普通物理实验误差理论讲解

2
间接测量量的不确定度计算过程
1. 先写出各直接测量量 x 的不确定度Ux
2
F ln F F ( x , y , z ,...) 2.依据关系 求出 或 x x
或
F Ux 3. 用 U x
U
求
U
或
U
lnF Ux x
8
三、随机变量的分布
正态分布：大量相对独立因素共同作用下得到的随 机变量服从正态分布。物理实验中多次独立测量得 到的数据一般可以近似看作服从正态分布。
f (x)
2 1 1 x f (x ) exp 2 2
σ小
σ大

x
表示 x 出现概率最大的值，消除系统误差后， 通常
应估读一位。
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4.有效数字的运算
规则:存疑数与存疑数运算是存疑数；存疑数与准确数运 算是存疑数；准确数与准确数运算是准确数；结果 保留一位存疑数。 实际运算按如下方法进行. (1)加减运算.结果末位以参与运算的末位最高的数为准。 如 11.4+2.56=14.0 75-10.356=65 (2)乘除运算.以参与运算的有效位数最少的数为准.考虑 乘法可能进位,结果可多取一位。 如 4000×9=3.6×104 2.000÷0.99=2.0 27
2 2 U UA UB (t
n )2 S x 2 仪 2
2 2 Sx 仪 13
二、测量结果的评价
完整的测量结果应表示为：
x x0 U (SI)
包括： 测量结果 测量对象的量值
测量的不确定度 测量值的单位
（x= x0 U 表示被测对象的真值落在(x0 U ， x0 U )范围内的概率很大， U的取值与一定的 置信概率相联系。)
2.修约规则：小于五舍、大于五入、逢五凑偶
例: 0.023644 13.0501
三位 三位
0.0236 13.0
21.1350
四位
21.14
对误差和不确定度,只入不舍
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3.测量结果读数举例：
(1)直接测量量（原始数据）的读数应 反映仪器的精确度 游标类器具
（游标卡尺、分 光计度盘、大气 压计等）读至游 标最小分度的整 数倍，即不需估 读。
2 8.98
3 2.48
4 1.59
5 1.24
6 1.05
7 0.93
8 0.84
9 0.77
10 0.72
15 0.55
20 ∞ 0.47 1.96 n
当 5< n ≤10时，可简化认为 UA=Sx（置信概率95%）
B 类分量UB 主要由仪器的误差特点来决定. 1.96 均匀分布，置信概率为95%时 UB 仪 仪 3 不确定度的合成：
1.有效数字的概念
有效数字由准确数字和存疑数字组成。
21
读有效数字时要注意：
（1）一般在最小分度内估计一位(除特殊例外)； （2）有效数字的位数与小数点无关； 例: 0.0123 ——三位 12.3000 ——六位 （3）常用科学记数法。 例: 332.60m=0.33260km=3.3260×102m=3.3260×104cm
4
测量列的标准偏差为
S
( L L)
i 1 i
6
2
61
0.03mm
7.仪器误差限－仪器的最大允许误差 长度测量工具取其最小分度值的一半(游标卡 尺，螺旋测微器有另外的约定)； 取天平的最小分度为仪器误差限；
取秒表的最小分度为仪器误差限；
5
水银、酒精温度计的仪器误差限取最小分度的值一半； 指针式电压表、电流表 电阻箱近似取为
6
二、测量误差的分类
1.系统误差
定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限次测量 过程中所得结果的平均值与被测量的真值之差。 特征：系统误差以确定性规律表现出来。 产生原因：由于测量仪器、测量方法、环境带入 分类及处理方法： ①已定系统误差：必须修正。如：电表、螺旋测微计 的零位误差； 伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽 略表内阻引起的误差。 ②未定系统误差：要估计出分布范围。如：螺旋测微 计的螺纹公差等（大致与 B 类不确定度UB 相当）。7
实际运用中,将测量的算术平均值当作约定真值.
2. 相对误差E
3. 偏差xi
n
x i x i x
E 100%
4. 标准误差 测量列中某次测量的标准误差.
lim
n 2 ( x ) i 1 i
n
为测量次数无穷时的平均值。
2
5. 标准偏差
假定对一个量进行了n次测量，测得的值为xi ， 可以用多次测量的算术平均值作为被测量的最 佳估计值
Sx
Sx n


( x x ) i i 1 n(n 1)
n
2
例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度L，6次测量结 果如下（单位mm）：250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10。求该测量列的最佳估计值和标准偏差。 解：测得值的最佳估计值为
L L 250.09mm
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数显仪表及有 十进步式标度 盘的仪表（电
阻箱、电桥、电 位差计、数字电 压表等）一般应 直接读取仪表的 示值。
24
指针式仪表及 其它带刻度器 具，读数时估 读到仪器最小 分度的1/2～ 1/10，或使估 读间隔不大于 仪器基本误差 限的1/5～1/3。
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注意指针指 在整刻度线 上时读数的 有效位数。
2 ( x x ) i 单次测量的标准偏差为 S x n1 此式称为贝塞耳公式。 n i 1
用标准偏差 S 表示测得值的分散性 Sx大，表示测得值很分散，测量的精密度低； Sx小，表示测得值很密集，测量的精密度高；
3
6.平均值的标准偏差
多次测量的算术平均值 差
x作也是随机变量，也有误
x x x0 0.250 0.006 0.244(mm)
测量列的标准偏差
S
2 2 2 2
2 ( x x ) i Байду номын сангаас 1 6
61
2
0.002mm
2
U U A U B s 仪 0.002 0.004 0.005mm
则：测量结果为 x=0.244±0.005mm
2. 随机误差
测量结果与测量平均值之差。 在多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方式变化。 产生原因：实验条件和环境因素无规则的起伏变化， 引起测量值围绕真值发生涨落的变化。 例如：电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在 一定范围内随机变化；操作读数时的视差影响。
特点：
①小误差出现的概率比大误差出现的概率大； ②多次测量时分布对称，具有抵偿性——因此取 多次测量的平均值有利于消减随机误差。
2 B
（实验教学中一般用总不确定度，置信概率取95%12 ）
•由于测量次数小，数据离散度大，测量结果将不符合正
态分布，而是符合t 分布（t 分布也叫学生分布， n 小时， t 分布偏离正态分布较多。n 大时趋于正态分布）。 tp Sx UA与t 分布的关系: U A n
n
t n
•不确定度的简化处理方法
4
4
合成
求UV 结果
UV UV V 9.436 0.0081 0.08cm 3 V
V=9.44±0.08cm3
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§3 数据处理的基本知识
一、有效数字及其运算
在实验中我们所测的被测量都是含有误差的数值， 对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的准确 度。所以在记录数据、计算以及书写测量结果时， 应根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟 应取几位有效位数。
i
2
x 2 x 2 3 x 3
P 0.68
n
P 0.95 P 0.99
10
§2 不确定度和测量结果的表示
不确定度的权威文件是国际标准化组织(ISO)、 国际测量局(BIPM)等七个国际组织1993年联合推出的 《测量不确定度表示指南ISO1993(E)》 不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不 能确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限值。 不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随 机误差分量和未定系统误差的联合分布范围。 由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它 可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为 零的正值，是可以具体评定的。
2 2 2
和差形式
乘、除、指数形式
不确定度传播公式：
x y x y 或 x y k m x y
U U
2 2 Ux Uy

U

Uy Ux x y
2
2
2


Uy Ux 18 k x m y
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测 量的分类
•测量分为直接测量和间接测量
直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函
数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；
间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知
函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。
•任何测量都可能存在误差（测量不可能无限准确)。
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1.直接测量结果的评价
• 结果表示： 以测量列 x 的平均值 再修正掉已定系统误差项′
测量误差与数据处理的基础知识
§1 测量与误差
误差 ＝ 测量值－真值 误差特性：普遍性、误差是小量 由于真值的不可知，误差实际上很难计算 （有时可以用准确度较高的结果作为约定 真值来计算误差）
1
一、测量误差的概念 1. 绝对误差 测量结果与被测量的真值的差为测量误差，又 称绝对误差。 xi 0
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F x ，y，z，
2
2.间接测量量的不确定度
2 2
F F F U＝ U x U y U x x y x U lnF lnF lnF ＝ Ux Uy Uz x y z
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一、不确定度
标准不确定度：置信概率为68%时的不确定度； 扩展不确定度：其它置信概率时的不确定度。 •总不确定度分为两类不确定度： A类分量UA ：多次重复测量时与随机误差有关的分量； B类分量UB ：未定系统误差有关的分量。 这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成：
U U U
2 A
就可以得到 x 的真值。σ称为标准差，决定了f(x)曲线 的宽窄。 9
置信概率
P
x2 x1
f x dx
P表示随机变量 x 在〔x1，x2〕区间出现的概率，称 为置信水平或置信概率。 实际测量的任务是通过测量数据求得 和 的值。
lim
n
x
n
i
lim
n
x
得到被测对象的量值。
x ( x ) U
U是由A、B 类不确定度合成的总不确定度 .简化处理 情况下
U S
2 x
2 仪
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例：用螺旋测微计测某一钢丝的直径， 6 次测量值 xi 分别为：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250; 同时 读得螺旋测微计的零位 x0为：0.006, 单位 mm，已知 螺旋测微计的仪器误差为Δ仪=0.004mm，请给出完整 的测量结果。 解：测得值的最佳估计值为
2

4.最后表示结果为
U
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间接测量量的不确定度计算举例
例：已知金属环的外径 D2 3.600 0.004cm 内径 D1 2.880 0.004cm 高度 h 2.575 0.004cm 求环的体积V 及其不确定度ΔV。 2 2 2 2 3 解:求环体积 V ( D2 D1 )h (3.600 2.880 ) 2.575 9.436cm 求偏导
2 D2 lnV -2 D1 lnV lnV 1 = 2 , = 2 , 2 = 2 D2 D2 - D1 D1 D2 - D1 h h 2 D2U D2 2 2 D1U D1 2 U h 2 UV ( 2 ) ( 2 ) ( ) (带入数据) 0.0081 2 2 V D2 D1 D2 D1 h
仪 % Am 仪 % R
α是表的准确度等级,可从仪器面板或铭牌上找到.Am 是测量时所用量程.R为电阻测量值. 例.用0.2级电压表,量程10V,则 Δ仪 0. 2% 10 0.02V 若量程用100V,则 Δ仪 0. 2% 100 0.2V 量程不同,Δ仪不同.为减小误差影响,选用量程时,应尽 量使指针偏转达满度值的2/3以上.