矩阵在初中数学的应用

矩阵在初中数学的应用

在初中阶段解方程组是最基础的知识，对于简单的二元一次方程组来说比较容易求出解，可是对于三元、四元的方程来说就有一定的难度了。那么如何解决这一难题呢？我们可以借助于矩阵来解决。

一次方程组也叫线性方程组，是最简单也是最重要的一类代数方程组。一次方程组的解法早在中国古代的数学名著《九章算术》方程章中已经作了比较完整的论述。所用的方法本质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换消去未知数的方法。

1、二元一次方程组的解法

消元法包括代入消元法与加减消元法

代入消元法就是从方程组中的某一个方程解出一个未知数（用含有其他未知数的代数式表示），再将这个未知数的表达式代入这个方程组的其他方程中，在其他方程中消去这个未知数。

加减消元法就是将方程组的一些方程分别乘适当的数，使得某一个未知数的系数相加减等于0，然后将这些方程相加减，消去这个未知数。下面我们以一般的方程为例。

（1）代入消元法

111222

(1)(2)x a b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 当10b ≠时，有方程（1）解出111

(3)c a x y b -= 此时方程组与下列方程组同解：

111222

(3)(2)c a x y b a x b y c -⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 方程（3）要代入（2）消去未知数y

112221

c a x a x b y c b -+== （4） 有方程（4）解出x ，再将x 的值代入方程（3）求出y 的值，也可以将x 的值代入方程（2）求出y 的值

（2）加减消元法

111222

(1)(2)a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 将两个方程各乘适当的数，使未知数y 或x 的系数相同或互为相反数，经相加或相减后消去未知数y 或x ，得出一元一次方程 33a x c = （3）

此时，原方程组与下列方程组中有同解：

1113

3(1)(3)a x b y c a x c +=⎧⎨=⎩ 因此，有方程（3）解出x 的值后，将x 的值代入方程（1）求出y 的值。

2、三元一次方程组的解法及四元一次方程的解法

如果利用上面的两种方法来做也是可以完成的，但就是非常的麻烦，我们利用矩阵的知识来完成。

给定的方程组111122223

333(1)(2)(3)a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 系数的行列式

1

112

22123231312321213132333

0a b c D a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ==++---≠方程组有唯一的解

x y Z D x D D y D D Z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩

其中，11

122

23

33x d b c D d b c d b c = 111222333y a d c D a d c a d c = 1

112

22333z a d d D a d d a d d =

下面以一例题为例具体的说一说用矩阵的解法:

231427

3211x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩

系数的行列式：

123

2114

312

D ==- 1423

7114

1112

x D ==- 1143

2718

3112

y D ==- 1214

21712

3111

z D ==- 12

3x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩

四元一次方程组我就不举例了跟解三元一次方程组的方法一样，依次方法我们还可以解五元、六元等方程组