八年级数学勾股定理与弦图含答案

勾股定理与弦图

课前预习

华盛顿的傍晚

亲爱的小朋友们：

“在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。具体方法如下：

两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，

则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即

（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2

（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2

化简整理得a2＋b2＝c2

点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．

而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？

在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直

角边的平方和等于斜边的平方。公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.

得成三、四、五．

三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．

汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦．

句股各自乘，并，而开方除之，即弦． 勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

()22222142.

ABCD S a b c ab

a b c =+=+⨯∴+=正方形

（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

_ D

_ C

_ B _ A

()2

2222142.

S c a b ab

a b c =-+⨯∴+=正方形EFGH

G

F

E

H

（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

2()()11

2222

ABCD a b a b S ab c ++=

=⨯+梯形

222.a b c ∴+=

知识框架

勾股定理:直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。

勾股定理实际上包含两方面的内容：

○

1如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方； ② 如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形． 勾股数：

满足a 2

+b 2

=c 2

的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 弦图：

重难点

1.会用勾股定理解决简单问题。

2.会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形

G

F

E

H

C

A

B

c

b

a

3.勾股定理与弦图的联系与应用

例题精讲

【例1】五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

15

24

25

207

15

2024

25

157

25

20

24

25

7

20

2415

(A)(B)(C)(D)

A B C D

【考点】勾股定理 【难度】☆ 【题型】选择

【解析】根据勾股定理：直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方，25²=7²+24²，24²≠20²+15²，所以A 、B 错；25²=15²+20²，所以C 正确；25²≠7²+20²，25²不等于15²+24²，D 错。 【答案】C

【巩固】如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )

A. 7,24,25

B. 3

12,412,512 C. 3,4,5 D. 4,712,81

2

【考点】勾股定理 【难度】☆ 【题型】选择 【解析】因为（312）²+（412）²≠（512

）²，所以C 错误 【答案】C

【例2】已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时

的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_________ A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40海里

【考点】勾股定理 【难度】☆☆ 【题型】选择

【解析】

从港口A 出发向东北方向航行的轮船2小时航行16×2=32海里，从港口A 出发向东南方向航行的轮船2小时航行12×2=24海里，两艘轮船航行路线成90度角，求两船的距离即为求以24、32为直角边构成的直角三角形的斜边；这组数为常用勾股数：3、4、5的8倍，所以斜边即两船相距应为5×8=40海里 【答案】D

【巩固】一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.

北

南

A

东