矢量分析与数理方程总复习题

矢量分析与场论，数理方程与特殊函数总复习题

矢量和矢性函数

1、 求下列两个矢量的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘）

k j i A 32++= k j i B

654++=

2、 求下列两个矢性函数的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘）

()k t j t i t t A ++=sin cos ， ()k t j e i t t B t

2++=

3、设k t j i t A 23+-=，k j i B 22+-=，k j t i C

-+=3，求(

)

C B A

⋅⨯

4、如果 ()k t j t i t t A ++=sin cos ，()k t j e i t t B t

2++=

求 ()dt t A d 和 ()dt

t B d 5、如果 ()j i e

ϕϕϕsin cos +=

① 求 ()()ϕ

ϕϕd e d e

=1 ， ② 证明 ()ϕe ⊥()ϕ1e .

6、如果 ()j i e ϕϕϕcos sin 1+-= 证明 ()()ϕϕ

ϕe d e d

-=1

7、求不定积分 ()⎰

ϕϕd e

， ()⎰

ϕϕd e 1

。

8、计算不定积分 (

)

⎰

+ϕϕϕd e 122

. 9、求矢量 k j i r -+=22的单位矢量 0r

。

方向导数和梯度

1、求 k j i l

22++= 的方向余弦

2、写出矢径 k z j y i x r

++=的单位矢径0r ，用方向余弦表示0r

3、求矢性函数 ()

k z j xy i x z y x l 4

232,,+-= 的方向余弦

4、求函数2

2

2

z y x u ++=在()1,0,1M 处沿k j i l

22++=的方向导数

5、求数量场 z y z x u 2

3

2

2+= 在点 ()

1,0,2-M 处沿 k z j xy i x l 4

232+-= 方向的方向导数

6、求下列数量场的梯度

① 22

2

z y x r ++=， ② ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛++=2

221

1z y x r ， ③ 223z xy z x u +-= ③ 32z y x u =， ④ xz yz xy u ++=， ⑥ z y x xy z y x u 623322

22--++++=.

7、设c 是常矢量，k z j y i x r

++=，证明 ()c c r =⋅∇ 。

通量及散度

1、利用通量的定义求矢量 k z j y i x r

++= 通过球面 2222R z y x =++的通量. 2、利用奥氏定理求矢量 k z j y i x r

++= 通过球面 2222R z y x =++的通量.

3、计算下列矢量场的散度

① k z j y i x r ++=， ② 3r

r D =，其中k z

j y i x r

++=，222z y x r ++=，

③ ()()()k x y j z x i y z A

2332-+-+-=，④ ()

()()

k xy z j xz y i yz

x A +++++=2

23，

⑤ k z j y i x A 33

3++=， ⑥ r xyz A =，其中 k z j y i x r ++=.

4、计算 ()

z y x 23cos ∇⋅∇

5、设c 是常矢量，k z j y i x r

++=，证明 ()c r c r ⋅=⋅∇0

环量及旋度

1、求矢量场 j x i y A +-= 沿 l 的正方向的环量 Γ ，其中 l 的参数方程是 ϑ3

cos R x =，

ϑ3sin R y =，()πϑ20≤≤ . 2、计算下列矢量场的旋度

① k z j y i x r

++=，

② k e x j y z i z xy A y

2222sin ++=， ③ k y x j x z i z y A 2

22222++=.

3、 设k z j y i x r ++=，2

22z y x r ++=，c 是常矢量，求

① ()[]r r f ⨯∇ ② ()[

]

c r f

⨯∇

4、设c 是常矢量，k z j y i x r

++=，证明 ()

c r c r ⨯=⨯∇0

有势场、管形场和调和场 1、 证明下列矢量场是有势场

① ()

k yz x j y z x i xyz A 2

2222cos 2+++= ② ()()

j y x x y i x y y x A sin cos 2sin cos 22

2-+-=

2、证明下列矢量场是管形场

()()()k x z j y x i y z A

2332+-++-=，

3、证明矢量场是调和场 ()()()k z y j z x y i y x A

62242-+++++=

4、证明 ()2

2

2

1,z

y x y x u ++=

（0≠x ，0≠y ，0≠z ）满足拉普拉斯方程.

5、证明 ()

k z y x j yz i xz A 12222

22-+++=是无旋场.

6、 求下列势函数所对应的矢量场

① 22

2

z y x r ++=， ② ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛++=2

221

1z y x r ， ③ 223z xy z x u +-= ③ 32z y x u =， ④ xz yz xy u ++=， ⑥ z y x xy z y x u 62332222--++++=.

7、设c 是常矢量，k z j y i x r

++=，证明 ()c c r =⋅∇ 。

数学物理方程，边界条件和初始条件，分离变量

1、验证 ()l at n l x n t x u ππsin sin ,= 满足一维波动方程 2

2

222),(),(x t x u a t t x u ∂∂∂∂＝ 2、验证 ()l at n l x n t x u ππcos

sin ,= 满足一维波动方程 2

2

222),(),(x t x u a t t x u ∂∂∂∂＝ 3、 ⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧=∂∂===>≤≤∂∂∂∂)()0,(,)()0,(0),(,0),0()0,0(),(),(2

2

222x t x u x x u t l u t u a l x x t x u a t t x u ψφ＝

是一维弦振动的定界问题，指出哪一个条件是边界条件？哪一个是初始条件？什么叫定解条件？什么

叫定解问题？

3、 ⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧=∂∂===>≤≤∂∂∂∂0)0,(,)()0,(0),(,0),0()0,0(),(),(2

2

222t x u x x u t l u t u a l x x t x u a t t x u φ＝

写出上述定解问题的解，并写出系数的计算公式。

4、 ⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧=∂∂===>≤≤∂∂∂∂)()0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(),(),(2

2

222x t x u x u t l u t u a l x x t x u a t t x u ψ＝

写出上述定解问题的解，并写出系数的计算公式。