矩形的判定和性质

矩形的性质和判定

一、基础知识

（一）矩形的定义

有一个角为直角的平行四边形叫做矩形。 （二）矩形的性质：

1.矩形具有平行四边形的一切性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是900

； 4.矩形是轴对称图形；

边 角 对角线 对称性 矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

互相平分且相等

轴对称，中心对称

（三）矩形的判定：

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形；

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 （四）直角三角形的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （如图：OB=OC=OA=2

1

AC ）

二、例题讲解

考点一：矩形的基本性质

例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．

练习 1：矩形ABCD 中, ,对角线AC 与BD 相交于点O,BC 的长为6,△OBC 的周长是15,求矩形的对角线的长度.

练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.

例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?

练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。

例3：如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，角∠BAD的角平分线与边BC交于点E．试求BE与CE的长度．

练习1：如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．

例4：（2009年）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；

F E

A

B

D C

图1

练习1：如图，矩形ABCD中，E为AD中点，∠BEC为直角，矩形ABCD的周长是20，求AD、AB的长。

练习2：（2009年）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q 在矩形．

求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；

（2）PA=PQ．

考点二：面积法

例1：如图，在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4， BE⊥AC于E．试求出BE的长．

练习1：如图，矩形ABCD中，E点在BC上，且AE平分ÐBAC。若BE=4，AC=15，则r AEC面积为（）

A.15

B. 30

C. 45

D. 60 。

练习2：如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=4cm ,AD=3

4cm.

A

B C

E

D

A

C

B

D

P

Q

练习3：如图，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠使点C 落在点 C ＇处，BC ＇交AD 于E ，AD=8，AB=4，BE=5,求△BED 的面积。

B

A

C

D

E

C'

考点三：矩形对角线平分且相等

例1：矩形的两条对角线相交成60°角，较短边与一条对角线之和为15cm ，则矩形的对角线长为 cm 。

练习1：矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（ ）． A ．57.5° B ．32.5°

C ．57.5°、33.5°

D ．57.5°、32.5°

练习2：矩形两条对角线的夹角是120°，短边长4cm ；则矩形的对角线长 ；

练习3：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝5cm，则AC＝。

考点四：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例1：如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=1

2 AC．

练习1：如图，矩形ABCD的对角线AC交BD于D，E为CB延长线上一点，连接AE，M为AE中点且BM⊥DM 于点M，

（1）连接OM，若AD=8，CD=6，求OM的长。

（2）求证：AD+BE=2AO

考点四：角平分线

例1：已知，四边形ABCD是矩形，CH⊥BD，H为垂足，AE是∠BAD的平分线，交HC的延长线于E。

求证：CE=BD。

例2：矩形ABCD，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数；

A D

O

B E C

例3：（2009年中考卷第25题）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.

（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.

（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.

练习1：如图，E为矩形ABCD边AD上一点，BE=DE，P为BD上一点，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G。

课后练习：

1、矩形的两条对角线的夹角为60°，•一条对角线与短边的和为15，•对角线长是________，两边长分别等于________

2、矩形周长为36cm，一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是______．

3、如图，矩形ABCD中，E是BC中点，∠BAE=30°，AE=4，则AC=______．

4、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取上一点M，使AM=AB，则∠MBC=_______．

5、已知：如图，矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．