巧用一个恒等式简化解析几何运算_丁连根

－ 3m 4 －1
= － m． 所以
k2 （ k1 － k3 ） = k2 （ k1 + m）
( ) = y2 x2 － 2
y1 + m x1 + 2
= y1 y2 + my2 （ x1 + 2） （ x1 + 2） （ x2 － 2）
= y1 y2 + my2 （ my1 + 3） （ my1 + 3） （ my2 － 1）
第7 期
高中数学教与学
于是 x1
+ x2
=
－
1
16k + 4k2
，x1
x2
= 1
12 +4
k2
，
可得 4kx1 x2 = － 3（ x1 + x2 ） ． 由 A（ 0，1） 、B（ 0，－ 1） ，易知直线 AD： y =
y2
－1 x
x2
+ 1，直线 BC： y
=
y1
+1 x
x1
－ 1． 联立方
程组，并利用 yi = kxi + 2（ i = 1，2） ，解得
yQ
=
2kx1 x2 + x1 + 3x2 ． 3x2 － x1
将 4kx1 x2 = － 3（ x1 + x2 ） 代入，得
yQ
=
－
3 2
（
x1
+
x2 ）
+ x1
3x2 － x1
+ 3x2
= 1． 2
所以，点
Q
的纵坐标为定值
1 2
．
M、N 两点．
（ 1） 求椭圆 C 的标准方程；
（ 2） 记 AFM、BFN 的面积分别为 S1 、
S2
，若
S1 S2
=
3 2
，求
k
的值；
（ 3） 设线段 MN 的中点为 D，直线 OD 与右
准线相交于点 E，记直线 AM、BN、FE 的斜率分
别为 k1 、k2 、k3 ，求 k2 （ k1 － k3 ） 的值．
（ 2） 设直线 AC、BD 的斜率分别为 k1 、k2 ．
① 若 k2 = 3k1 ，求证： 直线 l 过定点；
②
若直线
l
过椭圆的右焦点
F，试判断
k1 k2
是否为定值，并说明理由．
解
（ 1）
x2 4
+ y2 3
= 1． （ 过程略）
（ 2） ① 设直线 l 的方程为 x = my + n，代入
椭圆方程，得 （ 3m2 + 4） y2 + 6mny + 3n2 － 12 = 0．
( ) + 2） y2 － 3（ n － 2） y1 = 2my1 y2 =
4 n
－n
（ y1
( ) ( ) + y2） =
4 n
－n
y1 +
4 n
－n
y2 ．
因为上式对任意的 y1 恒成立，故 n + 2 =
4 n
－ n，解得 n
= 1．
所以，直线 l 恒过定点（ 1，0） ．
② 可设直线 l 的方程为 x = my + 1，C（ x1 ，
例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭
圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1（ a
＞ b ＞ຫໍສະໝຸດ Baidu0）
的左、右顶点分别
为 A、B，焦距为 2，直线 l 与椭圆交于 C、D 两点
（ 均异于椭圆的左、右顶点） ． 当直线 l 过椭圆
的右焦点 F 且垂直于 x 轴时，四边形 ACBD 的
面积为 6．
（ 1） 求椭圆的标准方程；
解题运用时，常 常 会 遭 遇 无 法 回 避 的 固 化 式
繁琐运算，能否 简 化 运 算 是 我 们 共 同 的 追 求 ．
运用创新思维，笔者发现，由两关系式消去 a，
可得一个简洁的恒等式 － c（ x1 + x2 ） = bx1 x2 ， 此恒等式能 简 化 运 算 过 程，给 我 们 带 来 不 同
设 l： y = kx + 2，C（ x1 ，y1 ） ，D（ x2 ，y2 ） ．
{y = kx + 2，
由
可得
x2 + 4y2 = 4，
（ 1 + 4k2 ） x2 + 16kx + 12 = 0．
櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷
于是，k 的最大值是 2 + 槡2 ． 变式 10 已知正实数 a、b 满足 a2 + b2 =
－
4
6 +
m 3m2
，y1
y2
=
－
4
9 +3
m2
，可
得
2my1 y2
=
3（ y1 + y2 ） ．
故 yD
=
y1
+ y2 2
=－ 4
3 +
m 3m2
，xD
=
myD
+
1
=
4
4 +3
m2
，可
得
到
直
线
OD
的方程为
y
=
－ 34mx． 令 x = 4，得 yE = － 3m，即 E（ 4，－ 3m） ，
k3
=
1 2
．
当然，我 们 还 可 以 对 表 达 式 再 作 恒 等 变
形，析出 x1 + x2 ，然后让分子分 母 只 剩 下 k、
x1 （ 或 k、x2 ） ，再整体消元，可得如下解法：
解法 2
同上得 yQ
= 2kx1 x2 + x1 + 3x2 3x2 － x1
=
2kx1 x2 + 3（ x1 + x2 ）
中，发现问题比解决问题更难． ”这就提醒我
们要 善 于 思 考、敢 于 提 问，这 样 才 能 发 现 问
题，然后在 解 决 问 题 的 过 程 中 不 断 提 升 自 身
的数学能力．
·12·
的解题体验．
例1
如图
1
，已知椭圆
x2 4
+ y2
=
1 的上、
下顶点分别为 A、B，过点 P（ 0，2） 的直线 l 与椭
圆相交于两个不同的点 C、D，AD 与 BC 相交于 点 Q，试问： 点 Q 的纵坐标是否是定值？ 若是， 求出该定值； 若不是，说明理由．
解 依题意，可得直线 l 的斜率存在，可
解
（ 1）
x2 4
+ y2 3
= 1． （ 过程略）
（ 2） 略．
（ 3） 设直线 l 的 方 程 为 x = my + 1，由
{x = my + 1，
x2
+ y2
可得 = 1，
43
（ 4 + 3m2 ） y2 + 6my － 9 = 0．
设 M（ x1 ，y1 ） 、N（ x2 ，y2 ） ，则 有 y1 + y2 =
－ y1
3 2
（
y1
+
y2 ）
+ 3y2
= y1 + 3y2 3y1 + 9y2
=
1 3
．
（
定值）
评注 此题第（ 2） 问的两命题是一对互
逆命题． 其中 ① 是难点，因直接寻找定点运算
量太大，故参考答案是先猜定点为 P（ 1，0） ，然
后再证明 kPC = kPD ，很是费解． 这里均借助两 根之和与 两 根 之 积 的 关 系 实 现 次 数 的 统 一，
轻松实现问题的解决．
韦达定理在解析几何的运算中发挥着很
大的作用，但带来了无法回避的繁琐运算，能
否突破这一 固 式，在 不 可 作 为 处 寻 找 可 作 为
点？这是数学学习的创新之处． 本文借助一个
简洁的恒等 式 实 现 了 运 算 的 简 化，为 此 类 问
题找到了一个突破点． 我们说： “在数学学习
－ 2x1
=
－ 1
24k + 4k2
－ 2x1
3（ x1 + x2 ） － 4x1
－ 1
48k + 4k2
－ 4x1
=
1 2
．
例2
如图 2，已知椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1（ a
＞
b
＞
0）
的离心率为
1 2
，右准线方程为 x
=
4，
A、B 分别是椭圆 C 的左、右顶点，过右焦点 F
且斜率为 k（ k ＞ 0） 的直线 l 与椭圆 C 相交于
高中数学教与学
2019 年
巧用一个恒等式简化解析几何运算
丁连根
（ 江苏省姜堰市第二中学，225500）
若 x1 、x2 为一元二次方程 ax2 + bx + c =
0（ a ≠ 0）
的两实根，则 x1
+ x2
=－
b a
，x1 x2
=
c a
，这就是著名的韦达
定理，在
解析几
何的
运
算中常发挥着举足轻重的作用． 然而在具体
设 C（ x1 ，y1 ） 、D（ x2 ，y2 ） ，则 有 y1 + y2 =
－
6mn 3m2 +
4，y1 y2
=
3n2 3m2
－ 12 +4
，
得
2mny1 y2
=
－ （ n2 － 4） （ y1 + y2 ） ．
又由 k2
=
3k1 ，得
x2
y2 －
2
=
3 x1
y1 +
2
，即
y2 （ my1 + n + 2） = 3y1 （ my2 + n － 2） ，因此（ n
( ) 所以 m ≥
1 2
－1 + 1 槡2 + 1
=
3 槡2 2
－ 2，即 m
的最小值是3
槡2 2
－
2．
基本 不 等 式 问 题 的 解 题 方 法 很 多，其 中
换元法是将复杂的基本不等式问题转化为简 单问题或者熟悉问题的重要策略． 笔者相信，
只要学习者 能 认 真 总 结 提 炼，就 一 定 能 从 根 本上把握基 本 不 等 式 问 题 的 解 题 技 巧，做 到 游刃有余．
=
（ m2 m2 y1 y2
+ 1） y1 y2 － my1 +
+ 3my2 3my2 －
． 3
·11·
高中数学教与学
2019 年
将 y1 y1 = 23m（ y1 + y2 ） 代入，并将分母的
常数项 3 用
－4
+ 2
3m2 m
（
y1
+ y2 ）
替换，可得
k2 （ k1 － k3 ）
3
( ) ( ) = 2
评注 在求得 yQ 后，要证明其为定值，化
简是关键，发现 x1 与 x2 的系数不等，不好直接
运用 x1 + x2 ，给化简带来了一定的难度． 利用
恒等式 4kx1 x2 = － 3（ x1 + x2 ） ，能将二次的 x1 x2
降为一次的 x1 + x2 ，从而实现分子分母次数的
统一，很快得到定值
1，a3 + b3 + 1 = m（ a + b + 1） 3 ，求实数 m 的最
小值．
分析 问题中含有三个未知数 a、b、m，
而且次数比较高，正面直接处理比较棘手． 由 a2 + b2 = 1，可以考虑用三角换元来处理．
( ) 解 设 a = cos x，b = sin x，x ∈ 0，π2 ，
则 sin3 x + cos3 x + 1 = m（ sin x + cos x + 1） 3 ．
( ) 再令 sin x + cos x = t
= 槡2 sin
x+
π 4
∈ （ 1，
( ) 槡2 ] ，于是 t
1 － t2 － 1 2
+ 1 = （ t + 1） 3 m，整理
得
·10·
( ) m
=
2 2（ t
－t + 1）
=
1 2
－1 + 3 ． t +1
注意到t
3 +
1
在
t
∈ ［1，槡2］时为减函数，
y1 ） ，D（ x2 ，y2 ） ． 同例 2（ 3） ，可得 2my1 y2 = 3（ y1
+ y2 ） ． 于是
k1 = y1 ·x2 － 2 = y1 （ my2 － 1）
k2 x1 + 2 y2
y2 （ my1 + 3）
= my1 y2 － y1 my1 y2 + 3y2
=
3 2
（
y1
+
y2 ）
m+
1 m
y1 +
3 2
3m +
1 m
y2
( ) ( ) 2
m
+
1 m
y1 + 2
3m +
1 m
y2
= 3． 4
评注 这里遇到了与例 1 相同的问题，
我们在运用 2my1 y2 = 3（ y1 + y2 ） 统一次数的
同时，还把常数 3
调整为
－
4
+ 2
3m2 m
（
y1
+
y2 ）
，
不然找不到公因式，无法实现消元．