大学物理习题课7
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一.表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度 B 沿任何 闭合回路L的线积分，等于穿过这回路的所有电流强
度代数和的 0倍 数学表达式：
安培环路定理习题课
L
B dl o
i
I1
I2
L I3
Ii
1. 符号规定：穿过回路L的电 流方 向与L的环绕方向服从右 手螺旋关系的 I 为正，否则为 负。不计回路外的电流.
0 j 0 j B i i 0 ji 2 2
（2） 两导体载流平面之 外的磁感应强度为
0 j 0 j B i i 0 2 2
∴图B正确Hale Waihona Puke Baidu
3. 空气中有一半径为 r 的"无限长"直圆柱金属导体,
竖直线OO'为其中心轴线, 在圆柱体内挖一个直径
1 为 r 的圆柱空洞, 空洞侧面与OO'相切, 在未挖洞 2
部分通以均匀分布的电流I, 方向沿OO'向下, 如图所示, 在距轴线 3r 处有 一 电 子 ( 电 量 为 e) 沿 平 行于 OO'轴方向, 在中心轴线OO'和 e P 空洞轴线所决定的平面内, 向 3r
2.
B是所有电流产生的总磁场. 回路外的电流对 B 有贡献,对 B
( L内)
I
i
I1 I 2
的环流无贡献.
二.安培环路定理的应用 （轴对称，面对称）
典型结果
无限长直均匀载流圆筒 r
L B dl 0 I
r< R r >R B0 B
I
0 I
2 πr
密绕螺绕环
O
82 0 I P点的总磁场为: B B1 B2 495r 电子经P时 所受的力: F evB 82 0 I ev 495r
方向向左
4.设有两无限大平行载流平面，它们的面电流密度 均为j，电流流向相反，如图所示，求： （1）两载流平面之间的磁感应强度； （2）两面之外空间的磁感应强度。
0 I R32 r 2 B3 2 2r R3 R22
（4）r >R3
B4 2r 0 ( I I ) 0,
B4 0
磁感强度Ｂ(r)的分布曲线如图。
2．无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为 a、b， 电流在截面上均匀分布，则空间各处的B大小与场点到 圆柱中心轴线的距离r的关系定性地如图所示。正确的 图是 [ B ]
L B d l 0 Ii
b
i
a
I (r 2 a 2 ) B 2r 0 , ( a r b) 2 2 (b a )
0 Ia 2 B 2 2 2 (b a ) 2r (b 2 a 2 ) 0 Ir
d2 B 2 0 凸函数 dr
B d l 0 I
得 (1) r R1
I B1 2r 0 2 r 2 R1
(2) R1 r R2
0 Ir B1 2R12
B2 2r 0 I
0 I B2 2r
（3）R2<r<R3
( r 2 R2 2 ) B3 2r 0 I I 2 2 ( R3 R2 )
r
B
0 NI 2πr
密绕长直螺线管内部场
B 0nI
无限大均匀载流平面 面电流密度j
0 j B 2
1.有一同轴电缆，其尺寸如图所示，两导体中的电流均为I， 但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处 的磁感强度：（1）r<R1；（2）R1<r<R2；（3）R2<r<R3； （4）r>R3。画出B－r图线。 解:由安培环路定理
L
dB d B' '
d l'
P
d
l
c
o
d l''
a
b
B
o j
2
方向如图所示。
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
由安培环路定理，可求得单块无限大载流平面在两侧的磁 感应强度大小为0j/2，方向如图所示，根据磁场的叠加原 理可得 （1）取垂直于屏幕向里为x轴正向，两载流平面之间 合磁场为
r 2
O
I
下以速度 v 飞经P点, 求电子
经P时, 所受的磁场力.
v
O'
解:电流密度
r 2
16I 2 r 2 15r 2 2 [r ( ) ] 4 I
r
r 4
视空洞处通有等大反向电流,则大圆柱体载 有方OO‘向下的电流,小圆柱体载有方向沿 OO’向上电流.设大小载流圆柱体在P点的 eP 3r I 磁场为B1,B2,根据安培环路定理求得: 0r 2 0 r v B1 B1 2（ r） 0r 2 3 2（ r） 3 6 O' 圆柱空洞 r 0 ( )2 r r r 2 0 4 B2 2（ r ） 0 ( ) 3 B2 r 4 4 2（ r ） 88 3 4
复习：无限大平板电流的磁场分布 设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于 纸面朝外的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂 直的单位长度的电流）到处均匀。大小为j
解：视为无限多平行 长直电流的场。
dB
d B'
P
d B' '
分析求场点P的对称性
做 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
d l'
o
d l''
无数对称元在 P点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
d B'
作一闭合回路如图： bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有 B d l B2l o jl
度代数和的 0倍 数学表达式：
安培环路定理习题课
L
B dl o
i
I1
I2
L I3
Ii
1. 符号规定：穿过回路L的电 流方 向与L的环绕方向服从右 手螺旋关系的 I 为正，否则为 负。不计回路外的电流.
0 j 0 j B i i 0 ji 2 2
（2） 两导体载流平面之 外的磁感应强度为
0 j 0 j B i i 0 2 2
∴图B正确Hale Waihona Puke Baidu
3. 空气中有一半径为 r 的"无限长"直圆柱金属导体,
竖直线OO'为其中心轴线, 在圆柱体内挖一个直径
1 为 r 的圆柱空洞, 空洞侧面与OO'相切, 在未挖洞 2
部分通以均匀分布的电流I, 方向沿OO'向下, 如图所示, 在距轴线 3r 处有 一 电 子 ( 电 量 为 e) 沿 平 行于 OO'轴方向, 在中心轴线OO'和 e P 空洞轴线所决定的平面内, 向 3r
2.
B是所有电流产生的总磁场. 回路外的电流对 B 有贡献,对 B
( L内)
I
i
I1 I 2
的环流无贡献.
二.安培环路定理的应用 （轴对称，面对称）
典型结果
无限长直均匀载流圆筒 r
L B dl 0 I
r< R r >R B0 B
I
0 I
2 πr
密绕螺绕环
O
82 0 I P点的总磁场为: B B1 B2 495r 电子经P时 所受的力: F evB 82 0 I ev 495r
方向向左
4.设有两无限大平行载流平面，它们的面电流密度 均为j，电流流向相反，如图所示，求： （1）两载流平面之间的磁感应强度； （2）两面之外空间的磁感应强度。
0 I R32 r 2 B3 2 2r R3 R22
（4）r >R3
B4 2r 0 ( I I ) 0,
B4 0
磁感强度Ｂ(r)的分布曲线如图。
2．无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为 a、b， 电流在截面上均匀分布，则空间各处的B大小与场点到 圆柱中心轴线的距离r的关系定性地如图所示。正确的 图是 [ B ]
L B d l 0 Ii
b
i
a
I (r 2 a 2 ) B 2r 0 , ( a r b) 2 2 (b a )
0 Ia 2 B 2 2 2 (b a ) 2r (b 2 a 2 ) 0 Ir
d2 B 2 0 凸函数 dr
B d l 0 I
得 (1) r R1
I B1 2r 0 2 r 2 R1
(2) R1 r R2
0 Ir B1 2R12
B2 2r 0 I
0 I B2 2r
（3）R2<r<R3
( r 2 R2 2 ) B3 2r 0 I I 2 2 ( R3 R2 )
r
B
0 NI 2πr
密绕长直螺线管内部场
B 0nI
无限大均匀载流平面 面电流密度j
0 j B 2
1.有一同轴电缆，其尺寸如图所示，两导体中的电流均为I， 但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处 的磁感强度：（1）r<R1；（2）R1<r<R2；（3）R2<r<R3； （4）r>R3。画出B－r图线。 解:由安培环路定理
L
dB d B' '
d l'
P
d
l
c
o
d l''
a
b
B
o j
2
方向如图所示。
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
由安培环路定理，可求得单块无限大载流平面在两侧的磁 感应强度大小为0j/2，方向如图所示，根据磁场的叠加原 理可得 （1）取垂直于屏幕向里为x轴正向，两载流平面之间 合磁场为
r 2
O
I
下以速度 v 飞经P点, 求电子
经P时, 所受的磁场力.
v
O'
解:电流密度
r 2
16I 2 r 2 15r 2 2 [r ( ) ] 4 I
r
r 4
视空洞处通有等大反向电流,则大圆柱体载 有方OO‘向下的电流,小圆柱体载有方向沿 OO’向上电流.设大小载流圆柱体在P点的 eP 3r I 磁场为B1,B2,根据安培环路定理求得: 0r 2 0 r v B1 B1 2（ r） 0r 2 3 2（ r） 3 6 O' 圆柱空洞 r 0 ( )2 r r r 2 0 4 B2 2（ r ） 0 ( ) 3 B2 r 4 4 2（ r ） 88 3 4
复习：无限大平板电流的磁场分布 设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于 纸面朝外的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂 直的单位长度的电流）到处均匀。大小为j
解：视为无限多平行 长直电流的场。
dB
d B'
P
d B' '
分析求场点P的对称性
做 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
d l'
o
d l''
无数对称元在 P点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
d B'
作一闭合回路如图： bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有 B d l B2l o jl