第十一章曲线积分与曲面积分

第十一章 曲线积分与曲面积分

§1 对弧长的曲线积分

1．求下列对弧长的曲线积分

(1)()L x y ds +⎰,其中L 为连接（1，0）及（0，1）两点的直线.

(2)22()n L ,x y ds +⎰ 其中L 为圆周cos ,sin (02).x a t y a t t =π=≤≤

(3) 222

1,ds x y z Γ++⎰其中为曲线Γcos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上相应于t 从0变到 2的这段弧.

(4)其中 L 为摆线的一拱2,L y ds ⎰sin cos x a t t a t π≤≤.=(-),y=(1-)(0t 2)

§2 对坐标的曲线积分

1. 计算下列对坐标的曲线积分

(1)22()L ,x y dx -⎰其中 L 是抛物线从点（0，0）到点（2，4）的一段弧.

(2) 其中 L 为圆周,L ydx xdy +⎰cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧.

(3)(1),xdx ydy x y dz Γ+++-⎰其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线.

2. 把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L 为：

(,)(,)L P x y dx Q x y dy +⎰(1)在xoy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；

(2)沿抛物线从点(0,0)到点(1,1)； 2

y x =(3)沿上半圆周22

2x y +=x 从点(0,0)到点(1,1).

§3 格林公式

一、计算题

1. 利用格林公式计算下列曲线积分

(1) 22L (2)d +(+)d xy x x x y y -⎰ 其中是由抛物线L 2y x =和2y x =所围成的区域的正

向边界曲线；

(2)

222(cos 2sin )(sin 2)x L ,x x y x xy x y e dx x x ye dy +-+-⎰ 其中L 为正向星形线2

22333(0).x y a a +=>

2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：

(1)星形线3cos ,sin 3x a t y a ==t ； (2)椭圆. 22

916144x y +=

二、证明题

1. 证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：

(2)

3(2,1)42(1,0)(23)(4).xy y dx x xy dy -++-⎰

2. 验证下列微分是某一函数的全微分，并求此的全微分.

(,)u x y (,)u x y (1)22xydx x dy +； (2)22cos cos (2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-(2).

1.计算下列对面积的曲面积分 (1)4(2)3

z x y dS ∑++

⎰⎰,其中为平面∑1234x y z ++=在第一象限中的部分.

(2)

,()x y z dS ∑++⎰⎰其中∑为球面x y y a ++=222z h ≥（2上0

2.求抛物面壳221()(01)z ≤≤的质量，此壳的面密度的大小为.z 2

z x y =

+ρ=

1. 计算下列对坐标的曲面积分

(1)其中,zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰∑是柱面2x

y +=120z 被平面=及所截得的在

3z =第一卦限内的部分的前侧；

(2)

22,x y zdxdy ∑⎰⎰其中∑是球面2x y z R 222++=的下半平面的下侧.

2. 把对坐标的曲面积分

化成对面积的曲面积分，其中：

(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑++⎰⎰(1)∑

是平面326=在第一卦限的部分的上侧； x y ++(2)∑是抛物面22在8()z x y =-+xoy 面上方的部分的上侧.

§6 高斯公式 通量与散度 §7 斯托克斯公式 环流量与旋度

1.利用高斯公式计算曲面积分：

(1)

333,x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ 其中2222x y z a ++=的外侧；

∑为球面

(2),2232()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰ 其中∑为上半球体222,x y a ≤+

0z ≤≤的表面外侧.

(3)24,xzdydz y dzdx yzdxdy ∑

-+⎰⎰ 其中∑是平面0,0,x y ==0,1,1,1z x y z ====所围成立方体的全表面的外侧.

2.利用斯托克斯公式，计算曲线积分,ydx zdy xdz Γ++⎰ 其中Γ为圆周222x y z ++

0,若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针的方向.

2,a =x y z ++=