溜溜球力学现象

溜溜球中的力学现象

何超051893 hicy5627@

地址：上海市同济大学1239号邮编：200092

摘要：讨论溜溜球上下来回沿绳滚动的原理，并建立模型进行定量分析。

关键词：溜溜球，运动过程

主要内容：

Yo-Yo，又名溜溜球，最早起源于中国，被称为第二古老的玩具。溜溜球的基本结构可视为一个两端大中间小的短绕线轴，将溜溜球释放后它的轴将沿着绳做来回滚动。

本文将就溜溜球竖直释放后的上下来回运动进行研究。

溜溜球能够沿绳上下来回运动的基本原理是：假设在理想状态下，当球沿绳滚动时，由于球与绳的接触处无相对运动，绳的拉力不做功，主动力只有重力，溜溜球机械能守恒。绳的拉力不过溜溜球的质心，它改变了溜溜球对质心的动量矩，而重力与绳的拉力一起改变溜溜球的动量。当溜溜球运动到绳端时，绳的拉力产生变化。由于球轴半径相对绳长可忽略，所以此时绳端可视为静止。于是绳对溜溜球突加一个冲量改变了溜溜球质心的运动方向。且这个变化的拉力作用方向可近似看成通过质心。于是它不改变溜溜球对质心的动量矩。由于机械能守恒，球质心将以与原来大小相等方向相反的速度沿绳向上运动。

下面具体分析运动过程。

为分析方便，忽略绳的质量和直径。设溜溜球的质心与形心重合。溜溜球中间轴的半径与绳长相比极小。绳一端与轴紧密连接，无相对移动。

首先讨论理想状态。

忽略一切阻力与摩擦，将绳不与球相连的一端固定。绳、球系统机械能守恒 取m 为溜溜球质量，g 为重力加速度，r 为球中间转轴半径，ρ为溜溜球回转半径，c J 为对质心的转动惯量，2ρm J c = l 为绳长。 滚动过程中小球以与绳相切的一点为瞬心做类似纯滚动的平面运动。

静止释放溜溜球。取ϕ为广义坐标。以向下为质心运动正向，顺时针方向为角速度正向。

动能2

22

121ωc J mv T += ∙==ϕωr r v

势能mgy V -=（取绳的固定端为重力势能零点）

0)2121(222=-+∙mgy m mv d ϕρ ⇒ 02

2=-+∙∙∙∙∙dt mgr d m d mr ϕϕϕρϕϕ 解得球运动的角加速度2

2ρ

ϕ+=∙

∙r gr 质心运动加速度∙∙=ϕr a 由于质心速度方向改变时没有机械能损失，所以在理想状态下溜溜球将永远不停上下运动。

但是实际有损失。为具体分析该情况下的运动情况，假设球每下上一次机械能损失km gl 10≤≤k （包含了各种原因造成的损失），且损失集中在质心运动到绳下端，运动方向由向下变为向上时期，沿绳运动期间无机械能损失。

溜溜球无初速释放。

1．球沿绳向下运动到刚达绳端过程

该过程运动与理想状态相同，有

球运动的角加速度2

2ρϕ+=∙

∙r gr

质心运动加速度∙∙=ϕr a

质心经过路程 2121t r y ∙∙=ϕ 总用时∙

∙=ϕ

r l

T 2 2．在绳端处改变质心运动方向且机械能损失过程 令绳与球固连端不动，球轴可视为在绳端做绕固定点的定轴转动。

设该过程初始时刻质心速度大小初v ，球角速度初ω；末时刻质心速度大小 球角速度

la v 2＝初 r

v 初初＝

ω

）（＝末末k mgl m mv -+12

1212

22ωρ 2

22k 12ρ

＋）－（＝末r gl r v r v 末末=ω 3．球沿绳向上且外力做功补偿机械能过程

损失的能量由作用在绳上端的外力做功补偿。该过程内力做功和为零。由于球刚开始上升时速度大，沿绳运动平稳，易于控制方向，可设外力在球刚沿绳上升时即开始做功。

此时的初始条件是：

2

220k 12ρ

＋）－（＝末r gl

r v v = 末＝ωω0 简化外力的作用形式，设加一衡外力F 作用在绳上端。设绳共上升Y 。给球补偿的能量保证球刚好能

v c

v c

F 外

上升至上升后的绳端。令绳端运动速度为sh v 系统有两个自由度。取y 和ϕ为广义坐标。

列第二类拉格朗日方程。

22

22

1)(21∙∙∙++=ϕρϕm r y m T ∙=y v sh

⎪⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎧=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂∙ϕϕϕQ T dt

T d Q

y T dt

y T d y )()

( ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+∙

∙∙∙∙

∙∙

∙m g r

r m y mr mg

F mr y m ϕρϕ)(22 解得：22)(ρϕ++-=∙

∙∙

∙r g y r 2

22

)

(ρρ++=∙

∙r g y m F ϖ以顺时针方向为正。y 以向上

方向为正。

由⎰⎰+==∙=)(Y kl mg Fdy d A y F 补 得2

22)

)((ρ

ρY Y kl r g y ++=∙

∙ F 作用时间∙

∙=

y

Y

T 2 T 时刻T r y v v c )(0∙∙∙∙++=ϕ T ∙

∙+=ϕωω0

202(2

1y T r y T v ）∙

∙∙∙++=ϕ 2y 为这段过程中球质心上升的总距离

4．外力停止做功，球继续沿绳上升过程

这时绳端速度突变为sh v =0 溜溜球又做类似纯滚动的平面运动，满足

ωr v c =

由能量守恒得 22

2222222221

2121212121r v m mv m mv m mv c c c c c c 后后后后先先＋＝＋＝＋ρωρωρ

解得：2

22222)

(r v r v c c c ++ρωρ先先后＝

但实际并不需要小球回到绳端时刚好动能为零，且手不能一直上升，需要下