第八课期权定价模型

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第八课期权定价模型
单期：给欧式看涨期权定价
欧式看涨期权：
•今日
•$40
•1 年
•
•概率
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•
第八课期权定价模型
• 组合(合成看涨期权) = 股票+ 无风险资产 • 组合复制了该期权在到期日的收益
• 1.10 = 今天的$1投资在1年后的财富 • 解方程组得到 • 的负号意味者借入
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等待期权 (1)
• 传统的NPV：要么现在投资，要么永不投资 • 但第三种选择是等待以在将来投资 • 期权价值
内在价值(IV) + 时间价值 (TV) • TV = 能够等待的价值
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等待期权(2)
• 决策法则 传统的NPV 接受项目，如果NPV > 0 ，即IV > 0 实物期权 接受项目，如果NPV > 期权价值
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风险中性定价
• 很自然可以被解释为是股票价格上涨的概率 (风险中性概率或等价鞅测度)
•
可以被解释为是该看涨期权在
到期日的收益
• 该期权的价值是它在到期日的期望收益按无 风险利率折成的现值
• 在 下,
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Delta对冲组合
•
•
的符号为正，意味着投资
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单期二项式模型
•今日
•1 年 •$140
•概 率
•$10 0
•$80
• 收益率被定义为价格的相对数
• 期望收益率= 1.1
• 期望方差 = 0.09
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通过复制来给期权定价
• 为了给衍生证券定价，可以构造一个股票和 无风险投资的组合来复制该衍生证券在到期 日的收益
•由
股股票和一个看涨期权空头构成
的组合等价于无风险投资
• 该组合经常被称为无风险对冲组合， (delta) 被称为 套头比（hedge ratio）
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Black-Scholes期权定价模型
• 期权价格和股票价格依赖于同一种不确定性 来源
• 无风险的对冲组合可以用股票和期权来构造 • 无风险组合必然获得无风险利率 • 这导致了Black-Scholes偏微分方程 (PDE)
• 这个组合称为合成的衍生证券
• 要使无套利成立，这个组合的价值必须等于 交易的衍生证券的价格
• 组合的合成等同于对冲
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无套利原则与 对衍生证券的定价
•今日
•到期日
•交易的 衍生证券
•合成的 衍生证券
•收益相 同
•交易的衍生证券的价值= 合成的衍生证券（组合）的价值
•无风险利率, r •现金股利, d
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•看涨期权 • • • • • •
•看跌期权 • • • • • •
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Black-Scholes公式的应用
,
,
年,
（按连续复利计息）
以及
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那么
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Delta对冲
• Delta ()：期权价格对标的资产价格的变化比 率
• 要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何 变动
• 简单但非常有力的一个模型是二项式模型
- 在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能 有两个可能的取值
- 当时间间隔足够短，这是很好的近似
- 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理
- 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价
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第八课期权定价模型
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2020/11/27
第八课期权定价模型
期权定价中的难点
• 债券和股票的估价：贴现现金流 • 期权的估价
- DCF 不适用 - 给定到期日标的资产价格的分布，可以很
容易地计算期权在到期日的收益 - 难于估计折现率
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二项式期权定价模型
• 对欧式期权解上述偏微分方程，就得到BlackScholes期权定价模型
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Black-Scholes 公式
式中，
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是标准正态分布的累积概率分布函数
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Black-Scholes 模型 在风险中性定价下的导出
• 利用风险中性概率算出期权在到期日的期望 收益
• 公司愿意承受暂时的损失来谋求在未来可 以抓住盈利的机会
• 决策法则： NPV(撤资) > 期权价值
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弹性期权
• 汽车制造商在数个国家都有生产设备 • 双燃料锅炉，可以选择烧油还是烧煤 • 比较一家大型电厂与两家或更多的小型电
厂
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后续期权
• 与传统NPV分析的关键区别： - 不确定性（风险）是有价值的！ - 管理弹性（Managerial flexibility ）
• 战略工具，但是大多数情况下难以准确估价
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实物期权的主要类型
• 等待以在将来投资（看涨期权） • 放弃（看跌期权） • 弹性（看涨期权） • 后续投资（看涨期权）
其中： ：期望收益率
：波动率 (假设为常数) ：标准Wiener过程
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• 离散时间近似
• Z为Wiener过程，则 －
其中是 n(0,1)分布的一个随机实现
－ 任意互不重叠的两期的 的取值相互独 立
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Wiener过程的特征
•
的均值为0
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Black-Scholes 偏微分方程 的导出
• •
• 构造一个组合 ，该组合的构成如下： － 1单位衍生证券的空头 － 股股票多头
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• 组合的价值为： • 在跨度为 的短期内，它的价值的变动为：
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• 因为该组合的收益率没有不确定性，所有它 必须等于无风险利率。因此
• 风险更大的项目 期权价值更高
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等待期权 (3)：例子
• 石油公司获得某区块的5年期开采权 NPV < 0 拒绝 但是如果石油价格上涨，或者随着技术的 进步能够提高石油产量，则应该推迟到将 来再投资
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撤资期权
• 撤资：关闭企业的权利，即以出售价格为 执行价格的看跌期权
•E
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•V •D
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公司负债与股东权益
• 公司债权人相当于拥有一个面值为D的无风险 债券和同时出售一个执行价格为D的看跌期权
•V
D
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•V •D
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实物期权
• 投资： 有权选择投资时机，获得投资回报，但是没 有必须投资的义务。初始投资额就是执行价格，投资 在未来产生的现金流就是资产价格
• 对于欧式看涨期权 ,
• 对于欧式看跌期权 ,
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估计历史波动率
• 在间隔为 年的期间观测到 • 计算连续复利
• 估计波动率 (标准差)
• 每年的波动率：
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隐含波动率
• 期权的隐含波动率是指让根据公式计算得到的期权价 格与市场价格相等的波动率，即
• 从上述两个方程，就可以得到Black-Scholes 偏微分方程：
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• 该偏微分方程不包括！ 投资者的偏好不起 作用！
• 任何其价格依赖于标的股票价格的衍生证券 都满足上述偏微分方程
• 不同的衍生证券，其价值取决于上述微分方 程的边界条件
• 对于欧式看涨期权，边界条件为
• 初始投资产生了后续项目的投资机会 • 例子：R&D,在新兴市场特别是发展中国家
的投资 • 决策法则:
NPV + 后续期权的价值> 0
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实物期权与金融期权 之间的对应
•实物期权
•
•期望现金流的现值 •获得项目资产所需的投资 •决策可以延迟的时间长度 •货币的时间价值 •现金流的不确定性
• 期权价格与隐含波动率之间存在着一一对应
• 在柜台市场（OTC），交易者和经纪商经常不是报货 币价格而是报隐含的收益率
• 隐含波动率给出了市场总体对未来标的股票在期权有 效期内的平价波动率的一致估计（预期）
• 隐含波动率是前瞻性的
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公司负债与股东权益
• 股东权益相当于拥有一个以D为执行价格的对 于公司价值V的看涨期权
•
的方差为T-t
•
的标准差为
•
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股票收益率的特征
• 从时间t到T 收益率的均值为
• 从时间t到T 收益率的方差为
• 从时间t到T 收益率的标准差为
• 收益率的分布：
，其中
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股票收益率的分布
• 股票价格服从对数正态分布，即：
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第八课期权定价模型
Black-Scholes模型的假设
• 完美的资本市场，没有套利机会 • 价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布
朗运动 • 短期利率已知，并且不随时间发生变化 • 在期权的有效期内，标的股票不发放股利
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股票价格的动态过程
• 连续时间模型 假设股票价格服从几何布朗运动（GBM）
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• •金融期权
•
•
•
•股票价格
•
•执行价格
•
•距到期日的时间长
度
•
•无风险利率
•
•收益率的波动率
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3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
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2020/11/27
第八课期权定价模型
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• • 无套利要求 • 含义：
p 的值从未使用过 期望收益率无关紧要!
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第八课期权定价模型
单期二项式期权定价的一般化
•今日
•1 年
•
•概率
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•
第八课期权定价模型
• 该组合复制了该看涨期权在到期日的收益
• 解方程组得到： ，和
• 无套利要求：
• 用无风险利率对期望收益进行折现
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第八课期权定价模型
• 欧式看涨期权的价值由下式给出：
•
由下式给出
• 进行一些简单的代数运算就可以得到Black-Scholes公 式
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第八课期权定价模型
期权价格的决定因素
•正的变化 •股票价格, S •执行价格, X •波动率,
•距离到期日的时间,