§定积分的应用习题与答案

第六章 定积分的应用
（A ）
1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2
2
1x y =与822=+y x （两部分都要计算）
2）x
y 1
=与直线x y =及2=x
3）x e y =，x e y -=与直线1=x
4）θρcos 2a =
5）t a x 3
cos =，t a y 3
sin =
１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的
面积
２、求对数螺线θ
ρae
=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积
３、求由曲线x y sin =和它在2
π
=
x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕
x 轴旋转而成的旋转体的体积
４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体
的体积
５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形
的立体体积
６、计算曲线()x y -=33
3
上对应于31≤≤x 的一段弧的长度
７、计算星形线t a x 3
cos =，t a y 3
sin =的全长
８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→
F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）
成正比，即：kS =→
F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功
９、一物体按规律3
ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0
=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功
１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？
１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与
水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力
１２、 设有一长度为 ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处
有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力
(B)
1、设由抛物线()022
>=p px y 与直线p y x 2
3
=
+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积
3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2
π
=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋
转所成旋转体的体积
4、求抛物线px y 22
=及其在点⎪⎭
⎫
⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积
5、求曲线422
+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122
-=x y 所围成图形的面
积
6、求由抛物线ax y 42
=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值
7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=
2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a
8、由曲线()1652
2=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积
9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积
10、计算半立方抛物线()32
132
-=x y 被抛物线3
2x y =截得的一段弧的长度
(C)
1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=32H R H V π
2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭
⎫
⎝
⎛
≤
≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值
3、求曲线x y =
()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线
x y =所围成的平面图形的面积最小
4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？
第六章 定积分应用 习 题 答 案
（A ）
1、1）342+
π，346-π 2）2ln 23- 3）21
-+e
e 4）2
a π 5）28
3a π
2、2
3a π 3、()
π
π2224--e e a 4、12-π，4
2π 5、7128π，564π
6、
3334R 7、3
4
32- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、
3
7
32
7
27a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=2211t a a
Gm u F y 22t a a Gmu F x +-= (B)
1、1）⎰-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=p
p p dy p y y p S 32
2316223 或(
)
⎰⎰=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-++=
20
229
2
31622322p
p p p dx px x p dx px px S
2）⎰⎰--=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛-=p
p p p p dy p y dy y p V 3332
22
15272223πππ 2、(
)
⎰=
-=10
231
dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫
⎝⎛-=102
22
10
3dx x x V
3、()()⎰⎰-=-+-=
24
4
222
cos sin sin cos π
ππdx x x dx x x A
()()(
)
()()()
⎰⎰=-+-=
24
2
240
2
2
c o s s i n s i n c o s π
ππ
ππdx x x dx x x V
4、抛物线在点⎪⎭
⎫
⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A =
5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122
-=x y 的交点坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,23，()2,3-
⎰-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=1
2249
1224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α
则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan
由()a x y -=αtan ，ax y 42
=得两交点纵坐标为
()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα
所以
()()dy a y yctg a A y y ⎰
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=2
1
42αα ()()3
2222csc 3
4csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=
()()3232csc 34csc 4ααa a -=()3
2csc 3
8αa =
因为πα<<0 当2
π
α=时 ()3
csc α取得最小值为1
所以 当2
π
α=
时 过焦点的弦与抛物线ax y 42
=所围成的图形面积
()3
2csc 3
82απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小
7、1）()()πθθθθπ
ππ4
5cos 321cos 1212232
302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A
2）()()[]⎰⎰
-=++=
πππ
πθθθθθ22220
241cos sin 2
1sin 21
a d a d a A 8、()()⎰
⎰------+=
4
44
4
2
22
2165165dx x dx x
V ππ
()()⎰
-=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧----+=4
4
2
2
22
2160
165165ππdx x x
9、解法同题8
10、提示：()32
132-=
x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-36,2 所求弧长()
⎰
+=2
1
2
'12
dx y s
由()3
2
132-=x y 得()y
x y 2
'1-=
于是()
()()()
()123
13
1134
2
22
'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y
于是得()⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰
1259812312
232
1
221dx x S
(C)
1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图2
2
2
R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成
所以()⎰
⎰
---==
R
H
R R
H
R dy y R dy x V 2
2
2
ππR H
R R H
R y y
R ---=3
32
π
π
()[]()[]
3
3
23
H R R H R R R ---
--=π
π⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=32H R H π
2、解：()⎰-=
t
dx x t S 11sin sin ()⎰-=22
s i n s i n π
t
dx t x S
()()⎰-=
t
dx x t t S 1sin sin +()⎰-2
sin sin π
t
dx t x
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
≤≤-⎪⎭⎫
⎝
⎛-
+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=t t t S π，得驻点2
421π
π
=
=
t t
易知()()00
2''1''<>t S t S
122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭
⎫
⎝⎛=πS S
3、解：设()00,y x 为曲线x y =
()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：
()00
021
x x x y y -=
- 即0022x x y y +=
得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =
所围的平面图形面积为：
3164222004
000-+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S 3
16
4200-+
=x x 问题即求3
16
42-+
=x x S ()40≤≤x 的最小值 令022
32
1=+=-
-x x
S 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值
所以 当2=x 时，S 最小
即所求切线即为：2
22
2+
=
x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系
易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x
因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面
上提升时，做功微元为
()
()dx x r x r g dW +-=22π
()
()g r dx x r x r g dW W r r r r 4223
4
ππ⎰⎰--=+-==。