高中数学第三章导数及其应用32导数的计算第2课时导数的运算法则学案含解析新人教A版

第2课时导数的运算法则

学习目标 1.了解求导法则的证明过程.2.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.3.能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导

数．

知识点一函数和、差的导数

1fxxgx)＝)＝(已知，(.

xfxgx)的导数分别是什么？(()，思考1

1fxgx)＝－′(＝1答案，′(.

)2xhxfxgxIxfxgxhxIxfxgx)′(′()())－分别与(，)，思考2 若那么()＝′((′()＋())，，()＝有什么关系？

11??x??xyx＋－答案∵Δ)＝(＋＋Δx??xxΔ＋xΔ－xΔ＝，＋

xxxΔ＋yΔ1＝∴.

1－xxxxΔΔ＋y1Δ1????xh－1limlim＝＝1－. )＝∴′(2xxx??

xxΔ＋Δxx→0Δ→0Δ1Ix)＝1＋同理，. ′(2x梳理和、差的导数

fxgxfxgx)．[′(()±)±( )]′＝′(特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．

cxcfx)．)]′＝(2)[′((

(3)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．

知识点二函数积、商的导数

1．函数积的导数

fxgxfxgxfxgx) [()()]′＝′()()＋()′(．

2．函数商的导数xf xxggxffx

－??

??xg ()≠0)．′＝(

2xg

??

xg

[

2xxxxff) ，则.( (1．×′())＝2＝x e1xfxf)

×′( )＝2．(.( )＝，则xx1e＋＋1e xfxfxx) ×＝cos－)＝sin( )的导数为．′(( 3．函

数)(

利用导数四则运算法则求导类型一求下列函数的导数．例1

32xxxx1＋＋12＋－3yy＝＝；(2)(1)；2x3＋xx2xyxyxxx.

＝1)(－＋3)(sin＋5)；(3)(4)＝(＋x cos 导数的运算法则考点导数乘除法则的混合运用题点313x22??xx31－22xy－＋解 (1)∵＋，＝15333x32??2－xx xy22.

∴－′＝＋－222222xxxx＋＋＋＋－

y方法一′＝(2)

22x＋

22xxxxx

24－＋＋2＝.

＝

2222xx

＋＋

y＝＝＝1－，方法二

22xx＋31＋－22

????????y－1 ′＝′＝′22xx????3＋3＋22xx 222xxx＋333＋＋2－2

＋＋－－－

＝

22x＋

x.

＝22x＋

yxxxxxxxx＋3)＋＋1)′([(＋5)′＝3)(＋1)(＋(＋5)＋＋3)]′(1)(＋[(′＝方法一(3)．

2xxxxxxxxxxx23. ＝3)3＋＋5)＋(＋(＋1)(＋＋3)′](1)(＋5)＋(18＋1)(＝＋3)(2＋＋

4)(2xxyxxxx5) ＋4＋3)(3)(＋5)＝(方法二∵＋＝(1)(＋＋23xxx＝，＋9＋＋2315232xyxxxx23. ＋＋＋15)′＝∴′＝(3＋918＋232????xyx′＝()′－(4)sin′x??cos xx－2′cos

xxxx＋＝)′－′sin(sin

2x

x2sin xxx. cos＝sin－＋2x cos 解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．反思与感悟(1)当不易直接应联系基本初等函数的导数公式，(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，，然后求导．这样可以减少运算量，优化解)用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换题过程．尽量少用积、差的求导法则求导，利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、(3) 商的求导法则求导．求下列函数的导数．跟踪训练1

x e2

yxxyxyx.

；＋logln；(2)(3)＝cos＝(1)＝3x sin 导数的运算法则考点

导数乘除法则的混合运用题点

22xyxxx()′＋log)′＋)′＝(解 (1)(log′＝331x. ＋＝2x ln3xxxxxyx(cos(ln)′ln)′

(2)′＝(cos＋lncos)′＝x cos xx.

ln＝－sin＋x x e????y′＝ (3)x??sin xx xx e－

＝

2x sin xxx

xxxx

cose ·sine ·cos －e －. ＝

22

xx sinsin 导数运算法则的综合应用类型二 利用导数求函数解析式1 命题角度．

x ln fxxfff (1)的大小关系； (e))＝＋2与例2 (1)已知函数′(1)，试比较(

xfxaxbxcxdxabcdfxxx . ，＋()＋，使得)cos ＝，试确定常数(2)设′((()＝，＋，)sincos 考点

导数的应用 题点 导数的应用

x ln －1fxf ′(1)，)＝ ＋解 (1)由题意得2′( 2

x 1－ln1xfff ′(1)＝－21. 1，得′(1)，即′(1)＝令＋＝ 1x lne1ln fxxf (e)＝－2e ＝－所以2e(，)＝－2 ，得

x ee f (1)＝－2，

1ffff (1)．(e)<＋2<0由，得(e)－ (1)＝－2e e fxaxbxcxdx ]′()cos )＝[(＋＋)sin (2)由已知 ′(＋axbxcxdx ]′[(＝[()cos ＋＋)sin ]′＋axbxaxbxcxdxcxdx )′)(cos ＋(＋＋)′sin)′cos ＋( ＋＋)(sin()′＋(＝axaxbxcxcxdx ＋＋＝cossin ＋()sin ＋－)cos(acxdxaxbcx . ＋＋

＝((－)cos －＋)sin fxxx ， ′(cos)＝又∵

da ，＝－0

??

cdcxa ，＝0，－－0－＝

??

? ∴即?axbaxc ，1，＋＋＝＝????cb ，＋＝0adbc ＝，解得0.

＝＝＝1反思与感悟 解决此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则．

x

ffxfxfxxf ′(1)′(1)＋)，且满足3ln(，则)＝跟踪训练2 已知函数(的导函数为)2e ′()

( 等于32 D.3B ．2eC.A ．－

2e －1－12e 导数的应用考点 导数的应用题点

D

答案3x fxf 2e ∵解析 ′()＝′(1)＋， x

ffx ，，得′(1)＋′(1)＝2e 令3＝13f . ′(1)＝∴ 2e －1命题角度2 与切线有关的问

题

x πcos －2????xayya 2，＝0垂直，则例3 (1)设曲线＋＝处的切线与直线1＋在点＝ ??x 2sin________.

考点 导数的应用 导数的应用题点 PxPyyxx 处的切线平行于直线－，则点＋1＝ln0上点．2的坐标为________(2)若曲线＝ 导数的

应用考点

题点 导数的应用e) 答案 (2)(e ，(1)1

2

xxxx 2cos －sin1－－cos y ＝， 解析(1)′＝

22

xx sinsin

π1

－