专训2 常用构造中位线的五种方法(3)
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专训2 常用构造中位线的五种方法
名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．
连接两点构造三角形的中位线
1．如图，点B为上一点，分别以，为边在同侧作等边三角形和等边三角形，点P，M ，N分别为，，的中点．
(1)求证：＝；
(2)求∠的度数．
(第1题)
已知角平分线＋垂直构造中位线
2．如图，在△中，点M为的中点，为△的外角平分线，且⊥，若＝12，＝18，求的长．
(第2题)
3．如图，在△中，已知＝6，＝10，平分∠，⊥于点D，点E为的中点，求的长．
(第3题)
倍长法构造三角形的中位线
4．如图，在△中，∠＝90°，＝，△为等腰直角三角形，∠＝90°，M为的中点，求证：＝.
(第4题)
已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线
5．如图，在△中，∠C＝90°，＝，E，F分别为，上一点，＝，M，N分别为，的中点，求证：＝.
(第5题)
已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
6．如图，在△中，＝，⊥于点D，点P是的中点，延长交于点N，求证：＝.
(第6题)
答案
1．(1)证明：如图，连接，.由三角形中位线定理可得平行且等于，平行且等于.∵△和△是等边三角形，
∴＝，＝，∠＝∠＝60°，∴∠＝∠.
∴△≌△，
∴＝.∴＝.
(2)解：如图，设交于F，交于G，交于H，交于Q.由(1)知△≌△，
∴∠＝∠.
又∵∠＝∠，
∴∠＝∠＝60°，
∴∠＝120°.
易证四边形为平行四边形，
∴∠＝120°.
(第1题) 2．解：如图，延长，交于N.
(第2题)
由题易知∠＝∠，∠＝∠＝90°.又＝，
∴△≌△.
∴＝，＝.
又∵M为的中点，
∴为△的中位线，
∴＝＝(＋)＝(＋)＝15.
3．解：如图，延长交于点F，
(第3题)
∵平分∠，
∴∠＝∠.
∵⊥，∴∠＝∠，
又∵＝，∴△≌△()．
∴＝＝6，＝.
∵＝10，
∴＝－＝10－6＝4.
∵E为的中点，
∴是△的中位线．
∴＝＝×4＝2.
4．证明：如图，延长至N，使＝，连接，.易得＝.
∵＝，∠＝90°，∴垂直平分.∴＝.∴∠＝∠.∵△为等腰直角三角形，∠＝90°，∴∠＝45°.∴∠＝45°，
∴∠＝90°，即∠＋∠＝90°.又∵∠＋∠＝90°，
∴∠＝∠.在△和△中，
∴△≌△.
∴＝.∴＝＝.
(第4题)
5．证明：如图，取的中点H，连接，，则＝，＝.
∵＝，＝，∴＝.
∴＝.
∵点M，H，N分别为，，的中点，
∴∥，∥.
∴∠＝∠，∠＝∠.
∴∠＝180°－(∠＋∠)＝180°－(∠＋∠)＝90°.
∴＝.
∴＝2＝2×＝.
(第5题)
(第6题)
6．证明：如图，取的中点H，连接，过点H作∥，交的延长线于E.
∵＝，⊥，
∴D为的中点．
又∵H为的中点，∴∥.
又∵∥，∴四边形是平行四边形．∴＝.
又∵P为的中点，∴＝.
∴＝，
易证△≌△，∴＝. ∴＝＝，∴＝.