第一讲 数的整除
01-第一章-数的整除-六年级(上)-知识点汇总-沪教版
第一章数的整除1.1 整数和整除的意义1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2、在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3、零和正整数统称为自然数4、正整数、负整数和零统称为整数5、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a1.2 因数和倍数1、如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数2、倍数和因数是相互依存的3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3 能被2, 5整除的数1、个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2、整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3、在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5、个位数字是0,5的数都能被5整除6、0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1、只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2、除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3、1既不是素数也不是合数4、奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数7、分解素因数方法：树枝分解法、短除法1.5 公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3、把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4、如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5、如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6 公倍数与最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2、几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3、求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4、如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积试试你的身手！一：填空题（每空1分，共22分）1．3.6÷2＝1.8，（能，不能）说2整除2.8。
第1讲 数的整除(1)
第一讲数的整除（1）【知识梳理】1、整除的定义：对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a，记做b a。
a就是b的倍数，b是a的因数（或因数）。
2、一些数的整除特征：①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）；②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数；③被5整除的特征：数的个位上是0、5；④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数；⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数；⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数。
【例题精讲】例1、按要求写出符合要求的数：一个四位数467□。
（1）要使它是2的倍数，这个数可能是（）；（2）要使它是5的倍数，这个数可能是（）；（3）要使它既含有因数2，又含有因数5，这个数是（）。
分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数数；个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0的数，能同时被2和5整除。
解答：（1）这个数可能是4670、4672、4674、4676、4678。
（2）这个数可能是4670、4675。
（3）这个数是4670。
例2、判断47382能否被3或9整除？分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。
47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。
解答：47382能被3整除，不能被9整除。
例3、判断：1864能否被4整除？分析：能被4整除的数的特点是这个数的末两位是4的倍数， 1864的末两位是64，64是4的倍数。
能被125整除的数的特点是这个数的末三位是125的倍数，29375的末三位是375，375是125的倍数。
解答：1864能被4整除，29375能被125整除。
例4、29372能否被8整除？分析：能被125整除的数的特点是这个数的末三位是8的倍数，29372的末三位是372，372不是8的倍数。
数的整除(1)
第一讲数的整除(1)【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。
解析：我们可设a为大于1的正整数，那么和它相邻的两个整数为a－1和a＋1，这三个数之和为a－1＋a＋a＋1＝3a，所以我们可以说三个连续的正整数之和一定能被3整除。
【知识点】1、整数和整除的意义整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
注意整除的条件： (1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
2、自然数和整数零和正整数统称为自然数．正整数．零和负整数统称为整数.【基本习题限时训练】1、下列算式中表示整除的算式是（）（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3（C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝3【解】B2、下列各组数中，均为自然数的是（）（A） 1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3（C）23，34，45（D） 2，4，6【解】D3、下列说法正确的是……………………………………………………（）（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1（C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是14、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；（3）3248÷=，则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。
【解】（1）不正确。
零是整数，也是自然数；（2）正确（3）不正确。
应该是32能被4整除；（4）正确5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？【解】四个数中能被2整除的数有24、88，共两个。
6、正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。
【解】a可以是1，2，3，4，6，9，12，18，36.【拓展题】1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。
【解】设相邻的三个奇数分别为1n（n为大于1的正整数），根据题意-nn,1+,建立方程306nn，求得方程的解102=-nn，这三个自然数为101，102，+1=1++103.点评：此题主要考查的知识点整数的表示方法。
第一讲 数的整除
第一讲 数论（1）—数的整除【知识要点】1.整除的意义：在小学阶段讲“数的整除”时所说的数一般指自然数，不包括0。
数a 除以数b ，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a 能被b 整除，或者说b 能整除a2.“数的整除”概念归类整理如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎩⎨⎧→→=÷整除的数的特征能被大数是小数的倍数两个数是互质数最小公倍数的倍数或是倍数小数是大数的约数两个数是互质数最大公约数的约数是或约数合数和质数奇数和偶数都是自然数整除5321,,,，，c b a a c b 、c b a c b a 3. 能被2，3，4，5，7，8，9，11，13整除的数的特征：（略）【基础练习】(1) 在13和52两个数里，( )能被( )整除，( )是( )的约数，( )是( )的倍数。
(2) 能被5，7，16整除的最小自然数是( )。
(3) 在18，30，45，84，244，225，360，420这些数中，能被2整除的数是( ),能被3整除的数是( )，能被2，3，5整除的的数是( )。
(4) 能被3和5同时整除的最大两位数是( )；是2的倍数又含有约数5的最小三位数是( )。
(5) 从0，1，4，6，7这五个数中，选取四个数字组成一个最大的四位数，且同时能被2，3，5整除。
这个四位数是( )。
(6) 在□里填上合适的数，使17□45□能同时被2，3，5整除，共有( )种填法。
(7)在11÷2，31÷5，51÷3中，( )能被( )整除，( )叫做( )的约数，( )叫做( )倍数。
(8)一个数被6、7、8除都余1，这个数最小是（）。
(9)有9、7、2、1、0五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被2、3、5整除的最小的四位数是（）。
(10) 一个能被9、12、15整除的最小数是（）【典型例题】1．在□中填入适当的数字。
185□能被4整除 467□能被8整除 785□5能被11整除2．100名学生面向老师站成一排，按从左到右的顺序依次报1，2，3，…，100。
第1讲 数的整除-学生讲义
第1讲数的整除一、知识点1.整除的概念：整数a 除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，则称a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，其中a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
注意：我们讨论的整除性均在正整数范围内。
2.数的整除特征（1）一个数的个位数字是0，2，4，6，8中的某一个，那么这个整数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字是0或者5，那么这个整数就能被5整除。
（3）一个数各数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除。
（4）一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）|（7）一个数既能被2整除，又能被3整除，则这个数能被6整除，反之一个数能被6整除，则这个数一定能被6的因数（1,2,3,6）整除。
（8）能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。
（9）能被7（11或13）整除的特征：一个数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。
3.数整除的性质（1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被数c整除（2）如果数a能被数b整除，c是整数，那么ac也能被数b整除。
（3）如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么数a也一定能被数c整除。
（4）如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。
二、典例剖析#例1.周老师为全班28名同学买了价格相同的钢笔（每人一支），共付人民币9□.2□元。
已知□处数字相同，请问钢笔每支多少元练一练1.老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数□□元，回校后发现有两个数字已经看不清了，你能帮助补上这两个数字吗|例2.已知292x y 能被36整除，求所有满足条件的五位数。
四年级奥数第一讲数的整除性(三)
第一讲数的整除性（三）知识要点我们已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
如：837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。
再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。
小学数论解析
第一讲：数的整除【知识准备】根据整除的性质，能被2、3、5、4、8、9、11、25、125以及能够被7、11、13同时整除的数的特征综合思考。
知识点：（1）个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位数字是0或者5的数都是5的倍数。
（2）个位数字的和是3或者9的倍数的数字，都能被3或9整除。
（3）一个数末两位数字能被4或25的倍数，这样的数能够被4或25整除。
（4）一个数字末三位数是8或者125的倍数，这样的数字能够被8或125整除。
（5）一个数字的偶数位上数字之和与奇数位上数字之和的差（大减小）能被11整除，这样的数字就能被11整除。
（6）对于一个位数较多的数字，将这个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为一个数字，如果这两个数之差是7、11、13的倍数，这个数就能被7、11、13整除。
例1：能被2、3、5同时整除的最小的三位数是多少？最大的三位数呢？分析：要想保证能被2、5同时整除，这个数字个位必须是0，要想最小百位只能选择1，还要能被3整除，十位数字最小填2，所以最小的三位数是120.最大的三位数百位9、个位0，十位最大选择9，所以是990.练习：（1）、最高位数字是1，并且能被2、3、5同时整除的最小四位数是多少？（2）□1375在方框中填入一个数字，使得这个四位数能被5和11同时整除？（3）在算式□+91=○中，□盖住的是一个能被9整除的两位数，○盖住的是7的倍数，那么□盖住的数字是多少？例2：已知六位数□2008□能被55整除，这个六位数是多少？分析：能被55整除就是说这个数字必须是5的倍数，又是11的倍数。
按照能被5整除的数的特征，个位可以是0或者5.如果个位是是0，那么奇数位上的数字和2，偶数位上的数字和只有是13，所以最高位上的数字是5，所以这个六位数可以是520080.如果个位选择0，那么奇数位上数字之和是7，偶数为上的数字和只有18，实现不了，所以答案是唯一的。
探索练习：1.已知六位数A3826B6能被72整除，这个六位数是多少？2.把789这个三位数连续写多少次，所组成的数字能被9整除？3.一张纸上有一个没有重复数字的五位数3□6□5，已知这个数字能被75整除，那么满足条件的五位数可能是多少？例题3：一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于2000，那么这两个质数的和是多少？分析：设两个质数分别是x和y则:3x+2y=2000,因为和2000是偶数，2y也是偶数，所以3 x 也是偶数，那么x只能是质数2，代入上面的式子得出y等于997，所以这两个质数的和是2+997=999.练习：1）a、b、c、d、e、f六个连续质数从大到小排列，它们的和是一个奇数，那么c是多少？2）一个质数的7倍加上另一个质数的2倍和是100，这两个质数的和是多少？3)一个数字的20倍减去1后能被153整除，这样的自然数中最小是多少？数的整除练习：1）能同时被2、3、5整除的最小的自然数是（）,最大的两位数是( )。
初中奥数-专题一(实数)
专题一 实数第一讲 数的整除（一）一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y例2己知五位数x 1234能被12整除，求X例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数三、练习1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？1234能被15整除，试求A的值。
华罗庚学校五年级数学(上册)教材(第1-8讲,共15讲)
本系列共15 讲第一讲数的整除问题.一．基本概念和知识1．整除——约数和倍数一般地，如 a、b、c 为整数，b≠0，且a÷b = c，即整数 a 除以整数b（b≠0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b 整除（或者说b 能整除a）。
记作b︱ a。
否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。
如果整数a能被整数b整除，a 就叫做b的倍数，b 就叫做a的约数（或因数）。
2．数的整除性质性质1：如果a、b 都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。
性质3：如果b、c 都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
性质4：如果c能整除b，b 能整除a，那么c能整除a。
3．数的整除特征y y y y ① 能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数。
② 能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。
③ 能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。
④ 能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25） 整除。
⑤ 能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125） 整除。
⑥ 能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。
⑦ 能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数 与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除。
二． 例题例 1：已知 45︱ 1993 x ，求所有满足条件的六位数 1993 。
x解：∵ 45=5×9，∴ 根据整除“性质 2”可知5︱ 1993 x ，9︱ 1993 ， xy y ∴ y 可取 0 或 5。
当 y =0 时，根据 9︱当 y =5 时，根据 9︱ 1993 x1993 x 及数的整除特征③可知 x =5； 及数的整除特征③可知 x =9。
第一讲数的整除(教师版)
第一讲数的整除（教师版）奥数特训四年级下册教材91、在一条公路上，每隔100千米有一个仓库（如图），共有五个仓库。
一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有50吨货物，其余两个仓库是空的。
现在想将所有的货物集中存放在一个仓库里。
如果每吨货物运输1千米需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？2、有89吨货物要甲地运往乙地。
大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨。
大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是14公升和9公升。
问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？3、某公司运输队每天有5辆汽车为7个工厂作循环运输任务。
每个工厂需配备的装卸工如图所示。
如果每个工厂固定的装卸工太多，会造成浪费，可让一部分装卸工跟车装卸。
这样，有人跟车，有人固定。
怎样合理安排才能使装卸工人数最少？-1-奥数特训四年级下册教材94、某工地A有20辆卡车。
要把60车渣土从A地运往B，把40车砖从C运到D（工地道路图如图所示）。
问如何调运最省油？5、把16拆成几个互不相同的自然数，使这些自然数的乘积最大。
解：拆成的数不能有1，而2＋3＋4＋5＋6＞16，所以16至多拆成4个互不相同的自然数。
这有两种拆法：16=2＋3＋5＋6=2＋3＋4＋7由于5某6＞4某7，所以拆成2＋3＋5＋62某3某5某6=180.6、把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材料？解：239=17某7＋24某5所以应截成17米的7根，24米的5根。
7、把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填在九个方框中（每个数字只用一次），使三个三位数相乘的积最大。
□□□某□□□某□□□解：要使乘积最大，这三个三位数也要最大，首位是9、8、7，十位是6、5、4，个位是3、2、1。
又在和一定的情况下，两数差越小则积越大。
所以这三个三位数是941、852、763.8、兄弟俩骑车郊游，弟弟先出发，速度是每分钟行200米，5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度去追弟弟。
四年级奥数第一讲 数的整除问题
第一讲数的整除问题一、基本概念和知识：1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。
用符号“b| a”表示。
2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：__________________； 7的因数：__________________；2的因数：__________________； 8的因数：__________________；3的因数：__________________； 9的因数：__________________；4的因数：__________________； 10的因数：__________________；5的因数：__________________； 11的因数：__________________；6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。
如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。
根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。
（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（３）0和１既不是质数，也不是合数。
、请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。
(完整word版)五年级上册奥数讲义
↑↑↑↑↑优才家教 优等生同步奥数提高 五年级（下）↑↑↑↑↑第一讲 整数问题 第1课 数的整除一、知识要点1. 整除——因数、倍数2. 相关基础知识点回顾（1）0是任何整数的倍数. (2）1是任何整数的因数。
3. 数整除的性质例如:如果2｜10，2｜6，那么2|（10＋6),并且2|（10-6）.必要条件：（1）a 、b 、c 三个数是整数 （2)b ≠0 (3）a ÷b=c结论：整数a 能被整数b 整除，或b 能整除a,则a 叫做b 的倍数,b 叫做a 的因数。
记作:b|a例如：如果6｜36，9｜36，那么[6，9]|36.例如：如果2｜72,9|72，且（2，7）=1，那么18｜72.例：如果7|14，14｜28，那么7|28。
4.数的整除特征(1)能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0）,那么它必能被2整除。
（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。
(3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9)整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4(或25)整除,那么它必能被4(或25）整除.例:1864能否被4整除？解：1864=1800+64，因为4｜64，4是1864的因数，1864是4的倍数，所以4｜1864。
(5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么它必能被8（或125）整除。
例：29375能否被125整除?解:29375=29000+375,因为125｜375，125是375的因数，375是125的倍数，所以125｜29375。
（6）能被11整除的数的特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除。
（奇数位指：这个数的个位、百位、万位……;偶数位指：这个数的十位、千位、十万位……）例：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3)＝0。
数的整除的概念和定义
第一章数的整除第一节整数和整除教学目标：1、理解整除的定义和自然数的意义。
知道整除的要素，掌握整除的两种表述方法。
2、理解因数与倍数的意义，会求一个整数的因数和倍数。
3、概括出能被2，5整除的数的特征。
知识要点：1.1：整数和整除的意义1、零和正整数统称为自然数。
2、正整数、零、负整数，统称为整数。
3、整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.注意整除的条件：1、除数、被除数都是整数；2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
1.2：因数和倍数1、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称约数）。
2、一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
1.3：能被2、5整除的数1、个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除。
2、能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。
3、各位上是0或者5的整数都能被5整除。
第二节分解素因数教学目标：1、理解素数、合数的意义。
2、能用求因素的方法或查素数表的方法判断一个正整数是否为素数。
3、熟记20以内的全部素数。
4、理解素因数和分解素因数的意义，掌握分解素因数的方法。
5、掌握最大公因数和最小公倍数的算理和方法。
知识要点：1.4：素数、合数与分解素因数1、一个正整数，如果只有1和它本身两个因素，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它的本身以外还有别的因素，这样的数叫做合数。
2、1既不是素数，也不是合数。
这样，正整数又可以分为1、素数和合数三类。
34、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因素相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
5、一般我们用短除法分解素因数，步骤如下：①先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。
第1讲数的整除特征---奥数
学科教师辅导讲义讲义编号___________________［例1］在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被思路剖析这个六位数分别被 3、4、5整除，故它应满足如下三个条件: （1） 各位数字和是 3的奇数； （2） 末两位数组成的两位数是 （3） 末位数为0或5。
按此条件很容易找到这个六位数。
解答不妨设补上三个数字后的位数为 只能是0，且b 只可能是2、4、6、又因3|568abc ，所以 3|（ 5+6+8+a+b+0），所以: 当b=2时，当b=4时， 当b=6时， 当b=8时， 当b=0时， 4、5整除的最小六位数 568abc 应为568020。
故能被3、［例2］四位数8A1B 能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少?思路剖析8A1B 能同时被2、3、5整除，所以8A1B 满足以下三个条件：个位数字 B 在0、2、4、6、8之中，各位数字之 和是3的倍数，个位数 B 在0、5之中。
第一个和第三个条件都是针对个位数字的，所以先根据第二个条件确定百位 数字A 。
解答要使8A1B 能同时被2和5整除，个位数字只能是B=0 ;又要使8A10能被3整除，所以各位数字之和8+A+1+0=9+A 应能被3整除。
可以看出，当 A 取0、3、6、9时，各位数字之和 9+A 可以被3整除。
所求的四位数是 8010、8310、 8610、 8910。
［例3］有两堆糖果，第一堆有 513块，第二堆有633块，哪一堆可以平均分给 9个小朋友而无剩余？思路剖析本题实际上是判断 513与633能否被9整除。
解答513各位上数字之和是 5+1+3=9，能被9整除；633各位上数字的和是 6+3+3=12，不能被9整除。
所以，第一堆可以平均分给 9个小朋友而无剩余，第二堆平均分给 9个小朋友还剩余3块。
［例4］有一个四位数3AA1是9的倍数，求A 的值。
思路剖析四位数3AA1是9的倍数，即能被9整除，根据能被9整除的数的特征，这个四位数的各位数字之和一定是 9的倍数。
初中数学精品试题：第一讲 整数的整除性和带余数除法
第一讲 整数的整除性和带余数除法一. 内容提要 班级______ 姓名______1. 整除的性质⑴ n 个连续正整数的积能被n ！整除.（n 的阶乘：n ！＝1×2×3×…×n ）.例如：a 为整数时，2a(a+1)，6a(a+1)(a+2)，24a(a+1)(a+2)(a+3)，……⑵ 若a b 且a c ，则a (b ±c). ⑶ 若a,b 互质，且a c, b c ，则ab c ；反之则有：a,b 互质，ab c ，则a c, b c. 2. 带余数除法用一个整数a 去除整数b ，且a>0，则必有并且只有两个整数q 与r ，使b=aq+r ，0≤r<a ．这就是带余数除去的一般表达式．当r=0时，记为a│b ，b 被a 整除；当r≠0时，记为ab ，b 不能被a 整除，或者说，b 除以a 有余数．利用余数将自然数分类，在解决实际问题中有广泛应用．我们说，任何一个自然数b 被正整数a 除时，余数只可能是0、1、2、…、a-1．这样就可以把自然数分为a 类．例如，一个自然数被4除，余数只能是0、1、2、3中的一个．因此，所有自然数按被4除时的余数分为4类，即4k ，4k+1，4k+2，4k+3．任何自然数都在这四类之中． 二. 热身练习1. 2006年“五一节”是星期一，同年“国庆节”是星期 ．2. 有一个数能被5整除，但除以4余3，这个正整数最小是 ．3. 一个整数去除300，262，205，所得余数相同，这个整数是 ．4. 一个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12，余数是 ．5. 正整数2006200634+除以3，所得余数是________．6．已知x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）．7．如果一个四位数abcd 能被9整除，试说明四位数bdca 也能被9整除．8．设一个五位数abcad，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除。
第一节 整除意义、特征和性质(1)
第一讲数的整除第一节整除的意义与特征、性质第1课时教学内容：整除的意义与常用数的整除特征。
教学目标：理解整除的意义，掌握常用数的整除特征，并能运用特征判断。
教学重难点：理解掌握常用数的整除的特征。
教学过程：一、整除的意义当两个整数a和b（b≠0），a除以b商为整数余数为零时，则称a能被b整除或b 能整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的因数，记作b|a，如果a 除以b所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b|a.二、整除特征（1）1与0的特性：1是任何整数的因数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的个位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的个位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（7）若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
（9）如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）能被7（11、13）整除，这个数就能被7（11、13）整除。
三、例题讲解例1：（1）判断47382能否被3或9整除？（2）判断1548764能否被7整除？（3）判断42559，7295872能否被11整除？解：（1）4+7+3+8+2=24 3|24，9|24∴3|47382，9|47382（2）1548－764=784=7×112 7|784 ∴ 7|1548764（3）（4+5+9）―（2+5）=18―7=11∴11|42559（7+9+8+2）―（2+5+7）=26―14=12 11|12 ∴11|7295871小结：判断一个整数能否被另一个整数整除，充分考虑整除的特征，这样有利于我们去判断。
整数整除的概念和性质
第一讲整数整除的概念和性质1．已知a，b是整数，求证：a+b，ab、a-b这三个数之中，至少有一个是3的倍数．解答：证明：对于a，b，若至少有1个数是3的倍数，则ab是3的倍数；若a，b都不是3的倍数①当a=3m+1，b=3n+1时，a-b=3（m-n），a-b是3的倍数；②当a=3m+1，b=3n+2时，a+b=3（m+n+1），a+b是3的倍数；③当a=3m+2，b=3n+2时，a-b=3（m-n），a-b是3的倍数；∴a+b，ab、a-b这三个数之中，至少有一个是3的倍数．2.已知7位数是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．解答：解：∵72|，∴8|，9|。
由此得：1+2+8+7+x+y+6=24+x+y是9的倍数，而0＜x≤9，0＜y≤9，则x+y=3或12，又必是8的倍数，必是4的倍数，则y=1，3，5，7或9，当y=1时，x=2，8|216；当y=3时，x=0或9，8不能整除36（不符合题意），8|936（符合题意）；当y=5时，x=7，8不能整除756（不符合题意）；当y=7时，x=5，8|756；当y=9时，x=3，8不能整除396（不符合题意）；综上可得：当y=1，x=2；y=3，x=9，；y=7，x=5时所得的7位数满足条件．∴符合条件的7位数为：1287216，1287936，1287576．3.（1）若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）-9=0，求证：4|（a+b+c+d）．（2）已知两个三位数与的和+能被37整除，证明：六位数也能被37整除．解答：证明：（1）∵9=1×（-1）×3×（-3），∴可设x-a=1，x-b=-1，x-c=3，x-d=-3，∴a=x-1，b=x+1，c=x-3，d=x+3，∴a+b+c+d=4x，即4|（a+b+c+d）；（2）∵= ×1000+ = ×999+（+）又∵和（+）能被37整除，∴×999+（+）能被37整除，即六位数能被37整除．4.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．解答：解：由已知，显然，号码为9999是幸运券，除这张外，如果某个号码n是幸运券，那么号m=9999-n也是幸运券，由于9是奇数，所以m≠n．由于m+n=9999相加时不出现进位，这就是说，除去号码9999这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的整倍数，而101|9999，故知所有幸运券号码之和也能被101整除．5.写出都是合数的13个连续自然数．解答：解：我们知道，若一个自然数a是2的倍数，则a+2也是2的倍数，若是3的倍数，则a+3也是3的倍数，…，若a是14的倍数，则a+14也是14的倍数，所以只要取a为2，3，…，14的倍数，则a+2，a+3，…，a+14分别为2，3，…，14的倍数，从而它们是13个连续的自然．所以，取a=2×3×4×…×14，则a+2，a+3，…，a+14必为13个都是合数的连续的自然数．6.已知定理“若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c 是整数n的倍数”．试问：这个定理中的整数n的最大可能值是多少？请证明你的结论．解答：证明：∵a+b+c=a+b+2a+5b=3（a+2b），显然，3|a+b+c，若设a 、b 被3整除后的余数分别为a r 、b r ，则a r ≠0，b r ≠0．若a r ≠b r ，则a r =2，b r =1或a r =1，b r =2，则2a+5b=2（3m+2）+5（3n+1）=3（2m+5n+3），或者2a+5b=2（3p+1）+5（3q+2）=3（2p+5q+4），即2a+5b 为合数与已知c 为质数矛盾．∴只有a r =b r ，则a r =b r =1或a r =b r =2．于是a+2b 必是3的倍数，从而a+b+c 是9的倍数．又2a+5b=2×11十5×5=47时，a+b+c=11+5+47=63，2a+5b=2×13十5×7=61时，a+b+c=13+7+61=81，而（63，81）=9，故9为最大可能值．7.一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．解答：解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c （a 、b 、c 不全相等），将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：，不妨设其中的最大数为，则最小数为．由“新生数”的定义，得N=abc -cba =（100a+l0b+c ）一（100c+l0b+d ）=99（a-c ）．由上式知N 为99的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990．这九个数中，只有954-459=495符合条件，故495是唯一的三位‘新生数”．8.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行，从左向右从1到11报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少？他们的编号是几号？解答：解：由题意，第一次报数后留下的同学，他们的编号必为11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们的编号必为112=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们的编号必为113=1331的倍数．因此，最后留下的同学编号为1331的倍数，我们知道从1～2002中，1331的倍数只有一个，即1331号，所以，最后留下一位同学，其编号为1331．9.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数，把的和N告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数．现在设N=3194，请你做魔术师，求出数来．解答：解：将acb也加到和N上，这样a、b、c就在每一位上都恰好出现两次，所以有acb+N=222（a+b+c），从而3194+100≤222（a+b+c）≤3194+999，而a、b、c是整数．所以15≤a十b十c≤18①．因为222×15-3194=136，222×16-3194=358，222×17-3194=580，222×18-3194=802，其中只有3+5+8=16能满足①式，∴=385．10.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求A和B乘积的最大值．解答：解：先通过运算的进位，将能确定的口确定下来，再来分析求出A和B 乘积的最大值．设算式为显然，g=1，d=9，h=0．a+c+f=10+B，b+e=9+A，∴A≤6．∵2（A+B）+19=2+3+4+5+6+7+8=35，∴A+B=8．要想A ×B 最大，∵A ≤6，∴取A=5，B=3．此时b=6，e=8，a=2，c=4；f=7，故A ×B 最大值为15．11.任给一个自然数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N ′，试证明：|N-N ′|能被9整除．解答：解：令N=n a a a ⋅⋅⋅21，则N ′=11a a a n n ⋅⋅⋅-．所以，N 除以9所得的余数等于n a a a +⋅⋅⋅++21除以9所得的余数，而N ′除以9所得的余数等于11a a a n n ⋅⋅⋅++-除以9所得的的余数．显然，n a a a +⋅⋅⋅++21=11a a a n n ⋅⋅⋅++-．因此，N 与N ′除以9所得的余数相同，从而|N-N'|能被9整除．12.（1）证明：形如的六位数一定能被7，1l ，13整除．（2）若4b+2c+d=32，试问能否被8整除？请说明理由．解答：解：（1）=1001（100a+10b+c ）=7×11×13（100a+10b+c ）， ∴形如的六位数一定能被7，1l ，13整除． （2）=1000a+100b+10c+d=1000a+96b+8c+（4b+2c+d ） =1000a+96b+8c+32，以上各式均能被8整除，故若4b+2c+d=32，能被8整除．。
人教版高中数学选修4-6 第一讲 整数的整除(一)整数的整除 名师课件【集体备课】
共六条鱼，平均一只猫咪得几条鱼？
若是再多一条鱼，平均一只猫咪又各 得几条鱼呢？
想一想
在上一页第一种情况下，平均每 只猫咪得到 6÷2 = 3（条）；第二种 情况下每只猫咪在得到3条鱼后还剩一条，就是 说这种情况下鱼并不能平均分给两只猫咪. 生活中这样的例子还有很多，我们从数 学的角度该怎样理解，又怎样定义呢？它们 又有怎样的性质？下面我们将具体的分析.
3、带余除法定义 一般地，设a，b为整数，且b≠0 ，则
存在惟一的一对整数q和r，使得a=bq+r， 0≤r＜︱b︱.
4、素数定义 仅有两个正因数的正整数叫做素数,
不是素数又不是1的正整数叫做合数.
针对性练习
81 1、9192除以100的余数_____________.
分析：
91 c 90 c 90 c 90 c 92
课堂小结
1、整除的概念
如果存在q，使得ɑ=bq，那么称b整除ɑ. 记作： b｜ɑ 2、整除的性质 1)若a|b，a|c，则a|(b±c)； 2)若a|b，b|c，则a|c； 3)若a|bc，且(a，c)=1，则a|b，特别地，若质数p|bc， 则必有p|b或p|c； 4)若b|a，c|a，且(b，c)=1，则bc|a
知识回顾
以前学过的整数加法、减法、乘 法有什么特点？整数除法的商又是怎 样的？ 整数的加法、减法、乘法运 算得到的结果任然为整数.两个 整数的商不一定是整数.
导入新课
从以前学过的乘法中我们知道
若A×B=C,那么C÷B=A或C÷A=B
也就是说乘法和除法是互逆的 运算.
例如：
13×2 = 26
26÷2 = 13 26÷13 = 2
n
m
n
c c ∴ n ＜ m ， m
第一讲,整数和整除
第一讲整数和整除主课题：1.1整数和整除的意义&1.2因数和倍数&1.3能被2、3、5整除的数教学目标：1. 掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念2. 掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数3. 掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数4、掌握能被2、3、5整除的数的特征,掌握能同时被2、5整除的数的特征5、掌握偶数、奇数的特征，以及它们的运算性质教学重点：1、自然数、整数、整除、因数、倍数；整除、整除的条件2. 掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数3. 掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数4、掌握奇数偶数的运算性质，会求能同时被2、3、5其中的两个或者三个数整除的数教学难点：1.掌握整数最小和最大的因数，整数最小的倍数2.奇数偶数运算性质的应用3.求能同时被2、3、5其中的两个或者三个数整除的数考点及考试要求：1.自然数、整数、正整数、负整数的分类2.给出算式判断是否为整除3.会在一定范围内求一个正整数的因数、倍数4.会运用奇数偶数的运算性质5.会求能被2、3、5整除的数以及能同时被其中的两个或者三个数整除的数★知识精要知识点1：整数的意义和分类自然数：零和正整数统称为自然数（n a tur a l num b er）；整数：正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。
整数知识点2：整除（1）整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a. （2）整除的条件（两个必须同时满足）：①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
知识点3：除尽与整除的异同点相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。
知识点4：因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）。
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第一讲数的整除一、基础知识：1、能被4（25）、8（125）、3（9）、7（11）（13）整除的数的特征；4（25）：；8（125）：；3（9）：；7（11）（13）：。
2、分解质因数：。
二、例题：例1、一个六位数568abc分别能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？例2、六年级有72名学生捐款（处辨认不清），每人捐款例3、六位数能被66整除，找出所有这样的六位数；例4、一个2004位数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c，求c是多少？例5、要使932×975×995×（）的积的最后五个数字都是0，那么在括号内最小应该填几？例6、四个班分一批图书，他们所得的本数一个班比一个班多3本，四个班分得图书本数之积是68040。
每个班各分得图书多少本？例7、24有多少个约数？这些约数的和是多少?24=23×3 约数个数=（3+1）×（1+1）=-1 31+1–1×=3-1三、练习：a)四位数8A1B能被2、3、5整除，问这些四位数是多少？b)能同时被2、9整除，填出c)已知六位数19 能被35整除，那么这个六位数是多少？d)84×300×365×（），要使这个连乘积的最后五个数字都是0，在括号里最小应填什么数？e)五个连续奇数的积是135135，这五个奇数的和是多少？四、作业：1、数学考试结果，某班学生中有1/3得优，3/7得良，其余得中或差，已知全班人数在40与60之间，得中或差的学生有多少人？2、一个六位数能被11和13整除，这个六位数所有的质因数的和是多少？3、四个连续自然数的积是3024，这四个自然数分别是多少？4、求4500的约数个数及所有约数的和是多少？五、思考题：在3×3的方格图中填入几个互不相同的自然数，如果每行、每列三个数相乘所得的六个乘积都等于n，那么（1）n可以是1996、1997、1998、1999、2000、2001、2002、2003这八个数中的哪些数？（2）在下面方格中填出一n=第二讲余数问题一、基础知识：1、被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商2、余数要比除数小。
二、例题：例1、一个除法，商40，余数是16。
被除数、除数、商数、余数的和是933，求被除数。
设：除数为X，则被除数为40X+16例2、一个自然数除以3余1，除以5余1，除以7余1，这个自然数最小是多少？设想：如果这个自然数减去1，则为3、5、7的最小公倍数。
例3、一个自然数被3除余1，被5除余4，被7除余2。
这个自然数最小是多少？分析：逐个找寻符合条件的自然数。
例4、六年级七个班都参加了春游，一至七班参加的人数依次为4、6、7、8、9、12、17，其中有六个班的同学爬山和划船，爬山的人数是划船人数的4倍，另外一个班的同学去观赏植物。
问：观赏植物的是哪个班？想：去掉观赏植物的那个班，其余6个班人数和是（）的倍数。
例5、求437×309×1997被7除的余数。
分析：先算出每个数被7除的余数例6、69、90和125同时除以一个数，余数相同，这个数最大是多少？想：怎样去掉那个相同的余数。
三、练习：1、474除以一个两位数，余数是6，适合这个条件的所有两位数分别是多少？2、一个自然数被4除余1，被5除余2，被7除余1，这个数最小是（）。
3、袋子分别装有9、12、14、16、18、21、24、25、28只球，甲取走若干袋，乙取走若干袋，并且甲取走的球数是乙取走的2倍。
最后剩下的一袋装有（）只球。
4、57、96和148被某自然数除，余数相同，且不为零，求这个自然数最大是多少？5、求437×309×1997被11除的余数。
四、作业：1、一个数被4除余3，被5除余4被6除余5。
这个数最小是（）。
2、一个数用5除余2，用6除余5，用7除余3，满足条件的三位数有（）.3、一个自然数同时去锄136、170和425余数相同，且不为零。
这个自然数最大应该是（）。
五、思考题：一队学生，人数在300到400之间，若分成8人一组少1人，若分成12人一组，则有五组都少1人，若分成15人一组，则有一组少8人，问这队学生有多少人？第三讲周期问题（1）一、基础知识：1、有余数的除法；2、循环小数与循环节；3、尾数的特征：只有一个：0、1、5、6；只有两个：4（4、6）、9（9、1）；有四个：2（2、4、8、6）、3（3、9、7、1）、7（7、9、3、1）8（8、4、2、6）二、例题：例1、2004年元旦是星期四，2004年的十月一日是星期（），2005年的元旦是星期（）；计算：到十月一日有（）天；到2005年元旦有（）天。
例2、某年的10月里有5个星期六，4个星期日。
问：这年的10月1日是星期（）；分析：多出的一个星期六在10月（）号。
例3、20032003+ 20042004的和的个位数字是（）；想：可以把2003看作3；2004看作4。
即：32003+42004例4、把2/7化成小数，小数点后面第2004位上的数字是（）。
这2004位上的数字之和是（）；分析：先算出2/7化成小数的循环节。
2/7=例5、一个2004位数，它的各位上的数字都是8，它除以26的余数是（）；计算：找出888…8÷26的循环节。
三、练习：1、2001年6月1日是星期四，2002年10月1日是星期（）2、某年的二月份有五个星期日，这年的六月一日是星期（）3、算式（425425+524524）×33 的得数的末位数字是（）4、紧接着1997后面写一串数，写出的数字都必须是它前面两个数字相乘的积的个位数字：19973133．．．．．．。
(1)这个数从1开始往右数第1997个数字是( )(2)这串数的前1997个数字的和是( ).5、把11/70化成小数，小数点后面第2004位上的数字是（）。
这2004位各位上的数字之和是（）四、作业：1、有一个十一位数，已知它的首位数字为9，末位数字为8，且每三个相邻数字之和是24，问下图中打“？”处的数字是几？这个数是多少？2、接连写100个12，得到一个自然数121212．．．12，这个数除以13余数是( );3、把3/7化成小数，小数点后面第2005个数字是（）；这2005个数字之和是（）。
五、|思考题：甲、乙两个水杯，起初甲杯装1千克水，乙杯是空的，第一次将甲杯里的水的1/2倒入乙杯里，第二次又将乙杯里的水的1/3倒入甲杯里，第三次又将甲杯里水的1/4倒入乙杯里，第四次又将乙杯里水的1/5倒回甲杯里，照这样倒下去，那么，到了1997次后，甲杯里的水还剩多少千克？第四讲 周期问题（2）一、例题：例1、下表每列上下两个字组成一组，例如：第1组是（我，勤），第2组 是（们，动），第3组是（爱，脑）．．．．．．(1)(2)如果(学,习)表示1949年,那么2004年对应的是( )分析：上面一行的周期为5，下面一行的周期为（ ）例2、分别姓赵、钱、孙、李、周、吴、王的七位同学站成一排，按下边方式依次报数，问：报2004的是姓（ ）的同学；赵 钱 孙 李 周 吴 王1 2 3 4 5 6 713 12 11 10 9 814 1516 17 18 1925 24 23 22 21 2026 27 ．．． ．．． ．．． ．．．．．． ．．．．．分析：数字排列位置的周期为（ ）例3、电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈跳到相邻的圆圈。
现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1999步，落在一个圆圈里。
同时黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈里起跳，但它沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里。
这两个圆圈里的数字的乘积是（ ）例4、有一数列1，1，2，3，5，8，13，．．．．．．，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和，那么，这列数中第2004个数除以7的余数是()，前2004个数的和除以7的余数是( ).二、练习题：1、下表中，每列上、中、下三行的数字、字母、汉字、组成一组，例如：(2)如果(1,A,我)表示1999年元旦,那么1999年12月20日对应的是( )2、如右图，把16个围棋子摆成一圈，依次编为1到16号。
从一个棋子顺时针方向前进3个，就到了第4个棋子的位置。
象这样，从第1个棋子顺时针方向前进328个，从那里再逆时针方向前进485个，又顺时针方向前进136个，这时是在第（）个棋子的位置。
3、将数列1，4，7，10，13，．．．依次如图排成6列，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第（）行的第（）列。
1 4 7 10 1328 25 22 19 1631 34 37 40 4358 55 52 49 46．．．．．．．．．．．．．．．4、70个数排成一行，除了两头的两个数外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行数最左边的几个数是：0，1，3，21，．．．最右边的一个数被6除余（）。
三、思考题：分母为15的所有最简假分数由小到大依次排列，问第99个假分数的分子是多少？（提示：每15个假分数中有几个是最简假分数）第五讲 数谜问题（1、2）（1）一、 基础知识：1、乘法口诀；2、数列及数列前n 项的和3、根据等量关系列方程二、 例题：例1、每个×０例２、右图３×３的正方形的每个方格内的字母都代表某一个数，已知其每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
若Ａ＝４，Ｄ＝19，L=22，那么，B=（ ），H=（ ）例3、在下面的算式中，不同的汉字代表不同的数码，那么“勤动脑学习好”表示的六位数是（ ）练习：1、填算式：2、在下面的算式中，不同的汉字代表不同的的数 4 1 码，那么“勤动脑学习好”表示的六位数是 （ ）学习好勤动脑×6=勤动脑学习好83、七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现已填好两个数，那么a= 。
4、在右图中的每个没有数字的格内填入一个数，使每行、每列及每条对角 线的三个格中的三数之和都等于19.95时,那么,画有“？”的格内的数是 多少？5、A B C× CD B C（2）例4、将1~7分别填入右图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 这七个部分，使得右图中包含四个数字的三角形内的四个数字之和都等于定数13，并指出这个定数所有的可能取值。
例5、将真分数a/7（a 是自然数）化为小数，小数点后面第1位到第2000位的 数字之和为8997，那么a 等于（ ）例6、有一串分数，按下面的方式排列，那么第2004个分数是（ ）；．．．．．．．．．练习：1、如图，将11~17这七个自然数填入右面三个圆之内，使每个圆内四个数之和等于54，请给出一种填法。