人教版数学七上数轴上的动点问题

数轴上的运动问题

在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。

【题 1】甲乙两地相距 200 米，小明从甲地步行到乙地，用时 3 分钟，小明的平均速度为多少米每秒？

【分析】这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下：

小明 甲地 乙地

【解法一】直接利用：速度=路程÷时间解决。 200 ÷180 = 10

（米/秒）

9 【解法二】用方程解。设速度为 x 米/ 秒，根据路程=时间×速度，得： 200 = 180x ，解得 x = 10

。

9

如果在线段图上，用一个具体的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个问题就转化为数轴上的运动问题了。

【题 2】如图，数轴上有两点 A 、B ，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止。设运动时间为 t 。

（1） 用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 运动的距离；

（2） 用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 表示的数；

（3） 用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 到数 B 的距离。

（4） 当电子蚂蚁运动多少时间后，点 P 为线段 AB 的三等分点？

【分析】引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无限的距离问题。所以，对于运动的点，处理的核心思想依然是路程=速度×时间。其余的点的距离，利用数 轴上两点间距离公式解决。

（1） 根据路程=速度×时间，有： AP = t ；

（2） AP = t ，故点 P 表示的数为t ；

（3） 点 B 表示的数为 200，点 P 表示的数为t ，且 P 在 B 左边，故 PB = 200 - t 。

（4） 若 P 为 AB 的三等分点，有两种情况： ①AP=2PB ，即： t = 2 ⨯ (200 - t )，解得t =

400 秒；

3 ②2AP=PB ，即： 2t = 200 - t ，解得t = 200 秒；

3 现在，我们将【题 2】一般化，线段 AB 一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题：

【题 3】如图，数轴上有两点 A 、B ，点 A 表示的数为 a ，点 B 表示的数为b ，且数 A 和数 B 的距离为 200 个单位长度，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止。设运动时间为 t 。

（1） 用含 a 的代数式表示数 B ；

（2） 用含 a 和 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 表示的数；

（3）用含t 的代数式表示电子蚂蚁P 到数B 的距离。

【分析】一般化后，增加了字母参数，更加抽象化，难度也上升了，但若严格按照逻辑推理进行解题，难度也会有所下降。

（1）由数轴上两点间距离公式可得：b -a = 200 ，整理得：b = 200 +a ；

（2）由路程=速度×时间得，AP =t ，即 A、P 两点间的距离为t ；同（1）可得，点 P 表示的数为a +t 。（3）由于数 B≥数 P，故根据数轴上两点间距离公式有：BP =b -(a +t )=a + 200 -(a +t )= 200 -t 。

我们发现，只要线段 AB 的长度固定，点 P 到 B 的距离跟 A、B 表示的数无关。

接下来，我们将问题复杂化，变为双动点问题，请看【题4】。

【题4】如图，数轴上有两点A、B，点A 表示的数为0 ，点B 表示的数为200 ，一只电子蚂蚁P 从A 出发，以1个单位每秒的速度由A 往B 运动，到B 点运动停止；另一电子蚂蚁Q 在同一时间从B 出发，以2 个单位每秒的速度由B 往A 运动，到A 点运动停止。设运动时间为t。

（1）当电子蚂蚁P、Q 相距40 个单位长度时，求运动时间t；

（2）用含t 的代数式表示两只电子蚂蚁的距离。

【分析】本题的实质，就是行程问题中的相向运动问题，若用数轴不好理解，可以借助熟悉的行程问题来辅助理解。

（1）在运动的过程中，点 P 和点 Q 的位置有三种情况：P 在 Q 的右边，P 和 Q 重合，P 在 Q 的左边，故运用两点间距离公式时，需要加个绝对值号，可以有效避免漏掉情况。另外，Q 到 A 后，Q 停止，但 P 继续往 B 运动，故也得考虑这种情况。

①P、Q 都在运动时，0秒≤t ≤ 100秒时，点 P 表示的数为t ，点 Q 表示的数为200 - 2t ，故 P、Q 两

点间的距离为200 - 2t -t 。根据题意有：200 - 2t -t = 40 。很自然地需要分类讨论，考虑了两种情况。

②Q 停止运动，P 继续运动，此时 PQ 距离＞100，故不符合题意。

（2）①P 与 Q 相遇之前，即 P 在 Q 的左边，此时有数 Q＞数 P，0秒≤t＜200

秒，此时：3

PQ = 200 - 2t -t = 200 - 3t

②P 与 Q 相遇后，Q 停止运动前，即 Q 在 P 的左边，此时有数 P＞数 Q，200

秒≤t ≤ 100秒，此时：3

PQ =t -(200 - 2t )= 3t - 200

③Q 停止运动，P 继续向 B 运动直至停止，数 Q 为 0，数 P＞数 Q，100秒＜t ≤ 200秒，此时：PQ =t - 0 =t

【提炼】第（1）问题，利用数轴上两点间的距离公式，能有效解决漏掉情况的问题。

下面，我们把线段等分点加进来，提升难度，请看【题 5】和【题 6】。其处理的核心，依然是表示出相关的数。

【题 5】如图，数轴上有两点 A 、B ，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止；另一电子蚂蚁 Q 在同一时间从 B 出发，以 2 个单位每秒的速度由 B 往 A 运动，到 A 点运动停止。设运动时间为 t 。

（1） 当 P 为 AQ 中点时，求运动时间 t ；

（2） 当 Q 为 BP 中点时，求运动时间 t 。

【分析】搭上了线段中点，处理方式依然不变，用含t 的代数式表示出数 Q 、数 P ，利用两点间距离公式解题。

（1） 点 P 表示的数为t ，点 Q 表示的数为200 - 2t ，若 P 为 AQ 中点，有 AP=PQ ，即： t = 200 - 2t - t ， 解得： t = 50秒；

（2） 点 P 表示的数为t ，点 Q 表示的数为 200 - 2t ，若 Q 为 BP 中点，有 PQ=BQ ，即： 200 - 2t - t = 2t ， 解得： t = 40秒。

【题 6】已知数轴上 A 、B 两点对应的数分别是-2 和 4，P 为原点。若 A 、B 、P 三点分别以 1 个单位每秒、4 个单位每秒、2 个单位每秒的速度向右运动，当 A 、B 、P 三点有其中一点为其余两点的中点时，求运动的时间。

【分析】按理说有三种情况，A 为 P 、B 中点，B 为 A 、P 中点，P 为 A 、B 中点，但结合条件，发现 A 不可能为 P 、B 中点，故此种情况可以舍去。

设运动时间为 t ，则运动过程中，点 A 表示的数为 t-2，点 P 表示的数为 4t ，点 B 表示的数为 4+2t 。 ①B 为 A 、P 中点，有 AB=BP ，即：4+2t-t+2=4t-4-2t ，解得：t=10 秒；

②P 为 A 、B 中点，有 AP=PB ，即：4t-t+2=4+2t-4t ，解得：t=0.4 秒；

接着，我们进一步加深难度，将动线段的等分点放进来，主动点带从动点，看处理是否发生变化呢？ 请看【题 7】。

【题 7】如图，点 A 表示的数是-3，点 B 表示的数是 1，若 Q 是点 B 右侧一点，QA 的中点为 M ，QB 的四 等分点为 N （N 靠近点Q ），当 Q 在B 的右侧运动时，有两个结论：① 1 QM + 3 BN 的值不变，② QM - 2

BN 2 4 3

的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你判断正确的结论，并求出其值。