2020年高考数学试题分类汇编 专题排列组合、二项式定
2020高考数学复习名题选萃 排列、组合、二项式定理
2020高考数学复习名题选萃 排列、组合、二项式定理一、选择题1．小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为[ ]A ．26B ．24C ．20D ．192．计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有[ ]AB CD ．·种．··种．··种．··种P P P P P P P P P P P 44553344553144552244553．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有[ ]A ．24个B ．30个C ．40个D ．60个4．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有[ ]A ．150种B ．147种C ．144种D ．141种 5．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有[ ]A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种6(2x )a a x a x a x a x (a a a )4012233440242．若＋＝＋＋＋＋，则＋＋3－(a 1＋a 3)2的值为[ ]A ．1B ．－1C ．0D ．2二、填空题7．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种(用数字作答)．8．在(3－x)7的展开式中，x 5的系数是________．(用数字作答)9．圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为________．10．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋1(n ∈N)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________． 11．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选法有________种(结果用数值表示)．12．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个(用数字作答)．13．在(1＋x)6(1－x)4的展开式中，x 3的系数是________(结果用数值表示)． 14．有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本．若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有________种(结果用数值表示)．15x a 3．已知的展开式中的系数为，常数的值为．()a x x 249916．从集合｛0，1，2，3，4，5，7，11｝中任取3个元素分别作直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的A 、B 、C ，所得经过坐标原点的直线有________条(结果用数值表示)．17．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为________(用数字作答)．18n (1)x n n 3．设是一个自然数，＋的展开式中的系数为，则x n 116＝________．19．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有________种(用数字作答)．20(x )x 355．在＋的展开式中，含项的系数为．22x三、解答题21．已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．(1)n P m P i m ii n i 证明＜；(2)证明(1＋m)n ＞(1＋n)m ．参考答案提示一、选择题1．D 2．D 3．A 4．D 5．D 6．A提示：6．本小题考查二项式定理的有关知识．解法1：由二项式定理，＋＝＋＋＋＋．则＋＋＝＋＋＝，＋＝．＋＋－＋＝－＝－＝．解法：令＝，得＋＝＋＋＋＋．(2x x)9243x 72x 323x 16x a a a 9721697a a 563(a a a (a a )97(563)9409940812x 1(23)a a a a a 424024130241322240123432)令＝－，得－＝－＋－＋．所以＋＋－＋＝＋＋＋＋＋＋－－＝＋·－＝＋－＝x 1(23)aa a a a a (a a a )(a a )(a a a a a )(a a a a a )(23)(23)[(23)(23)]140123402421320241302413444 二、填空题7．252 8．－189 9．2n(n －1) 10．11 11．350 12．32 13．－8 14．1440 15．4 16．30 17．179 18．419．12．提示：解法1：若A 、B 之间间隔6垄，如果A 在左，B 在右，A 的左边可以有2垄、1垄、0垄，相应B 的右边有0垄、1垄、垄．、还可以交换位置，所以这样的选垄方法有种．若2A B 3P 22A种．若 A 、B 之间间隔7垄，若A 在左，B 在右，A 的左边可以有1垄、垄，、可以交换位置，这样共有种选垄方法．若、0A B 2P A 22 B 8P 3P 2P P 22222222之间间隔垄，有种选垄方法．共有不同的选垄方法＋+=12(种)．解法2：用插空的方法．中间的6垄与两旁的A 、B 两垄先排好，A 的两边有2个空，B 的两边有2个空，这4个空选2个空种植其他2垄，、有顺序，所以共有种不同的选垄方法A B C P 42222040T C (x )(2x )C 2x 155r 5r 2T C 240r 15r3542r 5rr 155r 3522．．提示：本小题考查二项式定理的知识．解：＝＝··，由题意－＝，得＝，的系数为·＝+--三、解答题 21．(略)。
专题10-4排列组合与二项式定理第四季-2020年领军高考数学(理)压轴题必刷题(解析版)
专题10-4排列组合与二项式定理第四季1．4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人参加的不同的分组共有_________种.【答案】90【解析】由题意得4名学生中，恰有2名学生参加2个兴趣小组，，其余2 名学生参加一个兴趣小组，首先4名学生中抽出参加2个兴趣小组的学生共有种.下面对参加兴趣小组的情况进行讨论：参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组完全相同，共种；2、参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组有一个相同，共种.故共有种.即答案为90.2．的展开式中项前系数为_________(用数字作答)，项的最大系数是__________【答案】084【解析】通项，当r=5时，，当r=6时，，所以项前系数为0。
由二项式定理展开可得：==所以最大项为，即84。
所以填0和84。
3．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有____种不同选取方法.【答案】21【解析】根据题意，分5种情况讨论：①、若从只会英语的3人中选3人翻译英语，则需要从剩余的4人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有种，②、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的3人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有种，③、若从只会英语的3人选小张翻译英语，则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的2人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有种，则不同的安排方案有种，则不同的安排方法有种．故答案为：29．4．由可组成不同的四位数的个数为__________．【答案】【解析】i）选取的四个数字是1,2,3,4，则可组成个不同的四位数；ii)从四组中任取两组有种取法，其中每一种取法可组成个不同的四位数，所以此时共有个不同的四位数；iii)从四组中任取一组有种取法，再从剩下的三组中的不同的三个数中任取2个不同的数字有种取法，把这两个不同的数字安排到四个数位上共有种方法，而剩下的两个相同数字只有一种方法，由乘法原理可得此时共有个不同的四位数；综上可知，用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是，故答案是204.5．用五种不同颜色给三棱台的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【答案】1920.【解析】分两步来进行，先涂，再涂.第一类：若5种颜色都用上，先涂，方法有种，再涂中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有种；第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；先涂，方法有种，再涂中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有种；第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；先涂，方法有种，再涂，方法有2种，故此时方法共有种；综上可得，不同涂色方案共有种，故答案是1920.6．展开式中二项式系数和为32，则展开式中的系数为_________．【答案】-30.【解析】由展开式中二项式系数和为32，可得，解得，，根据二项式定理可以求得的展开式中，三次项、二次项、一次项系数和常数项分别是10、10、5、1，的展开式中，常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是-1、10、-40、80，所以展开式中项的系数为.7．若其中，则的展开式中的系数为_____．【答案】2808．方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有_____条．【答案】【解析】方程变形得，若表示抛物线，则，分五种情况：（1）当时，或或或.（2）当时，或或或,以上两种情况下有条重复，故共有条.（3）同理当或时，共有条.（4）当时，或或或，共有条，综上，共有，故答案为.学科_网9．设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.【答案】【解析】分类讨论：①，则这四个数为或，有组；②，则这四个数为或，有组；③，则这四个数为或或，有组；综上可得，所有有序数组的组数为.10．某校高三年级5个班进行拔河比赛，每两个班都要比赛一场.到现在为止，1班已经比了4场，2班已经比了3场，3班已经比了2场，4班已经比了1场，则5班已经比了______场.【答案】2【解析】设①②、③、④、⑤分别代表1、2、3、4、5班，①赛了4场，则①是和②、③、④、⑤每人赛了1场；由于④只赛了1场，则一定是找①赛的；②赛了3场，是和①、③、⑤赛的；③赛了2场，是和①、②赛的；所以此时⑤赛了2场，即是和①、②赛的，每班的比赛情况可以用如图表示：答：⑤号已经比了2场，即5班已经比了2场，故答案为2.11．在直角坐标系中，有50条不同抛物线和另50条不同抛物线.这100条抛物线把坐标平面最多分成________个部分.【答案】15052【解析】显然，两条形如的抛物线至多有两个交点，两条形如的抛物线至多有两个交点，一条抛物线与一条抛物线至多有四个交点；50条不同抛物线把平面至多分成个部分.类似地，50条不同抛物线把平面至多分成2501个部分.又一条抛物线与50条抛物线至多有200个交点，这200个交点把抛物线分成201段，这201段可将平面多分出201个部分，故50条抛物线与50条抛物线将平面多分出个部分. 因此，所求为.12．若的某个非空子集中所有元素之和是3的倍数，称该子集为“忐忑子集”.则该忐忑子集的个数是________.【答案】175【解析】若某个真子集是忐忑子集，则其补集也是忐忑子集.故只需考虑元素个数小于或等于4的忐忑子集.因此，只有1个元素的忐忑子集共有3个；恰有2个元素的忐忑子集共有个；恰有3个元素的忐忑子集共有个.对于4元子集，由于其中的4个元素被3除的余数必有两个相同，讨论知只有，，，这四种可能的余数组合.从而，4个元素的忐忑子集的个数共有.又全集也是忐忑子集，故忐忑子集的个数为.故答案为：17513．在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染1；再染两个偶数2，4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25.按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，….则红色子列中由1开始数起的第1996个数是_________.【答案】3929【解析】第一次染红一个数1，；第二次染红2个数2，4，；第三次染红3个数5，7，9，；猜测，第次染红最后一个数为.则第次染红的个数依次为：，，，…，，.最后一个数是.按这个规律前段共染红了个数.解，得.此时前62个片段共个数.第62段最后一个数为，也就是第1953个红数是3844，第1954个红数为3845.而，所以第1996个红数是.14．8个女孩和25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有__________________种不同的排列方法.（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）.【答案】【解析】假定女孩中有一个是A，对任何一个满足要求的圆排列，令从A打头按顺时针方向走成一个直排，示意图如下：.现在以O代表女孩所站的位置，以×代表男孩所站的位置，则在每个〇后至少有两个×.让每个O“吸收了”它紧后的两个×，画成一个，则每个O，×排列对应成一个×排列：后一种排列的个数显然是从(8+25)-2×8-1=16个位置中选出7位置的组合数，即种.以上表明男、女孩的位置排列共种方法.对每种位置排列，女孩站上去有7！种方法(A固定站首位)，男孩站上去有25！种方法，故总的排列方法数为15．设为（1，2，…，20）的一个排列，且满足.则这样的排列有________个.学_科网【答案】注意到，，且为（1，2，…，20）的一个排列.于是，在中，每个数作为最大值或最小值最多只能两次..故.从而，，.由分布计数原理，排列的个数为.16．将1～10这十个数排成一个数列，使得每相邻两项之和均为素数，并且首尾两项之和也为素数.则填法为______.【答案】1，2，3，8，5，6，7，10，9，4【注】答案不唯一.【解析】考查1-10内所有的数的和可能的结果列表如下，并标记结果为素数的值，如表中第二行第三列的3进行标记说明的结果为素数，则排列的时候可以和相邻，而表中第二行第四列的4进行标记说明的结果为合数，则排列的时候可以和3不可以相邻，据此可得一种结果为：1，2，3，8，5，6，7，10，9，4【注】答案不唯一.17．从正12边形的顶点中取出四个顶点，其两两不相邻的概率为_______.【答案】18．在的方格表中，每个格被染上红、蓝、黄、绿四种颜色之一，若每个的子方格表包含每种颜色的格均为一，称此染法为“均衡”的．则所有不同的均衡的染法有__________种．【答案】1896【解析】均衡染法如图．若第一个的子方格表中四个格分别染A、B、C、D色，则第三列上面两个格只能染A、C色．若第三列第一个格染C色，则第三列第二个格染A色，然后，第三行第二个格只能染B色，第三行第一个格只能染A色，第三行第三个格只能染C色，……依此类推，在均衡的染法中，每列（或每行）中仅有两色交错出现，且其相邻的两列（或行）中另两色交错出现．当每列中两色交错出现时，第一列选两色，然后每列选首色，共有种染法；当每行中两色交错出现时，类似地，有种染法．又重复的情形有种，故不同的染法数为．19．某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．【答案】10[来源学科网Z.X.X.K]【解析】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有A n﹣23种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32A n﹣22种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴A n﹣23＝A32A n﹣22，解得n＝10，故答案为：10．学+科网20．《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）【答案】144【解析】《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A，B，C，D，E，F，由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共72（种）排法，第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种）故答案为：144．。
2020届全国各地高考试题分类汇编15 排列组合 二项式定理
2020届全国各地高考试题分类汇编15 排列组合 二项式定理1.（2020•北京卷）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）． A. 5- B. 5C. 10-D. 10【答案】C【解析】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-.故选：C.2.（2020•全国1卷）25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515r r rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+=.故选：C3.（2020•全国2卷）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A. 10名 B. 18名C. 24名D. 32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，500.95900x≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名.故选：B4.（2020•全国2卷）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】36 【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种 故答案为：36.5.（2020•全国3卷）262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrrr C x x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r rr r xC x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅ 当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.6.（2020•新全国1山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C7.（2020•天津卷）在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________． 【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．故答案为：10．8.（2020•浙江卷）设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 + a 3=________． 【答案】 (1). 80 (2). 122【解析】5(12)x +的通项为155(2)2r r r r rr T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；113355135555222122a a a C C C ++=++=.故答案为：80；1229.（2020•上海卷）从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。
2020年高考数学(理)二轮复习命题考点串讲系列-专题19 排列、组合、二项式定理(含答案解析)
2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题19 排列、组合、二项式定理1、考情解读1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.2、重点知识梳理 1．两个重要公式 (1)排列数公式 A m n ＝n ！n －m ！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(n ，m ∈N *，且m ≤n )．(2)组合数公式 C m n ＝n ！m ！n －m ！＝nn －1n －2…n －m ＋1m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．2．三个重要性质和定理 (1)组合数性质①C m n ＝C n －m n (n ，m ∈N *，且m ≤n )；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n (n ，m ∈N *，且m ≤n )；③C 0n ＝1. (2)二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k ·b k ＋…＋C n n b n ，其中通项T r ＋1＝C r n an －r b r . (3)二项式系数的性质①C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n ；②C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；③C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. 3、高频考点突破 考点1 排列与组合例1．【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为443A 72 ，故选D.【变式探究】(2015·四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个解析 由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A 34＝72个；若万位是4，则有2×A 34个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.答案 B考点二 排列组合中的创新问题例2．用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)解析 分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b 5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c )5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5，故选A.答案 A【变式探究】设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．130答案 D考点三 二项展开式中项的系数例3．【2016年高考北京理数】在6(12)x 的展开式中，2x 的系数为__________.（用数字作答）【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式16(2)r r r r T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=。
专题14 排列组合、二项式定理--2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案
专题14排列组合、二项式定理研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文的排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。
排列组合二项式定理——近3年排列组合二项式定理考了7道小题，（3道排列组合，4道二项式定理）二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统计和分布列中考查，排列组合出现的考题难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合难题无数，只要处理好两个理（分类加法原理、分步乘法原理）及分配问题，掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通向问题”出现较多。
该项内容对文科考生不作要求。
1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理15））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）【答案】见解析。
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】方法一：直接法，分类即可求出，方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，方法二，间接法：C63﹣C43=20﹣4=16种，故答案为：16【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理6））（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理14））（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）【答案】见解析。
高中数学高考专题26 排列组合、二项式定理(解析版)
专题26 排列组合二项式定理命题规律内 容典 型１ 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题 2020年高考全国Ⅰ卷理数8 ２ 求二项式展开式的指定项或指定项系数 2020年高考全国Ⅲ卷理数14 ３ 求二项式展开式中奇数项系数 2020年高考浙江卷12 ４ 利用计数原理计算组合问题2020年高考山东卷3 ５利用计数原理计算排列组合的综合问题2020年高考全国Ⅱ卷理数14命题规律一 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题【解决之道】利用二项式定理展开式的通项，列出关于所求项的指定项指数的方程，通过解不定方程，即可确定指定项，利用通项公式即可求出指定项系数，注意分类讨论. 【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），∴2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积可表示为：56155rrrr rr r xT xC xy C xy --+==或22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==，在615r r rr xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5，∴33x y 的系数为10515+=，故选C ． 2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．命题规律二 求二项式展开式的指定项或指定项系数【解决之道】解决此类问题，设指定项为二项式展开式的第r 项，利用通项公式，列出关于r 的方程，解出r ，即可求出指定的系数.【三年高考】1.【2020年高考北京卷3】在)52的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10 【答案】C【解析】由题意展开式的通项为T r+1=C 5r（x 12）5−r(−2)r ==C 5r (−2)r x5−r2，令r=1得x 2的系数为-10，故选C ．2.【2020年高考全国Ⅲ卷理数14】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 （用数字作答）． 【答案】240【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其二项式展开通项：()62612rr rr C x x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r r r r xC x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅，当1230r -=，解得4r =，∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=．故答案为：240．3.【2020年高考天津卷11】在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．4.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．5.【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x的通项为919C (0,1,29)r r r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．6.【2018年高考浙江卷】二项式81)2x的展开式的常数项是__________． 【答案】7【解析】二项式812x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为848318811C C 22rr rrrr r T xx --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令8403r -=得2r =，故所求的常数项为2821C =72⋅．故答案为：7． 7.【2018年高考天津卷理数】在5(x 的展开式中，2x 的系数为__________．【答案】52【解析】二项式5(x -的展开式的通项公式为35521551C C 2r rr r r r r T x x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，令3522r -=可得：2r =，则2x 的系数为：225115C 10242⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：52．命题规律三 求二项式展开式中奇数项系数【解决之道】解决此类问题，要熟记二项式展开式的系数性质，利用赋值法，即可列出二项式系数的方程（组），系数和即赋值1x =，偶数项系数和减去奇数项系数和即赋值1x =-，通过解方程即可求出偶数项（奇数项）系数和.【三年高考】1.【2020年高考浙江卷12】设()2345123455612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ；123a a a ++= ．【答案】80；51【解析】由题意可知5a 表示4x 的系数，即4455280a C =⋅=，11a =，125210a C =⋅=，2235240a C =⋅=，∴12351a a a ++=．命题规律四 利用计数原理计算组合问题【解决之道】排列组合问题常见解法:（1）元素分析法：在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。
2020高考数学课标二轮：专题能力训练排列、组合与二项式定理含解析
答案:
解析:由题意知k= =12,所以Tr+1= xr.
因为r=2,所以含x2项的系数为 =66× .
27.已知二项式 的展开式中x2的系数为A,常数项为B,且B=4A,求a的值.
解:展开式的通项为Tr+1= x6-r· =(-a)r x6-2r.令6-2r=2,得r=2,A=a2 =15a2;令6-2r=0,得r=3,B=-a3 =-20a3.将其代入B=4A,得a=-3.
A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5
B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5
C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)
D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)
答案:A
解析:本题可分三步:第一步,分别取0,1,2,3,4,5个红球,共有1+a+a2+a3+a4+a5种取法;第二步,取0个或5个蓝球,有1+b5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c)5种取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5种取法.故选A.
A.72种B.144种C.288种D.360种
答案:B
解析:第一步,排语文、英语、化学、生物4种,且化学排在生物前面,有 =12种排法;第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空当中的2个,有 =12种排法,所以不同的排法共有12×12=144种.
2020高考数学模拟试题(理)《排列组合 二项式定理》分类汇编(含答案)
2020高考数学模拟试题（理）《排列组合 二项式定理》分类汇编一．选择题（共32小题）1．（5分）（2020•广州一模）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为( ) A ．19B ．29 C ．13D ．492．（5分）（2020•绿园区校级模拟）有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( ) A ．540B ．729C ．216D ．4203．（5分）（2020•道里区校级一模）现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为( ) A ．36B ．24C ．22D ．204．（5分）（2020•金安区校级模拟）2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有( ) A ．6种B ．24种C ．36种D ．42种5．（5分）（2020•九龙坡区模拟）某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有一个1元，1个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲、乙两人都抢到红包且金额不同的情况有( ) A ．36种B ．30种C ．24种D ．18种6．（5分）（2020•新建区校级模拟）五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置．学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是( ) A ．360B ．240C ．150D ．907．（5分）（2020•马鞍山一模）西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸．203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为( ) A ．18B ．36C ．72D ．1448．（5分）（2020•邯郸模拟）6(12)x -的展开式第三项为( ) A ．60B ．120-C ．260xD ．3120x -9．（5分）（2020•眉山模拟）25(23)(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为( ) A ．23-B ．17C ．20D ．6310．（5分）（2020•龙岩一模）51(1)(2)x x x+-的展开式中常数项为( )A ．40-B ．40C ．80-D ．8011．（5分）（2020•重庆模拟）(()n mx n N ++∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中3x 的系数为( ) A ．40B ．30C ．20D ．1012．（5分）（2020•兴庆区校级一模）若231()nx x +展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( ) A ．1B ．5C ．10D ．2013．（5分）（2020•德阳模拟）设复数2(1ix i i=-是虚数单位），则112233202020202020202020202020(C x C x C x C x +++⋯+= )A ．1i +B ．i -C ．iD ．014．（5分）（2020•香坊区校级模拟）已知7(2)()b x a x x++的展开式中4x 的系数是42，则常数a ，b 应当满足的条件是( ) A ．a R ∈，1b =B ．a R ∈，1b =-C ．a R ∈，1b =±D ．1a =，b R ∈15．（5分）（2020•福清市一模）若4(12)(1)x ax -+展开式中2x 的系数为78，则整数a 的值为( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．316．（5分）（2020•河南模拟）已知2*1(2)()n x n N x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中2x 的系数为( ) A ．280B ．280-C ．35D ．35-17．（5分）（2020•随州模拟）在1()n x x-的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( ) A ．126-B ．70-C ．56-D ．28-18．（5分）（2020•武汉模拟）5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-则3(a =) A ．40B ．40C ．80D ．80-19．（5分）（2020•临朐县模拟）在61(1)x x-+的展开式中，含5x 项的系数为( ) A ．6-B ．6C ．24-D ．2420．（5分）（2020•茂名一模）前进中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有( )种派遣方法． A ．120B ．96C ．48D ．6021．（5分）（2020•郑州一模）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种( ) A ．60B ．90C ．120D ．15022．（5分）（2020•平城区校级模拟）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1i i =，2，⋯，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有( )A ．22种B ．24种C ．25种D ．27种23．（5分）（2020•武侯区校级模拟）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有( )个． A ．324B ．216C ．180D ．38424．（5分）（2020•黄冈模拟）对一个各边不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边染相同的颜色．则不同的染色方法共有()种． A ．24B ．30C ．36D ．12025．（5分）（2020•重庆模拟）如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036)，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为( ) A ．12B ．44C ．58D ．7626．（5分）（2020•天津模拟）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲共有多少种选考方法( ) A ．6B ．12C ．18D ．1927．（5分）（2020•淮南一模）淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为( ) A ．960B ．1080C ．1560D ．302428．（5分）（2020•陕西一模）在6(2)(1)m x y ++的展开式中，令3x y 的系数为800，则含4xy 项的系数为( ) A ．30B ．960C ．300D ．36029．（5分）（2020•青浦区一模）使得(3(*)n x n N+∈的展开式中含有常数项的最小的n为( ) A ．4B ．5C ．6D ．730．（5分）（2020•贵州模拟）在二项式3)n x的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项的值为( ) A ．6B ．9C ．12D ．1831．（5分）（2020•武侯区校级模拟）如果21)nx的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．632．（5分）（2020•内江模拟）24(2)(1)x x x -+-的展开式中x 项的系数为( ) A ．9-B ．5-C ．7D ．8二．填空题（共8小题）33．（2020•东宝区校级模拟）今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有 种．（用数字作答） 34．（2020•涪城区校级模拟）若有7个人排成一排，现要调整其中某3个人的位置，其余4个人的位置不动，则使所要调整的某3个人互不相邻的调整方法的种数是 ．35．（2020•凯里市校级模拟）已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到A ，B 两个班级，若甲必须在A 班，且每班至少有这五名中的2人，则不同的分配方案有 种．36．（2020•河南模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有 种． 37．（2020•湖北模拟）在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙和尚、唐三藏、白龙马的彩色陶俑各一个送给来中国参观的美国中学生汤姆、杰克、索菲娅，每个人至少一个，且猪八戒的彩色陶俑不能送给索菲娅，则不同的送法种数为 ．38．（2020•吉林二模）(1n 展开式中的系数的和大于8而小于32，则n = ． 39．（2020•金安区校级模拟）多项式28(2)x 的展开式中，含7x 项的系数为 ．40．（2020•市中区校级模拟）二项式6(2x 的常数项为a ，则12720(ax dx -=⎰ ．答案解析一．选择题（共32小题）1．（5分）（2020•广州一模）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为( ) A ．19B ．29 C ．13D ．49【解答】解：从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，共有22339C C =，选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有11224C C =， 故总的事件个数为9436⨯=种，其中1A 和1B 两人组成一队有11224C C =种， 故则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为41369=， 故选：A ．2．（5分）（2020•绿园区校级模拟）有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( ) A ．540B ．729C ．216D ．420【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先将6名优秀毕业生分为3组，若分为1、1、4的三组，有4615C =种分组方法，若分为1、2、3的三组，有326360C C =种分组方法， 若分为2、2、2的三组，2226423315C C C A =种分组方法， 则有15601590++=种分组方法；②，将分好的三组对应三个班级，有339A =种情况， 则每个班至少去一名的不同分派方法有906540⨯=种； 故选：A ．3．（5分）（2020•道里区校级一模）现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为()A．36B．24C．22D．20【解答】解：根据题意，按甲的站法分2种情况讨论：①、若甲站在两端，甲有2种情况，乙必须与甲相邻，也有1种情况，剩余3人全排列，安排的剩余的3个位置，有336A=种情况，则此时有21612⨯⨯=种站法；②、若甲不站在两端，甲可以站在中间的3个位置，有3种情况，乙必须与甲相邻，也有2种情况，甲与丁不能相邻，丁有2个位置可选，有2种情况，剩余2人全排列，安排的剩余的2个位置，有222A=种站法，则此时有322224⨯⨯⨯=种站法；则一共有241236+=种站法；故选：A．4．（5分）（2020•金安区校级模拟）2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有()A．6种B．24种C．36种D．42种【解答】解：第一步从4个没转播的频道选出2个共有24A种，在把2个报道的频道选1个有12A种，根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有21 4224A A=种．故选：B．5．（5分）（2020•九龙坡区模拟）某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有一个1元，1个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲、乙两人都抢到红包且金额不同的情况有() A．36种B．30种C．24种D．18种【解答】解：根据题意，若甲乙都抢到红包，有22234236C C A=种情况，其中甲乙抢到红包金额相等的情况有22326C A=种情况，故甲、乙两人都抢到红包且金额不同的情况有36630-=种；故选：B．6．（5分）（2020•新建区校级模拟）五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置．学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是()A．360B．240C．150D．90【解答】解：先分类再分配第一步分两类(2，2，1)和(3，1，1)，则分类方法有22353522C CCA+种；第二步分配给三名学生有33A种分法；由分步计数乘法原理得：221335315322()150C C CN C AA=+=种．故选：C．7．（5分）（2020•马鞍山一模）西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸．203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为() A．18B．36C．72D．144【解答】解：五人选三门课每门课都有人选共有两种情况：①2、2、1，②3、1、1，对于①：先选一门课作为奔奔和果果所选，再从剩下的三人中选一位单独选一门课，∴11133218C C C=，对于②：先选一门课程作为奔奔和果果所选，剩下的3人在三门课程中任意排列，∴133318C A=，∴共有181836+=种，故选：B ．8．（5分）（2020•邯郸模拟）6(12)x -的展开式第三项为( ) A ．60B ．120-C ．260xD ．3120x -【解答】解：6(12)x -的展开式第三项 22236(2)60T C x x =-=， 故选：C ．9．（5分）（2020•眉山模拟）25(23)(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为( ) A ．23-B ．17C ．20D ．63【解答】解：因为5(2)x +的展开式通项公式为：5152rr r r T x -+=，令r 分别取0，1，2；∴展开式中含5x 项为5422353252(102)17x x x x x x --⨯+⨯=； ∴含5x 项的系数是17．故选：B ．10．（5分）（2020•龙岩一模）51(1)(2)x x x+-的展开式中常数项为( )A ．40-B ．40C ．80-D ．80【解答】解：51(2)x x-的的展开式的通项公式：5151(2)()(1)r r r r r T x x-+=-=-55252rr r x --．令521r -=-，或520r -=， 解得3r =，52r =（舍去）． 51(1)(2)x x x∴+-的展开式中常数项：3235(1)240-⨯⨯=-．故选：A ．11．（5分）（2020•重庆模拟）(()n mx n N ++∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中3x 的系数为( ) A ．40 B ．30C ．20D ．10【解答】解：(n mx + 的展开式中，各二项式系数和为232n =，5n ∴=．再令1x =，可得各项系数和为55(1)2433m +==，2m ∴=，则展开式中的通项公式为55215r r rr T C m x--+=，令532r-=，可得4r =， 故展开式中3x 的系数为45210C =， 故选：D ．12．（5分）（2020•兴庆区校级一模）若231()nx x +展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( ) A ．1B ．5C ．10D ．20【解答】解：令1x =可得231()nx x+展开式的各项系数之和为232n =， 5n ∴=，故其展开式的通项公式为10515r r r T x -+=，令1050r -=，求得2r =，可得常数项为2510=，故选：C ．13．（5分）（2020•德阳模拟）设复数2(1ix i i=-是虚数单位），则112233202020202020202020202020(C x C x C x C x +++⋯+= )A ．1i +B ．i -C ．iD ．0【解答】解：复数2(1i x i i=-是虚数单位），而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-，而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-，故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．14．（5分）（2020•香坊区校级模拟）已知7(2)()bx a x x++的展开式中4x 的系数是42，则常数a ，b 应当满足的条件是( ) A ．a R ∈，1b =B ．a R ∈，1b =-C ．a R ∈，1b =±D ．1a =，b R ∈【解答】解：已知7(2)()bx a x x ++ 的展开式中4x 的系数是42，而7()bx x+的展开式的通项公式为7217r r r r T C b x -+=，令723r -=，可得2r =；令724r -=，可得r 无解，故有227242C b =，21b ∴=，1b ∴=±，a 没有限制条件， 故选：C ．15．（5分）（2020•福清市一模）若4(12)(1)x ax -+展开式中2x 的系数为78，则整数a 的值为( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．3【解答】解：4234(12)(1)(12)(146()4()()x ax x ax ax ax ax -+=-++++)，∴展开式中2x 的系数为26(2)478a a +-⨯=得3a =-或133a =， ∴整数a 的值为3-故选：A ．16．（5分）（2020•河南模拟）已知2*1(2)()n x n N x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中2x 的系数为( ) A ．280B ．280-C ．35D ．35-【解答】解：由题意，2128n =，得7n =． 22711(2)(2)n x x x x∴-=-，其二项展开式的通项2717143177(2)()(1)2rr r r rr r r T x x x ----+=-=-；由1432r -=得4r =，∴展开式中含2x 项的系数是4(1)2-347280=．故选：A ．17．（5分）（2020•随州模拟）在(n x-的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( ) A ．126-B ．70-C ．56-D ．28-【解答】解：由题意可得：8n =．∴通项公式38821881()(1)r rrrr rr T xxx--+=-=-，要使该项系数8(1)r r -最小，r 为奇数，取1，3，5，7，经过检验，当3r =或5时，系数8(1)r r -最小，即第4项等于第6项系数，且最小，∴展开式中系数最小的项的系数为56-． 故选：C ．18．（5分）（2020•武汉模拟）5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-则3(a =) A ．40B ．40C ．80D ．80-【解答】解：5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，令1x t -=，则1x t =+，5250125(21)t a a t a t a t ∴+=+++⋯+． 5(21)t +展开式的通项为：515(2)1r r r T C t -+=r ，令53r -=，求得2r =，所以，23335(2)80T C t x ==，即380a =， 故选：C ．19．（5分）（2020•临朐县模拟）在61(1)x x-+的展开式中，含5x 项的系数为( ) A ．6-B ．6C ．24-D ．24【解答】解：通项公式为：161()kk k T x x+=-，1()k x x-的通项公式211(1)()(1)rr k r r rr k r r kkT x x x--+=-=-．令25k r -=，则5k =，0r =．∴含5x 项的系数05566==．故选：B ．20．（5分）（2020•茂名一模）前进中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有( )种派遣方法． A ．120B ．96C ．48D ．60【解答】解：根据题意，需要先在5人中选出4人，分2种情况讨论：①，选出的4人中没有张三，此时将选出的4人全排列，对应4项工作即可，此时有4424A =种情况，②，选出的4人中有张三，需要在其他4人中选出3人，再让选出4人担任4项工作，张三不担任裁判工作，有3343372C A ⨯⨯=种情况，则一共有247296+=种安排方法；故选：B．21．（5分）（2020•郑州一模）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种()A．60B．90C．120D．150【解答】解：根据题意，分2步进行分析①、将5项工作分成3组若分成1、1、3的三组，有3115212210C C CA=种分组方法，若分成1、2、2的三组，有2215312215C C CA=种分组方法，则将5项工作分成3组，有101525+=种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有336A=种情况；所以不同的安排方式则有256150⨯=种，故选：D．22．（5分）（2020•平城区校级模拟）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1i i=，2，⋯，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A．22种B．24种C．25种D．27种【解答】解：根据题意，正方形ABCD的边长为2个单位，则其周长是8，若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有133C=种顺序，1、2、5，1、3、4，这2种组合有336A=种顺序，则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法352627⨯+⨯=种，故选：D．23．（5分）（2020•武侯区校级模拟）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有()个．A．324B．216C．180D．384【解答】解：由题意知本题需要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：231313343390C A C A C+=种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：23212323343333234C A C C C A C+=种，根据分类计数原理得到共有90234324+=个．故选：A．24．（5分）（2020•黄冈模拟）对一个各边不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边染相同的颜色．则不同的染色方法共有( )种．A．24B．30C．36D．120【解答】解：最短边选取一种颜色有3种情况．如果最短边的两个邻边颜色相同有2种情况；这时最后两个边也有2种情况．如果最短边的两个邻边颜色不同有2种情况；这时最后两个边有3种颜色．∴方法共有3(2223)30⨯+⨯=种．故选：B．25．（5分）（2020•重庆模拟）如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036)，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为()A．12B．44C．58D．76【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：若尾数为1：则前三位的数字可能为027，036，045，共1222312C A=，还可能为234，有336A=种；若尾数为3：则前三位的数字可能为016，025，共122228C A=，还可能为124，有336A=种；若尾数为5：则前三位的数字可能为014，023，共122228C A=；若尾数为7：则前三位的数字可能为012，共12224C A=．综上所述，共有126868444+++++=种；故选：B．26．（5分）（2020•天津模拟）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲共有多少种选考方法()A．6B．12C．18D．19【解答】解：根据题意，从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，有3620C=种选法；其中物理、政治、历史三科都没有选，即选了化学，生物，地理三科，有1种情况，则从物理、政治、历史三科中至少选考一科的选法有20119-=种；即学生甲有19种选法；故选：D．27．（5分）（2020•淮南一模）淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为()A．960B．1080C．1560D．3024【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，选出的4盆花中没有菊花，有45120A=种情况，②，选出的4盆花中有1盆菊花，有314544960C C A⨯⨯=种情况，则一共有1209601080+=种摆法；故选：B ．28．（5分）（2020•陕西一模）在6(2)(1)m x y ++的展开式中，令3x y 的系数为800，则含4xy 项的系数为( ) A ．30B ．960C ．300D ．360【解答】解：由题意可知33162800m C C ⨯⨯=， 即160800m =， 解得5m =，所以含4xy 项的系数为1546526325960C C ⨯⨯=⨯⨯=， 故选：B ．29．（5分）（2020•青浦区一模）使得(3(*)n x n N+∈的展开式中含有常数项的最小的n为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：(3nx的展开式的通项公式为：5211(3)()3n r rn rr n rr r nnT C x C xx x---+==，令502rn -=，可得52r n =，∴当2r =时，n 取得最小值为5，故选：B ．30．（5分）（2020•贵州模拟）在二项式3)n x的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项的值为( ) A ．6B ．9C ．12D ．18【解答】解：在二项式3)n x的展开式中，令1x =得各项系数之和为4n4n A ∴=据二项展开式的二项式系数和为2n2n B ∴=4272n n ∴+=解得3n =∴333))n x x=的展开式的通项为3332!333()3rr r r r rr T C C x x --+==令3302r-=得1r = 故展开式的常数项为12339T C == 故选：B ．31．（5分）（2020•武侯区校级模拟）如果21)nx 的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【解答】解：21)n x的展开式的通项公式为521(1)n rrr r nT C x -+=-，令502n r-=，可得5n r =，0r =，1，2，3，⋯，n ． 展开式中含有常数项，5n r ∴=能成立， 则正整数n 的最小值为5， 故选：C ．32．（5分）（2020•内江模拟）24(2)(1)x x x -+-的展开式中x 项的系数为( ) A ．9-B ．5-C ．7D ．8【解答】解：242432(2)(1)(2)(4641)x x x x x x x x x -+-=-+-+-+， 故它的的展开式中x 项的系数为112(4)9-⨯+⨯-=-， 故选：A ．二．填空题（共8小题）33．（2020•东宝区校级模拟）今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有 348 种．（用数字作答） 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，若6人乘坐2辆缆车，需要将6人分成2组，有361102C =种分组方法，在三辆不同的缆车中任选2辆，安排2个组，有236A =种情况， 则此时有10660⨯=种乘车方式；②，若6人乘坐2辆缆车，需要先将4名大人分为2、1、1的三组，有246C =种分组方法，将分好的三组对应三辆缆车，有336A =种情况，若2名小孩作两辆缆车，需要在三辆不同的缆车中任选2辆，安排2名小孩，有236A =种情况，若2名小孩作一辆缆车，有2种情况， 则此时有66(62)288⨯⨯+=种情况， 则一共有60288348+=种不同的安排方法； 故答案为：348．34．（2020•涪城区校级模拟）若有7个人排成一排，现要调整其中某3个人的位置，其余4个人的位置不动，则使所要调整的某3个人互不相邻的调整方法的种数是 20 ． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，7个人排成一排，4个人的位置不动，位置不动的4个人所成的5个空位，从中任意选取3个，用来位置调整，有3510C =种选法， ②，剩下的三人位置都不能在原来位置且互不相邻，三人乱序只有两种安排位置的方法，故调整方法种数是35220C =， 故答案为：20．35．（2020•凯里市校级模拟）已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到A ，B 两个班级，若甲必须在A 班，且每班至少有这五名中的2人，则不同的分配方案有 10 种． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将5人分为人数为2、3的两组，有2510C =种分法，②，将甲所在的组安排到A 班，剩下的1组安排到B 班，有1种情况， 则有10110⨯=种不同的安排方法； 故答案为：10．36．（2020•河南模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有 50 种． 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①甲同学选择牛，乙有2种选择，丙有10种选择，此时选法有121020⨯⨯=种， ②甲同学选择马，乙有3种选择，丙有10种选择，此时选法有131030⨯⨯=种，所以总共有203050+=种； 故答案为：5037．（2020•湖北模拟）在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙和尚、唐三藏、白龙马的彩色陶俑各一个送给来中国参观的美国中学生汤姆、杰克、索菲娅，每个人至少一个，且猪八戒的彩色陶俑不能送给索菲娅，则不同的送法种数为 100 ．【解答】解：因为索菲娅特殊，所以优先安排他，分为三类：)i 索菲娅由3个陶俑时，有34C ，还有2个彩陶再排列，即共有3242428C A =⨯=； )ii 索菲娅由2个陶俑时，有246C =，还有3个彩陶，有2个人，2232326C A =⨯=，共有6636⨯=；)iv 索菲娅由1个陶俑时有144C =，还有4个彩陶分给2人，有2类，3，1分组，有3242428C A =⨯=，或2，2分组时，平均分组问题有顺序时246C =，所以这种情况共有4(86)56⨯+=， 综上所述：不同的送法种数为83656100++=． 故答案为：100．38．（2020•吉林二模）(1n 展开式中的系数的和大于8而小于32，则n = 4 ． 【解答】解：由已知，令1x =，展开式中的各项系数之和为2n ； 8232n ∴<<， 4n ∴=，故答案为：4．39．（2020•金安区校级模拟）多项式28(2)x +-的展开式中，含7x 项的系数为 420 ．【解答】解：多项式28(2)x -的表示8个因式2(2)x -的乘积，要得到含7x 项，必需有4个因式选2x ，22个因式选2-，故含7x 项的系数为422228421()(2)4202C C C -=，故答案为：420．40．（2020•市中区校级模拟）二项式6(2x 的常数项为a ，则12720(a x dx -=⎰2π．【解答】解：6161(2)(()23k kkk k T x -+==-36626k kkx--，令3602k-=，解得4k =． 52027T a ∴==．∴2211112711201((|0222a x x dx x dx ππ----⨯+==+=+=⎰⎰⎰． 故答案为：2π。
2020年全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理 Word版含答案
2020年全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2020年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知5)1(x+的展开式中2x的系数为5,ax+)(1则=a（）A．4-B．3-C．2-D．1-【答案】D2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243 B．252 C．261 D．279【答案】B3 ．（2020年高考新课标1（理））设m为正整数,2+展开式的x y()m二项式系数的最大值为a,21+展开式的二项式系数的x y+()m最大值为b,若137=,则m=（）a bA．5 B．6 C．7 D．8【答案】B4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））()()84x y的系数是（）+的展开式中22x y11+A ．56B ．84C ．112D ．168【答案】D5 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为 （ ）A ．14B ．13C ．12D ．10【答案】B6 ．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）10(1)x +的二项展开式中的一项是 （ ）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x【答案】C7 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B8 ．（2020年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是 （ ）A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】C9 ．（2020年高考陕西卷（理））设函数61,00.,(),x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝-≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x>0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 （ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．15【答案】A10．（2020年高考江西卷（理））(x 2-32x )5展开式中的常数项为（ ）A ．80B ．-80C ．40D ．-40【答案】C 二、填空题11．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________【答案】483612．（2020年高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】1013．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】4514．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)【答案】48015．（2020年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)【答案】59016．（2020年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为______.【答案】1517．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________.【答案】10-18．（2020年高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =【答案】2a =-19．（2020年高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】9620．（2020年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））若83a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______.【答案】2121．（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用数字作答).【答案】480。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷排列组合、二项式定理
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷排列组合、二项式定理创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校1.【高考陕西，理4】二项式(1)()nx n N++∈的展开式中2x的系数为15，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．72.【高考1，理10】25()x x y++的展开式中，52x y的系数为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）603.【高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个4.【高考湖北，理3】已知(1)n x+的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122 B．112C．102D．925、【高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）6.【高考重庆，理12】5312xx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中8x的系数是________(用数字作答).7.【高考广东，理9】在4)1(-x的展开式中，x的系数为.8.【高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是（用数字作答）.9.【高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为. 10.【高考安徽，理11】371()x x +的展开式中5x 的系数是.（用数字填写答案）11.【高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于．（用数字作答）12.【高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）13.【高考2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校。
2020高考数学百所名校排列组合二项式定理分项汇编之衡水专版答案解析(6页)
2020高考数学百所名校排列组合二项式定理分项汇编之衡水专版排列组合、二项式定理一、选择题1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】 若的展开式中的系数为，则实数的值为A ．B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】,所以的展开式的通项为，其中，令，所以或， 当时，的系数为， 当时，的系数为， 因为的系数为，所以，即，即，所以故选：B .2.【河北省衡水中学2020届全国高三期末大联考】51()(3)x x x+- 展开式中含x 的项的系数为（ ）A ．-112 B.112 C.-513 D.513 【答案】C【解析】由题意知展开式中含x 的项为505323551(3)(3)513,xC x C x x x-+-=- 系数为-513.故选C 。
3.【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同()421ax x -+5x 56-a 2-()()442211ax xx ax ⎡⎤-+=+-⎣⎦()421x ax ⎡⎤+-⎣⎦()()()()2221444rr ttt rr t r tr t r rr T Cxax C C xax C C a x --+=-=-=-0,1,2,3,4;0,1,r t r ==L 25r t -=1,3t r =⎧⎨=⎩34t r =⎧⎨=⎩13t r =⎧⎨=⎩5x ()314312C C a a ⋅⋅-=-34t r =⎧⎨=⎩5x ()3433444C C a a ⋅⋅-=-5x 56-312456a a --=-33140a a +-=()()22270a a a -++=2,a =学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A ．720 B ．768 C ．810 D ．816 【答案】B【解析】由题知结果有三种情况． ()1甲、乙、丙三名同学全参加，有1444C A =96种情况，其中甲、乙相邻的有123423C A A 48=种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有964848-=种情况；()2甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有314434C C A 288=种情况； ()3甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有224434432C C A =种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有28843248768++=种情况，故本题答案选B 4. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】 二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，且展开式中的第项的系数是第项的系数的倍，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 ，二项式 展开式的通项公式为： ，由题意有： ，整理可得： .本题选择D 选项.5. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调考试数学】现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】四名学生从四个地方任选一个共有种选法，2764916812567164444256⨯⨯⨯=恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，考虑先分堆在排序共有种，所以恰有一个地方未被选中的概率为. 故选：B 二、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试】某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有6个节目的节目单，要求歌曲和舞蹈相邻，且歌曲要排在舞蹈的前面；歌曲和舞蹈不相邻，且歌曲和舞蹈均不排在最后，则这6个节目的排法有____种. 【答案】36【解析】把歌曲排在舞蹈前面后把两个节目看成一个整体，再和其他两个节目全排列，有种排法，再用歌曲和舞蹈插空且均不排在最后，有种排法.所以共有种排法.故答案为：.2. 【河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四)】某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有_________种.（用数字作答） 【答案】180【解析】由题意，派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，第一类有种；第二类有种， 由分类计数原理，可得共有种不同的方案. 3.【2019届河北省衡水中学高三第三次质检】展开式中的系数为________. 【答案】15 【解析】 且展开式的通项为．23446432144C A ⨯=⨯⨯⨯=144925616=A A A A B B B B A A 33A B B 23A 323336A A ⋅=363282(1)110C A -⋅=4428422270C C A A ⋅=11070180N =+=()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭2x 25252525221111(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+++=+++++Q 25(1)x +215r rr T C x +=由，得；由，得（舍；由，得． 展开式中的系数为．故答案为：．4. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答） 【答案】8【解析】先按排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻， 所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种．故答案为8．5.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】 二项式的展开式中，设“所有二项式系数和”为A ，“所有项的系数和”为B ，“常数项”值为C ，若，则含的项为________．【答案】【解析】依题得，所以n =8，在的展开式中令x =1，则有，所以a+b =2，又因为展开式的通项公式为，令.所以得到（舍），当时，由得.所以令，所以，故填.6. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种. 【答案】12022r =1r =23r =32r =)24r =2r =()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴2x 125515C C +=1514C 22A 1242428C A ⋅=⨯=【解析】分析：把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列，然后把甲插入，注意丙丁这个元素的位置不同决定着甲插入的方法数的不同． 详解：．故答案为120．7. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】二项式56x⎛⎝展开式中的常数项是__________．【答案】5【解析】二项式56x⎛+ ⎝展开式的通项为()315305622155kk k k k k T C x x C x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令153002k -=，得4k =，即二项式56x⎛ ⎝展开式中的常数项是455C =. 8. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】二项式56x⎛⎝展开式中的常数项是__________．【答案】5【解析】二项式56x⎛+ ⎝展开式的通项为()315305622155kk k k k k T C x x C x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令153002k -=，得4k =，即二项式56x⎛ ⎝展开式中的常数项是455C =. 9. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为__________．【答案】2 【解析】()626122166rrrr r r rr r b T Cax C a b xx x ----+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭61236r r r r C a b x --= ，令1233,3r r -==， 则33333620,1C a b a b =∴=Q ，则1ab = ， 2222a b ab +≥=,则22a b +的最小值为2.10. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.【答案】120【解析】10个元素进行全排列共有种结果，在这些结果中有5个2，2个4，这样前面的全排列就出现了重复，共重复了次，得到不同的排列共有种结果．故答案为120.11. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】在的展开式中，含的项的系数是__________．【答案】12【解析】由题意可知，展开式中含有的项为：，则含的项的系数是12.。
高考数学试题分项解析专题26排列组合二项式定理理含解析试题
专题26 排列组合、二项式定理考纲解读明方向分析解读 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的一共同点是把一个原始事件分解成假设干个事件来完成,两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关,这两个原理是最根本也是最重要的原理,是解答排列与组合问题,尤其是解答较复杂的排列与组合问题的根底.2.理解排列、组合及排列数与组合数公式,排列与组合的综合是高频考点.本节在高考中单独考察时,以选择题、填空题的形式出现,分值约为5分,属中档题;本节内容还经常与概率、分布列问题相结合,出如今解答题的第一问中,难度中等或者中等偏上.考点内容解读要求高考例如常考题型预测热度二项式定理的应用能用计数原理证明二项式定理;会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题掌握2021课标全国Ⅰ,6;2021课标全国Ⅰ,14;2021课标Ⅰ,10选择题填空题★★★分析解读 1.掌握二项式定理和二项展开式的性质.2.会用二项式定理的知识解决系数和、常数项、整除、近似值、最大值等相关问题.3.二项展开式的通项公式是高考热点.本节在高考中一般以选择题或者填空题形式出现,分值约为5分,属容易题.2021年高考全景展示1．【2021年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C点睛：此题主要考察二项式定理，属于根底题。
2．【2021年卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，HY任取2个数字，一一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字答题)【答案】1260【解析】分析:按是否取零分类讨论，假设取零，那么先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：假设不取零，那么排列数为假设取零，那么排列数为因此一一共有个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法〞；(2)元素相间的排列问题——“插空法〞；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法〞；(4)带有“含〞与“不含〞“至多〞“至少〞的排列组合问题——间接法.3．【2021年卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可根据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.4．【2021年理数卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或者利用分类加法计数原理讨论求解．5．【2021年理新课标I卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，那么不同的选法一共有_____________种．〔用数字填写上答案〕【答案】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总一共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.详解：根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，那么不同的选法一共有种，故答案是16.点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.2021年高考全景展示1.【2021课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2x 的项一共有几项，进展加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的详细情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.2.【2021课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C 【解析】试题分析：()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-， 由()52x y - 展开式的通项公式：()()5152rrrr T C x y -+=- 可得：当3r = 时，()52x x y - 展开式中33x y 的系数为()33252140C ⨯⨯-=- ， 当2r = 时，()52y x y - 展开式中33x y 的系数为()22352180C ⨯⨯-= ，那么33x y 的系数为804040-= . 应选C .【考点】 二项式展开式的通项公式【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或者利用分类加法计数原理讨论求解.3.【2021课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式一共有〔 〕A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【考点】 排列与组合；分步乘法计数原理【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原那么：一是按元素(或者位置)的性质进展分类；二是按事情发生的过程进展分步。
2011-2020年高考数学真题分类汇编 专题30 排列组合、二项式定理(理)(学生版)
专题30排列组合、二项式定理【理】年份题号考点考查内容2011理8二项式定理二项式定理的应用，常数项的计算2012理2排列与组合简单组合问题2013卷1理9二项式定理二项式定理的应用以及组合数的计算卷2理5二项式定理二项式定理的应用2014卷1理13二项式定理二项式展开式系数的计算卷2理13二项式定理二项式展开式系数的计算2015卷1理10二项式定理三项式展开式系数的计算卷2理15二项式定理二项式定理的应用2016卷1理14二项式定理二项式展开式指定项系数的计算卷2理5排列与组合计数原理、组合数的计算卷3理12排列与组合计数原理的应用2017卷1理6二项式定理二项式展开式系数的计算卷2理6排列与组合排列组合问题的解法卷3理4二项式定理二项式展开式系数的计算2018卷1理15排列与组合排列组合问题的解法卷3理5二项式定理二项式展开式指定项系数的计算2019卷3理4二项式定理利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2020卷1理8二项式定理利用展开式通项公式求展开式指定项的系数卷3理14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2021年预测考点102两个计数原理的应用23次考2次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点103排列问题的求解23次考0次考点104组合问题的求解23次考4次考点105排列与组合的综合应用23次考2次考点106二项式定理23次考11次十年试题分类考点102两个计数原理的应用1．(2016全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ．24B ．18C ．12D ．92．(2014新课标理1理)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A ．18B ．38C ．58D ．783．(2012湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4位回文数有个；(Ⅱ)21()n n N 位回文数有个．4．(2011湖北理)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当4n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6n 时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有种，(结果用数值表示)考点103排列问题的求解5．(2016四川理)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A ．24B ．48C ．60D ．726．(2015四川理)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7．(2015广东理)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．(用数字作答)8．(2014北京理)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种．9．(2013北京理)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是．10．(2013浙江理)将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．考点104组合问题的求解11．【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种12．(2018全国Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．11813．(2017山东理)从分别标有1，2， ，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518B ．49C ．59D ．7914．(2014广东理)设集合 12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ”的元素个数为()A ．60B ．90C ．120D ．13015．(2014安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60 的共有A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对16．(2013山东理)用0，1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为A ．243B ．252C ．261D ．27917．(2012新课标理)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种18．(2012浙江理)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种19．(2012山东理)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是A ．232B ．252C ．472D ．48420．【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．21．(2018全国Ⅰ理)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．(用数字填写答案)22．(2014广东理)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．23．(2014江西理)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．24．(2013新课标2理)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n =________．25．(2011湖北理)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当4n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6n 时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有种，(结果用数值表示)考点105排列与组合的综合应用26．【2020全国Ⅱ理14】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．．27．(2017新课标理Ⅱ理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种28．(2018浙江理)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．(用数字作答)29．(2017浙江理)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．(用数字作答)30．(2017天津理)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．(用数字作答)31．(2014浙江理)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种(用数字作答)．考点106二项式定理32．【2020全国Ⅲ理14】622x x的展开式中常数项是(用数字作答)．33．【2020浙江卷12】设 2345123455612x a a x a x a x a x a x ，则5a；123a a a．34．【2020天津卷11】在522x x的展开式中，2x 的系数是_________．35．(2020全国Ⅰ理8) 25y x x x y的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．2036．【2020北京卷3】在52 的展开式中，2x 的系数为()A ．5B ．5C ．10D ．1037．(2019全国I 理II 理4)(1+2x 2)(1+x)4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．2438．(2019浙江理13)在二项式9)x 的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______．39．(2018全国Ⅲ理)252()x x的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．8040．(2017新课标Ⅰ理)621(1)(1)x x展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．3541．(2017新课标Ⅲ理)5()(2)x y x y 的展开式中33x y 的系数为A ． 80B ． 40C ．40D ．8042．(2016四川理)设i 为虚数单位，则6()x i 的展开式中含4x 的项为A ．－154x B ．154x C ．－204ix D ．204ix 43．(2015湖北理)已知(1)nx 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A ．122B ．112C ．102D ．9244．(2015陕西理)二项式(1)()nx n N 的展开式中2x 的系数为15，则n A ．4B ．5C ．6D ．745．(2015湖南理)已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则aA B ．C ．6D ．－646．(2014浙江理)在46)1()1(y x 的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则(3,0)f (2,1)f (1,2)f (0,3)f =A ．45B ．60C ．120D ．21047．(2014湖南理)51(2)2x y 的展开式中23x y 的系数是A ．－20B ．－5C ．5D ．2048．(2014福建理)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由 b a 11的展开式ab b a 1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A ．555432111c b a a a a a B ．554325111c b b b b b a C ．554325111c b b b b b a D ．543255111c c c c c b a 49．(2013辽宁理)使得 3nx n N的展开式中含常数项的最小的n 为A ．4B ．5C ．6D ．750．(2013江西理)5232x x展开式中的常数项为A ．80B ．－80C ．40D ．－4051．(2012安徽理)2521(2)(1)x x的展开式的常数项是()A ．3B ．2C ．D ．52．(2012天津理)在251(2)x x的二项展开式中，x 的系数为A ．10B ．－10C ．40D ．－4053．(2011福建理)5(12)x 的展开式中，2x 的系数等于A ．80B ．40C ．20D ．1054．(2011陕西理)6(42)xx (x R)展开式中的常数项是A ．20B ．15C ．15D ．2055．(2019天津理理10)83128x x是展开式中的常数项为．56．(2018天津理)在5(x的展开式中，2x 的系数为．57．(2018浙江理)二项式81)2x的展开式的常数项是___________．58．(2017浙江理)已知多项式32(1)(2)x x =543212345x a x a x a x a x a ，则4a =___，5a =___．59．(2017山东理)已知(13)nx 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n ．60．(2016山东理)若25(ax的展开式中5x 的系数是-80，则实数a=_______．61．(2016全国I 理)5(2x的展开式中，x 3的系数是．(用数字填写答案)62．(2015北京理)在 52x 的展开式中，3x 的系数为．(用数字作答)63．(2015新课标2理)4()(1)a x x 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =______．64．(2014新课标1理)8()()x y x y 的展开式中27x y 的系数为．(用数字填写答案)65．(2014新课标2理) 10x a 的展开式中，7x 的系数为15，则a =___．(用数字填写答案)66．(2014山东理)若62b ax x 的展开式中3x 项的系数为20，则22a b 的最小值为．67．(2013安徽理)若8x的展开式中4x 的系数为7，则实数a ______．68．(2012广东理)261()x x的展开式中3x 的系数为______．(用数字作答)69．(2012浙江理)若将函数5()f x x 表示为2012()(1)(1)f x a a x a x 55(1)a x ，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a．70．(2011浙江理)设二项式)0()(6 a xa x 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是．。
2020届高考数学命题猜想及专题练习--算法、排列、组合与二项式定理(含解析)
2020届高考数学命题猜想算法、排列、组合与二项式定理【考向解读】1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；4.二项分布、正态分布的应用是考查的热点；5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现.【命题热点突破一】程序框图例1、（2018年全国Ⅱ卷理数）为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A. B.C.D.【答案】B【解析】由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.【变式探究】【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n −2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A>1 000和n=n+1B ．A>1 000和n=n+2C ．A ≤1 000和n=n+1D ．A ≤1 000和n=n+2【答案】D【解析】由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A >，故填1000A ≤，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2n n =+，故选D.【变式探究】执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =【答案】C【解析】当时，，不满足；，不满足；，满足；输出3,62x y ==，则输出的,x y 的值满足4y x =，故选C.【感悟提升】程序框图中单纯的顺序结构非常简单，一般不出现在高考中，在高考中主要出现的是以“条件结构”和“循环结构”为主的程序框图．以“条件结构”为主的程序框图主要解决分段函数求值问题，以“循环结构”为主的程序框图主要解决数列求和、统计求和、数值求积等运算问题，这两种类型的程序框图中，关键因素之一就是“判断条件”，在解题中要切实注意判断条件的应用．【变式探究】某程序框图如图 所示，若该程序运行后输出的S 的值为72，则判断框内填入的条件可以是()A．n≤8? B．n≤9? C．n≤10? D．n≤11?【答案】A【解析】依题意，可知程序运行如下：n＝1，S＝0→S＝0＋2×1＝2，n＝2→S＝2＋2×2＝6，n＝3→S＝6＋2×3＝12，n＝4→S＝12＋2×4＝20，n＝5→S＝20＋2×5＝30，n＝6→S＝30＋2×6＝42，n＝7→S＝42＋2×7＝56，n＝8→S＝56＋2×8＝72，n＝9，此时输出S的值为72，故判断框中应填“n≤8？”.【命题热点突破二】排列与组合例2、（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260【解析】若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.【变式探究】【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷排列组合、二项式定理1
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷排列
组合、二项式定理 创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校
一．基础题组
1. 【四川成都七中高数学（理科）10月阶段考试（一）2】二项式(x+1)n (n ∈N*)的展开式中x 2的系数为15，则n=( )
A ． 5
B ． 6
C ． 8
D ． 10
2. 【西藏日喀则地区一高第一学期10月检测8】若61n x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含
有常数项，则n 的最小值等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3. 【长春外国语学校上学期高三第一次质量检测13】二项式531()x x -的展开式中常数项为．
二．能力题组
1.【西藏日喀则地区一高第一学期10月检测6】有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（ ）
A ．150
B ．180
C ．200
D ．280
2. 【抚顺市第一高三10月月考14】 在6()(0)a x a x
+>的展开式中含常数项的系数是60，则0sin a xdx ⎰的值为.
创作人：百里安娜
创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校。
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2020年高考试题数学（理科）排列组合、二项式定理
一、选择题:
1.(2020年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种
（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40
解析 1.令x=1得a=1.故原式=
511()(2)x x x x +-。
5
11()(2)x x x x
+-的通项
521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由
5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括
号中选2个提出x ，选3个提出
1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1
x
，选3个提出x.故常数项=223
322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X
⋅⋅-+
⋅-⋅=-40+80=40 3．(2020年高考天津卷理科5)在6
x x ⎫⎝的二项展开式中，2
x 的系数为（ ） A ．154-
B ．15
4
C ．38-
D ．38
【答案】C
【解析】因为1r T +=66
6(
(r
r x C x
-⋅⋅,所以容易得C 正确. 4.(2020年高考陕西卷理科4)6
(42)()x
x x R --∈的展开式中的常数项是
（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20
【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x 的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项. 【答案】C
【解】62(6)1231666(4)(2)2
22r x r x r r x r xr r
x xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅， 令1230x xr -=，则4r =，所以4
5615T C ==，故选C ．
5.(2020年高考重庆卷理科4) ()13n
x +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5
x 与6
x 的系数
相等，则n =
（A ）6 (B)7 (C) 8 (D)9 答案：B
解析： ()13n x +的通项为()13r
r
r n T C x +=，故5
x 与6
x 的系数分别为55
3n C 和6
6
3n C ，令他们
相等，得：
()()56!!
335!5!6!6!
n n n n =--，解得n =7
12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m
n
= （A ）
415 （B ）13 （C ）25 （D ）23
答案：D
解析：基本事件：2
6(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C ==⨯=从选取个，.其
中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故
51153
m n ==. 7．(2020年高考福建卷理科6)（1+2x ）3
的展开式中，x 2
的系数等于
A ．80
B ．40
C ．20
D ．10
【答案】B 二、填空题:
1. (2020年高考山东卷理科14)若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值
为 . 【答案】4
【解析】因为6162
(r
r
r r a T C x
x
-+=⋅⋅-
,所以r=2, 常数项为26a C ⨯=60,解得4a =.
2. (2020年高考浙江卷理科13)（13）设二项式)0()(6
>-a x
a x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 。
【答案】2 【解析】由题意得()k k k k
k k k x C a x a x C T 2
3
66661
--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=， ∴()262
C a A -=，()4
64
C a B -=，又∵A B 4=，
∴()464
C a -()26
2
4C a -=，解之得42
=a ，又∵0>a ，∴2=a . 3. (2020年高考安徽卷理科12)（12）设()x a a x a x a x 21221
01221-1=+++L ，则
a a 1011+= .
【命题意图】本题考查二项展开式的通项、组合数公式及运算能力，是容易题目. 【解析】由二项展开式的通项知1r T +=2121(1)r
r
r C x
--，
∴1011a a +=111110102121(1)(1)C C -+-=11102121C C -+=1010
2121C C -+=0.
4. (2020年高考广东卷理科10)72()x x x
-的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答). 【答案】84
5. (2020年高考湖北卷理科11)18(3x x
的展开式中含15x 的项的系数为 （结
果用数值表示） 答案：17 解析：由318182118
181()()33r r
r
r
r r r T C x
C x x
--+=⋅⋅=-⋅⋅ 令3
18152r -=，解得r=2，故其系
数为22
181()17.3
C -⋅=
6. (2020年高考湖北卷理科15)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
n=1 n=2
n=3 n=4
由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个
黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21
解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．
的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ， 213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，
由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226
==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．
着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21.
7.(2020年高考全国卷理科13) 20
的二项展开式中，x 的系数与x 9
的系数之差为 .
【答案】0
【解析】2
120
20
(1)(1)r r r
r
r r r T c c x +=-=-，令
12,91822
r r
r r ====得得 所以x 的系数为2222020(1)c c -=，9182
2020x c c =18的系数为(-1)
故x 的系数与9x 的系数之差为220c -2
20c =0
8．(2020年高考北京卷理科12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这
样的四位数共有__________个。
（用数字作答）
【答案】14 三、解答题:
1．(2020年高考江苏卷23)（本小题满分10分）
设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中
,{1,2,3,,},a b n a b ∈>L
（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1()3
a b -是整数的点P 的个数，求n B
解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。
（1）因为满足3a b -=,{1,2,3,,},a b n a b ∈>L 的每一组解构成一个点P,所以
3n A n =-。
（2）设*
1()3
a b k N -=∈，则1
3,031,0,3
n a b k k n k --=<≤-∴<≤ 对每一个k 对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；
当n-1被3整除时，解数一共有：13n 1(1)(2)
143236
n n n n +----+++-=
=
L 当n-1被3除余1时，解数一共有：232(2)(1)
253236n n n n n +----+++-==
L 当n-1被3除余2时，解数一共有：333(3)363236
n n n n
n +---+++-==
L *(1)(2)
,31326
()(3),33
6n n n n k orn k B k N n n n k --⎧=+=+⎪⎪∴=∈⎨-⎪=+⎪⎩。