河北省高三模拟考试(理科)数学试卷-附答案解析

河北省高三模拟考试(理科)数学试卷-附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}22,1,A xx B y y x x A =-≤≤==+∈∣∣，则A B =（ ） A ．[]2,3-B ．[]1,2-C ．[]3,1-D ．3,22．已知()3i 4i z +=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（ ） A ．1310B ．110-C ．13i 10D ．1i 10-3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：22x y -=垂直，若右焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（ ） A ．221164x y -= B ．221416x y -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=4．已知α为锐角，且sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（ ）A B ．2CD 5．2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊破了全球观众，衡阳市某中学力了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（ ） A ．192B ．240C ．120D ．2886．《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ）AB CD7．已知0.4a =，0.4e 1b =-和ln1.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．c b a >>8．已知a ，b 是单位向量a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ）A 1BC 1D 2二、多选题9．设等差数列{an }的前n 项和为Sn .若S 3＝0，a 4＝8，则（ ） A ．Sn ＝2n 2－6n B ．Sn ＝n 2－3n C ．an ＝4n －8D ．an ＝2n10．已知,A B 分别为随机事件,A B 的对立事件()()0,0P A P B >>，则下列结论正确的是（ ） A ．()()1P A P A += B ．()()1P AB P A B +=∣∣C ．若,A B 互斥，则()()()P AB P A P B =D ．若,A B 独立，则()()P AB P A =∣ 11．已知正方体1111ABCD A BCD -的棱长为2，M ，N 分别是AB ，1CC 的中点，则（ ） A ．1AC MN ∥ B ．1B D MN ⊥C ．平面MND D ．三棱锥1B MND -的体积为312．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>.对于任意的,62ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在区间,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期小于6π B ．函数()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内不一定取到最大值 C ．52123ω<≤D ．函数()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内一定会取到最小值三、填空题13．已知向量()1,3a =-， (),2b m = 若()a ab ⊥+，则m =_______． 14．已知奇函数()f x 在[]0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()f x 有且仅有一个零点，则()f x 的函数解析式可以是()f x =___________.15．已知直线y x m =+截圆C ：2225x y +=所得弦长大于8，则实数m 的取值范围是________.四、双空题16．在处理多元不等式的最值时，则我们常用构造切线的方法来求解.例如：曲线2yx 在1x =处的切线方程为21y x =-，且221x x ≥-，若已知3m n t ++=，则2222121213m n t m n t ++-+-+-=≥，取等条件为1m n t ===，所以222m n t ++的最小值为3.已知函数()32612f x x x x =-+，若数列{}n a 满足2n a ≤，且121010a a a ++⋅⋅⋅+=，则数列(){}n f a 的前10项和的最大值为___________；若数列{}n b 满足0n b ≥，且12100180b b b ++⋅⋅⋅+=，则数列(){}n f b 的前100项和的最小值为___________.五、解答题17．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，且a =4sin (1cos ).=-B b A (1)求角A 的大小：(2)若sin 2sin C B =，求△ABC 的面积．18．在递增的等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若22415S S S =+和11a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若321log n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ADC ∠=︒平面PCD ⊥平面ABCD ，且PCD 是边长为4的等边三角形，O 为CD 的中点，点E 在线段AD 上.(1)若1DE=，求证：平面POE⊥平面PAD；--的余弦值.(2)若E为AD的中点，求二面角C PB E20．2022年11月21日，我国迄今水下考古发现的体量最大的木质沉船长江口二号古船，在长江口横沙水域成功整体打捞出水，上海市文物局会同交通运输部上海打捞局，集成先进的打捞工艺、技术路线、设备制造，最终研究并形成了世界首创的“弧形梁非接触文物整体迁移技术”来打捞这艘古船.这是全新的打捞解决方案，创造性地融合了核电弧形梁加工工艺、隧道盾构掘进工艺、沉管隧道对接工艺，并运用液压同步提升技术，综合监控系统等先进的高新技术.这些技术也是首次应用于文物保护和考古领域.近年来，随着科学技术的发展，越来越多的古迹具备了发掘的条件，然而相关考古专业人才却严重不足.某调查机构为了解高三学生在志愿填报时对考古专业的态度，在某中学高三年级的1200名男生和800名女生中按比例分配的分层，随机抽取20名学生进行了调查，调查结果如下表：α=的独立性检验判断是否可以认为该校学生填报志愿时“是否填报(1)完成列联表，并依据小概率值0.05考古专业”与性别有关联？(2)从抽出的男生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名男生中“第一志愿填报考古专业”和“非第一志愿填报考古专业”人数差的绝对值，求X 的数学期望. 附：22()()()()()()a b c d ad bc a b c d a c b d χ+++-=++++.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴一个端点到右焦点F 的距离为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，交y 轴于P 点，设12,PA AF PB BF λλ==，试判断12λλ+是否为定值？请说明理由.22．已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()'()(2)(0)g x f x ax a x a =+-+>，试研究函数()g x 的极值情况； （2）记函数()()x xF x f x e =-在区间(1,2)内的零点为0x ，记()min (),x x m x f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不等实根1212,()x x x x <，证明：1202x x x +>.参考答案与解析1．B【分析】根据给定条件，求出集合B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】因为{}22A xx =-≤≤∣和{}{}1,13B y y x x A y y ==+∈=-≤≤∣∣ 所以[]1,2A B ⋂=-． 故选：B. 2．B【分析】将复数化简即可.【详解】()()()()4i 3i 4i 13i3i 3i 3i 1010z +-+-===+++- 则则z 的虚部是110- 故选：B. 3．A【分析】先求得双曲线C 的渐近线方程，根据其与直线l 垂直，可得a ，b 的关系，根据点到直线的距离公式，可求得b 值，即可得a 值，进而可得答案. 【详解】根据题意得：双曲线C 的渐近线方程为b y x a=±因为其一条渐近线与直线l ：22x y -=垂直，所以21b a-⨯=- 解得12b a =，即a =2b 又右焦点到渐近线的距离为22=，解得b =2，则a =4所以双曲线的方程为221164x y -= 故选：A ． 4．B【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值【详解】因为sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11sin cos 22αααα=-所以))1cos 1sin αα=，所以tan 2α==故选：B 5．A【分析】先用捆绑法得到，只有“立春”和“惊蛰”相邻的情况，再减去“清明”和“惊蛰”相邻的情况即可.【详解】由题，只考虑“立春”和“惊蛰”时，则利用捆绑法得到2525240A A =当“立春”和“惊蛰”和“清明”均相邻时，则只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起即44248A =所以最终满足题意的排法为240-48=192. 故选：A6．B【分析】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，由已知周长求得r 和R ，代入圆台的侧面积公式，即可求解.【详解】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R 可得22,23r R ππ==，可得13,2r R ππ==又由圆台的高为1丈，可得圆台的母线长为l =所以圆台的侧面积为13()(2)S R r l ππππ=+⋅=⨯+=故选：B. 7．C【分析】构造()e 1xf x x =--，()ln(1)g x x x =-+求导，结合函数单调性分析，即可判断.【详解】令()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-令()0f x '>，有0x >，令()0f x '<，有0x < 故函数()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减 故(0.4)(0)0f f >=，即0.4e 10.4->，b a > 令()ln(1)g x x x =-+，则1()111x g x x x==+'-+ 令()0g x '>，有0x >，令()0g x '<，有10x -<< 故函数()g x 在(0,)+∞单调递增，在(1,0)-单调递减 故(0.4)(0)0g g >=，即0.4ln1.4> a c > 综上：b a c >>. 故选：C 8．C【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=∴可设()10a =，，()01b =，与()c x y ，=． ∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1． ∴c的最大值11==． 故选C ．【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键． 9．AC【分析】根据已知条件求得1,a d ，由此求得,n n a S ，从而确定正确选项【详解】依题意3408S a =⎧⎨=⎩1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩ 所以2148,262nn n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选：AC 10．ABD【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断即可． 【详解】选项A 中：由对立事件定义可知()()1P A P A +=,选项A 正确； 选项B 中：()()()()()1()()P AB P AB P B P A B P A B P B P B ++=== 选项B 正确；选项C 中：A ，B 互斥()0P AB =，()()0,0P A P B >>,()()()P AB P A P B ≠故选项C 错误； 选项D 中：A ，B 独立，则()()()P AB P A P B =则()()()()P AB P A B P A P B ==,故选项D 正确. 故选：ABD. 11．BC【分析】建立坐标系，利用空间向量坐标的关系判定A,B 选项的正误，把截面作出来，根据截面形状可求周长，利用等体积进行转化可求三棱锥1B MND -的体积.【详解】如图，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系 则()()()()()()112,0,0,0,2,2,2,1,0,0,2,1,0,0,0,2,2,2A C M N D B ;()()12,2,2,2,1,1AC MN =-=-,()12,2,2DB =;因为2221-≠-，所以1AC 与MN 不平行，A 不正确； 因为()12221210DB MN ⋅=⨯-+⨯+⨯=，所以1B D MN ⊥，B 正确；如图，取1BB 的中点P ,取BP 的中点Q ，连接,,AP MQ NQ 由正方体的性质可知//AP DN ；因为,M Q 分别为,AB BP 的中点，所以//AP MQ ，所以//DN MQ ； 平面MND 截正方体所得截面为梯形DMQN因为正方体的棱长为2，所以DM DN MQ ====QN =所以平面MND C 正确；由上面分析可知//DN MQ ，DN ⊂平面1B DN ，MQ ⊄平面1B DN所以//MQ 平面1B DN ，即点M 到平面1B DN 的距离等于点Q 到平面1B DN 的距离； 1111B MND M B ND Q B ND D B NQ V V V V ----===而1111132213322D B NQ B NQ V S DC -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以三棱锥1B MND -的体积为1，D 不正确.故选：BC. 12．AD【分析】先根据()f x 在区间,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少能取到两次最大值可得6T π<，据此可得12ω>，从而可得判断AB 的正误，再根据x ωϕ+的范围可得判断CD 的正误，注意ω范围的进一步探究. 【详解】由题意可知4126T πππ<-=，即A 正确；因为26T ππω=<，所以12ω>则当0,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则,12x πωϕϕωϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭又62ππϕ<<71266ππωϕππ+>+= 所以函数()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上一定有最大值点，即B 错误； 由题意可知，任意,62ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，总存在Z k ∈，使得：24232122k k ππωϕπππωϕπ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩，故2462321222k k πππωππππωπ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩ 整理得4824243k k ω+-≤≤可得2k ≥，4528233ω⨯+=≥即C 错误；当0,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则,12x πωϕϕωϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭又因为62ππϕ<<，523ω>故52132931212396182πππππωϕϕπ+⨯+>+=>≥所以函数()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上一定有最小值点，即D 正确. 故选：AD.【点睛】思路点睛：对于含参数的正弦型函数问题，注意根据最值的特征合理刻画函数的性质，从而得到参数的取值范围内，此类问题，整体法是处理此类问题的基本策略. 13．4-【分析】可求出 (11)a b m ，+=+-，根据 ()a a b ⊥+即可得出()0a a b ⋅+=，进行数量积的坐标运算即可求出m 的值．【详解】由题意得(11)a b m ，+=+- ∵()a a b ⊥+) ∴()130a a b m ⋅+=++= ∴4m =- 故答案为-4．【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算，属于基础题.14．(),[1,1]1,(,1)(1,)x x f x x x∞∞∈-⎧⎪=⎨∈--⋃+⎪⎩（答案不唯一）【分析】根据已知直接可得出.【详解】由题意可知，()f x 仅有一个零点0x =，结合单调性，可知(),[1,1]1,(,1)(1,)x x f x x x ∞∞∈-⎧⎪=⎨∈--⋃+⎪⎩.故答案为：(),[1,1]1,(,1)(1,)x x f x x x∞∞∈-⎧⎪=⎨∈--⋃+⎪⎩（答案不唯一）.15．(-【分析】由题意可得弦心距3d =≤3，由此求得m 的取值范围.【详解】圆C ：2225x y +=的圆心()0,0，半径=5r ，弦长大于8故弦心距3d =<3<，解得m -<所以实数m 的取值范围是(-故答案为：(- 16． 70 540【分析】①先求导数，求出1x =处的切线方程，结合()()342f x x x +≤≤，即可求出(){}n f a 的前10项和的最大值；②求出3x =处的切线方程为3y x =，结合()()30f x x x ≥≥，即可求出(){}n f b 的前100项和的最小值.【详解】()22312123(2)f x x x x '=-+=-，则()f x 在(),-∞+∞上单增，图像如下所示：①易知()17f =，()13f '=所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为34y x =+，结合图像易知()()342f x x x +≤≤，所以()34n n f a a +≤所以()()()()1210121034070f a f a f a a a a +++++++=≤，当且仅当12101a a a ====时，则等号成立；②曲线()y f x =在0x x =处的切线为()()23200000031212612y x x x x x x x =-+-+-+，因为0n b ≥，则令此切线过原点，解得03x =或00x =所以曲线()y f x =在3x =处的切线方程为3y x =，结合图像易知()()30f x x x ≥≥，所以()()()()12100121003540f b f b f b b b b ++++++=≥当且仅当0n b =或3n b =时，则等号成立，取12603b b b ====，61621000b b b ====即{}n b 的前100项中有60项为3，40项为0时，则等号成立. 故答案为：70；540. 17．(1)π3A =(2)【分析】（1）根据正弦定理边角互化得sin A A =πsin 3A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可求解.（2）根据正弦定理边角互化得2c b =，由余弦定理可得4b =，8c =进而根据面积公式即可求解. 【详解】（1）根据题意()4sin 1cos B b A =-，得4sin 1cos BA b=- 由正弦定理可得4sin cos 1AA a+=cos 1A =得1πsin 2sin sin 23A A A A A ⎛⎫⎛⎫==⇒+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()0,πA ∈，所以ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π2π=33A +，所以π3A =. （2）由sin 2sin C B =，得2c b =，又π,3A a ==由余弦定理可得222222242348,a b c bc b b b b =+-=+-==解得4b =和8c =所以1sin 2ABCSbc A ==18．(1)123n n a -=(2)(1)2n n n T -=【分析】小问1：由22415S S S =+得424S S =，化为()34123a a a a +=+，从而求得公比，即可求通项公式；小问2：利用{}n a 的通项公式求得1n b n =-，根据等差求和公式即可求解． (1)设等比数列{}n a 的公比为q ，由22415S S S =+得424S S =．∴()34123a a a a +=+，即()()212123a a q a a +⋅=+，∴23q =.依题意，可知q =∴11213n n n a a q --=⋅=．(2)由（1）可得1213n n a --=，∴321log 1n n b a n -==-故(1)01212n n n T n -=++++-=． 19．(1)证明见解析【分析】（1）先利用余弦定理可得到OE =故DE OE ⊥，利用线面垂直的判定定理证明DE ⊥平面POE 即可；（2）以O 为原点，,,OD OA OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，根据空间向量的坐标运算以及二面角的计算公式，即可得到结果.【详解】（1）因为PCD 是边长为4的等边三角形，O 为CD 的中点 所以122DO DC == PO CD ⊥ 因为60ODE ∠=︒ 1DE =所以在ODE 中 OE =所以222,DO DE OE =+即DE OE ⊥因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO CD ⊥且PO ⊂平面,PCD 所以PO ⊥平面ABCD ，因为DE ⊂平面ABCD ，所以PO DE ⊥ 因为PO OE O =，,PO OE ⊂平面POE ，所以DE ⊥平面POE 因为DE ⊂平面PAD ，所以平面POE ⊥平面PAD（2）连接,OA AC ，易得ADC △是等边三角形，且O 是CD 的中点，所以OA CD ⊥以O 为原点，,,OD OA OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -则()()(()()()()0,0,0,2,0,0,,,,2,0,0,,O C P B A D E -- 则()()2,0,23,2,,CP CB ==-()()1,3,23,5,,EP EB =--=- 设平面CPB 的法向量()111,,x n y z =，则11112020n CP x n CB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取1x 111,1y z ==-，∴(3,1,1)n =-设平面PBE 的法向量()222,,m x y z =，则22222050m EP x m EB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取25y =，则223x z =，∴()3,5,3m =设二面角C PB E --为θ，由图可得二面角C PB E --为锐角3cos cos ,5m n m n m nθ⋅+∴=<>===⨯故二面角C PB E --20．(1)列联表见解析，是 (2)47()44E X =【分析】（1）根据抽取比例计算样本中男女生填报人数，完成列联表，代入公式计算2χ，与3.841比较，下结论；（2）由题得X 的可能取值为0，1，2，3，分别计算其概率，列出分布列，计算期望.【详解】（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为12,n n ，则122012001220002080082000n n ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩所以12525,8107x y =--==--=. 列联表如下：零假设为0H ：“是否填报考古专业”与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到220.0520(5177) 4.201 3.841128812x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯. 根据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为“是否填报考古专业”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）X 的可能取值为0，1，2，331115552312C C C C 60(0)C 220P X +===； 1221212152525255312C C C C C C C C 95(1)C 220P X +++===； 12125255312C C C C 55(2)C 220P X +===； 35312C 10(3)C 220P X ===.所以6095551047()012322022022022044E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．(1)22143x y += (2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据已知条件短轴一个端点到右焦点F 的距离为长半轴，再利用离心率公式即可求解. （2）根据已知条件设出直线l 的方程，与椭圆方程联立方程组，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得出交点横坐标的关系，结合向量的关系得出坐标的关系即可求解. 【详解】（1）由题可得,2a ，又1,12c e c a ==∴= 所以22222213b a c =-=-=所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由题可得直线斜率存在，由（1）知()1,0,F 设直线l 的方程为()1y k x =-，则()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y ，整理得：()22223484120k x k x k +-+-=设()()1122,,,A x y B x y ，则2122834k x x k +=+ 212241234k x x k-=+ 又()()1,0,0,F P k -，则()()1111,,1,PA x y k AF x y =+=--，由1PA AF λ=可得()1111x x λ=-，所以1111x x λ=-. 同理可得2221x x λ=-，. 所以()()()121212121212121212122211111x x x x x x x x x x x x x x x x x x λλ+-+-+=+==-----++ 2222222284122834348412313434k k k k k k k k --⨯++==---+++ 所以，12λλ+为定值83-.22．（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由()()22ln 1g x ax a x x =-+++求出()()()211'x ax g x x--=，分别讨论1a与12的关系，从而求出()'0g x >，()'0g x <时x 的范围，可得函数()g x 的增减区间，根据单调性可得函数()g x 的极值情况；（2）先证明()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增，根据零点存在性定理，存在()01,2x ∈，使得()()00000x x F x f x e =-=，可得以()00,1,xxlnx x x m x x x x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，要证1202x x x +>，只需证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<，记()00022ln ,1x x x xh x x x x x e --=-<<，其中()00h x =，利用导数可证明()h x 单调递增，故当01x x <<时，则()()00h x h x <=，即可得01011122ln x x x x x x e --<，进而可得结果.【详解】解：（1）由题意，得()'ln 1f x x =+故()()22ln 1g x ax a x x =-+++故()()()()2111'22x ax g x ax a x x--=-++= 0,0x a >>.令()'0g x =，得1211,2x x a==①当02a <<时，则112a > ()1'002g x x >⇐<<或1x a>； ()11'02g x x a<⇐<< 所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；所以()g x 在12x =处取极大值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在1x a =处取极小值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.②当2a =时，则112a =，()'0g x ≥恒成立，所以不存在极值； ③当2a >时，则112a <，()1'00g x x a >⇐<<或12x >；()11'02g x x a <⇐<< 所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；所以()g x 在1x a =处取极大值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在12x =处取极小值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.综上，当02a <<时，则()g x 在12x =处取极大值ln24a--，在1x a =处取极小值1ln a a --；当2a =时，则不存在极值；2a >时，则()g x 在1x a=处取极大值1ln a a --，在12x =处取极小值ln24a--.（2）()ln xxF x x x e =-，定义域为()0,x ∈+∞ ()1'1ln xx F x x e -=++，而()1,2x ∈ 故()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增又()110F e=-< ()2222ln20F e =->且()F x 在区间()1,2内的图象连续不断故根据零点存在性定理，有()F x 在区间()1,2内有且仅有唯一零点. 所以存在()01,2x ∈，使得()()0000x x F x f x e =-= 且当01x x <<时，则()xx f x e <； 当0x x >时，则()xxf x e >所以()00,1,xxlnx x x m x x x x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当01x x <<时，则()ln m x x x = 由()'1ln 0m x x =+>得()m x 单调递增； 当0x x >时，则()xxm x e = 由()1'0xxm x e -=<得()m x 单调递减； 若()m x n =在区间()1,+∞内有两个不等实根12,x x （12x x <） 则()()10201,,,x x x x ∈∈+∞. 要证1202x x x +>，即证2012x x x >-又0102x x x ->，而()m x 在区间()0,x +∞内单调递减 故可证()()2012m x m x x <- 又由()()12m x m x = 即证()()1012m x m x x <- 即01011122ln x x x x x x e --<记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e --=-<<，其中()00h x = 记()t t t e φ=，则()1'ttt e φ-=当()0,1t ∈时，则()'0t φ>；当()1,t ∈+∞时，则()'0t φ< 故()max 1t eφ=而()0t φ>，故()10t eφ<<而021x x ->所以002210x x x x e e---<-<因此()00022211'1ln 10x xx xx x h x x e e e---=++->-> 即()h x 单调递增，故当01x x <<时，则()()00h x h x <= 即01011122ln x x x x x x e --<，故1202x x x +>，得证. 【点睛】本题考查分类讨论求函数的极值以及零点偏移证明不等式. 方法点睛：（1）根据零点判断两根的范围；（2）由证明的结果逆推关系式，一般为要想证明1202x x x +>，只需证2012x x x >-，再根据12,x x 的范围以及函数的单调性寻找要证明的关系式；（3）根据同为零点的关系替换()()21m x m x =，即转化为证明()()1012m x m x x <-； （4）对函数求导，求单调性证明即可.。