一元高次方程求根公式

⎨ 1 2 一元高次方程求根公式

A 、一元二次方程求解

1. ax 2

+ bx + c = 0, a ≠ 0,⇒ x

B 、一元三次方程求解

2. x 3

+ ax 2

+ bx + c = 0

a

其中 a ,b ,c 是任意复数

③ 若令 x = y − ，则三次方程简化为 3 y 3

+ py + q = 0

④

a 3

ab

2a 3

其中 p = b − ， q = c − + ，

3 3 27

设 y 1 , y 2 , y 3 表示简化方程④的根，则据根与方程系数的关系，得 y 1 + y 2 + y 3 = 0 。

⎧u = −4 p 3 − 27q 2 ⎪⎧ = + 2 +

若令 ⎪ ， ⎨z 1 y 1 v y 2 vy 3 。 ⎪v = − ⎪z = y + vy + v 2 y ⎩ 2 ⎩ 2 1 2 3

对于适当确定的立方根，卡当公式是 z 1 z 2

⎧ y = 1 (z + z ) ⎪ 1 1 2 ⎧ y 1 + y 2 + y 3 = 0 ⎪

3 求解线性方程组 ⎪ y + v 2 y + vy = z ，得到 ⎪ y

1 −

2 −1

= (v z + v z ) ，

⎨ 1 2 3 1

⎨ 2 1 2

⎪ y + vy + v 2 y = z ⎪ 3 ⎩ 1 2 3 2

⎪ ⎪ y 3 ⎩

= 1

(v −1z + v −2 z ) 3

于是，原三次方程的三个根为 y 1

y = ω y = ω 2 3

q 2 p 3 1 其中 ∆ =

+ ，ω = − +（ i 。 4 27 2 C 、一元四次方程求解

3. x4＋b x3+cx2+d x+e＝0．

设方程为x4＋b x3+cx2+d x+e＝0．(4) 移项，得 x4＋b x3=-cx2-d x-e，

右边为 x 的二次三项式，若判别式为0，则可配成x 的完全平方．解

这个三次方程，设它的一个根为 y0，代入(5)，由于两边都是 x 的完全平方形式，取平方根，即得

解这两个关于 x 的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．

附：一元三次方程ax 3 +bx 2 +cx +d = 0的解法先把方程ax 3 +bx 2 +cx +d = 0化为x3 + px +q = 0的形式：

2 3 2 2 3 2

3 2 2 2 令 x = y − b

，则原式变成

3a

a ( y −

b ) 3 + b ( y − b ) 2 +

c ( y − b

) + d = 0

3a 3a 3a

a ( y 3

− by b 2 y + − b ) + b ( y 2

− 2by + b ) + c ( y − b ) + d = 0 a 3a 2 27a 3 3a 9a 2 3a

ay 3

− by 2

+ b y − b + by 2 − 2b y + b + cy − bc + d = 0 3a 27a 2 3a 9a 2 3a

ay 3

+ (c − b ) y + (d + 2b 3 − bc ) = 0 3a 27a 2 3a

y 3

+ ( c − b ) y + ( d + 2b 3 − bc

) = 0 a 3a 2 a 27a 3

3a 2

如此一来二次项就不見了，化成 y 3 + py + q = 0 ，其中 p = c b 2

− ，

a 3a 2

q = d + a 2b 3 27a 3 −

bc 。 3a 2

对方程 y 3 + py + q = 0 直接利用卡尔丹诺公式：

y 1

y 2 =

ω ω

2 ⋅ y

3 = ω ⋅

ω ⋅

其中ω = −1 + 3i 。

∆ = ( q ) 2 + ( p

)3 是根的判别式：Δ＞0 时，有一个实根两个虚根；Δ＝0 时，有

2 3

三个实根，且其中至少有两个根相等；Δ＜0 时，有三不等实根。

附：方程y 3 + py + q = 0（2）求根公式的推导过程：

，，

，两个共轭虚根，

“卡丹公式”的形式，这里的根式都是在实数意义下的。）若，即时，可求得，

方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。

，，

，

，

，且

取，，

则

显然，当且仅当取，；，；，

这三组时才满足，

于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：

其中

∴当时，方程（2）有三个实根。

综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，

，

1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，

2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，

，，

3）当时，方程有三个实根，

，

结论：

ω=(−1+3) / 2;ω= (−1−3) / 2。

1 2

一元四次方程求解