《直角三角形的边角关系》单元测试试卷(含答案)

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直角三角形的边角关系单元测试

《直角三角形的边角关系》单元测试班级：姓名：学号：分数：一、选择题（每小题4分，共32分） 1.已知△ABC 中,∠C=90°,tanA=( )A ．AB AC B ．AB BC C ．BC AC D ．ACBC2.在△ABC 中,∠C=90,若sinA=31,则cosB= ( )A. 1B. 3C. 31 D 2323．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，两直角的比为５：１２，则最小角的余弦值（） A ．125 B ．123 C ．512 D ．13124．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，如果各边长度都扩大２倍，那么锐角Ａ的正切值（） A ．没有变化 B ．扩大２倍 C ．缩小２倍 D ．不能确定5.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC=4,设∠BCD=α,则 tan α的值为( ) A.34; B.43; C.35; D.456. 若∠A 为锐角,且则∠A 的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°7.在 Rt △ABC 中，∠C=900, a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列关系式错误的是（ )A. b=c ·cosBB.b=a ·tanBC.a=c ·sinAD. a=b ·tanA 8. 等腰三角形底边长为1Ocm ，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（） A.513 B.1213 C. 1013 D. 512二.填空题:(每小题3分,共15分)1．在△ABC 中，∠Ｃ为直角，若３ＡＣ＝BC 3，则∠Ａ的度数是，cosB 的值是_ _ 。

2．已知ABC △中，90C ∠=，A B C ∠∠∠，，所对的边分别是a b c ，，，且3c a =，则cos A =________．3.已知:Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA=513,则sinB=________.4．如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。

北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)单元测试卷(含答案)

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(时间：120分钟　满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝( )A.32B.12C.3D.332．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )A.35B.45C.34D.433．在△ABC中，若tanA＝1，sinB＝22，你认为最确切的判断是( )A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形4．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝35，AB＝4，则AD的长为( )A．3 B.163C.203D.1655．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝( )A ．2 B.12 C.22 D.326．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为( )A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m7．下列不等式不成立的是( )A ．sin20°＜sin40°＜sin70°B ．cos20°＜cos40°＜cos70°C ．tan20°＜tan40°＜tan70°D ．sin30°＜cos45°＜tan60°8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是( )A ．10 m B.1033 m C ．53 m D ．5 m9．如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝( )A.45B.35C.43D.3410．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是( )A ．3B ．5C ．52 D.522二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23，则a ∶b ＝____________．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝33，∠B ＝____________．13．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为____________．14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝____________．三、解答题(本大题共6个小题，共54分) 15．(本小题满分6分)计算：(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；(2)24sin45°＋cos230°－12tan60°＋2sin60°.16．(本小题满分8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA.17．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝6，求AB的长．18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24 m，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8 m到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6 m，求教学楼AB的高度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；(3)求点C到直线AB的距离．20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝2，AD＝4，求sin∠AMB的值．B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA=_____．22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为32，则sin∠CAB＝_____．23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为_____米．24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝13，则BE的长为_____．25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝_____．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)28．(本小题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°.(1)当DF∥AB时，连接EF，求tan∠DEF的值；(2)当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．参考答案北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(时间：120分钟　满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案A A B B B A B B C D1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝(A)A.32B.12C.3D.332．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)A.35B.45C.34D.433．在△ABC 中，若tanA ＝1，sinB ＝22，你认为最确切的判断是(B)A ．△ABC 是等腰三角形B ．△ABC 是等腰直角三角形C ．△ABC 是直角三角形D ．△ABC 是一般锐角三角形4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为(B)A ．3 B.163 C.203 D.1655．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝(B)A ．2 B.12 C.22 D.326．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为(A)A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m7．下列不等式不成立的是(B)A ．sin20°＜sin40°＜sin70°B ．cos20°＜cos40°＜cos70°C ．tan20°＜tan40°＜tan70°D ．sin30°＜cos45°＜tan60°8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是(B)A ．10 mB.1033 mC ．53 mD ．5 m9．如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝(C)A.45 B.35 C.43 D.3410．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是(D)A ．3B ．5C ．52D.522二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23，则a ∶b ＝2∶5．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝33，∠B ＝60°．13．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为42．14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝2．三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15．(本小题满分6分)计算：(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；解：原式＝22＋22－33×32＝2－12.(2)24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°.解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32＝14＋34－36＋3＝1＋536.16．(本小题满分8分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sinA ，cosA ，tanA.解：由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12，∴sinA ＝BC AB ＝513，cosA ＝AC AB＝1213，tanA ＝BC AC ＝512.17．(本小题满分8分)如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6，求AB 的长．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD.∵BC ＝6，∴CD ＝BD ＝3.∵∠A ＝30°，tan30°＝CD AD，∴AD ＝CD tan30°＝333＝3.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3.18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24 m ，小明在点E(B ，E ，D 在一条直线上)处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8 m 到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6 m ，求教学楼AB 的高度．(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，由题意，得MB ＝HG ＝FE ＝ND ＝1.6 m ，HF ＝GE ＝8 m ，MF ＝BE ，HN ＝GD ，MN ＝BD ＝24 m.设AM ＝x m ，则CN ＝x m.在Rt△AFM中，MF＝AMtan45°＝x1＝x，在Rt△CNH中，HN＝CNtan30°＝x33＝3x，∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋3x－24，即8＝x＋3x－24，解得x≈11.7.∴AB＝11.7＋1.6＝13.3(m)．答：教学楼AB的高度约为13.3 m.19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；(3)求点C到直线AB的距离．解：(1)设反比例函数的表达式为y＝k x ，由题意，得k＝xy＝2×3＝6.∴反比例函数的表达式为y＝6 x .(2)设B点坐标为(a，b)，过点A作AD⊥BC于点D，则D(2，b)．∵反比例函数y＝6x的图象经过点B(a，b)，∴b＝6a.∴AD＝3－6a.∴S△ABC＝12BC·AD＝12a(3－6a)＝6，解得a＝6.∴b＝6a＝1，AD＝3－6a＝2.∴B(6，1)．∴AB＝（2－6）2＋（3－1）2＝25.∴sin∠ABC＝225＝55.(3)过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，在Rt△BCE中，sin∠ABC＝CE BC＝55，BC＝6，∴CE ＝655.∴点C 到直线AB 的距离为655.20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM ，DN.(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝2，AD ＝4，求sin ∠AMB 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠A ＝90°.∴∠MDO ＝∠NBO.∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，MN ⊥BD.在△DMO 和△BNO 中，{∠MDO ＝∠NBO ，DO ＝BO ，∠MOD ＝∠NOB ，∴△DMO ≌△BNO(ASA)．∴OM ＝ON.∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴四边形BMDN 是菱形．(2)∵四边形BMDN 是菱形，∴MB ＝MD.设MD ＝x ，则AM ＝4－x ，MB ＝DM ＝x.在Rt △AMB 中，BM 2＝AM 2＋AB 2，即x 2＝(4－x)2＋22，解得x ＝52.∴sin ∠AMB ＝AB BM ＝45.B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA＝32或223．22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为32，则sin∠CAB＝35．23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为(6＋3)米．24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝13，则BE的长为3或5．25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝23．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°.∴AD＝12AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×32＝23.在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝2BD＝18，∴BD＝16.∴BC＝BD－CD＝16－23.(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°.∴tan15°＝tan∠AMD＝ADMD＝24＋23＝12＋3＝2－3.27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)解：(1)延长BA交EF于点H，则∠AHE＝90°，∠HAE＝60°.∵∠BAC＝45°，∴∠CAE＝180°－∠EAH－∠BAC＝75°.(2)过点A作AM⊥CD于点M，则∠CAM＝90°－45°＝45°，∠DAM＝75°－45°＝30°，∴AM＝AD·cos30°＝4×32＝23，MD＝12AD＝2，∵∠C ＝∠CAM ＝45°，∴CM ＝AM ＝23，AC ＝2AM ＝2×23＝26.∴AB ＝AC ＋CM ＋MD ＝26＋23＋2≈2×2.4＋2×1.7＋2＝10.2≈10.∴这棵大树折断前的高度约为10米．28．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且∠FDE ＝90°.(1)当DF ∥AB 时，连接EF ，求tan ∠DEF 的值；(2)当点F 在线段BC 上时，设AE ＝x ，BF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)连接CE ，若△CDE 为等腰三角形，求BF 的长．解：(1)∵AC ＝BC ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝62.∵DF ∥AB ，点D 为AC 中点，∴AD ＝CD ＝12AC ＝3，DF ＝12AB ＝32.∴DE ＝322.在Rt △DEF 中，tan ∠DEF ＝DF DE ＝32322＝2.(2)过点E 作EH ⊥AC 于点H ，设AE ＝x ，∵BC ⊥AC ，∴EH ∥BC.∴∠AEH ＝∠B.∵∠B ＝∠A ，∴∠AEH ＝∠A.∴HE ＝HA ＝22x.∴HD ＝3－22x.易证△HDE ∽△CFD ，∴HDCF ＝HEDC ，即3－22x6－y ＝22x 3.∴y ＝9－92x(2≤x ≤32)．(3)∵CE ≥12AB ＝32＞3，CD ＝3，∴CE ＞CD.∴若△DCE 为等腰三角形，只有DC ＝DE 或ED ＝EC 两种可能．当DC ＝DE 时，点F 在边BC 上，过点D 作DG ⊥AE 于点G(如图1)，可得AE＝2AG＝32，即点E在AB中点．∴此时F与C重合．∴BF＝6.当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，过点E作EM⊥CD于点M(如图2)，∵EM⊥CD，ED＝EC，∴DM＝CM＝12CD＝32.易证EM＝AM＝AD＋DM＝3＋32＝92.∵DE⊥DF，∴∠EDM＋∠FDC＝90°.∵∠FDC＋∠F＝90°，∴∠F＝∠EDM.∴△DFC∽△EDM.∴CFDM＝CDEM，即CF32＝392.∴CF＝1.∴BF＝7.综上所述，BF的长为6或7.。

(必考题)初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．在Rt ABC △中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的余弦值（） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．扩大4倍 D ．没有变化 2．如图，在ABC ∆中，AC BC ⊥，30ABC ︒∠=，点D 是CB 延长线上的一点，且AB BD =，则tan DAC ∠的值为（）A ．33B ．23C ．23+D ．23- 3．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，4tan 3B =，若10BC =，则AD 的长为（）A ．6B ．323C ．7.5D ．104．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =，若3AB =，则DE 等于（）A ．1B ．32C ．12D ．335．如图，已知ABC 中，30CAB B ∠=∠=︒，23AB =D 在BC 边上，把ABC 沿AD 翻折使AB 与AC 重合，得AB D '，则ABC 与AB D '重叠部分的面积为（）A ．332-B ．312-C ．33-D ．336- 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，且22440c ac a -+=，则sinA+cosA 的值为（）A ．132+B ．122 C ．232+ D ．27．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，则（）A ．3sin 4A =B ．4cos 5A =C ．3cos 4B =D ．3tan 5B =8．如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x 的值为（）A ．2B ．3C ．3D ．3329．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tanA 的值是（）A 5B 10C ．2D ．81910．如图大坝的横断面，斜坡AB 的坡比i =1：2，背水坡CD 的坡比i =1：1，若坡面CD 的长度为62米，则斜坡AB 的长度为（）A ．43B ．63C ．65D ．24 11．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则sin ∠BDE 的值是（）A ．15B ．14C ．13D ．2412．如图，菱形ABCD 的边长是2，∠B=120°，P 是对角线AC 上一个动点，E 是CD 的中点，则PE ＋PD 的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．5二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的顶点A C 、的坐标分别是()0,3、3,0．90ACB ∠=︒，2AC BC =，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点B ，则k 的值为________．14．如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，点D 在边AC 上，AD =4CD ，若∠BAC =2∠CBD ，则tan A = ___．15．如图，菱形ABCD 的两个顶点,B D 在反比例函数k y x =的图象上，对角线,AC BD 的交点О恰好是坐标原点，已知()2,2A ，120BCD ∠=︒，则k 的值是__________．16．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数()0k y x x=>的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，点C 关于直线y x =的对称点'C 的坐标为()()1,1n n ≠，若OAB 的面积为4．则下列结论：①2n =；②4k =；③不等式k x x <的解集是2x >；④tan 2ABO ，其中正确结论的序号是________．17．如图，ABC ∆的顶点都是正方形网格中的格点，则cos CAB ∠=__________．18．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 为射线AD 上的一个动点，AEF ∆沿着EF 折叠得到HEF ∆，连接AC ，分别交EF 和直线EH 于点N 和M ，已知30BAC ∠=︒，2BC =，若EMN ∆与AEF ∆相似，则AF 的长度是________．19．如图所示，在四边形ABCD 中，233AD AB =，30A ∠=︒，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，并延长至其3倍（即3CE CD =），过点E 作EF AB ⊥于点F ，当63AD =，3BF =，74EF =时，边BC 的长是______．20．如图，已知90ACB ∠=︒，90BAD ∠=︒，AB AD =，若5CD =，1tan 4BAC ∠=，则四边形ABCD 的面积为______．三、解答题21．计算下列各小题（1）2245603060cos tan tan cos ︒+︒⋅︒-︒；（2）()23tan 308451tan 60︒+︒+-︒22．如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点,,A D G 在同一直线上，且5,3AD DE ==，连接,,AC CG AE ，并延长AE 交CG 于点H ．（1）求sin EAC ∠的值．（2）求线段AH 的长．23．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，E 为BC 上一点，∠BDE ＝∠BAD ＝90°．（1）求证：BD 2＝BA •BE ；（2）求证：△CDE ∽△CBD ；（3）若AB ＝6，BE ＝8，求CD 的长．24．如图，旗杆AB 竖立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为65米，坡度为i ＝125．小明从与点C 相距115米的点D 处向上爬12米到达建筑物DE 的顶端点E ．在此测得旗杆顶端点A 的仰角为39°，求旗杆的高度AB ．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，t an39°≈0.81）25．某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A 处出发，沿坡角为53°的山坡AB 直线上行一段距离到达B 处，再沿着坡角为22°的山坡BC 直线上行600米到达C 处，通过测量数据计算出小山高CD ＝612m ，求该数学小组行进的水平距离AD （结果精确到1m ）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）26．226(sin30sin 60)︒︒-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据三角函数的定义和分数的基本性质联手解答即可．【详解】如图，cosA=BC AB ，根据分数的基本性质，得BC AB =22BC AB， ∴余弦值不变，故选D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及其分数的基本性质，熟练掌握函数的定义，灵活运用分数的基本性质是解题的关键．2．C解析：C【分析】设AC=x ，根据三角函数可得，3x ，AB=2x ，求出DC 即可．【详解】解：设AC=x ， ∵AC BC ⊥，30ABC ︒∠=，tan ∠ABC=AC BC, 33AC BC =, 3x ，sin ∠ABC=AC AB,12AC AB =, AB=2x ，BD=2x ，=(2x +，tan ∠DAC=(22DC x AC x+==，故选：C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数和求三角函数值，解题关键是根据三角函数的定义，利用特殊角，表示出相关线段长． 3．B解析：B【分析】设DC=4x ，BD=3x ，根据勾股定理求CD ，再根据∠ACD=∠B ，用三角函数求AD ．【详解】解：∵CD AB ⊥，4tan 3DB B DC ==，设DC=4x ，BD=3x ，（3x ）2+（4x ）2=102，∵x>0，解得x=2，∴BD=6，CD=8∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B ， ∴4tan 3ACD ∠=， ∴43AD CD =，CD=8， ∴323AD =，故选：B ．【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理等知识，解题关键是根据已知的正切值求出线段长． 4．A解析：A【分析】由题意，根据菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，求出30CBD ∠=︒，然后由特殊角的三角函数值，即可求出答案．【详解】解：由题意，在菱形ABCD 中，有 AB=BC=CD=3， ∴CBD CDB ∠=∠，∵DE CE =，∴ECD CDB ∠=∠，∴22BEC ECD CDB CDB CBD ∠=∠+∠=∠=∠，∵CE BC ⊥，即90BCE ∠=︒，∴90CBD BEC ∠+∠=︒，∴390CBD ∠=︒，∴30CBD ∠=︒，在Rt △BCE 中，有tan tan 30CE CBD BC ∠=︒=， ∴333=， ∴1CE =．故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出30CBD ∠=︒．5．A解析：A【分析】首先过点D 作DE ⊥AB′于点E ，过点C 作CF ⊥AB ，由△ABC 中，∠CAB ＝∠B ＝30°，AB ＝23，利用等腰三角形的性质，即可求得AC 的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′＝90°，∠B′＝30°，B′C ＝AB′−AC ＝23−2，继而求得CD 与B′D 的长，然后求得高DE 的长，继而求得答案．【详解】过点D 作DE ⊥AB′于点E ，过点C 作CF ⊥AB ，∵△ABC 中，∠CAB ＝∠B ＝30°，23AB =∴AC ＝BC ，AF ＝12∴AC ＝AF÷cos ∠CAB2=2，由折叠的性质得：AB′=AB =∠B′＝∠B ＝30°，∵∠B′CD ＝∠CAB ＋∠B ＝60°，∴∠CDB′＝90°，∵B′C ＝AB′−AC ＝−2，∴CD ＝12B′C 1，B′D ＝B′C•cos ∠B′＝（2）∴DE ＝•CD B D B C ''=∴S 阴影＝12AC•DE ＝12故选：A ．【点睛】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．6．A解析：A【分析】由22440c ac a -+=得2c a =，则1sin 2a A c ==，即可得到30A ∠=︒，利用特殊角的三角函数值就可以求出结果．【详解】解：∵22440c ac a -+=，∴()220c a -=，即2c a =， ∵90C ∠=︒， ∴1sin 2a A c ==， ∴30A ∠=︒，∴cos A =，∴1sin cos 2A A +=．故选：A ．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．7．B解析：B【分析】首先由勾股定理求得斜边AB=5；然后由锐角三角函数的定义依次计算判断即可．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3．∴AB=2222435AC BC +=+=A. 3sin =5BC A AB =,故此项错误； B. 4cos =5AC A AB =,故此项正确； C. os =35c BC B AB =,故此项错误； D. 4tan 3AC BC B ==,故此项错误；故选B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 8．D解析：D【分析】先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB ，构造三角形ABC 与三角形ABE ，利用三角函数解直角三角形即可【详解】由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图，由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD 是6，BF=1BD 2=3，则边长AB 为3，连AC 交BD 于E ，则AC ⊥BD ，由左视图得AE=CE=x ，在△ABC 中，AB=BC=3，∠ABC=120°，∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3，∴BE=32，AE=AB•cos30°=33，即x=33．故选择：D.【点睛】本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准确的俯视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力．9．D解析：D【分析】过点B作BD AC⊥，利用面积法求出BD的长，再由勾股定理求出AD的长，即可求出tanA的值．【详解】解：如图，过点B作BD AC⊥，2BC=，17AB5AC=，根据面积法，24855 BD⨯==，根据勾股定理，226419 17255AD AB BD=-=-=，∴885tan19195BDAAD===．故选：D．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握构造直角三角形求锐角三角函数的方法．10．C解析：C【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，得BE＝CF，由坡比得BE＝CF＝DF＝22CD＝6（米），AE＝2BE＝12（米），再由勾股定理解答即可．【详解】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：则四边形BEFC是矩形，∴BE=CF．∵背水坡CD的坡比i=1：1，CD=62∴CF=DF2CD=6（米），∴BE=CF=6米，又∵斜坡AB的坡比i=1：2=BEAE，∴AE=2BE=12（米），∴AB222212665AE BE++=（米），故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．11．C解析：C【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，可得BE＝CE＝12BC＝12AD，由全等三角形的性质可得AE＝DE，由相似三角形的性质可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF的长，即可求sin∠BDE的值．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC∵点E是边BC的中点，∴BE＝CE＝12BC＝12AD，∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABC＝∠DCB＝90°∴△ABE≌△DCE（SAS）∴AE＝DE∵AD∥BC∴△ADF∽△EBF∴AF AD =EF BE ＝2 ∴AF ＝2EF ， ∴AE ＝3EF ＝DE ，∴ sin ∠BDE ＝EF 1=DE 3，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键． 12．B解析：B【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴点B 与点D 关于直线AC 对称.如图，连接BE 与AC 相交于点P ，由轴对称确定最短路线问题，BE 的长度即为PE+PD 的最小值，连接BD.∵∠B=120°，∴∠BCD=180°−120°=60°.又∵BC=CD ，∴△BCD 是等边三角形.∵E 是CD 的中点，3sin 6023BE BC =⋅=⨯= . 故选B.二、填空题13．【分析】过作于求解再求解证明由可得再求解从而可得答案【详解】解：过作于由故答案为：【点睛】本题考查的是勾股定理的应用等腰直角三角形的判定与性质锐角三角函数的应用利用待定系数法求解反比例函数的解析式掌解析：27.4【分析】过B 作BH OC ⊥于,H 求解2232,AC OA OC =+= 再求解32BC =证明,CH BH = 由cos ,CH BCH BC ∠=2,32= 再求解3,2CH = 339,3,222BH OH ==+= 从而可得答案．【详解】解：过B 作BH OC ⊥于,H90,BHC AOC ∴∠=︒=∠()()0,3,3,0,A B3,OA OC ∴==2232,AC OA OC ∴=+=2,AC BC =322BC ∴= 90,45,ACB ACO ∴∠=︒∠=︒45,BCH CBH ∠=︒=∠,CH BH ∴=由cos ,CH BCH BC∠= 2232=3,2CH ∴= 339,3,222BH OH ∴==+= 93,,22B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭3927.224k xy ∴==⨯=故答案为：27.4【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键．14．【分析】将沿BC 翻折180°得到然后通过轴对称的性质及等量代换得出从而得出然后利用勾股定理求出BC 的长度最后利用即可求解【详解】将沿BC 翻折180°得到根据轴对称的性质有∴点DCE 在同一条直线上故答解析：115 【分析】将BCD △沿BC 翻折180°得到BCE ，然后通过轴对称的性质及等量代换得出ABE AEB ∠=∠，从而得出AB AE =，然后利用勾股定理求出BC 的长度，最后利用即可求解．【详解】将BCD △沿BC 翻折180°得到BCE ，根据轴对称的性质有,BCD CBE BDC BEC ∠=∠∠=∠，90ACB ∠=︒，∴点D 、C 、E 在同一条直线上，90ABD CBD BAC ∠=︒-∠-∠．2BAC CBD ∠=∠，903ABD CBD ∴∠=︒-∠，290ABE ABD CBD CBD ∴∠=∠+∠=︒-∠．90BEC BDC CBD ∠=∠=︒-∠，ABE AEB ∴∠=∠，AB AE =∴．4AD CD =，6AB AE CD ∴==，BC ∴==，tan BC A AC ∴===，．【点睛】本题主要考查了三角函数，勾股定理和轴对称，关键是利用角之间的关系构造出等腰三角形．15．【分析】由点求得进而求得根据点在直线上可以求得点的坐标从而可以求得的值【详解】解：四边形是菱形是等边三角形点∴直线的解析式为直线的解析式为点在直线上点的坐标为点在反比例函数的图象上解得故答案为：【点解析：12-【分析】由点()2,2A，求得OA =OB =B 在直线:BD y x =-上，可以求得点B 的坐标，从而可以求得k 的值．【详解】解：四边形ABCD 是菱形，BA BC ∴=，AC BD ⊥，120BCD ∠=︒，60ABC ∴∠=︒，ABC 是等边三角形，点()2,2A ，∴OA =a tan t n 30OA OA BO ABO ∴====∠︒ 直线AC 的解析式为y x =，∴直线BD 的解析式为y x =-，2OB =B 在直线BD 上，∴点B的坐标为(-，点B 在反比例函数k y x=的图象上，∴=解得，12k =-，故答案为：12-．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．16．②④【分析】根据对称性求出C 点坐标进而得OA 与AB 的长度再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n 进而用待定系数法求得k 再利用相关性质即可判断【详解】解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C 的坐标为（1n ）解析：②④【分析】根据对称性求出C 点坐标，进而得OA 与AB 的长度，再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n ，进而用待定系数法求得k ，再利用相关性质即可判断．【详解】解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C'的坐标为（1，n ）（n≠1），∴C （n ，1），∴OA=n ，AC=1，∴AB=2AC=2，∵△OAB 的面积为4， ∴12n×2=4，解得，n=4，故①不正确；∴C （4，1），B （4，1），∴k=4×1=4，故②正确；解方程组4y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得：22x y =⎧⎨=⎩(负值已舍)， ∴直线y=x 反比例函数(0)k y x x=>的图象的交点为（2，2），观察图象，不等式k x x<的解集是02x <<，故③不正确； ∵B （4，1），∴OA=4，AB=2， ∴tan ABO 2OA AB∠==，故④正确；故答案为：②④．本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，正切函数等，关键是根据对称求得C 点坐标及由三角形的面积列出方程．17．【分析】根据题意和图形可以得到ACBC 和AB 的长然后根据等面积法可以求得CD 的长再利用勾股定理求得AD 的长从而可以得到cos ∠CAB 的值【详解】解：作CD ⊥AB 交AB 于点D 由图可得∵解得∴∴故答案为解析：25 【分析】根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，再利用勾股定理求得AD 的长，从而可以得到cos ∠CAB 的值．【详解】解：作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，由图可得，22221310,2,3332AC BC AB =+===+=∵322ABC AB CD BC S ∆⋅⨯==，解得，2CD =， ∴2222(10)(2)22AD AC CD =-=-= ∴2225cos 510CAB A A C D ∠===， 25．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18．1或3【分析】分两种情况：①当EM ⊥AC 时△EMN ∽△EAF ；②当EN ⊥AC 时△ENM ∽△EAF 分别进行求解即可【详解】①当EM ⊥AC 时△EMN ∽△EAF ∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC=2∠B=解析：1或3【分析】分两种情况：①当EM ⊥AC 时，△EMN ∽△EAF ；②当EN ⊥AC 时，△ENM ∽△EAF ，分别进行求解即可．【详解】①当EM ⊥AC 时，△EMN ∽△EAF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=2，∠B=90︒，∵∠CAB=30︒，∴∠AEM=60︒，∴∠AEF=30︒，∴AF=3·tan 3031AE ︒=⨯=， ②当EN ⊥AC 时，△ENM ∽△EAF ，可得AF=·tan 60333AE ︒=⨯=，故答案为：1或3．【点睛】本题考察翻折变换、矩形的性质及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识． 19．【分析】由锐角三角函数可求∠DEC=30°通过证明△ADE ∽△BDC 可得由勾股定理可求AE 的长即可求解【详解】解：如图连接BDAEDE ∵将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°并延长至其倍∴∠DCE=90°解析：258【分析】由锐角三角函数可求∠DEC=30°，通过证明△ADE ∽△BDC ，可得12BC DC AE DE ==，由勾股定理可求AE 的长，即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，AE ，DE ，∵将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°3∴∠DCE=90°，CE 3CD ，∴3.tan 3DC DEC EC ∠==， ∴∠DEC=30°，∴cos 2EC DEC DE ∠==1sin 2DC DEC DE ∠==，∵AD AB =，∴2AB AD =， ∴EC AB DE AD=，又∵∠DEC=∠DAB=30°，∴△DEC ∽△DAB ，∴∠ADB=∠EDC ，DC DE DB AD =， ∴∠ADE=∠BDC ，∴△ADE ∽△BDC ， ∴12BC DC AE DE ==，∵3AD AB =， ∴AB=9，又∵BF=3，∴AF=6，∴254AE ===， ∴12528BC AE ==，故答案为：258．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，证明△DEC ∽△DAB 是本题的关键．20．10【分析】过点D 作DE ⊥AC 于E 利用AAS 证出ABC ≌DAE 从而得出BC=AEAC=DE ∠BAC=∠ADE 根据锐角三角函数可得设BC=AE=x 则AC=DE=4x 从而求出CE 利用勾股定理列出方程即可解析：10【分析】过点D 作DE ⊥AC 于E ，利用AAS 证出ABC ≌DAE ，从而得出BC=AE ，AC=DE ，∠BAC=∠ADE ，根据锐角三角函数可得14BC AE AC DE ==，设BC=AE=x ，则AC=DE=4x ，从而求出CE ，利用勾股定理列出方程即可求出x 的值，从而求出BC 、AC 和DE ，再根据四边形ABCD 的面积=ABC ACD SS +即可求出结论．【详解】解：过点D 作DE ⊥AC 于E∴∠EAD ＋∠ADE=90°∵90BAD ∠=︒∴∠BAC ＋∠EAD=90°∴∠BAC=∠ADE∵∠BCA=∠AED=90°，AB AD = ∴ABC ≌DAE∴BC=AE ，AC=DE ，∠BAC=∠ADE ∴1tan tan 4BAC ADE ∠=∠=∴14BC AE AC DE == 设BC=AE=x ，则AC=DE=4x∴EC=AC －AE=3x在Rt CDE 中，CE 2＋DE 2=CD 2即（3x ）2＋（4x ）2=52解得：x=1或-1（不符合题意舍去）∴BC=1，AC=DE=4∴四边形ABCD 的面积=ABC ACD SS + =12BC·AC ＋12AC·DE =12×1×4＋12×4×4 =10故答案为：10．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理是解题关键．三、解答题21．（1）32；（2）1．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；【详解】（1）22cos 45tan 60tan 30cos60︒+︒︒-︒=212232⎛⎫⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭=131132=11=23222⨯+-+- ．（2）3tan 3045︒+︒+=332⨯+=)1+=412．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键；22．（1）17；（2）17【分析】（1）作EM AC ⊥于M ，根据sin EM EAM AE∠=求出EM 、AE 即可解决问题．（2）先证明GDC EDA ∆≅∆，得GCD EAD ∠=∠，推出AH GC ⊥，再根据1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，即可解决问题．【详解】解：（1）作EM AC ⊥于M ．四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，5AD DC ，45DCA ∠=︒，∴在RT ADE ∆中，90ADE ∠=︒，5AD =，3DE =，AE ∴=在RT EMC ∆中，90EMC ∠=︒，45ECM ∠=︒，2EC =，EM CM ∴=∴在RT AEM ∆中，217sin 34EM EAC AE ∠===．（2）在GDC ∆和EDA ∆中，DG DE GDC EDA DC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，GDC EDA ∴∆≅∆，GCD EAD ∴∠=∠，34GC AE =90DAE AED ∠+∠=︒，DEA CEH ∠=∠，90DCG HEC ∴∠+∠=︒，90EHC ∴∠=︒，AH GC ∴⊥，1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅， ∴11853422AH ⨯⨯=， 2034AH ∴=【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，添加常用辅助线是解决问题的关键，学会用面积法求线段，属于中考常考题型．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）CD ＝3【分析】（1）直接利用两角对应相等两三角形相似进而得出答案；（2）直接利用相似三角形的性质结合互余两角的关系得出∠DBE=∠EDC ，即可得出答案；（3）利用锐角三角函数关系得出∠ABD=∠DBE=30°，进而得出答案．【详解】解：（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠BAD ＝∠DBE ，又∵∠A ＝∠BDE ，∴△BAD ∽△BDE ，∴BABD ＝BDBE，∴BD2＝BA•BE；（2）证明：∵△BAD∽△BDE，∴∠ADB＝∠DEB，∵∠BDE＝90°，∴∠DBE+∠BED＝90°，∠ADB+∠EDC＝90°，∴∠DBE＝∠EDC，又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBD；（3）解：由（1）得：BD2＝BA•BE，∵AB＝6，BE＝8，∴BD2＝6×8＝48，∴BD＝43，∴cos∠ABD＝ABBD＝43＝3，∴∠ABD＝30°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∴∠C＝30°，∴∠C＝∠DBE，∴BD＝CD＝43．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．24．9米．【分析】过点B作CD的垂线，设垂足为F，再过点E作EG⊥BF，垂足为G，依题意分别求出线段BF、CF、DF、AG的长度，即可求得旗杆的高度AB．【详解】解：过点B作CD的垂线，设垂足为F，再过点E作EG⊥BF，垂足为G，如图，∵斜坡CB 长为65米，坡度为i ＝125，设BF=12x ，则CF=5x ，∴()()22212565x x +=，解得x=5，∴BF=60，CF=25，∵DC=115，∴EG=DF=115-25=90，在Rt AEG ∆中，39AEG ∠=︒，∴AG=tan39900.8172.9EG ︒≈⨯=，∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9，答：旗杆的高度AB 为24.9米．【点睛】本题考查了坡度的定义，锐角三角比的定义，勾股定理的应用，解题的关键是准确作出辅助线，构造直角三角形．25．852m【分析】过B 作BE ⊥CD 于点E ，过B 作BH ⊥AD 于点H ，通过证明四边形BEDH 是矩形，得到DE ＝BH ，BE ＝DH ，再根据三角函数的性质，分别计算得BE 、AH 的长，即可完成求解．【详解】如图，过B 作BE ⊥CD 于点E ，过B 作BH ⊥AD 于点H又∵CD AD ⊥∴//BH ED ，//EB DH ，90EDH ∠=︒∴四边形BEDH 是矩形，∴DE ＝BH ，BE ＝DH ，在Rt △BCE 中，∵BC＝600，∠CBE＝22°∴CE＝BC•sin22°＝600×0.37＝222m，BE＝BC•cos22°＝600×0.92＝552m∴DH＝BE＝552m∵CD＝612m，∴BH＝DE＝CD-CE＝612-222＝390m在Rt△ABH中，∵∠BAH＝53°∴tan53°＝BHAH∴AH3901.3=＝300m∴AD＝AH+DH＝300+552＝852m∴该数学小组行进的水平距离AD为852m．【点睛】本题考查了矩形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、三角函数的性质，从而完成求解．26．162 -+【分析】先利用特殊的三角函数值计算，再利用二次根式的混合运算法则计算得出结果．【详解】解：原式1()22=--1322=-+12=+．【点睛】本题考查了特殊的三角函数值及二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．。

鲁教版(五四学制)九年级数学上册《第二章直角三角形的边角关系》单元测试卷及答案

鲁教版（五四学制）九年级数学上册《第二章直角三角形的边角关系》单元测试卷及答案一、单选题1．已知α，β是△ABC 的两个角，且sinα，tanβ是方程2x 2﹣3x+1=0的两根，则△ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形或钝角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形2．若△A ，△B 都是锐角，且tanA=1，sinB=22，则△ABC 不可能是（ ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．锐角三角形D ．直角三角形3．如果小丽在楼上点A 处看到楼下点B 处小明的俯角是35°，那么点B 处小明看点A 处小丽的仰角是（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°4．如图，在正方形网格中，已知ΔABC 的三个顶点均在格点上，则ACB ∠的正切值为（）A ．2B 25C 5D ．125．春节期间，小澎陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下A 处沿坡前行，到达C 处时，发现C 处标语牌上写着“恭喜你已上升50米”，若此山坡的坡度1:2.4i =，爱思考的小澎很快告诉妈妈：“我们至少走坡路（）米了”．A ．50B ．120C ．130D ．1706．如图，点A 、B 、C 、D 在O 上，OA BC ⊥于点E ．若30ADC ∠=︒，AE=2，则BC 的长为（）A ．3B ．3C ．8D ．47．如图，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的点AE BC DF AE =⊥， 21BE EC ==，垂足为F 下列结论：①ADF EAB ≌；②AF EB =；③DF 平分ADC ∠；④2.3sin CDF ∠=其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在△ABC 中，△C=90°，△B=43°，BC=8，若用科学计算器求AC 的长，则下列按键顺序正确的是（）A ．B ．C ．D ．9．在Rt△ABC 中，△C=90°，若cosA=53，则tanB=（） A ．52B ．255 C ．53D ．5310．如图，在正方形ABCD 中，AB=4，E 为对角线AC 上与A ，C 不重合的一个动点，过点E 作EF AB⊥于点F ，EG BC ⊥于点G ，连接,DE FG ．下列结论：①DE FG =；②DE FG ⊥；③BFG ADE ∠=∠；④FG 的最小值为3．其中正确结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在菱形ABCD 中，过顶点D 作DE AB ⊥，DF BC ⊥ 垂足分别为E ，F ，连接EF ，若2cos 3A =，BEF 的面积为2，则菱形ABCD 的面积为（）A ．18B ．24C ．30D ．3612．如图，矩形纸片ABCD ，AB=4，BC=3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP=OF ，则cos△ADF 的值为（）A ．1113 B ．1315C ．1517D ．1719二、填空题13．计算：sin30°-tan45°+3cos30°= .14．如图，在Rt ABC 90B ∠=︒ D 为AB 边上的一点，将BCD 沿CD 翻折，得到B CD '．连接AB AB BC ''，，若18tan 2AB DCB =∠='，，则B '到AC 边上的距离为．15．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD ，AE 、DF 为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α=45°，坡长AB= 62 米，背水坡CD 的坡度i=1： 3（i 为DF 与FC 的比值），则背水坡CD 的坡长为米．16．用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt ABC 中90ACB ∠=︒ 30B ∠=︒ AC=2．第一步，在AB 边上找一点D （不与点A ，B 重合），将纸片沿CD 折叠，点A 落在A '处，如图2；第二步，将纸片沿CA '折叠，点D 落在D '处，如图3．当点D '恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段A D ''的长为．17．如图，在 Rt ABC 中90B ∠=︒ ， AB=2 ， BC=1 .将 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90︒ 得到 ''AB C ，连接 'B C ，则 tan 'ACB ∠= .三、解答题18．如图，在Rt ABC 中90C ∠=︒，AB=13，BC=12，求tan B 的值．19．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜面坡度3:4i =是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比．已知斜坡CD 长度为20米 18C ∠=︒，求斜坡AB 的长．（结果精确到米）（参考数据：sin180.31,cos180.95,tan180.32︒≈︒≈︒≈）20．如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距39米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°.求楼CD 的高（结果保留根号）.21．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，2AD =cm ，E ，F 分别是CD 和AB 的中点，现将这张纸片折叠，使点B 落在EF 上的点G 处，折痕为AH ，若HG 的延长线恰好经过点D ．（1）求BAH ∠的度数．（2）设DH 与AC 交于点M ，求sin GAM ∠的值．22．如图1和图2，已知在四边形ABCD 中，AB=8 211BC =，CD=12，DA=6，90A ∠=︒点M 在AD边上，且2DM =，将线段MA 绕点M 顺时针旋转()0180n n ︒<≤到MA '，A MA ∠'的平分线MP 所在直线交折线AB BC-于点P（不与点A重合），设点P在该折线上运动的路径长为x，连接A P'，连接BD．（1）求CBD∠的度数（2）当180n=︒时，请求出x的值（3）若点P到BD的距离为2，求cot A MP∠'的值（4）当点P在边AB上运动时，设点A'到直线AB距离为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域参考答案与解析1．【答案】B【解析】【解答】解：由2x2﹣3x+1=0得：（2x﹣1）（x﹣1）=0，∴x= 12或x=1．∴sinα＞0，tanβ＞0若sinα= 12，tanβ=1，则α=30°，β=45°，γ=180°﹣30°﹣45°=105°∴△ABC为钝角三角形．若sinα=1，tanβ= 12，则α=90°，β＜90°，△ABC为直角三角形．故答案为：B．【分析】先利用因式分解法求出方程2x2﹣3x+1=0的两个根，根据正弦函数及正切函数的性质可知：sinα＞0，tanβ＞0，然后分类讨论：①若sinα= 12，tanβ=1，②若sinα=1，tanβ=12分别根据特殊锐角三角函数值，求出α，β 的度数，再根据三角形的内角和和求出第三个内角的度数，根据三角形中最大内角的度数即可判断出该三角形是什么三角形。

北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)测试卷含答案)

第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分）1．如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是（）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．tan45°的值等于（）A ．2BC ．-1D ．13．如图，∠α的顶点为O ，一边在x 轴的正半轴上，另一边上有一点P （3，4），则sin α＝（）A ．B ．C ．D ．4．已知中，，CD 是AB 上的高，则=（）A ．B ．C ．D ．5．Rt ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列关系式错误的是（）A ．b=c·cosB B ．b=a·tan BC ．a=c·sin AD ．a=c·cos B6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据淄博市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知，冬至时淄博市的正午日光入射角约为°，则立柱高约为（）O AB 43344535ABC ∆90C ∠=︒CD BD sin A cos A tan A cot AAC BC a ABC ∠26.5ACA ．B ．C ．D．7．已知在中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则∠B 的余弦值为（）A ．B ．C ．D．8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠，则∠2的度数为（）A ．120°B．135°C ．145°D ．150°9．如图，在中，，于，下列结论错误的有（）个①图中有两对相似三角形；②；③；④若，，则.A ．0B ．lC ．2D ．310．如图，在菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折，sin 26.5a ︒cos 26.5a ︒tan 26.5a ︒tan 26.5a︒Rt ABC 1213513512125Rt ABC ∆90BCA ∠=︒CD AB ⊥D sin AD B AC =BC AC AB CD ⋅=⋅BC =8AD =4CD =ABCD 45B ∠= AE BC ABE ∆AE得到，若，则菱形的边长为（）AB ．C ．D11．如图，在□ABC D 中，AB=6，∠B=75°，将△ABC 沿AC 边折叠得到△AB ′C ，B ′C 交AD 于E ，∠B′AE=45°，则点A 到B ′C 的距离为（）A ．B ．CD 12．如图，平面直角坐标系中，，，将绕顶点顺时针旋转一定角度到处，此时线段与的交点为的中点，则点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．13．如图，把三角形纸片折叠，使的对应点在上，点的对应点在上，折痕分别为，，若，，，则的长为（）AB E '∆1C B '=-21()0,2A ()B AOB O COD △CD BO E BO D )3-2⎫-⎪⎭ABC C E AB B D BC AD FG 30CAB ∠=︒135C ∠=︒DF =EFABC．3D．14．如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市的北偏东方向，测绘员由处沿主输气管道步行1000米到达点处，测得小区位于点的北偏西方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点，使点到该小区铺设的管道最短，此时铺设的管道的最短距离约是（）．）A．366米B．650米C．634米D．700米二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．在方格纸中的位置如图所示，则的值是________．16．某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是_________．17．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin A+cos A＝_____．18．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF ＝3，则tan＝_____．3+A60︒AM A30°AC M C75︒NN1.414≈ 1.732≈α∠tanα43B'C'AC'B AC''∠三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．计算：.20．如图，在△ABC 中（1）作图，作BC 边的垂直平分线分别交于AC ，BC 于点D ，E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，连接BD ，若BD ＝9，BC ＝12，求∠C的余弦值．22sin 454cos 30︒-︒)0tan 603tan 45--︒+︒21．如图，中，，的平分线交于D ，交的延长线于点E ，交于点F ．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．22．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：∠OBC=73.14°ABCAB AC =B ÐAC //AE BC BD AF AB ⊥BE 40BAC ∠=︒AFE ∠2AD DC ==AF探测最小角：∠OAC=30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）23．某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1,斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°(示意图2)．工作时如图3，动臂BC 会绕点B 转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D 升至最高点(示意图4)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC 的度数．(2)问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?（考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）1.7324．阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC 中，如果∠C=90°，∠=30°，BC ═a=1，，AB=c=2，那么==2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着==的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在R △ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，AB=C ，请判断此时“==”的关系是否成立？答：（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，请判断此时“ ==”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C 作CD ⊥AB 于D ，过点A 作AH ⊥BC ，再结合定义或其它方法证明）．sin a A sin b Bsin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C25．如图1，草原上有A，B，C三个互通公路的奶牛养殖基地，B与C之间距离为100千米，C 在B的正北方，A在C的南偏东60°方向且在B的北偏东30°方向．A地每年产奶3万吨；B 地有奶牛9000头，平均每头牛的年产奶量为3吨；C地养了三种奶牛，其中黑白花牛的头数占20%，三河牛的头数占35%，其他情况反映在图(2)，图(3)中．（1）通过计算补全图(3)；（2）比较B地与C地中，哪一地平均每头牛的年产奶量更高？（3）如果从B，C两地中选择一处建设一座工厂解决三个基地的牛奶加工问题，当运送一吨牛奶每千米的费用都为1元，那么从节省运费的角度考虑，应在何处建设工厂？26．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．（1）如图1，若点E 为线段BC 的中点，延长AB '交CD 于点M ，求证：AM ＝FM ；（2）如图2，若点B '恰好落在对角线AC上，求的值；（3）若＝，求∠DAB '的正弦值．BE CE BE CE 32答案一、选择题1．B ．2．D ．3．C ．4．D ．5．A ．6．C.7．B.8．B9．B ．10．C ．11．C ．12．B ．13．A ．14．A二、填空题15．16．17．.18．三、解答题19．原式.20．解：（1）如图所示，直线DE 即为所求；（2）∵DE 是BC 的垂直平分线，∴EC＝BC ＝6，BD ＝CD ＝9，∴cos ∠C ＝＝＝．21．（1）；（2）25127514224=⨯131-+⨯3131=--+=12EC DC 6923125AFE ∠=︒AF =【解析】（1）∵，，∴．∵平分，∴， ∵，∴，∴．（2）∵，∴，又，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，在中，22．根据题意可知：OC ⊥AC ，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m ，∴AC=AB+BC=4+BC ，AB AC =40BAC ∠=︒18040702ABC ︒︒︒-∠==BD ABC ∠170352ABD DBC ︒︒∠=∠=⨯=AF AB ⊥90BAF ∠=︒9035125AFE BAF ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒//AE BC E DBC ∠=∠ADE CDB ∠=∠AD CD=ADE CDB ≌AE CB =,E DBC ABD DBC∠=∠∠=∠E ABD ∠=∠AB AE =AB CB AC ==ABC 60ABC ∠=︒30ABD ∠=︒2AD DC ==4AB =Rt ABF tan 304AF AB ︒=⋅==∴在Rt △OBC 中，BC=，在Rt △OAC 中，OC=AC •tan ∠OAC ≈(4+BC)×0.6，∴OC=0.6(4+)，解得OC ≈2.9（m ）．答：该设备的安装高度OC 约为2.9m ．23．（1）如图2-1，过点C 作于点G.，，，，，，所以动臂BC 与AB 的夹角为为.（2）如图2-2，过点C 作于点P ，过点B 作于点Q 交CG 于点N.在中，（米）.在中，（米）.（米）.tan OBC 3.3OC OC ∠≈⨯ 3.3OC CG AM ⊥AB AM ⊥ DE AM ⊥////AB DECG ∴180110DCG CDE ︒︒∴∠=-∠=30BCG BCD DCG ︒∴∠=∠-∠=180150ABC BCG ︒︒∴∠=-∠=ABC ∠150︒CP DF ⊥BQ DF ⊥Rt CPD cos 700.51DP CD ︒=⨯=Rt BCN sin 60 1.04CN BC ︒=⨯≈ 2.35DE DP PQ QE DP CN AB ∴=++=++≈如图4，过点D 作于点H ，过点C 作点K.在中，（米）.（米）（米）.所以斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了约0.8米.24．（1）∵=c ， =c ， =c ，∴“==”成立，故答案为成立．（2）作CD ⊥AB 于D ．∵在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=，sinB=，∴=，=，∴=，同理，作AH ⊥BC 于H ，可证=，DH AM ⊥CK DH ⊥Rt KD C sin 50 1.16DK CD ︒=⨯≈3.16DH DK KH ∴=+≈0.8DH DE ∴-≈sin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Cb CD aCD sin a A ab CD sin b B ab CD sin a A sin b Bsin b B sin c C∴==．25．解：（1）由图3可知黑白花牛2000头，占20%，则C 地养牛的总头数是：2000÷20%=10000所以三河牛的头数为：10000-2000-4500=3500条形高度在3500左右（2）C 地每种牛所占比例为：三河牛3500÷10000=35%，草原红牛4500÷10000=45%C 地每头牛的年平均产奶量为：6×20%+4×35%+3×45%=3.95（吨）而B 地每头牛的年平均产奶量为3吨；所以C 地每头牛的年平均产奶量比B 地的高；（3）由题意：C 地每年产奶量为10000×3.95＝3.95万吨，B 地每年产奶量为9000×3＝2.7万吨，A 地每年产奶量为3万吨．由题意，∠CBA ＝60°，∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，∵BC ＝100（千米），∴AB ＝100×sin60°≈86.6（千米），∴AC ＝100×sin30°＝50（千米），如果在B 地建厂，则每年需运费W 1＝86.6×3×1＋100×3.95×1＝654.8（万元）如果在C 地建厂，则每年需运费W 2＝50×3×1＋100×2.7×1＝420（万元）而654.8＞420．答：从节省运费的角度考虑，应在C 地建设工厂．sin a A sin b B sin c C26．（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠F ＝∠BAF ，由折叠可知：∠BAF ＝∠MAF ，∴∠F ＝∠MAF ，∴AM ＝FM ．（2）解：由（1）可知△ACF 是等腰三角形，AC ＝CF ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC＝10，∴CF ＝AC ＝10，∵AB ∥CF ，∴△ABE ∽△FCE ，∴；（3）①当点E 在线段BC 上时，如图3，AB '的延长线交CD 于点M ，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即∴CF ＝4，由（1）可知AM ＝FM ．设DM ＝x ，则MC ＝6﹣x ，则AM ＝FM ＝10﹣x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（10﹣x ）2＝82+x 2，解得：x ＝，=63105BE AB CE CF ===32AB BE CF CE ==632CF =95则AM ＝10﹣x ＝10﹣＝，∴sin ∠DAB '＝＝．②当点E 在BC 的延长线上时，如图4，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即，∴CF ＝4，则DF ＝6﹣4＝2，设DM ＝x ，则AM ＝FM ＝2+x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（2+x ）2＝82+x 2，解得：x ＝15，则AM ＝2+x ＝17，∴sin ∠DAB '＝．综上所述：当时，∠DAB '的正弦值为或。

2021-2022学年北师大版九年级数学《第1章直角三角形的边角关系》单元综合达标测试(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第1章直角三角形的边角关系》单元综合达标测试（附答案）一．选择题（共6小题，满分30分）1．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2，则tan B的值为（）A．B．C．D．2．在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠A＝30°，则AB的长为（）A．B．2C．或4D．2或43．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD 的正切值是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则BC的长度为（）A．2B．8C．D．5．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan ∠CPN为（）A．1B．2C．D．6．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度i＝1：1，则两个坡角的和为（）A．90°B．60°C．75°D．105°二．填空题（共10小题，满分50分）7．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．8．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB ＝5：7，则∠BAD的余弦值为．9．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于．10．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）11．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝．12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．13．如图，一架长为10米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC 的长度约为米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）14．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为米．（参考数据：sin20°≈0.34）15．如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD＝BE＝15cm，深DE＝30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为A，斜坡的起点为C，若斜坡CB的坡度i＝1：9，则AC的长为cm．16．如图，一幢居民楼OC临近坡AP，山坡AP的坡度为i＝1：（tanα＝），小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走6米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，则该居民楼的高度为（结果保留根号）．三．解答题（共5小题，满分40分）17．已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，CD＝，解这个直角三角形．18．如图，△ABC中，∠A＝30°，AC＝2，tan B＝，求AB的长．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cos A＝．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．20．如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O．（1）补全图形，求∠AOB的度数并说明理由；（2）若AB＝5，cos∠ABD＝，求BD的长．21．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．①请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？并说明理由．②如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）参考答案一．选择题（共6小题，满分30分）1．解：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，又∠B+∠BAD＝90°，∴∠CAD＝∠B，∴tan∠B＝，tan∠CAD＝，∴＝，即AD2＝BD•CD＝3×2＝6．∴AD＝．故tan∠B＝＝．故选：D．2．解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，当B2C＝2时，∵∠A＝30°，∠ADC＝90°，AC＝2，∴CD＝，∴AD＝＝3，B2D＝＝1，∴AB2＝3﹣1＝2，同理可得，AB1＝3+1＝4，即AB的长为2或4，故选：D．3．解：∵CD是AB边上的中线，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴tan∠A＝，∴tan∠ACD的值．故选：D．4．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∴tan A＝＝＝，∴BC＝2．故选：A．5．解：连接格点MN、DM，如图所示：则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，故选：B．6．解：如图所示，∵ED：AE＝1：，∴∠A＝30°．∵CF：BF＝1：1，∴∠B＝45°．∴∠A+∠B＝30°+45°＝75°．故选：C．二．填空题（共10小题，满分50分）7．解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，∵BC＝，BD＝，∴sin∠ACB＝，故答案为．8．解：如图作AH⊥BC于H，DE⊥AB于E，设AC＝CD＝5k，BC＝7k，∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，∴AH＝BH，设AH＝BH＝x，在Rt△ACH中，∵AH2+HC2＝AC2，∴x2+（7k﹣x）2＝（5k）2，解得x＝3k或4k（舍弃与钝角三角形矛盾），当x＝3k时，∴BH＝AH＝3k，DH＝k，AD＝k，DE＝BE＝k，AE＝2k，∴cos∠BAD＝＝＝，故答案为．9．解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝AB sin B＝5，BD＝AB cos B＝5，在Rt△ACD中，∵AC＝2，∴CD＝＝＝，则BC＝BD+CD＝6，∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×5＝15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD＝5，CD＝，则BC＝BD﹣CD＝4，∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×5＝10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．10．解：在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，在Rt△ADE中，可表示tan∠DAE＝＝＝1，∵tan∠BAC＜tan∠DAE，∴∠BAC＜∠DAE，故答案为：＜．11．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，∴＝，∵AB＝2，∴AC＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10，∴cos∠ADC＝＝．故答案为：．12．解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．13．解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝10m，∴sin70°＝，解得：AO＝9.4（m），∵∠CDO＝50°，DC＝10m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝7.7（m），则AC＝9.4﹣7.7＝1.70（m），答：AC的长度约为1.70米．故答案为：1.70．14．解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，在Rt△ABE中，∵sinα＝，∴AE＝AB×sin20°≈68米，在Rt△BCG中，∵sinβ＝，∴BG＝BC×sin45°≈142米，∴他下降的高度为：AE+BG＝210米，故答案为：21015．解：过B作BF⊥AC，由题可知BF＝30cm，AF＝30cm．∵tan∠BCA＝＝，∴CF＝270cm，∴AC＝CF﹣AF＝270﹣30＝240（cm）．故答案为：240．16．解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，∵山坡AP的坡度为i＝1：＝tanα＝＝，AP＝6米，∴α＝30°，∵PE⊥OB，∴PE＝AP＝3（米），AE＝PE＝3（米），∵PF⊥OC，∠CPF＝45°，∴△PCF是等腰直角三角形，∴CF＝PF，设CF＝PF＝m米，则OC＝（m+3）米，OA＝（m﹣3）米．在Rt△AOC中，∠OAC＝60°，∴∠ACO＝30°，∴OC＝OA，即m+3＝（m﹣3），解得：m＝6+6，∴OC＝6+6+3＝（6+9）米，即该居民楼的高度为（6+9）米，故答案为：（6+9）米．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解：∵∠C＝90°，∠A＝60°．∴∠B＝30°．又CD⊥AB于D．∴BC＝2CD＝2．，∴BD＝＝＝3．在直角三角形ACD中，∠A＝60°，CD＝∴AD＝＝＝1，AC＝2AD＝2，∴AB＝BD+AD＝4．18．解：过C点作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACD中，∵sin A＝，cos A＝，即sin30°＝，cos30°＝，∴CD＝×2＝，AD＝×2＝3，在Rt△BCD中，∵tan B＝，∴BD＝＝2，∴AB＝AD+BD＝3+2＝5．19．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cos A＝，∴AD＝＝10，∴＝＝8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD＝DE＝8；（2）由（1）AD＝10，DC＝8，∴AC＝AD+DC＝18，在△ADE与△ABC中，∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴，即＝，∴BC＝24，∴．20．解：（1）补全的图形，如图所示，可得出∠AOB＝90°，理由如下：证明：由题意可知BC＝AB，DC＝AB，∵在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴BC＝DC＝AD＝AB，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OB＝OD．在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AB＝5，cos∠ABD＝，∴OB＝AB•cos∠ABD＝3，∴BD＝2OB＝6．21．解：（1）过点P作PD⊥AB于点D．依题意可知，P A＝100海里，∠APD＝90°﹣30°＝60°，∠BPD＝45°．∴∠A＝90°﹣60°＝30°．∴PD＝P A＝50（海里），在Rt△PBD中，∠BPD＝45°，∴△PBD是等腰直角三角形，∴PB＝PD＝50（海里）≈70.7（海里）．答：B处距离灯塔P约70.7海里．（2）①海轮到达B处没有触礁的危险，理由如下：依题意知：OP＝150海里，PB＝50海里，∴OB＝OP﹣PB＝（150﹣50）海里≈79.3海里＞60海里，∴海轮到达B处没有触礁的危险．②过点O作OE⊥AB与E，交AB延长线于点E，则∠OEB＝90°，∵∠OBE＝∠PBD＝45°，∴OE＝OB sin∠OBE＝（150﹣50）×＝75﹣50≈56.07＜60，∴海轮从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险．。

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系测试题 (含答案)

直角三角形的边角关系测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图第12题图第13题图第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)．答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)．答：乙船每小时航行203海里.。

第一章《直角三角形的边角关系》单元测试题(含答案)

第一章直角三角形的边角关系一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，那么sin A 的值为( )A.12B.22C.32 D ．1 2．在△ABC 中，∠C ，∠B 为锐角，且满足⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，则∠A 的度数为( )A ．100°B ．105°C ．90°D ．60°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，cos A ＝14，则AC 等于( )A ．45B ．5 C.15 D.1454．在Rt △ABC 中，如果边长都扩大为原来的5倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值( )A ．都没有变化B ．都扩大为原来的5倍C ．都缩小为原来的15D ．不能确定5．如图1－Z －1，过点C (－2，5)的直线AB 与坐标轴分别交于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB 的值为( )图1－Z －1A.25B.23C.52D.326．如图1－Z －2①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长度相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿AB 的长应设计为(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin50°＝cos40°≈0.77，sin40°＝cos50°≈0.64，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19)( )图1－Z －2A ．38.1 cmB ．49.8 cmC ．41.6 cmD ．45.3 cm 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝14，则tan B ＝________．8．如图1－Z －3，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝________．图1－Z －39．如图1－Z －4，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．图1－Z －410．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图1－Z －5，在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为________米．图1－Z －511．已知△ABC 中，tan B ＝23，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足为D ，且满足BD ∶CD ＝2∶1，则△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，共56分) 12．(8分)计算：24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°.13．(10分)如图1－Z －6，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43.求：(1)BD 的长； (2)sin B 的值．图1－Z －614．(12分)某大坝修建有以下方案：大坝的横断面为等腰梯形，如图1－Z －7，AD ∥BC ，坝高10米，迎水坡面AB 的坡度i ＝53，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度i ＝56.(1)求原方案中此大坝迎水坡AB 的长(结果保留根号)；(2)如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7米，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米．图1－Z －715．(12分)“和谐号”高铁列车的小桌板收起时可近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平，其示意图如图1－Z －8所示．连接OA ，此时OA ＝75 cm ，CB ⊥AO ，∠AOB ＝∠ACB ＝37°，且桌面宽OB 与BC 的长度之和等于OA 的长度．求支架BC 的长度(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)．图1－Z －816．(14分)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)．如图1－Z －9①，在△ABC 中，AB ＝AC ，底角∠B 的邻对记作can B ，这时can B ＝底边腰＝BCAB .容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝________；(2)如图②，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，can B ＝85，S △ABC ＝24，求△ABC 的周长．图1－Z －9详解详析1．[解析] A ∵∠C ＝90°，AB ＝2BC ，∴sin A ＝BC AB ＝12.故选A.2．[解析] B ∵⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，∴sin C －22＝0，32－cos B ＝0，则sin C ＝22，cos B ＝32，故∠C ＝45°，∠B ＝30°，∴∠A ＝180°－45°－30°＝105°.故选B. 3．[答案] B4．[解析] A 三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变． 5．[解析] B 方法1：设直线AB 的表达式是y ＝kx ＋b .根据题意，得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝5，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝2，则直线AB 的表达式是y ＝－32x ＋2.在y ＝－32x ＋2中令y ＝0，解得x ＝43.则点B 的坐标是(43，0)，即OB ＝43.则tan ∠OAB ＝OB OA ＝432＝23.故选B.方法2：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∵C (－2，5)， ∴CD ＝2，OD ＝5.∵A (0，2)，∴OA ＝2， ∴AD ＝OD －OA ＝3.在Rt △ACD 中，tan ∠OAB ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝23.故选B.6．[解析] C 连接BD ，由题意得OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵∠DOB ＝100°，∴∠DAO ＝∠ADO ＝50°，∠OBD ＝∠ODB ＝40°，∴∠ADB ＝90°.又∵BD ＝32 cm ，∴AB ＝BD sin ∠DAO ≈320.77≈41.6(cm)．故选C. 7．[答案] 158．[答案] 12[解析] 过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，如图，在Rt △AOD 中，AD ＝1，OD ＝2，则tan ∠AOB ＝AD OD ＝12. 9．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，垂足是E ，∴△AED 为直角三角形，则sin A ＝DE AD ，即35＝6AD ，∴AD ＝10，∴菱形ABCD 的周长为10×4＝40.10．[答案] 9[解析] 过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，由题意可知，四边形ACDE 为矩形，则AE ＝CD ＝6米，AC ＝DE .设BE ＝x 米．在Rt △BDE 中，∵∠BED ＝90°，∠BDE ＝30°，∴DE ＝3BE ＝3x 米，∴AC ＝DE ＝3x 米．在Rt △ABC 中， ∵∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°， ∴AB ＝3AC ＝3×3x ＝3x (米)． ∵AB －BE ＝AE ，∴3x －x ＝6， ∴x ＝3，∴AB ＝3×3＝9(米)，即旗杆AB 的高度为9米． 11．[答案] 8或24[解析] △ABC 有两种情况：(1)如图①所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD＝23BD ＝83，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×83＝8；(2)如图②所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝12.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD ＝23BD ＝8，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×8＝24.综上所述，△ABC 的面积为8或24.12．解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32 ＝14＋34－36＋ 3 ＝1＋5 36.13．[解析] (1)根据在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43，可以求得AD 的长，从而可以求得BD 的长；(2)由(1)中BD 的长和题目中CD 的长可以求得BC 的长，从而可以求得sin B 的值．解：(1)∵在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝8，tan A ＝43，∴tan A ＝CD AD ＝43，解得AD ＝6，∴BD ＝AB －AD ＝22－6＝16.(2)由(1)知BD ＝16，∵CD ⊥AB ，CD ＝8， ∴BC ＝CD 2＋BD 2＝82＋162＝8 5，∴sin B ＝CD BC ＝88 5＝55.14．[解析] (1)过点B 作BF ⊥AD 于点F ，在直角三角形ABF 中求得AF ，AB 的长； (2)过点E 作EG ⊥AD 于点G ，延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN . 由S △ABE ＝S 梯形CMND 从而求得DN 的长．解：(1)如图，过点B 作BF ⊥AD 于点F . 在Rt △ABF 中，∵i ＝BF AF ＝53，且BF ＝10米，∴AF ＝6米，∴AB ＝102＋62＝2 34(米)．答：原方案中此大坝迎水坡AB 的长为2 34米． (2)如图，过点E 作EG ⊥AD 于点G . 在Rt △AEG 中，∵i ＝EG AG ＝56，且EG ＝BF ＝10米，易得AG ＝12米，BE ＝GF ＝AG －AF ＝6米．延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN .∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变， ∴S △ABE ＝S 梯形CMND ， ∴12·BE ·EG ＝12(MC ＋ND )·EG ，即BE ＝MC ＋ND ，∴ND ＝BE －MC ＝6－2.7＝3.3(米). 答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3米．15．解：延长CB 交AO 于点D ，∴CD ⊥OA . 设BC ＝x cm ，则OB ＝(75－x )cm. 在Rt △OBD 中，∵∠DOB ＝37°， ∴OD ＝OB ·cos ∠DOB ≈0.8(75－x )＝(60－0.8x )cm ，BD ＝OB ·sin ∠DOB ≈0.6(75－x )＝(45－0.6x )cm ，∴DC ＝BD ＋BC ≈(0.4＋45x )cm.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝37°，∴AD ＝DC ·tan ∠ACD ≈0.75(0.4x ＋45)＝(0.3x ＋33.75)cm. ∵OA ＝AD ＋OD ＝75 cm ，∴0.3x ＋33.75＋60－0.8x ＝75，解得x ≈37.5， ∴BC ≈37.5 cm ，故支架BC 的长度约为37.5 cm. 16．解：(1) 3(2)过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵can B ＝85，可设BC ＝8x ，AB ＝5x ，则BE ＝12BC ＝4x ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝3x .∵S △ABC ＝24， ∴12BC ·AE ＝12x 2＝24，解得x ＝2(负值已舍去)，故AB ＝AC ＝5 2，BC ＝8 2， ∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝5 2＋5 2＋8 2＝18 2.。

(好题)初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若5sin 13A =，则cos A 的值为（） A ．512 B ．813 C ．1312 D ．12132．如图，传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1∶2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A ．5米B ．5米C ．25米D ．45米 3．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC=2BF ，连接AE ，EF ．若AB=2，AD=3，则cos ∠AEF 的值是（）A ．12B ．1C ．22D ．324．在Rt ABC 中，∠C ＝90º，下列关系式中错误的是（）A ．BC ＝AB•sinAB ．BC ＝AC•tanA C ．AC ＝BC•tanBD ．AC ＝AB•cosB 5．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，8BC =，D ，E 分别为边AB ，BC 上一点，且满足:1:3AD DB =．连接DE ，将ADBE 沿DE 翻折，点B 的对应点F 恰好落在边AC 上，则CF 的长度为（）A ．1952055B ．275C ．52055D ．3156．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（）A ．55B ．2C ．32D ．127．如图，直线123////l l l ，ABC 的三个顶点分别落在123,,l l l 上，AC 交2l 于点D ，设1l 与2l 的距离为12,h l 与3l 的距离为2h ．若12,:1:2AB BC h h ==，则下列说法正确的是（）A ．:2:3ABD ABC S S =B ．:1:2ABD ABC S S =△△C ．sin :sin 2:3ABD DBC ∠∠=D ．sin :sin 1:2ABD DBC ∠∠= 8．在ABC 中，90,13,12C AB BC ∠=︒==，则sin B 的值为（）A ．1213B ．512 C ．513 D ．1359．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则tan A 的值为（） A ．35 B ．45 C ．34 D ．4310．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE CF =；②75AEB ∠=︒；③BE DF EF +=；④正方形对角线：13AC =+，其中正确的序号是（）A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④ 11．如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（） A ．(4，23)B ．(23，4)C ．（3，3）D ．（23＋2，2） 12．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A B C D 、、、都在这些小正方形的顶点上，AB CD 、相交于点P ，则tan APD ∠=（）．A ．5B ．3C ．10D ．2二、填空题13．如图，测角仪CD 竖直放在距建筑物AB 底部8m 的位置，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为50°．若测角仪CD 的高度是1.5m ，则建筑物AB 的高度约为_____m ．（结果精确到个位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）14．如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，2AB =，1BC =．将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到''AB C ，连接'B C ，则tan 'ACB ∠=__________．15．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 是AC 边上的中线，则tan ADB ∠的值是______．16．如图，点P (m ，1)是反比例函数3y x=图象上的一点，PT ⊥x 轴于点T ，把△PTO 沿直线OP 翻折得到△PT O '，则点T '的坐标为_______________．17．ABC ∆中，67.5A ，8BC =，BE AC ⊥交AC 于E ，CF AB ⊥交AB 于F ，点D 是BC 的中点．以点F 为原点，FD 所在的直线为x 轴构造平面直角坐标系，则点E 的横坐标为________．18．如图，四边形ABCD 中，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，∠ABC=120°，点E 是对角线BD 上的一个动点，过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，连结FG 和HI ，则FG+HI 的最小值为________．19．如图所示，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，2AB =，8CD =．连接AC ，AC CD ⊥，若1sin 3ACB ∠=，则AD 长度是_________．20．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4BC =则cos B =______．三、解答题21．计算：20210＋|﹣3|﹣2sin60°．22．如图，根据道路管理规定，在某笔直的大道AB 上行驶的车辆，限速60千米/时，已知测速站点M 距大道AB 的距离MN 为30米，现有一辆汽车从A 向B 方向匀速行驶，测得此车从A 点行驶到B 点所用时间为6秒，已知60AMN ∠=︒，45BMN ∠=︒．（参考数据：3 1.732≈，2 1.414≈）（1）计算AB 的长度（结果保留整数）；（2）试判断此车是否超速，并说明理由．23．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC 是可伸缩的（10m 20m AC ），且起重臂AC 可绕点A 在一定范围内转动，张角为()90150CAE CAE ∠∠︒︒，转动点A 距离地面BD 的高度AE 为3.5m ．（1）当起重臂AC 长度为12m ，张角CAE ∠为120︒时，求云梯消防车最高点C 距离地面的高度CF ；（2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m ，请问该消防车能否实3 1.732≈）24．如图在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数()0m y m x=≠的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为()6,n ．线段5OA =，E 为x 轴上一点，且4sin 5AOE ∠=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB的面积；25．（1）解方程：22360x x--=（2）计算：12cos301tan602sin30︒--︒+︒26．为了方便市民出行，县政府决定从“七星广场”河堤到对岸修建一座便民桥．为测量河的宽度，在河的对岸取一点A，在广场河边取两点,O B测得点A在点O的北偏东60︒方向，测得点A在点B北偏东45︒方向，量得OB长为50米，求河的宽度AC（结果保留根号）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由三角函数的定义可知sinBCAAB=，可设BC=5k，AB=13k由勾股定理可求得12AC k=，再利用余弦的定义代入计算即可．【详解】解：如图:在Rt ABC 中，sin BC A AB =，可设BC=5k ，AB=13k ．由勾股定理可求得()()222213512AC AB BC k k k =-=-=．所以，1212cos =1313AC k A AB k ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．2．C解析：C【分析】作BC ⊥底面于点C ，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可；【详解】作BC ⊥底面于点C ，设BC x =，∵传送带和底面所成斜坡AB 的坡度为1∶2，∴2AC x =，由勾股定理得：222AC BC AB +=，即()222210x x +=，解得：25x =，即25BC =．故答案选C ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，准确计算是解题的关键． 3．C解析：C【分析】连接AF ，根据题意可分别求出BF 、FC 、DE 的长，再利用勾股定理分别求出AF 、AE 、EF 的长，利用勾股定理的逆定理判断出AEF 为等腰直角三角形，再利用三角函数即可求得答案．【详解】如图：连接AF ，四边形ABCD 是矩形∴2,3AB DC AD BC ====∴∠B=∠C=∠D=90°FC=2BF∴BF=1，FC=2E 是CD 的中点∴DE=CE=1∴BF=CE=1在Rt ABF 中22222215AF AB BF =+=+=在Rt EFC 中22222215EF FC CE =+=+=在Rt ADE △中222223110AE AD DE =+=+=∴222AE EF AF =+且AF=EF∴△AEF 为等腰直角三角形∴∠AFE=90°，∠AEF=∠EAF=45°∴cos ∠AEF=cos45°=22故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，特殊角的三角函数值，解题关键是利用勾股定理逆定理判断出AEF 为等腰直角三角形． 4．D解析：D【分析】根据三角函数的定义即可作出判断．【详解】解：A 、∵sin BC A AB=， ∴sin BC AB A =，故正确，不符合题意；B 、∵tanA= BC AC， ∴BC=AC•tanA ，故正确，不符合题意；C 、∵tanB=AC BC， ∴AC=BC•tanB ，故正确，不符合题意；D 、∵cos BC B AB=， ∴cos BC AB B =，故错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．A解析：A【分析】如图，过D 作DM AC ⊥于,M 根据已知条件先求解：,,,AD BD AC 再利用A ∠的三角函数求解,,AM DM 由对折得到：,DF 再利用勾股定理求解MF ，从而由CF AC AM MF =--可得答案．【详解】解：如图，过D 作DM AC ⊥于,M4:1:3,AB AD DB ==，13AD DB ∴==，，90ABC ∠=︒，4AB =，8BC =，22224845,AC AB BC ∴=+=+=1,AD DM AC =⊥，sin ,45DM BC A AD AC ∴=== 255DM ∴=，同理：5cos ,545AM AB A AD AC ==== 55AM ∴=，由对折可得：3,DF DB == 22222520535MF DF DM ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，520519520545CF AC AM MF -∴=--== 故选：.A【点睛】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．6．A解析：A【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值．【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =，∴2222215AB AC BC +=+= 5sin 5BC A AB ===，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．7．D解析：D【分析】作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，利用三角形面积公式可得到12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆==，则可对A 、B 进行判断；利用正弦的定义得到1sin h ABD AB ∠=，2sin h DBC BC∠=，利用AB CB =可对C 、D 进行判断．【详解】解：作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，11122ABD S BD AE BD h ∆==，21122BCE S BD CF BD h ∆==， 12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆∴==，:1:3ABD ABC S S ∆∆∴=，所以A 、B 选项错误；在Rt ABE ∆中，1sin h AE ABD AB AB ∠==，在Rt BCF ∆中，2sin h CF DBC BC BC∠==，而AB CB =，12sin :sin :1:2ABD DBC h h ∴∠∠==，所以C 选项错误，D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了考查了解直角三角形，也考查了平行线之间的距离和等腰直角三角形的性质，难度一般．8．C解析：C【分析】先根据勾股定理求得AC ，再根据正弦的定义求解即可；【详解】∵在ABC 中，90C ∠=︒，13AB =,12BC =，∴2213125AC =-=，∴5sin 13AC B AB ==；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与解直角三角形，准确理解计算是解题的关键．9．D解析：D【分析】由勾股定理算出AC 的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答．【详解】解：由勾股定理可得：2222543AC AB BC =-=-=，∴tanA=43BC AC =，故选D ．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理及三角函数的定义是解题关键．10．A解析：A【分析】证明()Rt ABE Rt ADF HL ≅△△即可证明①正确，由①的结论得到三角形CEF 是等腰直角三角形，即可证明②正确，根据AC 垂直平分EF 可以判断③错误，利用锐角三角函数值求出AC 的长度证明④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D ∠=∠=︒，∵AEF 是等边三角形，∴AE AF =，在Rt ABE △和Rt ADF 中，AE AF AB AD =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ABE Rt ADF HL ≅△△，∴BE DF =，∵BC CD =，∴BC BE CD DF -=-，即CE CF =，故①正确；∵CE CF =，90C ∠=︒，∴45CEF ∠=︒，∵60AEF ∠=︒，∴180604575AEB ∠=︒-︒-︒=︒，故②正确；如图，连接AC ，交EF 于点G ，∵AE AF =，CE CF =，∴AC 是EF 的垂直平分线，∵CAF DAF ∠≠∠，∴DF FG ≠，同理BE EG ≠，∴BE DF EF +≠，故③错误；∵AEF 是边长为2的等边三角形，ACB ACD ∠=∠，∵AC EF ⊥，EG FG =， ∴3sin 6023AG AE =⋅︒==112CG EF ==， ∴13AC AG CG =+=+，故④正确．故选：A ．【点睛】本题考查四边形综合题，解题的关键是掌握正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的方法．11．B解析：B【分析】根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，从而得到OA 、OB 的长度，再求出∠OAB ＝30°，利用勾股定理列式求出AB ，然后根据旋转角是60°判断出AB′⊥x 轴，再写出点B′的坐标即可．【详解】令y ＝0，则−3x ＋2＝0，解得x ＝，令x ＝0，则y ＝2，所以，点A （0），B （0，2），所以，OA ＝OB ＝2，∵tan ∠OAB ＝OB OA ==， ∴∠OAB ＝30°，由勾股定理得，AB 4==， ∵旋转角是60°，∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，∴AB′⊥x 轴，∴点B′（4）．故选：B ．【点睛】本题考查了坐标与图形性质−旋转，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角函数的应用，求出AB′⊥x 轴是解题的关键． 12．B解析：B【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD 、AC 的值，进而可得△ADC 是等腰直角三角形，进而可得AD ⊥CD ，根据相似三角形的判定和性质可得PC ＝2DP ，根据等量代换和线段和差可得AD ＝CD ＝3DP ，继而即可求解．【详解】解析设小正方形的边长为1，由图形可知，2AD DC AC ===，ADC ∴是等腰直角三角形，AD DC ∴⊥．//AC BD ，2AC CP BD DP∴==， 2PC DP ∴=，3AD DC DP ∴==，tan 3AD APD DP∴∠==．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数．此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用．二、填空题13．11【分析】根据题意作辅助线DE⊥AB然后根据锐角三角函数可以得到AE 的长从而可以求得AB的长本题得以解决【详解】解：作DE⊥AB于点E由题意可得DE＝CD＝8m∵∠ADE＝50°∴AE＝DE•ta解析：11【分析】根据题意，作辅助线DE⊥AB，然后根据锐角三角函数可以得到AE的长，从而可以求得AB 的长，本题得以解决．【详解】解：作DE⊥AB于点E，由题意可得，DE＝CD＝8m，∵∠ADE＝50°，∴AE＝DE•tan50°≈8×1.19＝9.52（m），∵BE＝CD＝1.5m，∴AB＝AE+BE＝9.52+1.52＝11.2≈11（m），故答案为：11．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．【分析】如图延长与的延长线交于点证明四边形为正方形再求解过作于利用等面积法求解再利用勾股定理求解从而可得答案【详解】解：如图由题意得：延长与的延长线交于点则四边形为正方形过作于故答案为：【点睛】本题解析：4 3【分析】如图，延长C B''与BC的延长线交于点,G证明四边形ABGB'为正方形，再求解,B C AC '，过A 作AM B C '⊥于M ，利用等面积法求解,AM 再利用勾股定理求解,MC 从而可得答案．【详解】解：如图，由题意得：9090BAB B AB C '''∠=︒∠=∠=︒，， 2AB AB '==， 1BC =，22215,AC ∴=+=延长C B ''与BC 的延长线交于点,G 则90AB G '∠=︒，∴ 四边形ABGB '为正方形， 2211B G BG CG BG BC '∴===-=-=，，90B GB '∠=︒， 22215,B C '∴=+=过A 作AM B C '⊥于M ，11,22AB C S AB AB B C AM '''∴== 54AM =， 4555AM ∴==， ()224355555MC ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭， 4545tan '.3355AM ACB MC ∴∠=== 故答案为：4.3【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，正方形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 15．2【分析】由题意得到则结合角的正切值即可得到答案【详解】解：∵是边上的中线∴∴∵∴∵在中∴；故答案为：2【点睛】本题考查了求角的正切值三角形中线的性质解题的关键是掌握三角形中线的性质正确得到解析：2【分析】由题意，得到12AD AC =，则2AC AD =，结合角的正切值tan AB ADB AD∠=，即可得到答案．【详解】解：∵BD 是AC 边上的中线，∴12AD AC =， ∴2AC AD=， ∵AB AC =，∴2AB AD=， ∵在Rt ABD 中，90A ∠=︒， ∴tan 2AB ADB AD ∠==；故答案为：2．【点睛】本题考查了求角的正切值，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质，正确得到2AB AD=． 16．【分析】连接过点作于点C 先根据反比例函数解析式求出点P 坐标根据的正切值得到它的度数再根据折叠的性质证明是等边三角形再解直角三角形得到OC 和的长即可求出的坐标【详解】解：如图连接过点作于点C ∵点P(m解析：33,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】连接TT '，过点T '作T C OT '⊥于点C ，先根据反比例函数解析式求出点P 坐标，根据POT ∠的正切值得到它的度数，再根据折叠的性质证明TOT '是等边三角形，再解直角三角形得到OC 和CT '的长，即可求出T '的坐标．【详解】解：如图，连接TT '，过点T '作T C OT '⊥于点C ，∵点P (m ，1)是反比例函数y x =图象上的一点，∴1=m ，∴OT =，1PT =，∵tan 3POT ∠=， ∴30POT ∠=︒，由折叠的性质得：30,POT POT OT OT ∠=∠=︒='='∴60TOT '∠=︒，又∵OT OT '=，∴TOT '是等边三角形，∵T C OT '⊥，∴12OC OT ==，3sin 2CT OT TOT '''=⋅∠==，∴322T ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：322⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题考查反比例函数与几何，解题的关键是掌握反比例函数的性质，利用锐角三角函数值得到特殊角的度数，然后解直角三角形． 17．【分析】连接DE 过E 作EH ⊥OD 于H 求得∠EDO ＝45°即可得到Rt △DEH 中求得DH 进而得出OH 即可求解【详解】如图所示连接过作于于于是的中点中点的横坐标是【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中解析：4-【分析】连接DE ，过E 作EH ⊥OD 于H ，求得∠EDO ＝45°，即可得到Rt △DEH 中，求得DH ，进而得出OH ，即可求解．【详解】如图所示，连接DE ，过E 作EH OD ⊥于H ，BE CA ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，D 是BC 的中点，142DE DC BC DO DB ∴=====， DCE DEC ∴∠=∠，DBO DOB ∠=∠，67.5A ∴∠=︒，112.5ACB ABC ∴∠+∠=︒，18021802()()CDE BDO DCE DBO ∴∠+∠=︒-∠+︒-∠ 3602()DCE DBO =︒-∠+∠3602112.5=︒-⨯︒135=︒，45EDO ∴∠=︒，Rt DEH ∴∆中，cos 4522DH DE =︒⨯=422OH OD DH ∴=-=-点E 的横坐标是422-【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．18．3【分析】先证明得到再证明：四边形四边形为矩形得到所以只要求的最小值即可当时最小再利用锐角三角函数可得答案【详解】解：AB=BC=3∠A=∠C=90°由过点E 分别作ABBCCDAD 的垂线垂足分别为点解析：3【分析】先证明,Rt ABD Rt CBD ≌得到60,30,ABD CBD GDE IDE ∠=∠=︒∠=∠=︒再证明：,FG HI =四边形,AFEG 四边形CHEI 为矩形，得到AE FG =，所以只要求AE 的最小值即可，当AE BD ⊥时，AE 最小，再利用锐角三角函数可得答案．【详解】解： AB=BC=3，∠A=∠C=90°，,120,BD BD ABC =∠=︒,Rt ABD Rt CBD ∴≌60,30,ABD CBD GDE IDE ∴∠=∠=︒∠=∠=︒由过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，,,EF EH EG EI ∴== 四边形,AFEG 四边形CHEI 为矩形，90,FEG HEI ∴∠=∠=︒,FEG HEI ∴≌∴ ,FG HI =当FG 最小，则FG HI +最小，四边形AFEG 为矩形，,AE FG ∴=所以：当AE BD ⊥时，AE 最小，3,60,AB ABE =∠=︒sin 60,AE AB ∴︒= 3333,AE ∴=⨯= 所以：FG 的最小值是：33, 所以：FG HI +的最小值是：3323 3.⨯= 故答案为：3 3.【点睛】本题考查的是点到直线的距离垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．19．10【分析】根据直角三角形的边角间关系先计算再在直角三角形中利用勾股定理即可求出【详解】解：在中∵∴在中故答案为：10【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理利用直角三角形的边角间关系求出AC 是解决解析：10【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算AC ，再在直角三角形ACD 中，利用勾股定理即可求出AD ．【详解】解：在Rt ABC 中，∵12,sin3ABAB ACBAC=∠==，∴1263AC=÷=．在Rt ADC中，22AD AC CD=+2268=+10=．故答案为：10．【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．20．【分析】根据题意画出图形进而得出cosB=求出即可【详解】解：∵∠A=90°AB=3BC=4则cosB==故答案为：【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义正确把握锐角三角函数关系是解题的关键解析：3 4【分析】根据题意画出图形，进而得出cosB=ABBC求出即可．【详解】解：∵∠A=90°，AB=3，BC=4，则cosB=ABBC=34．故答案为：34．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题的关键．三、解答题21．1【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝12×2＝1＝1．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，结合特殊角三角函数中、零指数幂计算是解题的关键． 22．（1）82米；（2）不超速，见解析【分析】（1）已知MN=30m ，∠AMN=60°，∠BMN=45°求AB 的长度，可以转化为解直角三角形；（2）求得从A 到B 的速度，然后与60千米/时≈16.66米/秒，比较即可确定答案．【详解】解：（1）由题意可得在Rt AMN △中，30MN =米，60AMN ∠=︒， ∴tan AN MN AMN =⋅∠=在Rt BMN 中，∵45BMN ∠=︒，∴30BN MN ==（米）． ∴3082AB AN BN =+=≈（米）．（2）此车不超速，理由如下：由题意可得，汽车从A 到B 为匀速行驶，用时为6秒，且82AB =米，则汽车的速度为()306513.66÷=≈（米/秒）．∵60千米/时≈16.67米/秒，13.6616.67<，∴此车不会超速．【点睛】本题考查了勾股定理以及解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．23．（1）9.5m ；（2）可以有效救援．【分析】（1）过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F ，过点A 作AG ⊥CF ，垂足为G ，解直角三角形ACG 即可；（2）当起重臂最长，张角最大时，计算远臂点距离地面的最大高度，比较判断即可．【详解】（1）如图1，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，∵AE⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，∴∠CAG=30°，∵AC=12，∴CG=ACsin30°=12×1=6，2∴CF=CG+FG=6+3.5=9.5(米)；（2）如图2，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，∵AE⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，∴∠CAG=60°，∵AC=20，∴CG=ACsin60°3，∴CF=CG+FG=17.32+3.5=20.82＞18；∴能有效救援．【点睛】本题考查了生活实际问题中的解直角三角形，熟练把生活问题转化数学解直角三角形模型问题是解题的关键．24．（1）12y x =-，223y x =-+；（2）9 【分析】（1）过点A 作AH ⊥x 轴于H 点，由4sin 5AH ACE AO∠==，OA=5，根据正弦的定义可求出AH ，再根据勾股定理得到OH ，即得到A 点坐标（-3，4），把A （-3，4）代入y= ，确定反比例函数的解析式为y=- ；将B （6，n ）代入，确定点B 点坐标，然后把A 点和B 点坐标代入y=kx+b （k≠0），求出k 和b ．（2）先令y=0，求出C 点坐标，得到OC 的长，然后根据AOB BOC AOC SS S =+计算△AOB 的面积即可．【详解】解：（1）过A 作AH x ⊥轴交x 轴于H ，∴4sin 5AH ACE AO∠==，5OA =， ∴4AH =，∴223OH OA AH ，∴()3,4A -，将()3,4A -代入m y x=，得12=-m ， ∴反比例函数的解析式为12y x =-，将()6,B n 代入12y x=-，得2n =-， ∴()6,2B -，将()3,4A -和()6,2B -分别代入()0y kx b k =+≠，得3462k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线解析式：223y x =-+；（2）在直线223y x =-+中，令0y =，则有2203x -+=，解得3x =， ∴()3,0C ，即3OC =，∴13462AOC S =⨯⨯=△；同理3BOC S =△，则9AOB BOC AOC S S S =+=△△△．【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是作x 轴的垂线，解直角三角形求A 点坐标，用待定系数法求直线，双曲线的解析式．25．（1）134x +=，234x =；（2）5【分析】（1）用公式法解方程即可；（2）先求特殊角三角函数值，再进行实数计算．【详解】解：（1）22360x x --=， 2a =，3b =-，6c =-∴224(3)42(6)570b ac -=--⨯⨯-=>∴332224b x a -===⨯∴134x =，234x -=（2）原式)1122=-+⨯311=+5=-【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和含有特殊角三角函数值的实数计算，解题关键是选择恰当的方法解一元二次方程和熟记特殊角三角函数值并熟练进行计算．26．河的宽度AC 为(25+米【分析】根据点A 在点B 北偏东45°方向，结合方位角的知识可证AC BC =，利用三角函数解直角三角形，列关出方程，解方程即可．【详解】根据题意，有30,45AOC ABC ∠=︒∠=︒，又90ACB ∠=︒所以BC AC =，在Rt AOC ∆中，tan AC AOC OC ∠=，即tan 30AC OC ︒= 设AC x =米，则BC x =米，由题意得503x x =+ 解得x =化简得25x =+∴河的宽度AC 为(25+米.【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记特殊角的三角函数值，灵活运用方位角的知识，规范解直角三角形是解题关键．。

九年级数学下册《直角三角形的边角关系》单元测试卷(附答案)

九年级数学下册《直角三角形的边角关系》单元测试卷（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值为（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．都扩大2倍B．都扩大4倍C．没有变化D．都缩小一半3．在直角坐标系中，P是第一象限内的点，OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则cos α的值是（）A．B．C．D．4．计算sin45°的值等于（）A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan A的值是（）A．B．C．D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值是（）A．B．C．D．7．已知tan A＝0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．8．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．9．在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，sin A＝，那么BC边的长是（）A．2B．8 C．4D．1210．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．0二．填空题（共10小题，满分30分）11．如图，在平面直角坐标系内有一点P（5，12），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余弦值．12．若α为锐角，且，则m的取值范围是．13．用科学计算器计算： tan16°15′≈（结果精确到0.01）14．如果3sinα＝+1，则∠α＝．（精确到0.1度）15．计算：sin225°+cos225°﹣tan60°＝．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c＝3a，则tan A 的值为．17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，sin B＝，那么AB＝．18．已知∠A是锐角，且tan A＝2，那么cos A＝．19．已知∠A+∠B＝90°，若，则cos B＝．20．化简＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A＝．求AB的长和sin B的值．22．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．23．计算下列各题：（1）；（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．24．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sin A，cos B，tan A的值．25．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．26．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos A的值．27．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．参考答案与解析一．选择题1．解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴tan A＝＝．故选：B．2．解：根据锐角三角函数的定义，知各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的大小不变，所以其正切值不变．故选：C．3．解：如图：过点P作PE⊥x轴于点E，∵tanα＝，∴设PE＝4x，OE＝3x，在Rt△OPE中，由勾股定理得OP＝，∴cosα＝．故选：C．4．解：sin45°＝故选：C．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴cos B＝sin A＝，故选：C．7．解：根据计算器功能键，先按反三角2ndF，再按正切值．故选：A．8．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．9．解：由sin A＝＝，不妨设BC＝2k，则AB＝3k，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（4）2+（2k）2＝（3k）2，解得k＝4（取正值），所以BC＝2k＝8，故选：B．10．解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：过P作PA⊥OA，∵P点坐标为（5，12），∴OA＝5，PA＝12，由勾股定理得，OP＝＝＝13．∴cosα＝＝．故答案为：．12．解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．13．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：0.71．14．解：∵3sinα＝+1，∴sinα＝，解得，∠α≈65.5°，故答案为：65.5°．15．解：∵sin225°+cos225°＝1，tan60°＝，∴sin225°+cos225°﹣tan60°＝1﹣，故答案为：1﹣．16．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝3a，∴b＝＝＝2a，∴tan A＝＝＝，故答案为：．17．解：∵sin B＝，∴AB＝＝＝6．故答案是：6．18．解：设∠A所在的直角三角形为△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所得的边为a，b，c，∵tan A＝2，即＝2，设b＝k，则a＝2k，∴c＝＝k，∴cos A＝＝，故答案为：．19．解：由∠A+∠B＝90°，若，得cos B＝，故答案为：．20．解：∵tan30°＝＜1，∴原式＝1﹣tan30°＝1﹣＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A＝＝，∴AC＝12，∴AB＝＝＝6，∴sin B＝＝＝．22．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245 ＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．23．解：（1）＝（2×﹣）+＝2﹣+＝2；（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．＝×﹣×+（）2+（）2＝﹣1++＝．24．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，根据勾股定理可得：AC＝4，∴sin A＝，cos B＝＝，tan A＝＝．25．解：作PC⊥x轴于C．∵tanα＝，OC＝6∴PC＝8．则OP＝10．则sinα＝．26．（1）证明：法一、连接AD、OD，∵AC是直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC的中点，又∵O是AC的中点，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．法二、连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AB＝AC，∴∠OCD＝∠B，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）解：由（1）知OD∥AE，∴∠FOD＝∠FAE，∠FDO＝∠FEA，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，∴，解得FC＝2，∴AF＝6，∴Rt△AEF中，cos∠FAE＝＝＝＝．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝＝sin40°在Rt△BPF中，sin∠FBP＝＝sin20°又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

第二章《直角三角形的边角关系》单元检测题鲁教版数学九年级上册

鲁教版九年级数学上册第二章《直角三角形的边角关系》单元测试题一、选择题：1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则∠A 的正切值为( ) A ．3 B.13 C.1010 D.310102．已知 α∠ 为锐角，且 1sin 2α= ，则 α∠= （）A ．30°B ．45°C ．60°D ．60°3．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，则sinA 的值为（）A ．35B ．45C ．34D ．以上都不对4．√2tan45°的值为（）A ．1 B ．√2 C ．2 D ．125．如图，在△ABC 中，∠C =90°，设∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下面四个等式一定成立的是（） A ．c =b ⋅sinB B ．a =c ⋅cosBC ．a =b ⋅tanBD ．b =c ⋅tanB6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( )A.35B.34C.105 D ．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA＝45，BC ＝10，则AB 的长是( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．98 90A sinA CDRt ABC C CD AB B cosA C cosB D s ACni BCD ∆∠=︒∠．在中，，是斜边上的高，那么下列选项中与的值不相等的是（）．．．．9．某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯AC 的顶端A 恰好放在书架的第七层的顶端，已知登高梯的长度AC 为3.2米，登高梯与地面的夹角∠ACB 为73°，则书架第七层顶端离地面的高度AB 为（）A ．3.2cos73°米 B ．3.2cos73°米 C ．3.2sin73°米 D ．3.2sin73°米10．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处．已知AB ＝8，BC ＝10，则tan ∠EFC 的值为( ) A.34 B.43 C.35 D.4511．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于( )A . 34B . 43 C. 35 D . 4512．如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一条隧道(B ，C 在同一水平面上)．为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( ) A ．100 3 m B ．50 2 m C ．50 3 m D .1003 3 m二、填空题：13．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则sin B ＝________． 14．若2sin (A +20°)=√3，则锐角∠A = ．1___.90_2Rt ABC C c tanA α=∆∠=︒=15.在中，，若=2，，则 16．如图，甲乙两幢楼之间的距离是30米，自甲楼顶A 处测得乙楼顶端C 处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼的高度为米.17．如图，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，sin∠APD=．18．如图，小明发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝12米，BC＝20米，CD的坡度为i＝1：2√2；且此时测得1米杆在地面上的影长为2米，则电线杆的高度为米．三、解答题：19．计算：(1) 2(2cos 45°－sin 60°)＋24 4；(2)sin 60°·cos 60°－tan 30°·tan 60°＋sin245°＋cos245°.20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.(1)已知c＝8 3，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝3 6，∠A＝45°，求∠B，b，c.21．在△ABD中，AC是高，∠B=60°,∠BAD=75°,AB=30．求AD．22．如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内．（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离．（结果保留根号）23．如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．。

第一章《直角三角形的边角关系》检测(含答案)-

第一章《直角三角形的边角关系》检测一、填空题（每题2分，共24分）1.计算：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°=_______.2.已知角α为锐角，且53sin =α，则αcos ＝ . 3.在△ABC 中，若AC，BC，AB =3，则cos A = . 4.已知A 是锐角，且sin A =13，则cos （90°－A ）＝___________． 5.在Rt △ABC 中，∠C =90°，已知sin A =35,则cos B =_______. 6.用科学计算器或数学用表求：如图1，有甲、乙两楼，甲楼高AD 是23米，现在想测量乙楼CB 的高度.某人在甲楼的楼底A 和楼顶D ，分别测得乙楼的楼顶B 的仰角为65°13′和45°，处用这些数据可求得乙楼的高度为米（结果精确到0.01米）. 注：用数学用表求解时，可参照下面正切．．表的相关部分.7.已知36α∠=︒，若β∠是α∠的余角，则β∠= 度，sin β=____（结果保留四个有效数字）.8.如图2青岛位于北纬36°4′，通过计算可以求得：在冬至日正午时分的太阳入射角为A D CB图145° 65°13′（甲楼）（乙楼）图230°30′.因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为_____米，才能保证不挡光（sin30°30′=0.5075,tan30°30′=0.5890,结果保留四个有效数字）. 9.如图3，河对岸有古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为α，向塔s 米到达D ，在D 处测得塔顶A 的仰角为β，则塔高是__________米.10.在△ABC 中，∠A ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则AB ＝________________(用b 和θ的三角比表示)．11.某山路坡面坡度i =沿此山路向上前进200米,升高了_______米．12.如图4，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m(精确到0.1m).二、选择题（每题2分，共24分） 13.2sin450的值等于（）A.1D.2, 14.在△ABC 中，∠C ＝90°，若∠B ＝2∠A ，则con B 等于（）B.3 C.23 D.2115.在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是（）A ．135 B ．1312 C ．125 D ．51216.已知α为锐角，tan （90°－α），则α的度数为（）图3图4A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°17.如图5，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m ，眼睛与地面的距离为1.6m ，那么这棵树的高度大约为（） A ．5.2 m B ．6.8 m C ．9.4 m D ．17.2 m18.如图6，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（） A.1 B.2 C.22D.22 19.在ΔABC 中，∠C ＝90°，sin A =35，则cos A 的值是（） A ．45 B ．35 C ．34 D ．4320.如图7，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于（）．A ．a ·sinαB ．a ·cosαC ．a ·tanαD ．a ·cotα21.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A=2，则的值为（）A ..12D.122.如图8，△ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，CA =4，那么sin A 等于（）ACB图8图5图7 a B AC图6A.34 B.43 C.35 D.4523.如图9在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α，AB = 4, 则AD的长为（） A.3 B.316 C.320 D.51624.某市在“旧城改造”中计划在一块如图10所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（） A.450a 元 B.225a 元 C.150a 元 D.300a 元三、解答题（第25题2分，其余每题5分，共52分）25.计算：︒⋅︒-︒60tan 45cos 30sin 2．26.在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,且sin A =12,tan B,AB =10,求△ABC 的面积.A BCDE图9︒15020米30米图1027.如图11，从一块矩形薄板ABCD 上裁下一个工件GEHCPD （阴影部分）. 图中EF //BC ，GH //AB ，∠AEG =11°18′，∠PCF =33°42′，AG =2cm ，FC =6cm. 求工件GEHCPD 的面积.（参考数据：322433tan ,518111tan ≈'︒≈'︒）28.如图12将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD ，试求ADB ∠的余切值.CABD图12DBAC图11FH29.如图13，沿AC 的方向修建高速公路，为了加快工程进度，要在小山的两边同时施工．在AC 上取一点B ，在AC 外另取一点D ，使∠ABD ＝130°，BD ＝480 m ，∠BDE ＝40°，问开挖点E 离D 多远，才能使A 、C 、E 在一条直线上（sin50°=0.7660，cos50°=0.6428，精确到0.1m ）.30.如图14，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度3:1 i .求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB （精确到0.1米）.图14D CBA图1331.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图15－①所示）：(1)在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;(3)量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图15－②）的方案：(1)在图15－②中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当字母）；(2)写出你设计的方案.①NM②图1532.如图16，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝35，点D 在BC 边上，且∠ADC ＝45°，DC ＝6，求∠BAD 正切值.33.如图17，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD )方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？ABCD 图16图17图1834.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图18），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：53106sin 32,cos32,tan 321001258≈≈≈鞍?35.为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°.问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？参考答案一、1.0；2.54； 4.31；5.35；6.42.73；7.54、0.8090；8.33.96或33.95；9.βαcot cot -s；10.b ·cot θ；11.10；12.2.3.二、13，B ；14，C ；15，C ；16，C ，17，A ；18，B ；19，A ；20，C ；21，B ；22，C ；23，B ；24，C . 三、25，4621-；26，3225；27，48； 28，过点A 作DB 的延长线的垂线AE ，垂足为E .cot 1)1DE ADB EA ∠===+ 29, 367.7ｍ；30，∠A =22°1′ AB =37.8米； 31，（1）图略；（2）①在测点A 处安置测倾器，测得此时M 的仰角，∠MCE ＝α；②在测点A 与小山之间的B 出安置测倾器（A 、B 与N 在同一条直线上），测得此时山顶M 的仰角∠MDE ＝β；③量出测倾器的高度AC ＝BD ＝h ，以及测点A 、B 之间的距离AB ＝m .根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN.；32，过D 点作，交AB 于E 点，所以tan=∠BAD ＝6515427DE AE =⨯=； 33，过点B 作BM ⊥AH 于M ，∴BM ∥AF .∴∠ABM =∠BAF =30°.在△BAM 中，AM =12,AB =5，BM 过点C 作CN ⊥AH 于N ，交BD 于K .,在Rt △BCK 中，∠CBK =90°－60°=30°,设CK =x ，11 则BKx , Rt △ACN ∠CAN =90°-45°=45°，AN =NC .∴AM +MN =CK +KN .又NM =BK ，BM =KN .即xx .解得x =5.∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险；34，（1）如图设CE=x 米，则AF =（20-x ）米，tan 32,AF EF?即20-x =15tan 32,11x ≈° ∵11＞6， ∴居民住房的采光有影响.（2）如图：sin 32,ABBF ?820325BF =⨯=，两楼应相距32米；35，可求出AB = 43米，因为8＞43，所以距离B 点8米远的保护物不在危险区内.。

九年级下学期数学第一章《直角三角形的边角关系》单元测试卷及答案

九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》单元测试卷（满分150分）题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1. 在直角三角形中sin A 的值为12，则cos A 的值等于( )A. 12B. √22C. √32D. √32. 已知α为锐角，且sinα=√32，则α的度数为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°3. 若sin(∠A +15°)=√32，则tan∠A 的值为( )A. ．12B. √33C. 1D. √224. 在0，−√273，sin45°，13这四个数中，无理数是( )A. 0B. −√273C. sin45°D. 135. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 上，∠DBC =∠A.若AC =4，cosA =45，则BD 的长度为( )A. 94 B. 125 C. 154 D. 46. 如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC =α，∠ADC =β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A. tanαtanβ B. sinβsinα C. sinαsinβ D. cosβcosα7.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为()A. 7sin35°B. 7cos35∘C. 7cos35°D. 7tan35°8.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB=0.5，若AC=6，则BC的长为()A. 8B. 12C. 6√3D. 12√39.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB=a，BC=b，∠DAO=x，则点C 到x轴的距离等于()A. acosx+bsinxB. acosx+bcosxC. asinx+bcosxD. asinx+bsinx10.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则sin A的值是()A. √3B. 12C. √32D. √3311.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以tan15°=ACCD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3.类比这种方法，计算tan22.5°的值为()A. √2+1B. √2−1C. √2D. 1212.．如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC的长为()A. √2B. √52C. √5D. 213.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，直线l经过点A，且垂直于AB，分别与AB，AC相交于点M，N.直线l从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，当直线l经过点B时停止运动，若运动过程中△AMN的面积是y(cm2)，直线l的运动时间是x(s)，则y与x之间函数关系的图象大致是()A. B.C. D.14.如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为()(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)．A. 5.1米B. 6.3米C. 7.1米D. 9.2米15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD交于点O，sin∠COD=√3，P为AD上一动点，PE⊥AC于点E，2PF⊥BD于点F，分别以PE，PF为边向外作正方形PEGH和PFMN，面积分别为S1，S2.则下列结论：①BD=8；②点P在运动过程中，PE+PF 的值始终保持不变，为2√3；③S1+S2的最小值为6；④当PH：PN=5：6时，则DM：AG=5：6.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16.计算：−(5−π)0−2⋅sin45°=______．17.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE.若BE=9，BC=12，则cos C=________．18.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE的值是________．EC19.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标，则sinα是(3,m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是43的值为________．20.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AD∠ACB，若AE=2，则上，且DE=CD，连接OE，∠ABE=12OE的长为______．三、计算题（本大题共3小题，共30.0分）21.共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．(结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41)22. 计算：|2−tan60°|−(π−3.14)0+(−12)−2+12√12．23. 小甬工作的办公楼(矩形ABCD)前有一旗杆MN ，MN ⊥DN ，旗杆高为12m ，在办公楼底A 处测得旗杆顶的仰角为30°，在办公楼天台B 处测旗杆顶的仰角为45°，在小甬所在办公室楼层E 处测得旗杆顶的俯角为15°． (1)办公楼的高度AB ；(2)求小甬所在办公室楼层的高度AE ．四、解答题（本大题共4小题，共50.0分）24.图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD′E′的位置(如图2所示).已知AD=90厘米，DE=30厘米，EC=40厘米．(1)求点D′到BC的距离；(2)求E、E′两点的距离．25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cos B的值．26.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin(180°−α)，cosα=−cos(180°−α)．(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值；(2)若一个三角形的三个内角的比是1:1:4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2−mx−1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．27.如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．求铁塔的高度FE.(结果精确到1米)【参考数据：sin44°=0.69，cos44°=0.72，tan44°=0.97】答案1.C2.C3.C4.C5.C6.B7.C8.C9.A10.C11.B12.B13.B14.A15.C16.−1−√217.2318.√3319.4520.√1321.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可知：AB=7，∠ACD=45°，∠CBD=90°−68°=22°，∴AD=CD，∴BD=AB−AD=7−CD，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=CDBD，∴CD7−CD≈0.40，∴CD=2，∴AD=CD=2，BD=7−2=5，∴AC=2√2≈2.83，BC=CDsin22∘≈20.37≈5.41，∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2(km)．答：新建管道的总长度约为8.2km．22.解：原式=|2−√3|−1+4+√3，=2−√3−1+4+√3，=5．23.解：(1)如图，过点M作MH⊥AB于点H，∵MN⊥DN，∠BAN=90°，∴四边形MNAH是矩形，∴AH=MN=12，MH//AN//BC，∴∠AMH=∠MAN=30°，在Rt△AMH中，MH=AHtan30∘=12√3，∵∠BMH=45°，∴BH=MH=12√3，∴AB=AH+BH=12+12√3．答：办公楼的高度AB为(12+12√3)m．(2)过点E作EQ⊥AM于点Q，由(1)得，∠EAQ=60°，∴∠EMQ=180°−∠EAM−∠AEM=180°−60°−75°=45°，设AE=x，则AQ=x⋅cos60°=12x，MQ=EQ=x⋅sin60°=√32x，由AM=2MN=24，x 2+√32x=24，解得x=24√3−24(m)．答：小甬所在办公室楼层的高度AE为(24√3−24)m．24.解：(1)过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AFD′=∠BHD′=90°．在Rt△AD′F中，D′F=AD′⋅sin∠DAD′=90×sin60°=45√3厘米．又∵CE=40厘米，DE=30厘米，∴FH=DC=DE+CE=70厘米，∴D′H=D′F+FH=(45√3+70)厘米．答：点D′到BC的距离为(45√3+70)厘米．(2)连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′=AE，∠EAE′=60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′=AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE=90°．在Rt△ADE中，AD=90厘米，DE=30厘米，∴AE=√AD2+DE2=30√10厘米，∴EE′=30√10厘米．答：E、E′两点的距离是30√10厘米．25.解：∵∠C=90°，MN⊥AB，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠A =∠A ，∴△AMN∽△ABC ， ∴AN AM =AC AB =34，设AC =3x ，AB =4x ，由勾股定理得BC =√AB 2−AC 2=√7x ， ∴在Rt △ABC 中，cosB =BC AB =√7x 4x =√74． 26.解：(1)由题意得，；(2)∵三角形的三个内角的比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°， ①当∠A =30°，∠B =120°时，方程的两根为12，−12，将x =12代入方程得：4×(12)2−m ×12−1=0，解得：m =0，经检验x =−12是方程4x 2−1=0的根， ∴m =0符合题意；②当∠A =120°，∠B =30°时，两根为√32，√32，不符合题意； ③当∠A =30°，∠B =30°时，两根为12，√32，将x =12代入方程得：4×(12)2−m ×12−1=0，解得：m =0，经检验x =√32不是方程4x 2−1=0的根．综上所述：m =0，∠A =30°，∠B =120°． 27.解：在Rt △DGF 中，∵FG =DG ×tan∠FDG ，=CE ×tan∠FDG=25×tan44°=24.25，∴FE=FG+GE=FG+CD，=24.25+10≈34(米)答：铁塔FE的高度约为34米．。

北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷

第一章直角三角形的边角关系单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. sin45°的值等于（） A.3 B.12C. 32D. 222. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，AB=13，那么cosA 的值等于（）A ．513B ．1213C ．512D ．1253. 已知一斜坡的坡度i=1:3，用科学计算器求坡角的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（）A. =3÷1tanB. °′′′=3÷1tanC. SHIFT ）（=3÷1tanD. SHIFT）（°′′′=3÷1tan4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=α，若BC=m ，则AB 的长为（） A.cos mB ．m·cos αC ．m·sin αD ．m·tan α5．如果△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝12，那么下列等式不正确的是（） A ．cos A ＝22B ．tan A ＝33 C ．sin B ＝32D ．tan B ＝36. 如图，点A 为∠B 边上的任意一点，过点A 作AC ⊥BC 于点C ，过点C 作CD ⊥AB 于点D.下列选项用线段比表示sin ∠BCD 的值，其中错误的是（） A ．BDBCB ．BCABC ．ADACD ．CDAC第6题图第7题图第8题图7．河堤横断面如图所示，AB ＝10米，tan ∠BAC ＝33，则AC 的长是（） A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米8. 如图，在每个小正方形边长均为1的方格图中，点A，C，M，N均在格点上，AN与CM 相交于点P，则tan∠CPN的值为（）A. 3B. 1C.33D.229. 如图，钓鱼竿AC长为6 m，露在水面上的鱼线BC长为32m，钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是（）A．3 m B．33m C．23m D．4 m第9题图第10题图10. 如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物CD的高度.他们从点A出发沿着坡度i=1:2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α=35°，建筑物底端D的俯角β=30°.若AD为水平地面，则此建筑物的高度约为（参考数据：3≈1.7，sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.75）（）A．20.2米B．22.75米C．23.6米D．30米二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 若2cosα=1，则锐角α的度数为.12. 已知α为锐角，tanα=34，则sinα等于.13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AC＝23，tan∠BCD＝22，则BC＝．第13题图第14题图14. 如图，在△ABC中，BC=12，tanA=34，∠B=30°，则AB的长为.15. 在一次综合实践活动中，小东同学从A地出发，要到A地北偏东60°方向的C地.如图，他先沿正东方向行走了2千米到达B地，再沿北偏东15°方向行走，恰能到达目的地C，则A，C两地相距千米.（结果保留根号）第15题图第16题图16. 如图，要在宽为22米的公路两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应设计为米.（结果保留根号）三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.（8分）已知α为锐角，sin（α+15°）＝32，计算8﹣4cosα+tanα+（13）﹣1的值．18.（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，请根据下面的条件解直角三角形的其他元素：（1）∠A＝45°，a＝10；（2）a＝23，c＝4．19.（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD.若tan∠DAE=15，求△ADE的三边长.EDCBA第19题图20.（8分）如图，上午9：00时，甲、乙两船分别在A，B两处，乙船在甲船的正东方向，且两船之间的距离为33海里.甲船以30海里/时的速度沿北偏东45°方向匀速航行，乙船同时沿北偏东30°方向匀速航行.上午11：00时，甲船航行到C处，乙船航行到D处，此时乙船仍在甲船的正东方向，求此时两船之间的距离.（结果精确到1海里；参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈，6 2.45)≈第20题图21.（8分）如图，某居民小区广场上树立着一个“扫黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，现施工人员要在两侧增加钢丝绳来加固灯牌.已知钢丝绳底端G距灯牌立柱FD的距离GD=4米，从G点测得灯牌顶端F和底端E的仰角分别是60°和45°.（1）若AF的长为5米，求灯牌的面积；（结果保留根号）（2）若灯牌两侧增加的钢丝绳一样长，求钢丝绳的总用料.（结果保留根号）第21题图22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别交CD，BC于点H，E，且AH=2CH.（1）求sinB的值；（2）如果CD=5，求BE的值.第22题图23.（10分）如图，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90 m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1 m，矩形面与地面所成的角α为78°，李师傅的身高为1.75 m.当他攀升到头顶距天花板0.05∼0.20 m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否方便？（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）第23题图24. （12分）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α），tanα=-tan（180°-α）.（1）求sin150°，cos135°，tan120°的值；（2）若△ABC三个内角的比为1:1:4，sinA，cosB是一元二次方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.第一章直角三角形的边角关系单元测试卷参考答案答案详解三、17.4.18. （1）∠B ＝45°，b ＝10，c ＝10.（2）∠A ＝60°，∠B ＝30°，b=2.19. 解：因为△ABC 是等腰直角三角形，所以∠B=45°.所以AB=sin ACB=62因为DE ⊥AB ，所以△DEB 是等腰直角三角形.所以DE=BE. 因为tan ∠DAE=15DE AE =，所以AE=5DE. 因为AB=AE+BE=6DE=622，AE=2在Rt △ADE 中，由勾股定理，得22AE DE +213. 20. 解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F. 根据题意，得AC=30×2=60. 在Rt △CAE 中，因为∠CAE=45°，所以AE=CE=AC·cos ∠CAE=302在Rt △DBF 中，因为DF=CE=302∠DBF=60°，所以BF=106tan DBFDF=∠因为BE=AE-AB=30233≈9.3，所以EF=BF-BE=69.3≈15.2. 所以CD=EF=15.2≈15（海里）.答：此时两船之间的距离约为15海里.21. 解：（1）在Rt △FDG 中，因为∠FGD=60°，GD=4，所以FD=GD·tan ∠FGD=3在Rt △EDG 中，因为∠EGD=45°，GD=4，所以ED=GD·tan ∠EGD=4. 所以EF=FD-ED=43所以S 矩形ABEF =AF·EF=5×（3）=（203）平方米. 答：灯牌的面积为（203-20）平方米. （2）在Rt △FDG 中，FG=8cos GDFGD=∠.答案速览一、1. D 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. A 8. B 9. B 10. B 二、11. 60° 12.3513. 6 14. 863+ 15.（1+3） 16. (1134)- 三、解答题见“答案详解”在Rt △EDG 中， EG=cos GDEGD=∠所以2（FG+EG ）=2×（8+=（16+.答：钢丝绳的总用料为（16+.22. 解：（1）因为CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，所以CD=12AB=BD.所以∠BCD=∠B. 因为AE ⊥CD ，∠ACB=90°，所以∠CAH+∠ACH=90°，∠BCD+∠ACH=90°.所以∠BCD=∠CAH.所以∠B=∠CAH.在Rt △ACH 中，AH=2CH ，由勾股定理，得CH.所以sin ∠CAH=CH AC =.所以（2）因为CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，所以AB=2CD=因为sinB=AC AB =AC=2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得因为sin ∠CAH=CE AE =，所以CE.在Rt △ACE 中，由勾股定理，得CE 2+AC 2=AE 2，即CE 2+22=CE ）2.解得CE=1. 所以BE=BC-CE=3.23. 解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F. 因为AB=AC ，所以BE=EC=12BC=12. 在Rt △AEC 中，因为α=78°，所以AE=EC·tanα=12×tan78°≈2.35. 因为李师傅站立在梯子的第三级踏板上，所以37DC AC =.因为sinα=AE DF AC DC =，所以DF=37AE DC AE AC ⋅=≈1.007.所以李师傅头顶距离地面的高度约为1.007+1.75=2.757（m ），头顶距离天花板的高度约为2.90-2.757=0.143（m ）.因为0.05＜0.143＜0.20，所以他方便安装.第23题图24. 解：（1）根据题意，得sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=12；cos135°=-cos（180°-135°）=-cos45°=-22；tan120°=-tan（180°-120°）=-tan60°3.（2）因为△ABC三个内角的比是1:1:4，所以三个内角分别为30°，30°，120°.①当∠A=30°，∠B=120°时，sinA=12，cosB=-12，即一元二次方程的两个根为12，-12.将x=12代入方程，得4×212⎛⎫⎪⎝⎭-12m-1=0.解得m=0.经检验，x=-12是方程4x2-1=0的根.所以m=0符合题意.②当∠A=120°，∠B=30°时，33因为sinA，cosB是一元二次方程的两个不相等的实数根，所以这种情况不符合题意.③当∠A=30°，∠B=30°时，sinA=12，cosB=32，即一元二次方程的两个根为12，32.将x=12代入方程，得4×212⎛⎫⎪⎝⎭-12m-1=0.解得m=0.经检验，3是方程4x2-1=0的根.所以这种情况不符合题意.综上，m=0，∠A=30°，∠B=120°.。

2023年鲁教版(五四学制)九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》单元综合达标测试题(附答案)

2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则tan A的值为（）A．B．C．D．2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．6C．12D．83．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB 上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（）A．B．C．D．34．王明同学遇到了这样一道题，，则锐角α的度数为（）A．40°B．30°C．20°D．10°5．已知AD是△ABC的中线，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，则AC＝（）A．B．C．D．66．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（）A．B．C．D．7．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC，若，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．8．一艘货轮B在灯塔A的南偏西60°方向，距离A点海里，货轮B沿北偏东15°航行一段距离后到达C地，此时AC距离海里，判断C在A的北偏西多少度（）A．60°B．30°C．15°D．45°二．填空题（共8小题，满分40分）9．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sin A＝0.6，则BC＝．10．在锐角△ABC中，若，则∠C的度数是度．11．如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝．12．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝45°，BC＝4．若∠B＝45°，则AB＝；13．如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，且AD＝2BD，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F．如果△ABC的面积是△ACF的面积的3倍，那么tan∠BAE的值为．14．如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB＝20m，∠PHB＝∠AFB＝90°，若斜面AB坡度为1：．（1）∠PBA＝；（2）HF的长为m．15．如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度为m．16．一大门的栏杆如图所示，杆BA垂直于地面AE于A，杆CD平行于地面AE，已知AB ＝1米，BC＝2.4米，∠BCD＝150°，则此时杆CD到地面AE的距离是米．三．解答题（共6小题，满分40分）17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．18．计算：﹣2cos30°+6sin245°．19．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AC平分∠F AE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．20．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E、F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接BE，若AB＝2，tan C＝，求BE的长．21．如图，某小区的物业楼上悬挂一块高为3m的广告牌，即CD＝3m．小奇和小妙要测量广告牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小奇在E处测得广告牌底部点D的仰角为22°，小妙在F处测得广告牌顶部点C的仰角为45°，AB＝9m，请根据相关测量信息，求出广告牌底部点D到地面的距离DH的长．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）22．如图，某学校老师组织九年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量．已知信号柱直立在地面上，学生在C处测得信号柱顶端A的仰角为45°，沿斜坡从点C走到点D，CD＝12米，坡比为：1，在D处测得信号柱顶端A的仰角为30°，求信号柱AB的高度．（结果保留根号）参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，∴tan A＝＝．故选：D．2．解：∵点A的坐标为（0，3），∴AO＝3，∵tan∠ABO＝，∴＝，∴＝，∴BO＝，∵△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝2，∵菱形的四条边相等，∴菱形ABCD的周长为2×4＝8．故选：D．3．解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故选：C．4．解：∵tan30°＝，∴tan30°＝1，∵tan（α+10°）＝1，∴α+10°＝30°，∴α＝20°，故选：C．5．解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，∠B＝30°，∴AB＝2AE，AE＝ED，∵BC＝6，AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝3，设AE＝DE＝x，则AB＝2x，∴CE＝x﹣3，BE＝x+3，在Rt△AEB中，根据勾股定理得，（2x）2＝x2+（x+3）2，∴2x2﹣6x＝9，在Rt△AEC中，根据勾股定理得，AC2＝x2+（x﹣3）2，∴AC2＝2x2﹣6x+9，∴AC2＝18，∴AC＝3（负值舍去）．故选：B．6．解：如图，连接AC，在Rt△BEC中，BC＝＝5，∵AD⊥BC，∴＝8，即，解得AD＝，在Rt△ADB中，BD＝，∴sin∠BAD＝．故选：C．7．解：过点C作CE垂直AD的延长线于E，在Rt△BAD中，，∴，设AB＝3a，AD＝4a，则BD＝＝5a，∵CE⊥AE，BA⊥AD，∴△BAD∽△CED，∴，∵DC＝BD，∴DE＝AD＝2a，CE＝AB＝a，∴在Rt△AEC中，tan∠CAD＝＝．故选：B．8．解：如图，过A作AD⊥BC于D．由题意可得∠GAB＝60°，AB＝30海里，∠EBC＝15°，AC＝20海里．∵BE∥FG，∴∠EBA＝∠GAB＝60°，∴∠ABD＝∠EBA﹣∠EBC＝60°﹣15°＝45°，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∴AD＝BD＝AB＝30，∠DAB＝45°，∴∠DAH＝∠DAB﹣∠HAB＝45°﹣（90°﹣60°）＝15°．在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∴CD＝＝＝10，∴tan∠CAD＝＝＝，∴∠CAD＝30°，∴∠F AC＝90°﹣∠CAD﹣∠DAH＝90°﹣30°﹣15°＝45°，∴C在A的北偏西45度．故选：D．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sin A＝0.6，∴BC＝AC•sin A＝200×0.6＝120，故答案为：120．10．解：∵，∴sin A﹣＝0，cos B﹣＝0，则sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为：75．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝AE，设AB＝a，则AE＝a，BE＝＝a＝ED，∴AD＝AE+DE＝（+1）a，在Rt△ABD中，tan∠BDE＝＝＝﹣1，故答案为：﹣1．12．解：（1）∵∠BAC＝45°，∠B＝45°，∴∠BAC＝∠B＝45°，∴BC＝AC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝，故答案为：；13．解：如图，取AD中点G，连接FG，过点F作FH⊥AB于点H，设等边△ABC的边长为12a，则高为6a，∴S△ABC＝×12a×6a＝36a2，∵AB＝AC＝12a，∴AD＝8a，AG＝4a，∴S△ACD＝×8a×6a＝24a2，∵△ABC的面积是△ACF的面积的3倍，∴S△ACF＝×36a2＝12a2，∴S△ADF＝S△ACD﹣S△ACF＝12a2，∵S△ADF＝×8a×HF，∴×8a×HF＝12a2，∴HF＝3a，∴点F为CD中点，∴FG为△ACD的中位线，∴FG＝6a，在Rt△HFG中，由勾股定理可得：HG＝，即HG＝＝3a，∴AH＝AG+HG＝7a，∴tan∠BAE＝＝＝，故答案为：．14．解：（1）如图：由题意得：∠CPB＝60°，∠CP A＝15°，PC∥HF，∴∠CPB＝∠PBH＝60°，∵斜面AB坡度为1：，∴＝＝，在Rt△ABF中，tan∠ABF＝＝，∴∠ABF＝30°，∴∠PBA＝180°﹣∠ABF﹣∠PBH＝90°，故答案为：90°；（2）在Rt△PBH中，PB＝20m，∠PBH＝60°，∴BH＝PB•cos60°＝20×＝10（m），∵∠CPB＝60°，∠CP A＝15°，∴∠APB＝∠CPB﹣∠CP A＝45°，∵∠PBA＝90°，∴AB＝PB•tan45°＝20（m），在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，∴BF＝AB•cos30°＝20×＝10（m），∴HF＝HB+BF＝（10+10）m，故答案为：（10+10）．15．解：如图：由题意得：AB＝CE＝21m，∠AEC＝∠AED＝90°，在Rt△AEC中，∠CAE＝30°，∴AE＝＝＝21（m），在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE•tan45°＝21（m），∴DC＝DE+CD＝（21+21）m，∴乙楼高度为（21+21）m，故答案为：（21+21）．16．解：过点C作CG⊥AE于点G，过点B作BH⊥CG于点H，如图：∵CG⊥AE，BH⊥CG，∴∠AGC＝90°，∴∠BHC＝90°，∴∠AGC＝∠BHC，∴BH∥AE，∵CD∥AE，∴CD∥BH，∴∠CBH+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝150°，∴∠CBH＝30°，∴CH＝BC，∵BC＝2.4米，∴CH＝1.2米，∵BA⊥AE，CG⊥AE，BH⊥CG∴四边形ABHG是矩形，∴HG＝AB＝1米，∴CG＝CH+HG＝1.2+12.2（米）．答：杆CD到地面AE的距离是2.2米．故答案为：2.2．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：∵sin∠A＝，∴＝，∵AB＝15，∴BC＝9；∴AC＝＝12，∴tan∠B＝＝＝．18．解：原式＝﹣2×+6×（）2＝﹣+6×＝﹣1﹣+3＝2．19．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC．AE∥FC，∵ED＝BF，∴AD﹣ED＝BC﹣BF，∴AE＝FC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵AE∥FC，∴∠EAC＝∠ACF，∴∠EAC＝∠F AC，∴∠ACF＝∠F AC，∴AF＝FC，∵四边形AFCE是平行四边形，∴平行四边形AFCE是菱形，∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，∴EO＝3，∴S△AEO＝AO•EO＝6，S菱形＝4S△AEO＝24．20．（1）证明：∵点D，E、F分别为AB，AC，BC的中点，∴DF∥AE，DF＝AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵∠A＝90°，AB＝2，tan C＝，∴＝，即＝，解得AC＝4，∵点E为AC的中点，∴AE＝2，∴BE＝＝＝2，即BE的长是2．21．解：延长EF交CH于N，则EF＝AB＝9m，∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，∵CD＝3m，∴NF＝CN＝CD+DN＝（x+3）m，∴EN＝EF+FN＝9+（x+3）＝（x+12）m，在Rt△DNE中，∠DEN＝22°，∴DN＝EN⋅tan22°≈0.4（x+12），∴0.4（x+12）＝x，解得：x＝8，∴DN＝8m，∴DH＝DN+NH＝8+1.2＝9.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为9.2m．22．解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则BF＝DE，DF＝BE，设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC•tan45°＝x（米），∵斜坡CD的坡比为：1，∴＝，在Rt△DCE中，tan∠DCE＝＝，∴∠DCE＝60°，∴DE＝CD•sin60°＝12×＝6（米），CE＝CD•cos60°＝12×＝6（米），∴DF＝BE＝BC+CE＝（x+6）米，AF＝AB﹣BF＝AB﹣DE＝（x﹣6）米，在Rt△ADF中，∠ADF＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝12+12，经检验：x＝12+12是原方程的根，∴AB＝（12+12）米，∴信号柱AB的高度为（12+12）米．。

(必考题)初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷(包含答案解析)(3)

一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕直角边AC 的中点O 旋转，得到DEF ，连接AD ，若DE 恰好经过点C ，且DE 交AB 于点G ，则tan DAG ∠的值为（）A ．524B ．513C ．512D ．7242．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，设A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则下面四个等式一定成立的是（）A ．sin c bB =⋅ B ．cos a c B =⋅C ．tan a b B =⋅D ．tan b c B =⋅ 3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A ．34B ．43 C ．35D ．45 4．在Rt ABC 中，90,3,2C BC AC ∠=︒==，则sin A 的值为（）A ．32B ．23C ．21313D ．31313 5．在Rt ABC 中，90,2,6C AC AB ∠=︒==，则下列结论正确的是（） A ．1sin 3A = B ．2cos 4B = C ．tan 22A = D ．22tan 3B = 6．如图，边长为23的等边三角形AOB 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点C 为AOB 的中心，将AOB 绕点O 以每秒60︒的速度逆时针旋转，则第2021秒，AOB 的中心C 的对应点2021C 的坐标为（）A ．()0,2-B ．()3,1-C ．()1,3D ．()1,3- 7．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（）A ．5B ．2C ．3D ．128．如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使得BD=2DC ，连接AC ，如果5tanB 3=，则tan CAD ∠的值是（）A 3B 3C ．13D ．15 9．在ABC 中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是（） A ．23 B ．13 C 25 D 5 10．如图，在44⨯的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，则BAC ∠的正弦值是（）A ．12B ．55C ．255D ．无法确定 11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若1cos 2B =，则sin A 的值为（） A ．1 B ．12 C ．32 D ．3312．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，若5AC =，BC=2，则sin ∠A 的值为（）A ．5B ．5C ．23D ．25 二、填空题13．江堤的横断面如图，堤高BC 10=米，迎水坡AB 的坡比是1:3，则堤脚AC 的长是______．14．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数()0k y x x=>的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，点C 关于直线y x =的对称点'C 的坐标为()()1,1n n ≠，若OAB 的面积为4．则下列结论：①2n =；②4k =；③不等式k x x <的解集是2x >；④tan 2ABO ，其中正确结论的序号是________．15．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 是AC 边上的中线，则tan ADB ∠的值是______．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝9，AC ＝6，则cos ∠DCB ＝________________ ．17．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6cm ，则AB 的长为_____．18．如图，在菱形ABCD 中，4AB =，45ABC ∠=︒，菱形ABCD 的对角线交于点O ，则ABO 的面积为__________．19．在菱形ABCD 中，AB=4cm ，AB=BD ，则菱形ABCD 的面积是______．20．2sin30°+tan60°×tan30°＝_____．三、解答题21．如图，在河流的右岸边有一高楼AB ，左岸边有一坡度1:2i =的山坡CF ，点C 与点B 在同一水平面上，CF 与AB 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB 的高度，在坡底C 处测得楼顶A 的仰角为45︒，然后沿坡面CF 上行了205米（即205CD =米）到达点D 处，此时在D 处测得楼顶A 的仰角为26.7︒．（参考数据：sin26.70.45︒≈，cos26.70.89︒≈，tan26.70.50︒≈）（1）求点C 到点D 的水平距离CE 的长；（2）求楼AB 的高度． 22．如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点,,A D G 在同一直线上，且5,3AD DE ==，连接,,AC CG AE ，并延长AE 交CG 于点H ．（1）求sin EAC ∠的值．（2）求线段AH 的长．23．如图，建设“五化东安”，打造“绿色发展样板城市”．在数学课外实践活动中，小薇在紫水河北岸的自行车绿化道AC 上，在A 处测得对岸的吴公塔D 位于南偏东60°方向，往东走300米到达B 处，测得对岸的吴公塔D 位于南偏东30°方向．（1）求吴公塔D 到紫水河北岸AC 的距离约为多少米？（精确到13≈1.73）（2）小薇继续向东走到轮船码头C 处，测得对岸的吴公塔D 位于西南方向．已知小薇的平均速度为每小时5千米，小薇从B 处到轮船码头大约几分钟？（精确到1分钟） 24．某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB 上方150米的点C 处悬停，此时测得桥两端,A B 两点的俯角分别为65°和45°，求桥AB 的长度．（参考数据：sin650.91︒≈，cos650.42︒≈，tan65 2.14︒≈；结果精确到0.1米）25．如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头海岸AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45︒方向上；同一时刻，在A 处正东方向距离A 处50米的C 处测得轮船M 在北偏东37︒方向上．（1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果保留整数米）（2）如果轮船M 沿着南偏东22︒的方向就行，那么该轮船能否行至码头海岸AB 靠岸？请说明理由．（参考数据：sin370.60︒≈，tan370.75︒≈，sin 220.37︒≈，tan220.40︒≈）26．（1）计算：230360245sin tan cos ︒+-︒．（2）已知32a b =，求22a b a b -+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连接OG ，由勾股定理求出AB=5，由直角三角形的性质求出CG ，CD ，AD 的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】解：连接OG ，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴222243AC BC+=+，∵点O是AC边的中点，∴OC=OA=OD=12AC=2，∴∠GCO=∠ODC=∠BAC，∠ADC=90°，∴AG=CG，∴OG⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC=35BCAB=，cos∠BAC=45ACAB=，∴sin∠OCG=35，cos∠OCG=45，在Rt△OCG中，CG=5 cos2OCOCG=∠，在Rt△ACD中，CD=AC•cos∠OCG=165，AD=AC•sin∠OCG=125，∴DG=CD-CG=165-52=710，∴tan∠DAG=771012245DGAD==．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据∠B的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可．【详解】解：在△ABC 中，∠C=90°，∵sinB=b c ， ∴c=sin b B，A 选项等式不成立； ∵cosB=a c ， ∴a=c•cosB ，B 选项等式成立；∵tanB=b a ， ∴a=tan b B，C 选项等式不成立； ∵tanB=b a ， ∴b=a•tanB ，D 选项等式不成立；故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键． 3．C解析：C【分析】将α∠转换成β∠去计算正弦值．【详解】解：如图，βα∠=∠，4AB =，3BC =，∴5AC =，则3sin sin 5BC AC αβ===．故选：C ．【点睛】本题考查正弦值的求解，解题的关键是掌握网格图中三角函数值的求解．4．D解析：D【分析】根据勾股定理求出斜边AB ，再根据锐角三角函数的意义求出结果即可；【详解】在Rt ABC 中，由勾股定理可得，AB ==∴sinBC A AB === 故答案选D ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确计算是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据勾股定理求出BC =【详解】∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，6AB =， ∴BC =∴sin 63BC A AB ===，故A 错误；cos sin B A ==，故B 错误；tan ===BC A AC C 正确；tan===AC B BC ，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，结合勾股定理进行计算是解题的关键．6．B解析：B【分析】通过计算画出第2021秒，AOB 的位置，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，求出DC′的长，即可求解．【详解】∵360°÷60°=6，∴AOB 的位置6秒一循环，而2021=6×336+5，∴第2021秒，AOB 的位置如图所示，设点C 的对应点C′，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，则∠DOC′=30°，OD=DB=3， ∴DC′=OD∙tan ∠DOC′=3×tan30°=3×33=1， ∴C′()3,1-．故选B ．【点睛】本题主要考查图形于=与坐标，等边三角形的性质，锐角三角函数，找到图形的变化规律，画出图形，是解题的关键．7．A解析：A【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值．【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =，∴2222215AB AC BC +=+= 5sin 5BC A AB ===，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．8．D解析：D【分析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由5tanB 3=，即53AD AB =，设AD ＝5x ，则AB ＝3x ，利用相似三角形的判定可证△CDE ∽△BDA ，由相似三角形的性质可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得CE ＝32x ，DE ＝52x ，从而可求得tan ∠CAD 的值．解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵5tanB 3=，即53AD AB =， ∴设AD ＝5x ，则AB ＝3x ， ∵∠CDE ＝∠BDA ，∠CED ＝∠BAD ，∴△CDE ∽△BDA ， ∴12CE DE CD AB AD BD ===， ∴CE ＝32x ，DE ＝52x ， ∴AE ＝152x ， ∴tan ∠CAD ＝15CE AE =．故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．9．C解析：C【分析】由tanA=BC AC=2，设BC=2x ，可得AC=x ，Rt △ABC 中利用勾股定理算出5x ，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA 的值．【详解】解：由tanA=BC AC=2，设BC=2x ，则AC=x ， ∵Rt △ABC 中，∠C=90°，∴根据勾股定理，得()222225BC AC x x x +=+=，因此，sinA=255BC AB x== 故选：C ．本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．10．B解析：B【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：2223425AB =+=，2222420AC =+=，222125BC =+=，222AC BC AB ∴+=，ABC ∴为直角三角形，且90ACB ∠=︒，则sin BC BAC AB ∠==，故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键． 11．B解析：B【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin （90°-α）=cosα，cos （90°-α）=sinα解答即可．【详解】解：解：∵在△ABC 中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴sinA= cosB=12，故选：B ．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时， sinA= cosB 是解题的关键． 12．C解析：C【分析】先利用勾股定理求出AB 的长，然后再求sin ∠A 的大小．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，AC =BC=2∴3=∴sin ∠A=23BC AB = 故选：C ．【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．米【分析】在Rt △ABC 中已知了坡面AB 的坡比是铅直高度BC 和水平宽度AC 的比值据此即可求解【详解】解：根据题意得：BC ：AC=1：解得：AC=BC=10（米）故答案为：10米【点睛】本题考查了解直解析：【分析】在Rt △ABC 中，已知了坡面AB 的坡比是铅直高度BC 和水平宽度AC 的比值，据此即可求解．【详解】解：根据题意得：BC ：AC=1解得：故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，理解坡度坡角定义是关键． 14．②④【分析】根据对称性求出C 点坐标进而得OA 与AB 的长度再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n 进而用待定系数法求得k 再利用相关性质即可判断【详解】解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C 的坐标为（1n ）解析：②④【分析】根据对称性求出C 点坐标，进而得OA 与AB 的长度，再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n ，进而用待定系数法求得k ，再利用相关性质即可判断．【详解】解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C'的坐标为（1，n ）（n≠1），∴C （n ，1），∴OA=n ，AC=1，∴AB=2AC=2，∵△OAB 的面积为4，2解得，n=4，故①不正确；∴C（4，1），B（4，1），∴k=4×1=4，故②正确；解方程组4y xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩，得：22xy=⎧⎨=⎩(负值已舍)，∴直线y=x反比例函数(0)ky xx=>的图象的交点为（2，2），观察图象，不等式kxx<的解集是02x<<，故③不正确；∵B（4，1），∴OA=4，AB=2，∴tan ABO2OAAB∠==，故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，正切函数等，关键是根据对称求得C点坐标及由三角形的面积列出方程．15．2【分析】由题意得到则结合角的正切值即可得到答案【详解】解：∵是边上的中线∴∴∵∴∵在中∴；故答案为：2【点睛】本题考查了求角的正切值三角形中线的性质解题的关键是掌握三角形中线的性质正确得到解析：2【分析】由题意，得到12AD AC=，则2ACAD=，结合角的正切值tanABADBAD∠=，即可得到答案．【详解】解：∵BD是AC边上的中线，∴12AD AC=，AD∵AB AC =， ∴2AB AD=， ∵在Rt ABD 中，90A ∠=︒， ∴tan 2AB ADB AD ∠==；故答案为：2．【点睛】本题考查了求角的正切值，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质，正确得到2AB AD=． 16．【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB 然后根据余弦的定义求出cosA 即可【详解】解：在Rt △ABC 中∵CD ⊥AB ∴∠DCB+∠B=90°∵∠ACB ＝90°∴∠A+∠B=90°∴∠A=∠DCB 而解析：23【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB ，然后根据余弦的定义求出cosA 即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB+∠B=90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DCB ，而cosA=AC AB ＝69=23， ∴cos ∠DCB=23．故答案为：23．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边a 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．17．【分析】根据题意过点C 作CD ⊥AB 根据∠B ＝45°得CD ＝BD 根据勾股定理和BC ＝得出BD 再根据∠A ＝30°得出AD 进而分析计算得出AB 即可【详解】解；过点C 作CD ⊥AB 交AB 于D ∵∠B ＝45°∴C 解析：33+【分析】根据题意过点C 作CD ⊥AB ，根据∠B ＝45°，得CD ＝BD ，根据勾股定理和BC ＝6得出BD ，再根据∠A ＝30°，得出AD ，进而分析计算得出AB 即可．【详解】解；过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于D ．∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD ，∵BC 6，∴BD 3∵∠A ＝30°， ∴tan30°＝CD AD， ∴AD ＝30CD tan ︒33＝3， ∴AB ＝AD+BD ＝33．故答案为：33．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．18．【分析】过A 作AE ⊥BC 于点E 则由题意可得AE 的值进一步可求得△ABO 的面积【详解】解：如图过A 作AE ⊥BC 于点E ∵AB=4∠ABC=45°∴AE=AB=∴故答案为【点睛】本题考查菱形性质和解直角三解析：2【分析】过A 作AE ⊥BC 于点E ，则由题意可得AE 的值，进一步可求得△ABO 的面积．【详解】解：如图，过A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB=4，∠ABC=45°，∴AE=AB sin 45︒=24222⨯= ∴1111·422222224ABO ABC S S BC AE ==⨯=⨯⨯= 故答案为22 ．【点睛】本题考查菱形性质和解直角三角形的综合应用，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 19．【分析】根据菱形的性质结合AB=BD 得到△ABD 是等边三角形再利用锐角三角函数关系得出BE 的长即可得出菱形的面积【详解】∵在菱形ABCD 中AB=BD ∴AB=AD=BD=4(cm)∴△ABD 是等边三角解析：283cm【分析】根据菱形的性质结合AB=BD ，得到△ABD 是等边三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE 的长，即可得出菱形的面积．．【详解】∵在菱形ABCD 中，AB=BD ，∴AB=AD=BD=4(cm)，∴△ABD 是等边三角形，∴∠A=60°，过点B 作BE ⊥AD 于E ，∴BE=AB•sin60°=433=， ∴菱形ABCD 的面积S=AD×BE 42383=⨯=(2cm )，故答案为：283cm【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，得出BE 的长是解题关键．20．2【分析】特殊值：sin30°=tan60°=tan30°=本题是特殊角将特殊角的三角函数值代入求解【详解】解：2sin30°+tan60°×tan30°=2×+×=1+1=2【点睛】本题考查了特殊解析：2【分析】特殊值：sin 30° =12，ta n 60°ta n 30°本题是特殊角，将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：2sin30°+ta n60°×ta n30°=2×123=1+1=2【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．三、解答题21．（1）40米；（2）楼AB 的高度为80米．【分析】（1）由CF 的坡度1:2i =，,DE CE ⊥可得1,2DE CE = 设,DE x = 则2,CE x = 由勾股定理可得,CD == = 解方程可得答案；（2）如图，过D 作DH AB ⊥于,H 先证明四边形DEBH 是矩形，可得2040,BH DE DH BE CE BC BC ====+=+，设,AB m = 证明,BC AB m == 可得20,40,AH m DH m =-=+ 由26.7,ADH ∠=︒ 建立方程，再解方程检验即可得到答案．【详解】解：（1） CF 的坡度1:2i =，,DE CE ⊥1,2DE CE ∴= 设,DE x = 则2,CE x =,CD ∴===20,x ∴=240.CE x ∴==（2）如图，过D 作DH AB ⊥于,H,,DE BE AB BE ⊥⊥∴ 四边形DEBH 是矩形，2040,BH DE DH BE CE BC BC ∴====+=+，设,AB m =45,ACB AB BE ∠=︒⊥，45,ACB BAC ∴∠=∠=︒,BC AB m ∴==20,40,AH m DH m ∴=-=+由26.7,ADH ∠=︒tan 26.7,AH DH ∴︒=200.5,40m m -∴=+ 解得：80.m =经检验：80m =符合题意，所以：建筑物AB 的高为：80米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键．22．（1）1717；（2）3417【分析】（1）作EM AC ⊥于M ，根据sin EM EAM AE∠=求出EM 、AE 即可解决问题．（2）先证明GDC EDA ∆≅∆，得GCD EAD ∠=∠，推出AH GC ⊥，再根据1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，即可解决问题．【详解】解：（1）作EM AC ⊥于M ．四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，5AD DC ，45DCA ∠=︒，∴在RT ADE ∆中，90ADE ∠=︒，5AD =，3DE =， 2234AE AD DE∴=+=，在RT EMC ∆中，90EMC ∠=︒，45ECM ∠=︒，2EC =，2EM CM ∴==， ∴在RT AEM ∆中，217sin 34EM EAC AE ∠===．（2）在GDC ∆和EDA ∆中，DG DE GDC EDA DC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，GDC EDA ∴∆≅∆， GCD EAD ∴∠=∠，34GC AE =90DAE AED ∠+∠=︒，DEA CEH ∠=∠，90DCG HEC ∴∠+∠=︒，90EHC ∴∠=︒，AH GC ∴⊥，1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅， ∴11853422AH ⨯⨯=， 2034AH ∴=【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，添加常用辅助线是解决问题的关键，学会用面积法求线段，属于中考常考题型．23．（1）260，（2）5；【分析】（1）如图，过点D 作DH ⊥AC 于点H ．设DH=x 米，通过解直角三角形列方程，得到DH 的长度．（2）求出BC 长，再求时间即可．【详解】解：过点D 作DH ⊥AC 于点H ．由题意可知，∠HBD＝60°，∠DAC＝30°，AB＝300，设DH=x米，在直角△BHD中，tan60°＝DH BH，BH= 3x，tan30°＝DH AH，AH=3x，300=3x-3x，解得，x=1503，∴DH＝1503≈150×1.73≈260．答：求吴公塔D到紫水河北岸AC的距离约为260米．（2）由（1）可知，BH=150米，小薇继续向东走到轮船码头C处，测得对岸的吴公塔D位于西南方向，可知DH=HC=260米，BC=150+260=410（米），410米=0.41千米，小薇从B处到轮船码头的时间为0.410.0825（小时），0.082×60=4.92≈5（分钟），小薇从B处到轮船码头的时间为5分钟．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是构造直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识进行计算．24．1米【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得∠CAD=∠MCA=65°，∠CBD=∠NCB=45°，利用角的三角函数求解即可．【详解】解：如图，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，由题意得65MCA A ∠=∠=︒，45NCB B ∠=∠=︒，150CD =（米），在Rt ACD ∆中，015070.1tan 65 2.14CD AD ==≈（米），在Rt BCD ∆中，45CBD ∠=︒， ∴150BD CD ==（米）∴70.1150220.1AB AD BD =+=+=（米）答：桥AB 的长度约为220.1米．【点睛】本题考查了三角函数的运算，构造直角三角形，利用解直角三角形求边是解题的关键． 25．（1）轮船M 到海岸线l 的距离为200米；（2）该轮船能行至码头海岸AB 靠岸【分析】（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM=x ，解直角三角形即可得到结论；（2）作∠DMF=22°，交l 于点F ．解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM=x ，∵在Rt △CDM 中，CD=DM•tan ∠CMD=x•tan37°，又∵在Rt △ADM 中，∠MAC=45°，∴AD=DM ，∵AD=AC+CD=50+x•tan37°，∴50+x•tan37°=x ，∴50502001tan 3710.75x ︒=≈=--，答：轮船M 到海岸线l 的距离约为200米；（2）作∠DMF=22°，交l 于点F ，在Rt △DMF 中，DF=DM•tan ∠FMD=DM•tan22°≈200×0.40=80（米），∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈200+80=280＜300，所以该轮船能行至码头AB 靠岸．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．26．（1）3；（2）47【分析】（1）将这些特殊角的三角函数值代入求解即可；（2）将比例式转换为等积式后得到a 、b 之间的关系，然后求得两个的比值即可．【详解】（1）23060245sin cos ︒+-︒1222=⨯+ 131=+-3=；（2）设32a x b x ==，，则26242347a b x x a b x x --==++. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，比例的基本性质以及实数的运算，解题的关键是熟记这些特殊角的三角函数值．。

直角三角形的边角关系单元测试

B《直角三角形的边角关系》单元测试题一、选择题，（每题4分，共40分）1.如图，点P （3，4）是∠α的边OA 上的一点，则sin α=( )A ．35B ．45C ．34D ．432. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，tanA = 13，则sinB =( )A．23 C ．724 D3.李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（）A.40°B.30°C.20°D.10°4.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（）A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.没有变化5.等腰三角形的底角为30°，底边长为）A ．4 B． C ．2 D．6. 如图，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度是i =1:3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长 ( )D.6米7.已知tan 1α=，那么2sin cos 2sin cos αααα-+的值等于（） A ．13 B ．12 C ．1 D ．168.若α、β都是锐角，下列说法正确的是( )A ．若sin α= cos β，则α＝β=45°B ．若sin α＝cos β，则α+β=90°C ．若sin α＞cos β，则α＞β D. 若sin α＜cos β，则α＜β9.已知30°<α<60°，下列各式正确的是（） A. ； B. ； C. ； D.10.如果α是锐角，且53cos =α，则)90cos(α-的值为（） A ．53 B ．43 C ．54 D ．51 二、解答题11.在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。

（8分）（1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 的值；（3）求A A 22cos sin +的值；（4）比较sinA 、cosB 的大小12.（每题4分，共16分）(1)3 cos30°+2sin45° (2) ︒+︒-︒+︒+︒30cos 60tan 45tan 60sin 230sin 22(3)︒-︒︒+︒45tan 30cos 260cos 30sin （4）︒-︒+︒-30tan 30tan 30tan 21213.如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB =CD =30m ，两楼间的距离AC =24m ，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？（12分）14.海岛A 的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东60°，航行12海里后到达点C 处，又测得海岛A 位于北偏东30°。

直角三角形的边角关系单元测试卷及答案

直角三角形的边角关系单元测试卷一、选择题：1．如下左图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（） A ．sin A =B ．1tan 2A =C．cos B = D．tan B =2. 在Rt△ABC 中，若各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的各锐角三角函数（）A 、都扩大2倍B 、没有变化C 、缩小2倍D 、不能确定3．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如上中图所示，45AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（） A．B．C．11)，D．1)4．如上右图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2ABCD 15S cm =菱形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（） A ．8米B．C．3D．3米6.如图,长方体的长为15，宽为10，高为2 0，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（） A. 215 B. 255 D. 357.在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A 、C 两地的距离为（） A.km 3310 B.km 335 C.km 25 D.km 35 8．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（）米． A ．25B． C．3D．25+二、填空题：9.计算：sin600·cos300－21=_______. 10.已知∠A 为锐角，sinA ＝53，则tanA ＝__________。

第一章《直角三角形的边角关系》单元检测卷(含答案)

第一章《直角三角形的边角关系》单元检测卷（全卷满分100分限时90分钟）一、选择题：(每小题3分共36分) 1．0)30(tan o 的值是( )A B ．0 C ．1 D 2．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A =35°，则直角边BC 的长是（） A ．sin35m ︒ B ．cos35m ︒ C ．sin 35m ︒ D ．cos35m︒(第2题) (第3题) (第4题)3．如图，△ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan ∠A 的值是（）A ．65 B ． 56C D4．一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（）A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里 5．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（）A ．1米B 米C ．米D ．3米 6．在Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，40A ∠=︒，3BC =，则AC =（） A ．3sin 40︒ B ．3sin50︒ C ．3tan 40︒ D ．3tan50︒ 7．sin 30°+tan 45°－cos 60°的值等于（）A B ．0 C ．1 D8．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB 的长为A ．米B ．米C ．D ． 24米(第8题) (第10题) (第11题)9在∆ABC 中，若∣sin A －12∣+(cos B 2=0则∠C =（）A. 300B. 600 C . 900 D. 120010．轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（）海里．A ．B ．C ．50D ．2511．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆A B ．已知观测点C 到旗杆的距离CE =8m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA =30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB =45°，那么，旗杆AB 的高度是（）A ．m ;B ．（m ;C ．（）m ;D ．（m 12．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =30°， △ABD 是等边三角形，E 是AB 的中点，连结CE 并延长交AD 于F ，如图2，现将四边形ACBD 折叠，使D 与C 重合，HK 为折痕，则sin ∠ACH 的值为（）AB ．71C ．61D二.填空题：（每小题3分共12分） 13．若sinα=12，α是锐角，则α= 度． 14．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E ，点E 为BD 的中点，∠BAC +∠BDC =180°,若AB =CD =5，tan ∠ACB =21,则AD =_________.(第14题) (第15题)15．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，对角线AC 、BD 交于点P ，且AB =BD ，AP =4PC =4，则cos ∠ACB 的值是．16．已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC的费马点（Fermat point ），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB =∠APC =∠BPC =120°时，P 就是△ABC 的费马点，若P 就是△ABC的费马点，若点P 的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD +PE +PF = ．三.解答题：（共52分）17．(6分)计算：sin30cos45tan 601︒⨯︒-︒+18．(8分)如图，205国道旁的马鞍山南部承接产业示范园区里某幢大楼顶部有广告牌C D．习老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（计算结果保留根号）（1）求这幢大楼的高DH；（2）求这块广告牌CD的高度．19．(7分)如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P 在北偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行,有无触礁的危险？20．(7分)如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）21．(7分)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向．求该船航行的速度．22．(8分)南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732=1.732=1.414）23．（9分）在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B 在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A 位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？解析与答案1．C 【解析】试题分析：任何非零实数的零次幂都为1. 2．A. 【解析】试题分析：根据锐角三角函数定义可得sinA =mBCAB BC =，所以BC =sin35m ︒,故选A. 3．A 【解析】试题分析：利用三角函数的定义可知tan ∠A =65．故选A ．4．B. 【解析】试题解析：由题意得∠ABC =60°，AB =BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴AC =AB =40海里．故选B ． 5．A 【解析】试题分析：首先画出符合题意的直角△ABC ，再根据坡角的定义可知∠A =30°，然后利用正弦函数的定义即可求解．解：如图，∵直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =2米， ∴他下降的高度BC =AB •sin 30°=1米．6．D ．【解析】试题分析：如图所示：∵40A ∠=︒，∴50B ∠=︒，根据三角函数的定义可知tan ACB BC=，tan503AC︒=，所以AC =3tan50︒．故选D ． 7．C ．【解析】试题解析：原式=12+1－12=1．故选C ． 8．B ．【解析】试题解析：在Rt △ABC 中， ∵i =12BC AC =，AC =12米， ∴BC =6米，根据勾股定理得：AB =故选B ． 9．D 【解析】试题分析：根据非负数的性质可知：sinA －12=0，cosB =0，然后根据特殊角的三角函数值计算可得：∠A =30°，∠B =30°，再根据三角形的内角和可求得∠C =180°－30°－30°=120°. 故选：D 10．D.试题分析：根据题意，∠1=∠2=30°，∵∠ACD =60°，∴∠ACB =30°+60°=90°，∴∠CBA =75°﹣30°=45°，∴∠A =45°，∴AB =AC.∵BC =50×0.5=25，∴AC =BC =25（海里）．故选D ．11．D 【解析】试题分析：利用∠ECA 的正切值可求得AE ；利用∠ECB 的正切值可求得BE ，有AB =AE +BE ．解：在△EBC 中，有BE =EC ×tan 45°=8，在△AEC 中，有AE =EC ×tan 30°∴AB （米）．故选D ． 12．B ．【解析】试题分析：∵∠BAD =60°，∠CAB =30°，∴∠CAH =90°，在Rt △ABC 中，∠CAB =30°，设BC =a ，∴AB =2BC =2a ，∴AD =AB =2a ，设AH =x ，则HC =HD =AD ﹣AH =2a ﹣x ，在Rt △ABC中，2222(2)3AC a a a =-=，在Rt △ACH 中，222AH AC HC +=，即2223(2)x a a x +=-，解得14x a =，即AH =14a ，∴HC =2a ﹣x =2a ﹣14a =74a ，∴sin ∠ACH =17AH HC =，故选B ．二.填空题：（每小题3分共12分） 13．30° 【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值解答．解：∵sinα=12，α是锐角， ∴α=30°． 14．210. 【解析】试题分析：过点B 作BM ⊥CA ,过点D 作DN ⊥CA ,证△AMB ≌△CDN ,,得∠BAM =∠DCN ,而∠BAC +∠BDC =180°，得到CE =DE ,再根据点E 为BD 的中点，得BE =CE =DE , △BCD 是直角三角形.依据∠EBC =∠ECB , tan ∠ACB =21,DC =5得BC =10,在△BCM 中,根据tan ∠ACB =21得BM =,DN =,CM =,在△AMB 中,AM =,所以CN AN =△AND 是等腰直角三角形,根据勾股定理求得斜边AD =.15．33. 【解析】试题分析：如图：作BE ⊥AD 于E ，交AC 于O ，则BE ∥CD ，由AB =BD 得E 是AD 的中点，因此OE 是△ACD 的一条中位线，从而O 是AC 的中点，以O 为圆心，OA 为半径作圆，则由∠ABC =∠ADC =90°可知该圆经过A 、B 、C 、D 四点，易知 AP =4，PC =1，AC =AP +PC =5，因此，OA =OC =2.5．OP =OC ﹣PC =1.5，由BE ∥CD 得，BP ：PD =OP ：PC =1.5，因此BP =1.5PD ，从而 AB =BD =BP +PD =2.5PD ，由相交弦定理得 BP •PD =AP •PC =4，即 1.5PD 2=4，因此 PD 2=83，从而 AB 2=（2.5PD ）2=6.25PD 2=503，由勾股定理得BC 2=AC 2﹣AB 2=52﹣503=253，因此 BC =3，∴cos ∠ACB =BC ：AC =3．161．【解析】试题分析：如图：等腰Rt △DEF 中，DE =DF ，过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F分别作∠MEP =∠MFP =30°，则EM =DM =1，故cos 30°=EMEP ，解得：PE =PF 3，则PM 故DP =1则PD +PE +PF +11．1．三.解答题：（共52分）17 1.- 【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值，和绝对值的性质可直接代入求值．试题解析：sin30cos45tan 601︒⨯︒-︒+112=-1.=- 18．（1）153+1.6（2）31﹣153 【解析】试题分析：根据题意构造直角三角形Rt △DME 与Rt △CNE ；应利用ME －NE =AB =14构造方程关系式，进而可解即可求出答案．试题解析：（1）在Rt △DME 中，ME =AH =45米；由tan 30DEME=，得DE =45×3又因为EH =MA =1.6米，因而大楼DH =DE +EH =（153+1.6）米；（2）又在Rt △CNE 中，NE =45﹣14=31米，由tan 45CENE=，得CE =NE =31米；因而广告牌CD =CE ﹣DE =（31﹣153）米；答：楼高DH 为（153+1.6）米，广告牌CD 的高度为（31﹣153）米． 19．无触礁危险【解析】试题分析：过P 作AB 的垂线PD ，在直角△BPD 中可以求的∠P AD 的度数是30度，即可证明△APB 是等腰三角形，即可求得BP 的长，进而在直角△BPD 中，利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，从而求得PD 的长，即可确定继续向东航行是否有触礁的危险，确定是否能一直向东航行．试题解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C ，∠P AB =15°，∠APB =15°， ∴BA =BP =2×20=40海里。

北师大版第一章直角三角形的边角关系单元检测题(含答案)

第一章直角三角形的边角关系检测题【本检测题满分:120分，时间:120分钟】一、选择题（每小题3分，共30分） 1.计算：A. B.232+ C.23 D.231+2.在△中，∠＝90°，如果，，那么sin 的值是( )A.21 B.55C.33 D. 233.在△中，∠＝90︒，，，则sin( )A. 34B. 53 C. 43 D. 454. 在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB =5∶12∶13，则cos B （） A ．125 B ．512C ．135 D ．13125.在△中，∠=90°，，则sin 的值是（）C. 1D.126.已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（） A.43 B.45C.54D.347.如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( ) A.B.25 mC.45 mD.310m第7题图8.如图，在菱形中，，3cos 5A =，，则tan ∠的值是（）A ．12 B ．2 CD9.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（） A. 5B.C. 7D.10.如图，已知45°＜∠A ＜90°，则下列各式成立的是( ) A. B. C.D.二、填空题（每小题3分，共24分）11.在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A =______. 12.若∠是锐角，cos ＝23，则∠＝_________. 13.如图，小兰想测量南塔的高度. 她在处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计，732.13≈）14.等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ ．15. 如图，已知Rt△中，斜边上的高，，则________.16.如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则_ ．17.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________.第10题图①ABC②ABC 第17题图18.如图，在四边形中，，，，，则__________.三、解答题（共66分）19.（8分）计算下列各题：(1)()42460sin45cos22+-；（2）2330tan3)2(0-+-- .20.（6分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A ，测得由点看大树顶端C的仰角为35°；(2)在点A和大树之间选择一点B（A、B、D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；(3)量出A、B两点间的距离为4.5 .请你根据以上数据求出大树CD的高度.(结果保留3个有效数字)21.（6分）每年的5月15日是“世界助残日”.某商场门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过，已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上)，问此商场能否把台阶换成斜坡?（参考数据：)22.（6分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m，请你计算出该建筑物的高度．（取3≈1.732，结果精确到1 m）23.（6分）如图，在梯形中，∥，，．（1）求sin∠的值；（2）若长度为，求梯形的面积．24.（6分）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500 m到达目的地C点．求: （1）A、C两地之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的什么方向．25.（13分）已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜坡60，求山的高前进400米到D处（即∠，米），测得A的仰角为度AB．26.（15分）一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部充分利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？参考答案一、选择题 1.C 解析：2.A 解析：3.D 解析：由勾股定理知，所以所以sin.54=AB AC 4.C 解析：设，则，，则，所以△是直角三角形，且∠．所以在△ABC 中，135135==x x AB BC ． 5.B 解析：因为∠=90°，，所以6.A 解析：如图，设则由勾股定理知，所以tan B.7.B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得8.B 解析：设又因为在菱形中，所以所以所以由勾股定理知所以29.A解析：设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边长BC 第6题答图10.B 解析：在锐角三角函数中仅当45°时，，所以选项错误；因为45°＜∠A ＜90°，所以∠B ＜45°，即∠A ＞∠B ，所以BC ＞AC ，所以AB BC ＞ABAC，即，所以选项正确，选项错误ACBC＞1，＜1，所以选项错误. 二、填空题 11. 解析：如图12.30° 解析：因为23，∠A 是锐角，所以∠13.43.3 解析：因为，所以所以所以).14.15°或75° 解析：如图，.在图①中，，所以∠∠；在图②中，，所以∠∠.15. 解析：在Rt△中，∵，∴ sin B =，．在Rt△中，∵，sin B =，∴．B第14题答图BCD②BC ①在Rt△中，∵，∴．16.5解析：设每个小方格的边长为1，利用网格,从点向所在直线作垂线,利用勾股定理得,所以17.76 解析：如图，因为，所以由勾股定理得所以这个风车的外围周长为18. 解析：如图，延长、交于点， ∵ ∠，∴．∵ ，∴，∴．∵，∴．三、解答题19.解：（1）()46223222242460sin 45cos 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+-.226262262322=+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2）2330tan 3)2(0-+--3231-+-=.323-=20.解：∵ ∠90°, ∠45°，∴∵，∴则 m ，∵ ∠35°，∴ tan ∠tan 35°5.4+x x.D整理，得35tan 135tan 5.4-⨯=x ≈10.5. 故大树的高约为10.521.解：因为所以斜坡的坡角小于，故此商场能把台阶换成斜坡. 22.解：设，则由题意可知，m ．在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝AE CE，即tan 30°＝100+x x ， ∴33100=+x x ，即3x 3(x ＋100)，解得x 50＋503.经检验，50＋503是原方程的解．∴故该建筑物的高度约为23.解：(1)∵ ，∴ ∠∠.∵∥，∴ ∠∠∠.在梯形中，∵， ∴ ∠∠∠∠∵，∴ 3∠ ，∴ ∠30º ，∴（2）过点作于点.在Rt △中，•∠，• ∠，∴在Rt△中，，∴24. 分析：（1）根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．（2）求出∠DAC的度数，即可求出方向．解：（1）如图，过B点作BE∥AD，∴∠DAB=∠ABE=60°．∵，∴∠，即△ABC为直角三角形．由已知可得：m，m，由勾股定理可得：，所以（m）.（2）在Rt△ABC中，∵m，m，∴∠.∵∠，∴∠，即C点在A点的北偏东30°的方向．25.解:如图，作⊥于，⊥于，在Rt△中，∠，米，所以（米），（米）.在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设米，则（米）. 在矩形DEBF 中，米，在Rt △ACB 中， ∠，∴ ，即：x x +=+32002003，∴ ， ∴米． 26.解：由左图可知：BE ⊥DC ，m ，. 在Rt △BEC 中，)(506.030sin sin m BE BC BC BE ===∴=αα，（m ）. 由勾股定理得， m.在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形的面积＝梯形的面积．1202120204*********EC ⋅⨯+⨯=⨯⨯+⨯∴，解得＝80（m ）.∴ 改造后坡面的坡度4:180:20:11===EC E B i .。

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《直角三角形的边角关系》单元测试试卷（含答案）
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 已知，则锐角的度数是
A. B. C. D.
2. 在中，若三边，，满足，则
A. B. C. D.
3. 为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道（如图所
示）．我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数．具体按键顺序是
A. B.
C. D.
4. 如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则
的值为
A. B. C. D.
5. 如图所示，已知中，，，，，则的度数为
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，，，那么的值等于
A. B. C. D.
7. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之
比），坝高，则坡面的长度是
A. B. C. D.
8. 如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部
处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共20分）
9. 已知锐角与锐角的余弦值满足，则与的大小关系是：．
10. 用计算器求的值，按键顺序是．
11. 如图，中，若交于，且，，则
．
12. 如图，一游人由山脚沿坡角为的山坡行走，到达一个景点，再由沿山坡
行走到达山顶，若在山顶处观测到景点的俯角为，则山高（结果用根号表示）．
13. 如图，在中，，以直角顶点为圆心，长为半径画弧交于点，过
作于点．若，则的周长用含的代数式表示为．
三、解答题（共5小题；共40分）
14. 已知在中，为直角，，，的对边分别为，，．解下列问题：
（1）已知：，，求（精确到）．
（2）已知：，，求（精确到）．
15. 解答题：
计算：．
16. 2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第颗新一代北斗
星送入预定轨道，如图，火箭从地面处发射，当火箭达到点时，从位于地面处雷达站测得的距离是，仰角为；秒后火箭到达点，此时测得仰角为 . （参考数据：，，，，，）.
（1）求发射台与雷达站之间的距离；
（2）求这枚火箭从到的平均速度是多少（结果精确到）?
17. 如图，为了测量山顶铁塔的高，小明在的楼底部测得塔顶的仰角为，在
楼顶测得塔顶的仰角为．已知山高为，楼的底部与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高（参考数据：，）．
18. 阅读下面材料：
小凯遇到这样一个问题：如图①，在四边形中，对角线，相交于点，，，，求四边形的面积．小凯发现，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，，设的长为，通过计算与的面积和使问题得到解决（如图②）．
请回答：
（1）的面积为（用含的式子表示）．
（2）求四边形的面积．
（3）参考小凯思考问题的方法，解决问题：
如图③，在四边形中，对角线，相交于点，，，
，则四边形的面积为（用含，，的式子表示）．
答案
第一部分
1. A
2. C 【解析】设，则，．因为，即
，所以是直角三角形．在中，．
3. A
4. A
5. B
6. D 【解析】在中，，，，
．
．
7. B 【解析】坡比是坡角的正切值．
8. A 【解析】提示： .
第二部分
9.
10. 先按，再按，最后按等号．
11.
12.
【解析】过点作，作垂足分别为、 .
由题意可知， .
，，，，
， .
，
.
（）.
13.
【解析】在中，，
．
，，
为等边三角形．
．
．
又，，
．
，．
周长为．
第三部分
14. （1）在中，，
．
．
（2）在中，，
，
．
15•
16. （1）在中，，，
由，得
．
答：发射台与雷达站之间的距离为；
（2）在中，，，
由，得
\（BL=LR\cdot \tan \angle BRL=4.44\times\tan45.5^\circ \thickapprox4.44\times1.02=4.5288\left（\mathrm {km}\right）\），
，
，
．
答：这枚火箭从到的平均速度大约是．17. 如图，过点作于点．
设铁塔高，
由题意得，
．
在中，，，则；
在中，，，则．
，
，解得．
答：该铁塔的高约为．
18. （1）
（2）由题意可知，
，，
．
．
同理，．
．
．
（3）。

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