高二数学理科暑假作业(1)

A
C
D 1A
1B
1C
1D P
（第13题）
高二数学理科暑假作业（1）
班级__________姓名__________学号__________
一、填空题
1．若“x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x 的范围是____________．
2．命题“若△ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是_______________． 3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，则丙是甲的____________条件． 4．有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0；
③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆命题．
其中是真命题的是__________(写出所有正确命题的序号)．
5．双曲线19
42
2-=-y x 的渐近线方程是____________． 6． 已知M (-2,0),N (2,0),|PM |-|PN |=4，则动点P 的轨迹是____________． 7．如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是____________． 8．已知向量)5,3,2(-=与向量),,4(y x -=平行,则x ,y 的值分别是____________．
9．已知ABCD 是平行四边形,且A (4,1,3),B (2,-5,1),C (3,7,-5),则顶点D 的坐标为____________． 10．已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，则线段AB 的长度为________．
11．已知双曲线22221y x a b
-=（0
0a b >>, ）的两个焦点为()10F 、)2
0F ，点P 是第一
象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为_________．
12．已知向量(,12,1),(4,5,1),(,10,1)OA k OB OC k ===-
，
且A 、B 、C 三点共线，则k = ．
13．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =
，1112
A P A C = ．
则直线PB 与PD 所成角的正弦值为_______．
14．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆
2
2
2
1 (1)
x y a
a
+=>上，其中
0 1
A（，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为27，则实数a的值为_______．三、解答题
15．如果正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量
1
2
DE BC
=
，求以B，C为焦点且过点D，E
的双曲线的离心率．
16．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，
BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值．
P
A B C
D E ．
17．已知直线与抛物线y 2 =2px （p ＞0）交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为（2，1），求p 的值．
18．如图，已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，AB AC AB AA ，11===⊥AC ，M 是1CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线11B A 上，且满足111B A A λ=. （Ⅰ）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？
（Ⅱ）若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为
45，试确定点P 的位置.
1A
1B
P
N
M A
B
C
1C
19．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已
知椭圆C 上的点)2
3,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积．
20． 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(． (1) 求双曲线C 的方程；
(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅(其中O
为原点)，求k 的取值范围．
高二数学理科暑假作业（1）参考答案
一、填空题 1． [1,2) 2．“若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形” 3．充分不必要 4．②③
5． x y 2
3
±= 6．一条射线 7． (0,1) 8． 6和-10 9． (5,13,-3) 10． 3 11
12．
23- 13．
14． 3
二、解答题
15． 解
1
16．解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、
B （3，0，0）、
C （3，1，0）、
D （0，1，0）、 P （0，0，2）、
E （0，
2
1
，1）， 从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则
,14
737
23|
|||cos =
=
⋅=
PB AC θ∴AC 与PB 所成角的余弦值为147
3． 17．解：1
,,2,:12(2)252
OD AB AB K OD AB K l y x y x =
⊥∴=-∴-=--=-+ 即 211222
2121212
121212121225
50,(,),(,)...............42,5,2055,0,0.. (922)
5
()50,5500 (4)
y x y y px p A x y B x y y px
y y p y y p p p y y OA OB x x y y y y y y y y p p p =-+⎧+-=⎨=⎩∴+=-=-=+--⊥∴+=∴
∙+=-++=∴-++==> 消去得设分分即解得代入........115/4.......................................................12p ∴=分
分
18．解：（1）以AB,AC,1AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，
则)1,2
1
,21(--=λ，
平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =
则45211
,cos sin 2
+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=
=
><=λθ （*）
于是问题转化为二次函数求最值，而[0,
],2
π
θ∈当θ最大时，θsin 最大，所以当2
1
=
λ时， 5
5
2)(sin max =
θ.
（3）已知给出了平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45︒
，即可得到平面ABC 的一个法向量为
1(0,0,1)n AA == ，设平面PMN 的一个法向量为(,,)m x y z = ，1
(,1,)2
MP λ=- .
由⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00得11()022
102x y z x y z λλ⎧
--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ，解得2132(1)3y x z x
λλ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.
令3,(3,21,2(1))x m m n λλ==+-
得这样和就表示出来了，于是由
2
2
)1(4)12(9)1(2,cos 2
2=
-+++-=
=
><λλλ， 解得111,2P B A λ=-
故点在的延长线上，且112
A P =.
19． 解：（Ⅰ）由题设知：2a = 4，即a = 2；
将点)23,1(代入椭圆方程得 1)(21222
32=+b
，解得b 2 = 3； ∴c 2 = a 2－b 2 = 4－3 = 1，
故椭圆方程为13
42
2=+y x ，焦点F 1、F 2的坐标分别为（-1，0）和（1，0），
（Ⅱ）由（Ⅰ）知)3,0(),0,2(B A -， 2
3
==∴AB PQ k k ，
∴PQ 所在直线方程为)1(2
3-=x y ，
由⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=+-=134
)1(232
2
y x x y 得 093482=-+y y ， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则8
9
,232121-=⋅-=+y y y y ， 2
21894434)(2122121=⨯+=
-+=-∴y y y y y y ，
.2
21
2212212121211=⨯⨯=-⋅=
∴∆y y F F S PQ F 20．解：（Ⅰ）设双曲线方程为22
221x y a b
-= ).0,0(>>b a
由已知得.1,2,2,32
2
2
2
==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为.13
22
=-y x （Ⅱ）将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k
由直线l
与双曲线交于不同的两点得2
222
130,
)36(13)36(1)0.
k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩
即.13
12
2<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则
22
9
,,22,131
A B A B
A B A B
x x x x OA OB x x y y k -+==⋅>+>-- 由得 而2((1)(
)2A B A
B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++
22
22
2937
(1)2.131331k k k k k -+=+++=--- 于是2222
37392,0,3131
k k k k
+-+>>
--即解此不等式得.3312
<<k ② 由①、②得 .1312
<<k 故k 的取值范围为(1,(33
--⋃。