【恒心】河北省衡水中学2014届高三高考压轴卷(二)数学(理科)试题及参考答案【超清版】
2014届河北衡水重点中学高考数学(理)课堂检测章综合精讲：第二章
第二章一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为( )A ．6B ．10C ．20D ．30答案 B解析 从编号为1,2,3,4,5的五个球中选出三个与盒子编号相同的球的投放方法有C 35＝10种；另两个球的投放方法有1种，所以共有10种不同的投放方法．选择B.2．(1＋x )10(1＋1x)10展开式中的常数项为 ( )A ．1B ．(C 110)2C ．C 120 D ．C 1020答案 D解析 因为(1＋x )10(1＋1x )10＝[(1＋x )(1＋1x )]10＝(2＋x ＋1x)10＝(x ＋1x)20(x >0)，所以T r ＋1＝C r 20(x )20－r(1x)r ＝C r 20x10－r，由10－r ＝0，得r ＝10，故常数项为T 11＝C 1020，选D.3.如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )A.37B.47C.1314D.114答案 C解析 所取三数既不同行也不同列的概率为6C 39＝114，所求概率为1－114＝1314.4．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为A.73B.53 C ．5 D ．3答案 A解析 由已知2a －3，与a ＋2关于3对称，故(2a －3)＋(a ＋2)＝6，解得a ＝73.5．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为 A.14 B.13 C.12 D.23答案 C解析 由题意知，此概率符合几何概型所有基本事件包含的区域长度为π，设A 表示取出的x 满足sin x ＋3cos x ≤1这样的事件，对条件变形为sin(x ＋π3)≤12，即事件A 包含的区域长度为π2.∴P (A )＝π2π＝12.6．一个坛子里有编号1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( ) A.122 B.111 C.322D.211 答案 D解析 分类：一类是两球号均为偶数且红球，有C 23种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有C 13C 13种取法，因此所求的概率为C 23＋C 13C 13C 212＝211. 7．已知实数x ∈[0,8]，执行如下图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为A.14B.12C.34D.45答案 A解析 程序框图经过3次运行后，得到2[2(2x ＋1)＋1]＋1，即2[2(2x ＋1)＋1]＋1≥55. 所以x ≥6，所以P ＝8－68＝14.8．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712)B ．(712，1)C ．(0，12)D ．(12，1)答案 C解析 发球次数X 的分布列如下表，所以期望E (X )＝p ＋解得p >52(舍去)或p <12，又p >0，故选C.9．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)若在△ABC 中，A B→与a 同向，C B →与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是( )A.512B.712C.39D.49答案 A解析 要使∠ABC 是钝角，必须满足A B →·C B →＜0，即a ·b ＝n －m ＞0，连掷两次骰子所得点数m 、n 共有36种情形，其中15种满足条件，故所求概率是512.10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E (ξ)＝A.827B.1681C.113D.6581答案 C解析ξ＝1时，P 1＝C 04(13)4(23)0＝134，ξ＝2时，P 2＝C 14(13)3·23＝834，ξ＝3时，P 3＝C 24·(13)2·(23)2＝2434，ξ＝4时，P 4＝C 34(13)·(23)3＝3234，ξ＝5时，P 5＝C 44(23)4＝1634，E (ξ)＝1×134＋2×834＋3×2434＋4×3234＋5×1634＝113.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为________． 答案112解析 将一个骰子连抛三次，共有n ＝63种不同情形．其中，落地时向上的点数依次成等差数列的有：①公差d ＝±1的有4×2＝8(种)；②公差为±2的有2×2＝4(种)；③公差d ＝0的有6种，共有m ＝8＋4＋6＝18(种)，故所求概率为P ＝m n ＝1863＝112.12.用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，现乙还有一次不小于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．答案45解析 由题意，得基本事件总数为10，满足要求的有8个，所以所求概率为810＝45.13．(2012·广东)(x 2＋1x)6的展开式中x 3的系数为______．(用数字作答)答案 20解析 由(x 2＋1x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r (1x)r ＝C r 6x 12－3r.令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为C 36＝6×5×41×2×3＝20.14．(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．答案23解析 根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C 23)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有C 23C 13C 12个，故所求概率为C 23C 13C 12233＝23. 15．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E (ξ)＝________.答案 1解析 由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (ξ＝0)＝C 23C 24＝12，P (ξ＝2)＝C 13C 24＝12，故E (ξ)＝0×12＋2×12＝1.16．为落实素质教育，衡水重点中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，则二项式(1＋kx 2)6的展开式中，x 4的系数为________．答案 54 000解析 用直接法：k ＝C 13C 15＋C 13C 25＋C 23C 15＝15＋30＋15＝60，x 4的系数为C 26k 2＝15×3 600＝54 000.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)为备战2013年天津东亚运动会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下：(1)该选手一次射击命中8环以上(含8环)的概率；(2)该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率． 解析 以该选手射击的频率近似估算概率． (1)射击一次击中8环以上的概率约为P ＝20＋35＋25100＝0.8.(2)记一次射击命中10环为事件p 1，则p 1＝0.2， 一次射击命中9环为事件p 2，则p 2＝0.35，于是两次射击均命中10环的概率约为P (A )＝(p 1)2＝0.04. 两次射击一次命中10环，一次命中9环的概率约为P (B )＝C 12p 1p 2＝0.14，即该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率约为0.18.18．(本小题满分12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．解析 (1)P (ξ＝0)＝C 03(12)3＝18；P (ξ＝1)＝C 13(12)3＝38；P (ξ＝2)＝C 23(12)3＝38；P (ξ＝3)＝C 33(12)3＝18.ξ的概率分布如下表E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×8＋3×8＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C 33(23)3＝1927.(3)设“甲恰比乙多击中目标2次”为事件A ，“甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次”为事件B 1，“甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次”为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝38×127＋18×29＝124.所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124.19．(本小题满分12分)某位收藏爱好者鉴定一件物品时，将正品错误地鉴定为赝品的概率为13，将赝品错误地鉴定为正品的概率为12.已知一批物品共有4件，其中正品3件、赝品1件．(1)求该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件、赝品2件的概率； (2)求该收藏爱好者的鉴定结果中正品数X 的分布列及数学期望．解析 (1)有两种可能使得该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件、赝品2件：其一是错误地把一件正品鉴定为赝品，其他鉴定正确；其二是错误地把两件正品鉴定为赝品，把一件赝品鉴定为正品，其他鉴定正确．则所求的概率为C 13×13×(23)2×12＋C 23×(13)2×23×12＝13.(2)由题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝(13)3×12＝154；P (X ＝1)＝C 23×(13)2×23×12＋(13)3×12＝754； P (X ＝2)＝13；P (X ＝3)＝(23)3×12＋C 13×(23)2×13×12＝1027； P (X ＝4)＝(23)3×12＝427.故X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )＝0×54＋1×54＋2×3＋3×27＋4×27＝52.20．(本小题满分12分)已知A 1，A 2，A 3，…，A 6共6所高校举行自主招生考试，某同学参加这6所高校的考试获得通过的概率均为12.(1)若这6所高校的考试该同学都参加，试求该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率；(2)假设该同学参加每所高校考试所需的报名费用均为200元，该同学决定按A 1，A 2，A 3，…，A 6的顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，试求该同学参加考试所需报名费用ξ的分布列及数学期望．解析 (1)因为该同学通过各校考试的概率均为12，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为P ＝C 26(12)2(1－12)4＝1564.(2)设该同学共参加了i 次考试的概率为P i (1≤i ≤6，i ∈Z )，则P i ＝⎩⎪⎨⎪⎧12i ，1≤i ≤5，i ∈Z ，125，i ＝6，所以该同学参加考试所需报名费用ξ的分布列为E (ξ)＝(12×1＋22×2＋23×3＋24×4＋25×5＋25×6)×200＝25×200＝1 5754. 21．(本小题满分12分)李先生家在H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线(如图)，路线L 1上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L 2上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L 1，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线L 2，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．解析 (1)设“走路线L 1最多遇到1次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 03×(12)3＋C 13×12×(12)2＝12. 所以走路线L 1最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝110， P (X ＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920.随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋20×2＝20.(3)设选择路线L 1遇到红灯的次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B (3，12)，所以E (Y )＝3×12＝32.因为E (X )<E (Y )，所以选择路线L 2上班更好．22．(本小题满分12分)(2012·湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解析 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本．将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320， P (X ＝1.5)＝30100＝310， P (X ＝2)＝25100＝14， P (X ＝2.5)＝20100＝15， P (X ＝3)＝10100＝110. X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980. 故该顾客结算前的等候时间不超过两分半钟的概率为980.1．(2012·唐山一中)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析 从4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为4C 24＝23. 2．甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共打了6局，而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了( ) A ．9局 B ．11局 C ．13局 D ．18局答案 A解析 由题意甲与乙之间进行了两次比赛，剩余赛事为甲与丙或乙与丙进行，因此比赛场数为5＋6－2＝9.3.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD (边长为3个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，若掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有 ( )A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种答案 C解析 抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处是指三次投掷骰子之和为12，第一颗骰子点数为1时，有2种方法；第一颗骰子点数为2时，有3种方法；第一颗骰子点数为3时，有4种方法；第一颗骰子点数为4时，有5种方法；第一颗骰子点数5时，有6种方法；第一颗骰子点数为6时，有5种方法，共有2＋3＋4＋5＋6＋5＝25(种)方法．4．(2013·河南商丘二模)同时随机掷两颗骰子，则至少有一颗骰子向上的点数小于4的概率为( ) A.19 B.89 C.14D.34解析 共有36种情况，其中至少有一颗骰子向上的点数小于4有27种情况，所以所求概率为2736＝34.5．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14B.34C.964D.2764答案 C解析 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－(1－x )3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×(1－34)2＝964.6．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )A.512 B.12 C.712D.34答案 C解析 依题意，得P (A )＝12，P (B )＝16，事件A ，B 中至少有一个发生的概率为1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－12×56＝712，故选C.7．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，则n ＝________.答案 4解析 令x ＝0，则有a 0＝n ，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2n ＋1－2.又∵C nn ·10·x n ＝a n x n，∴a n ＝1.∴29－n ＝2n ＋1－2－1－n ，则n ＝4.8．某射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；第三次都未命中，则记0分．已知射手在100米处命中目标的概率为12，他的命中率与目标距离的平方成反比，且各次射击都是独立的． (1)求这名射手在射击比赛中命中目标的概率； (2)求这名射手在比赛中得分的数学期望．解析 记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件A ，B ，C ，“三次都未命中目标”为事件D .依题意知P (A )＝12，设在x 米处命中目标的概率为P (x )，则P (x )＝k x2.因为当x ＝100时，P (A )＝12，所以12＝k 1002，解得k ＝5 000，所以P (x )＝5 000x2.则P (B )＝5 0001502＝29，P (C )＝5 0002002＝18，P (D )＝P (A )·P (B )·P (C )＝12×79×78＝49144. (1)记“该射手在射击比赛中命中目标”为事件E ，易知事件E 的对立事件为事件D ，则P (E )＝1－P (D )＝1－49144＝95144.故这名射手在射击比赛中命中目标的概率为95144. (2)设射手得分为ξ，则ξ的可能取值为0、1、2、3.则P (ξ＝3)＝12，P (ξ＝2)＝12×29＝19，P (ξ＝1)＝12×79×18＝7144，P (ξ＝0)＝12×79×78＝49144. ξ的分布列为所以E (ξ)＝3×12＋2×9＋1×144＋0×144＝48.9．“剪刀、石头、布”游戏的规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳．握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜过“石头”，若所出的拳相同，则为和局．现甲乙二人通过“剪刀、石头、布”游戏进行比赛．(1)设甲乙二人每局都随机出“剪刀”、“石头”、“布”中的某一个，求甲胜乙的概率；(2)据专家分析，乙有以下的出拳习惯：①第一局不出“剪刀”；②连续两局的出拳方法一定不一样，即如果本局出“剪刀”，那么下局将不再出“剪刀”，而是选择“石头”“布”中的某一种．假设专家的分析是正确的，甲根据专家的分析出拳，保证每一局都不输给乙．在最多5局的比赛中，谁胜的局数多，谁获胜．游戏结果的条件为：一方胜3局或赛满5局，用ξ表示游戏结束时的游戏局数，求ξ的分布列和期望．解析 (1)甲有C 13种出拳方法，乙也有C 13种出拳方法，所以总共有C 13·C 13＝9种方法．甲胜乙的情况有：甲出“剪刀”乙出“布”，甲出“石头”乙出“剪刀”，甲出“布”乙出“石头”，共3种，所以甲胜乙的概率为39＝13.(2)第一局乙不出“剪刀”，则乙只能出“石头”或“布”，此时甲应该出“布”，才能保证不输给乙，则甲获胜的概率为12；不妨设乙第一局出的是“石头”，则乙第二局只能出“剪刀”或“布”，此时甲应该出“剪刀”，才能保证不输给乙，则甲获胜的概率为12；同理，第三、四、五局甲获胜的概率也为12.∵ξ的可能取值为3,4,5， ∴P (ξ＝3)＝(12)3＝18，P (ξ＝4)＝C 23(12)212·12＝316， P (ξ＝5)＝1－18－316＝1116.∴ξ的分布列为∴期望E (ξ)＝3×18＋4×16＋5×16＝16.10．某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：(1)从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f (x )＝x 2－ηx －1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；(2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E (ξ)．解析 (1)函数f (x )＝x 2－ηx －1过(0，－1)点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧16－4η－1<0，36－6η－1>0，解得154<η<356，所以，η＝4或η＝5.当η＝4时，P 1＝C 220＋C 110C 115C 250＝68245， 当η＝5时，P 2＝C 120C 115C 250＝1249，η＝4与η＝5为互斥事件，所以有一个发生的概率公式P ＝P 1＋P 2＝68245＋1249＝128245. (2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3.于是P (ξ＝0)＝C 25＋C 210＋C 220＋C 215C 250＝27， P (ξ＝1)＝C 15C 110＋C 110C 120＋C 115C 120C 250＝2249， P (ξ＝2)＝C 15C 120＋C 110C 115C 250＝1049， P (ξ＝3)＝C 15C 115C 250＝349.从而ξ的分布列为ξ的数学期望E (ξ)＝0×7＋1×49＋2×49＋3×49＝49.11．在上海世博会期间中国馆和美国馆异常火爆，10月1日中国馆内有2个广东旅游团和2个湖南旅游团，美国馆内有2个广东旅游团和3个湖南旅游团．现从中国馆中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从美国馆中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换．(1)求互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率； (2)求互换后中国馆内广东旅游团数的期望．解析 (1)记A ＝{互换后中国馆恰有2个广东旅游团}，①互换的都是广东旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团为事件A 1的概率为P (A 1)＝C 12C 12C 14C 15＝15. ②互换的都是湖南旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团事件A 2的概率为P (A 2)＝C12C13 C14C15＝310.又A＝A1∪A2，且A1，A2互斥事件，则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝15＋310＝12.∴互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率为12.(2)设互换后中国馆内广东旅游团数为ξ，则ξ的取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝C12C13C14C15＝310，P(ξ＝2)＝12，P(ξ＝3)＝C12C12C14C15＝15，∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝310×1＋12×2＋15×3＝10.∴互换后中国馆内广东旅游团的期望为1910.12．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望E (X )．解析 (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，∴高为0.35＝0.06.频率直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，∴n ＝2000.2＝1 000.由题可知，第二组的频率为0.06×5＝0.3，∴第二组的人数为1 000×0.3＝300，∴p ＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，∴第四组的人数为1 000×0.15＝150，∴a ＝150×0.4＝60.(2)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30＝2∶1，∴采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人．∵随机变量X 服从超几何分布，∴P (X ＝0)＝C 012C 36C 318＝5204，P (X ＝1)＝C 112C 26C 318＝1568，P (X ＝2)＝C 212C 16C 318＝3368，P (X ＝3)＝C 312C 06C 318＝55204.∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×5204＋1×68＋2×68＋3×204＝2.13．四个纪念币A 、B 、C 、D ，投掷时正面向上的概率如下表所示(0<a <1).这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数． (1)求ξ的分布列与数学期望；(2)在概率P (ξ＝i )(i ＝0,1,2,3,4)中，若P (ξ＝2)的值最大，求a 的取值范围． 解析 (1)P (ξ)是ξ个正面向上，4－ξ个背面向上的概率．其中ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝C 02(1－12)2C 02(1－a )2＝14(1－a )2，P (ξ＝1)＝C 12·12(1－12)C 02(1－a )2＋C 02(1－12)2C 12a (1－a )＝12(1－a )，P (ξ＝2)＝C 22·(12)2C 02(1－a )2＋C 12·12(1－12)C 12a (1－a )＋C 02(1－12)2C 22a 2＝14(1＋2a －2a 2)，P (ξ＝3)＝C 22(12)2C 12a (1－a )＋C 12·12(1－12)C 22a 2＝a 2，P (ξ＝4)＝C 22(12)2C 22a 2＝14a 2.∴ξ的分布列为ξE (ξ)＝0×14(1－a )2＋1×12(1－a )＋2×14×(1＋2a －2a 2)＋3×a 2＋4×14a 2＝2a ＋1.(2)∵0<a <1，∴P (ξ＝0)<P (ξ＝1)，P (ξ＝4)<P (ξ＝3)． 则P (ξ＝2)－P (ξ＝1)＝14(1＋2a －2a 2)－1－a 2＝－14(2a 2－4a ＋1)≥0，P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝14(1＋2a －2a 2)－a2＝－14(2a 2－1)≥0，由⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－4a ＋1≤0，2a 2－1≤0，得2－22≤a ≤22，即a 的取值范围是[2－22，22]．14．四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x ，y ，记ξ＝x ＋y .(1)求随机变量ξ的分布列及数学期望；(2)设“函数f (x )＝x 2－ξx －1在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A发生的概率．解析 (1)由题知随机变量ξ的可能取值为2,3,4. 从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C 24＝6. 当ξ＝2时，摸出的小球所标的数字为1、1， ∴P (ξ＝2)＝16.当ξ＝4时，摸出的小球所标的数字为2、2， ∴P (ξ＝4)＝16.∴可知当ξ＝3时，P (ξ＝3)＝1－16－16＝23.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝2×16＋3×23＋4×6＝3.(2)∵函数f (x )＝x 2－ξx －1在区间(2,3)上有且只有一个零点，∴f (2)f (3)＜0，即(3－2ξ)(8－3ξ)＜0.∴32＜ξ＜83，且ξ的所有可能取值为2、3、4. ∴ξ＝2，∴P (A )＝P (ξ＝2)＝16.∴事件A 发生的概率为16.15.要从甲，乙两名运动员中选拔一人参加2013年天津东亚运动会跳水项目，对甲、乙两人进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得出成绩茎叶图如图所示．(1)从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派哪名运动员更合适？(2)若将频率视为概率，对甲运动员在今后3次的比赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．解析 (1)x 甲＝16(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，x 乙＝16(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85，s 2甲＝16[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝1333， s 2乙＝16[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝1393. ∵s 2甲<s 2乙，∴甲的发挥更稳定，∴选派甲更合适． (2)由题知甲成绩高于80分的概率P ＝23，ξ可能取0,1,2,3.由题意，得ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23. P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133－k，k ＝0,1,2,3， ξ的分布列为E (ξ)＝3×23＝2.16．(2012·大纲全国)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．解析 记A i 表示事件：第1次和第2次这2次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2；A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2)P (A 2)＝0.62＝0.36. ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (A 2·A )＝P (A 2)P (A )＝0.36×0.4＝0.144， P (ξ＝2)＝P (B )＝0.352，P (ξ＝3)＝P (A 0·A )＝P (A 0)P (A )＝0.16×0.6＝0.096， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－0.144－0.352－0.096＝0.408.E (ξ)＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝0.408＋2×0.352＋3×0.096＝1.400.17．(2012·江苏)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解析 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111. 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.所以随机变量ξ的分布列是因此E (ξ)＝1×611＋18．(2012·山东)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．解析 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23.由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ， 根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136， P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112， P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D )＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以E (X )＝0×36＋1×12＋2×9＋3×3＋4×9＋5×3＝12.。
河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学(理)试题
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，5283()S a a =+，则53a a 的值为( ) A.16 B. 13 C. 35 D. 562、如果)(x f '是二次函数, 且)(x f '的图象开口向上,顶点坐标为（1,3）, 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）A ．]3,0(πB ．)2,3[ππC ．]32,2(ππD ．),3[ππ3、在ABC △中，3==BC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的高，则AC AD ⋅的值等于（ ）A ．0B ．49C ．4D ．49-4、已知数列为等比数列，且.64,495==a a ,则=（ ）A ．8B .16±C ．16D ．8±5、已知等比数列{}n a 的公比2=q ，且462,,48a a 成等差数列，则{}n a 的前8项和为（ ） A. 127B. 255C. 511D. 10236、已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A.向右平移π6个长度单位 B.向右平移π12个长度单位 C.向左平移π6个长度单位 D.向左平移π12个长度单位7、函数0.5()2|log |1xf x x =-的零点个数为（ ） A. 1B.2C. 3D.48若A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A B C D ．()1,+∞ 9、在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足，→→→→=++AB PC PB PA→→→→→→→→=++=++CA RC RB RA BC QC QB QA ，，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D ．1:5 10、已知函数1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为（ ）A ．－1B ． 1－log 20132012C ．-log 20132012D ．111、定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0( 12、已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，若方程()(0)f x m m =>，在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++＝（ ）A ．－12B ．－8C ．－4D ．42013～2014学年度上学期二调考试 高三年级数学（理科）试卷第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13、由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是14、在等比数列{}n a 中，若,81510987=+++a a a a 8998-=⋅a a ，则=+++109871111a a a a 。
河北省衡水中学高三高考押题(二)理数试题含答案
河北衡水中学高考押题试卷含答案理数试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|60,}A x xx x Z =--<∈，{|||,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合A B I =（ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{1,0,1,2}- 2.设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z=（ ）A ．15C D 3.若1c o s ()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）B 718D4.已知直角坐标原点O 为椭圆:C 22221(0)x ya b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b+=-没有交点”的概率为（ ）B D5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率]e 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6π B ．[,]63ππ C.[,]43ππ D ．[,]32ππ 6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A.313(3)2222π+++ B ．3133()22242π+++ C.13222π+ D ．13224π+ 7.函数s i n l n ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8.二项式1()(0,0)na x ab b x+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则a b 的值为（ ）A ．4B ．8 C.12 D ．169.执行下图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）A.81 B ．812 C.814 D ．81810.已知数列11a =，22a =，且222(1)nn n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ） A ．201610101⨯- B ．10092017⨯ C.201710101⨯- D ．10092016⨯11.已知函数()s i n ()fx A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x fx f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B ．函数()g x 的最大值为2C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行 D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12||x x -最小值为2π12.已知函数32()31fx a x x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(2,2)- C.(2,)+∞D ．(2,0)(0,2)-U 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.向量(,)a mn =r ，(1,2)b =-r ，若向量a r ，b r 共线，且||2||a b =r r，则mn 的值为 ．14.设点M 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若P M Q ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．15.设x ，y 满足约束条件230,220,220,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则y x 的取值范围为 ．16.在平面五边形A B C D E 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3A B =，3A E =，当五边形A B C D E 的面积6393S 时，则B C 的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a=，121n n S S -=+*(2,)n n N ≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12log n n ba =*()n N ∈求11{}n n b b +的前n 项和n T . 18.如图所示的几何体A B C D E F 中，底面A B C D 为菱形，2A B a =，120A B C ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形B D E F 为直角梯形，//D E B F ，B D D E ⊥，222D E B F a ==，平面B D E F ⊥底面A B C D .（1）证明：平面A E F ⊥平面AFC ； （2）求二面角E A CF --的余弦值.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？ （3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A 级的个数ξ的分布列与数学期望.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2，且过点23P ，动直线l ：y k x m-+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0O AO B ⋅=u u u r u u u r（O 为坐标原点） （1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由. 21. 设函数22()l n fx a x x a x =-+-()a R ∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()l n x x aa x ϕ=+-，记()()()h x fx x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xO y 中，曲线1C ：3cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4s i n ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xO y 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围； （2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求||AB . 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++. 参考答案及解析 理科数学（Ⅱ）一、选择题1-5:BCAAD 6-10:AABCC 11、12：CD二、填空题e < 15.27[,]5416.三、解答题17.解：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =， 得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =. 又由121n n S S -=+，① 可知121n n S S +=+，② ②-①得12n n a a +=，即11(2)2n n a n a +=≥. 且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，故12n n a =*()n N ∈（2）由（1）及12log n n b a =*()n N ∈，可知121lo g ()2nn b n ==， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=+++=L 11111[(1)()()]2231nn -+-++-=+L 1111n n n -=++. 18.解：（1）因为底面A B C D 为菱形，所以A C B D⊥， 又平面B D E F ⊥底面A B C D ，平面B D E F I 平面A B C DB D =， 因此A C ⊥平面B D E F ，从而A C E F ⊥. 又B D D E ⊥，所以D E ⊥平面AB C D ， 由2A B a =，2D E B F =，120A B C ∠=︒，可知A ，2BD a =，E，A ，从而222A FF E A E +=，故E F A F⊥. 又A F A C A =I ，所以E F ⊥平面AFC .又E F ⊂平面AEF ，所以平面A E F ⊥平面AFC . （2）取EF 中点G ，由题可知//O G D E ，所以O G ⊥平面A B C D ，又在菱形A B C D 中，O A O B⊥，所以分别以O A uuu r ，O B uuu r ，O G uuur的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O x y z -（如图示），则(0,0,0)O ，(3,0,0)Aa ，(3,0,0)C a -，(0,,22)E a a -，(0,,2)F a a ， 所以(0,,22)(3,0,0)A E a a a =--=u u u r (3,,22)a a a --，(3,0,0)(3,0,0)A C a a =--=u u u r (23,0,0)a -，(0,,2)(0,,22)E F a a a a =--u u u r (0,2,2)a a =-.由（1）可知E F ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为(0,2,2)E F a a =-u u u r. 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,n A E n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r 即3220,0,x y z x ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩即22,0,y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令2z =，得4y =，所以(0,4,2)n =r.从而c o s ,n E F <>=r u u u r 3||||63n E F n E F a ⋅==⋅r u u u rr u u u r . 故所求的二面角E A CF --的余弦值为33.19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为1(3210569078037026)1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=，因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A级4个，B级7个，从而任意选取3个，这3个为A级的个数ξ的可能值为0，1，2，3.则03473117(0)33CCPCξ===，124731128(1)55C CPCξ===，214731114(2)55CCPCξ===，30473114(3)165C CPCξ===.因此可得ξ的分布列为：则728144()0123335555165Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯1211=.20.解：（1）由题意可知2ca=，所以222222()a c a b==-，即222a b=，①又点23(P在椭圆上，所以有2223144a b+=，②由①②联立，解得21b=，22a=，故所求的椭圆方程为2212xy+=.（2）设1122(,),(,)A xyB xy，由0O AO B⋅=u u u r u u u r，可知1212x x y y+=.联立方程组22,1,2y k x mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y化简整理得222(12)4220k x kmx m+++-=，由2222168(1)(12)0km m k∆=--+>，得2212k m+>，所以122412k mx xk+=-+，21222212mx xk-=+，③又由题知12120x x y y +=， 即1212()()0x x k x m k x m +++=， 整理为221212(1)()0k x x k m x xm ++++=. 将③代入上式，得22222224(1)01212m k m k k m m k k-+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=. 21. 解：（1）由22()l n fx a x x a x =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-=222(2)()x a x a x ax a x x--+-=. 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；③若0a <时，当(0,)2a x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2a x ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()h x fx x ϕ=+=2(2)l n x a xax +--(0)x >， 所以'()2(2)a hx x a x =+--=22(2)(2)(1)x a xa xa x x x+---+=. 所以当(0,)2ax ∈时，'()0h x <；当(,)2a x ∈+∞时，'()0h x >；当2a x =时，'()02ah =. 欲证12'()02x x h +>，只需证12'()'()22x x a h h +>，又2''()20ah x x=+>，即'()h x 单调递增，故只需证明1222x x a+>. 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则21112222(2)l n ,(2)l n ,x ax a x m x ax a x m ⎧+--=⎨+--=⎩ 两式相减并整理得1212(l n l n )a xx x x -+-=22121222x x x x -+-，从而221212121222l n l n x x x x a x x x x -+-=-+-，故只需证明2212121212122222(l n l n )x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即22121212121222l n l n x x x x x x x x x x -+-+=-+-. 因为1212l n l n 0xx x x -+-<， 所以（*）式可化为12121222l n l n x x x x x x --<+，即11212222ln1x x x x x x -<+.因为120x x <<，所以1201x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈.记22()l n 1t Rt t t -=-+，(0,1)t ∈，所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t tt -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在(0,1)单调递增. 又(1)0R =，因此()0Rt <，(0,1)t ∈，故22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈得证， 从而12'()02x x h +>得证. 22.解：（1）曲线1C ：3cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=.曲线2C ：4s i n ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为22(2)4x y +-=. 把22(2)4y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：222(3)4136ax x x=-+-=-，而对2C 有222(2)4x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[1,5].（2）当3a =时，曲线1C ：22(3)(2)9x y -+-=，两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =， 所以482||249A B =-=.23. 解：（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =.所以2232a b +=，从而227112a b +++=，从而221411a b +=++2222214[(1)(1)]()71a b a ab ++++=++2222214(1)[5()]711b a a b ++++≥++2222214(1)18[527117b a a b +++⋅=++.当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +≥++得证.。
2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
衡水中学2014年高考压轴卷二(理数)详解
河北衡水中学2014年高考压轴卷（理数详解）1、解析：A2110211ln(21)050505x x x x x x -><-<⎧⎧-<⇒⎨⎨-<->-⎩⎩或解得(1,5)A =，B 集合元素相当于如图所示区域中的点与原点连线斜率的倒数，根据所示区域可知(2,12)B =，(1,12)A B ⋃=，第一小题就综合考察了解不等式，对数的性质与简单的线性规划问题2、解析：C 22(1)11(1)(1)i z i i i i +===----+，1z i =-+（注意分母有理化的本质，不一定乘共轭复数）3、解析：D 注意命题的否定（只否定结论，具体到全称命题与特称命题的否定是将全称量词或者存在量词先否定，再对结论加以否定，A 命题的否定22,320x x x ∃≥-+<）与否命题的区别（条件结论同时否定，B 命题的否命题是21,1x x ≠≠），系统抽样是等距的，根据题意知间距为11，且分5组，因此最多为59人，抽取时剔除部分），D 选项根据正态分布关于X=1对称，因此(02)2(01)0.8P x P x ≤≤=≤≤=4、解析：C 注意循环条件的判断，将运算结果写出第一次2,1,S x ==-第二次1,4S x ==-第三次3,7S x =-=-第四次3,7,10,10S x S x =-=-=-=-第五次20,S =-(此时满足条件，退出循环)5、解析：A 考察等差数列基本运算110181544,294(0),722d a a a d d a a d ++=+=>=+=> 6、解析：A 根据三视图判断直三棱锥的底面是一个等腰直角形，因此球心为O 点，根据球心到球上各点距离相等，可知O 为三棱锥高所在三角形的重心（根据重心到顶点距离与对应重点距离之比2:1），得半径26443S R ππ==7、解析：C 主要考察对数性质及分类讨论10,ln e x x <<则0<lgx<1<，因此有先分两类（同底数比较）ln(ln )ln(lg ),lg(ln )lg(lg )x x x x >>，同时结合图像可知，ln ,lg y x y x ==当x>1时，有ln(ln )lg(ln )x x >同时当x<1时有，lg(lg )ln(lg )x x >，综合得：ln(ln )lg(ln )lg(lg )ln(lg ),x x x x >>>即有a d b c >>>8、解析：D ()(),sin()sin(2),sin sin ,sin 02f f πππϕπϕϕϕϕ<+<+-<>，又()()6f x f π≤则有()sin()1,,63326f k k πππππϕϕπϕπ=+=±+=+=+当k 为偶数时，sin 0ϕ>满足条件，因此(21,)6k k n n N πϕπ=+=+∈，()f x 非奇非偶，且11()sin 2012f ππ==，同有722()sin(),()sin()01056556f f πππππππ=++=+>则 22sin()sin()5656ππππ-+<+9、解析：C 设1(0,)F c -，渐近线方程ay x b=，则2F 及对称点所在直线方程为0bx ay ac +-=因此有1F,2cc a== 10、解析：C 由于两端不排，因此剩下7个柜台，三个展品相当于在四个柜台插空35A ，其中相隔超过两个柜台的插空有33212A =则满足条件的排法有3353248A A -=11、解析：D注意数形结合设动点(,0)(0,),B a C b BC ==因此动圆方程外围轨迹（BC为直径）为222x y +=结合图像知，当动点P 到O 点距离最短时，切线也最短，对应的四边形面积也最小，min 4,OP PM ====8S PM OM ==12、解析：A 通过观察两个式子，有22222211()()()m m mm m mf m m f m m e f m m e e e e --+----==因此构造函数()()x g x e f x =，'()()'()(()'())0x x x g x e f x e f x e f x f x =+=+<即函数()g x 单调递减，又有21m m -<（根据二次函数性质2()1f m m m =--恒小于0成立），因此有222221()()(1)()(1)(1)m m m m f m m g m m g ef m m ef f e--+-->->⇒>即13、解析：考察三角形面积公式sin ,24sin 3S a b a b π=<>=⨯⨯=14、解析：考察的等差数列的相关公式及分类讨论155285155()552,32a a S a a a a a +=+⇒=⋅=，1532a a a +=，352a a =因此532aq a ==即24b =或者3251,12a qb a === 15、解析：主要结合抛物线性质(2,0),4,2,4F AF A -=-则（），A 关于准线2x =的对称点为'(6,4)A 因此'PA PO OA +==解析：考察分类讨论及余弦函数的运算及数列求和，1(21)(1,2...)(41)cos 1(2)n n k a k k k n k π=-⎧==⎨-+=⎩当当424(83)cos 1(87)cos016k k a a k k π-+=+++++=因此60135924685860...()()..()301615120S a a a a a a a a a =++++++++++=⨯+⨯=。
2014年高考试题理科数学真题及答案(新课标II)Word版解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝【答案】D 【解析】把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。
所以选D.2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】A 【解析】.,5-4-1-∴,2-,2212211A z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=3.设向量a,b 满足|a+b|a-b|=，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A b a b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。
为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45【答案】A【解析】.,8.0,75.06.0,Appp故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.1727 B.59 C.1027D.13【答案】C【解析】..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321Cvv故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 D【解析】8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(Daffxaxfxaxxf故选联立解得且==′=∴+=′∴+=9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】 B 【解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A.334B.938 C. 6332 D. 94【答案】 D【解析】..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.30D.2【答案】 C 【解析】..10305641-0θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C AN BM N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。
河北省衡水中学2014届高三上学期三调考试数学理科试题
河北省衡水中学2014届高三上学期三调考试数学理科试卷本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合M={x|x 2≤4），N={x|log 2 x≥1}，则M∩N 等于（ ） A ． [﹣2，2]B ． {2}C ． [2，+∞）D ． [﹣2，+∞）2.若0>x 、0>y ，则1>+y x 是122>+y x 的 ( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3.平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是（ ）A ．3，1B ． 1，3C ．-1，3D ．3-，1 4.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 的值为（ ）A.1B.2C.3D.45.如图，圆O 的两条弦AB 和CD 交于点E ，EF//CB,EF 交AD 的 延长线于点F ，FG 切圆O 于点G ，EF=2，则FG 的长为（ ） A.12 B.13C.1D. 2 6. 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ） A.25 B.29 C.42 D.137.已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题:①若,//m αβα⊥,则m β⊥;②若,m n αβ⊥⊥,且,m n ⊥则αβ⊥; ③若,m β⊥//m α,则αβ⊥;④若//m α,//n β,且//m n ,则//αβ. 其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48.已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >>9.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+,若存在两项,m n a a 使得1144,m n a a a m n=+则的最小值为 （ ） A ．32 B ．53C ．94D ．910.已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数， 则所有符合条件的a 值之和是（ ） A.13B.18C.21D.2611.若函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，22['()]['()]0,()()0f f f f αβαβ+=+= （其中,R αβ∈且αβ≠），则下列选项中一定是方程()0f x =的根的是（ ） A ．3ba-B ．2b a-C ．3c aD ．2c a12. 设定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0,x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m = （ ）A ．2B ．4或6C ．2或6D ．6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
河北省衡水中学2014届高三下学期二调考试数学理试卷Word版含答案
2013—2014学年度第二学期高三年级二调考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知R 是实数集，2{|1},{|1}M x N y y x=<==，则=M C N R ( )A ．)2,1(B ．[]2,0C.∅ D ．[]2,12.在复平面内，复数ii4332-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限1sin170-=（ ） A ．4 B ．2 C ．2- D ．4-4.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)等于0.158 7 ⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人。
A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n =4（a 1+a 3+a 5+…+a 2n -1）, a 1a 2a 3=27,则a 6=（ ）A.27B.81C. 243D.7296.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）A. B.C. D.7. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 （ ） A ．2 B ．13 C ．3- D ． 12-8. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ， 且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 （ ）A.()3,2 B. ()3,1 C.()2,2 D. ()2,09. 在ABC △所在的平面内，点P P 、0满足=B P 041AB ，AB λ=PB ，且对于任意实数λ，恒有≥⋅PC PB C P B P 00⋅， 则 （ ） A ．︒=∠90ABC B ．︒=∠90A C BC ．BC AC =D ．AC AB =10.在平面直角坐标系中，记抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A内的概率为827，则k 的值为（ ） A.13 B.23 C.12 D.3411.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>> ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14- ，则椭圆的离心率为（ ）A.123412.已知函数1()()2(),f x f x f x x =∈满足当[1,3]，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）A.1(0,)eB.1(0,)2e C.ln 31[,)3eD.ln 31[,)32e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
河北省衡水中学2014届高三数学下学期一调考试试题 理 新人教A版
2013～2014学年度下学期一调考试 高三年级数学〔理科〕试卷本试卷分为第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部.总分为150分.考试时间120分钟.第1卷〔选择题 共60分〕一、选择题：〔此题共12个小题，每一小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的〕1、集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=，如此Q P *的子集个数为( )A ．7B ．12C ．32D ．642、20<<a ，复数z 的实部为a ，虚部为1，如此||z 的取值范围是( ) A ．(1，5) B ．(1，3) C ．)5,1( D ．)3,1(3、在第29届奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进展了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列〞是否有关系时，用什么方法最有说服力( )A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率 4、假设函数,,cos 3sin )(R x x x x f ∈+=ωω又0)(,2)(=-=βαf f ，且βα-的最小值为43π的正数ω为〔 〕 A.31 B.32 C.34 D.235、定义在R 上的连续函数f(x)满足f(－x)＝－f(x ＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4，且(x1－2)(x2－2)<0，如此f(x1)＋f(x2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负6、如图给出的是计算11112462014+++⋅⋅⋅的值的程序框图，其中判断框内应填入的是〔 〕A.2014i ≤B.2014i ＞C.1007i ≤D.1007i ＞7、一个几何体的三视图如右图所示，如此该几何体的体积为〔 〕A ．533B ．433 C ．536 D ．38、 设向量a,b,c 满足060,,21,1=---=⋅==c b c a b a b a ，如此c 的最大值等于〔 〕A ．2B ．3C ．2D ．1 9、过x 轴正半轴上一点0(,0)M x ,作圆22:(2)1C x y +-=的两条切线,切点分别为,A B ,假设||3AB ≥,如此0x 的最小值为 〔 〕A ．1B ．2C ．2D ．310、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>左焦点1F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于点P ，假设线段1PF 的中点在y 轴上，如此此双曲线的离心率为〔〕A.33 B. 5C.3D. 311、点(,)P x y 是曲线1:(0)C yx x上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB；②OAB ∆的周长有最小值422；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是〔 〕 A.１ B.２ C.３ D.０12、设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点,假设在其右准线上存在点P ,使12PF F ∆为等腰三角形,如此椭圆的离心率的取值范围是〔 〕A ．(0,)3 B．(0,2 C．,1)3 D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛122，2013～2014学年度下学期一调考试 高三年级数学〔理科〕试卷 第2卷 非选择题 〔共90分〕二、填空题〔此题共4个小题，每一小题5分，共20分. 把每一小题的答案填在答题纸的相应位置〕13、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，三边a 、b 、c 成等差数列，且B=4π，如此cosA －cosC 的值为 ．14、如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体〞，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，如此这四个顶点是“三节棍体〞的四个顶点的概率为 . 15、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B-AC-D ，如此四面体ABCD 的外接球的体积为 。
河北省衡水中学2014届高考数学压轴卷(二)理
7.设 ，记 则 的大小关系( )
A. B. C. D.
8.已知函数 ，其中 为实数，若 对 恒成立且 ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 是奇函数D. 是 的单调递增区间
9.已知 、 是双曲线 的上、下焦点，点 关于渐近线的对称点恰好落在以 为圆心， 为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则( )
A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. 的虚部为 D. 的共轭复数为
3.下面四个命题中的真命题是( )
A.命题“ ，均有 ”的否定是：“ ，使得 ”
B.命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
C.采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5、16、27、38、49的同学均被选出，则该班人数可能为60
18.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥 中， 底面 ， , 为 的中点， 为 中点， , .
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 成角的正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分12分）
某花店每天以每支10元的价格从农场购进若干支玫瑰花，并开始以每支20元的价格出售，已知该花店的营业时间为8小时，若前7小时内所购进的玫瑰花没有售完，则花店对没卖出的玫瑰花以每支5元的价格低价处理完毕（根据经验，1小时内完全能够把玫瑰花处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进玫瑰花）.该花店统计了100天内玫瑰花在每天的前7小时内的需求量 （单位：支， ）(由于某种原因需求量频数表中的部分数据被污损而无法看清)，制成如下表格（注： :视频率为概率）
（1）若花店一天购进16支玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列及数学期望；
2014新课标Ⅱ高考压轴卷-数学(理)-Word版含解析
2014新课标II 高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）2. 已知复数z 满足z •i=2﹣i ，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ）3. 由y=f （x ）的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin 的图象，则 f （x ）为（ ） 2sin2sin2sin2sin4.已知函数，则的值是（ ）D5. 设随机变量~X N (3，1)，若(4)P X p >=，，则P(2<X<4)= ( A)12p + ( B)l —p (C)l-2p (D)12p -6. 6．运行右面框图输出的S 是254，则①应为 (A) n ≤5 (B) n ≤6 (C)n ≤7 (D) n ≤87. 若曲线在点（a ，f （a ））处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=（ ）8.已知A 、B 是圆22:1O x y +=上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB ∆的面积最大时，则AO AP ⋅-2AP 的最大值是（ ）A.1-B.0C.81D.21 9.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为 A ．3 B ．25 C ．2 D ．2710. .已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ． 0B ．100-C ．100D ．1020011．设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（ ）12．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R ），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm 的概率为 ．14.已知1cos21sin cos ααα-=，1tan()3βα-=-，则tan(2)βα-的值为 ．15.函数43y x x =++(3)x >-的最小值是 ． 16.已知函数f(x)＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17.已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（Ⅰ）求函数(3)1y f x =-+的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知ABC ∆中的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A 满足()26A f π-=7a =，sin sin B C +=，求ABC ∆的面积． 18.随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 性别与读营养说明列联表⑴根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？⑵从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．（注：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=为样本容量．）19.已知正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，12,4==AB AA . （Ⅰ）求证：1BD A C ⊥；（Ⅱ）求二面角11--A A C D 的余弦值；（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11A CD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由.20.已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值. 21.已知0t >，函数()3x tf x x t-=+. (1)1t =时，写出()f x 的增区间；(2)记()f x 在区间[0,6]上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式；(3)是否存在t ，使函数()y f x 在区间(0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CE 和⊙O 切于点C ，AD 丄CE ，垂足为D ． （I ） 求证：AC 平分∠BAD ；（II ） 若AB=4AD ，求∠BAD 的大小．23.选修4﹣4：坐标系与参数方程将圆x 2+y 2=4上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C ；将直线3x ﹣2y ﹣8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l ． （I ）求直线l 与曲线C 的方程；（II ）求C 上的点到直线l 的最大距离．24. 选修4﹣5：不等式选讲 设函数，f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|． （I ）求证f （x ）≥1； （II ）若f （x ）=成立，求x 的取值范围．KS5U2014新课标II 高考压轴卷理科数学参考答案1. 【KS5U 答案】A.【KS5U 解析】由A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}={0，2，4}， 所以A ∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 所以A ∩B 中元素的个数为2． 故选C ．2. 【KS5U 答案】A.【KS5U 解析】由z •i=2﹣i ，得，∴．故选：A ．3. 【KS5U 答案】B.【KS5U 解析】由题意可得y=2sin 的图象上各个点的横坐标变为原来的，可得函数y=2sin （6x ﹣）的图象．再把函数y=2sin （6x ﹣）的图象向右平移个单位，即可得到f （x ）=2sin[6（x ﹣）﹣）]=2sin （6x ﹣2π﹣）=2sin的图象，故选B ．4. 【KS5U 答案】C. 【KS5U 解析】=f （log 2）=f （log 22﹣2）=f （﹣2）=3﹣2=，故选C ．5. 【KS5U 答案】C.【KS5U 解析】因为(4)(2)P X P X p >=<=，所以P(2<X<4)= 1(4)(2)12P X P X p ->-<=-，选C. 6. 【KS5U 答案】C.【KS5U 解析】本程序计算的是212(12)2222212n nn S +-=+++==--，由122254n +-=，得12256n +=，解得7n =。
2014年高考真题——理科数学（河北省） Word版含解析
2014年高招全国课标1（理科数学word 解析版）第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）【答案】：A【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}22x x -≤<， ∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A..2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --【答案】：D【解析】：∵32(1)(1)i i +-=2(1)12i i i i+=---，选D..3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m【答案】：A【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,33c m c m =+=+设()33,0Fm +，一条渐近线33y x m=，即0x m y -=，则点F 到C 的一条渐近线的距离331m d m+=+=3，选A. .5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为【答案】：B【解析】：如图：过M 作M D ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x xOM PM OP =cos sin x x = 1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. .7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P 【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 【答案】：C【解析】：过Q 作Q M ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM == 选C11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【答案】：B【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。
河北省衡水中学2014届高三上学期一调考试数学理试题Word版含解析by赵
2013—2014学年度第一学期第一次调研考试高三年级数学试卷（理科） 解析版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一.选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x ∈N ｝，P=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩P=( ）A.｛0，1，2｝B.｛-1，0，1，2｝C.{-1，0，2，3}D.{0，1，2，3}【答案】A{}=0.1,2M ，{}012MP =，，选A 2. 实数x ，条件P:x 2<x ，条件q:11≥x，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A{}{}:01,:01,|01|01,p x q x x x x x <<<≤<<⊆<≤∴选A3.方程04ln =-+x x 的解0x 属于区间 （ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4） 【答案】C()ln 4,(2)(3)(ln 22)(ln31)0,f x x x f f =+-⋅=-⋅-<所以0(2,3)x ∈，选C4．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为（ ）A.}10|{<<x xB.}01|{≤<-x xC. }11|{<<-x xD. }1|{->x x20,log 0,01;x x x >->∴<<当220,10,10,1 1.10x x x x x ≤->∴-<∴-<<∴-<≤当综上，1 1.x -<<选C5．设函数2()34,f x x x '=+-则)1(-=x f y 的单调减区间（ ）A.（-4,1) B.)2,3(-C. D.),21(+∞- 【答案】B由2()340,41,(1)f x x x x f x '=+-<-<<∴-得单调减区间为(3,2)-6.下列命题：（1）若“22b a <，则b a <”的逆命题；（2）“全等三角形面积相等”的否命题；（3）“若1>a ，则0322>++-a ax ax 的解集为R”的逆否命题； （4）“若)0(3≠x x 为有理数，则x 为无理数”。
高考数学压轴卷 理(含解析)
2014新课标1高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（）A．{5，7} B．{2，4} C．{2，4，8} D．{1，3，5，6，7} 2. 复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（）A．（1，2）B．（2，﹣i）C．（2，1）D．（1，﹣2）3. 的值为（）A．1 B．2 C．3 D．44. 函数f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），则f（x）﹣g（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数5.在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A. B. C. D.6.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.6πD.8π7. 已知函数的图象（部分）如图所示，则ω，φ分别为（）A．B．C．D．8. “”是“数列{a n}为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（）A．2ab＞c2B．a2+b2＜c2C．2bc＞a2D．b2+c2＜a210. 等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为（）A ．B ．C ．D ．11.定义域为R 的偶函数f （x ）满足∀x ∈R ，有f （x+2）=f （x ）﹣f （1），且当x ∈[2，3]时，f （x ）=﹣2x 2+12x ﹣18．若函数y=f （x ）﹣log a （x+1）至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ． （0，） B ． （0，） C ． （0，） D ．（0，）12. 设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R ），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13. 函数22631y x x =++的最小值是14.执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 是________．15.已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，=m，=n（m•n≠0），若∥，则=___________________.16. 设不等式组表示的平面区域为M ，不等式组表示的平面区域为N．在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是________________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17.已知(3,cos())a xω=-r，(sin(),3)b xω=r，其中0ω>，函数()f x a b=⋅r r的最小正周期为π.(1)求()f x的单调递增区间；(2)在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且()32Af=，3a b=，求角A、B、C的大小．18.某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160,170）（单位：cm）内的运动员人数b；（Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．19.等边三角形ABC的边长为3,点D、E分别是边AB、AC上的点,且满足12AD CEDB EA==(如图1)．将△ADE沿DE折起到△1A DE的位置,使二面角1A DE B--为直二面角,连结11A B AC、 (如图2)．X012P15115852（Ⅰ）求证:1A D ⊥平面BCED ；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60o ?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由．20.在平面直角坐标系xOy 中，从曲线C 上一点P 做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为N M ,，点)0,(),0,(a B a A -（a a ,0>为常数），且02=+⋅ON BM AM λ（0≠λ） （1）求曲线C 的轨迹方程，并说明曲线C 是什么图形；（2）当0>λ且1≠λ时，将曲线C 绕原点逆时针旋转︒90得到曲线1C ，曲线C 与曲线1C 四个交点按逆时针依次为G F E D ,,,，且点D 在一象限①证明：四边形DEFG 为正方形； ②若DF AD ⊥，求λ值． 21. 已知21(),()2f x lnxg x ax bx ==+ (0),()()().a h x f x g x ≠=- （Ⅰ）当42a b ==，时，求()h x 的极大值点；（Ⅱ）设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于P 、Q 两点，过线段PQ 的中点做x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，证明：1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，CD ⊥AB 于点D ， 弦BE 与CD 、AC 分别交于点M 、N ，且MN = MC（1）求证：MN = MB ；（2）求证：OC ⊥MN 。