鲁棒控制及其发展概述

鲁棒控制及其发展概述
摘要
本文首先介绍了鲁棒控制理论的发展过程；接下来主要介绍了研究鲁棒多变量控制过程中两种常用的分析方法：方法以及分析方法；最后给出了鲁棒控制理论的应用及其控制方法，不仅仅用在工业控制中，它被广泛运用在经济控制、社会管理等很多领域。

随着人们对于控制效果要求的不断提高，系统的鲁棒性会越来越多地被人们所重视，从而使这一理论得到更快的发展。

并且指出了目前鲁棒控制尚未解决的问题以及研究的热点问题。

关键词：鲁棒控制；鲁棒多变量控制；鲁棒控制；分析方法
一、引言
鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代。

在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。

以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。

控制系统的鲁棒性研究是现代控制理论研究中一个非常活跃的领域,鲁棒控制问题最早出现在上个世纪人们对于微分方程的研究中。

最早给出鲁棒控制问题的解的是Black在1927年给出的关于真空开关放大器的设计，他首次提出采用反馈设计和回路高增益的方法来处理振控管特信各大范围波动。

之后，Nyquist频域稳定性准则和Black回路高增益概念共同构成了Bode的经典之著[1]中关于鲁棒控制设计的基础。

20世纪60年代之前这段时间可称为经典灵敏度设计时
期。

此间问题多集中于SISO系统，根据稳定性、灵敏度的降低和噪声等性能准则来进行回路设计。

20世纪六七十年代中鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMO进行了初步的推广[2]，灵敏度设计问题包括跟踪灵敏度、性能灵敏度和特征值/特征向量灵敏度等的设计。

20世纪80年代，鲁棒设计进入了新的发展时期，此间研究的目的是寻求适应大范围不确定性分析的理论和方法。

二、正文
1. 鲁棒控制理论
方法在工程中应用最多，它以输出灵敏度函数的范数作为性能指标，旨在可能发生“最坏扰动”的情况下，使系统的误差在无穷范数意义下达到极小，从而将干扰问题转化为求解使闭环系统稳定并使相应的范数指标极小化的输出反馈控制问题。

鲁棒控制理论是在空间(即Hardy 空间)通过某些性能指标
的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。

空间是在开右半平面解析且有界的矩阵函数空间，其范数定义为：
（1）
即矩阵函数在开右半平面的最大奇异值的上界。

范数的物理意义是指系统获得的最大能量增益[3]。

鲁棒控制理论的实质是为MIMO（多输入多输出）且具有模型
摄动和不确定性的系统提供了一种频域的鲁棒控制器设计方法。

鲁棒控制理论很好地解决了常规频域理论不适合的MIMO系统设计及LQG（线性二次高斯）理论不适合的模型摄动情况两个难题，其计算的复杂性随着计算机技术的发展及标准软件开发工具箱的出现而得到克服，近年来已成为控制理论的一个热点研究领域，并取得了大量实际的应用成果。

1.1鲁棒控制理论的发展过程
控制理论是20世纪80年代开始兴起的一门新的现代控制理论。

控制理论是为了改变近代控制理论过于数学化的倾向以适应工程实际的需要而诞生的,其设计思想的真髓是对系统的频域特性进行整形(Loopshaping),而这种通过调整系统频率域特性来获得预期特性的方法,正是工程技术人员所熟悉的技术手段,也是经典控制理论的根本。

1981年Zames首次用明确的数学语言描述了优化控制理论,
他提出用传递函数阵的范数来记述优化指标。

1984年加拿大学者Fracis和Zames用古典的函数插值理论提出了设计问题的最初解法,同时基于算子理论等现代数学工具,这种解法很快被推广到一般的多变量系统,而英国学者Glover则将设计问题归纳为函数逼近问题,并用Hankel算子理论给出这个问题的解析解。

Glover的解法被Doyle
在状态空间上进行了整理并归纳为控制问题,至此控制理论体系已初步形成。

在这一阶段提出了设计问题的解法,所用的数学工具非常繁琐,
并不像问题本身那样具有明确的工程意义。

直到1988年Doyle等人在全美控制年会上发表了著名的DGKF论文,证明了设计问题的解可以通过适当的代数Riccati方程得到。

DGKF的论文标志着控制
理论的成熟。

迄今为止,设计方法主要是DGKF等人的解法。

不仅如此,这些设计理论的开发者还同美国的The Math Works公司合作,开发了MATLAB中鲁棒控制软件工具箱(Robust Control Toolbox),使
控制理论真正成为实用的工程设计理论。

1.2鲁棒控制理论研究
（1）线性控制研究。

从耗散性能理论和微分对策理论出发，利用增益分析，非线性
控制问题可解决的充分条件被转化一组Hamilton-Jacobi等式或不等式的可解性问题，并可通过求解来获得鲁棒控制器的形式[6-8]。

Takagi Sugeno 提出了著名的T-S模糊系统模型，为非线性控制系统提供了新的思路。

吴忠强等人利用T-S模糊动态模型描述非线性系统，首先将全局模糊系统表示成不确定系统形式，采用控制策略，设计出使全局模糊系统渐进稳定的控制器。

然后采用并行分配补偿法，设计出使模糊系统全局渐进稳定的控制器。

将模糊控制与现代鲁棒控制相结合解决非线性问题，避免了偏微分方程的求解和一些假设条件。

（2）时滞系统的控制。

时滞现象普遍存在于实际的控制问题中。

时滞往往使系统的性能变差甚至是造成系统不稳定的主要原因之一，一些学者将控制理
论应用到时滞系统的研究中[9-10]，并且针对具有不确定性的时滞系统的鲁棒控制问题也有研究报道。

在这些研究的系统中，最常见的控制方法是利用系统的状态构成线性无记忆反馈。

（3）区间系统的研究。

区间系统是含有参数不确定性的系统中最难研究的一种，这是因为对于一个n阶区间系统，在状态矩阵中就有n2个不确定参数。

尽管如此，近年来关于区间系统的研究还是取得了许多成果。

文献[11]先将区间系统转化为一类范数有界的结构不确定性系统。

在此基础上，给出一系列定常区间系统鲁棒稳定性的判据，并利用控制理论来研究区间系统的鲁棒稳定和干扰抑制问题。

1.3
控制理论的应用
在理论和算法的实现上已基本成熟。

现在正处于成熟及应用阶段，在这一阶段发展了一种利用回路成形方法设计控制器的分析方法，它是通过选择权函数来改善开环奇异值的频率特性，以实现系统的闭环性能，并在鲁棒性能指标和鲁棒稳定性之间进行折衷。

McFarlane[12]等人给出了设计步骤。

在国内许多学者在鲁棒控制理论研究方面取得了不少成果，具有一定的理论和实际应用价值的论文在国内重要学术刊物上发表。

例如将控制器用于泵控马达伺服系统，把经内环整定后的伺服电机扩展为增光对象，对其求解标准设计问题，得到具有很强鲁棒性的速度控制器；将控制器用于船舶自动舵控制，并取得了满意的结果；应用控制研究了具有冲击影响的宏观经济系统
控制问题，并应用实例给出了一个政府政策和公众预期宏观经济
控制的状态反馈解。

控制指标在时域的本质是“最大最小”问题，其系统意义是选择控制策略使观测输出最大扰动最小。

相应于证券组合投资问题，使收益最大风险最小。

运用对证券投资中的不确定性和风险问题的连续时间系统进行了研究；离散时间系统状态空间模型的提出，推导了奇异控制策略，为证券组合投资的分析和实际应用提供了新的理论方法。

2．鲁棒控制理论中的分析方法
对于存在各类结构化不确定性的系统，用结构奇异值方法进行受控系统稳定性和性能分析的过程叫做分析。

而设计控制器的过程（即求一稳定控制器，使闭环系统在原有结构化不确定性的情况下也能保持稳定性和其他性能）称为综合。

理论的关键思想是：通过输入、输出、传递函数、参数变化、摄动等所有线性关联重构，以隔离所有摄动得到块对角有界摄动问题。

的频率响应图的峰值确定了系统鲁棒稳定所能承受的摄动的大小。

与对象条件数的平方根成正比，所以不良条件数对象是难以控制的。

2.1理论的形成过程
对理论的发展产生重要影响的是20世纪70年代末鲁棒多变量控制系统的研究[13-15]，它们对稳定性分析的早期工作，特别是小增益理论和圆盘理论产生了不可估量的影响。

这些理论给出了反馈中非线性环节稳定性的充要条件。

20世纪80年代初，Doly和Stein以奇异值为鲁棒性度量工具推广了多变量系统的Bode幅值设计方法，他们
指出影响系统鲁棒性的是系统回差矩阵或逆回差矩阵的奇异值。

然而在越来越多的实践中表明，基于奇异值的方法来处理非结构化不确定性的假设太粗略，对鲁棒性能的问题不能得到充分解决；对于结构化的对象扰动，基于奇异值的稳定性和品质测度通常是很保守的。

在1982年IEE Proceeding出版的关于灵敏度和鲁棒性的专辑中，Doly 引进了结构奇异值的概念来减少这种方法的保守性，逐渐形成了理论。

2.2鲁棒控制理论的研究
鲁棒控制理论发展到今天，已经形成了很多引人注目的理论。

其中控制理论是目前解决鲁棒性问题最为成功且较完善的理论体系。

Zames在1981年首次提出了这一著名理论，他考虑了对于一个单输入单输出系统的控制系统，设计一个控制器，使系统对于扰动的反映最小。

在他提出这一理论之后的20年里，许多学者发展了这一理论，使其有了更加广泛的应用。

当前这一理论的研究热点是在非线形系统中控制问题。

另外还有一些关于鲁棒控制的理论如结构异值理论和区间理论等。

2.3理论在实际中的应用
（1）确定性参数的性质。

由于实参数理论会产生数据的不连续性问题，增加了计算的复杂性，并为用实参数作为鲁棒测量手段的实用方法造成了障碍。

Packard和Pandey指出，如果在较为缓和的假设下混合理论问题，
能够使工程问题的实现和解决得到保证。

Rohn和Poljak的研究结果证明了在纯实数或复数的情况下一味追求计算的精确方法是毫无
疑义的。

Young也指出只有将所有技术智能的结合在一起，才能得到实际有效的算法。

（2）算法方面。

由于综合用到一种更程式化的方法，而不是经典控制中的
trial-and-error方法，所以它对性能最大化和不确定性之间的折中可以起到调节作用。

与优化相比，没有解析解，只有通过数字算法(D-K 迭代)来实现。

尽管在理论上还未证明其收敛性，但在工程应用上已得到很好的效果。

考虑到D-K迭代法不能保证收敛到全局最小，于是一种改进的-K迭代法被提出来。

类似D-K法，它仍然不能完全保证收敛到全局最小，但如果-K迭代没有给出最小值，它还可以通过用D矩阵尺度化M得到较好的结果。

（3）上下界的确定。

Fan(1991年)给出复数上界实际是最小化一个Hermitian矩阵的特征值问题。

Young和Doly(1990年)认为混合理论问题可看作是特征值的最大化问题，可以通过一个能量算法解决[16]。

2.4理论在实际中的应用
鲁棒控制是为了解决不确定控制系统的设计问题而产生的，为处理不确定性提供了有效的手段，并逐渐构筑起鲁棒控制理论的完整体系，促进了现代控制理论的发展，为控制系统提供了良好的理论依据和实用的设计方法。

但由于鲁棒控制系统的设计要由高级专家完成，
故其缺点在于一旦设计好这个控制器，它的参数可能就不易于改变。

相信鲁棒控制会在我们的生活中得到越来越多的应用和利用。

3.鲁棒控制中尚待解决的问题及研究的热点问题
鲁棒控制理论的标准问题无论在理论上还是在算法实现上都
已基本成熟，其难点在于指标的设定和权函数的选取。

不同对象、不同设计指标需要不同的权函数，但相互间并没有特定的规律可循，更多的是依赖于设计者的经验。

故基于经验的提取变成专家系统的规则，进而形成工程上可用的确定加权函数的软件包或专家系统软件，将是研究的一个方向。

目前，鲁棒控制已形成了一个方法多样、成果丰硕、内容广泛的格局，许多成果已在实际中得到了广泛的应用。

然而对于非线性系统由于问题本身的复杂性，其研究还只能算是起步的，大量问题还有待进一步探讨。

充分利用各种方法的特点，有机的结合其中几种方法较之用某一方法孤立的进行研究要有效的多，几种方法结合会为非线性鲁棒控制的研究开辟新的方向。

近年来发现，许多鲁棒控制问题均与线性不等式(LMI)密切相关，因此可将系统的鲁棒控制问题转化为LMI来求解。

因此基于LMI的凸优化方法成为当今研究的热点之一，且将来在这方面的研究成果会越来越多。

4.结束语
鲁棒控制是目前现代控制理论中重要的发展方向和前沿课题。

目
前，线性系统的鲁棒控制方法正在向非线性系统扩展。

另外，一些智能控制的方法也被引入到鲁棒控制系统中，用于鲁棒控制方法的实现，从而使控制系统设计趋于完善，符合实际需要。

参考文献
[1] Bode H W. Network analysis and Feedback Amplifier Design [J].
Princeton, NJ, 1945(1).
[2] Cruz J B, Perkins W R. A New Approach to the Sensitivity Problem in
Multivariable Feedback System Design [J]. IEEE Trans. Automat.
Contr. 1964，AC-9 (3): 216-223.
[3] DOYLE J C，GLOVER K，KHARGONEKAR P P. State-space
solutions to standard and control problems [C]. ACC’88，
Atlanta，1988
[4] Zames G. Feedback and optimal sensitivity: Model reference
transformations，multi-plicative seminorms and approximate inverses.
IEEE Trans AC，1981,26(4): 301-320.
[5] Doyle J C，K Glover，P P Khargonekar. State-space solutions to
standard and control prob lems. In: ACC’88. Atlanta，1988.
817-823.
[6] 吴敏，桂卫华.现代鲁棒控制[M]. 长沙：中国工业大学出版社，
1998.
[7] Van Der Schaft A J. l2-gain analysis of nonlinear system and
nonlinear state feedback control [J]. IEEE Transaction on Automatic Control，1992，37(6): 770-784.
[8] Shen T，Tamura K. Robust control of uncertain nonlinear system via
state feedback [J]. IEEE Transaction on Automatic Control，1995,40(4) : 766-768.
[9] He J B，Wang Q G，Lee T H. disturbance attenuation for state delayed
systems [J]. System & Control letters，1998,33:105-114.
[10] Doly J C，et al. State-space solution to standard and control problem
[J]. IEEE Trans Automat Control，1989，34(8):881-897.
[11]史忠科，吴方向，王蓓，阮洪.鲁棒控制理论[M].北京：国防工业
出版社 2003.
[12] MCF ARLANE O C，GLOVER K. A loop shaping design procedure
using synthesis [J]. IEEE Trans AC，1992,37(6): 759-769.
[13] Special Issue on Linear Multivariable Control Systems. IEEE
Transaction on Automatic Control，1981AC-26，621-623. [14] Desoer C A ，Vidyasagar M. Feedback System: Input-Output
Properties [M]. New York Academic Press，1975.
[15] Zames G. On the Input-Output Stability of Nonlinear Time-varing
Feedback System，parts I and II [J].
[16] Young P M，Doyle J C. Computation of with Real and Complex
Uncertainties Proc of the 29th IEEE Conf[J]. On Decision and
Control，1990，1230-1235。