八年级数学勾股定理与弦图含答案

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人教版八年级下册第17章勾股定理考点和答案

勾股定理考点及答案1701 勾股定理一．选择题（共4 小题）〖案例分析〗如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°．ED 是BC 的垂直平分线，BD 平分∠ABC，AD＝〖课后巩固〗则CD 的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3〖课堂练习〗如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D，若AC＝2，BC＝，则CD 为（）A．B．2 C．D．3〖课后巩固〗如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AE 为△ABC 的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（）A．2 B．3 C．4 D．5〖考前再练〗在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC 的长是（）A．3 B．4 C．3 或D．一．解答题（共 4 小题）1702 勾股定理的证明〖案例分析〗如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形 IECF 中，IE ＝EC ＝CF ＝FI ＝ x（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得 BD ＝BE ＝a ﹣x ，AD ＝AF ＝b ﹣x因为 AB ＝BD +AD ，所以 a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得 x ＝（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用 S △ABC ＝S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到 x 与 a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．〖课堂练习〗阅读理解：【问题情境】教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4 个直角三角形的面积从而得数学等式：；（用含字母 a 、b 、c 的式子表示）化简证得勾股定理：a 2+b 2＝c 2 【初步运用】（1）如图 1，若 b ＝2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1 中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6 此时空白部分的面积为；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3 的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c 之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．〖课后巩固〗（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3 世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常要的结论：在直角三角形中两直角边a、b 与斜边c 满足关系式a2+b2＝c〖课堂练习〗称为勾股定理．证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝∴＝c2∴．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程，（3）如图3 所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线证明结论a2+b2＝c〖课堂练习〗〖考前再练〗阅读材料，并完成相应任务．2000 多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现．下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形：证明：①在图1 中，∵S 大正方形＝（a+b）2，S 大正方形＝4 个直角三角形的面积+两个正方形的面积＝4×+ + ．②在图2 中，∵S 大正方形＝（a+b）2，S 大正方形＝4 个直角三角形的面积+正方形的面积＝4×+ ．∴4×+ + ＝4×+．整理得：2ab+a2+b2＝2ab+c2∴．任务：（1）将材料中的空缺部分补充完整；（2）如图3，在△ABC 中，∠A＝60°，∠ACB＝75°，CD⊥AB，AC＝4，求BC 的长．1703 勾股定理的逆定理一．解答题（共4 小题）〖案例分析〗如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，连接AC．（1）求AC 的长度．（2）求证△ACD 是直角三角形．（3）求四边形ABCD 的面积？〖课堂练习〗在四边形ABCD 中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四边形ABCD 的面积．〖课后巩固〗如图所示，四边形ABCD，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，AD ＝13cm．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD 的面积．〖考前再练〗如图，每个小正方形的边长都为 1（1）求四边形 ABCD 的周长；（2）求∠BCD 的大小．一．选择题（共 4 小题）1704 勾股数〖案例分析〗下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．2，4，5D ．5，12，13〖课堂练习〗下列各组数为勾股数的是（）A ．7，12，13B ．3，4，7C ．0.3，0.4，0.5D ．8，15，17〖课后巩固〗下列各组数中，为勾股数的是（）A ．1，2，3B ．3，4，5C ．1.5，2，2.5D ．5，10，12〖考前再练〗下列各组数中，是勾股数的是（）A ．1，2，3B ．0.3，0.4，0.5C ．，，D ．7，24，251705 勾股定理的应用一．解答题（共4 小题）〖案例分析〗如图，某校有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种草皮，经测量∠B ＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，求这块场地的面积．〖课堂练习〗一块土地的形状如图所示，∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，AD ＝24m，求这块地的面积．〖课后巩固〗如图，一架2.5m 长的梯子AB 斜靠在墙AC 上，梯子的顶端A 离地面的高度为2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米？〖考前再练〗如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD 上的点B 处，且BC ＝5m，它们都要到池塘A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C 再沿CA 走到离树24m 处的池塘A 处，另一只猴子乙先爬到树顶D 处后再沿缆绳DA 线段滑到A 处．已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m，设BD 为xm．（1）请用含有x 的整式表示线段AD 的长为m；（2）求这棵树高有多少米？参考答案1701 勾股定理参考答案与试题解析一．选择题（共4 小题）〖案例分析〗如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°．ED 是BC 的垂直平分线，BD 平分∠ABC，AD＝〖课后巩固〗则CD 的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC＝∠ABD，∵ED 是BC 的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠C＝∠CBD，∵∠A＝90°，∴∠C+∠ABC＝90°，∴∠C＝30°；∵∠C＝∠ABD＝∠CBD＝30°，∠A＝90°，AD＝3，∴CD＝BD＝2AD＝6，故选：A．〖课堂练习〗如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D，若AC＝2，BC＝，则CD 为（）A．B．2 C．D．3【解答】解：在Rt△ABC 中，AC＝2 ，BC＝，根据勾股定理得：AB＝＝3 ，∵△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，＝AC•BC＝AB•CD，即AC•BC＝AB•CD，∴S△ABC∴CD＝＝2，故选：B．〖课后巩固〗如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AE 为△ABC 的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵AE 为△ABC 的角平分线，ED⊥AB，∴AD＝AC＝6，∴BD＝10﹣6＝4，故选：C．〖考前再练〗在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC 的长是（）A．3 B．4 C．3 或D．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝＝，故选：D．1702 勾股定理的证明参考答案与试题解析一．解答题（共4 小题）〖案例分析〗如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF 中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC 可以得到x 与a、b、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．【解答】解：（2）因为S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC＝cx+ ax+ bx所以x＝．答：x 与a、b、c 的关系为x＝．（3）根据（1）和（2）得：x＝＝．即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）化简得a2+b2＝c2．〖课堂练习〗阅读理解：【问题情境】教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4 个直角三角形的面积从而得数学等式：；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2＝c2【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝5：9 ；（2）现将图1 中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6 此时空白部分的面积为28 ；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3 的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c 之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．【解答】解：[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4× ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c＝a，∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，（a+b）2＝c2+4×ab4× ab +（b ﹣a ）2，4× ab +（b ﹣a ）2 故故答案为 5：9．（2）空白部分的面积为＝52﹣2× ×4×6＝28．故答案为 28．[迁移运用]结论：a 2+b 2﹣ab ＝c 2．理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积可得：（a +b ）×k （a +b ）＝3× ×b ×ka + ×c ×ck ， ∴（a +b ）2＝3ab +c 2 ∴a 2+b 2﹣ab ＝c 2．〖课后巩固〗（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元 3 世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图 1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常要的结论：在直角三角形中两直角边 a 、b 与斜边 c 满足关系式 a 2+b 2＝c 2．称为勾股定理．证明：∵大正方形面积表示为 S ＝c 2，又可表示为 S ＝∴ ＝c 2∴ a 2+b 2＝c 2 ．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图 2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程，（3）如图 3 所示，∠ABC ＝∠ACE ＝90°，请你添加适当的辅助线证明结论 a 2+b 2＝c 2．【解答】（1）证明：∵大正方形面积表示为 S ＝c 2，又可表示为 S ＝4×ab+（b ﹣a ）2， ∴4× ab +（b ﹣a ）2＝c 2．∴2ab+b2﹣2ab+a2＝c2，∴a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：4×ab+（b﹣a）2，4×ab+（b﹣a）2，a2+b2＝c2；（2）证明：由图得，大正方形面积＝×ab×4+c2＝（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，即a2+b2＝c2；（3）解：如图3，过A 作AF⊥AB，过E 作EF⊥AF 于F，交BC 的延长线于D，则四边形ABDF 是矩形，∵△ACE 是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB+∠ECD，∵∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，S矩形ABDF＝b（a+b）＝2×ab+c2+（b﹣a）（a+b），∴a2+b2＝c2．〖考前再练〗阅读材料，并完成相应任务．2000 多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现．下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形：证明：①在图1 中，∵S 大正方形＝（a+b）2，S 大正方形＝4 个直角三角形的面积+两个正方形的面积＝4×ab + a2 + b2 ．②在图2 中，∵S 大正方形＝（a+b）2，S 大正方形＝4 个直角三角形的面积+正方形的面积＝4×ab + c2 ．∴4×ab + a2 + b2 ＝4×ab + c2．整理得：2ab+a2+b2＝2ab+c2∴a2+b2＝c2．任务：（1）将材料中的空缺部分补充完整；（2）如图3，在△ABC 中，∠A＝60°，∠ACB＝75°，CD⊥AB，AC＝4，求BC 的长．【解答】解：（1）①，②，，，a2+b2＝c2故答案为：①，②，，，a2+b2＝c2；（2）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°，∵AC＝4，∴AD＝2，在Rt△ACD 中，CD＝，又∵∠ACB＝75°，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝45°，∴∠B＝45°，∴BD＝CD＝，在Rt△BCD 中，BC＝．1703 勾股定理的逆定理参考答案与试题解析一．解答题（共4 小题）〖案例分析〗如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，连接AC．（1）求AC 的长度．（2）求证△ACD 是直角三角形．（3）求四边形ABCD 的面积？【解答】（1）解：在直角△ABC 中，AC 为斜边，且AB＝BC＝2，则AC＝＝＝2 ．（2）证明：∵AD＝1，CD＝3，AC＝2∴AC2+AD2＝CD2，即△ACD 为直角三角形，且∠DAC＝90°，（3）解：四边形ABCD 的面积＝S+S△ACD＝AB×BC+ AD×AC＝×2×2+ ×△ABC××1×2 ＝2+ ．答：四边形ABCD 的面积为2+ ．〖课堂练习〗在四边形ABCD 中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四边形ABCD 的面积．【解答】解：在Rt△ACD 中，AC＝＝＝5cm，在△ABC 中，∵AB2+BC2＝9+16＝25，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC 是直角三角形，∴四边形ABCD 的面积＝AB•BC+ AC•CD＝×3×4+ ×5×12＝36cm2．〖课后巩固〗如图所示，四边形ABCD，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，AD ＝13cm．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：∵在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，∴由勾股定理得：AC＝＝5cm，∵CD＝12cm，AD＝13cm，∴AC2+DC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴AC⊥CD；（2）解：S四边形ABCD+S△ACD＝S△ABC＝+＝3cm×4cm+ 12cm＝36cm2，即四边形ABCD 的面积式36cm2．〖考前再练〗如图，每个小正方形的边长都为1（1）求四边形ABCD 的周长；（2）求∠BCD 的大小．【解答】解：（1）由勾股定理得：DC＝＝，BC＝＝2，AD＝＝，AB＝＝，所以四边形ABCD 的周长为AB+BC+cd+ad＝+2 + + ＝+3 + ；（2）连接BD，由勾股定理得：BD＝＝5，∵DC＝，BC＝2 ，∴DC2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．1704 勾股数参考答案与试题解析一．选择题（共4 小题）〖案例分析〗下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，4，5 D．5，12，13 【解答】解：A、因为32≠12+22，所以它们不是勾股数，故本选项错误；B、因为42≠32+22，所以它们不是勾股数，故本选项错误；C、因为52≠42+22，所以它们不是勾股数，故本选项错误；D、因为132＝52+122，所以它们是勾股数，故本选项正确；故选：D．〖课堂练习〗下列各组数为勾股数的是（）A．7，12，13 B．3，4，7C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17【解答】解：A、不是勾股数，因为72+122≠132；B、不是勾股数，因为32+42≠72；C、不是勾股数，因为不是正整数；D、是勾股数，因为82+152＝172；，且8，15，17是正整数．故选：D．〖课后巩固〗下列各组数中，为勾股数的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12 【解答】解：A、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；B、∵32+42＝52，∴这组数是勾股数；C、∵1.52+22≠2.52，∴这组数不是勾股数；D、∵52+102≠122，∴这组数不是勾股数．故选：B．〖考前再练〗下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5C．，，D．7，24，25【解答】解：A、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；B、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；C、∵+ ≠，∴这组数不是勾股数；D、∵72+242＝252，∴这组数是勾股数．故选：D．1705 勾股定理的应用参考答案与试题解析一．解答题（共4 小题）〖案例分析〗如图，某校有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种草皮，经测量∠B ＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，求这块场地的面积．【解答】解：在Rt△ABC 中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，∴AC＝5．在△DAC 中，CD2＝122，AD2＝132，而122+52＝132，即AC2+CD2＝AD2，∴∠DCA＝90°，△DAC 为直角三角形，∴S＝S△BAC+S△DAC＝•BC•AB+ DC•AC，四边形ABCD＝×4×3+×12×5＝36（m2）；答：空地ABCD 的面积为36m2．〖课堂练习〗一块土地的形状如图所示，∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，AD ＝24m，求这块地的面积．【解答】解：如图，连接AC，如图所示．∵∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，∴AC＝＝＝25m．∵AC＝25m，CD＝7m，AD＝24m，∴AD2+DC2＝AC2，∴△ACD 是直角三角形，且∠ADC＝90°，∴S＝×AB×BC＝×20×15＝150m2，S△ACD＝×CD×AD＝×7×24＝84m2，△ABC∴S＝S△ABC+S△ACD＝234m2．四边形ABCD∴这块地的面积是234m2．〖课后巩固〗如图，一架2.5m 长的梯子AB 斜靠在墙AC 上，梯子的顶端A 离地面的高度为2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米？【解答】解：由题意得，AB＝DE＝2.5，AC＝2.4，BD＝1.3，∵∠C＝90°，∴BC＝＝＝0.7，∴CD＝BC+BD＝2，∵CE＝＝＝1.5，∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9，答：梯子的顶部下滑0.9 米．〖考前再练〗如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD 上的点B 处，且BC ＝5m，它们都要到池塘A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C 再沿CA 走到离树24m 处的池塘A 处，另一只猴子乙先爬到树顶D 处后再沿缆绳DA 线段滑到A 处．已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m，设BD 为xm．（1）请用含有x 的整式表示线段AD 的长为27﹣x m；（2）求这棵树高有多少米？【解答】解：（1）设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA﹣2，即BD+DA＝27，DA＝27﹣x，故答案为：27﹣x；（2）∵∠C＝90°∴AD2＝AC2+DC2∴（27﹣x）2＝（x+5）2+242∴x＝2∴CD＝5+2＝7，答：树高7 米。

专题16勾股定理与弦图问题-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【北师大版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.6勾股定理与弦图问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•重庆期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则（a +b ）2的值为（）A ．25B ．19C ．13D ．169【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【解析】由条件可得：{a 2+b 2=1312ab =13−14a ＞b ＞0，解之得：{a =3b =2．所以（a +b ）2＝25，故选：A ．2．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x +y ）2＝49，用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列选项中正确的是（）A．小正方形面积为4B．x2+y2＝5C．x2﹣y2＝7D．xy＝24【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D错误，∴（x﹣y）2＝1，故A错误，∴x2﹣y2＝7，故C正确；故选：C．3．（2020秋•阜宁县期中）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（）A．9cm2B．36cm2C．27cm2D．45cm2【分析】由正方形的性质和勾股定理求出小正方形的面积．【解析】根据题意得：小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2），故选：A．4．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（）A．10B．8C．7D．5【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】设大正方形的边长为c，则c2＝a2+b2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4，∴20﹣2ab＝4，解得：ab＝8，故选：B．5．（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四边形AECD＝S四边形DEBC【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【解析】根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：B．6．（2020秋•江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（）A．45B．36C．25D．18【分析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝216，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长．【解析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝3，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：225＝4×12ab+9，所以2ab＝216，根据勾股定理，得a 2+b 2＝152，所以（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝225+216＝441，因为a +b ＞0，所以a +b ＝21，所以21+15＝36．所以一个直角三角形的周长是36．故选：B ．7．（2020秋•碑林区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知AH ＝3DH ，且S 正方形ABCD ＝21，则图中阴影部分的面积之和为（）A ．214B ．215C ．225D ．223【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH ＝x ，则AH ＝3DH ＝3x ，根据勾股定理可得x 的平方的值，再根据题意可得S △FGN ＝S △AEM +S △CGN ，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM 的面积．【解析】∵S 正方形ABCD ＝21，∴AB 2＝21，设DH ＝x ，则AH ＝3DH ＝3x ，∴x 2+9x 2＝21，∴x 2=2110，根据题意可知：AE ＝CG ＝DH ＝x ，CF ＝AH ＝3x ，∴FE ＝FG ＝CF ﹣CG ＝3x ﹣x ＝2x ，∴S △FGN ＝2S △CGN∵S△AEM＝S△CGN，∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，∴阴影部分的面积之和为：S梯形NGFM=12（NG+FM）•FG=12（EM+MF）•FG=12FE•FG=12×（2x）2＝2x2=215．故选：B．8．（2019秋•丹东期末）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（）A．121B．144C．169D．196【分析】观察图形可得直角三角形的较短的直角边加上小正方形的边长刚好等于直角三角形的较长直角边的长，根据勾股定理即可求得直角三角形斜边的长，从而得到了大正方形的边长，从而求得大正方形的面积．【解析】∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12，∴直角三角形斜边长＝13，∴大正方形的边长是13，∴大正方形的面积是13×13＝169．故选：C．9．（2021春•武昌区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab 的值是（）A ．4B ．6C ．8D ．10【分析】由勾股定理得a 2+b 2＝9，由小正方形面积是1，得出（a ﹣b ）2＝1，即可得出结果．【解析】∵直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，大正方形面积是9，∴a 2+b 2＝9，∵小正方形面积是1，∴（a ﹣b ）2＝1，∴a 2+b 2﹣2ab ＝1，∴9﹣2ab ＝1，∴ab ＝4，故选：A ．10．（2020春•海陵区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab ＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（）A ．8B ．6C ．4D ．3【分析】利用整体代入的思想求出（a ﹣b ）2的值即可．【解析】由题意可得，{ab =6a 2+b 2=16， ∴小正方形的面积＝（a ﹣b ）2＝a 2+b 2﹣2ab ＝16﹣12＝4，故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•雨花区校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a 和b ，那么（a +b ）2的值为 29 ．【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．【解析】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，即得a2+b2＝42＝16，由题意4×12ab+3＝16，2ab＝13，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+13＝29，故答案为：29．12．（2020秋•淮阴区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为49．【分析】根据正方形EFGH的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．【解析】直角三角形直角边的较短边为√132−122=5，正方形EFGH的面积＝13×13﹣4×5×122=169﹣120＝49．故答案为：49．13．（2020秋•沈河区校级期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为2的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝4√3EF，则正方形ABCD的面积为98．【分析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，由此即可解决问题．【解析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，∵AM＝4√3EF，∴2a＝4√3b，∴a＝2√3b，∵正方形EFGH的面积为2，∴b2＝2，∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝49b2＝98，故答案为：98．14．（2020秋•福田区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于6．【分析】根据勾股定理得出AH与AE的值，进而解答即可．【解析】∵AB＝10，AH：AE＝3：4，设AH为3x，AE为4x，由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴5x＝10，∴x＝2，∴AH＝6，故答案为：6．15．（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为27．【分析】根据题意得出a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．【解析】由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，∵（b﹣a）2＝3，a2﹣2ab+b2＝3，∴15﹣2ab＝3，2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，故答案为：27．16．（2021•高新区一模）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n ，若S 1S 2=32，则n m 的值为 √55 ．【分析】由S 1S 2=32，可得S 2为大正方形面积的25．设AB 为x ，表示出空白部分的面积S 2，即12x 2×4=25m 2，则x =√55m ，再在Rt △ABC 中使用勾股定理得到关于m ，n 的方程，可求得n m的值．【解析】∵S 1S 2=32，大正方形面积为m 2， ∴S 2=25m 2．设图2中AB ＝x ，依题意则有： 4⋅S △ADC =25m 2，即4×12×x 2=25m 2，解得：x 1=√55m ，x 2=−√55m （负值舍去）．在Rt △ABC 中，AB 2+CB 2＝AC 2，∴(√55m)2+(√55m +n)2=m 2，解得：n 1=m √5，n 2=−3m √5（负值舍去）． ∴nm =m √5m =1√5=√55．故答案为：√55．17．（2020秋•金水区校级月考）如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为10，小正方形面积为2，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2＝10；②xy ＝2；③x −y =√2；④x +2y =4√2．其中说法正确的有 ①③④ ．（只填序号）【分析】大正方形的面积是10，则其边长是√10，显然，利用勾股定理可得①x 2+y 2＝10；小正方形的面积是2，则其边长是√2，根据图可发现y +√2=x ，即③x ﹣y =√2；还可以得出四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4×12xy +2＝10，化简得②xy ＝4；其中④x +2y ＝4√2，故成立．【解析】①大正方形的面积是10，则其边长是√10，显然，利用勾股定理可得x 2+y 2＝10，故选项①正确； ③小正方形的面积是2，则其边长是√2，根据图可发现y +√2=x ，即③x ﹣y =√2，故选项③正确； ②根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4×12xy +2＝10，化简得②xy ＝4，故选项②错误；④{x −y =√2xy =4，则x +2y ＝4√2，故此选项正确．故答案为：①③④．18．（2020•通州区一模）把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD 的面积为 1 ．【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD 的边长，再根据正方形面积公式即可求解．【解析】3﹣2＝1，1×1＝1．故图2中小正方形ABCD 的面积为1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•天宁区期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC ＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝163．【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【解析】（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×12ab＝c2﹣2ab，即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2．（2）24÷4＝6，设AC＝x，依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，12×（3+1）×3×4=12×4×3×4＝24．故该飞镖状图案的面积是24．（3）将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3＝16，∴S 1＝8y +x ，S 2＝4y +x ，S 3＝x ，∴S 1+S 2+S 3＝3x +12y ＝16，∴x +4y =163，∴S 2＝x +4y =163．故答案为：163．20．（2020秋•姜堰区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．（1）在Rt △ABC 中，AC ＝m ，BC ＝n ，∠ACB ＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m +n ）2；（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．【分析】（1）由题意（n ﹣m ）2＝1，m 2+n 2＝61，推出2mn ＝60，可得（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝121．（2）由（1）可知{m +n =11n −m =1，求出m ，n 的值，再利用勾股定理求解即可．【解析】（1）由题意（n ﹣m ）2＝1，m 2+n 2＝61，∴2mn ＝60，∴（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝61+60＝121；（2）由（1）可知{m +n =11n −m =1， ∴{m =5n =6，∴AC ＝5，BC ＝6，∵∠ACB ＝90°，AC ＝5，CD ＝12，∴AD =√AC 2+CD 2=√52+122=13， ∴这个风车的外围周长＝4（13+6）＝76．21．（2020秋•徐州期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：证明：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，交BC 的延长线与点F ，则四边形DFCE 为长方形，所以DF ＝EC ＝ b ﹣a ．（用含字母的代数式表示）因为S 四边形ABCD ＝S △ACD + S △ABC ＝12b 2 +12ab ； S 四边形ABCD ＝S △ADB + S △DCB =12c 2+ 12a(b −a) ；所以 12b 2 +12ab =12c 2+ 12a(b −a) ；所以 a 2+b 2＝c 2 ．【分析】根据面积公式和勾股定理的证明解答即可．【解析】证明：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，交BC 的延长线与点F ，则四边形DFCE 为长方形，所以DF ＝EC ＝b ﹣a ．（用含字母的代数式表示）因为S 四边形ABCD ＝S △ACD +S △ABC =12b 2+12ab ；S 四边形ABCD ＝S △ADB +S △DCB =12c 2+12a(b −a)；所以12b 2+12ab =12c 2+12a(b −a)；所以a 2+b 2＝c 2．故答案为：b ﹣a ；S △ABC ；12b 2；S △DCB ；12a(b −a)；12b 2；12a(b −a)；a 2+b 2＝c 2． 22．（2020秋•玄武区校级期中）阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×12ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝5：9；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为28；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC ＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝403．【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．【分析】【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．（3）可设AC ＝x ，根据勾股定理列出方程可求x ，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（4）根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，得出答案即可．【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．【解析】【初步运用】（1）由题意：b ＝2a ，c =√5a ，∴小正方形面积：大正方形面积＝5a 2：9a 2＝5：9，故答案为：5：9．（2）空白部分的面积为＝52﹣2×12×4×6＝28．故答案为：28．（3）24÷4＝6，设AC ＝x ，依题意有（x +3）2+32＝（6﹣x ）2，解得x ＝1，12×（3+1）×3×4=12×4×3×4＝24．故该飞镖状图案的面积是24．（4）将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3＝40，∴S 1＝8y +x ，S 2＝4y +x ，S 3＝x ，∴S 1+S 2+S 3＝3x +12y ＝40，∴x +4y =403，∴S 2＝x +4y =403．故答案为：403．[迁移运用]结论：a 2+b 2﹣ab ＝c 2．理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积可得：12（a +b ）×k （a +b ）＝3×12×b ×ka +12×c ×ck ， ∴（a +b ）2＝3ab +c 2∴a 2+b 2﹣ab ＝c 2．23．（2020春•青白江区期末）如图，在长方形ACDF 中，AC ＝DF ，点B 在CD 上，点E 在DF 上．BC ＝DE ＝a ，AC ＝BD ＝b ，AB ＝BE ＝c ，且AB ⊥BE ．（1）在探究长方形ACDF 的面积S 时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S ；另一种是将长方形ACDF 看成是由△ABC ，△BDE ，△AEF ，△ABE 组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S ．请根据以上材料，填空：方法一：S ＝ ab +b 2 ．方法二，S ＝S △ABC +S △BDE +S AEF +S △ABE ＝ab +12b 2−12a 2+12c 2．（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP 的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a ，b ，c 之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c ＝10，a ＝6，S 的值．【分析】（1）根据长方形的面积公式可求解；（2）根据长方形的面积＝4个三角形的面积和列式化简即可求解；（3）将a ，c 的值代入计算可求解b 的值，进而可求解S 值．【解析】（1）S ＝b （a +b ）＝ab +b 2．故答案为S ＝ab +b 2；（2）由题意得：ab +b 2=ab +12b 2−12a 2+12c 2，∴2ab +2b 2＝2ab +b 2﹣a 2+c 2，∴a 2+b 2＝c 2；（3）∵a 2+b 2＝c 2，且c ＝10，a ＝6，∴62+b2＝102，∴b＝8，∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．答：S的值为112．24．（2020秋•苏州期末）三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1），并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．【分析】由面积的和差关系可求解．【解析】证明：∵S=c2+2×12ab=12(a+b+b)⋅b+12(a+a+b)⋅a，∴c2+ab=12ab+b2+a2+12ab，∴c2＝a2+b2．。

初二数学勾股定理试题答案及解析

初二数学勾股定理试题答案及解析1.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b，斜边长为c)和一个正方形(边长为c)．请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理．【答案】见解析【解析】(1)(答案不唯一)如图．(2)验证：∵大正方形的面积可表示为(a＋b)2，又大正方形的面积也可表示为，∴，即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab．∴a2＋b2＝c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( )A．米B．米C．米D．3米【答案】C【解析】树干垂直于地面，于是可构造一个直角三角形，运用勾股定理可以计算出(米)，所以树高为米．3.如图所示是一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长为________．【答案】7米【解析】(米)．利用平移，得至少需要地毯的长为AC＋BC＝4＋3＝7(米)．4.如图，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE的长为( )A．1B．C．D．2【答案】D【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理得．在Rt△ADC中，由勾股定理得．在Rt△ADE中，由勾股定理得．5.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是( )A．3B．4C．5D．9【答案】A【解析】在Rt△ABD中，由勾股定理得．又点D是∠ABC的平分线上的点，它到BA，BC边的距离相等，所以点D到BC的距离等于DA之长3．6.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是________．【答案】76【解析】在题图乙的四个大直角三角形中，两直角边长分别为5，12，所以斜边长为13，所以这个风车的外围周长为4×13＋4×6＝76．7. (2014四川甘孜州)如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由题意得△ABD≌△CBD，所以∠ADB＝∠CDB，而∠ADB＋∠CDB＝180°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥AC．在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝BC2－CD2＝52－32＝16，所以．8.(2013四川资阳)如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )A．48B．60C．76D．80【答案】C【解析】在Rt△ABE中，由勾股定理得，所以阴影部分的面积为．9. (2012吉林)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB 于点D ，则BD ＝________．【答案】2【解析】∵AC ＝3，BC ＝4，∠ACB ＝90°，∴．∵以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，∴AD ＝AC ＝3，∴BD ＝AB －AD ＝5－3＝2．10. [问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理)”带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．[定理表述]请你根据图(1)中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．[尝试证明]以图(1)中的直角三角形为基础，可以构造出以a 、b 为底，以a ＋b 为高的直角梯形(如图(2))，请你利用图(2)验证勾股定理．[知识拓展]利用图(2)中的直角梯形，我们可以证明．其证明步骤如下：∵BC ＝a ＋b ，AD ＝________，又∵在直角梯形ABCD 中，有BC________AD(填大小关系)，即________，∴．【答案】见解析【解析】[定理表述]如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．[尝试证明]∵Rt △ABE ≌Rt △ECD ，∴∠AEB ＝∠EDC ．又∵∠EDC ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEB ＋∠DEC ＝90°，∴∠AED ＝90°． ∵S 梯形ABCD ＝S Rt △ABE ＋S Rt △DEC ＋S Rt △AED ，∴，整理，得a 2＋b 2＝c 2．[知识拓展]；＜；11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，∠C ＝90°．(1)若a ＝6，b ＝8，则c ＝________；(2)若a ＝5，c ＝13，则b ＝________；(3)若c ＝34，a ︰b ＝8︰15，则a ＝________，b ＝________．【答案】(1)10 (2)12 (3)16；30【解析】(1)已知两直角边长a 、b ，由c 2＝a 2＋b 2＝62＋82＝100，得c ＝10．(2)已知直角三角形的斜边长c 和一条直角边长a ，则由b 2＝c 2－a 2＝132－52＝144，得b ＝12．(3)因为a︰b＝8︰15，所以可设a＝8k，b＝15k(k＞0)，又因为∠C＝90°，c＝34，所以c2＝a2＋b2，即342＝(8k)2＋(15k)2．所以k＝2．所以a＝16，b＝30．12.（2013鞍山）△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，则BC的长为________．【答案】【解析】利用勾股定理即可求得BC的长．∵∠C＝90°，∴AB为斜边，∴．13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，求DB的长．【答案】在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝82＋62＝100，∴AB＝10．由三角形的面积公式得，∴．在Rt△BCD中，DB2＝BC2－CD2，∴DB2＝62－4.82＝12.96．∴DB＝3.6．所以DB的长为3.6．【解析】用勾股定理求AB的长，再利用面积求CD，在Rt△BCD中，用勾股定理求DB．14.如图，∠A＝∠D＝90°，AC与BD相交于点O，AB＝CD＝4，AO＝3，则BD的长为（）A．6B．7C．8D．10【答案】C【解析】由题意知△ABO≌△DCO，∴OA＝OD．在Rt△ABO中，，∴BD＝BO＋OD＝5＋3＝8．故选C．15.如图，在锐角△ABC中，已知AB＝25cm，AC＝30cm，BC边上的高AD＝24cm，则△ABC的面积为________．【答案】300cm2【解析】在Rt△ABD中，．在Rt△ACD中，．所以BC＝BD＋DC＝7＋18＝25，所以．16.（2013吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为________．【答案】（4，0）【解析】∵A（－6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∴AB＝10．∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，∴AC＝AB＝10，∴OC＝4，∴C（4，0）．17.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B偏离50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求：该河的宽度AB为多少米？【答案】根据题意可知BC＝50米，AC＝（AB＋10）米，设AB＝x米，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，即（x＋10）2＝x2＋502，解得x＝120．即该河的宽度AB为120米．【解析】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理可求出直角边AB的长度．18.（2013资阳）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．48B．60C．76D．80【答案】C【解析】利用勾股定理求出AB，然后用正方形的面积减去三角形的面积即可．19.在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是________．【答案】或连接EF，则．∵E为AB的中点，∴．【解析】先根据题意画出图形．此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长．①如图所示：连接CD，则．∵D为AB的中点，∴．②如图所示：20.如图，以数轴的单位长为边长作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是( )A．B．1.4C．D．【答案】D【解析】由勾股定理求得正方形的对角线长为，由作图得，所以点A表示的数是．。

初二数学：勾股定理专题知识点与同步练习(含答案)

勾股定理1．勾股定理勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的__________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是__________；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．2．勾股定理的应用勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．一、勾股定理已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式．【例1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则第三边长为A．5 B C或5 D二、勾股定理的证明勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．【例2】中国古代数学家们对勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC 中，∠ACB =90°，若AC b =，BC a =．请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明222a b c +=；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求()2a b +的值．三、勾股定理点的应用利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．【例3】如图，有一只小鸟在一棵高13 m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12 m ，高8 m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2 m /s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？习题1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ．若a =5，b =12，则c 的长为 A ．119 B ．13 C ．18D ．1692．如果Rt △的两直角边长分别为k 2-1，2k （k >1），那么它的斜边长是 A ．2kB ．k +1C ．k 2-1D ．k 2+13．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为A ．4米B ．8米C ．9米D ．7米4．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3 m 处折断，树顶端落在离树底部4 m 处，则树折断之前高A ．5 mB ．7 mC ．8 mD ．10 m5．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为1和9，则b 的面积为A ．8B ．9C ．10D ．116．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为 A ．22B ．32C ．62D ．827．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2 m ，宽为1.5 m ，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为__________．8．若△ABC 中，∠C =90°．（1）若a =5，b =12，则c =__________；（2）若a =6，c =10，则b =__________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =__________，b =__________．9．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________．10．如图，在东西走向的铁路上有A ，B 两站，在A ，B 的正北方向分别有C ，D 两个蔬菜基地，其中C 到A 站的距离为24千米，D 到B 站的距离为12千米．在铁路AB 上有一个蔬菜加工厂E ，蔬菜基地C ，D 到E 的距离相等，且AC =BE ，则E 站距A 站__________千米．11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ∶b =3∶4，c =75 cm ，求a 、b ；（2）若a ∶c =15∶17，b =24，求△ABC 的面积；（3）若c -a =4，b =16，求a 、c ；（4）若∠A =30°，c =24，求c 边上的高h c ；（5）若a 、b 、c 为连续整数，求a +b +c ．12．已知：△ABC 中，AD 为BC 中线，求证：22222()AB AC BD AD +=+．13．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长．14．如图，一个圆桶，底面直径为16 cm ，高为18 cm ，则一只小虫从下底部点A 爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）A ．50 cmB ．40 cmC ．30 cmD ．20 cm15．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为A ．22B ．32C ．62D ．8216．如图，AC 是电线杆的一根拉线，测得BC =6米，∠ACB =60°，则AB 的长为A ．12米B ．3米C ．6米D ．317．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥，AD CE ⊥，垂足分别为E ，D ，13AC =，5BE =，则DE =__________．18．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7 m，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动了__________m．19．古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40 cm（如图）．请部：水深多少？20．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。

八年级数学弦图的应用(人教版)(专题)(含答案)

A.90 B.100
C.110 D.121
答案：C
解题思路：
如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
则四边形AOLP是正方形，
可得AO=AB+BO=AB+AC=3+4=7，
KJ=4+7=11，KL=3+7=10，
∴矩形KLMJ的面积=10×11=110．
故选C
试题难度：三颗星知识点：略
7.如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2之间的距离为4，l2与l3之间的距离为5，则正方形ABCD的面积为( )
故④不正确，
综上，①②③正确，
故选B
试题难度：三颗星知识点：略
6.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
∴CE=5，
∴
故选C
试题难度：三颗星知识点：略
10.如图，四边形ABCD为正方形，O为AC，BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，∠DCE=30°，若，则正方形ABCD的面积为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
答案：B
解题思路：
如图，将其补成内弦图，连接OH．
易证四边形EFGH是正方形，四个直角三角形全等，
∴△OEH是等腰直角三角形，
∵
∴ ，
在Rt△DCE中，∠DCE=30°
∴ ，DC=2DE

【完整版】人教五四学制版八年级下册数学第24章勾股定理含答案

人教五四学制版八年级下册数学第24章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,BC=9,AC=12,Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（）A.6B.4.5C.4D.52、下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）A.三条边的比为2∶3∶4B.三条边满足关系a2＝b2﹣c2C.三条边的比为1∶1∶D.三个角满足关系∠ B+∠ C＝∠ A3、抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，点P在函数y＝的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为( )A.2个B.3个C.4个D.6个4、如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外做正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（）A. B. C. D.5、我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米6、下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A. ，，B.a：b：c=3：4：5 C.∠A+∠B=∠C D.∠A：∠B：∠C=3：4：57、下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A.1，2，3B.2，3，4C.4，5，6D.1，，8、下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A.2，3，4B.3，4，5C.6，8，12D.9、下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（）A.2，3，4B.3，4，5C.4，5，6D.5，6，710、如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）A.1种B.2种C.3种D.4种11、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A.a：b：c=3：4：5B.a=9，b=40，c=41C.a=11，b=12，c=13 D.a=b=5，c=512、在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（）A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，1513、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（）A.0.6米B.0.7米C.0.8米D.0.9米14、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．A.6，7，8B.5，6，7C.4，5，6D.3，4，515、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A.5，12，14B.6，8，10C.7，24，25D.8，15，17二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C 都在格点上，则cos∠BAC的值为________．17、用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为________．18、如图，已知在⊙O 中，半径 OA= ，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与AB 交于点 C，则∠A CO=________ 度．19、如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，A、B两点坐标分别为、已知点P是上的一点，点Q是线段AB上的一点，设的面积为S，当为直角三角形时，S的取值范围为________.20、如图．将一块斜边长为12 cm。

沪科版八年级数学下册_18.1 勾股定理

感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示法”求解 .
感悟新知
解法提醒
知3－练
等面积法：
用不同的方法表示同一个图形的面积.此题是典型的应
用等面积法求直角三角形斜边上高的问题.即△ ABC 的面
积既可以表示为AC2·BC ，又可以表示为AB2·CD ，再利用同一图形的面积相等解答 .
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， ∴ AB= AC2+BC2= 32+42 =5.
知3－练
∵
CD
⊥
AB，∴
S△
ABC=
1 2
AB·CD=
1 2
AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，
∴
CD=
AC· BC AB
=
3×4 5
=
12 5
.
感悟新知
知3－练
例5 如图 18.1 － 4所示，∠ C=90°， AM=CM， MP ⊥ AB于点 P.
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补，以盈补虚” 的原理，有
S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
感悟新知
方法
加菲尔德总统拼图
毕达哥拉斯拼图
图形
证明
知2－讲
设梯形的面积为
S，则
S=
1 2
(a+b)
(a+b)=
1 2
a2+
1 2
b2+ab.
又
S=
1 2
ab+
1 2
ab+
所以∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′ AC′

八年级数学勾股定理2

c2
；
a c
c a
b a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
a
b
b c
b c
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为；
也可以表示为 c2 +4•ab/2
a b
a
b
c
c
a
b
c
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
18.1 勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a 2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
b c
2
2；
勾股定理的证明
证明方法1：数方格
（1）观察图1-1
正方形A中含有小方格，即A的面积是
16 个
A
B
图1-1
C
16 个单位面积。
正方形B的面积是
9 个单位面积。
2 2 2
25
24
如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=25, BC=24, A 求AC的长呢？
7 24 C
在直角三角形中，已知两边可以求第三边
例2
已知等边三角形ABC的边长是6cm，
A
(1)求高AD的长；(2)S△ABC 解：(1) ∵△ABC是等边三角形，AD是高
1 BD BC 3 2
2 2
B
2
D
C
在Rt△ABD中 , 根据勾股定理
AD AB BD

八年级数学勾股定理3(201911新)

B
思维拓展：有没有一种直角三角形，已知一边可以求另外两边长呢？
A A
a
c
a
45°
Cb
BC
c
30°
b
B
a:b:c=1:1:√2
a:b:c=1:√3:2
实践与探索
1、判断题：
1）、直角三角形三边a,b,c一定满足下面的式子：
a²+b²=c²
(X )
2)、直角三角形的两边长分别是3和4，则另一边是5
18.1勾股定理4
这是一个会标，同学们认识这是什么大会的会标吗？
c b
a
弦图
∵1/2ab×4+(ba)²=c² ∴a²+b²=c²
（1）我国古代西周时期商高说法
A
勾 3a
弦5 c
b
C
股4
B
a²+b²=c²
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

（2）毕达哥拉斯定理：
A
R
P
CQ B
AC²+BC²= AB²
；超级通超级通云控云客云控云通天下免设备群控
；
课程主要研究自动控制系统的基本概念、控制系统在时域和复域数学模型及其结构图和信号流图；9 3.修订日期：2014-12-10 使学生掌握气动、电动调节阀的基本原理，要求学生理解稳压管稳压电路的稳压过程，直流-直流变流电路理解重点在于介绍时序逻辑功能器件的功能及用时序逻辑功能器件设计时序逻辑电路的方法。并能综合运用所学知识进行电力电子技术及变流系统的应用设计。第一节难点：如何防止两组GTR功率管直通所采取的措施。网络管理基础与网络安全并能利用算法计算冗余码和编码效率。学分：第三节教学环节《自动控制原理》课程教

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A.50 mB.100mC.150mD.100 m2、如图所示，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1，，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（）A. B. C. D.3、如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽，弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD则图中阴影部分的面积之和为（）A. B. C. D.4、如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，.则线段的长为：（）A. B. C.3 D.55、在平面直角坐标系中，Rt△ABC按如图方式放置(直角顶点为A)，已知A(2，0)，B(0，4)，点C在双曲线y= (x>0)上，且AC= ．将△ABC沿X 轴正方向向右平移，当点B落在该双曲线上时，点A的横坐标变成( )A.3B.4C.5D.66、以下列线段长为边，能构成直角三角形的是（）A.2，3，5B.2，3，4C.3，，4D.2，4，57、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=2，则BC的值（）A. B. C. D.8、如图，为半圆O的直径，且，射线交半圆O 的切线于点E，交于F，若，则的半径长为（）A. B. C. D.9、如图，每个小正方形的边长为，在中，点为的中点，则线段的长为（）．A. B. C. D.10、设三角形的三边长分别等于下列各组数，能构成直角三角形的是（）。

A.1，1，B. ，，C.0.2，0.3，0.5 D. ，，11、如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A.6，8，10B.4，5，6C. ，1，D. ，4，512、如图，在正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）A. B. C.4 D.313、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A.4，5，6B.1，1，C.6，8，11D.5，12，2314、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ )A.6B.7C.8D.915、如图，O是等边△ABC内的一点，OB＝1，OA＝2，∠AOB＝150°，则OC的长为（）A. B. C. D.3二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为________.17、如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为________．18、如图，在菱形中，O是对角线上一点，经过点A，B，C，若的半径为2，，则的长为________.19、存矩形ABCD中，AB=6，AD=5，点P是BC上的一个动点，连接AP、DP，则AP+DP的最小值为________．20、等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是________cm．21、如图所示，已知四边形ABCD中，，，，，且求四边形ABCD的面积________．22、如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为________。

八年级数学勾股定理中考试题与答案

的长度为( B )
第6题图
数学
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章末整合· 感知中考
B 第7题图
数学
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第8题图
数学
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9.(2021·岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对
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(3)①如图所示,直线PC即为所求;
②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(答案不唯一)
(1)求证：△ABC≌△ECD；
( 1 )证明:∵AB∥CD ∴∠ABC＝∠ECD, 又∵AB＝EC,BC＝CD, ∴△ABC≌△ECD(SAS).
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解：(2)由(1)得△ABC≌△ECD, ∴∠CED＝∠A＝90°. 设BE＝x,∵AB＝CE＝3,则CD＝BC＝3＋x, 在Rt△BED中,DE2＝BD2－BE2, 在Rt△CED中,DE2＝CD2－CE2, ∴BD2－BE2＝CD2－CE2,
办法一：如图1，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD ＝30 cm，然后分别以D，C为圆心，以50 cm与40 cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为9 0 ° .
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办法二：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上
点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C 重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q.保持点 N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点 M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°.

人教八年级数学下册-勾股定理(附习题)

错因分析：出错主要原因是没有认真审题，
凭经验认为c 一定是斜边，事实上，题目并无明确c 是斜边还是直角边，故需要分类讨论.
课堂小结
即c2=a2+b2.
拓展延伸
如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长.
解：∵∠A=∠C′=∠C=90°, ∠AEB=∠C′ED，AB=C′D, ∴△AEB≌△C′ED.∴AE=C′E,
解：根据图形正方形E 的边长为:
122 162 92 122 =25，
故E的面积为:252=625.
知识点 2 勾股定理的证明
命题如果直角三角形两直角边
长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
如何证明呢？
如图我国古代证明该命题的“赵爽弦图”.
赵爽指出：按弦图，又可
以勾股相乘为朱实二，倍之为
课堂小结
勾股定理的应用
化非直角三角形为直角三角形将实际问题转化为直角三角形模型
拓展延伸
思考这是我们刚上课时提出的问题，现在你会算了吗？
解：设水深为h尺. 由题意得：AC=3,BC=2,OC=h,
OB OA OC AC h 3.
由勾股定理得：
OB2 OC 2 BC 2 ,即(h 3)2 h2 62 ,
5.如图，要从电线杆离地面5 m处向地面拉一条长为7 m的钢缆.求地面钢缆固定点A到电线杆底部B 的距离（结果保留小数点后一位）.
解:由图可知大正方形的边长为：a+b则面积为
(a+b)2，图中把大正方形的面积分成了四部分，
分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，
还有两个长为b，宽为a的长方形.

八年级初二数学勾股定理(讲义及答案)含答案

八年级初二数学勾股定理(讲义及答案)含答案一、选择题1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5,AC=53，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短长为（）A．5B．53C．53D．532．已知等边三角形的边长为a，则它边上的高、面积分别是（）A．2,24a aB．23,24a aC．233,24a aD．233,44a a3．如图，已知圆柱的底面直径6BCπ=，高3AB=，小虫在圆柱侧面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为（）A．18 B．48 C．120 D．724．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C．994D．5325．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45︒，若AD=4，CD=2，则BD的长为（）A ．6B ．27C ．5D ．256．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2a b +值为（）A ．25B ．9C ．13D ．1697．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（）A ．AB 的中点B ．BC 的中点 C ．AC 的中点D ．C ∠的平分线与AB 的交点 8．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）A ．6B ．32πC ．2πD ．129．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（）A ．12B ．10C ．8D ．610．有下列的判断： ①△ABC 中，如果a 2＋b 2≠c 2，那么△ABC 不是直角三角形②△ABC 中，如果a 2－b 2＝c 2，那么△ABC 是直角三角形③如果△ABC 是直角三角形，那么a 2＋b 2＝c 2以下说法正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②二、填空题11．如图，AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ， AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，E 是CD 的中点，则AE 的长是____ ___．12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．13．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．14．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________.15．如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，()20,0A ，()0,8C ，点D 是OA 的中点，点P 在边BC 上运动，当ODP ∆是以OD 为腰的等腰三角形时，则P 点的坐标为______.16．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．17．如图，正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．18．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC，则AC边上的高的长度是_____________．的角平分线，E是AD上的动点，F 19．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BAC是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为_____．20．四边形ABCD中AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝52，四边形ABCD的面积是_______．三、解答题21．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E是AB的中点，连接CE交AD于点F，BD=3，求BF的长．22．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）23．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点E 的运动时间为t :（秒）（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．24．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.25．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.26．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．27．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4，（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒），①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2 备用图28．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．29．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+；勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、、37．30．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．（1）AE ＝（用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是度；（2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ；（3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】在CB 的反向延长线上取一点B ’，使得BC =B ’C ，连接AB ’，易证△AB ’D ≌△ABE ，可得∠ABE =∠B ’=60°，因此点E 的轨迹是一条直线，过点C 作CH ⊥BE ，则点H 即为使得BE 最小时的E 点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．【详解】解：在CB 的反向延长线上取一点B ’，使得BC =B ’C ，连接AB ’，∵∠ACB =90°，∠ABC =60°，∴△AB ’B 是等边三角形，∴∠B ’=∠B ’AB =60°，AB ’=AB ，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，∴∠B’AD=∠BAE，∴△AB’D≌△ABE（SAS），∴∠ABE=∠B’=60°，∴点E在直线BE上运动，过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，∠CBH=180°-∠ABC-∠ABE=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=12BC=52，∴CH=22BC BH-=53．即BE的最小值是53．故选C．【点睛】本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E的运动轨迹是直线是解决此题的关键．2．C解析：C【分析】作出等边三角形一边上的高，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出BD，利用勾股定理即可求出AD，再利用三角形面积公式即可解决问题．【详解】解：如图作AD⊥BC于点D．∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∠B AD＝30°∴1122 BD AB a ==由勾股定理得，2222213()22AD AB BD a a a =-=-= ∴边长为a 的等边三角形的面积为12×a ×32a ＝34a 2，故选：C ．【点睛】本题考点涉及等边三角形的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题关键.3．D解析：D【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A ，C 的最短距离为线段AC 的长.∵已知圆柱的底面直径6BC π=， ∴623AD ππ=⋅÷=，在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒ ，3CD AB ==，∴22218AC AD CD =+=，∴从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程的平方为()222472AC AC ==.故选D.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．4．B解析：B【分析】设小正方形的边长为x ，则矩形的一边长为（a+x ）,另一边为（b+x ）,根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a,b 的值，得出x 2＋7x=12，再根据矩形的面积公式，整体代入即可.【详解】设小正方形的边长为x ，则矩形的一边长为（a+x ）,另一边为（b+x ）,根据题意得：2（ax+x 2+bx ）=（a+x ）（b+x ）,化简得：ax+x 2+bx-ab=0，又∵ a = 3 ， b = 4 ，∴x 2＋7x=12;∴该矩形的面积为=（a+x ）（b+x ）=（3+x ）（4+x ）=x 2＋7x+12=24.故答案为B.【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.5．A解析：A【解析】【分析】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，根据等式的性质，可得∠BAD 与∠CAD′的关系，根据SAS ，可得△BAD 与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD 与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．【详解】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，则有∠AD′D=∠D′AD=45︒，∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，''BC CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得，故选A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线作出全等图形是解题关键．6．A解析：A【分析】根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据()2222a b a ab b +=++即可求解．【详解】根据勾股定理可得2213a b +=，四个直角三角形的面积是：14131122ab ⨯=-=，即212ab =，则()2222131225a b a ab b +=++=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键．7．A解析：A【分析】先计算AB 2=2890000，BC 2=640000，AC 2=2250000，可得BC 2+AC 2=AB 2，那么△ABC 是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P 点的位置．【详解】解：如图∵AB 2=2890000，BC 2=640000，AC 2=2250000∴BC 2+AC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∴活动中心P 应在斜边AB 的中点．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC 是直角三角形．8．A解析：A【分析】分别求出以AB 、AC 、BC 为直径的半圆及△ABC 的面积，再根据S 阴影=S 1+S 2+S △ABC -S 3即可得出结论．【详解】解：如图所示：∵∠BAC=90°，AB=4cm ，AC=3cm ，BC=5cm ，∴以AB 为直径的半圆的面积S 1=2π（cm 2）；以AC 为直径的半圆的面积S 2=98π（cm 2）；以BC 为直径的半圆的面积S 3=258π（cm 2）； S △ABC =6（cm 2）；∴S 阴影=S 1+S 2+S △ABC -S 3=6（cm 2）；故选A ．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．B解析：B【分析】已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，'DF B F ∴=，设DF x =，则8AF CF x ==-，在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，835CF CD FD ∴=-=-=， 1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△．故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键．10．D解析：D【分析】欲判断三角形是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】①c 不一定是斜边，故错误；②正确；③若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则a 2＋b 2≠c 2，故错误，所以正确的只有②，故选D.【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.二、填空题11．5【详解】解：如图，延长AE 交BC 于点F ，∵点E 是CD 的中点,∴DE=CE ，,∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD,∴AD ∥BC,∴∠ADE=∠BCE 且DE=CE ，∠AED=∠CEF,∴△AED ≌△FEC （ASA ）,∴AD=FC=5，AE=EF,∴BF=BC-FC=5,∴在Rt △ABF 中，2213AF AB BF =+=, 6.52AF AE == 故答案为：6.5． 12．210或213或32【分析】在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算,,DF DE CE ''，可得CD ．【详解】∵90ACB ︒∠=，4,2AC BC ==，∴25AB =，情况一：当25AD AB ==时，作AE CE ⊥于E∴ 1122BC AC AB AE ⋅=⋅，即455AE =，1455DE = ∴22855CE AC AE =-= ∴22213CD CE DE =+=情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ，∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅，即45BE =145DE =∴2225CE BC BE =-= ∴22210CD CE DE =+=情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E ∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅， ∴45BE =355CE ∴= ∵ABD △为等腰直角三角形∴152BF DF AB === ∴955DE DF E F DF BE ''=+=+= 25355CE EE CE BF CE ''=-=-=-= ∴2232CD CE E D ''=+=故答案为：1021332【点睛】本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键． 13．5【分析】作AD′⊥AD ，AD′=AD 构建等腰直角三角形，根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解．【详解】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，{BA CABAD CAD AD AD =∠=∠=''，∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得22()4AD AD +='，∵∠D′D A+∠ADC=90°，∴由勾股定理得22(')5DC DD +=，∴BD=CD′=5故答案为5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．14．232【分析】先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，∴AB=2BC=4， ∴22224223AC AB BC =-=-=当AC 为腰时，则该三角形的腰长为3当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则AE=3, 设DE=x ，则AD=2x ，∵222AE DE AD +=, ∴222(3)(2)x x +=∴x=1（负值舍去），∴腰长AD=2x=2，故答案为：23或2【点睛】此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.15．()4,8或()6,8或()16,8【分析】当ODP ∆是以OD 为腰的等腰三角形时，分为两种情况①点O 是顶角顶点时，②D 是顶角顶点时，根据勾股定理求出CP ，PM 即可．【详解】解：OD 是等腰三角形的一条腰时：①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点，在直角△OPC 中，CP=22221086OP OC -=-=，则P 的坐标是（6，8）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点，过D 作DM ⊥BC 于点M ，在直角△PDM 中，22221086PD DM -=-= ，当P 在M 的左边时，CP=10-6=4，则P 的坐标是（4，8）；当P 在M 的右侧时，CP=10+6=16，则P 的坐标是（16，8）．故P 的坐标为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．故答案为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．16．4或【分析】分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°．又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，=∴CE=DE=22在Rt△BAC中，BC==BD===③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=AC sin45°=2=又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°．又∵在Rt△ABC中，BC==∴BD==故BD 的长等于4或25或10．故答案为4或25或10．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题， 17．55【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】展开图如图所示：由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，∴蚂蚁爬行的最短路径长=PQ=2222105PD QD +=+=55（cm ），故答案为：55．【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．18．355【详解】四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：12×1×1=12．则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣12=32．在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC=222+1=5．设AC边上的高线长是x．则12AC•x=52x=32，解得：x=355．故答案为35 5.19．120 13【解析】∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴B点，C点关于AD对称，如图，过C作CF⊥AB于F，交AD于E，则CF=BE+FF的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB⋅CF=BC⋅AD，∴CF=BC ADAB⋅=101213⨯=12013故答案为120 13.点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF⊥AB时，CF有最小值是解题的关键.20．49【解析】连接AC，在Rt△ABC中，∵AB=8，BC=6，∠B=90°，∴AC=22AB BC=10．在△ADC中，∵AD=CD=52，∴AD2+CD2=（52）2+（52）2=100．∵AC2=102=100，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12AB•BC+12AD•DC=12×8×6+12×52×52=24+25=49．点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．三、解答题21．BF的长为32【分析】先连接BF，由E为中点及AC=BC，利用三线合一可得CE⊥AB，进而可证△AFE≌△BFE，再利用AD为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD为45°，△BFD为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF．【详解】解：连接BF．∵CA=CB，E为AB中点∴AE=BE，CE⊥AB，∠FEB=∠FEA=90°在Rt△FEB与Rt△FEA中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3∴BF ===【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．22．（1）见解析；（2）CDAD +BD ，理由见解析；（3）CD+BD【分析】（1）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ；（2）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ，可得BD ＝CE ，由直角三角形的性质可得DEAD ，可得结论；（3）由△DAB ≌△EAC ，可知BD ＝CE ，由勾股定理可求DH，由AD ＝AE ，AH ⊥DE ，推出DH ＝HE ，由CD ＝DE +EC ＝2DH +BDAD +BD ，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；（2）CDAD +BD ，理由如下：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，∴DEAD ，∵CD ＝DE +CE ，∴CDAD +BD ；（3）作AH ⊥CD 于H ．∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，∴∠ADH ＝30°，∴AH ＝12AD ， ∴DH 22AD AH -3， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3+BD ，故答案为：CD 3+BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.23．（1）6-t ，t+23；（2）D(1，3)，y=34-x+154；（3）1515215()4215215()2b b S b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）根据点E ，F 的运动轨迹和速度，即可得到答案；（2）由题意得：DF=OF=53，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，根据勾股定理得DG=4，进而得D(1，3)，根据待定系数法，即可得到答案；（3）根据题意得直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+，从而得M(443b -，3)，分2种情况：①当点M 在线段DB 上时， ②当点M 在DB 的延长线上时，分别求出S 与b 之间的函数关系式，即可．【详解】∵(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，∴OA=6，OC=3，∵AE=t×1= t ， ∴OE =6-t ，OF =(t+23)×1=t+23，故答案是：6-t ，t+23；（2）当1t =时，OE =6-t=5，OF =t+23=53， ∵将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，∴DF=OF=53，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，则EG=OC=3，CG=OE=5，∴4=，∴CD=CG-DG=5-4=1，∴D(1，3)，设直线DE 的解析式为：y=kx+b ，把D(1，3)，E(5，0)代入y=kx+b ，得350k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线DE 的解析式为：y=34-x+154；（3）∵MN ∥DE ，∴直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+，令y=3，代入34y x b =-+，解得：x=443b -， ∴M(443b -，3)． ①当点M 在线段DB 上时，BM=6-(443b -)=4103b -+， ∴1143(10)223S BM AB b =⋅=⨯⨯-+=215b -+， ②当点M 在DB 的延长线上时，BM=443b --6=4103b -， ∴1143(10)223S BM AB b =⋅=⨯⨯-=215b -，综上所述：1515215()4215215()2b b S b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握勾股定理与一次函数的待定系数法，是解题的关键．24．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．25．（1）①详见解析；（2）222222CD n n =+-（1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+=∴22CD =222222n n =+-（1n >）（2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下：如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF，AD=BF又∵∠DCF=90°∴由勾股定理得222DF CD CF CD=+=又DF=BF-BD=AD-BD∴2AD BD CD-=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.26．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=12（c-a），AG=12（a+c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，∴ab+a2＝c2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，∴ab+b2＝a2+b2，∴ab＝a2，∴a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，∴∠ABC＝64°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A图3作CG⊥AB于G，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，∴∠CDB＝∠B，∴CD＝CB＝a，∵∠ACD＝∠A，∴AD＝CD＝a，∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，∵CG⊥AB，∴DG＝BG＝12（c﹣a），∴AG＝AD+DG＝a+12（c﹣a）＝12（a+c），在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[12（c+a）]2，在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2﹣[12（a+c）]2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2＝ac+a2，∴△ABC是“类勾股三角形”．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．27．（1）见详解；（2）①t值为：103s或6s；②t值为：4.5或5或4912．【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，∴S△ABC=12×5x×4x=40cm2，而x＞0，∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由运动知，AM=10-2t，AN=t，①当MN∥BC时，AM=AN，即10-2t=t，∴103t ；当DN∥BC时，AD=AN，∴6=t，得：t=6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为103s或6s．②存在，理由：Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形Ⅲ、当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，∴DE=12AC=5当DE=DM，则2t-4=5，∴t=4.5s；当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=5s；当MD=ME=2t-4，如图，过点E作EF垂直AB于F，∵ED=EA，∴DF=AF=12AD=3，在Rt△AEF中，EF=4；∵BM=2t，BF=BD+DF=4+3=7，∴FM=2t-7在Rt△EFM中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，∴t=49 12．综上所述，符合要求的t 值为4.5或5或4912．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．28．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333-．理由见解析.【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，∴135CEF FGH ∠=∠=︒，∵点D 是AC 的中点，∴132CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =；（2）依然成立。

人教版初中八年级数学勾股定理解答题练习含答案

人教版初中八年级数学勾股定理解答题练习含答案15. 如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD是BC边上的高．(1)求证：∠DAC=∠ABC；(2)如图②，△ABC的角平分线CF交AD于点E．求证：∠AFE=∠AEF；(3)在(2)的条件下，∠BAD的平分线分别与CF，BC相交于点H、点G，如图③，若AH=6，CH=8，CG=10，求AD的长．【答案】解：(1)∵∠BAC=90∘，∴∠ABC+∠ACB=90∘，∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90∘，∴∠DAC+∠ACB=90∘，∴∠DAC=∠ABC．(2)∵CF是△ABC的角平分线，∴∠ACF=∠BCF，∵∠BAC=∠ADC=90∘，∴∠AFE+∠ACF=∠CED+∠BCF=90∘，∴∠AFE=∠CED，又∵∠AEF=∠CED，∴∠AFE=∠AEF．(3)由(1)(2)得：∠AFE+∠ACF=90∘，∠DAC=∠ABC，∵∠DAC+∠ACB=∠ABC+∠BAD= 90∘，∴∠ACB=∠BAD，∵CF平分∠ACB，AG平分∠BAD，∴∠FAH=∠ACF，∴∠AFE+∠FAH=90∘，∴∠AHF=90∘，∴CH⊥AG，∴AC=√AH2+CH2=√62+82=10，∵CG=10，∴AC=CG，∵CH⊥AG，∴GH=AH=6，∴AG=2AH=12，∵△ACG的面积=12CG×AD=12AG×CH，∴AD=AG×CHCG=12×810=9.6．16.我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．(1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．(2)如下图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．【答案】(1)证明：由图②得，12ab×4+c2=(a+b)2整理得，2ab+c2=a2+b2+2ab即a2+b2=c2.(2)解：△ABC的高BD如图所示.由图可得：AC=√32+42=5，AB=3，AB边上的高为3，∵ S△ABC=12AC⋅BD=12AB×3，∴ BD=3ABAC=3×35=95.17. 如图，一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24m．(1)这个梯子底端离墙有多少米？(2)如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4m吗？为什么？【答案】解：(1)由题意得此时a=24m，c=25m，根据a2+b2=c2，∴ 可求b=7m.(2)不是．设滑动后梯子的底端到墙的距离为xm，得方程，x2+(24−4)2=252，解得x= 15，所以梯子向后滑动了15−7=8m．综合得：如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向不是滑4m．。