高数期末复习题 第八章 空间解析几何与向量代数

第八章

一、填空题

8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .

8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ，则同时垂直于b a ,的单位向量为)1,1,1(3

1--±

. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3(　则：　且　b a c b a 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .

8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面

平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .

8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为

1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是1

2241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是

14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==0

2y z x . 二、选择题

8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）

A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。 8.2.2.2、设A

B 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （

C ）

A ．αcos A

B ； B. αsin AB ； C. α ； D. α.

8.2.3.2、两个非零向量b a 与互相垂直，则 （ B ）

A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ；

C ．充分不必要条件是0=⋅b a ； D. 充分必要条件是0=⨯b a

.

8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a = , ),,(z y x b b b b = 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）

A. b a //；

B. λλ(b a =为非零常数) ；

C. b a ⊥ ；

D. 0 =+b a .

8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）

A ．平行xoy 面；

B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.

8.2.6.2、过点1

31111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；

C. 3=-+z y x ；

D. 0=-+z y x .

8.2.7.2、直线3

7423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.

8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）

A ．369)4222=-+y z x （

； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .

8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）

A ．2

222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2

222z R z y z a ； C. 2

222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++1

3694222y z y x 表示 （ B ）

A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；

C. 椭圆柱面；

D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.

三、计算题

8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a 和，求这个平面。

解：所求平面平行于向量b a ,，可取平面的法向量

)3,1,1(0

11112-=-=⨯=k j i b a n ， …. 4（分） 故所求平面为0)1(3)0()1(=+--+-z y x ，即 043=--+z y x …. 3（分）

8.3.2.2、求通过z 轴和点)2,1,3(--的平面方程。

解：由已知，设所求平面方程为0=+By Ax …. 2（分）

将点带入得：A B B A 3,03==+-即 …. 2（分） 带入所设方程得：03=+Ay Ax 即 03=+y x …. 3（分）

8.3.3.2、求平面0522=++-z y x 与xoy 面夹角的余弦。

解：平面的法向量为)1,2,2(-=n

， …. 2（分）

又xoy 面的法向量为)1,0,0(=k …. 2（分） 则两向量夹角余弦，既平面与xoy 面夹角的余弦为31cos =γ …. 3（分）

8.3.4.3、用对称式方程表示直线⎩

⎨

⎧=++=+-421z y x z y x 。 解：由题意可知直线的方向向量为)3,1,2(112111-=-=k j i s …. 3（分） 取25,230===z y x 代入得，.即直线经过的点)2

5,23,0(， …. 2（分） 故直线的对称式方程为 3251232-=-=-z y x . …. 2（分） 8.3.5.3、求过点)3,0,2(-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-0

12530742z y x z y x 垂直的直线方程。 解：由题意，所求平面的法向量可取已知直线的方程的方向向量，即