高中数学函数基础知识及题型归纳复习

考函数知识及题型归纳总结

1、函数的概念或图像：

例：判断图像是不是属于函数图像

函数相等：

（1）定义域相同 （2）对应关系相同

2、分段函数求值：

（1）已知自变量求函数值

例：已知函数)]91

(f [f ,)0x (20)(x x log )x (f x

3则，，⎩

⎨⎧≤>=的值什么？

（2）已知函数值求自变量

例：已知2

2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩

，若()3f x =，则x 的值是多少？

3、函数的定义域：

①若f (x )是整式,则函数的定义域为R; ②若f (x )是分式,函数的分母不为零; ③偶次根式的被开方数非负; ④零的零次方没有意义; ④对数形式：真数大于0，底数大于0且不等于1 例：函数x

x x f -+

+=

211)( 21()log 32x f x x -=- 1])21

[(log )x (f x 2

1-=

()23log 3

2-=x y 的定义域

4、函数过定点的问题:

（1）指数型（令指数等于0）例：21

()2x f x a

+=-恒过定点

（2）对数型（令真数等于1）例：(x)lg(3x 2)2f =-+恒过定点 （5）幂函数型（令底数等于1）例：()(2)1a

f x x =--恒过定点

5、指数对数比较大小：

（1）若底数相同，利用函数的单调性

（2）若底数不相同，用去中间值的方法（指数一般为1，对数一般为0或1） 例：三个数552log 2,log 3,log 3的大小关系为什么？

三个数6

0.70.70.76log 6，

，的大小关系为什么？

6、函数的单调性、奇偶性的单调性、奇偶性的应用 （1）利用单调性求函数的最大值、最小值

一般函数求最值，先判断单调性，再写出最值，例：求[]1

281

y x =

-求在，的最值

二次函数求最值一定要画图像，求函数[]2

()4505f x x x =-+在，的最值

（2）函数的奇偶性

例：已知函数()f x 为偶函数，当2

0,()x f x x ≤=

例：已知函数()f x 为奇函数，当2

0,()x f x x <=

（3）函数单调性的判断证明（四步法：取值—作差化简—判断差符号—下结论） 例：证明函数()0+1

x

y x =

∞+在，为减函数

（4）函数奇偶性的判断证明：

1.先求定义域是否关于原点对称

2.求()f x -

例：判断证明函数()f x ＝21

21

x x -+的奇偶性

（5）函数单调性、奇偶性的应用：

例：若偶函数()f x 在∞（-,0)为减函数，比较()3

(),1,(2)2

f f f -的大小

例：已知)(x f 为奇函数，定义域为}0,|{≠∈x R x x ，又)(x f 在区间),0(+∞是为增函数，且

0)1(=-f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是什么？

7、指数、对数的化简运算 （1）指数的运算公式： 例： 例：()()

()23

3

02

0.5231.8 1.530.0198--⎛⎫

-+⋅-+ ⎪⎝⎭

（8）对数的运算公式：

例：7log 23log lg 25lg 473

+++

N a N a =log 1log =a a 01log =a ()1 *, 0 >∈>=n N n m a a a n m n

m

且()1 *, 0 1>∈>=-n N n m a a a n

m n m

且()

Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+，，0()

()

Q s r a a a s r s

r ∈>=⋅，，0()()

Q r b a b a b a r

r r

∈>>=⋅，，002

211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

)

()()(3R)M(n nlog M log 2N

log M log N M log 1N log M log (MN)log a n

a a a a a a a ∈=-=+=18lg 7lg 37lg 214lg -+-

（9）幂函数

例：已知幂函数()y f x =的图象过点，试求出这个函数的解析式。

例：若函数2

2

(33)y a a x =--为幂函数，则a 的值为多少。

（10）零点区间（()f x 在(),a b 连续，且()()0f a f b ⋅<，则()f x 在(),a b 有零点） 例：函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（ ）.

A. (1,0)-

B. (0,1)

C. (1,2)

D. (2,3) （11）函数的模型及应用（应用题）一般为分段函数 （12）函数性质的综合应用：奇偶性+单调性

例：已知函数21

()21

x x f x -=+ （1）证明函数()f x R 是上的增函数；

（2）求函数[]()05f x 在，的最值 ； （3）令()()

x

g x f x =

，判断并证明()g x 的奇偶性。

（13）函数与方程（主要是零点的知识）

例：设函数()2

()8f x ax b x a ab =+---的两个零点分别为-3和2，（1）求函数()f x ；

（2）当函数()f x 的定义域为[]01，时，求函数的值域。