多元函数微分法ppt课件
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把 z f (u, x, y) 中 的 u 及 y
把复合函数 z f [(x, y), x, y] 中的 y 看作不 看作不变而对 x 的
偏导数
医用高等数学
z z u 3, x y u 2 x y 例4-23 设 z 求 、 x y
2
.
解
z f u f 2 u 23 y x u x x
z y
x u z u z v 2 u l n v ( 2) ( 2 ) y v u y v y
2 2
2
2 x 2 x 2l n ( 3 x 2) y 2 y y( 3 x 2) y
医用高等数学
z 例4-21 设 z ( 1x y) , 求 x
的偏导数都存在,函数在 z f (u ,v ) 对应点 ( u , v ) 可微，则
f [ ( x , y ) ,( x , y ) ] 复合函数 z 在点 ( x , y ) 处存在对 x 、 y
的偏导数,且
z z u z v , x u x v x
医用高等数学
2. 中间变量既有一元函数又有二元函数的情形
zf( uxy , , )其中
即
u (x ,y ) u
x
y
z fu [(, x yx ) ,, y ] z
x
y
z f u f , x u x x
两者的区别
变而对 x 的偏导数
z f u f . y u y y
医用高等数学
1u v w 2Hale Waihona Puke Baidu 2 x 2 x 2) y r r r r
同理
2 3 (x u x vy w ) r 2x 2 ( x y 2 )2
z d z z u z v z w 2y ( ) 2 2 2 yd r u y v y wy (x y )
4 ( 2 x y )387 y x y
z f u f 2 u 13 x y u y y
2 ( 2 x y )372 x x y
医用高等数学
3. 中间变量均为一元函数
u ,v ) () , vx (),则复合函数 设 z f ( 可微,且 uuxv
z z u z v . y u y v y
医用高等数学
锁链式法则如图示
u
z
v
x
y
(1) 单链是导数关系,多链是偏导关系; (2) 一条链之间,依次求导相乘; (3) 各条链之间,求导后逐渐相加. 注意 上述运算法则对中间变量或自变量多于或少 于两个的情形仍然适用.
y
v
w
医用高等数学
u x2 y2 , , 其中 2 u2 v2 w z z 2 2 、 . v x y , w 2xy, 求 y x
例4-22 设 z
1
1 解 :设 r u v w ,则 z r
2 2 2
u
x
由锁链法则
z
r
v
w
y
zd z z u z v zw ( ) xd r ux v x w x
v u xu l n1 u
v
v 1
y 1 y x y ( 1 x y ) ( 1 x y ) l n ( 1 x y )
x y ( 1 x y )[ l n ( 1 x y ) ] 1 x y
y
医用高等数学
推论:
zf( uvw , , ) 其中
多元函数微分法 教学
医用高等数学
第三节
多元函数微分法
一、复合函数微分法
二、隐函数微分法
医用高等数学
一、复合函数微分法
我们知道 : 如果函数u ( x )在点 x处可导 , 而 y f ( u)在 x点对应u处可导 , 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x处可导, 且其导数为
wx ( ,y ) (x , y), w uu (x ,y ) , vv
z z u z v zw x ux vx w x z
z z u zv z w y u y vy wy
u
x
dy du dx du dx
dy
这一法则称为一元复合函数的锁链式求导法.现在,我 们将这一法则推广到多元复合函数.
医用高等数学
1. 中间变量是二元函数的情形
(x ,y ) , z f (u ,v )其中 u
定理4-4
v (x ,y )
设函数 u (x ,y ) 、v (x ,y ) 在点 ( x , y )
医用高等数学
z 求 x
x 例4-20 设 z u lnv , 而 u y
2
， v3 x2 y，
z 解: x
z 、 . y
z u z v u x v x
1 u2 2ulnv 3 y v
2 2 x 3 x 2l n ( 3 x 2) y 2 y y( 3 x 2) y
z fu [() x ,v () x ] 为 x 的一元函数, 对 x 求导,得
d z zd u zd v d x ud x vd x
u
z
x
全导数
v
医用高等数学
例4-24 设 z e
u 2v
d z inx，v x ,求 , 而 us . dx
y
z 、 y
.
v
解: 令
u 1x y , v y ,则 z u
z z u z v x u x v x
v 1 v 2 y 1 v u y u l n u 0 y ( 1) x y
z y
z u z v u y v y
把复合函数 z f [(x, y), x, y] 中的 y 看作不 看作不变而对 x 的
偏导数
医用高等数学
z z u 3, x y u 2 x y 例4-23 设 z 求 、 x y
2
.
解
z f u f 2 u 23 y x u x x
z y
x u z u z v 2 u l n v ( 2) ( 2 ) y v u y v y
2 2
2
2 x 2 x 2l n ( 3 x 2) y 2 y y( 3 x 2) y
医用高等数学
z 例4-21 设 z ( 1x y) , 求 x
的偏导数都存在,函数在 z f (u ,v ) 对应点 ( u , v ) 可微，则
f [ ( x , y ) ,( x , y ) ] 复合函数 z 在点 ( x , y ) 处存在对 x 、 y
的偏导数,且
z z u z v , x u x v x
医用高等数学
2. 中间变量既有一元函数又有二元函数的情形
zf( uxy , , )其中
即
u (x ,y ) u
x
y
z fu [(, x yx ) ,, y ] z
x
y
z f u f , x u x x
两者的区别
变而对 x 的偏导数
z f u f . y u y y
医用高等数学
1u v w 2Hale Waihona Puke Baidu 2 x 2 x 2) y r r r r
同理
2 3 (x u x vy w ) r 2x 2 ( x y 2 )2
z d z z u z v z w 2y ( ) 2 2 2 yd r u y v y wy (x y )
4 ( 2 x y )387 y x y
z f u f 2 u 13 x y u y y
2 ( 2 x y )372 x x y
医用高等数学
3. 中间变量均为一元函数
u ,v ) () , vx (),则复合函数 设 z f ( 可微,且 uuxv
z z u z v . y u y v y
医用高等数学
锁链式法则如图示
u
z
v
x
y
(1) 单链是导数关系,多链是偏导关系; (2) 一条链之间,依次求导相乘; (3) 各条链之间,求导后逐渐相加. 注意 上述运算法则对中间变量或自变量多于或少 于两个的情形仍然适用.
y
v
w
医用高等数学
u x2 y2 , , 其中 2 u2 v2 w z z 2 2 、 . v x y , w 2xy, 求 y x
例4-22 设 z
1
1 解 :设 r u v w ,则 z r
2 2 2
u
x
由锁链法则
z
r
v
w
y
zd z z u z v zw ( ) xd r ux v x w x
v u xu l n1 u
v
v 1
y 1 y x y ( 1 x y ) ( 1 x y ) l n ( 1 x y )
x y ( 1 x y )[ l n ( 1 x y ) ] 1 x y
y
医用高等数学
推论:
zf( uvw , , ) 其中
多元函数微分法 教学
医用高等数学
第三节
多元函数微分法
一、复合函数微分法
二、隐函数微分法
医用高等数学
一、复合函数微分法
我们知道 : 如果函数u ( x )在点 x处可导 , 而 y f ( u)在 x点对应u处可导 , 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x处可导, 且其导数为
wx ( ,y ) (x , y), w uu (x ,y ) , vv
z z u z v zw x ux vx w x z
z z u zv z w y u y vy wy
u
x
dy du dx du dx
dy
这一法则称为一元复合函数的锁链式求导法.现在,我 们将这一法则推广到多元复合函数.
医用高等数学
1. 中间变量是二元函数的情形
(x ,y ) , z f (u ,v )其中 u
定理4-4
v (x ,y )
设函数 u (x ,y ) 、v (x ,y ) 在点 ( x , y )
医用高等数学
z 求 x
x 例4-20 设 z u lnv , 而 u y
2
， v3 x2 y，
z 解: x
z 、 . y
z u z v u x v x
1 u2 2ulnv 3 y v
2 2 x 3 x 2l n ( 3 x 2) y 2 y y( 3 x 2) y
z fu [() x ,v () x ] 为 x 的一元函数, 对 x 求导,得
d z zd u zd v d x ud x vd x
u
z
x
全导数
v
医用高等数学
例4-24 设 z e
u 2v
d z inx，v x ,求 , 而 us . dx
y
z 、 y
.
v
解: 令
u 1x y , v y ,则 z u
z z u z v x u x v x
v 1 v 2 y 1 v u y u l n u 0 y ( 1) x y
z y
z u z v u y v y