反比例函数及综合问题经典题型

反比例函数及综合问题方法指导

1.反比例函数知识梳理：

1．反比例函数的图象和性质k>0 图象经过第

一、三象限

（x、y同号）

每个象限内，函数y的值随x的

增大而减小.

k<0 图象经过第

二、四象限

（x、y异号）

每个象限内，函数y的值随x

的增大而增大.

2.反比例函数的

图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；

（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．

3.系数k的几何

意义（1）意义：从反比例函数y＝

k

x

(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.

（2）常见的面积类型：

4.与一次函数的

综合（1）确定交点坐标：

【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.

【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.

（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解

（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.

也可逐一选项判断、排除.

（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下

方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.

【题型剖析】

【类型1】：反比例函数的图象和性质问题

【例题解析】：

有这样一个问题：探究函数y=+的图象和性质．

小奥根据学习函数的经验，对函数y=+的图象和性质进行了探究．

下面是小奥的探究过程，请补充完整：

（1）函数y=+的自变量x的取值范围是x≠0 ；

（2）下表是y与x的几组对应值：

x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 5 …

y …﹣﹣﹣﹣2 ﹣﹣ 2 m …

求m的值；

（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，2）．结合函数图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：当x＞2时，y随x的增大而增大．

1. 如图，在直角坐标系中，点A 在函数)0(4

>=x x

y 的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数)0(4

>=

x x

y 的图象交于点D 。连结AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于（ ）

A. 2

B. 32

C. 4

D. 34

2. 如图，矩形C ABO 的顶点O 在坐标原点，顶点B 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，顶点A 在反比例函数k

y x

=

（k 为常数，0k >，0x >）的图象上，将矩形C ABO 绕点A 按逆时针方向旋转90得到矩形C '''AB O ，若点O 的对应点'O 恰好落在此反比例函数图象上，则C

OB

O 的值是 ．

【类型2】： 反比例函数与一次函数的交点问题 【例题解析】：

如图，函数y=（x ＜0）与y=ax+b 的图象交于点A （﹣1，n ）和点B （﹣2，1）．

（1）求k ，a ，b 的值；（2）直线y=mx 与y=（x ＜0）的图象交于点P ，与y=﹣x+1的图象交于点Q ，当∠PAQ ＞90°时，直接写出m 的取值范围．

如图，直线y=2x﹣6与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．

（1）求k的值及点B的坐标；

（2）过点B作BD⊥x轴交反比例函数的图象于点D，求点D的坐标和△ABD的面积；

（3）观察图象，写出不等式＞2x﹣6的解集．

【类型3】：反比例函数的应用

【例题解析】：

月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y （万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）

（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；

（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．

（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．

某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：

（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；

（2）求出图中a的值；

（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．

【类型4】：反比例函数的综合问题

【例题解析】：

如图，平面直角坐标系中两条直线OC⊥BC，垂足为C，其OC=2cm，∠COB=60°，反比例函数y=的图象过点C．

（1）求：反比例函数表达式和点B的坐标；

（2）若现有长为1cm的线段MN在线段OB上沿OB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点O重合，N到点B停止运动），过M、N作OB的垂线分别交直线OC、BC于P、Q两点，线段MN运动的时间为ts．

①若△OMP的面积为S．求出当0＜t≤1时，S与t的函数关系式；

②线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若可能，直接写出此时t的值；若不可能，说明理由．