弹簧专题之弹簧振子

弹簧专题之弹簧振子

【模型构建】

定义

弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑空气阻力，不考虑弹簧的质量，不考

虑振子（金属小球）的大小和形状的理想化的物理模型。用来研究简谐振动的

规律。弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位

置保持静止。若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中，弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势

能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下，

这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。弹簧振子的固有周期和固有频率与

弹簧劲度系数和振子质量有关，与振幅大小无关。右图为其运动图像。

（注意复习受迫振动，阻尼振动等相关知识）

在简谐运动中，我们一般对模型甲（图１）比较熟悉，但模型乙（图２）也经常出现在试题中。

特别注意：模型甲乙都做简谐运动，甲中回复力（弹力），加速度，速度，位移各量都关于平衡位置Ｏ点对称。但是乙是由弹簧弹力和弹簧重力一起提供回复力，弹簧的弹力大小关于平衡位置是不

对称的，但是回复力（加速度）仍然是对称的。

特征图３

1：在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F与回复加速度a大小相等，方向相反。平衡位置合力为零，加速度为零，速度最大。正负位移最大处回复力最大，加速度最大且方向相反，速度为零。

２：如图３所示，O为平衡位置，假设一弹簧振子在A、B两点间来回振动，振动周期为T，C、D两点关于平衡位

置O点对称。从振子向左运动到C点开始计时，到向右运动到D点为止，即振子由C→A→C→O→D的运动时间为

３：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即在振动过程中，振子在任意位置，弹簧振子的机械能不变，弹簧振子的机械能表现为振子的动能与弹簧储存的弹性势能之和。设弹簧劲度系数为k，振子的振幅为A，弹簧振子的机械能大小为

４：由于回复力是变力，所以对于该模型系统动量守恒和能量守恒的方法就比较适用。

我们先来研究图１类型的水平位置的弹簧问题。请先看右图熟悉一下。

【小试牛刀１】

如图４所示，在光滑的水平面上，有滑块A和B，A和B的质量均为10g，现有一轻

质弹簧固定在两滑块右方的墙壁上，弹簧的劲度系数为。开始时两滑块均静止，现给

A滑块一冲量，使其以10m/s的速度向右滑行，并与B相碰后，与B粘在一起，求弹簧与墙有作用力的时间。已知

关于水平弹簧一般较少，所以我们重点以竖直方向的弹簧振子为载体来研究振子更多的特性。

【小试牛刀２】如右图所示，质量为3m的框架，放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，

下端拴一质量为m的金属小球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg，求小球

运动到最高点时，台秤的示数为_____________，小球的瞬时加速度的大小为_____________。

我们把它当做一个例题，所有的弹簧振子问题都围绕其核心来分析。

对小球进行受力分析（一定要画实物图），当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg，即框架和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg，由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg。由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加速度（超重），设该时刻小球加速度大小为a，此时框架的加速度大小为0，则对框架与小球这一整体

应用牛顿第二定律得：

解得：ａ＝ｇ由弹簧振子的对称性可知，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加速度的大小也为g，方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg。

提到对称性，来一个大家熟悉的练练手。

【炉火纯青１】如图，一顶角为直角的“∧”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环

套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长l0。两金属环

同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。对其中一个金属环，下列说法正

确的是（弹簧的长度为l时弹性势能为）（）

A．左边金属环下滑过程机械能守恒

B．弹簧的最大拉力为2mg

C．金属环在最高点与最低点加速度大小相等

D．金属环的最大速度为

对称性是弹簧振子最常考的问题，必须要熟练应用。

【炉火纯青２】

如图所示，长直杆与水平面成θ角固定放置，杆上O点以上部分是粗糙的，而O点以下部分是光滑的．轻弹簧穿过长杆，下端与挡板固连，弹簧原长时上端恰好在O点，质量为m的带孔小球穿过长杆，与弹簧上端连接．现将小球拉到图示a位置由静止释放，一段时间后观察到小球振动时弹簧上端的最低位置始终在b点．Ob=Oa=l.则下列结论正确的是()

A. 小球第一次过O点时速度为整个运动过程的最大速度

B. 整个运动过程小球克服摩擦力做功为2mglsinθ

C. 小球在b位置受到弹簧弹力大小为mgsinθ

D. 若初始在a位置给小球一个向下速度，则小球最终运动的最低点在b位置下方

注意：不是原长是就是速度最大！

【进阶之路１】

如图，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，

则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（）

A. 升降机的速度不断减小

B. 升降机的加速度不断变大

C. 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功

D. 到最低点时，升降机加速度的值等于重力加速度的值

通过此题Ｄ选项，大家应该对弹簧的对称性有了更加深刻的认识。

下面看看这道题，结合电场，利用特征３