确定一次函数表达式的方法
三法确定一次函数表达式
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三法确定一次函数表达式
◎邓同义
一、根据图象求表达式
例1在平面直角坐标系xOy中，直线l的图象如图所示．求直线
l的函数表达式.
解析：设直线l的表达式为y=kx+b（k≠0）．
因为直线l经过点A（0，4），B（-2，0），将其代入y=kx+b得
b=4，①
-2k+b=0．②
把①代入②，得k=2．
所以直线l的函数表达式为y=2x+4.
二、根据性质求表达式
例2 某一次函数的图象过点（-1，2），且函数y的值随自变量x的增大而减小，请写出一个符合上述条件的函数表达式．
解析：本题答案不唯一，对于一次函数y=kx+b（k≠0），若y随x的增大而减小，则k＜0.
所以可设y=-x+b，把x=-1，y=2代入，可求得b=1.所以所求函数表达式为y=-x+1．
三、根据平行线求表达式
例3 直线l与y=-2x-1平行且过点（1，3），求直线l的表达式．
解析：因为直线l与y=-2x-1平行，所以设所求直线l的表达式为y=-2x+b.
又因为直线l过点（1，3），所以3=-2×1+b，解得b=5.
所以所求直线l的表达式为y=-2x+5．。
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数是一个非常基础且重要的概念。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还在实际生活中的诸多领域发挥着重要作用，比如物理学中的运动问题、经济学中的成本收益分析等等。
而要解决与一次函数相关的问题，首先需要掌握如何确定一次函数的表达式。
一次函数的一般形式为 y ＝ kx ＋ b ，其中 k 是斜率，b 是截距。
确定一次函数的表达式，实际上就是要确定 k 和 b 的值。
那怎么才能确定这两个关键的值呢？最常见的方法是利用给定的条件来构建方程组，然后求解方程组得到 k 和 b 的值。
比如，如果已知函数图像经过两个点的坐标（x₁, y₁) 和（x₂, y₂) ，那么我们可以把这两个点的坐标分别代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，得到两个方程：y₁＝ kx₁＋ b ①y₂＝ kx₂＋ b ②接下来，用②①消去 b ，就可以求出 k 的值，再把 k 的值代入①或②中，就能求出 b 的值。
除了已知两个点的坐标这种情况，有时还会给出函数的图像特征。
比如，已知直线与 x 轴的交点坐标（a, 0) ，与 y 轴的交点坐标（0, b) ，那么就可以直接得到 b 的值，然后再把（a, 0) 代入表达式求出 k 。
另外，如果给出了函数的斜率 k 和一个点的坐标（x₀, y₀) ，那就把点的坐标代入表达式 y ＝ kx ＋ b 中，求出 b 的值。
再来说说实际应用中的例子。
假设我们要研究一辆汽车的行驶情况，已知汽车在开始计时后的 2 小时行驶了 100 千米，4 小时行驶了 200 千米。
我们设时间为 x 小时，行驶的路程为 y 千米，那么可以列出两个方程：100 ＝ 2k ＋ b ③200 ＝ 4k ＋ b ④用④③，得到 2k ＝ 100 ，解得 k ＝ 50 。
把 k ＝ 50 代入③，得到 100 ＝ 2×50 ＋ b ，解得 b ＝ 0 。
所以，汽车行驶的路程与时间的关系可以用一次函数 y ＝ 50x 来表示。
确定一次函数解析式的五种方法
五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。
下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。
一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。
分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。
函数的解析式就确定出来了。
解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的表达式。
分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。
解：因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。
三、根据函数的图像，确定函数的解析式例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。
分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。
解：因为，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，因为，图像经过点A（0，40），B（8，0），所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中，得：40=k×0+b，0=8k+b解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。
初中数学知识点精讲精析 确定一次函数的表达式
4 确定一次函数的表达式学习目标1. 了解两个条件确定一次函数。
2. 能根据所给信息（图像、表格、实际问题等）确定一次函数的表达式。
知识详解1．确定一次函数表达式（1）借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y＝kx（k≠0）；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y＝kx＋b（k≠0）；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式。
（2）确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件①由于正比例函数y＝kx（k≠0）中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x，y的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式。
②一次函数y＝kx＋b（k≠0）有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值。
用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成y＝kx＋b（k≠0）的形式，再将A，B两点坐标代入该关系式，即可求出k，b，从而确定出具体的关系式。
2．待定系数法（1）定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数。
（2）用待定系数法求解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式。
【典型例题】例1：一次函数图象如图所示，求其解析式．【答案】设一次函数解析式为y＝kx＋b，∵一次函数图象过点(0，－2)，∴－2＝k×0＋b，∴b＝－2.∵一次函数图象过点(1,0)，∴0＝k×1＋b，∴k＝2.∴一次函数解析式为y＝2x－2.【解析】利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k，b的值，从而确定表达式。
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式
求出一次函数的表达式是数学练习题中常见的提问方式，下面介绍一下确定一次函数的表达式的三种方法。
用待定系数法确定一次函数解析式
待定系数法是确定一次函数的表达式最常用的方法，解题步骤包括“一设、二列、三解、四写”，具体内容如下：
1、根据题中所给的已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
2、将x、y的几对值或图像上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
3、解方程得出未知系数的值；
4、将得到的待定系数代回所求的函数关系式中就可以得到该函数的解析式。
用图像平移法确定一次函数表达式
一次函数的图像在平移时的规律为：直线在平移的倾斜率不变，即k的值保持不变。
当b>0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上平移b个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0）的图像；当b<0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向下平移∣b∣个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0）的图像。
根据直线的对称性确定一次函数表达式
关于y轴对称的两条直线为y=kx+b（k≠0）和y=-kx+b
（k≠0）；关于x轴对称的两条直线为y=kx+b（k≠0）和y=-kx-b （k≠0）；关于原点对称的两条直线为y=kx+b（k≠0）和y=kx-b （k≠0）。
以上为同学们介绍了确定一次函数的表达式的三种方法，同学们都掌握了吗？其中待定系数法的应用是较为广泛的，同学们一定要学好，利用图像来确定一次函数的表达式属于较为灵活的方法，可以用在选择填空中快速确定答案。
北师版八年级数学上册精品教学课件 第四章 一次函数 第1课时 确定一次函数的表达式
练一练
已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l 的表达式.
解：设直线l为y=kx+b, ∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2.
又∵直线过点（0，2）， ∴2=-2×0+b, ∴b=2, ∴直线l的表达式为y=-2x+2.
例3：正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的 表达式．
解：设y=kx+b(k≠0) 由题意得：14.5=b, 16=3k+b, 解得：b=14.5 ; k=0.5. 所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5. 当x=4时，y＝0.5×4＋14.5=16.5（厘米）.
故当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度为16.5厘米.
归纳总结
解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系， 并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．
又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b2的图象上，
∴－ ＝5 b，
代入3＝24k2＋b中，得k2＝ . ∴一次函数的表达式为y2＝ x－
11
8
.
11
8
5 2
做一做
某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余 油量y（L）与工作时间x（h） 之间为一次函数关系，函数图象如图 所示. （1）求y关于x的函数表达式；
解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的 表达式为y2＝k2x＋b. ∵点A(4，3)是它们的交点，
∴代入上述表达式中，
得∴k31＝＝4k1，，43 3＝4k2＋b. 即正比例函数的表达式为y＝ x.
3
4
∵OA＝
关于一次函数表达式的几种求法
关于一次函数表达式的几种求法用待定系数法求一次函数的解析式：待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知常数，系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法。
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：第一步：设关系式第二步：列方程（组）第三步：求出结果，写出关系式。
扩展资料一次函数应用常用公式：1、求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2、求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/23、求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/24、求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]5、求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数y1=k1x+b1;y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1;y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则(x0，y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标。
6、求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]6、求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2)（x,y）为+，+（正，正）时该点在第一象限（x,y）为-，+（负，正）时该点在第二象限（x,y）为-，-（负，负）时该点在第三象限（x,y）为+，-（正，负）时该点在第四象限8、若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b29、如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-110、y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位y=kx+b+n就是向上平移n个单位y=kx+b-n就是向下平移n个单位口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
11、直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0)与y轴的交点：(0，b)。
确定一次函数的表达式
V /(米/秒) 米秒
8 7 6 5 4 3 2 1
未命名.gsp
·
t /秒 秒
0
1 2 3
4
5
6 7 8
想一想
确定正比例函数的表达式需要几 个条件？确定一次函数的表达式？ 确定正比例函数的表达式需要一个 条件 确定一次函数的表达式需要两个条件
一、确定正比例函数的表达式的方法： 确定正比例函数的表达式的方法： 1、根据题意，设表达式：y=kx 、根据题意，设表达式： 2、根据给出的数据求出k的值 、根据给出的数据求出 的值 3、根据求出的 值，写出一般表达式 、根据求出的k值 二、确定一次函数的表达式的方法： 确定一次函数的表达式的方法： 1、根据题意，设表达式：y=kx+b 、根据题意，设表达式： 2、根据给出的数据求出k、b的值 、根据给出的数据求出 、 的值 3、根据求出的 、b的值，写出一般表 的值， 、根据求出的k、 的值 达式
∴这个一次函数的表达式为y=x-2 这个一次函数的表达式为
在弹性限度内，弹簧的长度 （厘米） 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米） 是所挂物体质量x（千克）的一次函数。 是所挂物体质量 （千克）的一次函数。一 根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物 厘米； 根弹簧不挂物体时长 厘米 体的质量为3千克时 弹簧长16厘米 千克时， 厘米。 体的质量为 千克时，弹簧长 厘米。写 之间的关系式， 出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的 与 之间的关系式 质量为4千克时弹簧的长度 千克时弹簧的长度。 质量为 千克时弹簧的长度。 14.5=b ① 解：设y=kx+b,根椐题意得 根椐题意得 16=3k+b ② 代入② 把b=14.5代入②，得 k=0.5 代入 所以在弹性限度内： 所以在弹性限度内：y=0.5x+14.5 当x=4时，y=0.5 × 4+14.5=16.5 x=4时
一次函数解析式,直线位置关系---第二讲
一次函数（2）--解析式、直线位置关系【考点聚焦】1、一次函数表达式的确定确定一次函数表达式：用 求解析式通常分四步：设、代、求、写.（1）对于正比例函数：将一个已知点的横、纵坐标代入 中，解一元一次方程，求出 ,从而确定此表达式；（2）对于一次函数：将两个已知点的横、纵坐标分别代入 中，建立关于,k b 的二元一次方程组，求出 的值，从而确定此表达式. 2、两条直线的位置关系及函数图象的平移 （1）两条直线的位置关系：设直线1l 和2l 的解析式为111b x k y +=和222b x k y +=，则 它们的位置关系可由其系数确定： ※①⎩⎨⎧≠=2121b b k k ⇔1l 与2l 互相 ； ②121-=⋅k k ⇔1l 与2l 互相 .（2）函数图象的平移：左加右减：（针对自变量而言） 上加下减：针对b 而言 （3）特殊角度①当一次函数图象与x 轴成°30：=k ②当一次函数图象与x 轴成°45：=k ③当一次函数图象与x 轴成°60：=k 3、确定两个函数图象的交点坐标确定两个函数图象的交点坐标：就是这两个函数解析式所组成的方程组的解. 4、一次函数中的面积问题【典例剖析】知识点一：一次函数表达式的确定【例1】（1）已知一次函数的图象经过）（2,1-和）（4,3-，求这个一次函数的解析式 。
（2）（嘉祥外国语）如果一次函数b kx y +=中自变量x 的取值范围是31≤≤-x 时，函数值y 的取值范围是62≤≤-y ，求这个一次函数解析式。
【变式1】已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是)4,0(0,2-）、（，则这个函数的解析式为_____________。
【变式2】已知一次函数b kx y +=，当13-≤≤x 时，对应y 的值为91≤≤y ，则这个函数的解析式为_____________。
【例2】如图，直线834+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ,M 是OB 上的一点，若将ABM ∆沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的'B 处，则直线AM 的解析式为 .【变式1】已知一次函数)1)(1(2)1(≠-+-=a a x a y 的图象如图所示，已知OB OA 23=，求一次函数的解析式．【变式2】如图，一次函数232+-=x y 的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰ABC Rt ∆,︒=∠90BAC ．求过B 、C 两点直线的解析式.知识点二：两条直线的位置关系【例3】已知一次函数b kx y +=的图象经过点()31，A 且和32-=x y 平行，则函数解析式为 ．【变式1】（嘉祥外国语）若直线b kx y +=与直线x y 2-=平行，且过点()31，，则=k ________，=b _________.【例4】（湖南湘潭中考）已知两直线,，，222:b x k y l +=111:b x k y l +=,若21l l ⊥，则1·21-=k k ．①应用：已知12+=x y 与1-=kx y 垂直，求k ；②直线经过()3,2A ，且与3+=x y 垂直，求该直线解析式．【例5】（武汉中考）（1）点()1,0向下平移2个单位后的坐标是_________，直线12+=x y 向下平移2个单位后的解析式是___________；直线12+=x y 向右平移2个单位后的解析式是_____________；【变式】将一次函数13-=x y 的图象沿y 轴向上平移3个单位，再沿x 轴向左平移4个单位后，得到的图象对应的函数关系式为【例6】已知直线b kx y l +=:过点()32，， （1）当l 与x 轴的夹角为30°时，求直线解析式； （2）当l 与x 轴的夹角为45°时，求直线解析式； （3）当l 与x 轴的夹角为60°时，求直线解析式.【变式】如图，已知A 点坐标为()05，，直线）＞0(b b x y +=与y 轴交于点B ，连接AB ，︒=∠75α，则b 的值为（ ） 、A 3 B 、335 C 、4 D 、435知识点三：确定两个函数图象的交点坐标【例7】在同一平面直角坐标系中，若一次函数2-=x y 与12+-=x y 的图象交于点M ，则点M 的坐标为 ．【变式1】无论m 为何值，直线m x y +=2和5+-=x y 图象的交点不可能在第 象限．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线32+=x y 与y 轴交于点A ，直线1-=kx y 与y 轴交于点B ，与直线32+=x y 交于点()n C ,1-．（1）求k n 、的值； （2）求ABC ∆的面积．**挑战题1.（2017双流）已知在平面直角坐标系中，直线l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，其中，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在y 轴的正半轴上．（1）如图1，若点A 的坐标是（2m －1，0），点B 的坐标是（0，3－m ），OA ＝34OB ， AD平分∠BAO 交y 轴于D ；①求直线l 的函数表达式以及点D 的坐标；②点C 是第二象限内一点，且∠BCA ＝∠BAC ，当AC ⊥AD 时，求点C 的坐标； （2）如图2，点E 在x 轴的正半轴上，OA ＝OB ＝OE ，P 为线段AB 上一动点（不与端点重合），OQ ⊥OP 交BE 于Q ，OR ⊥AQ 交AB 于R ．当P 点运动时，PRQE的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果发生变化，请说明理由．（图1）（图2）随堂练习： 一、选择题1、如图，把直线2y x =-向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点(,)a b ，且26a b +=，则直线AB 的解析式是( ).A 26y x =-+ .B 26y x =--.C 23y x =-+.D 23y x =--二、填空题 2、如图，直线243y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC PD +值最小时点P 的坐标为 ．3、如图， 在平面直角坐标系中， 平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴上， 顶点B 的坐标为(6,4)． 若直线l 经过点(1,0)，且将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分， 则直线l 的函数解析式是 ．4、已知一次函数y kx b =+过点()4,0和()2,2两点，则该函数的解析式为 ．5、一次函数y kx b =+，当41≤≤x 时，63≤≤y ，则bk的值是 ．6、在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些在平面直角坐标系中，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、⋯、正方形1n n n n A B C C -，使得点1A 、2A 、3A ⋯在直线l 上，点1C 、2C 、3C ⋯在y 轴正半轴上，则点n B 的坐标是 ．7、已知一次函数的图象经过点(0,2)P -，且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为 3 ，则此一次函数的解析式为 ．三、解答题8、已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，则点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式d =计算．例如：求点(1,2)P -到直线37y x =+的距离． 解：因为直线37y x =+，其中3k =，7b =．所以点(1,2)P -到直线37y x =+的距离为d ===． 根据以上材料，解答下列问题： （1）点(1,1)P -到直线1y x =+的距离；（2）已知直线21y x =-+与26y x =-+平行，求这两条直线之间的距离。
三法确定一次函数表达式
三法确定一次函数表达式确定一次函数表达式的方法有三种，分别是点斜式、截距式和一般式。
一、点斜式：点斜式是通过已知直线上一点的坐标和该直线的斜率来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上一点的坐标为(x1,y1)，斜率为m，则该直线的点斜式表达式为：y-y1=m(x-x1)其中，m为直线的斜率，定义为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
例如，已知直线上一点的坐标为(2,3)，斜率为2，则直线的点斜式为：y-3=2(x-2)二、截距式：截距式是通过已知直线在坐标轴上的截距来确定一次函数表达式的方法。
已知直线与x轴的交点为(a,0)，与y轴的交点为(0,b)，则该直线的截距式表达式为：x/a+y/b=1其中，a为直线与x轴的截距，b为直线与y轴的截距。
例如，已知直线与x轴的截距为3，与y轴的截距为4，则直线的截距式为：x/3+y/4=1三、一般式：一般式是通过已知直线上两点的坐标来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上两点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则该直线的一般式表达式为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)其中，(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点的坐标。
例如，已知直线上两点的坐标分别为(2,3)和(4,7)，则直线的一般式为：(y-3)/(x-2)=(7-3)/(4-2)以上三种方法都可以用来确定一次函数表达式，选择使用哪种方法取决于已知的条件。
点斜式适用于已知斜率和一点的情况，截距式适用于已知与坐标轴的截距的情况，一般式适用于已知两点的情况。
根据实际情况选择合适的方法，可以快速准确地确定一次函数表达式。
6.4 确定一次函数的表达式
6.4确定一次函数的表达式
【基础须知】
一、确定一次函数解析式的基本思想
1.由于一次函数的表达式y=kx+b中含有两个字母k和b，因此要确定一个一次函数，即把k和b的值确定下来即可.
2.正比例函数由于图象经过原点，所以只需求出字母k即可.
3.确定一次函数的表达式需要两个条件，确定正比例函数的表达式只需要一个条件.
二、确定一次函数表达式的步骤
1.设函数表达式y=kx+b；
2.根据已知条件列出关于k，b的方程；
3.解方程；
4.把求出的k，b值代入到表达式中即可.
三、围绕函数，主要有三种类型的运算
1.已知函数解析式及自变量的值，求自变量的值对应的因变量的值.
2.已知函数解析式和因变量的值，反过来求与已知因变量对应的自变量的值.
3.已知函数的类型，和函数的几对对应值（函数图象上几个点的坐标），求函数的解析式.
【重点梳理】
本节的重点是会根据已知条件求正比例函数和一次函数关系式．
【难点再现】
本节的难点是通过函数图象获取信息，发展形象思维．
【例题讲解】
已知直线y=kx＋b经过点(1，3)和点(-1，1)，求该函数的表达式.
解析：
求一次函数关系式时，通常先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出这个关系式．
答案：
根据题意k＋b=3．①
-k＋b=1．②
①-②得，2k=2，
∴k=1．把k=1代入①得b=2．
∴函数关系式为y=x＋2．。
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系。
而确定一次函数的表达式，则是我们能够顺利通过这座桥梁，解决各种实际问题的关键钥匙。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b（其中 k、b 是常数，k ≠ 0）。
这里的 k 被称为斜率，它决定了函数图像的倾斜程度；b 则是截距，也就是函数图像与 y 轴的交点。
要确定一次函数的表达式，实际上就是要找出 k 和 b 的值。
那怎么来找呢？通常有两种常见的方法：待定系数法和利用函数图像的特征。
先说待定系数法。
假设我们知道一次函数上的两个点的坐标，比如（x₁, y₁）和（x₂, y₂），把这两个点代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，就可以得到一个关于 k 和 b 的方程组。
举个例子，如果已知点（1, 3）和（2, 5）在某个一次函数上，那么把（1, 3）代入函数表达式得到 3 ＝ k×1 ＋ b，即 k ＋ b ＝ 3；把（2, 5）代入得到 5 ＝ k×2 ＋ b，即 2k ＋ b ＝ 5。
接下来解这个方程组，就能求出 k 和 b 的值。
从第一个方程 k ＋ b ＝ 3 可以得到 b ＝ 3 k，把它代入第二个方程2k ＋ b ＝ 5 中，就有 2k ＋ 3 k ＝ 5，解得 k ＝ 2。
再把 k ＝ 2 代入 b＝ 3 k ，得到 b ＝ 1。
所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1。
再来说说利用函数图像的特征来确定表达式。
如果我们能从图像中直接看出函数与 y 轴的交点，那这个交点的纵坐标就是 b 的值。
而斜率 k 呢，可以通过图像上任意两个点的坐标来计算。
比如说，函数图像与 y 轴交于（0, －2），并且还经过点（2, 4）。
那么 b ＝－2，而斜率 k ＝（4 （－2））÷（2 0）＝ 3 。
所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 3x 2 。
在实际应用中，确定一次函数的表达式非常有用。
确定一次函数表达式四法
确定一次函数表达式四法一、 定义确定法例1、己知()3221-+-=-k xk y k 是关于x 的一次函数，则这个函数的表达式为二、 待定系数法 例2、若一次函数b kx y +=的图象经过A （一1，一5）B （2，1）两点，求该一次函数的解析式．例3、己知直线b kx y +=与直线x y 3=平行且过点A （1，一5），求该直线的解析式例4、己知一次函数b kx y +=的图象经过A （3，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个函数的解析式．三、 方程式确定法 ．例5、如图Rt △ABC 中，∠C =︒90，BC =6，AC =8，点P 是AC 上一动点AP BC AB PQ ⋅=⋅，P Q ⊥AB 于Q ，设PC =x ，P Q=y 求y 与x 之间的函数关系式，并分别指出x 与y 的取值范围．四、 算式确定法例6、某电信公司手机A 类收费标准是：月租费18元，另外，每通话1分钟收费0.7元．（1） 写出每月应缴费用y 元与通话时间x （分）之间的函数关系式（2） 如果小明的手机10月份通话时间是82分钟，它应缴费多少元？实际问题中一次函数图象例1 两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据如图1中给出的数据信息，解答问题：(1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y (cm)与饭碗数x (个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度.例2今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图2所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用 户该月用了多少度电？例3、小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓到市场上销售，在销售了10千克时，收入50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两次共收入70元．已知在降价前销售收入y （元）与销售重量x （千克）之间成正比例关系．请你根据以上信息解答下列问题：（1）求降价前销售收入y （元）与售出草莓重量x （千克）之间的函数关系式；并画出其函数图象；（2）小强共批发购进多少千克草莓？小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强的捐款为多少元？图2图1例4、某种形如长方体的2000毫升盒装果汁，其盒底面是边长为10cm的正方形，现从盒中倒出果汁，盒中剩余果汁的体积y（毫升）与果汁下降高度x(cm)之间的函数关系如图所示（盒子的厚度不计）．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若将满盒果汁倒出一部分，下降的高度为15cm，剩余的果汁还能够倒满每个容积为180毫升的3个纸杯吗？请计算说明．例5、恩施山青水秀，气候宜人.在世界自然保护区星斗山，有一种雪白的树蟋蟀，人们发现他15秒钟所叫次数与当地温度之间满足一次函数关系.下面是蟋蟀所叫次数与温度变化（1（2）在该地最热的夏天，人们测得这种蟋蟀15秒钟叫了50次，那么该地当时的最高温度大约为多少摄氏度？。
青岛版数学八年级下册_如何确定一次函数表达式
如何确定一次函数的表达式确定一次函数表达式y=kx+b 的实质就是确定k 和b 的值,这需要两个条件:两对自变量与因变量的对应值.而确定正比例函数y=kx 中k 的值,只要一对自变量与因变量的对应值即可.那么如何获取确定函数表达式的条件,进而求出函数表达式呢?一、利用图象信息确定函数的表达式例1 如图,一次函数的图象l1与正比例函数的图象l2相交于点A,且l1过y 轴上的点B,请分别求出这两个函数的表达式解析: 设一次函数和正比例函数的表达式分别为y=kx+b 和y=mx.由图象信息知直线l1经过点A(2,6),B(0,3),由此得一次函数y=kx+b 的两对对应值:x=2时,y=6;x=0时,y=3.把它们代入y=kx+b 中,得6=2k+b ①,3= b ②.把 b =3代入① 中,得k=32.所以一次函数的表达式y=32x+3.又直线l2也经过点A(2,6), 由此得正比例函数y = mx 的一对对应值:x=2时,y=6.代入y = mx 中,得6=2 m.解得m=3.故正比例函数的表达式y = 3x. 二、利用表格信息确定函数的表达式例2 声音在空气中传播的速度y(米/秒)(简称音速)是气温x(℃)的一次函数.下表列出了一组不同气温时的音速.(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)气温在 22℃时,某人看到烟花燃放5秒后才听到声响,那么此人与燃放烟花的所在地约相距多远?解析:(1)很显然，表中没有22℃时的音速,需要先根据表中所提供的数据,求出y 与x 之间的函数关系式. 设这个一次函数的表达式为y=k+b,从表格中任意选取(通常选取较简单的)两对对应值,如x=0,y=331;x=5,y=334.把它们分别代入y=kx+b,得331,3345.b k b =⎧⎨=+⎩解得3,5331.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩故y 与x 之间的函数关系式为y=35x+331.(2)当x=22时, y=35×22+331=344.2. 344.2×5=1721(米).所以此人与燃放烟花的所在地约相距1721米.三、利用文字语言信息确定函数的表达式例3 某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商店决定提高销售价格.经试验发现,若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件;若按每件25元的价格销售时每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数,试求y与x之间的关系式.解析:因为件数y是价格x的一次函数,所以可设y与x之间的关系式为y=kx+b.由“若按每件20元销售时,每月能买360件;若按每件25元销售时,每月能买210件”可得x与y的两对对应值:当x=20时, y=360;当x=25时, y=210.把它们分别代入y=kx+b中,可得如下方程组:36020,21025.k bk b=+⎧⎨=+⎩解得30,960.kb=-⎧⎨=⎩所以y与x之间的关系式为y=-30x+960.温馨提示:由以上可以发现,运用待定系数法确定一次函数表达式有如下的步骤:①设出函数表达式为y=kx+b;②从题目所提供的信息中获取所需的两个条件,并代入y=kx+b中,得到以k,b为未知数的方程组;③解方程组,得到k,b的值;④将k,b的值回代到y=kx+b中,即得所求的函数表达式.。
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数是一个非常基础且重要的概念。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还在实际生活中的很多场景中发挥着重要作用。
而要熟练运用一次函数解决问题，首先我们得学会确定一次函数的表达式。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b （其中 k 不为 0 ， k 、 b 是常数），这里的k 被称为斜率，b 被称为截距。
确定一次函数的表达式，其实就是要确定 k 和 b 的值。
那么，怎么来确定这两个关键的值呢？常见的方法有两种：待定系数法和根据函数图像来确定。
先来说说待定系数法。
假如我们已知一个一次函数经过两个点的坐标，比如（x₁, y₁) 和（x₂, y₂) ，那么我们就可以把这两个点的坐标代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，得到一个关于 k 和 b 的二元一次方程组。
通过解这个方程组，就能求出 k 和 b 的值，从而确定函数的表达式。
举个例子，已知一次函数经过点（1, 3) 和（2, 5) 。
我们把这两个点代入函数表达式中，得到：当 x ＝ 1 ， y ＝ 3 时， 3 ＝ k × 1 ＋ b ，即 k ＋ b ＝ 3 ；当 x ＝ 2 ， y ＝ 5 时， 5 ＝ k × 2 ＋ b ，即 2k ＋ b ＝ 5 。
接下来解这个方程组。
用第二个方程减去第一个方程，可以消去b ，得到：2k ＋ b （k ＋ b) ＝ 5 32k ＋ b k b ＝ 2k ＝ 2把 k ＝ 2 代入第一个方程 k ＋ b ＝ 3 中，得到 2 ＋ b ＝ 3 ，解得 b＝ 1 。
所以，这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1 。
再来说说根据函数图像来确定表达式的方法。
如果我们有一个一次函数的图像，通常我们会知道它与 x 轴和 y 轴的交点坐标，或者知道图像上其他的一些特殊点的坐标。
比如，图像与 y 轴的交点坐标是（0, b) ，那么 b 的值就直接知道了。
然后再通过图像上的另一个点的坐标，按照待定系数法的思路，就能求出 k 的值。
八年级下册数学同步辅导四招确定一次函数的表达式
方法点击四招确定一次函数的表达式山东苗伟求一次函数的表达式是初中数学的重要内容之一，在近几年的中考试题中频频出现，现举例说明确定一次函数表达式的几种常用方法，供同学们学习时参考.第一招、根据平移规律求表达式例1 把直线y＝2x-1向上平移2个单位长度，求所得直线的表达式.解析：直接根据平移规律“左加右减，上加下减”可知，直线y＝2x-1向上平移2个单位长度，所得直线表达式是y＝2x-1+2，即y=2x+1.第二招、根据已知的对应值求表达式例2 某地区为了进一步解决交通拥堵同题，决定修建一条长为6千米的公路，如果平均每天的修建费y(万元)与修建天数(天)具有一次函数的关系，如下表所示，求y关于x的解析：先设表达式为y＝kx+b，再从表格中选取两组对应值，分别代入表达式得到关于k和b的方程组，解方程组即可.由表格可知，当x＝50时，y＝40;当x＝60时，y＝38，所以50406038k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得1550kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩.所以y关于x的函数表达式为y＝-15x+50.第三招、根据两点坐标求表达式例3已知直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴于点B（0，-2），求直线AB的函数表达式.解析：先设直线AB的表达式为y＝kx+b(k≠0)，再用待定系数法求出k和b的值即可.把A（1，0），B（0，-2）分别代入表达式，得2k bb+=⎧⎨=-⎩，解得22kb=⎧⎨=-⎩.所以直线AB的函数表达式是y＝2x-2.第四招、根据函数图象求表达式例4如图所示，一个正比例函数图象与一次函数y＝-x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是.解析：首先将点P的纵坐标代入一次函数的关系式求得其横坐标，然后将点P的坐标代入正比例函数的关系式.因为正比例函数图象与一次函数y＝-x+1的图象相交于点P，P点的纵坐标为2，所以2＝-x+1，解得x＝-1.所以点P的坐标为(-1，2)，设正比例函数的表达式为y＝kx，将点P的坐标代入，得2＝-k，解得k＝-2，所以正比例函数的表达式为y＝-2x.。
一次函数表达式的确定
一次函数表达式的确定一次函数是指函数的最高次数为一次的函数，其表达式的一般形式为y=ax+b，其中a和b是常数。
一次函数的图像呈现为一条直线，其中a决定了直线的斜率（即直线的倾斜程度），b决定了直线在y轴上与原点的位置关系。
在确定一次函数表达式时，关键是要有足够的信息来确定a和b的值。
以下是几种常见的确定一次函数表达式的方法：1. 已知两个点的坐标：假设已知直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则可以通过计算斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)来确定a的值，然后再利用其中一个点的坐标，代入y=ax+b的表达式，解方程得到b的值。
例如，已知直线上两个点A(2,4)和B(5,10)，则斜率k=(10-4)/(5-2)=2、代入点A的坐标，可得4=2a+b，代入任意一个点的坐标，如5=5a+b。
解这个方程组，可以得到a=2，b=0，即y=2x的一次函数表达式。
2. 已知斜率和一点坐标：有时候可能已知直线的斜率k和其中一个点的坐标，可以直接代入y=ax+b的表达式，然后解方程得到b的值。
例如，已知一次函数的斜率为3，且经过点(1, 4)，代入y=ax+b的表达式，可得4=3*1+b，解方程得到b=1、因此，一次函数的表达式为y=3x+13.已知函数图像上的一些特征：有时候，可能通过观察函数图像上的一些特征，来确定一次函数的表达式。
-如果直线与y轴平行，则直线在y轴上的截距为b，且斜率为无穷大。
此时，一次函数的表达式为y=b。
- 如果直线与x轴平行，则直线在x轴上的截距为b，且斜率为零。
此时，一次函数的表达式为y=ax+b，其中a为零。
- 如果直线经过原点，则直线在y轴上的截距为零，即b为零。
此时，一次函数的表达式为y=ax。
4.利用最小二乘法拟合数据：如果已知一些数据点，但不确定是否符合一次函数的形式，可以使用最小二乘法来拟合数据点，以确定最优的一次函数表达式。
最小二乘法通过最小化实际数据与拟合函数之间的误差来确定最优的a和b的值。
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课题： 25.3确定一次函数表达式的方法 学习目标
1．待定系数法确定一次函数的表达式。
2．解决有关现实问题。
学习重点、难点
重点、难点：待定系数法确定一次函数的表达式。
预习感知
1一次函数的表达式
正比例函数的表达式
2．确定一次函数的表达式需要几个条件？
确定正比例函数的表达式需要几个条件？
合作运用
合作探究1
图中的直线是一个一次函数的图像。
已知这个图像上两点的坐标为P(-20,5),Q(10,20),怎样确定这个一次函数的表达式呢？
回答问题：
1．若已知函数为一次函数，它的表达式形式是：
2．已知一次函数图像上两点的坐标，他们应满足表达式，代入得：
解得： k=
b=
所以一次函数解析式：
跟踪训练：在超市购物，baby 坐购物车行驶路程与时间函数关系如图，求次函数关系表达式。
合作探究2
一定质量的气体，在体积不变的情况下，压强随温度的变化而变化。
下表是一定质量的某种气体在体积不变的情况下，其压强P（千帕）随温度t(℃)变化的实验数据：
1．观察表格，你能发现什么规律？
2．0℃时的压强为100千帕，温度每升高1℃，压强就增大_____千帕，由此你能写出p(千帕)与t（℃）之间的函数关系式吗？它是一次函数吗?
跟踪练习：超市星球杯售价是每粒0.1元，现在正搞活动，凡购买星球杯立减0.1元。
求买星球杯x粒与花费y元之间函数关系式
巩固应用
1.正比例函数表达式为，只需确定组对应值可求表达式。
2.一次函数表达式为，需要确定组对应值可求出表达式。
3.若正比例函数的图像过点（1,2)则该函数的表达式为。
4.若一次函数的图像过点A（1，2）和点B（-2，1）则该函数的表达式为_________________________。
5.由S市寄往G市的包裹，邮寄费用的标准是3元/千克，每件另收取挂号费2元，则邮寄总费用y(元)与包裹质量x(千克)之间的函数关系式
为 ,如果邮寄包裹的质量为7.8千克，则邮寄总费用为__________。