第9讲平面基本性质的应用

再
见
同步训练
1．点P在直线l上，而直线l在平面 内，用符号表 示为 . .
2．下列推理，错误的是 ① A l，A ，B l，B l ② A ，A ，B ，B ③ l ，A l A
AB
，B，C ，A，B，C ，且A，B，C ④A 不共线 与 重合
D
CD//AB，CD=AB，
从而EN// CD ，且EN=CD，所以 CDEN是平行四边形,
于是ED// CN ．于是B1F//DE．所以， B1 , F , D , E
四点共面.
回顾反思
（1）目标意识： 围绕终极目标设置若干个子目标． （2）基本策略：（证明点线共面）先确定一个平面， 再证明其它的点线也在这个平面内．
（3）思想方法： 化归转化思想（通过数量关系、位
置关系，实现线线平行关系的转移）． （4）误点警示： 几何中的一些结论谨慎使用．
破解难点：点线共面
问题研究
如何证明线在面内？
经典例题5
例5 共面.
l A a
已知：直线 a∥b∥c，直线 l 与 a，b，c
分别交于三点 A，B，C．求证：a，b，c，l 四直线
A1 D1 M D B1 P C B C1
N A
思路分析
思路：还需分别找一个面 MNP 与面 ABCD、面 BB1C1C 的公共点．
D1 A1 M B1 P C1
D
N
A B
C
E
F
求解过程
解：直线 MP 是平面 MNP 和平面 ABB1A1 的交 线，所以直线 MP 和直线 AB 共面．设 MP，AB 交 于点 E，点 E∈AB, AB 平面 ABCD， 因此 E∈平面 ABCD． 同理，E∈平面 MNP， 所以 E 是平面 MNP 连结 NE，设 EN 与 BC 交于点 F，连 FP． FN、FP 即为所求．
B1 A1 D1 N B C D C1 F
思路 2：先定一个平面，再证
E
A
其余元素在这个平面内．
证明过程
B1
C1 F B C N D1 E A
A1
证明： 在BB1上取点N使
BN=1，连CN，EN．由B1N =
CF，得CNB1F是平行四边形，
于是B1F//CN．BNEA是平行四
边形，所以EN//AB，EN=AB.又
A B C
回顾反思
（1）目标意识：当终极目标难以直接实现时，宜设 置途中目标或若干个子目标． （2）误点警示：被表象迷惑，发生错误．
总结提炼
知识与内容 一、廓清疑点：公理1和公理2的应用． 二、聚焦重点：公理3及其推论的应用． 三、破解难点：证明点线共面 ．
总结提炼
（1）细心观察． （2）化归转化思想 ． （3）规范书写、规范作图．
O
B C
和平面 ACC1 A1 的公共点,
所以 C1 , O, M 三点共线.
回顾反思
（1）思想方法 化归思想． （2）基本思路（证多点共线） ①细心观察； ②证这些点是两个平面的公共点．
经典例题2
例 2 已知 D、G 分别是三棱锥 S-ABC 的棱 SA、 AB 的 中 点 , F 、 H 分 别 是 SC, BC 上 的 点 , 且 BH SF 2 ．求证:直线 DF、GH、AC 相交于一点. HC FC S
B C
b c
思路分析
例5
l
已知直线 a∥b∥c,直线 l 与 a，b，c 分别
a 思路 1：a 与 l 共面, 同理 b 与 l
b c
交于三点 A，B，C．求证:a，b，c，l 四直线共面.
A B C
共面，c 与 l 共面．
此法错误！ 此法错误！
思路 2：a、b 确定一个平面，则 l ，C．Cc，
例1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平 面 BDC1 交于点 O，AC，BD 交于点 M．求证: C1，O， M 三点在同一条直线上..
D1 A1 O C1
B1
D C B
A
M

思路分析
D1 A1 O M

C1 思路 1： 类比平面几何证三点共线 B1
的方法．
此法不妥！
证明三点是两个平面的公 C 思路 2： 共点，从而三点共线．
DF，GH 共面 M、A、C 三点共线
H B
A
思路分析
思路 2： 先证三线中的每两条相交，再证交点重合．
S
D
F C
G
M 1 ( M2 ) H B
A
证明过程
证明：D、G 分别是三棱锥 S-ABC 的棱 SA、AB 的中点， 1 BH SF 于是 DG / / SB，DG SB . 而 2， 2 HC FC S 1 于是 FH / / SB，FH SB ， 3 所以 FH / / DG , FH DG .
同步训练
3. O1 是正方形 ABCD—A1B1C1D1 的上底面的中心， 过 D1、B1、A 作一个截面．求证：此截面与对角 线 A1C 的交点 P 一定在 AO1 上． D1 C1
O1 A1 P D A B C B1
4.已知： 四条直线两两相交， 且不交于同一个点． 求 证：这四条直线共面．
参考答案
1. P l
2. ③
3.提示：证明 A,P,O1 是平面 AD1B1 与平面 AC1 的公共点.
4.提示：分两种情况．
第 9 讲 平面基本性质的应用
主要内容
一、廓清疑点 公理1和公理2的应用． 二、聚焦重点 公理3及其三个推论的应用． 三、破解难点
证明点线共面 ．
廓清疑点：公理1和公理2的应用
问题研究
公理1、公理2可以帮助我们解决哪些问题？
基础知识
文字语言：（公理1）
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么
这条直线上所有的点都在这个平面内．
图形语言：
A
符号语言：

B
A 直线 AB B
基础知识
文字语言：（公理2） 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公
共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线. 图形语言：

l
符号语言：

P
P P
l 且P l
经典例题1
D F C G
H B
A
思路分析
S D F C H G
思路 1： 先证两直线相交，再证交 点在第三条直线上．
B
A
思路 2： 先证三线中的每两条相 交，再证交点重合．
思路分析
执果索因！
S
直线 DF、GH、AC 相交于一点
DF 与 GH 相交且交点在 AC 上
M
D
F C
G
DF 与 GH 相交 交点在 AC 上
B1
C1 F D1 E
A1
B
C D
A
思路分析
例 4 如图， 已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上， AE=FC1= 1．求证：E，B1，F，D 四点共面.
B1 C1 F B C A D B C D1 A1
思路 1：由对边相等，推四点共面．
c∥a，c ．
思路 3：a、b 确定一个平面，则 l ．b、c 确定一 个平面，则 l ．b、l 确定惟一的平面，则
，为同一平面．
证明过程
证明： 因为 a∥b，所以 a，b 确定一个平面 ，点 A∈a，B∈b，所以 A∈，B l a ∈ ．又 A∈ l，B∈ l，所以 l ．同 b 理 b，c 确定一个平面， l ． c 因为 b，l 在内,又在内,且相交线确 定惟一一个平面,所以和 为同一平 面．所以 a，b，c，l 四直线共面.
（1）基本思路（证三线共点） ①先证两条直线交于一点；
②再证这个交点在第三条直线上．
（2）思想方法 化归转化思想．
经典例题3
例 3 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M，N， P 分别为棱 A1B1，AD，BB1 的中点．画出过 M， N，P 三点的平面与平面 ABCD、平面 BB1C1C 的交线．
D F C A
M H
因此DF 与GH 共面且相交.
设 DF GH = M . B G 因为 M DF , DF 平面SAC , 所以 M 平面SAC .同理 M 平面ABC . 平面 SAC 与平面 ABC = AC，于是 M AC .
故直线 DF、GH、AC 相交于一点.
源自文库
回顾反思
问题研究 如何证明点线共面？
基础知识
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有
一个平面． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面.
经典例题4
例 4 如图， 已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上， AE=FC1= 1．求证：E，B1，F，D 四点共面.
A D1 C1 M D N B B1
A1
与平面 ABCD 的公共点．
P
F
C E
回顾反思
（1）解题关键： 化归转化！（找面面交线化归为寻求 面与面的公共点．） （2）基本策略：（找几何体与其截面的交线） ① 寻求面与面的两个公共点 ② 运用平行关系寻求面面交线
（3）破解难点： 抓住问题的本质．
聚焦重点：公理3及其三个推论的应用
此法错误！
E 思路 2：先确定一个平面，再证明 A
D
其余元素在这个平面内．
途
径：①公理 3 ③推论 2
②推论 1 ④推论 3．
思路分析
例 4 如图， 已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上， AE=FC1= 1．求证：E，B1，F，D 四点共面.
D A
B
证明过程
证明： A1C∩平面 BDC1=O，
所以 O 平面A1C1CA .又 O 平面BDC1 ,
即 O A1C ,而 A1C 平面A1C1CA ,
D1 C1
因此 O 是平面 BDC1 和
A1
D A M

B1

平面 A1C1CA 的公共点.
而 M , C1 也是平面 BDC1