高二下数学期中试卷(苏教版)
江苏省高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．满足关系式的正整数组成的集合为（ ） 32n n 2C A ≤n A ． B ． C ． D ．{}2,3,4{}3,4,5{}2,3,4,5{}1,2,3,4,5【答案】B【分析】根据组合数以及排列数的计算公式即可由不等式求解.【详解】由题意可知且，根据组合数以及排列数的计算公式可得3n ≥N n ∈，解得,所以可取3,4,5,()()()12216n n n n n --£-5n ≤n 故选：B2．已知四组不同数据的两变量的线性相关系数如下：数据组①的相关系数；数据组②的相r 10r =关系数；数据组③的相关系数；数据组④的相关系数.则下列说法正确20.95r =-30.89r =40.75r =的是（ ）A ．数据组①对应的数据点都在同一直线上B ．数据组②中的两变量线性相关性最强C ．数据组③中的两变量线性相关性最强D ．数据组④中的两变量线性相关性最弱 【答案】B【分析】根据线性相关系数的性质逐个判断即可【详解】对A ，数据组①的相关系数，故数据组①对应的数据点无线性关系，故A 错误； 10r =对BC ，数据组②的相关系数为4组中绝对值的最大值，故数据组②中的两变量线性相关20.95r =性最强，故B 正确，C 错误；对D ，数据组①的相关系数为4组中绝对值最小，故数据组①中的两变量线性相关性最弱，10r =故D 错误 故选：B3．已知正方体，点E 是的中点，点F 是AE 的三等分点，且，则ABCD A B C D -''''A C ''12AF EF =等于（ ） AFA ．B ．111322AA AB AD '++111222AA AB AD '++C ．D ．111366AA AB AD '+-111366AA AB AD '++【答案】D【分析】根据空间向量的分解，线性表示方法可求解. 【详解】因为1122AE AA A E AA A C AA AC ''''''=+=+=+, ()111222AA AB AD AA AB AD ''=++=++ 所以. 11113366AF AE AA AB AD '==++故选:D.4．已知函数，若，则（ ）()ln mf x x x =+0(12)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=-∆m =A ． B ．C ．D ．1-2-3-5-【答案】B【分析】求出，再利用导数的定义可得，进而代入求解即可()11m f x mx x -'=+()11f '=-()f x '【详解】因为，则，所以()ln m f x x x =+()11m f x mx x-'=+，故，故，解得()()()()()00121121lim2lim 2122x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'===-∆∆()11f '=-11+=-m2m =-故选：B.5．已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作220x y +-=S (0,T -m S C D T 的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（ ）SC SD M M A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．双曲线一支【答案】B【分析】确定圆心和半径，计算得到，则MT MD =MT MS SD -==到答案.【详解】，即圆，故，220x y +-=(2212x y +-=(0,S r =因为平行与，，所以，故 SC TM SD SC =MT MD =MT MS SD -==故点的轨迹为双曲线.M故选：B6．若，则（ ） ()()()()828012823111x a a x a x a x +=+++++++ 02468a a a a a ++++=A ．6562 B ．3281 C ．3280 D ．6560【答案】B【分析】分别令和再联立求解即可0x =2x =-【详解】令有，令有，故0x =8012836561a a a a =++++= 2x =-01281a a a a =-+-+ 02468a a a a a ++++=6561132812+=故选：B7．设F 为双曲线C ：（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆22221x y a b-=x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，PQ x A PQ x ⊥又，为以为直径的圆的半径，||PQ OF c == ||,2cPA PA ∴=∴OF 为圆心． A ∴||2c OA =，又点在圆上，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P 222x y a +=，即． 22244c c a ∴+=22222,22c c a e a=∴==，故选A ．e ∴=【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．8．已知有限数列项数为16，满足：，，，，则符合此{}n a 11a =1610a =-11k k a a +-=()1,2,,15k = 条件的数列有（ ） {}n a A ．100 B ．105 C ．106 D ．117【答案】B【分析】确定或，15组数里面共有13个，2个，共有种数列满足11k k a a +-=11k k a a +-=-1-1215C 条件，计算即可.【详解】，则或，11k k a a +-=11k k a a +-=11k k a a +-=-，()()()161161515142111a a a a a a a a -=-+-++-=- 故15组数里面共有13个，2个，共有种数列满足条件.1-1215C 105=故选：B二、多选题9．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空{},,a b c →→→x a b →→→=+y b c →→→=+z c a →→→=+间的基底的是（ ） A ． B ．C ．D ．{},,a b x →→→{},,x y z →→→{},,b c z →→→{},,x y a b c →→→→→++【答案】BCD【分析】根据空间向量共面基本定理，逐项判断每组向量是否共面，即可得出结论.【详解】，共面，故不能作空间基底，故A 错误；x a b →→→=+ ∴,,a b x →→→{},,a b x →→→假设共面，则存在，使得，,,x y z →→→,R λμ∈z x y λμ=+ ，()()()c a a b b c a b c λμλλμμ+=+++=+++所以，方程组无解，所以假设不成立，即不共面，101λλμμ=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,,x y z →→→所以可以作为空间向量的一组基底，故B 正确；{},,x y z →→→同理可得，均可作为空间向量的一组基底，故CD 正确. {},,b c z →→→{},,x y a b c →→→→→++故选：BCD.10．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，则下列()3,N nn n *≥∈说法正确的有（ ）A ．展开式的各项系数和为128B ．展开式中存在常数项C ．展开式中存在有理项D ．展开式中项的系数最大值为 214【答案】CD【分析】根据二项式的通项公式，结合等差数列的性质逐一判断即可. 【详解】因为第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，所以有，或舍去， 213(1)(1)(2)2C C C 2726n n n n n n n n n n ---=+⇒⋅=+⇒=2n =在中令，得，71x =7711122218-⎛⎫-== ⎪⎝⎭展开式的各项系数和为，所以选项A 不正确； 1218二项式的通项公式为：7， 143741771C C 2rrr rrrr T x --+⎛⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅- ⎪ ⎝⎭⎝令，所以没有常数项，因此选项B 不正确； 143140N 43r r -=⇒=∉当时，，所以展开式中存在有理项，因此选项C 正确； 2r =14324r-=要想展开式中项的系数有最大值，必有，0,2,4,6r =当时，，0r =0071C 12⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭当时，，2r =227121C 24⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭当时，，4r =447135C 216⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭当时，，6r =66717C 264⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭所以存在展开式中项的系数最大值为，因此本选项正确， 214故选：CD11．下列说法中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量服从正态分布，若，则X ()26,N σ()100.8P X <=()260.3P X <<=B ．，()()2323E X E X +=+()()2323D X D X +=+C ．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 r D ．已知随机变量满足，，若，则随着的增大而减小 ξ()0P x ξ==()11P x ξ==-102x <<()E ξx 【答案】AD【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断A 选项；利用期望和方差的性质可判断B 选项；利用相关系数与线性相关性的关系可判断C 选项；利用求出，利用一次函数的单调性可判断D 选()E ξ项.【详解】对于选项A ，因为随机变量，所以正态密度曲线的对称轴是，()26,X N σ:6x =因为，所以，()100.8P X <=()100.2P X >=所以，，所以选项A 正确；()20.2P X <=()260.3P X <<=对于选项B ，，，故选项B 不正确；()()2323E X E X +=+()()234D X D X +=对于选项C ，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于，反之，线性相r 1关性越弱，故C 错误；对于选项D ，由题意可知，，当时，随着的增大而减小，D 对. ()1E x ξ=-102x <<()E ξx 故选：AD.12．对于函数，下列选项正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．函数极小值为，极大值为()f x 1e -1e B ．函数单调递减区间为，单调递增区为 ()f x (][),e e,-∞-⋃+∞[)(],e,0e 0-⋃C ．函数最小值为为，最大值 ()f x e -e D ．函数存在两个零点1和 ()f x 1-【答案】AD【分析】先求得的奇偶性，当时，利用导数求得的单调区间和极值，即可判断A 、()f x 0x >()f x B 、C 的正误；令，可得零点，即可判断D 的正误，即可得答案. ()0f x =【详解】的定义域为，()ln x f x x=(,0)(0,)-∞+∞ 所以， ln ln ()()x x f x f x x x --==-=--所以为奇函数，()ln xf x x=当时，，，0x >()ln x f x x =21ln ()xf x x -'=令，解得，()0f x '=e x =当时，，则为单调递增函数， (0,e)x ∈()0f x '>()f x 当时，，则为单调递减函数， (e,+)x ∈∞()0f x '<()f x 因为为奇函数，图象关于原点对称，()f x 所以在上单调递减，在是单调递增， ()f x (,e)-∞-(e,0)-所以的极小值为，极大值为，故A 正确； ()f x ln e1(e)e e f --==--ln e 1(e)e ef ==的单调递减区间为，单调递增区为，故B 错误； ()f x (][),e ,e,-∞-+∞[)(]e e ,0,0,-在无最值，故C 错误；()f x (,0)(0,)-∞+∞ 令，解得，结合的单调性可得，存在两个零点1和，故D 正确. ()0f x =1x =±()f x ()f x 1-故选：AD三、填空题13．的展开式中常数项是______.（用数字作答）431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】4-【分析】根据的展开式的通项公式可求出结果.431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】的展开式的通项为， 431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()43141C kkk k T x x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭()4441C kk k x-=-⋅⋅令，得，440k -=1k =所以的展开式中常数项是.431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭14C 4-=-故答案为：.4-14．在等比数列中，已知，，则______. {}n a 134a a =9256a =8a =【答案】或128-128【分析】根据等比数列的公式直接计算得到答案.【详解】设等比数列的公比为，在等比数列中，，，q {}n a 134a a =9256a =，解得，或，， 211814256a a q a q ⎧=⎨=⎩11a =2q =11a =2q =-则或.781128a a q ==781128a a q ==-故答案为：或128-12815．2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往,,A B C A B小区的概率为____． 【答案】512【分析】根据分组分配利用排列组合计算个数，结合条件概率的计算公式即可求解. 【详解】记事件为“甲派往小区”，事件为“乙派往小区”，则M A N B 若A 小区分配甲一个人，则有，若A 小区分配甲以及另一个人一起，则有,故事件1132C C =61232C A =6包含的基本事件个数为，M 11113232C C C A =12+在甲派往小区的条件下，乙派往小区的情况为：①只有甲派往小区，只有乙派往小区，另A B A B 外两个人去C 小区，则有1种情况，②从丙丁中选一个人连同甲一起派往小区，只有乙派往A B 小区，剩下一个人去C 小区，则有种情况，③从丙丁中选一个人连同乙一起派往小区，只有12C B 甲派往小区，剩下一个人去C 小区，则有种情况，A 12C ,()11221+C +C 51212P N M ==故答案为：51216．若，则的最小值为______. 11212e 21133x x x y y +-==()()221212x x y y -+-【答案】/1.6/85315【分析】由题意知表示曲线上的点与直线上的点的()()221212x x y y -+-()e 2xf x x =+330x y --=距离的平方，将问题转化为上切线与直线距离最小值问题解决.()e 2xf x x =+330x y --=【详解】，， 11121112e 211e 233x x x x y x y y +-==⇒=+2233y x =-则表示曲线上的点与直线上的点的距离的平方，()()221212x x y y -+-()e 2xf x x =+330x y --=令得，所以曲线在的切线方程为，()e 23xf x '=+=0x =()f x ()()0,0f 310x y -+=所以曲线上的点与直线上的点的距离的最小值即为直线与()e 2xf x x =+330x y --=310x y -+=之间的距离，330x y --=即. d 285d =故答案为：85四、解答题17．已知等差数列满足，，，成等比数列；数列满足，{}n a 11a =21a +31a +5a {}n b 11b =．1n n n b b a +=+（1）求数列，的通项公式．{}n a {}n b （2）数列的前n 项和为，证明．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 12n T <【答案】（1）；；（2）证明见解析．21n a n =-()222n b n n n N +=-+∈【分析】（1）由等比数列的性质求得等差数列的公差，进而可得通项公式，由，利d n a 1n n n b b a +=+用累加法可求得通项公式；n b （2）用裂项相消法求得和后可证得不等式成立．n T 【详解】（1）由条件易知，即，解得：()()232511a a a +=+()()()222124d d d +=++2d =，1(1)221n a n n ∴=+-=-由，知，当时，1n n n b b a +=+121n n n b b a n +==--2n ≥()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+⋯+-+1211n n a a a b --=++⋯++1135(23)n =++++⋯+-，222n n =-+当时，也适合上式，故．1n =()222n b n n n N +=-+∈（2）由（1）知：， 111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列的通项公式，考查累加法求通项公式及等比数列的性质，裂项相消法求和，求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法； +（3）（数列为等差数列）：裂项相消法； 11n n n b a a +={}n a （4）等差等比数列：错位相减法.⨯18．每年春天，婺源的油菜花海吸引数十万游客纷至沓来，油菜花成为“中国最美乡村”的特色景观，三月，婺源篁岭油菜花海进入最佳观赏期.现统计了近七年每年(2015年用x =1表示，2016年用x =2表示)来篁岭旅游的人次y (单位：万人次)相关数据，如下表所示：x 1 2 34 5 67旅游人次(单位：万人次)y29 33 3644 48 5259若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2022年篁岭y x y x y bxa =+ 的旅游的人次；（2）为维持旅游秩序，今需､､､四位公务员去各景区值班，已知､､去篁岭值班的概A B C D A B C 率均为，去篁岭值班的概率为，且每位公务员是否去篁岭值班不受影响，用表示此4人中23D 13X 去篁岭值班人数，求的分布列与数学期望．X 参考公式：，.参考数据：，.()()()121niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ˆay bx =-71301i i y ==∑()()71140i ii x x y y =--=∑【答案】（1），万人次；（2）分布列见详解，． 523y x =+63()73E X =【分析】（1）根据表中数据结合参考公式即可求解回归方程，再代入求解2022年篁岭的旅8x =游的人次；（2）列出的可能取值，依题意求得各情况的概率，写出分布列进而求得数学期望． X 【详解】（1）由表知：，()1123456747x =++++++=()129333644485259437y =++++++=则()()()7712114059410149iii i i x x y y bx x==--===++++++-∑∑ 30154237ˆˆay bx =-=-⨯=所以523y x =+因为2015年用x =1表示，所以2022年是时，得(万人次)； 8x =582363y =⨯+=（2）的可能取值是0，1，2，3，4 X 则()303222013381P x C ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭()231033222221311113333381P x C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()22213322222230211133333381P x C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()32323322222283113333381P x C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯-⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()333228413381P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则的分布列为 X X 01 2 3 4P 281 1381 3081 2881 881故数学期望为 ()2133028870123481818181813E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 19．三棱柱中，，，线段的中点为，且111ABC A B C -112AB AB AA AC ====120BAC ∠= 11A B M .BC AM ⊥(1)求与所成角的余弦值；1AA BC (2)若线段的中点为，求二面角的余弦值. 11B C P 11P AB A --【答案】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线所成角即可， （2）由（1）建立的空间直角坐标系利用法向量求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）在线段上取一点，使，BC N 13CN BC =在三棱柱中，，111ABC A B C -11AB A B ∥在中，因为，是的中点， 11AB A △11AB AA =M 11A B所以， 11,AM A B AM ⊥==所以，AM AB ⊥因为平面， ,,,AM BC BC AB B BC AB ⊥⋂=⊂ABC 所以平面. AM ⊥ABC 在中，由余弦定理得：ABN :， 22242cos303AN AB BN AB BN =+-⨯⨯= 所以，所以，222AB AN BN +=AB AN ⊥以为原点，所在直线分别为轴，轴， A ,,AB AN AM x y 建立如图所示的空间直角坐标系，O xyz -，设，()()((()110,0,0,2,0,0,,,A B B A C --(1,C x y因为()()(1111,,0BC B C x y C =⇒-=-⇒-所以，(()1,AA BC =-=-设直线与所成的角为，1AA BC π,0,2θθ⎛⎤∈ ⎝⎦所以111cos cos<,AA BC AA BC AA BC θ>⋅=== （2）因为线段的中点为，11B C P 所以12P ⎛- ⎝设平面的一个法向量，1PAB ()1111,,n x y z =因为，(1,12AP AB ⎛=-= ⎝ 所以，11111111111100200n AP n AP x y n AB n AB x ⎧⎧⎧⊥⋅=-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎪⎩⎩=⎩ 令，则，11z=113x y ==-所以.()13,1n =-由（1）平面，平面， AM ⊥ABC AM ⊂11A AB 所以平面平面， 11A AB ⊥ABC 又平面平面11A AB ABC AB =又，平面，平面， AB AN ⊥AN ⊂ABC AN ⊄11A AB 所以平面，AN ⊥11A AB 所以为平面的一个法向量， AN11A AB 而在轴上，ANy 所以取平面的一个法向量，11A AB ()0,1,0AN =u u u r设二面角的平面角为，11P AB A --α121212cos cos ,n n n n n n α⋅===由图可知：为锐角，所以αcos α=所以二面角11P AB A --20．在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．(1)请完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关． 上课转笔 上课不转笔 合计优秀 25 合格 40 合计100(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k 的概率为 ，当取最大值时，求k 的值．()P k ()P k 附：，其中．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()2P K k ≥ 0.050 0.010 0.001k3.841 6.63510.828【答案】(1)填表见解析；能(2)分布列见解析；期望为 72(3) 9k =【分析】（1）根据题目条件完成列联表，根据的公式计算便可得出结论 2K （2）由题意可得可以取，然后分别计算对应的概率，再计算期望即可X 2,3,4,5（3）由题意可知，要使最大，则 列出不等式组计算即可 (20,0.45)k B :()P k ()(1)()(1)P k P k P k P k ≥+⎧⎨≥-⎩k 【详解】（1） 上课转笔 上课不转笔 合计优秀 5 25 30 合格 40 30 70 合计45551002100(5302540)=13.901 6.63545557030K ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯答：能在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关 （2）个人中优秀的人数为，100(0.01250.0025)2010030+⨯⨯=则合格的人数为人，由分层抽样可知：人中有人优秀，人合格； 701037由题意可以取X 2,3,4,5 ，2373510C C 1(2)C 12P X ===2373510C C 5(3)C 12P X === ，4173510C C 5(4)C 12P X ===5073510C C 1(5)C 12P X ===则的分布列为： XX 2 3 4 5P 112 512 512 11215517()2345121212122E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=答：的期望为X 72（3）由题意可知(20,0.45)k B :则2020()C 0.450.55k k kP k -= 20111920202011212020C 0.450.55C 0.450.55C 0.450.55C 0.450.55k k k k k k k k k k k k -++-----⎧≥⎨≥⎩解得，又 8.459.45k ≤≤N k ∈故9k =答：当时，取最大值时9k =()P k 21．设椭圆：，的左、右焦点分别为，.下顶点为，已知椭圆的短C 22221x y a b+=()0a b >>1F 2F AC 轴长为且离心率.12e =(1)求椭圆的的方程；C (2)若直线与椭圆交于异于点的、两点.且直线与的斜率之和等于2，证明：直线l C A P Q AP AQ l 经过定点.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据短轴长得到，得到椭圆方程.b =24a =（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，设直线方程，联立得到根与系数的关系，根据斜率之和为得到，代入直线方程得到定点.2t 【详解】（1）由题意可得，又离心率，可得，2b=b =12c e a ===24a =故椭圆的方程为：；22143x y +=（2），当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为，(0,A y kx t =+设，，联立， ()11,P x y ()22Q x y ,223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩整理可得：，()2223484120kykty t +++-=，即，()()2222644344120k t k t ∆=-+->2234t k <+且，，122834kt y y k -+=+212241234t y y k -=+则，2AP AQ k k +=+==整理可得：，即， ()(()121222k x x t x x -=+()(2224128223434t ktk t k k---⋅=⋅++整理可得：，整理可得：， 230t kt k-+=()0t t=解得或，t =t =因为直线不过点，所以A (0,t ≠当时，则直线l 的方程为， t =(y kx k x ==+显然直线恒等定点；当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，l x m =()2,2m ∈-将直线l 的方程代入椭圆的方程可得，可得 22314m y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y=设，， P m ⎛ ⎝,Q m ⎛⎝则，可得2AP AQ k k +===m 所以直线的方程为，l x =综上所述：可证得直线恒过定点；【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，利用韦达定理可以简化运算，是解题的关键.22．已知函数.()()2e xf x x =-(1)求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,(2)设，记函数在上的最大值为，证明：()()ln 2g x f x x x =+-+()y g x =1,12⎛⎫⎪⎝⎭()()g a a R ∈.()1g a <-【答案】(1) 22e 2e 0x y --=(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）利用导数判断出在上单调递增，在上单调递减，得到.()g x 01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭()0,1x ()max g x 00232x x =--令，，求出，即可证明.()232G x x x =--1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11G x G <=-【详解】（1）由题意可得，所以.()()1e xf x x '=-()()22221e e f '=-=又知，所以曲线在点处的切线方程为，()20f =()y f x =()()22f ,()20e 2y x -=-即.22e 2e 0x y --=（2）由题意，()()()ln 22e ln 2xg x f x x x x x x =+-+=--++则. ()()()()111e 2e 11e 11e x xx x g x x x x x x x ⎛⎫'=+--+=--+=-- ⎪⎝⎭当时，. 112x <<10x -<令，则，所以在上单调递增.()1e xh x x =-()21e 0xh x x'=+>()h x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，，121e 202h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()1e 10h =->所以存在，使得，即，即，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =001e x x =00ln x x =-故当时，，又，故此时； 01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <10x -<()0g x '>当时，，又，故此时. ()0,1x x ∈()0h x >10x -<()0g x '<即在上单调递增，在上单调递减，()g x 01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭()0,1x 则. ()()()()00000max 2e ln 2xg x g a g x x x x ===--++()000000122232x x x x x x =-⋅--+=--令，，则， ()232G x x x =--1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()22221220x G x x x-=-=>'所以在上单调递增，则，()G x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭()()11G x G <=-所以.()1g a <-【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)利用导数证明不等式．。
江苏省苏州市数学高二下学期理数期中考试试卷
江苏省苏州市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·衡阳模拟) 设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数，若z=2﹣i，则z+i 在复平面内所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目。
如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为，那么参加这次联欢会的教师共有（）A . 360人B . 240人C . 144人D . 120人3. （2分）设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6．现用直径等于2的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）拋掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是（）A . 2颗都是4点B . 1颗是1点，另1颗是3点C . 2颗都是2点D . 1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点5. （2分） (2018高二下·南宁月考) 设直线l1 ， l2分别是函数f(x)= 图象上点P1 ， P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1 ， l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A . (0,1)B . (0,2)C . (0,+∞)D . (1,+∞)6. （2分）(2020·南昌模拟) 正项等比数列中，的等比中项为，令，则（）A . 6B . 16C . 32D . 647. （2分）(2012·辽宁理) 一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A . 3×3!B . 3×（3!）3C . （3!）4D . 9!8. （2分）设复数z=(x-1)+yi(x,y R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A . +B . -C . -D . +9. （2分）已知f（x）=x3﹣3x+m+2，在[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，则实数m的范围是（）A . m＞2B . m＞4C . m＞6D . m＞810. （2分） (2019高二下·泗县月考) 已知，则（）A . 0.6B . 3.6C . 2.16D . 0.21611. （2分）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次实验成功，则在10次实验中，成功次数ξ的期望是（）A .B .C .D .12. （2分）某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）调查，y与x具有相关关系，回归方程y=0.66x+1.562，若A城市居民人均消费水平为7.765（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A . 83%B . 72%C . 67%D . 66%二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·葫芦岛月考) 函数的图像在处的切线方程为________.14. （1分）(2018·安徽模拟) 二项式的展开式中常数项为________．（用数字作答）15. （1分）某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如表：认为作业多认为作业不多总计喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总计262450由表中数据计算得到K2的观测值k≈5.059，于是________（填“能”或“不能”）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．16. （1分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有________ 种（用数字作答）．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高二上·伊春期末) 某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：245683040605070参考公式：（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？18. （10分） (2018高二下·甘肃期末) 3名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（1）任何2名女生都不相邻，有多少种排法？（2）男生甲、乙相邻，有多少种排法？（结果用数字表示）19. （10分）如图所示，小波从A街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是，红灯亮的概率都是．（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于D街区的概率；（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与A街区相距的街道数为ξ（如小波若处在A 街区则相距零个街道，处在D，E街区都是相距2个街道），求ξ的分布列和数学期望．20. （5分）(2017·青岛模拟) 某科技博览会展出的智能机器人有 A，B，C，D 四种型号，每种型号至少有 4 台．要求每位购买者只能购买1台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的．现在有 4 个人要购买机器人．（Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了 A，B，C，D 四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的概率；（Ⅱ）设这 4 个人购买的机器人的型号种数为ξ，求ξ 的分布列和数学期望．21. （15分）(2017·三明模拟) 某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（ i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．22. （10分）(2017·菏泽模拟) 已知函数f（x）=（2x+b）ex ， F（x）=bx﹣lnx，b∈R．（1）若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；（2）若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、21-1、22-1、答案：略22-2、答案：略。
江苏省高二下学期期中联考数学试题 Word版
高二数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不按以上要求作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则2C 15=n 2A =n A. 30 B. 20 C. 12 D. 62.下列求导运算正确的是A. B. C. D.()sin cos '=-x x 1ln '⎛⎫= ⎪⎝⎭x x ()1-'=x x a xa '=3.一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z （单位：）服从正态分布，且，则mm ()2180,σN ()()1900.9,1600.04≤=≤=P z P z()190200<<=P z A ．0.1 B ．0.04C ．0.05D ．0.064.已知函数与的部分图像如图所示，则 ()f x ()g x A.()()101''-<<-g f B. ()()011''<-<-f g C. ()()101''-<<-f g D.()()33''>f g 5.学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则不81同的分配方案种数为 A ．B ．C ．D ．458421426.已知在7个电子元件中，有2个次品，5个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到3个次品都找到为止，则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为 A.B.C.D.1212211424217.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有30名的年龄位于区间内.已知该地区这种疾病的患病率为，年龄位于区[)4050，0.15%间内人口占该地区总人口的.现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[)4050，20%内，则此人患该疾病的概率为 [)4050，A.B. C. D.0.05%0.125%0.225%0.325%8.已知，则3231, ln , 23-===a e b c A ．B ．C ．D ．<<a b c <<b c a <<c a b <<a c b 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为 ()32+nx *∈n N n A. 7B. 8C. 9D. 1010.已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是ξ()0ξ=Eξ 1- 0 2Pa 12bA ．B ．C ．D ．()1ξ=D (||)1ξ=D (21)4ξ+=D (3||2)5ξ-=D 11. 红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红黄蓝颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，表示事件“甲调配出红色”；表示事件A B “甲调配出绿色”；表示事件“乙调配出紫色”；则下列说法正确的是 C A ． B ． 1()15=P A 1(|)4=P C A C ． D.事件与事件相互独立4()45=P BC B C 12. 若二次函数的图象与曲线存在公切线，则实数2()23=+f x x :()3(0)=+>x C g x ae a a 的可能取值为A ．C.D.1228e 2e 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上.13.已知的展开式中含的项的系数为____▲____． 51(21)⎛⎫++ ⎪⎝⎭x x x 2x 14.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端且甲和乙不相邻，则不同的排列方式有___▲___种.15.已知函数，则在处的切线方程为___▲____．()()2ln 1'=+f x x x f ()f x ()1 1（，）f 16.某工厂的某种产品成箱包装，每箱100件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．记10件产品中恰有3件不合格品的()01<<p p 概率为，则取最大值时，____▲____．()f p ()f p =p 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．（1）从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布； （2）从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率.18.（12分）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （1）在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？ （2）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少? （3）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少? （4）在组成的五位数中，若从小到大排列，30421排第几个?19.（12分）已知展开式的二项式系数和为512，()(23)=-n f x x 且．2012()()()(23111)n nn x a a x a x a x =++--+--+L （1）求的值；2a （2）求的值； 123n a a a a ++++L L （3）求被6整除的余数． (20)20-f20.（12分）设函数，其中实数满足．()()()()=---f x x a x b x c c b a ,,2=+b a c (1)若且在上单调递增，求的取值范围； 0=b ()f x []24，a (2)若，求函数的极值； 3-=b a ()f x21.（12分）水蜜桃是生活中常见的水果之一，适量食用可以增高人体血红蛋白的含量，补充人体的维生素和膳食纤维，但水蜜桃的外皮较薄，往往小的划痕都容易造成它的腐烂变质。
苏教版某高中高二数学下学期期中试题及答案解析
江苏省江阴市二中、要塞中学等四校2019-2020学年高二数学下学期期中试题一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.复数的实部和虚部之和为A. 1B.C. 3D.2.若，则的值为A. 6B. 7C. 35D. 203.已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：回归方程是，其中，则当时，y的预测值为A. B. C. D.4.已知函数，则曲线在处的切线斜率为A. B. C. 1 D. 25.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A. 81种B. 72种C. 24种D. 36种6.函数在区间上的最小值是A. B. C. D.7.已知曲线，则过点的切线方程是A. 或B.C. D.8.当复数z满足时，则的最小值是A. B. C. D.9.若对任意，有，就称A是具有“伙伴关系”的集合，集合0，，，1，2，3，的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为A. 15B. 16C.D.10.定义在R上的函数满足：，，是的导函数，则不等式其中e为自然对数的底数的解集为A. B.C. D.二、多项选择题（本大题共2小题，共10.0分.漏选得3分，错选得0分.）11.已知复数，则下列命题中正确的为A. B.C. z的虚部为iD. z在复平面上对应点在第一象限12.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是A. B. C. 15 D. 90三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下：则a等于______________．14.函数的单调减区间为_______ ．15.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______．16.已知函数，若在区间上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题满分10分）已知i是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．求复数的模；若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．18.（本题满分10分）已知的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的．求n的值；求的展开式中系数．．最大的项．19.（本题满分10分）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．Ⅰ求甲三次都取得白球的概率；Ⅱ求甲总得分的分布列和数学期望．20.（本题满分12分）已知函数在与处取得极值．求实数a，b的值及函数的单调区间．若对，不等式恒成立，求c的取值范围．21.（本题满分14分）某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为60cm的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是xcm的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm、xcm的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．求包装盒的容积关于x的函数表达式，并求函数的定义域；当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？22.（本题满分14分）已知函数时，求函数的极值；时，讨论函数的单调区间：若对任意的，当，时恒有成立，求实数m的取值范围．2019-2020学年第二学期高二期中考试数学答案命题人：审核人：一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）23.复数的实部和虚部之和为A. 1B.C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的基本概念，属基础题化简已知复数是解决问题的关键．【解答】解：，复数z的实部与虚部之和为．故选B．24.若，则的值为A. 6B. 7C. 35D. 20【答案】C【解析】【分析】本题考查组合数的公式，属于基础题．根据公式计算出n，再利用阶乘的定义计算出结果．【解答】解：，，解得或舍去，，故选C．25.已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：回归方程是，其中，则当时，y的预测值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题．线性回归方程，必过样本中心点，首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出a 即可得到回归直线的方程，代入，可得y的预测值．【解答】解：由题意可知：，，由，，当，，的预测值为，故选C．26.已知函数，则曲线在处的切线斜率为A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义及导数的运算，属于基础题．对函数求导，根据导数的几何意义可知曲线在处的切线斜率为，由此可解．【解答】解：，所以，所以，即曲线在处的切线斜率为．故选B．27.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A. 81种B. 72种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】【分析】本题为排列、组合的综合应用问题，题目基础．将四位老师分成三组，再分到三个班，列式，求解即可．【解答】解：由题意种，所以共有分配方案36种．故选D．28.函数在区间上的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数求最值，属于基础题．由已知函数，对其求导数，令导数等于0求出函数的极值点，将极值点代入原函数，求出函数的极值，与函数的端点值进行比较，即可得到答案．【解答】解：，，由，得，或，，，，，函数在区间上的最小值是：．故选B．29.已知曲线，则过点的切线方程是A. 或B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义，运用导数求曲线的切线方程，考查了学生的运用能力，属于中档题．先设切点为，再求出曲线的导数，表示出切线方程，再根据切线过点，建立方程，求出进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程即可．【解答】解：设切点为，即有，，易知，则在处切线的斜率为，则切线方程为，又切线过，，整理得：，，由联立得：，解得：或，切线的斜率或，切线方程为或，整理得过点的切线方程为：或，故选A．30.当复数z满足时，则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的几何意义，两点间距离公式，属于中档题．解题关键在于对复数的几何意义的灵活运用．【解答】解：设，则，则，则点可看作以为圆心，1为半径的圆上的点，则求的最小值等价于求圆上点到点距离的最小值，故的最小值为．故选B．31.若对任意，有，就称A是具有“伙伴关系”的集合，集合0，，，1，2，3，的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为A. 15B. 16C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用组合知识求子集个数问题，难度一般．先找出具有伙伴关系的元素组，再根据分类加法计数原理即可求解．【解答】解：具有“伙伴关系”的元素组有；，，3，共四组．它们中任一组、二组、三组、四组均可组成具有“伙伴关系”的集合，所以具有“伙伴关系”的集合的个数为．故选A．32.定义在R上的函数满足：，，是的导函数，则不等式其中e为自然对数的底数的解集为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数单调性的应用，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属中档题．令，从而求导，从而利用函数的单调性求解不等式．【解答】解：令，则，故F是R上的单调增函数，而，故不等式其中e为自然对数的底数的解集为．故选：A．二、多项选择题（本大题共2小题，共10.0分.漏选得3分，错选得0分.）33.已知复数，则下列命题中正确的为A. B.C. z的虚部为iD. z在复平面上对应点在第一象限【答案】ABD【解析】【分析】本题考查复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系，属于基础题．利用复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系即可判断出正误．【解答】解：复数，则，故A正确；又，故B正确；因为z的虚部为1，故C错误；因为z在复平面上对应点的坐标为，在第一象限，故D正确．故选ABD．34.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是A. B. C. 15 D. 90【答案】AD【解析】【分析】本题考查分步计数原理与组合问题的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，先从6本书中取出2本给甲，再从剩下的4本书中取出2本给乙，最后把剩下的2本书给丙，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理，可得结论；【解答】解：把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，先从6本书中取出2本给甲，有种取法，再从剩下的4本书中取出2本给乙，有种取法，最后把剩下的2本书给丙，有1种情况，则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有种分法．故选AD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下：则a等于______________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查随机变量的分布列，以及概率的性质的应用．根据分布列的性质，有，解之即可．【解答】解：由分布列的性质，有，解得．36.函数的单调减区间为_______ ．【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数求解函数的单调区间，属于基础题．求出导函数，由可以求出答案．【解答】解：函数，其定义域为，，由，得，函数的单调递减区间为．故答案为．37.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______．【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：，由此能求出结果．【解答】解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：．故答案为．38.已知函数，若在区间上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查恒成立的问题，属于简单题．将函数进行求导，在区间上恒成立，之后再构造新函数最小值大于等于0即可．【解答】解：，因为函数在区间上是单调递增函数，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，记，，则，，，，故在递增，故，解得：，故实数a的范围是故答案为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）39.（本题满分10分）已知i是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．求复数的模；若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【答案】解：设复数，则，于是，即，所以，解得，即．…………………………………………3分故．………………………………5分由得，……7分由于复数在复平面内对应的点在第一象限，所以，……………………………………9分解得所以m的取值范围为．………………………………10分40.（本题满分10分）已知的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的．求n的值；求的展开式中系数．．最大的项．【答案】解：根据题意，设该项为第项，则有……2分即亦即………………………………………4分解得．………………………………………………………5分设第项系数最大，则有…………………6分即亦即………………………………8分解得，…………………………………………………9分，二项式展开式中系数最大的项为．……………10分41.（本题满分10分）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．Ⅰ求甲三次都取得白球的概率；Ⅱ求甲总得分的分布列和数学期望．【答案】解：Ⅰ记事件A表示甲一次取球时取得白球，则，所以甲三次都取得白球的概率．……………………………4分Ⅱ甲总得分情况有6分、7分、8分、9分4种可能，记为甲总得分．，，，．的分布列为6 7 8 9………………………………………………………………8分甲总得分的数学期望．……10分【解析】本题考查古典概型的计算与应用、随机变量的概率分布和数学期望，考查考生应用意识、运算求解的能力及等价转化思想．Ⅰ利用古典概型、相互独立事件的概率公式求解；Ⅱ利用二项分布的概率公式建立分布列，再由数学期望公式求解数学期望．42.（本题满分12分）已知函数在与处取得极值．求实数a，b的值及函数的单调区间．若对，不等式恒成立，求c的取值范围．【答案】解：，由题意解得………………………………………………………2分，，令，解得；令，解得或，的减区间为；增区间为，………………5分由知，在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．时，的最大值即为与中的较大者．；，当时，取得最大值．要使，只需，…………………………8分解得：或，的取值范围为．…………………………12分43.（本题满分14分）某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为60cm的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是xcm的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm、xcm的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．求包装盒的容积关于x的函数表达式，并求函数的定义域；当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？【答案】解：因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，所以铁皮箱的体积，…5分函数的定义域为；………………………………………………6分由得，，令，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以函数在处取得极大值，…………………………………12分这个极大值就是函数的最大值．……………………13分答：切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是…14分44.（本题满分14分）已知函数时，求函数的极值；时，讨论函数的单调区间：若对任意的，当，时恒有成立，求实数m的取值范围．【答案】解：时，，定义域为，，令得，……………………2分x，，的变化如下表：所以只有极大值，无极小值；……………………4分由，令得，，………………………………5分当时，，所以解得；解得或；此时的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时．恒成立，此时的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，，所以解得，解得或，此时的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，，所以解得；解得，此时的单调递增区间是，单调递减区间是．综上可知：时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；时，的单调递增区间是，无单调递减区间；时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；时，的单调递增区间是，单调递减区间是．……………9分由中的知，对任意的，在上单调递增，所以在区间上，，…………………………………………………………………11分所以，…………………12分所以，由于，所以，又当时，，所以．所以实数m的取值范围为．…………………………………14分赠送：高二政治下学期第二次月考（期中）试题第一部分 ( 选择题共 50 分 )一、选择题（共 25 小题，每小题 2 分，计 50 分。
江苏省泰州二中高二数学下学期期中试题 理 苏教版
泰州二中2012-2013学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1.写出命题“若a ＝0，则ab ＝0”的逆否命题： ▲ .2．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ▲ . 3.命题“对所有的正数x ，”的否定是 ▲ .4.命题“*N x ∈∃使x 为31的约数”是 ▲ 命题.（从“真”和“假”中选择一个填空）5. “三角函数是周期函数，y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是三角函数，所以y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是 ▲ ． (1)推理完全正确；(2)大前提不正确；(3)小前提不正确；(4)推理形式不正确． 6.“a =b ”是“”的 ▲ 条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填空）7．设)(x f '是函数)(x f 的导函数，已知)(x f 在R 上的图象（如图），若0)(>'x f ，则x 的取值范围是 ▲8. 已知函数3()12f x x ax =+-在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ .9. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为2:1，则它们的面积比为1：2，类似地，在空间，1：2，则它们的体积的比为 ▲10. 过曲线f (x )=-x 3+3x 的点A (2,-2)的切线方程 ▲11．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋32＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据规律，第五个等式为 ▲12. 已知c bx x x f ++=2)(为偶函数，曲线)5,2()(过点x f y =，)()()(x f m x x g +=。
若曲线)(x g y =有斜率为0的切线，则实数m 的取值范围为 ▲13.已知函数()3231f x x ax ax =-++在区间()2,2-内，既有极大也有极小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n ∈Z}，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]； ②－3∈[3]； ③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a－b ∈[0]”． 其中，正确结论的个数是___▲_____．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本题满分14分）（1）用反证法证明：在一个三角形中（2）已知0,n ≥试用分析法证明：211n n n n +-+<+- .16．（本题满分14分）已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数.命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f(x)＝x ＋1x＞1c恒成立.如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题.求c 的取值范围. 17．（本题满分14分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f ,若32=x ,)(x f y =有极值，且曲线)(x f y =在点(1,)1(f )处的切线斜率为3. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求)(x f y =在[－4，1]上的最大值和最小值。
2022-2023学年江苏省苏州市五区四市高二(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省苏州市五区四市高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．设函数f（x）＝1﹣x2，则f（x）在x＝1处的瞬时变化率为（）A．﹣2B．0C．1D．22．已知C n2=28（n∈N，且n≥2），则A n2的值为（）A．30B．42C．56D．723．设f′（x0）为函数f（x）在x0处的导数，则满足f′（1）＜f′（2）＜f′（3）的函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．4．在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（）A．156B．180C．194D．6725．在某项测验中，假设利验数据服从正态分布N（75，16）．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A，B，C，D四个等级，则等级为A的测验数据的最小值可能是（）【附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826．P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ≤ξ＜μ+3σ）＝0.9974】A．75B．79C．83D．916．∀x1，x2∈[1，e]，当x1＜x2时，都有ln x1x2＜a(x1−x2)，则实数a的最大值为（）A．1e2B．1eC．√eeD．17．讲台上有左、右两盒粉笔，左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔，右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔．某位老师从这两盒中取粉笔，取自左盒的概率为40%，取自右盒的概率为60%．若这位老师从这两盒粉笔中任取一支，则取到黄色粉笔的概率为（）A．0.275B．0.28C．0.32D．0.68．设a ＝1.41.7，b ＝1.71.4，c ＝e （e 为自然对数的底数），则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9．已知f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数f （x ）的说法正确的是（ ）A ．在（﹣∞，1）上单调递减B ．在（1，3）上单调递增C ．在x ＝1处取得极小值D ．在x ＝4处取得极大值10．在(√x −12x )9的展开式中（ ） A ．常数项为212B ．x 3项的系数为−92C ．系数最大项为第3项D ．有理项共有5项11．甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球．记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A ，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B ，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C ，则（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与C 独立C ．P(C|A)=12D ．P(C)=4912．设函数f(x)=e x (2x+1)x，则（ ） A ．f ′（1）＝2eB ．函数f （x ）的图象过点(−1，1e)的切线方程为y =1eC ．函数f （x ）既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值D ．方程f （x ）＝k 有两个不等实根，则实数的取值范围为(0，1e )∪(4√e ，+∞) 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，在组成的四位数中，能被5整除的有 个．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f （x ）＝ ．①定义域为R ．函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；②∀x ∈R ，f （﹣x ）+f （x ）＝0；③f ′（x ）为函数f （x ）的导函数，∀x ∈R ，f ′（x ）≥0．15．在图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：自左向右，第n 行第i +1个数记为C n i（n ，i ∈N 且i ≤n ）．若C 15k =C 152k−3（n ，k ∈N 且k ≤n ），则k 的值为 ．C 41+C 52+⋯+C n m−3+⋯+C 1512（n ∈N 且6≤n ≤14）的值为 ．16．已知函数f(x)=lnx ，g(x)=12x 2+m ．若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）有公切线，则实数m 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛： （1）至少选到1名女生的方法有多少种？（2）设随机变量X 表示所选2人中女生的人数，求X 的分布列及期望、方差．18．（12分）在①只有第6项的二项式系数最大；②第5项与第7项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数之和为512；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答， 已知(2x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，且满足 _____． （1）求a 12+a 222+⋯+a n 2n的值；（2）求a 1+2a 2+⋯+na n 的值．19．（12分）将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒．（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积V 表示为盒底边长x 的函数； （2）x 多大时，盒子的容积V 最大？20．（12分）近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．从全国所有观众中随机抽取4名，（1）求恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率；（2）记其中评价为五星的观众人数为X ，求X 的分布列与数学期望．21．（12分）已知函数f(x)=x 2+x−1e x．（1）求f （x ）的极值；（2）设曲线f （x ）在点T （t ，f （t ））处的切线为l ，记l 在y 轴上的截距为b ＝g （t ），当l 的斜率为非负数时，求e t •b 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣aln （x +2）． （1）当a ＝2时，求函数f （x ）的单调区间；（2）当a ＝1时，求证：函数f （x ）存在极小值点x 0，且f(x 0)＞16．2022-2023学年江苏省苏州市五区四市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．设函数f（x）＝1﹣x2，则f（x）在x＝1处的瞬时变化率为（）A．﹣2B．0C．1D．2解：∵f（x）＝1﹣x2，∴f′（x）＝﹣2x，∴f′（1）＝﹣2．故选：A．2．已知C n2=28（n∈N，且n≥2），则A n2的值为（）A．30B．42C．56D．72解：因为C n2=n(n−1)2=28，所以A n2=n（n﹣1）＝56．故选：C．3．设f′（x0）为函数f（x）在x0处的导数，则满足f′（1）＜f′（2）＜f′（3）的函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：f′（x0）表示函数在x＝x0处切线的斜率，因为f′（1）＜f′（2）＜f′（3），所以f（x）在x＝1，2，3处切线的斜率越来越大，故选：D．4．在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（）A．156B．180C．194D．672解：从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，则所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为C104−C64−C44=194．故选：C ．5．在某项测验中，假设利验数据服从正态分布N （75，16）．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A ，B ，C ，D 四个等级，则等级为A 的测验数据的最小值可能是（ ） 【附：随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826．P （μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P （μ﹣3σ≤ξ＜μ+3σ）＝0.9974】 A ．75B ．79C ．83D ．91解：由已知得P （X ＞μ+σ）=12[1﹣P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）]≈0.16， 由已知得μ＝75，σ＝4，所以A 等级分数线约为75+4＝79． 故选：B ．6．∀x 1，x 2∈[1，e ]，当x 1＜x 2时，都有lnx 1x 2＜a(x 1−x 2)，则实数a 的最大值为（ ） A ．1e 2 B ．1e C ．√eeD ．1解：因为∀x 1，x 2∈[1，e ]，当x 1＜x 2时，都有ln x1x 2＜a(x 1−x 2)，所以∀x 1，x 2∈[1，e ]，当x 1＜x 2时，都有lnx 1﹣lnx 2＜ax 1﹣ax 2， 所以∀x 1，x 2∈[1，e ]，当x 1＜x 2时，都有lnx 1﹣ax 1＜lnx 2﹣ax 2， 令F （x ）＝lnx ﹣ax ，x ∈[1，e ]，所以∀x 1，x 2∈[1，e ]，当x 1＜x 2时，都有F （x 1）＜F （x 2）， 所以F （x ）在[1，e ]上单调递增， 所以任意x ∈[1，e ]，F ′（x ）≥0， 所以任意x ∈[1，e ]，1x −a ≥0，所以任意x ∈[1，e ]，a ≤（1x）min ，又x ∈[1，e ]，（1x）min =1e，所以a ≤1e，所以a 的最大值为1e ，故选：B ．7．讲台上有左、右两盒粉笔，左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔，右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔．某位老师从这两盒中取粉笔，取自左盒的概率为40%，取自右盒的概率为60%．若这位老师从这两盒粉笔中任取一支，则取到黄色粉笔的概率为（ ） A ．0.275B ．0.28C ．0.32D ．0.6解：老师从这两盒中取粉笔，设事件A 表示“取自左盒”，事件B 表示“取自右盒”，事件C 表示“取到黄色粉笔”，则P （A ）＝0.4，P （B ）＝0.6，P （C |A ）=525=0.2，P （C |B ）=615=0.4， 所以P （C ）＝P （A ）P （C |A ）+P （B ）P （C |B ）＝0.4×0.2+0.6×0.4＝0.32． 故选：C ．8．设a ＝1.41.7，b ＝1.71.4，c ＝e （e 为自然对数的底数），则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解：因为a ＝1.41.7，b ＝1.71.4，c ＝e ，可设f （x ）=lnxx （x ＞0）， 则f ′（x ）=1x ⋅x−lnx x 2=1−lnxx 2， 当x ∈（0，e ）时，1﹣lnx ＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（e ，+∞）时，1﹣lnx ＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 所以1.4＜1.7＜e 时，f （1.4）＜f （1.7）＜f （e ），即ln1.41.4＜ln1.71.7＜lne e，所以1.7ln 1.4＜1.4ln 1.7，即ln 1.41.7＜ln 1.71.4，即1.41.7＜1.71.4，所以a ＜b ； （1.71.4）2＜（1.71.5）2＝1.73＜e 2，则1.71.4＜e ，即b ＜c ． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9．已知f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数f （x ）的说法正确的是（ ）A ．在（﹣∞，1）上单调递减B ．在（1，3）上单调递增C ．在x ＝1处取得极小值D ．在x ＝4处取得极大值解：由f ′（x ）的图象可知在（﹣∞，1），（1，3）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以x ＝1处没有取得极小值，由f ′（x ）的图象可知在（1，4）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，在（4，+∞）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （x ）在x ＝4处取得极大值， 故选：BD ．10．在(√x −12x )9的展开式中（ ） A ．常数项为212B ．x 3项的系数为−92C ．系数最大项为第3项D ．有理项共有5项解：在(√x −12x )9的展开式中，通项公式为T r +1=C 9r•(−12)r •x9−3r 2，令9−3r 2=0，求得r ＝3，可得展开式中常数项为T 4=C 93•（−18）=−212，故A 错误； 令9−3r 2=3，求得r ＝1，可得展开式中x 3项的系数为−92，故B 正确；要使第r +1项的系数C 9r•(−12)r 最大，需r 为偶数，检验可得， 当r ＝2时，系数C 9r •(−12)r 最大，即系数最大项为第3项，故C 正确；令9−3r 2为整数，求得r ＝1，3，5，7，9，共计5项，故D 正确．故选：BCD ．11．甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球．记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A ，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B ，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C ，则（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与C 独立C ．P(C|A)=12D ．P(C)=49解：A ，∵事件A 与事件B 不能同时发生，∴A 与B 互斥，∴正确， B ，∵P （A ）=46=23，P （AC ）=46×36=13，P （C ）=46×36+26×26=49， ∴P （AC ）≠P （A ）•P （C ），∴A 与C 不相互独立，∴错误， C ，∵P （C |A ）=P(AC)P(A)=13×32=12，∴正确， D ，∵P （C ）=46×36+26×26=49，∴正确． 故选：ACD ． 12．设函数f(x)=e x (2x+1)x ，则（ ） A ．f ′（1）＝2eB ．函数f （x ）的图象过点(−1，1e )的切线方程为y =1eC ．函数f （x ）既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值D ．方程f （x ）＝k 有两个不等实根，则实数的取值范围为(0，1e)∪(4√e ，+∞)解：f ′（x ）=[e x (2x+1)]′⋅x−e x (2x+1)x 2=e x (2x 2+x−1)x 2（x ≠0），对于A ：f ′（1）＝2e ，故A 正确；对于B ：设切点为（x 0，e x 0（2+1x 0）），k ＝f ′（x 0）=e x 0x 02（2x 0﹣1）（x 0+1），切线方程为y −e x 0（2+1x 0）=e x 0x 02（2x 0﹣1）（x 0+1）（x ﹣x 0）， 代入点（﹣1，1e ），得1e−e x 0（2+1x 0）=e x 0x 0（2x 0﹣1）（x 0+1）（﹣1﹣x 0），化简得e x 0（2x 03+x 02−x 0﹣1）+1ex 02=0，令h （x 0）=e x 0（2x 03+x 02−x 0﹣1）+1e x 02，h （﹣1）＝0，所以函数f （x ）在（﹣1，1e）的切线方程为y =1e ，因为h （12）=−√e +14e ＜0，h （1）＝e +1e ＞0，函数h （x 0）图象连续不断，所以存在x 0∈（12，1）使得h （x 0）＝0，所以过点（﹣1，1e ）的直线与函数f （x ）在（12，1）之间存在切点，所以过点（﹣1，1e）的切线不止一条，故B 错误； 对于C ：令f ′（x ）＝0得x =12或x ＝﹣1，所以在（﹣∞，﹣1），（12，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，在（﹣1，0），（0，12）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，在x =12处取得极小值， 又f （﹣1）=e −1(−2+1)−1=1e，f （12）=e 12(2×12+1)12=4√e ，所以f （﹣1）＜f （12），所以极大值小于极小值，故C 错误； 对于D ：作出f （x ）的大致图像，如下：若方程f（x）＝k有两个不等实根，则y＝f（x）与y＝k有两个交点，所以0＜k＜1e或k＞4√e，故D正确，故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，在组成的四位数中，能被5整除的有108个．解：本题需要分类来解，当末位是数字0，可以组成A53=60个，当末位是数字5，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C41A42=48种结果，根据分类计数原理知共有60+48＝108种结果，故答案为：108．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）＝x3．①定义域为R．函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；②∀x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0；③f′（x）为函数f（x）的导函数，∀x∈R，f′（x）≥0．解：根据②∀x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0知f（x）是奇函数，可得出满足条件的函数f（x）＝x3，f′（x）＝3x2≥0．故答案为：x3．15．在图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：自左向右，第n行第i+1个数记为C n i（n，i∈N且i≤n）．若C15k=C152k−3（n，k∈N且k≤n），则k的值为3或6．C41+C52+⋯+C n m−3+⋯+C1512（n∈N且6≤n≤14）的值为104．解：若C 15k =C 152k−3（n ，k ∈N 且k ≤n ），则k ＝2k ﹣3或k +2k ﹣3＝15， 所以k ＝3或k ＝6；因为C 41+C 52+⋯+C n m−3+⋯+C 1512=C 40+C 41+C 52+⋯+C n m−3+⋯+C 1512− 1=C 51+C 52+⋯+C 1512−1=C 62+C 63⋯+C 1512−1=C 1513−1＝104．故答案为：3或6；104．16．已知函数f(x)=lnx ，g(x)=12x 2+m ．若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）有公切线，则实数m 的取值范围为 [−12，+∞） ．解：设两曲线的公切线为l ，切点分别为A （x 1，lnx 1），B （x 2，12x 22+m ），则12x 22+m−lnx 1x 2−x 1=1x 1=x 2，化简消去x 1得，m =12x 22−lnx 2−1，曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）有公切线，则方程m =12x 22−lnx 2−1有根，令h （x ）=12x 2−lnx −1，则h ′（x ）＝x −1x =x 2−1x （x ＞0），当x ∈（0，1）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ∈（1，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，∴ℎ(x)min =ℎ(1)=−12，∴曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）有公切线，则m ≥−12． 故答案为：[−12，+∞）．四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛： （1）至少选到1名女生的方法有多少种？（2）设随机变量X 表示所选2人中女生的人数，求X 的分布列及期望、方差．解：（1）从4名男生和2名女生中任选2人有C 62种方法，不含女生的方法C 42种，所以至少选到1名女生的方法有N =C 62−C 42=15−6=9种；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 42C 62=615， P(X =1)=C 41C 21C 62=4×215=815，P(X =2)=C 22C 62=115， 故X 的分布列为：所以E(X)=0×615+1×815+2×115=23，D(X)=(0−23)2×615+(1−23)2×815+(2−23)2×115=1645．18．（12分）在①只有第6项的二项式系数最大；②第5项与第7项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数之和为512；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答， 已知(2x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，且满足 _____． （1）求a 12+a 222+⋯+a n 2n的值；（2）求a 1+2a 2+⋯+na n 的值．解：（1）选①只有第6项的二项式系数最大；所以n ＝10； 由于(2x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ， 故(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x 10， 当x ＝0时，解得a 0＝1； 当x =12时，(2×12−1)10=a 0+a 12+a 222+⋯+a 10210=0， 故a 12+a 222+⋯+a 10210=−1．（2）由于(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10， 两边取导数得：2×10(2x −1)9=a 1+2a 2x+...+10a 10x 9， 令x ＝1得：a 1+2a 2+...+10a 10＝20．选②第5项与第7项的二项式系数相等；所以C n 4=C n 6=C n n−6，解得n ＝10；由于(2x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ， 故(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x 10， 当x ＝0时，解得a 0＝1；当x =12时，(2×12−1)10=a 0+a 12+a 222+⋯+a 10210=0， 故a 12+a 222+⋯+a 10210=−1．（2）由于(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10， 两边取导数得：2×10(2x −1)9=a 1+2a 2x+...+10a 10x 9， 令x ＝1得：a 1+2a 2+...+10a 10＝20．③奇数项的二项式系数之和为512；所以2n ﹣1＝512＝29，解得n ＝10；由于(2x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ， 故(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x 10， 当x ＝0时，解得a 0＝1； 当x =12时，(2×12−1)10=a 0+a 12+a 222+⋯+a 10210=0， 故a 12+a 222+⋯+a 10210=−1．（2）由于(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10， 两边取导数得：2×10(2x −1)9=a 1+2a 2x+...+10a 10x 9， 令x ＝1得：a 1+2a 2+...+10a 10＝20．19．（12分）将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒．（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积V 表示为盒底边长x 的函数； （2）x 多大时，盒子的容积V 最大？解：（1）正六棱柱铁皮盒的底面边长为x （0＜x ＜1）， 则正六棱柱铁皮盒的高为√32（1﹣x ）， ∴正六棱柱铁皮盒的容积为V （x ）＝6×12x •√32x •√32（1﹣x ）=94（﹣x 3+x 2）（0＜x ＜1），（2）由（1）知，V （x ）=94（﹣x 3+x 2）（0＜x ＜1）， 则V ′（x ）=−274x 2+92x ， 令V '（x ）＝0，解得x =23，当0＜x ＜23时，V '（x ）＞0，V （x ）单调递增， 当x ＞23时，V '（x ）＜0，则V （x ）单调递减， ∴当x =23时，容积V （x ）取得极大值，即最大值， 故底面边长x 为23时，正六棱柱铁皮盒的容积最大．20．（12分）近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．从全国所有观众中随机抽取4名，（1）求恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率；（2）记其中评价为五星的观众人数为X ，求X 的分布列与数学期望．解：（1）依题意样本中抽取1人，评价为五星的频率为P 5=75100=34，评价为四星的频率为P 4=10100=110， 所以从全国所有观众中随机抽取4名，恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率P =C 43(34)3×110=27160； （2）依题意X 的可能取值为0、1、2、3、4，且X ～B(4，34)，所以P(X =0)=C 40(1−34)4=1256，P(X =1)=C 41(1−34)3×34=12256， P(X =2)=C 42(1−34)2×(34)2=54256，P(X =3)=C 43(1−34)1×(34)3=108256， P(X =4)=C 44×(34)4=81256，所以随机变量X 的分布列为：所以E(X)=4×34=3． 21．（12分）已知函数f(x)=x 2+x−1e x． （1）求f （x ）的极值；（2）设曲线f （x ）在点T （t ，f （t ））处的切线为l ，记l 在y 轴上的截距为b ＝g （t ），当l 的斜率为非负数时，求e t •b 的取值范围． 解：（1）函数f(x)=x 2+x−1e x，定义域为R ， 则f '（x ）=(2x+1)e x −(x 2+x−1)e x(e x )2=−x 2+x+2e x， 令f '（x ）＝0，得x 1＝﹣1，x 2＝2，所以f '（x ），f （x ）的变化情况，如下表所示：所以当x ＝﹣1时，f （x ）取得极小值f （﹣1）＝﹣e ，当x ＝2时，f （x ）取得极大值f （2）=5e 2； （2）因为f （t ）=t 2+t−1e t ，f '（t ）=−t 2+t+2e t，所以曲线f （x ）在点（t ，f （t ））处的切线方程为l ：y −t 2+t−1e t =−t 2+t+2e t （x ﹣t ），令x ＝0可得l 在y 轴上的截距为b ＝g （t ）=t 2+t−1e t +−t 2+t+2e t （﹣t ）=t 3−t−1e t ，因为直线l 的斜率为非负数，即f '（t ）=−t 2+t+2e t ≥0，即﹣t 2+t +2≥0，解得﹣1≤t ≤2， 所以e t⋅b =e t⋅t 3−t−1e t=t 3﹣t ﹣1（﹣1≤t ≤2），令h （t ）＝t 3﹣t ﹣1，t ∈[﹣1，2]，则h '（t ）＝3t 2﹣1＝3（t −√33）（t +√33）， 所以当﹣1＜t ＜−√33或√33＜t ＜2时，h '（t ）＞0，当−√33＜t ＜√33时，h '（t ）＜0， 所以h （t ）在（﹣1，−√33），（√33，2）上单调递增，在（−√33，√33）上单调递减，所以当t =−√33时，h （t ）有极大值h （−√33）=2√39−1，当t =√33时，h （t ）有极小值h （√33）=−2√39−1，又h （﹣1）＝﹣1＞−2√39−1，h （2）＝5＞2√39−1，所以h （t ）的取值范围为[−2√39−1，5]，即e t •b 的取值范围为[−2√39−1，5]．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣aln（x+2）．（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，求证：函数f（x）存在极小值点x0，且f(x0)＞16．解：（1）当a＝2时，f（x）＝e x﹣2ln（x+2），定义域为（﹣2，+∞），f′（x）＝e x−2x+2，f″（x）＝e x+2(x+2)2＞0，所以f′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又f′（0）＝0，所以当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）的单调递减区间为（﹣2，0），单调递增区间为（0，+∞）．（2）证明：当a＝1时，f（x）＝e x﹣ln（x+2）定义域为（﹣2，+∞），f′（x）＝e x−1x+2，f″（x）＝e x+1(x+2)2＞0，所以f′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又f′（−12）=e−12−1−12+2=√e23=√e3√e0，f′（0）＝e0−10+2=1−12=12＞0，由零点的存在定理可得f′（x）存在唯一零点，记为x0，则x0∈（−12，0）且e x0=1x0+2，所以当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）存在极小值点x0，又由于e x0=1x0+2，所以f（x0）=e x0−ln（x0+2）=1x0+2+x0，x0∈（−12，0），设h（x）=1x+2+x（x≥−12），则h′（x）＝1−1(x+2)2＞0，所以h（x）在（−12，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（−12）=1(−12)+2+（−12）=16，又x0＞−12，所以f（x0）＝h（x0）＞h（−12）=16．。
江苏省苏州五中高二数学下学期期中试题理苏教版
苏州五中高二放学期期中考试数学（理）试题注意事项：1．本试卷共 4 页，满分160 分，考试时间120 分钟．2．请将答案和解答写在答题卷上，在本试卷上答题无效．填空题（本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．请将答案填在答题卷的相应地点）．命题“a b ，都有a2 b 2”的否认是▲．已知复数z 知足(2i) z5i（此中 i 为虚数单位），则复数z的模是▲．在区间[2,3]上随机取一个数x ，则x1的概率为▲．a(2,x, x)，b( x,1,2)，此中 x0 ，若 a∥ b ，则x=已知向量2▲．二项式 ( x 2)10的睁开式的第 4 项的系数是▲（用数字作答） .设条件p : a0；条件 q : a2a，那么p是q的▲条件 (填“充足不用要” 、“必要不充足”、“充要”、“既不充足也不用要”中之一)．某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门 .若要求两类课程中各起码选一门，则不一样的选法共有▲种（用数字作答） .y2准线方程为 3 的抛物线的标准方程为▲．d| Ax0By0 C |P( x0 , y)到直线Ax在平面直角坐标系中，点By C 0的距离A2B2；近似地，在空间直角坐标系中，点P( x0 , y0 , z0 ) 到平面 Ax By Cz D 0的距离 d=▲．曲线 C：yx ln x 在点M (e,e)处的切线方程为▲．若一个圆锥的侧面睁开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为▲．函数y2sin x 在区间2,2x33上的最大值为▲．x2y21设 F 是双曲线 a 22的右焦点，双曲线两渐近线分别为l1、 l2，过 F 作直线 l1的垂线，b分别交 l1、l2 于 A、B 两点．若 OA，AB，OB 成等差数列，且向量uuur uuurBF 与 FA 同向，则双曲线的离心率 e=▲．xf (x) f (x)已知函数f ( x)是定义在 R 上的奇函数，f (1) 0，当 x0 时，有x2，则不等式 x2 f ( x)0的解集是▲．解答题（本大题共 6 小题，共90 分．请把解答写在答题卷规定的答题范围内．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(本小题满分 14分 )随机抽取某厂的某种产品200 件，经质检，此中有一等品126 件、二等品 50件、三等品 20件、次品 4 件．已知生产 1 件一、二、三等品获取的收益分别为 6 万元、 2 万元、 1 万元，而 1 件次品损失 2 万元．设 1 件产品的收益（单位：万元）为，求的散布列和数学希望．(本小题满分14 分)如图，在正三棱柱ABC－ A1B1C1 中， E 是侧面AA1B1B 对角线的交点， F 是侧面AA1C1C 对角线的交点， D 是棱 BC的中点．求证：（1）EF //平面 ABC；（2）平面 AEF⊥平面 A1AD．(本小题满分 14 分 )如图，长方体ABCD — A1B1C1D1 中， AA1＝ AD ＝ 1， AB ＝ 2，点 E 是 C1D1 的中点．（ 1）求证： DE ⊥平面 BCE ；（ 2）求二面角 A — EB — C 的大小．(本小题满分 16 分 )x 2 y21(a b 0)F 1(2,0)，离心率为e .已知椭圆 a 2 b2的右焦点为e2（ 1）若2，求椭圆的方程；（ 2）设 A 、B 为椭圆上对于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为 N ，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点 A 在定圆上；②设直线 AB 的斜率为 k ，若 k ≥3，求e的取值范围．(本小题满分16 分 )f (n) 1111Ln ( n N )，g(n) 2( n 1 1) (n N ).已知23（1）当n=1,2,3时，分别比较f ( n)与g( n)的大小（直接给出结论）；（2）由 (1)猜想f (n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．(本小题满分16 分 )已知 f (x) ax ln(x)， x (g (x)ln(x)x，此中e是自然常数，a R. e,0) ，（ 1）议论a1时，f ( x)的单一性、极值；1| f ( x) | g (x)（ 2）求证：在（ 1）的条件下，2；（ 3）能否存在实数 a ，使 f (x) 的最小值是3，假如存在，求出a的值；假如不存在，请说明原因．出卷人：徐咪咪审查人：田林校正人：田林，。
苏教版高中数学选修2-3第二学期高二理科期中答案卷.docx
高二数学理科期中试卷（答题卷）（答题时间:120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．1．,sin 1x x ∃∈≤-R 2．_____-1_____ 3．_3240x y ++= 4．_2_____ 5．___60 ______ 6．__5(,)66ππ_____7．______1_______ 8．_____-1____9．______1 ______ 10．_____②③___ 11．__[1,1){2}-U _ 12．______23_____ 13．______38a _____14．__1732-__________二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本题满分14分)16. （本题满分14分）解：（1）展开式中二项式系数最大的项是第4项＝33633540C y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （7分） （2）431240234(4,)(1)a a a a mf y a y y y y y=++++=+（8分）， 3334322a C m m ==⇒=，（11分）442(1)811ii a ==+=∑； （14分） 17．(本题满分14分)（1）取1A B 中点N ，连接,NE NM ，则MN12BC ,EF 12BC ,所以MN FE ， 所以四边形MNEF 为平行四边形，所以FM ∥EN ，……4分ＢＣＥＦ Ｍ 1A图②ＡＢＣＥ Ｆ图①又因为11,FM A EB EN A EB ⊄⊂平面平面，所以直线//FM 平面1A EB ． ……………………………………………7分 （2）因为E ，F 分别AB 和AC 的中点，所以1A F FC =，所以1FM A C ⊥…9分 同理，1EN A B ⊥,由（1）知，FM ∥EN ，所以1FM A B ⊥又因为111A C A B A =I , 所以1FM A BC ⊥平面, ……………………………12分 又因为1FM A FC ⊂平面所以平面1A FC ⊥平面1A BC ． ………………………………………14分 18．（本题满分16分）19．（本题满分16分）【解】（1）由离心率6e =226a b -=223a b =. ① ………………2分又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b--=+.② ………………4分解 ①②得22124a b ==，，故所求椭圆方程为221124y x +=. …………………6分由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………8分 （2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径r =，表示圆心在直线2y =-上，半径为. ………………… 10分 由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形.设G e 与直线l 相切于点T=4m =±， (12)分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，. ………………… 14分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G e 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得min 1m =. ………………… 16分 （说明：若不说理由，直接由圆过点B 时，求得m 的最小值，扣4分） 20．(本题满分16分)解：（1）当230n m +=时，22()3ln f x x mx m x =+-．则222323(23)()()2m x mx m x m x m f x x m x x x +-+-'=+-==． 令()0f x '=，得32mx =-（舍），x m =．…………………3分①当m >1时，∴当x m =时, 2223ln ()min m x m f m -=．令2223ln 0m m m -=，得23m =e ． ……………………………5分 ②当01m <≤时，()f x '≥0在[1,)x ∈+∞上恒成立，()f x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，当1x =时, min ()1f x m =+．令10m +=，得1m =-（舍）．综上所述，所求m 为23e m =． ……………………………7分 (2) ∵对于任意的实数[1,2]a ∈，1b a -=，()f x 在区间(,)a b 上总是减函数，则对于x ∈(1,3)，22()2n x mx nf x x m x x++'=++=＜0，∴()0≤f x '在区间[1,3]上恒成立． ……………………9分 设g (x )=22x mx n ++，∵0x >，∴g (x )≤0在区间[1,3]上恒成立． 由g (x )二次项系数为正，得(1)(3)g g ⎧⎨⎩≤0,≤0, 即2318m n m n ++⎧⎨++⎩≤0,≤0, 亦即23n m nm -⎧⎪⎨⎪⎩≤-,≤-.-6 ………12分 ∵ (2)n --(6)3n ---=224(6)33n n -=--，∴ 当n ＜6时，m ≤3n--6， 当n ≥6时，m ≤2n --， ……………………………14分∴ 当n ＜6时，h (n )= 63n--，当n ≥6时，h (n )= 2n --， 即 6.6,6,()32,n n h n n n ⎧--<⎪=⎨⎪--⎩≥ ……………………………16分。
高二数学(理)(苏教版)第二学期期中测试卷
高二数学第二学期期中测试题（理科）参考公式：(1)χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d 为样本量(2)线性回归：①相关系数))()()((1221221∑∑∑===--⋅-=ni i n i i ni ii y n y x n x yx n yx r②2121)(ˆ∑∑==-⋅-=n i ini i ix n xyx n y xb， x b y aˆˆ-= 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.将答案填在题中的横线上.1．计算：3545C A -=2.设集合{}A B e d c b a A ⊆=,,,,,，若B a ∈，且B 中有3个元素，则满足条件的集合B 共有个。
3．在5个点组成的散点图中，已知点A(1,3),B(2,4),C(3,10), D(4,6), E(10,12),则去掉点后,使剩下的四点组成的数组相关系数最大. 4.当0,1μσ==时，正态曲线为22(),x f x x R -=∈，我们称其为标准正态曲线，试写出这个函数的值域。
5．俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加数学省举行的数学团体竞赛，对于其中一题，他们各自解出的概率分别是41,31,51，由于发扬团队精神，此题能解出的概率是6．设Z x ∈，则方程5516162--=x xx C C的解集．．是7．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为52，则a = 8．三封信随机投入A ，B ，C ，D 四个空，则A 的信件数ξ的数学期望E ξ= 9．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若它至少发生一次的概率为8165，由事件A 在一次试验中发生的概率为。
10.报载，中国的青少年在最近几年的体质情况逐年下降，某高校调查询问了56名男女大 学生，在课余时间是否参加运动，得到 下表所示的数据，从表中数据分析，认 为大学生的性别与参加运动之间有关 系的把握有 附表：11.3点”，则概率12． （请用数字作答案，否则不给分）。
江苏省高二下学期期中数学试题 解析版
高二下学期期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知双曲线：是一条渐近线与轴正半轴所成夹角为，则的离心率为C 22221(0,0)x y a b a b -=>>x 3πC （ ）A. 2B. 3C.D.【答案】A 【解析】【分析】首先表示出双曲线的渐近线，依题意可得，再根据离心率公式计算可得； tan 3b a π=【详解】解：双曲线：的渐近线为，C 22221(0,0)x y a b a b -=>>b y x a=±依题意，tan 3b a π==所以双曲线的离心率；2c e a =====故选：A2. 已知，那么函数在处的瞬时变化率为（ ）()sin 2f x x =2x π=A. 1 B. 0C.D.2-1-【答案】C 【解析】【分析】根据简单复合函数的导函数计算规则求出函数的导函数，再代入计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以， ()sin 2f x x =()2cos 2f x x '=2cos 2222f ππ⎛⎫⎛⎫'=⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数在处的瞬时变化率为，2x π=2-故选：C3. 用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（ ） A. 125种 B. 100种C. 64种D. 60种【答案】B 【解析】【分析】首先确定百位数字，再根据允许有重复数字，即可确定十位与个位的数字，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：首先排百位数字，只能是1，2，3，4中的一个，故有4种排法， 因为允许有重复数字，故十位与个位均有5种排法，故一共有种； 455100⨯⨯=故选：B4. 函数的大致图像为（ ） 22()f x x x=+A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】利用导数求出的单调性即可选出答案.()f x 【详解】由可得， 22()f x x x =+()322212()2x f x x x x-'=-=所以由可得，由可得且， ()0f x '>1x >()0f x '<1x <0x ≠所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x ()(),0,0,1-∞()1,+∞故选：D5. 满足条件的自然数有（）23n n A C >n A. 7个 B. 6个C. 5个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据排列数和组合数公式化简可得，再根据，且可得答案. 8n <3n ≥*n N ∈【详解】由得，即，23n n A C >(1)(2)(1)321n n n n n --->⨯⨯8n <又，且，所以. 3n ≥*n N ∈3,4,5,6,7n =故选：C.【点睛】本题考查了排列数与组合数公式，属于基础题.6. 过点作圆的切线，则切线的方程为（ ） (3,5)A 22(2)(3)1x y -+-=A. x =3或3x +4y －29=0 B. y =3或3x +4y －29=0 C. x =3或3x －4y +11=0 D. y =3或3x －4y +11=0【答案】C 【解析】【分析】设切线的斜率为k ，则切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径求得值得350kx y k --+=k 切线方程，同时检验斜率不存在的直线是否为切线即可得． 【详解】由圆的方程可得圆心坐标为，半径为1，(2,3)当过点的切线斜率存在时，设切线的斜率为k ，则切线方程为，(3,5)A 350kx y k --+=，解得，1=34k =所以切线方程为，34110x y -+=当过点的切线斜率不存在时，切线方程为， (3,5)A 3x =所以过点的圆的切线方程为或， (3,5)A 3x =34110x y -+=故选：C ．7. 若点，分别是函数与图象上的动点（其中是自然对数的底数），则的A B 4e x y x =-33y x =-e AB 最小值为（ ）B.D. 174910【答案】A 【解析】【分析】设，，设与平行且与相切的直线与切于()4e x f x x =-()33g x x =-()g x ()f x ()f x ，由导数的几何意义可求出点的坐标，则的最小值为点到直线的距离()000,4e x P x x -P AB P 33y x =-【详解】设，，()4e x f x x =-()33g x x =-()14e x f x =-'令且当时，，； ()02ln 2f x x =⇒=-'2ln 2x <-()0f x '>()f x A 当时，，2ln 2x >-()0f x '<()f x A 设与平行且与相切的直线与切于()g x ()f x ()f x ()000,4e xP x x -． ∴()00014e 30x f x x =-=-⇒='∴(0,4)P -则到直线的距离为 P ()g x d ==min ()AB =故选：A ．8. 已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（ ）321e 2a =e b =432e 3c =e a b c A. B. C. D.a b c >>b c a >>b a c <<b c a <<【答案】B 【解析】【分析】构造函数，则，，，然后()()2e xf x x =-+32321e 2f a ==⎛⎫ ⎪⎝⎭()e 1b f ==43432e 3f c ==⎛⎫⎪⎝⎭利用的单调性可比较出答案.()f x 【详解】构造函数，则，，，()()2e xf x x =-+32321e 2f a ==⎛⎫ ⎪⎝⎭()e 1b f ==43432e 3f c ==⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，所以当时，，单调递减， ()()1e xf x x '=-+[)1+x ∈∞，()0f x '≤()f x 因为，所以， 43132<<b c a >>故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9. 已知函数在区间上单调递增，则符合条件的实数的取值可以是3213()ln 32f x x x a x =--()0,+∞a （ ） A. 1 B.C.D.2-4-5-【答案】CD 【解析】【分析】由条件可得在区间上恒成立，然后可得，然后利用2()30af x x x x'=--≥()0,+∞323a x x ≤-导数求出右边的最小值即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 3213()ln 32f x x x a x =--()0,+∞所以在区间上恒成立， 2()30af x x x x'=--≥()0,+∞由可得， 230ax x x--≥323a x x ≤-令，则，()323g x x x =-()236g x x x '=-由可得，由可得， ()0g x '>2x >()0g x '<02x <<所以在上单调递减，在上单调递增，所以()g x ()02,()2,+∞()()min 24g x g ==-所以 4a ≤-故选：CD10. 3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（ ） A. 共有60种不同的坐法 B. 空位不相邻的坐法有72种 C. 空位相邻的坐法有24种 D. 两端不是空位的坐法有18种 【答案】ACD 【解析】【分析】按照题目给定的条件排列即可.【详解】对于A ， ，故A 正确；3554360A =⨯⨯=对于B ，相当于先排好这3个人有 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，33A 故有 种插法， ，故B 错误； 24C 234336C A =对于C ，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中， ，134324C A =故C 正确；对于D ，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端， 第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有 种， 123318C A =故D 正确； 故选：ACD.11. 弦经过抛物线：的焦点，设，，下列说法正确的是AB C ()220y px p =>F ()11,A x y ()22,B x y （ ） A. B. 的最小值为1AF x p =+AB 2p C. D. 以弦为直径的圆与准线相切212y y p =-AB 【答案】BCD 【解析】【分析】首先得出焦点坐标和准线方程，然后由抛物线的定义可判断A ，设弦所在的直线方程为AB ，然后联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，2p x my =+21212,2y y pm y y p +==-，然后可判断BCD.()212122x x m y y p pm p +=++=+【详解】焦点为，准线为，，故A 错误，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭2p x =-12p AF x =+设弦所在的直线方程为，由可得， AB 2p x my =+222p x p y y m x⎧=+⎪⎨⎪⎩=2220y pmy p --=所以，，故C 正确，21212,2y y pm y y p +==-()212122x x m y y p pm p +=++=+所以，所以当时最小，最小值为，故B 正确，12222p A p p x m B x =+=++0m =AB 2p 的中点的横坐标为， AB 21222x x ppm +=+所以以弦为直径的圆的圆心到准线的距离为， AB 221212222x x p p pm pm p AB +=++=+=所以以弦为直径的圆与准线相切，故D 正确， AB 故选：BCD12. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下[]1,5-()f x ()f x '()f x 列关于函数的结论正确的是（ ）()f xx 1-0 2 4 5 ()f x 13132A. 函数的极大值点的个数为2()f x B. 函数的单调递增区间为()f x ()()1,02,4-⋃C. 当时，若的最小值为1，则t 的最大值为2[]1,x t ∈-()f x D. 若方程有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ()f x a =()1,2【答案】AD 【解析】【分析】由导函数图象得原函数的单调性可判断AB ；由单调性结合函数值表可判断CD.【详解】由图知函数在区间[-1,0]上单调递增，在区间[0,2]上单调递减，在区间[2,4]上单调递增，在()f x 区间[4,5]上单调递减，所以在处有极大值，故A 正确；单调区间不能写成并集，故B 错误；0,4x x ==因为函数，且在区间[2,4]上单调递增，所以存在使得，易()()21,43f f ==()f x []02,4x ∈()02f x =知，当时，在区间的最小值为1，故C 不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图0t x =()f x []1,t -可知D 正确. 故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 2022年北京冬奥会期间，小明收藏了4个冰墩墩和5个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物赠送友人，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有__________种． 【答案】 70【解析】【分析】分选1个冰墩墩和2个雪容融与选2个冰墩墩和1个雪容融两种情况讨论，按照分类加法与分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有种； 1245C C =40若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有种； 2145C C =30综上可得一共有种； 403070+=故答案为：7014. 做一个无盖的圆柱形水桶，其体积是，则当圆柱底面圆半径__________时，用料最省． 27πr =【答案】 3【解析】【分析】设圆柱的高为，半径为则由圆柱的体积公式可得，要使用料最省即求全面积的最小h r 227h r=值，而，令，结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数取得最小值22S r rh ππ=+全面积()S f r =()f r 时的半径【详解】解：设圆柱的高为，半径为，则由圆柱的体积公式可得 h r (0)r >227r h ππ=所以 227h r=所以 2222275422S r rh r r r r rππππππ=+=+⋅=+全面积令，，则，()S f r =(0)r >322542(27)()2r f r r r r πππ-'=-=令解得，令可得，()0f r '>3r >()0f r <<03r <<在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值即最小值，()f r ∴(0,3)[3,)+∞()f r 3r =即当时，圆柱的表面积（不包含上底面）最小，即用料最省； 3r =故答案为：315. 若函数f （x ）=lnx-ax 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】函数有两个不同的零点，转化为函数与函数有两个不同的交点，()ln f x x ax =-ln y x =y ax =根据图像求解临界情况，得出结果．【详解】解：函数有两个不同的零点， ()ln f x x ax =-即有两个不同的解，ln 0x ax -=等价于函数与函数的图像有两个不同的交点，ln y x =y ax =当直线与曲线相切时，只有一个交点，此时为临界情况，y ax =ln y x =设切点为，则可得，解得，00(,)x y 00000ln 1y x y ax ax ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩0011x e y a e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩根据图像可以得到，当时，直线与曲线有两个交点， 10a e<<y ax =ln y x =故答案是． 10a e<<【点睛】本题考查了函数的零点问题，函数的零点问题可以转化为两个函数的交点问题，然后通过对临界情况的分析，得出参数的取值范围．16. 如图，过原点的直线与圆有一个交点，已知，为圆上相异两点且满足O L O ()3,4A B C O ，则直线的方程为__________．85BC OA =BC【答案】 453y x =±【解析】【分析】由条件可得，圆的半径为5，然后求出圆心到直线的距离，然后可求4,83BC k BC ==O O BC 出答案.【详解】因为，所以，即圆的半径为5， ()3,4A 4,53OA k OA ==O 因为，所以，85BC OA = 4,83BC k BC ==设直线的方程为，即，BC 43y x m =+4330x y m -+=因为，圆的半径为5，所以圆心到直线， 8BC =O O BC 3=，解得，即直线的方程为， 3=5m =±BC 453y x =±故答案为： 453y x =±四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知，且在处取得极值. ()2exx af x -=()f x 4x =（1）求的解析式；()f x （2）求在上的最小值.()f x []4,5x ∈-【答案】（1） ()28exx f x -=（2） 24e -【解析】【分析】（1）利用求得，由此求得的解析式.()'40f =a ()f x （2）利用导数求得在区间上的最小值.()f x []4,5-【小问1详解】，， ()2'2e x x x a f x -+=()2'4244408e a f a ⨯-+==⇒=此时， ()()()()22'24e 8e 8,2e x xx x f x x x x f x x -+--+==-=所以在区间递减； ()f x ()()()()',2,4,,0,fx f x -∞-+∞<在区间递增，()()()'2,4,0,f x f x ->所以在处取得极值符合题意. ()f x 4x =所以. ()28ex x f x -=【小问2详解】由（1）知在区间递减；在区间递增，()f x ()()()4,2,4,5,f x --()()2,4,f x -， ()()251724e ,5ef f -=-=所以在区间上的最小值为.()f x []4,5-24e -18. 已知圆C ：x 2+y 2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】x-y-4=0或x-y+1="0. "【解析】【详解】试题分析：假设存在，并设出直线方程y ＝x ＋b ，然后代入圆的方程得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA ⊥OB 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，得到参数b 的方程求解即可．试题解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋b ①圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0．②联立①②消去y ，得2x 2＋2（b ＋1）x ＋b 2＋4b －4＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有③因为以AB 为直径的圆经过原点，所以OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝（x 1＋b ）（x 2＋b ）＝x 1x 2＋b （x 1＋x 2）＋b 2，所以2x 1x 2＋b （x 1＋x 2）＋b 2＝0，把③代入：b 2＋4b －4－b （b ＋1）＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0， 解得b ＝1或b ＝－4，故直线l 存在，方程是x －y ＋1＝0，或x －y －4＝0．考点：存在性问题．【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y ＝x ＋b ，然后分析几何性质得到OA ⊥OB 即得到关于参数b 的方程求解即可．解该类问题最容易出错的的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b 值必须满足b 的范围，否则无解．19. 在①第5项的系数与第3项的系数之比是，②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，③14:3这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答． 221C C 10n n n-+-=问题：已知在的展开式中，__________． 1n x ⎫⎪⎭（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含的项．2x 【答案】（1）； 256252T x -=（2）.2345T x =【解析】【分析】（1）不管选哪个条件，都可以求出，然后可求出答案；10n =（2）写出展开式的通项，然后可得答案.【小问1详解】若选①，第5项的系数与第3项的系数之比是，14:3则，求得，42:14:3n n C C =10n =当二项式系数 最大时，，即第六项的二项式系数最大， r n C =5r此项为． 525556101·252T C x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，则， 212(1)5522n n n n n n n C C n --++=+==，当二项式系数 最大时，，即第六项的二项式系数最大，10n ∴=r n C =5r此项为． 525556101·252T C x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭若选③，，， 221(1)·(1)1022n n nn n n n C C -++--==-10n ∴=当二项式系数 最大时，，即第六项的二项式系数最大，r n C =5r此项为． 525556101·252T C x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭【小问2详解】该二项式的通项公式为， 10113520101·r r r r r T C x x C --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令，求得，故展开式中含的项为． 3522r -=2r =2x 2345T x =20. 如图，在几何体中，平面，平面，，，又SABCD AD ⊥SCD BC ⊥SCD 2AD CD ==1BC =，．2SD =120SDC ︒∠=（1）求 与平面所成角的正弦值；SC SAB （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.SAD SAB【答案】（1（2 【解析】【详解】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用公式即可；sin cos ,SC n θ= （2）利用坐标，求两个半平面所在平面的法向量，根据公式求解即可. cos ,n m n m n m⋅=⨯ 试题解析：(1)如图，过点 作的垂线交于，以为原点，D DC SCE D 分别以为轴建立空间直角坐标系.,,DC DE DA ,,x y z ∵，0120ADC ∠=∴，030ADE ∠=又，则点到轴的距离为1，到2SD =S y x 则有，，，，.()0,0,0D ()S -()0,0,2A ()2,0,0C ()2,0,1B （1）设平面的法向量为， SAB (),,n x y z =∵， ()2,0,1AB =- ()2AS=-- 则有，取， 2020x z x z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩x =得，又，n = ()3,SC = 设与平面所成角为，SC SAB θ则，sin cos ,SC n θ=== 故与平面所成角的. SC SAB （2）设平面的法向量为， SAD (),,m x y z =∵，，()0,0,-2AD = ()2AS =--则有，取，得， 2020z x z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩x =)m = ∴cos ,n m n m n m ⋅===⨯故平面与平面SAD SAB点睛：本题考查线面角的求法，以及二面角的余弦的求法，属于中档题.对于能够建立空间直角坐标系的问题，要优先考虑坐标法来处理，对于第一问，要先求面的一个法向量，然后利用两个向量的夹角公式处理，利用求得的法向量来求二面角的余弦值后，要注意角是锐角还是钝角.21. 已知，函数． a ∈R ()ln 1a f x x x=+-（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程．1a =()y f x =(2,(2))f （Ⅱ）求在区间上的最小值．()f x (0,e]【答案】（）．（）见解析.144ln 240x y -+-=2【解析】【详解】试题分析：（1）求出f'（x ），得切线的斜率，又曲线的切点为（2，f （2）），由点斜式可()2f '写出切线方程；（2）借助于导数，将函数的最值问题转化为导函数进行研究．分，，()ln 1a f x x x=+-0a ≤0e a <<三种情况讨论函数的最值情况. e a ≥试题解析：（）当时，，， 11a =()1ln 1f x x x =+-()0,x ∈+∞∴，， ()22111x f x x x x -=-+='()0,x ∈+∞∴，即曲线在点处的切线斜率为． ()124f '=()y f x =()()2,2f 14又∵， ()1222f ln =-∴曲线在点处的切线方程为， ()y f x =()()2,2f ()11ln2224y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭即．44ln240x y -+-=（）∵，∴． 2()ln 1a f x x x =+-()221a x a f x x x x-=-+='令，得．()0f x '=x a =①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．0a ≤()0f x '>()f x (0,e]()f x ②若，当时，，函数在区间上单调递减，0e a <<()0,x a ∈()0f x '<()f x ()0,a 当时，，函数在区间上单调递增，(,e]x a ∈()0f x '>()f x (,e]a 所以当时，函数取得最小值．x a =()f x ln a ③当，则当时，，函数在区间上单调递减，e a ≥(0,e]x ∈()0f x '≤()f x (0,e]所以当时，函数取得最小值． e x =()f x ea 综上所述，当时，函数在区间上无最小值．0a ≤()f x (0,e]当时，函数在区间上的最小值为．0e a <<()f x (0,e]ln a 当时，函数在区间上的最小值为． e a ≥()f x (0,e]e a 22. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：的离心率为，且过点． ()222210x y a b a b+=>>12()2,3（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ ()3,0R 分别交直线于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，163x =1k 2k 12k k 求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1） 2211612x y +=（2）是定值，定值为 127-【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆方程.,a b （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得两点的坐标，由此计算出l ,M N 为定值. 12127k k =-【小问1详解】由题意知，22222124491c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为：. 2211612x y +=【小问2详解】设直线l 的方程为，，，，3x my =+()11,P x y ()22,Q x y ()4,0A -， ()22223334483448x my my y x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩∴，， ()223418210m y my ++-=1212221821,3434m y y y y m m --+=⋅=++直线AP 方程为：， ()1144y y x x =++令得， 163x =()112834y y x =+∴，同理，()112816,334y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭()222816,334y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭∴ ()()()()()()121212121212122828161633347374477y y y y y y k k x x y x x my my =⋅⋅==++++++()2221212222116213421187497493434m m m y y m y y m m m m -⋅-+==--+++⋅+⋅+++。
高二数学下学期期中模拟卷01(苏教版2019选择性必修第二册)(解析版)
2022-2023学年高二数学下学期期中模拟卷01一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知2251818C C x x +-=，则2A x =（）A ．30B ．42C ．56D ．72【答案】B【解析】因为2251818C C x x +-=，故225x x +=-，或22518x x -=++，故7x =，则27A 7642=⨯=．故选B ．2．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱11C D ，1BB 的中点，记AB a = ，AD b =，1AA c = ，则EF等于（）A ．12a b c++ B ．3322a b c++ C ．1122a b c--D ．1122a b c--+【答案】C3．已知离散型随机变量X 的分布列(1,2,3,4,5)5k P X ak k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则13105P X ⎛⎫<<=⎪⎝⎭（）A ．1B ．23C ．15D ．13【答案】C4．已知()()311nx x -+的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含有3x 的项的系数为（）A ．20B ．30C ．45D ．60【答案】A【解析】令1x =，则2264n ⋅=，解得：5n =；则()1nx +展开式的通项为：55r rC x -，令52r -=，解得：3r =，则5333553330r rxC xC x x -==；令53r -=，解得：2r =，则2335110C x x -⋅=-；∴展开式中含有3x 的项的系数为301020-=．故选A ．5．若(2x －3)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5，则a 0＋a 2＋a 4等于()A ．244B ．1C ．－120D ．－121【答案】D6．若单位向量(),,0OA m n = 与向量()1,1,1OB = 的夹角等于π4，则mn =（）A ．14B ．14-C ．34D ．34-【答案】A【解析】由已知可得，n OB OA m ⋅+=，1OA = ，OB = 又OA 、OB 的夹角为π4，则πcos 4O A OB OB A O ⋅=⋅ ，即62m n +=．又1OA ==uu r ，所以221+=m n ．所以()()222212122m n m n mn ⎛⎫+-+==-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以14mn =．故选A ．7．一名刚入伍的士兵带着一把步枪到练习场地打靶，已知此步枪每次只装3发子弹，若命中目标或子弹打完，则停止练习．新兵第一枪命中靶标的概率为0．7，第二枪命中靶标的概率为0．4，第三枪命中靶标的概率为0．3，则在已知靶标被击中的条件下，士兵开第二枪命中的概率为（）A ．60437B ．200437C ．15107D ．60473【答案】A【解析】记事件A 为“士兵第一次击中靶标”，B 为“士兵第二次击中靶标”，C 为“士兵第三次击中靶标”，D 为“靶标被击中”，则()()()()()0.70.0.8730.40.30340.6.P D P A B C P A P B P C =++=++=+⨯+⨯⨯=，()0.30.40.12P B =⨯=，所以()()0.1260(|)()()0.874437P BD P B P B D P D P D ====．故选：A ．8．如图所示，A ，B 两点共有5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则()8P ξ≥的值为（）A ．35B ．34C ．23D ．45【答案】D【解析】由已知得，ξ的可能取值为7,8,9,10，故()8P ξ≥与()7P ξ=是对立事件，所以P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝212235C C 1C -＝45．故选D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知空间中三点A （0，1，0），B （1，2，0），C （－1，3，1），则正确的有（）A ．AB 与AC是共线向量B ．平面ABC 的一个法向量是（1，－1，3）C ．AB 与BC 夹角的余弦值是36-D ．与AB方向相同的单位向量是（1，1，0）【答案】BC【解析】对A ，(1,1,0)AB = ，(1,2,1)AC =- ，因为1112≠-，显然AB 与AC 不共线，A 错误；对B ，设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =，则020AB n x y AC n x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-++=⎩，令1x =，得(1,1,3)n =-，B 正确；对C ，()2,1,1BC =- ，1(2)113cos ,611411AB BC AB BC AB BC⋅==-+⨯++，C 正确；对D ，AB 方向相同的单位向量110110110++++++，即22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D 错误．故选BC ．10．设随机变量X 的可能取值为1,2,,n ⋅⋅⋅，并且取1,2,,n ⋅⋅⋅是等可能的．若()30.4P X <=，则下列结论正确的是（）A ．5n =B ．()10.1P X ==C ．()3E X =D ．()3D X =【答案】AC【解析】由题意1(),1,2,,P X k k n n=== ，2(3)(1)(2)0.4P X P X P X n <==+===，5n =，A 正确；1(1)0.25P X ===，B 错误；1()(12345)35E X =++++⨯=，C 错误；222221()[(13)(23)(33)(43)(53)]25D X =-+-+-+-+-=．D 错误．故选AC ．11．已知2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A ．二项展开式中无常数项B ．二项展开式中第3项为3240xC ．二项展开式中各项系数之和为63D ．二项展开式中二项式系数最大的项为2160x 【答案】BC【解析】因为2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式的通项公式62x⎛⎝为36662166(2)2rr r r r r r T C x C x---+==⋅⋅，对于A ，令3602r -=，则4r =，所以二项式展开式的第5项为常数项，所以A 错误，对于B ，令2r =时，4233362240TCxx=⋅⋅=，所以B 正确，对于C ，令1x =，则二项展开式中各项系数之和为()66213+=，所以C 正确，对于D ，因为二项式展开式中共有7项，所以第4项的二项式的系数最大为33633322462160TCxx-⨯=⋅⋅=，所以D 错误．故选BC ．12．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n 关要抛掷骰子n 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n n +，则算闯过第n 关，1,2,3,4n =．假定每次闯关互不影响，则（）A ．直接挑战第2关并过关的概率为712B ．连续挑战前两关并过关的概率为524C ．若直接挑战第3关，设A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则()113P A B =D ．若直接挑战第4关，则过关的概率是351296【答案】ACD【解析】对于A ，直接挑战第2关，则22226n n +=+=，所以投掷两次点数之和应大于6，故直接挑战第2关并过关的概率为112345676612P +++++==⨯，故选项A 正确；对于B ，闯第1关时，2213n n +=+=，所以挑战第1关通过的概率为212P =，则连续挑战前两关并过关的概率为1217721224P PP ==⨯=，故选项B 错误；对于C ，由题意可知，抛掷3次的基本事件有36216=个，抛掷3次至少出现一个5点的基本事件共有336521612591-=-=个，故91()216P B =，而事件AB 包括：含5，5，5的1个，含4，5，6的有6个，一共有7个，故7()216P AB =，所以()72161(|)()2169113P AB P A B P B ==⨯=，故选C 正确；对于D ，当4n =时，422420n n +=+=，基本事件共有46个，“4次点数之和大于20”包含以下情况：含5，5，5，6的有4个，含5，5，6，6的有6个，含6，6，6，6的有1个，含4，6，6，6的有4个，含5，6，6，6的有4个，含4，5，6，6的有12个，含3，6，6，6的有4个，所以共有4614412435++++++=个，所以直接挑战第4关，则过关的概率是4353566661296P ==⨯⨯⨯，故选项D 正确．故选ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．4(2)(3)y x --的展开式中含3x y 项的系数▲．【答案】12-．【解析】444(2)(3)(3)(3)2x x y y x -----=，4(3)y x -的展开式中3x y 项为：()3334C 312y x x y ⋅⋅-=-，4)2(3x --的展开式中没有3x y 项，故4(2)(3)y x --的展开式中含3x y 项的系数为12-．故答案为：12-．14．若1015A 151413m =⨯⨯⨯⨯L ，则正整数m =▲．【答案】6【解析】∵101515!A 15141365!==⨯⨯⨯⨯L ，所以6m =．故答案为：6．15．2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者．将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种．（用数字作答）【答案】36【解析】将4名同学按2,1,1分成3组有24C 种方法．再将这3组分配到3个比赛场馆，共有33A 种．则所有分配方案共有234336C A ⋅=种．故答案为36．16．如图，正三棱柱111ABC A B C -为的底面边长为2，侧棱长为2，则1AC 与BC 所成的角的正弦值为▲．【答案】144【解析】正三棱柱111ABC A B C -为的底面边长为2，侧棱长为2，则2AC BC ==，1AC ==，11,CC AC CC AB ⊥⊥，又11AC AC CC =+ ，BC AC AB=-，()()221111122222AC BC AC CC AC AB AC AC AB CC AC CC AB ⋅=+⋅-=-⋅+⋅-⋅=-⨯⨯=，1112cos ,4AC BC AC BC AC BC ⋅∴==，则1AC 与BC 所成的角的正弦值为4=．故答案为4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）有编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子和四个不同的小球，现把四个小球都逐个随机放入盒子里．（用数字作答）（1）求恰有一个盒子没放球的概率；（2）若四个盒子都有球，且编号为1的小球不能放入编号为1的盒子中，有多少种不同的放法？【解析】（1）每个球都有4种放法，故有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法，选出一个盒子为空，再从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，则共有123443144C C A =种不同的放法，故所求概率为144925616=；…………5分（2）先放1号球，有3种放法，其余三个球在三个位置全排列，133318C A =；……10分18．（12分）请从下列三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．①第2项与第3项的二项式系数之比是25；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为45；③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大．已知在(2x －1x)n (n ∈N *)的展开式中，．(1)求展开式中的常数项，并指出是第几项：(2)求展开式中的所有有理项．(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．)【解析】选择①：（1）因为1222(1)152n nC n n n C n ===--，所以n =6．（2分）展开式的通项为36662166(2)((1)2r r rr r r rr T C x C x ---+==-，令3602r -=得r =4．（4分）所以3464644256(1)260T C x⨯--=-=，所以展开式中的常数项是第5项，并且为60．（6分）（2）根据（1）展开式中的通项得，当r =0,2,4,6时，展开式中对应的项为有理项．（8分）当r =0时，606616264T C x x ==，同理33240T x =，560T =，37T x -=．（10分）所以展开式中的有理项为第1,3,5,7项，分别为664x ，3240x ，60，3x -．（12分）选择②：（1）展开式的通项为321(1)2r n rn rr r nT C x--+=-，所以第2项与第3项的系数分别112n n C --，222n n C -．所以11222244(1)2152n n n nC n n n C n --===--，所以n =6．（2分）以下同选择①．选择③：因为展开式中有且只有第四项的二项式系数最大，即有且只有3n C 最大，所以n =6．（2分）以下同选择①．19．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是斜边PA的长为的等腰直角三角形，E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC上一点．（1）求证：平面DFM ⊥平面PBC ；（2）若直线MF 与平面ABCD 所成角的正切值为，求锐二面角E ﹣DM ﹣F 的余弦值．【解析】证明：（1）依题意可得：PD ⊥DA ，DP ＝DA ＝DC ＝2，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，且PD ⊥AD ，∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又∵BC ⊥DC ，PD ∩DC ＝D ，DC 、PD ⊂平面PDC ，∴BC ⊥平面PDC ，又DF ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DF ，又在Rt △PDC 中，F 是PC 中点，则有DF ⊥PC ，∵DF ⊥BC ，DF ⊥PC ，PC ∩BC ＝C ，且BC 、PC ⊂平面PBC ，∴DF ⊥平面PBC ，又∵DF ⊂平面DFM ，∴平面DFM ⊥平面PBC ；（2）取CD 的中点N ，连接FN 、MN ，以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，∵FN ⊥平面ABCD ，∴直线MF 与平面ABCD 所成角为∠FMN ，∵直线MF 与平面ABCD 所成角的正切值为，∴，则MN ＝，∴CM ＝＝，可得M 是BC 靠近C 的三等分点，则，∴＝（﹣1，0，﹣1），＝（，2，0），设平面EDM 的法向量为＝（x ，y ，z ），则⇒，令x ＝﹣3，则平面EDM 的法向量为＝（﹣3，1，3），同理平面DMF 的法向量，∴，所以锐二面角E ﹣DM ﹣F 的余弦值是．20．（12分）如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设OA a,OB b,OC c === .（1）试用向量,,a b c表示向量OE；（2）若4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠====== ，求OE AC ⋅的值.【解析】（1）因为点E 为AD 的中点，所以111()222OE OA OD OA OD =+=+，因为2BD DC =，所以13BD BC = ，所以1121()3333OD OB BC OB OC OB OB OC =+=+-=+ ，所以11211111112233236236OE OA OB OC OA OB OC a b c ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭；（2）由（1）得111236OE a b c =++，因为4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠======，AC OC OA c a =-=-，所以()111236OE AC a b c c a⎛⎫⋅=++⋅- ⎪⎝⎭ 22111111223366a c a b c a b c a c =⋅-+⋅-⋅+-⋅221111132336a c abc a b c =⋅-+⋅-⋅+ 221111144cos 60434cos 6034cos 60432336=⨯⨯︒-⨯+⨯⨯︒-⨯⨯︒+⨯11144816326=⨯⨯⨯-+⨯83=-.21．（12分）小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．表1购买实物商品(元)(0,100)[100,500)[500,1000)积分246概率141214表2购买虚拟商品(元)(0,20)[20,50)[50,100)[100,200)积分1234概率13141416(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X 的分布列与均值．【解析】(1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为12＋14＝34，购买虚拟商品不低于100元的概率为16，因此所求概率为34×16＝18.(2)根据条件，积分不低于8分有两种情况：①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分；②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，故小张一个月积分不低于8分的概率为14×＋12×16＝14.(3)由条件可知X 的可能取值为3,4,5.P (X ＝3)＝1313＋14＋14＝25，P (X ＝4)＝P (X ＝5)＝1413＋14＋14＝310，即X 的分布列如下：X 345P25310310E (X )＝3×25＋4×310＋5×310＝3910.22．（12分）在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．条件①：“展开式中所有项的系数之和是所有二项式系数之和的256倍”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为37”．问题：已知二项式()13nx +，若______(填写条件前的序号)，m 、n 为正整数．（1）求()()5131nx x +-展开式中含2x 项的系数；（2）求()13nx +展开式中系数最大的项；（3）写出()13m x +展开式中系数最大项是第几项？(不要求推导过程)．【解析】（1）选①，则42562nn =，解得8n =；选②，则012C C C 37n n n ++=，解得8n =；∴()()5131nx x +-＝()()85131x x +-中2x 项的系数为：22111225858C (1)C 3C (1)C 310120252142-+⋅⋅-+⋅-+＝＝；（2）()813x +展开式的通项为18C 3r r rr T x +=，设第1r +项系数最大，则11881188C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，解得232744r ≤≤，∵r ∈*N ，∴6r =，∴()813x +展开式中系数最大的项为666678C 320412T x x =⨯⋅=⋅；（3）()13mx +展开式的通项为1C 3km k k k T x +=，设第1k +项系数最大，则1111C 3C 3C 3C 3k k k k m m k k k k m m --++⎧≥⎨≥⎩，则311131k m k m k k ⎧⎪⎪-+⎨⎪⎪-+⎩ ，解得313344m m k -+≤≤，即33331144m m k ++≤+≤+，定义y ＝[x ]为取整函数，n ∈Z ，当n ≤x ＜n ＋1时，[x ]＝n ，则当334m +为整数时，()13mx +展开式中系数最大项为第334m +项或3314m ++项；当334m +不为整数时，为第3314m +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦项。
江苏省南京市高二数学下学期期中试题 理(含解析)苏教版
2012-2013学年江苏省南京市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横线上）1．（5分）某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有15件，则样本容量n= 75 ．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量解答：解：设出样本容量为n，∵由题意知产品的数量之比依次为2：3：5，∴=，∴n=75，故答案为：75点评：抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．2．（5分）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为73 分钟．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间．解答：解：由茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为64，65，69，72，78，80，83运动员的平均训练时间为：（64+65+69+72+78+80+83）=73故答案为：73点评：解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值．3．（5分）设（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a1+a2+a3+a4= 1 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：在等式（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 中，令x=1可得 a0+a1+a2+a3+a4的值．解答：解：在等式（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 中，令x=1可得 a0+a1+a2+a3+a4=1，故答案为 1．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．4．（5分）如图所示的伪代码运行后输出的结果为22 ．x←5y←﹣20If x＜0Thenx←y﹣3Elsey←y+3End IfPrint x﹣y考点：伪代码．专题：图表型．分析：利用条件语句，确定变量的赋值方法，即可求得结论．解答：解：由题意，若x＜0，则将y﹣3赋给x；若x＞0，则将y+3赋给x ∴x=5，y+3=﹣20+3=﹣17，∴x﹣y=5+17=22故答案为：22．点评：本题考查伪代码，考查学生的读图能力，属于基础题．5．（5分）同时掷两颗骰子，得到的点数和为4的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：正确列举基本事件数，找出点数之和为4的，由概率公式可得答案．解答：解：同时掷两颗骰子得到的点数共有36种情况，即（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6），（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6），（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6），（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6），（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6），而和为4的情况数有3种，即（1，3）（2，2）（3，1）所以所求概率为=，故答案为：点评：本题考查列举法求解等可能事件的概率，属基础题．6．（5分）五个数1，2，3，4，x的平均数是3，则这五个数的标准差是．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：根据平均数公式先求出a，再求出方差，开方得出标准差．解答：解：由已知，1，2，3，4，a的平均数是3，即有（1+2+3+4+x）÷5=x，易得x=5 根据方差计算公式得s2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=×10=2所以标准差s=故答案为：．点评：本题考查了样本数据平均数、方差、标准差的计算．属于简单题．7．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S= 10 ．考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4，又∵1+2+3+4=10故答案为：10．点评：本题考查循环结构，解本题的关键是看懂程序执行的过程，读懂其运算结构及执行次数．8．（5分）从一群游戏的孩子中抽出k人，每人扎一条红带，然后让他们返回继续游戏，一会儿之后，再从中任取m人，发现其中有n人扎有红带，估计这群孩子的人数为．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：本题是一个情景问题，由问题描述知k个小孩在总体中所占的比例是，由此比例关系计算出总共多少人选出正确选项解答：解：由题意，k个小孩在总体中所点的比例是，故总体的人数是k÷=．故答案为：．点评：本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，理解题意，由题中描述得出k个小孩在总体中所点的比例是解题的关键，本题是实际背景的情景的问题，要注意与抽样中样本与总体这些术语的对应，从而得到计算方法．9．（5分）（+x）n展开式中所有奇数项的系数和为512，则展开式中第3项为．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意结合二项式系数的性质求得n=10，再根据二项式展开式的通项公式求得展开式中第3项．解答：解：由于（+x）n展开式中所有奇数项的系数和为512，故所有偶数项的系数和也等于512，故展开式中所有项的系数和为2×512=2n，解得n=10．故展开式的第三项为 T3=••x2=，故答案为．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．10．（5分）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数共有108 个．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：若末尾是0，这样的四位数共有个．若末尾是5，则最高位不能是0，共有4=48个，再把这2个值相加，即得所求．解答：解：若末尾是0，则其余的位任意排列，则这样的四位数共有=60个，若末尾是5，则最高位不能是0，故最高位的排法有4种，中间2个位任意排，共有4=48个，综上，能被5整除的数共有 60+48=108个，故答案为 108．点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析，分类讨论，属于中档题．11．（5分）1﹣100C+1002 C﹣1003 C+…（﹣1）k100k C+…+10010 C除以97的余数是54 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：所给的式子即（1﹣100）10=（97+2）10=++…++．故展开式中最后一项除以97的余数，即为所求解答：解：由于1﹣100C+1002 C﹣1003 C+…（﹣1）k100k C+…+10010=（1﹣100）10=（97+2）10=++…++．显然，展开式中，除了最后一项外，其余的各项都能被97整除，故展开式中最后一项除以97的余数，即为所求．而展开式中最后一项为1024，它除以97的余数为54，故答案为 54．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，体现额转化的数学思想，属于中档题．12．（5分）6名同学站成一排合影，若甲乙两名同学之间恰有两名同学，共有144 种不同的排法．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：先排好甲乙，方法有2种；再向甲乙二人之间插入2个同学，方法有种；把这4个人看成一个整体，再与其余的2个人全排列，方法共有种．再根据分步计数原理求得结果．解答：解：先排好甲乙，方法有2种；再向甲乙二人之间插入2个同学，方法有=12种；把这4个人看成一个整体，再与其余的2个人全排列，方法共有=6种．再根据分步计数原理求得所有的排列数共有2×12×6=144种，故答案为 144．点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于中档题．13．（5分）（2013•静安区一模）求和：= n•2n﹣1．（n∈N*）考点：二项式定理．专题：计算题．分析：根据（1+x）n=+++…+，两边同时对x求导，再令 x=1，可得答案．解答：解：∵（1+x）n=+++…+，两边同时对x求导可得 n（1+x）n﹣1=+2+3+…+n．令 x=1可得，n•2n﹣1=，故答案为n•2n﹣1．点评：本题主要考查二项式定理的应用，求函数的导数，属于中档题．14．（5分）把5名新同学分配到高一年级的A、B、C三个班，每班至少分配1人，其中甲同学已分配到A班，则其余同学的分配方法共有50 种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：若A班只有甲一人，则B班可能有1人、二人、三人，分配方案共有++种．若甲班有2人，则B班可能有1人、二人，分配方案共有•+•=24 种．若甲班有3人，则B班只能有1人，分配方案共有种．再把求得的这三个数相加，即得所求．解答：解：若A班只有甲一人，则B班可能有1人、二人、三人，故分配方案共有++=14种．若甲班有2人，则B班可能有1人、二人，则分配方案共有•+•=24 种．若甲班有3人，则B班只能有1人，则分配方案共有=12种．综上，其余同学的分配方法共有50种，故答案为 50．点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析，分类讨论，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）15．（14分）（2009•泰安一模）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数；（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x﹣y|≤5的事件概率．考点：频率分布直方图；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）由频率分布直方图分析可得后三组的频率，再根据公式：频率=，计算可得答案．（2）由等差数列可算出第六组、第七组人数，再算出小矩形的高度即可补图；（3）本小题是属于古典概型的问题，算出事件|x﹣y|≤5所包含的基本事件个数m，和基本事件的总数n，那么事件的概率P（A）=．解答：解：（1）由频率分布直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9人（2分）这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×0.18=144人（4分）（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2人，设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，又m+2=2（7﹣m），所以m=4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06，（6分）频率除以组距分别等于0.016，0.012，见图（8分）（3）由（2）知身高在[180，185]内的人数为4人，设为a，b，c，d．身高在[190，195]的人数为2人，设为A，B．若x，y∈[180，185]时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．若x，y∈[190，195]时，有AB共一种情况．若x，y分别在[180，185]，[190，195]内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB 共8种情况所以基本事件的总数为6+8+1=15种（12分）事件|x﹣y|≤5所包含的基本事件个数有6+1=7种，故（14分）点评：本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系：频率=，同时还考查了古典概型的计算．16．（14分）设O为坐标原点，点P的坐标为（x﹣2，x﹣y）．（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现随机从此盒中先后连续抽出两张卡片，记两次抽取卡片的标号分别为x、y，求点P在第一象限的概率；（2）若利用计算机随机在区间[0，3]上先后取两个数分别记为x、y，求点P在第一象限的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）记抽到的卡片标号为（x，y），先求出所有情况，再求出“点P在第一象限”的情况，利用古典概型公式，可得结论；（2）先确定“点P在第一象限”对应的不等式与面积，再求出所表示的区域面积，利用几何概型的概率公式，可得结论．解答：解：（1）记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为：（x，y）（1，2）（1，3）（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）P（x﹣2，x﹣y）（﹣1，﹣1）（﹣1，﹣2）（0，1）（0，﹣1）（1，2）（1，1）共6种．记事件A为“点P在第一象限”，则由表格可知满足事件A的（x，y）有（3，1），（3，2）两种情况，∴P（A）==；（2）记事件B为“点P在第一象限”，由，可得其所表示的区域面积为3×3=9由题意可得事件B满足，即如图所示的阴影部分，其区域面积为=∴P（B）==．点评：本题考查概率的计算，区分古典概型与几何概型是关键．17．（14分）已知二项式（2+x2）8，求：（1）二项展开式第3项的二项式系数；（2）二项展开式第8项的系数；（3）系数最大的项．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）由于二项展开式第3项的二项式系数为，运算求得结果．（2）求出二项展开式第8项，即可得到二项展开式第8项的系数．（3）由，解得2≤r≤3，r∈N，所以，r=2 或3，由此可得系数最大的项．解答：解：（1）由于二项展开式第3项的二项式系数为=28．…（3分）（2）二项展开式第8项为 T8=•2•（x2）7=16 x14，故二项展开式第8项的系数为16．…（8分）（3）由…（10分）解得2≤r≤3，r∈N，所以r=2 或3．…（14分）所以，系数最大的项为T3=1792x4，T4=1792x6．…（16分）点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某项的系数，属于中档题．18．（16分）某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值为R（x）=3700x+45x2﹣10x3（万元），成本函数为C（x）=460x+5000（万元）．又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为M f（x）=f（x+1）﹣f（x）求：（1）利润函数p（x）及边际利润函数M p（x）；（2）年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题；导数的概念及应用．分析：（1）由“利润等于收入与成本之差．”可求得利润函数p（x），由“边际函数为Mf （x），定义为Mf（x）=f（x+1）﹣f（x）”可求得边际函数．（2）由利润函数p（x）是二次函数，故可以求出函数p（x）的最大值p（x）max；边际利润函数为Mp（x）是一次函数，也可以求出其最大值．解答：解：（1）p（x）=R（x）﹣C（x）=﹣10x3+45x2+3240x﹣5000（x∈N，且x∈[1，20]），…（3分）M p（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣30x2+60x+3275，（x∈N，且x∈[1，19]），…（6分）每个定义域（1分）．（2）P′（x）=﹣30x2+90x+3240（x∈[1，20]…（7分）=﹣30（x+9）（x﹣12）…（8分）当1＜x＜12时，P′（x）＞0，P（x）为单调递增；…（11分）当12＜x＜20时，P′（x）＜0，P（x）为单调递减，…（14分）所以x=12时，p（x）取得最大值，…（15分）即年造船12艘时，可使公司造船的年利润最大．…（16分）没答或必要的所有扣（1分）．点评：本题考查了利润函数模型的应用，本题中利润函数是二次函数，利用配方法或图象的对称轴，都可以得出函数的最大值，需要注意自变量的取值是正整数．19．（16分）（2013•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程及参数a，b，c之间的关系即可求出；（2）（i）利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；（ii）利用直线的点斜式及其（i）的有关结论即可证明．解答：解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a2=b2+1．消去a可得，2b4﹣5b2﹣3=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，∴椭圆E 的方程为．（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则，，∵A，P，M 三点共线，∴，∴，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴，故为定值．（ⅱ）直线BP 的斜率为，直线m 的斜率为，则直线m 的方程为，====，即．所以直线m过定点（﹣1，0）．点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．20．（16分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题；解题方法．分析：（1）当a=﹣2时故函数在（1，+∞）上是增函数．（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负，故函数f（x）在[1，e]上是增函数．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时f'（x）=0，当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．所以此时有最值．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正，所以[f（x）]min=f（e）=a+e2．（3）由题意可化简得（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=﹣1．解答：解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质及研究单调性与函数的最值，还考查求参数的范围，解决此类问题的关键是分离参数后转化为恒成立问题，即求新函数的最值问题，是近年高考考查的热点．2013年9月1日。
2022-2023学年全国高中高二下数学苏教版(2019)期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高二下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若→a =(x,1)，→b =(4,x)，→a//→b ，则实数x =( )A.0B.2C.−2D.2或−22. 从2名医生和5名护士中，选出3人参加某项志愿活动．要求入选的3人中至少有一名医生，则不同的选取方案的种数是（ ）A.20B.25C.30D.553. 下列结论正确的是（ ）A.→AB +→AC =→BCB.→BA +→CA =→BCC.→AB −→AC =→BCD.→BA −→CA =→BC4. 已知3件产品中有1件次品，其余为合格品，现从这3件产品中任取2件，恰有1件合格品的概率为( )A.13B.23C.14D.125. 已知→a =(2,3)，→b =(−4,7)，则向量→a 在→b 方向上设射影的数量为（ ）=(x,1)a →=(4,x)b →//a →b →x =()2−22−2253320253055+=AB −→−AC −→−BC−→−+=BA −→−CA −→−BC−→−−=AB −→−AC −→−BC−→−−=BA −→−CA −→−BC −→−31321()13231412→→→→B.√135C.√655D.√656. 已知随机变量X 服从正态分布N(μ,1)，且P(2≤X ≤4)=0.6826，则P(X >4)等于（ ）A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.15857. 某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有( )A.900种B.600种C.360种D.480种8. 如图，长方体从顶点A 1出发的三条棱长分别是1，2，3，则体对角线A 1C 的长为( )A.6B.√14C.√5D.7二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知(3x −2)10=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 10(x −1)10，则下列结论正确的有( )A.a 0=1B.a 1+a 2+⋯+a 10=210−1C.a 2=405D.a 0+a 2+a 4+⋯+a 10=220+210213−−√565−−√565−−√X N(μ,1)P(2≤X ≤4)=0.6826P(X >4)0.15880.15870.15860.158********600360480A 1123CA 1614−−√5–√7=+(x −1)++⋯+(3x −2)10a 0a 1a 2(x −1)2a 10(x −1)10=1a 0++⋯+=−1a 1a 2a 10210=405a 2+220210X 1234P 0.20.10.2q 若离散型随机变量Y 满足Y =2X +1，则下列结果正确的有( )A.q =0.2B.E(X)=3，D(X)=1.4C.E(X)=2，D(X)=1.8D.E(Y)=7，D(Y)=5.611. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1,A 2,A 3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A.P(B)=25B.P (B |A 1)=511C.事件B 与事件A 1相互独立D.A 1、A 2、A 3两两互斥12. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，则下列结论正确的是( )A.A 1D ⊥AC 1B.三棱锥A −BCF 外接球的表面积为6πC.点C 到平面AEF 的距离为23D.平面AEF 截正方体所得的截面面积为92卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 从数字1，2，3，4中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为________.14. 若(1−x)7=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6+a 7x 7，则|a 0|−|a 1|+|a 2|−|a 3|+|a 4|−|a 5|+|a 6|−|a 7|=________.X X1234P 0.20.10.2q Y Y =2X +1q =0.2E (X)=3D (X)=1.4E (X)=2D (X)=1.8E (Y )=7D (Y )=5.6523433,,A 1A 2A 3BP (B)=25P (B|)=A 1511B A 1A 1A 2A 32ABCD −A 1B 1C 1D 1EF BC CC 1D ⊥A A 1C 1A −BCF 6πC AEF 23AEF 92123439=+x ++(1−x)7a 0a 1a 2x 2a 3x 3++++a 4x 4a 5x 5a 6x 6a 7x 7||−||+||−||+a 0a 1a 2a 3||−||+||−||=a 4a 5a 6a 7若∠AED =45∘，且 CE =1，BD =2，则AD 的长是________．16. 袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为16，则袋中黑球的个数为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 有5名学生和2位老师站成一排合影．(1)若2位老师相邻，则排法种数为多少？(2)若2位老师不相邻，则排法种数为多少？ 18. 已知二项式(ax +1√x )n 的第三项和第八项的二项式系数相等．(1)求n 的值；(2)若展开式的常数项为84，求a ． 19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB//CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E 、F 分别为PC 、CD 的中点．(Ⅰ)试证：AB ⊥平面BEF ；(Ⅱ)设PA ＝k ⋅AB ，且二面角E −BD −C 的平面角大于45∘，求k 的取值范围． 20. 某射击运动员射击一次所得环数X 的分布列如下：X 0−678910P 00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击所得的最高环数作为他的成绩，记为ξ．(1)求该运动员两次都命中7环的概率；(2)求ξ的分布列及数学期望E(ξ)． 21. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，P ，Q 分别是AA 1，A 1C 1的中点.△ABC ∠B =45∘BC D CD =CA E AC ED∠AED =45∘CE =1，BD =2AD 32201201652(1)2(2)2(ax +)1x −√n (1)n(2)84aP −ABCD PA ⊥ABCD ∠DAB AB //CD AD CD 2AB E F PC CD ()AB ⊥BEF ()PA k ⋅AB E −BD −C 45∘kX X 0−678910P 00.20.30.30.2ξ(1)7(2)ξE(ξ)ABC −A 1B 1C 1P Q AA 1A 1C 1角Q −PB 1−A 1的余弦值. 22. 2019年7月1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，以“新时代、新变革、新产业”为主题，突出电动化、智能化、共享化融合发展特色.某汽车公司顺应时代潮流，新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值¯x ，（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布N(μ,σ2)，用样本平均数¯x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，经计算样本标准差s 的近似值为50，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、⋯、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到 k +1），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到 k +2），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n 格的概率为P n ，试说明{P n −P n−1}是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.(2)AB =2AC =A =A =4A 1C 1∠A =A 1B 160A C ⊥A 1C 1A B A 1B 1Q −P −B 1A 12019713100(1)100x ¯¯¯(2)X N(μ,)σ2x ¯¯¯μs σs 50250400ξN(μ,)σ2P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973(3)12012⋯500k k +1k k +24950n P n {−}P n P n−1参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二下数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】D【考点】平行向量的性质【解析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵→a//→b，∴x 2−4=0，解得x=±2．故选：D．2.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：所求分成两种情况：①1名医生，2名护士时，有C12⋅C25=20种；②2名医生，1名护士时，有C22⋅C15=5种.共25种.故选B.3.【答案】D【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】【解答】解：→BA−→CA=→BA+→AC=→BC.故选D.4.【答案】B【考点】条件概率与独立事件【解析】从中任取2件，在已知其中一件是次品的前提下，另一件也是次品，就是任取的两件都是次品．【解答】解：从3件产品中任取2件共有3种情况，其中恰有1件次品有2种情况，所以P=23，故选B．5.【答案】C【考点】向量的投影【解析】根据向量射影的定义，求出→a在→b方向上的射影即可．【解答】解：根据投影的定义，得；向量→a在→b方向上的射影数量是m=|→a|⋅cosθ=˙|→b|√(−4)2+72=2×(−4)+3×7=√655．故选：C．6.【答案】B【考点】正态分布的密度曲线【解析】解：由正态曲线性质知，μ=3，∴P(X>4)=0.5−12P(2≤X≤4)=0.5−12×0.6826=0.1587．故选B．7.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题计数原理的应用【解析】分两步进行，先从8名教师中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，由分类计数原理可得这一步的情况数目，再把四名老师分配去4个边远地区支教，对四名教师进行全排列即可，最后，由分步计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分两步进行，第一步，先选四名老师，又分两类：①甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C25=10种不同选法，②甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C46=15种不同选法，则不同的选法有10+15=25种;第二步，四名老师去4个边远地区支教，有A44=24，最后，由分步计数原理，可得共有25×24=600种方法.故选B．8.【答案】B【考点】点、线、面间的距离计算【解析】直接用长方体的对角线的公式，求出长方体的对角线长即可．【解答】解：∵长方体从顶点A1出发的三条棱的长分别为1，2，3，∴长方体的对角线A1C的长为：√12+22+32=√14.故选B．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.二项式系数的性质二项展开式的特定项与特定系数二项式定理的应用【解析】利用赋值法和二项展开式的特定项的系数将各个选项逐一分析求解即可.【解答】解：(3x −2)10=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 10(x −1)10，令x =1，可得a 0=(3×1−2)10=1，故A 正确；令x =2，可得410=a 0+a 1+a 2+⋯+a 10，∴a 1+a 2+⋯+a 10=410−a 0=410−1，故B 错误；设t =x −1，则x =t +1，∴(3t +1)10=a 0+a 1t +a 2t 2+⋯+a 10t 10，∴a 2=C 210⋅32=45×9=405，故C 正确；令x =0时，a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+a 10=(−2)10=210，又a 0+a 1+a 2+⋯+a 10=220，两式相加可得a 0+a 2+a 4+⋯+a 10=220+2102，故D 正确.故选ACD.10.【答案】B,D【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】由离散型随机变量X 的分布列的性质求出q =0.5，由此能求出E(X)，D(X) ，再由离散型随机变量Y 满足Y =2X +1，能求出E(Y)和D(Y)．【解答】解：由离散型随机变量X 的分布列的性质，得q =1−0.2−0.1−0.2=0.5，E(Y)=1×0.2+2×0.1+3×0.2+4×0.5=3，D(X)=(1−3)2×0.2+(2−3)2×0.1+(3−3)2×0.2+(4−3)2×0.5=1.4，∵离散型随机变量Y 满足Y =2X +1，∴E(Y)=2E(X)+1=7，D(Y)=4D(X)=5.6.故选BD ．11.条件概率与独立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)=510=12，P(A2)=210=15，P(A3)=310，P(B|A1)=12×51112=511，P(B|A2)=411，P(B|A3)=411，而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=922，则P(A1)P(B)=12×922=944≠P(A1B).由此知AC不正确，BD正确.故选BD．12.【答案】A,C,D【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算空间中直线与平面之间的位置关系【解析】证明A1D⊥平面AD1C1可证A1D⊥AC1，判断A；证明AF的中点就是三棱锥A−BCF外接球球心，求得球面积，判断B，利用等体积法求得点C到平面AEF的距离判断C，作出完整截面并求出面积判断D．【解答】解：A，连接AC1，AD1，∵A1D⊥AD1，A1D⊥C1D1∴A1D⊥平面AD1C1，∵AC1⊂平面AD1C1，则NM//CF ，∴NM ⊥平面ABCD ，∴N 是三棱锥A −BCF 外接球的球心，NA =12AF =12√12+(2√2)2=32，球表面积为S =4π×(32)2=9π，故B 错误；C ，S △ABE =12×EC ×AB =12×2×1=1，V F−AEC =13S △AEC ⋅FC =13×1×1=13，在△AEF 中， AE =√22+12=√5，EF =√2，AF =3，则cos ∠AEF =AE 2+EF 2−AF 22AE ⋅EF=5+2−92×√5×√2=−√1010，sin ∠AEF =3√1010，S △AEF =12AE ⋅EFsin ∠AEF=12×√5×√2×3√1010=32，设C 到平面AEF 的距离为h ，则V A−ECF =V C−AEF 得13×32h =13，h =23，故C 正确；D ，连接FD 1，D 1A ，易证得AD 1//BC 1//EF ，平面AEF 截正方体所得的截面即为等腰梯形AD 1FE ，AD 1=2√2，EF =√2，AE =D 1F =√5，梯形的高为h ′=√(√5)2−(√22)2=3√22，S =12×(√2+2√2)×3√22=92，故D 正确．故选ACD ．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】532【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】求出基本事件总数为4×4×4=64个，满足各位数字之和等于9的分两类，一类数字不重复，一类数字有重复，求完后直接运用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：三位数共有4×4×4=64个，各位数字之和等于9有这样几种情况，第一种：各个数字不同，有一种，即取2，3，4这样的三位数有6个，第二种：有数字相同的情况，可以取1，4，4这样的三位数也有3个，可以取3，3，3这样的三位数有1个．所以概率是1064=532．故答案为：532．14.【答案】【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由二项展开式的通项公式T r+1=C r7(−x)r=Cr7(−1)r x r，r=0,1,⋯，7，可知a1,a3,a5,a7都小于0，则|a0|−|a1|+|a2|−|a3|+|a4|−|a5|+|a6|−|a7|=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7，在原二项展开式中令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0.故答案为：0.15.【答案】√10【考点】点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】解：过A作AG⊥BC于G，在CD上截取CF＝CE＝1，连接AF，∵在△DCE和△ACF中{CD =CA ∠C =∠CCE =CF∴△DCE ≅△ACF(SAS)∴∠DEC ＝∠AFC∴∠AFD ＝∠AED ＝45∘∵∠B ＝45∘∴∠B ＝∠AFD∴AB ＝AF∴BG ＝FG设DG ＝x ，则GF ＝BG ＝x +2，DC ＝AC ＝2x +3∵∠B ＝45∘，AG ⊥BC ∴∠BAG ＝∠B ＝45∘∴AG ＝BG ＝x +2，GC ＝x +3在Rt △AGC 中，由勾股定理得：AG 2+GC 2＝AC 2∴(x +2)2+(x +3)2＝(2x +3)2整理得：x 2+x −2＝0解得：x 1＝−2（舍），x 2＝1∴DG ＝1，AG ＝2+x ＝3∴AD =√DG 2+AG 2=√12+32=√10故答案为：√10．16.【答案】4个【考点】概率的应用【解析】先设出袋中黑球个数为x 个，通过题意可判断当取到的两球均为黑球时，得分为0分，求出取到两球均为黑球的情况，比上任取两球的情况，即为的0分的概率，据此，解出x 的值．【解答】解：设袋中黑球的个数为x 个．从袋中任取2个球，共有C 2x+5=(x +5)(x +4)2种不同的取法取道两只黑球的情况有C 2x=x(x −1)2种不同的取法而当取到的两球均为黑球时，得分为0分，∴得0分的概率为x(x −1)2(x +5)(x +4)2=x(x −1)(x +5)(x +4)=16∴x =4故答案为4个四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：(1)先把2位老师“捆绑”看做1个元素，与其余3个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A 22A 66=1440种排法.(2)先让5名学生站好，有A 55种排法，这时有6个“空隙”可供2位老师选取，共有A55A 26=3600种排法．【考点】排列、组合的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)先把2位老师“捆绑”看做1个元素，与其余3个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A 22A 66=1440种排法.(2)先让5名学生站好，有A 55种排法，这时有6个“空隙”可供2位老师选取，共有A 55A 26=3600种排法．18.【答案】解：(1)由第3项和第8项的二项式系数相等可得C 2n =C 7n，解得n =2+7=9 . (2)由(1)知，展开式的第r +1项为： T r+1=C r9⋅(ax)9−r ⋅(1√x )r =a 9−r C r9x 9−32r .令9−32r =0，得r =6，此时展开式的常数项为a9−3⋅C 69=84a 3=84，解得a =1 .【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】（1）由第3项和第8项的二项式系数相等可得C 2n =C 7n，解得n =2+7=9 . （2）由（1）知，展开式的第r +1项为： T r+1=C r9⋅(ax)9−r ⋅(1√x )r =a 9−r C r9x 9−32r ；令9−32r =0，得r =6，此时展开式的常数项为a9−3⋅C 69=84a 3=84，解得a =1 .【解答】解：(1)由第3项和第8项的二项式系数相等可得C 2n =C 7n，解得n =2+7=9 . (2)由(1)知，展开式的第r +1项为： T r+1=C r9⋅(ax)9−r ⋅(1√x )r =a 9−r C r9x 9−32r .令9−32r =0，得r =6，此时展开式的常数项为a9−3⋅C 69=84a 3=84，解得a =1 . 19.【答案】（1）证：由已知DF//AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ．又PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD ，在△PDC 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF//PD ，所以AB ⊥EF ．由此得AB ⊥平面BEF ． （2）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 为OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，则→BD =(−1,2,0)，→BE =(0,1k2)设平面CDB 的法向量为¯m 1=(0,0,1)，平面EDB 的法向量为¯m 2=(x,y,z)，则{¯m 2⋅¯BD =0¯m 2⋅¯BE =0∴{−x +2y =0y +kz2=0 ，取y ＝1，可得m 2=(2,1,−2k )设二面角E −BD −C 的大小为θ，则cosθ＝|cos <m 1，m 2>|=2k √22+1+4k 2<√22化简得k 2>45，则k >2√55．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)欲证AB ⊥平面BEF ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB 与平面BEF 内两相交直线垂直，而AB ⊥BF ．根据面面垂直的性质可知AB ⊥EF ，满足定理所需条件；(Ⅱ)以A 为原点，以AB 、AD 、AP 为OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，求出平面CDB 的法向量和平面EDB 的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．【解答】（1）证：由已知DF//AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ．又PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD ，在△PDC 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF//PD ，所以AB ⊥EF ．由此得AB ⊥平面BEF ．（2）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 为OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，则→BD =(−1,2,0)，→BE =(0,1k2)设平面CDB 的法向量为¯m 1=(0,0,1)，平面EDB 的法向量为¯m 2=(x,y,z)，则{¯m 2⋅¯BD =0¯m 2⋅¯BE =0∴{−x +2y =0y +kz2=0 ，取y ＝1，可得m 2=(2,1,−2k )设二面角E −BD −C 的大小为θ，则cosθ＝|cos <m 1，m 2>|=2k √22+1+4k 2<√22化简得k 2>45，则k >2√55．20.【答案】解：(1)设“该运动员两次都命中7环”为事件A ，则P(A)=0.2×0.2=0.04．(2)ξ可取7、8、9、10，则P(ξ=7)=0.04，P(ξ=8)=2×0.2×0.3+0.32=0.21，P(ξ=9)=0.5×0.3×2+0.32=0.39，P(ξ=10)=0.2×0.8×2+0.22=0.36，故ξ的分布列为ξ78910P 0.040.210.390.36∴E(ξ)=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．【考点】古典概型及其概率计算公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】(1)根据相互独立事件概率公式计算；(2)根据相互独立事件概率公式求出ξ的分布列，再计算E(ξ)．【解答】解：(1)设“该运动员两次都命中7环”为事件A ，则P(A)=0.2×0.2=0.04．(2)ξ可取7、8、9、10，则P(ξ=7)=0.04，P(ξ=8)=2×0.2×0.3+0.32=0.21，P(ξ=9)=0.5×0.3×2+0.32=0.39，P(ξ=10)=0.2×0.8×2+0.22=0.36，故ξ的分布列为ξ78910P0.040.210.390.36∴E(ξ)=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．21.【答案】(1)证明：连接AD，∵D是BB1的中点，P是AA1的中点，可由棱柱的性质知AP//DB1，且AP=DB1，∴四边形ADB1P是平行四边形，∴AD//PB1.∵P，Q分别是AA1，A1C1的中点，∴AC1//PQ，∴平面AC1D//平面PQB1，又C1D⊂平面AC1D，∴C1D//平面PQB1.(2)解：在平面AA1C1C内作QM⊥AA1于点M，在平面AA1B1B内作MN⊥PB1于点N，连接QN，C1P，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴QM⊥平面AA1B1B，∴∠QNM是二面角Q−PB1−A1的平面角.∵AC=AA1=AC1=4，易证△AC1C为正三角形，又P，Q分别是AA1，A1C1的中点，∴△A1PQ也为正三角形.易求QM=12C1P=12×2√3=√3，MN=1×sin60∘=√32.设二面角Q−PB1−A1的大小为θ，则tanθ=QMMN=2，√55.∴cosθ=【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行的判定【解析】（1）连接AD，推导出四边形ADB1P是平行四边形，从而AD//PB1，再求出AC1//PQ，从而平面AC1D//平面PQB1，由此能证明C1D//平面PQB1．（2）以P为原点，在平面ABB1A1内过P作AA1的垂线为x轴，以PA1为y轴，PC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角Q−PB1−A1的余弦值．【解答】(1)证明：连接AD，∵D是BB1的中点，P是AA1的中点，可由棱柱的性质知AP//DB1，且AP=DB1，∴四边形ADB1P是平行四边形，∴AD//PB1.∵P，Q分别是AA1，A1C1的中点，∴AC1//PQ，∴平面AC1D//平面PQB1，又C1D⊂平面AC1D，∴C1D//平面PQB1.(2)解：在平面AA1C1C内作QM⊥AA1于点M，在平面AA1B1B内作MN⊥PB1于点N，连接QN，C1P，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴QM⊥平面AA1B1B，∴∠QNM是二面角Q−PB1−A1的平面角.∵AC=AA1=AC1=4，易证△AC1C为正三角形，又P，Q分别是AA1，A1C1的中点，∴△A1PQ也为正三角形.易求QM=12C1P=12×2√3=√3，MN=1×sin60∘=√32.设二面角Q−PB1−A1的大小为θ，则tanθ=QMMN=2，∴cosθ=√55.22.【答案】解：(1)由题意，得¯x=0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405=300（千米）.(2)因为X服从正态分布N(300,502)，所以P(250<X≤400)≈0.9545−0.9545−0.68272=0.8186.所以任取一辆汽车，它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率为0.8186.(3)遥控车开始在第0格为必然事件， P0=1.第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第1格，其概率为12，即P1=12.遥控车移到第n(2≤n≤49)格的情况是下列两种，而且也只有两种：①遥控车先到第n−2格，又掷出反面，其概率为12P n−2；②遥控车先到第n−1格，又掷出正面，其概率为12P n−1，所以P n=12P n−2+12P n−1，所以P n−P n−1=−12(P n−1−P n−2)，所以当1≤n≤49时，数列{P n−P n−1}是首项为P1−P0=−12，公比为−12的等比数列，所以P1−1=−12，P2−P1=(−12)2，P3−P2=(−12)3，⋯，P n−P n−1=(−12)n，所以P n=1+(−12)+(−12)2+⋯+(−12)n=23[1−(−12)n+1](n=0，1，2，⋯，49)，所以遥控车停在“胜利大本营”的概率 P49=23[1−(−12)50]，遥控车停在“失败大本营”的概率P50=12P48=12×23[1−(−12)49]=13[1+(12)49]，所以P49−P50=23[1−(−12)50]−13[1+(12)49]=13[1−(−12)48]>0，所以遥控车停在“胜利大本营”的概率大，所以此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车.【考点】众数、中位数、平均数、百分位数正态分布的密度曲线n次独立重复试验的结果【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意，得¯x=0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405=300（千米）.(2)因为X服从正态分布N(300,502)，所以P(250<X≤400)≈0.9545−0.9545−0.68272=0.8186.所以任取一辆汽车，它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率为0.8186.(3)遥控车开始在第0格为必然事件， P0=1.第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第1格，其概率为12，即P1=12.遥控车移到第n(2≤n≤49)格的情况是下列两种，而且也只有两种：①遥控车先到第n−2格，又掷出反面，其概率为12P n−2；②遥控车先到第n−1格，又掷出正面，其概率为12P n−1，所以P n=12P n−2+12P n−1，所以P n−P n−1=−12(P n−1−P n−2)，所以当1≤n≤49时，数列{P n−P n−1}是首项为P1−P0=−12，公比为−12的等比数列，所以P1−1=−12，P2−P1=(−12)2，P3−P2=(−12)3，⋯，P n−P n−1=(−12)n，所以P n=1+(−12)+(−12)2+⋯+(−12)n=23[1−(−12)n+1](n=0，1，2，⋯，49)，所以遥控车停在“胜利大本营”的概率 P49=23[1−(−12)50]，遥控车停在“失败大本营”的概率P50=12P48=12×23[1−(−12)49]=13[1+(12)49]，所以P49−P50=23[1−(−12)50]−13[1+(12)49] =13[1−(−12)48]>0，所以遥控车停在“胜利大本营”的概率大，所以此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车.。
高二数学(理)(苏教版)第二学期期中测试卷
高二数学第二学期期中测试题（理科）参考公式：(1)χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d 为样本量(2)线性回归：①相关系数))()()((1221221∑∑∑===--⋅-=ni i n i i ni ii y n y x n x yx n yx r②2121)(ˆ∑∑==-⋅-=n i ini i ix n xyx n y xb， x b y aˆˆ-= 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.将答案填在题中的横线上.1．计算：3545C A -= 2.设集合{}A B e d c b a A ⊆=,,,,,，若B a ∈，且B 中有3个元素，则满足条件的集合B 共有 个。
3．在5个点组成的散点图中，已知点A(1,3),B(2,4),C(3,10), D(4,6), E(10,12),则去掉点 后,使剩下的四点组成的数组相关系数最大.4. 当0,1μσ==时，正态曲线为22(),x f x x R -=∈，我们称其为标准正态曲线，试写出这个函数的值域 。
5．俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加数学省举行的数学团体竞赛，对于其中一题，他们各自解出的概率分别是41,31,51，由于发扬团队精神，此题能解出的概率是6．设Z x ∈，则方程5516162--=x x x C C 的解集．．是7．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为52，则a = 8．三封信随机投入A ，B ，C ，D 四个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ= 9．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若它至少发生一次的概率为8165，由事件A 在一次试验中发生的概率为 。
10.报载，中国的青少年在最近几年的体质情况逐年下降，某高校调查询问了56名男女大 学生，在课余时间是否参加运动，得到 下表所示的数据，从表中数据分析，认 为大学生的性别与参加运动之间有关 系的把握有 附表：11.3点”，则概率12 （请用数字作答案，否则不给分）。
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高二下数学期中试卷（苏教版）
1．复数在复平面上对应的点的坐标是_________．
2．点P在曲线y=+x﹣1上移动，设在点x=1处的切线的倾斜角为α，则α=_________．
3．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤m2﹣3m对x∈R恒成立．求实数m的取值范围．
4．若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是，则双曲线的方程是_________．
5．右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i＞
_________．
6．函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值，则a的值为_________．
7．设函数f（x）=x m+ax的导数为f′（x）=2x+1，则数列的前n项和为
_________．
8．函数f（x）=xe﹣x的单调增区间是_________．
9．设z1是复数，z2=z1﹣i1，（其中1表示z1的共轭复数），已知z2的实部
是﹣1，则z2的虚部为________．
10．（2011•盐城一模）观察下列几个三角恒等式：
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；
②tan5°tan100°+tan100°tan（﹣15°）+tan（﹣15°）tan5°=1；
③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1．
一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为_________．
11．在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论：_________．12．观察下列各式：①（x3）′=3x2；②（sinx）′=cosx；③（2x﹣2﹣x）′=2x+2﹣x；④（xcosx）′=cosx﹣xsinx根据其中函数f（x）及其导函数f′（x）的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是：_________．
13．（5分）如图，已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为_________．
14．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a 的取值范围为_________．
15．（14分）已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．
（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
16．（14分）已知z=1﹣i，a，b∈R．
（1）（为z的共轭复数），求|w|；
（2）如果，求实数a，b的值．
17．右图为求某数列{a n}前若干项和的程序框图，
（1）写出数列{a n}的通项公式；
（2）S的值为数列{a n}的前多少项和？
（3）S的输出值为多少？
18．已知：tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1，
tan15°tan25°+tan25°tan50°+tan50°tan15°=1，
tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=1，…，
（1）分析上面各式的特点，写出一个能反映此特点的等式（你认为正确的就可以）；（2）写出能反映此特点的一般的等式，并加以证明．
19．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e）其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
20．椭圆的离心率e=，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，当直线l的斜率为1
时，坐标原点O到直线l的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，椭圆C上是否存在点P，使得当直线l绕点F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程；若不存在，请说明理由．。