因式分解(奥赛)

因式分解

【奥赛花絮】

最早的数学竞赛

匈牙利是举办中学数学竞赛最早的国家，自1894年匈牙利物理数学学会通过了关于举行中学生奥林匹克数学竞赛的决议起，每年十月举行这种竞赛。仅仅由于两次世界大战和1956年的匈牙利时件间断过7年。2003年举行的是第103届匈牙利数学竞赛。

【奥赛赛点】

将一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解是一种重要的恒等变形，在数学中有广泛的应用。因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法外，我们还要掌握换元法,主元法,配方法, 待定系数法等。

【解题思路与技巧】

1．换元法.

在解题的过程中，我们常把某个比较复杂的代数式看成一个整体，将它用一个字母来代替，从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法.

在因式分解中用换元法，又可细分为整体代换（如例1，例2），对称代换（如例3），倒数代换（如例4），平均代换（如例5）等.

2．主元法

在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素，将其他字母看作常数，然后将多项式按选定的字母降幂排列，这种方法叫做主元法。用主元法往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来，如例6。

3．配方法

通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形技巧，以便利用公式来分解因式，如例7，例8。

4．待定系数法

在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数，然后根据多项式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数的值，从而解决问题的方法，如例9，例10。

【典型示例】

例1 (1994年第6届“五羊杯”数学竞赛试题)

在有理数范围内分解因式：

（1）16(6x-1)(2x-1)(3x+1)(x-1)+25= .

（2）(6x-1)(2x-1)(3x-1)(x-1)+x2= .

（3）(6x-1)(4x-1)(3x-1)(x-1)+9x4= .

[解] （1）原式=(6x-1)(4x-2)(6x+2)(4x+4)+25=(24x2-16x+2) (24x2-16x-8)+25

设24x2-16x+2=t, 原式=t(t-10)+25=(t-5)2=(24x2-16x-3)2

（2）原式=(6x-1) (x-1) (2x-1)(3x-1) +x 2=(6x 2-7x+1)(6x 2-5x+1) +x 2

设6x 2-7x+1=t, 原式=t(t-2x) +x 2=(t-x)2=(6x 2-6x+1)2

（3）原式=(6x-1) (x-1) (4x-1)(3x-1) +9x 4=(6x 2-7x+1) (12x 2-7x+1)+ 9x 4 设6x 2-7x+1=t, 原式=t(6x 2+t)+ 9x 4=(t+3x 2)2=(9x 2-7x+1)2

例2 (2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题)

分解因式：(2x –3y)3 + (3x –2y)3 –125(x –y)3= .

[解]设2x –3y=a, 3x –2y=b, -5x+5y=c,显然a+b+c=0.

由公式 a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-bc-ca-ab) 知此时有

a 3+

b 3+

c 3=3abc ，故有

原式=3(2x –3y) (3x –2y) (-5x+5y)=-15(2x –3y) (3x –2y)(x-y)

例3 （1997-1998年天津市初二数学竞赛决赛试题）

分解因式xy(xy+1)+(xy+3)-2(x+y+12

)-(x+y-1)2 [解]设xy=a, x+y=b.

原式=a(a+1)+(a+3)-2b-1-(b-1)2=a 2+2a+1-b 2=(a+1)2-b 2=(a+1+b)(a+1-b)

=(xy+1+x+y)(xy+1-x-y)=(x+1)(y+1)(x-1)(y-1)

例4（1991年贵州省初中数学竞赛试题）

分解因式：x 4+x 3-4x 2+x+1

[解] 原式=2222221111(4)()()4x x x x x x x x x x ⎡⎤+-+

+=+++-⎢⎥⎣⎦ 设1,x t x +=则22212x t x

+=-， 原式=x 2(t+t 2-2-4)= x 2(t+3)(t-2)=211(3)(2)x x x x x +

++-=(x 2+3x+1)(x-1)2

例5 （1994年石家庄市初中数学竞赛试题）

分解因式 (x+1)4+(x+3)4-272

[解] x+2=t, 原式=(t-1)4+(t+1)4-272=2t 4+12t 2-270=2(t 2+15)( t 2-9)

=2(x 2+4x+19)(x+5)(x-1)

例6（1998-1999年天津市初二数学竞赛预赛试题）

把2x 3-x 2z-4x 2y+2xyz+2xy 2-y 2z 分解因式

[解] 原式=(2x-z)y 2-2(2x-z)xy+(2x-z)x 2=(2x-z)(y-x)2

例7 （1986年扬州市数学竞赛试题）

因式分解：(1+y)2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y)2

[解] 原式=[(1+y)2+2x 2(1-y 2)+x 4(1-y)2]-4x 2=[(1+y)+x 2(1-y)]2-(2x)2

=[(1+y)+x 2(1-y)+2x] [(1+y)+x 2(1-y)-2x]=[(x+1)2-y(x 2-1)] [(x-1)2-y(x 2-1)] =(x+1)(x-xy+y+1)(x-1)(x-xy-y-1)