八年级新思维9-反比例函数

9.反比例函数

问题解决

例 1 如图，直线=y k x （R ＞0）与双曲线4

=

y x

交于112

2(,),(,)A x y B x y 两点，则122127-x y x y 的值等于_______. （南通市中考题）

【答案】 20 11224,4==x y x y x ，又1212,=-=-x x y y ， 原式222227247420=-+=-⨯+⨯=x y x y x .

例2 如图，过点(1,2)C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线6=-+y x 于A B 、两点，若

反比例函数=

k

y x

（x ＞0）的图象与ABC △有公共点，则k 的取值范围是（ ）. A.2≤k ≤9 B.2≤k ≤8 C.2≤k ≤5 D.5≤k ≤8 (2012年福州市中考题) 【答案】 A 当双曲线经过点C 时，2=k ；当双曲线与直线有交点时，由16-+=k x

得226(3)9=-+=--+k x x x ，当3=x 时，k 有最大值9.

例3 如图，Rt ABO △的顶点A 是双曲线=

k

y x

与直线(1)=-++y x k 在第四象限的交点，⊥AB x 轴于B ，且

3

2

=ABO S △.

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求直线与双曲线的两个交点A C 、的坐标和AOC △的面积.

（湖北省黄冈市中考题）

【答案】 （1）设A 点坐标为（,x y ），由32=

ABO S △，得13

||,||3,322

===±xy k k . ∵A 点在第四象限内，∴3=-k ，两个函数的解析式分别为3

,2=-=--y y x x .

（2）由32

⎧

=-

⎪⎨⎪=--⎩y x y x ，得1131=-⎧⎨

=⎩x y ，2213=⎧⎨=-⎩x y ， ∴(1,3),(3,1)--A C .

设直线AC 与y 轴交于点D ，则D 点坐标为(0,2)-.

故11

2123422=+=⨯⨯+⨯⨯=AOC AOD COD S S S △△△（平方单位）.

例4 已知反比例函数2=

k

y x

和一次函数21=-y x ，其中一次函数的图象经过(,)a b 、

x

x

(1,)++a b k 两点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，已知A 点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A 点坐标；

（3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使AOP △为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）12,==

k y x

. （2）解方程组121

⎧

=

⎪⎨⎪=-⎩y x

y x ，得1211,2==-x x （舍去），从而1,=y ∴(1,1)A .

（3）符合条件的P 存在，有下列情况（如图所示）： ①若OA 为底，

则145,2∠=︒A O P O ，由

11=OP P A ，得1(1,0)P ；②若

OA 为腰，AP 为底，则

由=OP OA ，

得23(0),0)P P ；③若

OA 为腰，OP 为底，

则由=AO AP 42,(2,0).=OP P

例5 如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点(3,4)E . （1）求反比例函数的解析式；

（2）反比例函数的图象与线段BC 交于点D ，直线1

2

=-+y x b 过点D ，

与线段AB 相交于点F ，求点F 的坐标；

（3）连接OF OE 、，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系并证明. （2012年淄博市中考题）

分析与解 （1）12=

y x

（2）(4,3),(2,4)D F . 对于（3），F 为AB 中点，正确作出辅助线是解题的关键.

如图，延长OF 交CB 的延长线于G 点，则A O F △≌(?)BGF △，∴1∠=∠G ，又5(?)==OD GD ，∴23∠=∠+∠G ，即123∠=∠+∠ ①

∵AOE △≌(?)COD △，∴124∠+∠=∠ ② ①+②得112234,2134∠+∠+∠=∠+∠+∠∠=∠+∠. 故2∠=∠EOC AOF . 曲线叠加

如图，已知反比例函数1=

k y x 和2=k

y x

（120k k ＞＞）

，在第一象限内的图

x

x

（例4

）

x

象依次是曲线12c c 、.

例6 （1）如图①，若点P 在1c 上，⊥PE x 轴于点E ，交2c 于点,⊥A PD y 轴于点D ，交2c 于点B ，则12=-PAOB S k k 四边形.

（2）如图②，若过O 点作两直线分别交12c c 、于A B 、两点和C D 、两点，则

,=OC OD

AB OA OB

∥CD . （3）如图③，若一条直线与12c c 、分别交于A B 、两点和C D 、两点，则=AC BD

.

图②

图①

分析与解 反比例函数虽然知识点较少，但与图形结合就有较大的思考空间，问题解决的关键是充分利用||k 的几何意义，把证明与计算相结合，读者不妨一试.

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1.已知直线(0)=≠y ax a 与双曲线(0)=≠k

y k x 的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个

交点坐标为_______.

（2012年山西省中考题） 【答案】 (2,6)-- 2.已知双曲线=

k

y x

经过点(1,3)-，如果1122(,),(,)A a b B a b 两点在该双曲线上，且 120a a ＜＜，那么12_______.b b

（威海市中考题） 【答案】 ＜

3.如图，点A B 、在反比例函数=

k

y x

（k ＞0，x ＞0）的图象上，过点A B 、作x 轴的垂线，垂足分别为M N 、，延长线段AB 交x 轴于点C ，

若,==OM MN NC AOC △的面积为6，则k 的值为_______. （2012年河南省中考题）

【答案】 4 设点,⎛

⎫ ⎪⎝

⎭k A x x ，则3=OC x .由1362⨯⋅=k x x 得4=k

.

（第3题）