概率论全概率公式

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全概率公式
全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概 率, 实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。 综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
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引例 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个 红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红 球。某人从三箱中任取一箱，从中任意取出一球， 求取得红球的概率。 解：记 Ai=“球取自i号箱”, i=1,2,3; B =“取得红球”。
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§1.4 条件概率与事件的独立性 一、条件概率
1．问题 E~产品(N个产品中含M个次品)随机抽样。
M Ai = {第 i 次抽到次品}, i = 1, 2，P(Ai) N M P ( A ) P ( A / A ) ? 放回抽样时， 2 2 1 N M 1 M 不放回抽样时，P( A2 / A1 ) P(A2) < N N 1 M M > P(A2) P( A2 / A1 ) N N 1
P( BA) P( A AB ) P( A) P( A) P( A) P AB 0.2 0.15 0.25 P( A) 0.2 二、乘法公式 P( B / A)
P( AB) P( A / B) P( B)

P( AB) P( B) P( A / B)
P( B) 0 P( A) 0
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P( AB) P( A) P( B / A)
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )P( An / A1 A2 An1 )
例2 设A盒内有M 个黑球，B盒内有同种质地、大小的M个 白球。现让某人从B 盒内随机摸取一球放入 A盒中，然后 再从A 盒中随机摸取一球放入B盒中，称此为一次交换。 若经M次交换后，A中恰有M个白球则此人可获奖。问此人 获奖的概率是多少？
i 1 i i
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Fra Baidu bibliotek
代入数据计算得：P(B)=8/15。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到 在概率计算中常用的全概率公式。
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三、全概率公式 设A1 , A2 , …,An 是对 的一个划分：
(1) Ai Aj , i j (2)
BA BAn BA 2 i... 1 BA A1 A2 … … An
经过M次交换后， A中恰有M个白球 解 设 A Ak {在第k次交换中，A 中黑球与B中白球交换}
k 1,2,, M . 则A A1 A2 AM .由概率的乘法公式有
2 M ! P A P A1 A2 AM M M M M 1 P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 P AM
解 P( A2 ) P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 )
3 6 2 3 3 P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) 5 8 5 8 5
P( A2 ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A1 ) P( A2 / A1 )
问题：A3由哪几个原因引起？
P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A3 / A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A3 / A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A3 / A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A3 / A1 A2 )
P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )
A1 A2 AM 1 M M M 1 M 1 M 2 M 2 1 1 ( )( )( ) ( ) M M 1 M M 1 M M 1 M M6 1
例3 袋中有5个球：3个红球，2个白球。现每次 任取1个，取后放回，并同时放入3个同色的球。记Ai 为第i次取到红球，求概率P(A2)。
1
2
3
B发生总是伴随着A1，A运用加法公式得 2，A3 之一同时发生，
即 且 B= A1B+A2B+A3B， A1B、A2B、A3B两两互斥。 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
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P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)

对求和中的每一项 运用乘法公式得
P ( A ) P ( B｜A ),
3
2．定义
设A、B为两随机事件，且P(B) > 0，则称
P( AB) P( A / B) P( B)
为在 B 发生的条件下， A发生的条件概率。
B
AB A
Ω
注1．P(A/B) 是将样本空间 压缩成B、事件A压缩成AB
后计算概率， P(A/B)本质上是一个无条件概率；
注2．条件概率满足三条公理及概率的其它性质。
n
A
i 1 i
B
则对任何事件B有
P( B) P( Ai ) P( B / Ai )
i 1
n
Ω
概率论与数理统计
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一个教授都容易回答错误的概率问题
1990年，美国《Parade展示》杂志“Ask Marilyn” 专栏的主持人玛莉莲· 莎凡收到了一名读者的提问：
假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门
中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面 则是山羊。你选择了一扇门，假设是一号门，然后知道 门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假 设是三号门。他然后问你: “你想选择二号吗？
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例1 设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在 30 年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪 水的概率为85%，现已知该地区已经30年未发生特大洪 水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？
解 记A={30年内无特大洪水}， B={未来10年内有特 大洪水}，则 A B ={40年内无特大洪水}