43．22d x a x x +⎰＝2222ln x a a x a a C x +-+++ 44．222d x a x x +⎰＝2222ln()x a x x a C x+-++++ （七）含有22x a -(0)a >的积分 45．22d x x a -⎰＝1arch x xC x a +=22ln x x a C +-+ 46．223d ()x x a -⎰＝222x C a x a -+- 47．22d x x x a -⎰＝22x a C -+48．223d ()x x x a -⎰＝221C x a-+-49．222d x x x a -⎰＝22222ln 22x a x a x x a C -++-+ 50．2223d ()x x x a -⎰＝2222ln x x x a C x a -++-+-51．22d xx x a -⎰＝1arccos a C a x + 52．222d xx x a-⎰＝222x a C a x -+ 53．22d x a x -⎰＝22222ln 22x a x a x x a C --+-+ 54．223()d x a x -⎰＝22224223(25)ln 88x x a x a a x x a C --++-+55．22d x x a x -⎰＝2231()3x a C -+ 56．222d xx a x -⎰＝4222222(2)ln 88x a x a x a x x a C ---+-+57．22d x a x x-⎰＝22arccos a x a a C x --+58．222d x a x x -⎰＝2222ln x a x x a C x--++-+ （八）含有22a x -(0)a >的积分59．22d x a x -⎰＝arcsinx C a + 60．223d ()xa x -⎰＝222x C a a x +- 61．22d x x a x-⎰＝22a x C --+ 62．223d ()x x a x -⎰＝221C a x+-63．222d x x a x -⎰＝222arcsin 22x a x a x C a --++ 64．2223d ()x x a x -⎰＝22arcsinx xC aa x -+- 65．22d xx a x -⎰＝221ln a a x C a x --+ 66．222d x x a x-⎰＝222a x C a x --+ 67．22d a x x -⎰＝222arcsin 22x a x a x C a-++ 68．223()d a x x -⎰＝222243(52)arcsin 88x xa x a x a C a --++69．22d x a x x -⎰＝2231()3a x C --+70．222d x a x x -⎰＝42222(2)arcsin 88x a x x a a x C a--++71．22d a x x x -⎰＝2222ln a a x a x a C x ---++ 72．222d a x x x -⎰＝22arcsin a x xC x a---+ （九）含有2ax bx c ±++(0)a >的积分73．2d x ax bx c++⎰＝21ln 22ax b a ax bx c C a+++++ 74．2d ax bx c x ++⎰＝224ax bax bx c a+++2234l n 228a c ba xb aa xb xc Ca-++++++ 75．2d x x ax bx c++⎰＝21ax bx c a ++23l n 222b a x b aa xb xc Ca-+++++ 76．2d x c bx ax +-⎰＝212arcsin 4ax bC a b ac--++77．2d c bx ax x +-⎰＝2232242arcsin 484ax b b ac ax b c bx ax C a a b ac-+-+-+++78．2d x x c bx ax +-⎰＝23212arcsin 24b ax bc bx ax C a a b ac--+-+++（十）含有x ax b-±-或()()x a b x --的积分79．d x a x x b --⎰＝()()ln()x ax b b a x a x b C x b--+--+-+-80．d x a x b x --⎰＝()()arcsin x a x ax b b a C b x b x ---+-+-- 81．d ()()xx a b x --⎰＝2arcsinx a C b x -+-()a b <82．()()d x a b x x --⎰＝22()()()arcsin 44x a b b a x a x a b x C b x------++-()a b < （十一）含有三角函数的积分83．sin d x x ⎰＝cos x C -+ 84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++ 95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n ----+⎰96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m n x x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n-+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰＝2222tan22arctan xa b C a ba b++--22()a b >104．d sin x a b x +⎰＝222222tan12ln tan 2x a b b a Cx b a a b b a +--+-++-22()a b <105．d cos xa b x +⎰＝2arctan(tan )2a b a b x C a b a ba b +-++-+22()a b >106．d cos x a b x +⎰＝tan12lntan 2x a ba b b a C a b b a xa b b a+++-++-+--22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a +108．2222d cos sin xa xb x-⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++- 109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝22arcsin xx a x C a+-+114．arcsin d xx x a ⎰＝2222()arcsin 244x a x x a x C a -+-+ 115．2arcsin d xx x a⎰＝322221arcsin (2)39x x x a a x C a ++-+116．arccos d x x a ⎰＝22arccos xx a x C a--+117．arccos d xx x a⎰＝2222()arccos 244x a x x a x C a ---+118．2arccos d xx x a⎰＝322221arccos (2)39x x x a a x C a -+-+119．arctan d x x a ⎰＝22arctan ln()2x ax a x C a -++120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x aa x x C a +-+121．2arctan d xx x a⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++（十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln x a C a + 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a + 124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a -+ 125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax nx x x a a--⎰126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x xx a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x nx a x a x a a --⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )axa bxb bx C a b -++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++ 130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e s i n d a x n n n b b x x a b n--++⎰ 131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e c o s d a x n n n b b x x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln xx x⎰＝ln ln x C + 134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++135．(ln )d nx x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝lnch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n≠⎧⎨π=⎩146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d nx x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-（n 为正偶数），0I ＝2π。
高数-专题二 积分计算的基本公式-文档资料
例7. 求 lim
cosx e
1
t 2
dt
x 0
2
0 0
0 0
解: x 0 时, a x sin x 0 , c 0, b0 . a cos x a cos x 洛 lim 2 c 原式 = lim 2 x 0 ln( 0 1 x ) x x
2 1 又由 a 1 . . 1 cos x c ≠0 , 故 ～ 2x , 得 c 1 2
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二、积分上限的函数及其导数
则变上限函数 ( x ) C [ a , b ] , 定理1. 若 f
(x ) f ( t)d t
a
x
是 f (x )在 [a, b ]上的一个原函数 .
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
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x 2 cos x 1 洛 e ( sin x ) 解: 原式 lim x0 2e 2x 例8. 确定常数 a , b , c 的值, 使 a x sin x lim c( c 0 ). x 2 x 0 ln( 1 t )d t
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2) 其他变限积分求导: d b f( x ) f (t ) d t dx x d (x) f [ ( x )] ( x ) f (t)dt dx a
a ( x ) d d (x) f ( t ) d t f ( t ) d t f ( t ) d t (x) ( x ) a d x dx f [ ( x )] ( x ) f [ ( x )] ( x )
高数公式大全(全)
高数公式大全1.基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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高数公式大全1、基本积分表:三角函数得有理式积分:一些初等函数: 两个重要极限:三角函数公式:·诱导公式:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦·与差角公式: ·与差化积公式:·倍角公式:·半角公式:ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理: ·余弦定理:·反三角函数性质:高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用:曲率:.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
高数公式汇总
高等数学公式导数公式：基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ·倍角公式：·半角公式：·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ϖϖωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
高等数学常用积分公式查询表
导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x aa a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， （一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax b C b x+-+ 6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x+-++ 7．2d ()xx ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax bC b ax b b x+-++的积分10．x C11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．2a bx b --17．x＝b 18．x＝2a +（三）含有22x a ±的积分19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n xx a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d x x a -⎰=1ln 2x a C a x a-++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++24．22d x x ax b +⎰＝2d x b xa a axb -+⎰25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()xx ax b +⎰＝21d a x bx b ax b --+⎰27．32d ()xx ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+ 28．22d ()xax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰ （五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．＝C +33．x＝C +34．x＝C +35．2x ＝2ln(2a x C -++36．2x ＝ln(x C ++37．1C a +38．C +39．x 2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C +42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x a C +44．x ＝ln(x C +++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C + 46．C +47．x ＝C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C +++50．2x ＝ln x C +++51．1arccos aC a x +52．C +53．x ＝2ln 2a x C ++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -+++55．x ⎰C +56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x x⎰＝arccos a a C x +58．x ＝ln x C +++(0)a >的积分59．＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ＝C62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a ++ 64．2x arcsinxC a-+65．1C a +66．C +67．x ＝2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a -+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．d x x⎰a C +72．2d x x ⎰＝arcsin xC x a--+(0)a >的积分73．2ax b C +++08070141常用导数和积分公式74．x ＝2n 2a x b c C+++75．xn 2a x b c C+++ 76．C +77．x ＝2C +78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C -+-81．C ()a b <82．x 2()4b a C -+ ()a b <（十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan 2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2secd x x ⎰＝tan x C +90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d nx x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin x a b x +⎰tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x+⎰C+22()a b <105．d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a+114．arcsin d x x x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d x x a ⎰＝arccos x x C a-117．arccos d x x x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+ 119．arctan d x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+ 121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln x a C a+ 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a+ 124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+ 125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰ 126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a--⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b-++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b +++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e s i n d a x n n n b b x x a b n--++⎰ 131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e c o s d a x n n n b b x x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C + 134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝ln ch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0 144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147．n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n -- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅- （n 为正偶数），0I ＝2π。
完整word版,高等数学常用积分公式查询表
导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， （一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()xx ax b +⎰＝1ln ax b C b x+-+ 6．2d ()xx ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9．2d ()xx ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10．x C11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．＝(0)(0)C b C b ⎧+><16．＝2a bx b --⎰17．d x x ⎰＝b 18．2d x x ⎰＝2a +（三）含有22x a ±的积分19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a -++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++24．22d x x ax b +⎰＝2d x b xa a ax b-+⎰ 25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰ （五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31．＝1arshxC a +＝ln(x C ++ 32．＝C +33．x＝C34．x＝C +35．2x ＝2ln(2a x C ++36．2x ＝ln(x C +++37．＝1ln aC a x +38．C +39．x 2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C +42．x x ⎰＝422(2ln(88x a x a x C+++43．d x x ⎰a C +44．x ＝ln(x C +++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x ＝C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C ++50．2x ＝ln x C +++51．＝1arccos aC a x +52．2C a x+53．x 2ln 2a x C -++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -+++55．x ⎰C +56．x x ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x ＝arccos aa C x -+58．x ＝ln x C ++(0)a >的积分59．＝arcsinxC a + 60．C +61．x ＝C +62．x ＝C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a ++ 64．2x arcsinxC a-+65．＝1C a +66．2C a x -+67．x 2arcsin 2a x C a++68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a-+69．x ⎰＝C70．x x ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．x ln a a C x +72．x ＝arcsin xC a-+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x22ax b C +++75．x2ax b C +++76．＝C +77．x 2C +78．x ＝C ++79．x ＝((x b b a C -+-+80．x ＝((x b b a C -+-+81．2arcsinC +()a b <82．x 2()4b a C - ()a b <（十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42x C π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan 2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2secd x x ⎰＝tan x C +90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n x n x n x----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n-+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tanx a b C ++22()a b >104．d sin xa b x +⎰C+22()a b <105．d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin xa xb x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a+114．arcsin d x x x a⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d x x a ⎰＝arccos x x C a117．arccos d x x x a⎰＝22()arccos 24x a x C a --+118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -++ 119．arctan d x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+ 121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln x a C a+ 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a+ 124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+ 125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰ 126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a--⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b-++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b +++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C +134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝lnch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147．n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n -- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-（n 为正偶数），0I ＝2π。
24个高数常用积分表
24个高数常用积分表如下：第一个，基本公式。
高数基本24个积分公式：1.∫kdx=kx+C(k是常数)。
2.∫xdx=+1+C，(≠1)+1dx。
3.∫=ln|x|+Cx1。
4.∫dx=arctanx+C21+x1。
5.∫dx=arcsinx+C21x。
6.∫cosxdx=sinx+C。
7.∫sinxdx=cosx+C。
8.∫sec∫csc2xdx=tanx+Cxdx=cotx+C2。
9.∫secxtanxdx=secx+C。
10.∫cscxcotxdx=cscx+C。
11.∫axdx=+Clna。
12.[∫f(x)dx]'=f(x)。
13.∫f'(x)dx=f(x)+c。
14.∫d(f(x))=f(x)+c。
15.∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c。
16.∫secxdx=ln|secx+tanx|+c。
17.∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c。
18.∫1/√(a^2-x^2)dx=arcsin(x/a)+c。
19.∫sec^2xdx=tanx+c。
20.∫shxdx=chx+c。
21.∫chxdx=shx+c。
22.∫thxdx=ln(chx)+c。
23.令u=1x2，即∫u=23u+C3312122=3u+C=3(1x)+C12d(1x)2。
24.令u=cosx=2，即∫u=22+C=u+C=cosx+C。
第二个，定义。
不定积分。
设f（x)是函数f(x)的一个原函数，把函数f(x)的所有原函数f(x)+c（c 为任意常数）成为函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=f(x)+c.其中∫名为积分号，f(x)名为被积函数，x名为积分变量，f(x)dx名为被积式，c名为积分常数，求已知函数不定积分的过程也就是对这个函数进行积分。
注：∫f(x)dx+c1=∫f(x)dx+c2,不能推出c1=c2。
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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。