2020年高考数学试题分类汇编 专题排列组合、二项式定

2020年高考试题数学（理科）排列组合、二项式定理
一、选择题:
1.(2020年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种
（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40
解析 1.令x=1得a=1.故原式=
511()(2)x x x x +-。

5
11()(2)x x x x
+-的通项
521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由
5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括
号中选2个提出x ，选3个提出
1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1
x
，选3个提出x.故常数项=223
322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X
⋅⋅-+
⋅-⋅=-40+80=40 3．(2020年高考天津卷理科5)在6
x x ⎫⎝的二项展开式中，2
x 的系数为（ ） A ．154-
B ．15
4
C ．38-
D ．38
【答案】C
【解析】因为1r T +=66
6(
(r
r x C x
-⋅⋅,所以容易得C 正确. 4.(2020年高考陕西卷理科4)6
(42)()x
x x R --∈的展开式中的常数项是
（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20
【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x 的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项. 【答案】C
【解】62(6)1231666(4)(2)2
22r x r x r r x r xr r
x xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅， 令1230x xr -=，则4r =，所以4
5615T C ==，故选C ．
5.(2020年高考重庆卷理科4) ()13n
x +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5
x 与6
x 的系数
相等，则n =
（A ）6 (B)7 (C) 8 (D)9 答案：B
解析： ()13n x +的通项为()13r
r
r n T C x +=，故5
x 与6
x 的系数分别为55
3n C 和6
6
3n C ，令他们
相等，得：
()()56!!
335!5!6!6!
n n n n =--，解得n =7
12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m
n
= （A ）
415 （B ）13 （C ）25 （D ）23
答案：D
解析：基本事件：2
6(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C ==⨯=从选取个，.其
中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故
51153
m n ==. 7．(2020年高考福建卷理科6)（1+2x ）3
的展开式中，x 2
的系数等于
A ．80
B ．40
C ．20
D ．10
【答案】B 二、填空题:
1. (2020年高考山东卷理科14)若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值
为 . 【答案】4
【解析】因为6162
(r
r
r r a T C x
x
-+=⋅⋅-
,所以r=2, 常数项为26a C ⨯=60,解得4a =.
2. (2020年高考浙江卷理科13)（13）设二项式)0()(6
>-a x
a x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 。

【答案】2 【解析】由题意得()k k k k
k k k x C a x a x C T 2
3
66661
--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=， ∴()262
C a A -=，()4
64
C a B -=，又∵A B 4=，
∴()464
C a -()26
2
4C a -=，解之得42
=a ，又∵0>a ，∴2=a . 3. (2020年高考安徽卷理科12)（12）设()x a a x a x a x 21221
01221-1=+++L ，则
a a 1011+= .
【命题意图】本题考查二项展开式的通项、组合数公式及运算能力，是容易题目. 【解析】由二项展开式的通项知1r T +=2121(1)r
r
r C x
--，
∴1011a a +=111110102121(1)(1)C C -+-=11102121C C -+=1010
2121C C -+=0.
4. (2020年高考广东卷理科10)72()x x x
-的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答). 【答案】84
5. (2020年高考湖北卷理科11)18(3x x
的展开式中含15x 的项的系数为 （结
果用数值表示） 答案：17 解析：由318182118
181()()33r r
r
r
r r r T C x
C x x
--+=⋅⋅=-⋅⋅ 令3
18152r -=，解得r=2，故其系
数为22
181()17.3
C -⋅=
6. (2020年高考湖北卷理科15)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
n=1 n=2
n=3 n=4
由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个
黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21
解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．
的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ， 213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，
由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226
==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．
着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21.
7.(2020年高考全国卷理科13) 20
的二项展开式中，x 的系数与x 9
的系数之差为 .
【答案】0
【解析】2
120
20
(1)(1)r r r
r
r r r T c c x +=-=-，令
12,91822
r r
r r ====得得 所以x 的系数为2222020(1)c c -=，9182
2020x c c =18的系数为(-1)
故x 的系数与9x 的系数之差为220c -2
20c =0
8．(2020年高考北京卷理科12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这
样的四位数共有__________个。

（用数字作答）
【答案】14 三、解答题:
1．(2020年高考江苏卷23)（本小题满分10分）
设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中
,{1,2,3,,},a b n a b ∈>L
（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1()3
a b -是整数的点P 的个数，求n B
解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。

（1）因为满足3a b -=,{1,2,3,,},a b n a b ∈>L 的每一组解构成一个点P,所以
3n A n =-。

（2）设*
1()3
a b k N -=∈，则1
3,031,0,3
n a b k k n k --=<≤-∴<≤ 对每一个k 对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；
当n-1被3整除时，解数一共有：13n 1(1)(2)
143236
n n n n +----+++-=
=
L 当n-1被3除余1时，解数一共有：232(2)(1)
253236n n n n n +----+++-==
L 当n-1被3除余2时，解数一共有：333(3)363236
n n n n
n +---+++-==
L *(1)(2)
,31326
()(3),33
6n n n n k orn k B k N n n n k --⎧=+=+⎪⎪∴=∈⎨-⎪=+⎪⎩。