导数与微积分

导数与微积分
导函数
导函数的概念涉及：的对于区间 , 上任意点处都可导,则在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为的导函数,记作 ;
一、基本函数的导函数
C'=0C为常数
x^n'=nx^n-1 n∈Q
sinx'=cosx
cosx'=-sinx
e^x'=e^x
a^x'=a^xlna
loga,x' = 1/xlna
lnx'= 1/x
二、和差积商函数的导函数
fx + gx' = f'x + g'x
fx - gx' = f'x - g'x
fxgx' = f'xgx + fxg'x
fx/gx' = f'xgx - fxg'x / gx^2
三、复合函数的导函数
设 y=ut ,t=vx,则 y'x = u'tv'x = u'vx v'x
例：y = t^2 ,t = sinx ,则y'x = 2t cosx = 2sinxcosx = sin2x
一般定义
设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δ点仍在该邻域内时,相应地函数取得增量Δ；如果Δ与Δ之比当Δ时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即
,
也可记作,或;
邻域
数学分析的定义
以a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作Ua
设δ是任一正数,则在开区间a-δ,a+δ就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻域,记作Ua,δ,即Ua,δ={x|a-δ<x<a+δ};点a称为这邻域的中心,δ称为这邻域的半径;
a的δ邻域去掉中心a后,称为点a的去心δ邻域,有时把开区间a-δ,a称为a的左δ邻域,把开区间a,a+δ称为a的右δ邻域;
拓扑学的定义
设A是拓扑空间X,τ的一个子集,点x∈A;如果存在集合U,满足①U是开集,即U∈τ,②点x∈U,③U是A的子集,则称点x是A的一个内点,并称A是点x的一个邻域;若A是开闭集,则称为开闭邻域;
可导
设y=fx是一个单变量函数, 如果y在x=x0处存在导数y'=f'x,则称y在x=x0处可导;
如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数
若将一点扩展成函数fx在其定义域包含的某开区间I内每一个点,那么函数
fx在开区间内可导,这时对于内每一个确定的值,都对应着fx的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数fx的导函数,记作：y'、或者;
原函数
已知函数fx是一个定义在某区间的函数,如果存在函数Fx,使得在该区间内的任一点都有
dFx=fxdx,
则在该区间内就称函数Fx为函数fx的原函数;
例：sinx是cosx的原函数;
关于原函数的问题
函数fx满足什么条件是,才保证其原函数一定存在呢这个问题我们以后来解决;若其存在原函数,那么原函数一共有多少个呢
我们可以明显的看出来：若函数Fx为函数fx的原函数,
即：F'x=fx,
则函数族Fx+CC为任一个常数中的任一个函数一定是fx的原函数,
故：若函数fx有原函数,那末其原函数为无穷多个.
如果定义在a,b上的函数Fx和fx满足条件：对每一x∈a,b,F′x＝fx则称Fx为fx的一个原函数;例如,x3是3x2的一个原函数,易知,x3＋1和x3＋2也都是3x2的原函数;因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的,例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v＝vt,要求它的运动规律 ,就是求v＝vt的原函数;原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当fx为连续函数时,其原函数一定存在;
几何意义和力学意义
设fx在a,b上连续,则由曲线y=fx,x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数指代数和——x轴上方取正号,下方取负号是fx的一个原函数.若x为时间变量,fx为直线运动的物体的速度函数,则fx的原函数就是路程函数.
导函数的定义表达式为：
值得注意的是,导数是一个数,是指函数fx在点x0处导函数的函数值;但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点;
几何意义
如右图所示,设P0为曲线上的一个定点,P为曲线上的一个动点;当P沿曲线逐渐趋向于点P0时,并且割线PP0的极限位置P0T存在,则称P0T为曲线在P0处的切线;
若曲线为一函数y = fx的图像,那么割线PP0的斜率为：
当P0处的切线P0T,即PP0的极限位置存在时,此时,,则P0T的斜率tanα为：上式与一般定义中的导数定义是完全相同,则f'x0 = tanα,故导数的几何意义即曲线y = fx在点P0x0,fx0处切线的斜率;
函数可导的条件
如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢答案是否定的;函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等;这实际上是按照极限存在的一个充要条件极限存在,它的左右极限存在且相等推导而来：
上式中,后两个式子可以定义为函数在x0处的左右导数：
极值
extremum∶数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值,极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得;
extreme value∶在给定的时期内,或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值;如果这个时期是整个有观测资料的时期,这个极值就是绝对极值
极限
在高等数学中,极限是一个重要的概念;
极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下;
首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积;为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍,当n无限增大时,An无限接近于圆面积,他计算到3072=62的9次方边形,利用不等式An+1<A<An+2An+1-Ann=1,2,3....得到圆周率=3927/1250约等于数列极限：
定义：设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε不论它多么小,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式
|Xn - a|<ε
都成立,那么就称常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a;记为lim Xn = a 或Xn→an→∞
数列极限的性质：
1.唯一性：若数列的极限存在,则极限值是唯一的；
2.有界性：如果一个数列收敛有极限,那么这个数列有界;但是,如果一个数列
有界,这个数列未必收敛;
3.保号性：如果一个数列{xn}收敛于a,且a>0或a<0,那么存在正整数N,当n>N时,都有xn>0或xn<0;
4.改变数列的有限项,不改变数列的极限;
几个常用数列的极限：
an=c 常数列极限为c
an=1/n 极限为0
an=x^n 绝对值x小于1 极限为0
函数极限的专业定义:
设函数fx在点x;的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε无论它多么小,总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x;|<δ时,对应的函数值fx都满足不等式：
|fx-A|<ε
那么常数A就叫做函数fx当x→x;时的极限;
函数极限的通俗定义：
1、设函数y=fx在a,+∞内有定义,如果当x→+∞时,函数fx无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于+∞时函数fx的极限;记作lim fx＝A ,x→+∞;
2、设函数y=fx在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时记作x→a,函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数fx的极限;记作lim fx=A ,x→a;
函数的左右极限：
1：如果当x从点x=x0的左侧即x〈x0无限趋近于x0时,函数fx无限趋近于
常数a,就说a是函数fx在点x0处的左极限,记作x→x0-limfx=a.
2:如果当x从点x=x0右侧即x>x0无限趋近于点x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的右极限,记作x→x0+limfx=a.
注：若一个函数在x0上的左右极限不同则此函数在x0上不存在极限
注：一个函数是否在x0处存在极限,与它在x=x0处是否有定义无关,只要求y=fx在x0近旁有定义即可;
函数极限的性质：
极限的运算法则或称有关公式：
limfx+gx=limfx+limgx
limfx-gx=limfx-limgx
limfxgx=limfxlimgx
limfx/gx=limfx/limgx limgx不等于0
limfx^n=limfx^n
以上limfx limgx都存在时才成立
lim1+1/x^x =e
x→∞
无穷大与无穷小：
一个数列极限无限趋近于0,它就是一个无穷小数列极限;
无穷大数列和无穷小数列成倒数;
两个重要极限：
1、lim sinx／x ＝1 ,x→0
2、lim 1 + 1／x^x ＝e ,x→∞ e≈...,无理数
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举两个例子说明一下
一、……＝1
以下一段不作证明,只助理解——原因：小数的加法的第一步就是对齐数位,即要知道具体哪一位加哪一位才可操作,下文中……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准,所以对于无限小数并不能做加法;既然不可做加法,就无乘法可言了;
谁都知道1/3＝……,而两边同时乘以3就得到1＝……,可就是看着别扭,因为左边是一个“有限”的数,右边是“无限”的数;
10×……—1×……=9=9×……
∴……=1
二、“无理数”算是什么数
我们知道,形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的,它的每一位都只有在不停计算之后才能确定,且无穷无尽,这种没完没了的数,大大违背人们的思维习惯;
结合上面的一些困难,人们迫切需要一种思想方法,来界定和研究这种“没完没了”的数,这就产生了数列极限的思想;
类似的根源还在物理中实际上,从科学发展的历程来看,哲学才是真正的发展动力,但物理起到了无比推动作用,比如瞬时速度的问题;我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示,若时间差趋于零,则此比值就是某时刻的瞬时速度,这
就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值,就是0÷0,这有意义吗这个意义是指“分析”意义,因为几何意义颇为直观,就是该点切线斜率这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释,极限的思想呼之欲出;
真正现代意义上的极限定义,一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的,他当时是一位中学数学教师,这对我们今天中学教师界而言,不能不说是意味深长的;
几个常用数列的极限
an=c 常数列极限为c
an=1/n 极限为0
an=x^n 绝对值x小于1 极限为0
定积分
定积分的几何意义
众所周知,微积分的两大部分是微分与积分;微分实际上是求一个已知函数的导数,而积分是已知一个函数的导数,求原函数;所以,微分与积分互为逆运算;
积分的分类
实际上,积分还可以分为两部分;
第一种,不定积分
,也就是已知导数求原函数,而若Fx的导数是fx,那么Fx+CC是常数的导数也是fx,也就是说,把fx积分,不一定能得到Fx,因为Fx+C的导数也是fx,C是任意常数,所以fx积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用Fx+C代替,这就称为不定积分;这也就是说它是一组函数,而不是有限个;
第二种,定积分
定积分就是求函数FX在区间A,B中图线下包围的面积;即 y=0 x=a x=b y=FX
所包围的面积;这个图形称为曲边梯形,特例是曲边梯形;
定积分的定义：
设一元函数y=fx ,在区间a,b内有定义;将区间a,b分成n个小区间 a,x0 x0,x1x1,x2 .....xi,b ;设△xi＝xi－xi-1,取区间△xi中曲线上任意一点记做fξi,做和式：
和式
若记λ为这些小区间中的最长者;当λ→ 0时,若此和式的极限存在,则称这个和式是函数fx 在区间a,b上的定积分;
记做：∫ _a^b fxdx
a在∫下方,b在∫上方
其中称a为积分下限,b为积分上限, fx 为被积函数,fxdx 为被积式,∫为积分号;
之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数, 而不是一个函数;
微分
一元微分
定义：
设函数y = fx在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内;如果函数的增量Δy = fx0 + Δx fx0可表示为Δy = AΔx + oΔx其中A是不依赖于Δx 的常数,而oΔx0是比Δx高阶的无穷小,那么称函数fx在点x0是可微的,且AΔx 称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx;
通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx;于是函
数y = fx的微分又可记作dy = f'xdx;函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数;因此,导数也叫做微商;
当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由fX改变为fX+△X,如果存在一个与△X无关的常数A,使fX+△X-fX和A△X之差关于△X→０是高阶无穷小量,则称A△X是fX在X的微分,记为dy,并称fX在X可微;可导不一定可微,可微一定可导,这时A=f′X;再记A△X=dy,则dy=f′XdX;例如：dsinX=cosXdX;
几何意义：
设Δx是曲线y = fx上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量;当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多高阶无穷小,因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段;
多元微分
同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义;
运算法则：
dy=f'xdx
du+v=du+dv
du-v=du-dv
duv=duv+dvu
du/v=duv-dvu/v^2
黎曼积分
定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分;用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区
间a,b上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积;实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b;
黎曼积分
如果函数fX在闭区间a,b上定义,而P,ζ是这个闭区间的一个带点分割,则和σf；p,ζ:=Σ fζiΔXi
叫做函数f在区间a,b上对应于带点分割P,ζ的积分和,其中ΔXi=Xi-Xi-1 存在这样一个实数I,如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0,使对区间a,b的任何带点分割P,ζ,只要分化P的参数λP<δ,就有|I-σf；p,ζ|<ε,则称函数fX在闭区间a,b上黎曼可积,而I就成为函数fX在闭区间a,b上的黎曼积分;
我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数;它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢
微积分基本定理
定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系;把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分;这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：
若F'x=fx
那么∫ _a^bfx dx = Fa-Fb
牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差;
正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至
更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理;
牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本定理,其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法;从几何上看,它在切线和面积两个看似很不相关的概念之间建立起了联系;下面就是该公式的证明全过程：
我们知道,对黎曼Riemann可积函数fx于区间a,b上的定积分表达为：
b上限∫a下限fxdx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：Φx= x上限∫a下限fxdx
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的;虽然这种写法是可以的,但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：Φx= x上限∫a下限ftdt
接下来我们就来研究这个函数Φx的性质：
1.定义函数Φx= x上限∫a下限ftdt,则Φx连续;当fx连续时,有Φ’x=fx;
证明：让函数Φx获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φx+Δx-Φx=x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt,
利用区间可加性,x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt=x+Δx上限∫x下限ftdt
若m和M分别是fx在区间a,b上的最小值和最大值,利用定积分第一中值定理,存在m,M中的实数η,使得
ΔΦ=x+Δx上限∫x下限ftdt=ηΔx;
进一步,当fx连续时存在x与x+Δx之间的常数ξ,使得η=fξ;
于是当Δx趋向于0时,ΔΦ趋向于0,即Φx连续;
若fx连续,那么当Δx趋向于0时,ξ趋向于x,fξ趋向于fx,故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=fx,从而得出Φ’x=fx;
2. 若fx在a,b上连续,且Fx是fx在a,b上的一个原函数,那么b上限∫a 下限fxdx=Fb-Fa;
证明：我们已证得Φ’x=fx,故Φx+C=Fx;
注意到Φa=0积分区间变为a,a,故面积为0,所以Fa=C,
于是有Φx=Fx-Fa,当x=b时,Φb=Fb-Fa,这就得到了牛顿-莱布尼茨公式;。