曲线曲面造型基础

3
（u） （u） （u） t
i
（u） t 15 0
i ＋
t 11 0
i ＋
t 1 0 2
i ＋
t 1 0 3
i ＋
t 0 1 4
i ＋
t 0 1 6
i ＋
t u 1 7
i ＋
0
k 0

i 0
i
i ,k
5.2 曲线曲面发展历程
•1975 年，美国锡拉丘兹（ Syracuse）大学的佛斯普里尔（ Versprill）提出了有理 B 样条方法。 •80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条 (NURBS)方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。
B2 ,3 u 3u 2 1 u
上述定义的3次Bezier曲线则进一步表示为：
Pu Pi Bi ,3 u B0,3 u B1,3 u B2,3 u B3,3 u P0
Ni ， Ni+1 ，
3
Ni+2 ，
3
Ni+3 ，
3
1 若t i u t i 1 N i ,0 (u ) 0 其它 N (u ) (u t i ) N i ,k 1 (u ) (t i k 1 u ) N i 1,k 1 (u ) i ,k tik ti t i k 1 t i 1 0 / 0 0 n C(u ) P N (u )
隐式表达:如曲面f(x, y，z)=0，这种表示不便于由已知的参量x，y计算z 值，可用于判断点与曲线曲面的位置关系
- 1 = 0
5.3 曲线曲面参数表达
曲线参数表达 空间曲线上一点p的坐标被表示成参数u的函数： x=x(u), y=y(u), z=z(u) 合起来，曲线被表示为参数u的矢函数： P(u) = [x y z] = [ x(u) y(u) z(u) ]
5.3 曲线曲面参数表达
曲线基本参数：
曲线矢量表示：
P(u) x(u)
y ( u ) z ( u )
P x(u) u u y (u) u z (u) u
(u ) 曲线导矢（参数增加方向）： P
弧长微分公式：
2 2
(u) du ds dP dx 2 dy 2 dz 2 ds P
1 若t i u t i 1 N i ,0 (u ) 0 其它 N (u ) (u t i ) N i ,k 1 (u ) (t i k 1 u ) N i 1,k 1 (u ) i ,k tik ti t i k 1 t i 1 0 / 0 0 m n
第5章 曲线曲面造型基础
自由曲线部分
主要内容：
5.1 认识曲线与曲面
5.2 曲面造型的发展历程 5.3 曲线曲面的参数表达 5.4 Bezier曲线 5.5 B样条曲线 5.6 NURBS曲线
工程中的曲线曲面
曲线曲面分类
早期船舶设计用样条
一类：初等解析曲面(例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等)组成，大 多数机械零件属于这一类，可用画法几何与机械制图方法清楚表达和传递所包 含的全部形状信息。
a0 , a1, a2 , a3
为矢量系数
•问题： 没有明显几何意义，系数变化与曲线没有直观关系
5.2 曲线曲面发展历程
a0 P0 a0 a1 a2 a3 P1 a1 P0 a1 2a2 3a3 P1 x (u ) P(u ) y (u ) a0 a1u a2u 2 a3u 3 z (u )
P(u) Pi Bi ,n (u) u 0,1
i 0
n
其中:1) 参数取值范围【0，1】，或称参数区间； 2）Pi构成该Bezier曲线的特征多边形（控制多边形）； 3）Bi,n(u)是n次Bernstein基函数，也称调和函数。
Bi ,n (u) C u (1 u)
i i n
主要内容：
5.1 认识曲线与曲面
5.2 曲面造型的发展历程 5.3 曲线曲面的参数表达 5.4 Bezier曲线 5.5 B样条曲线 5.6 NURBS曲线
5.2 曲线曲面发展历程
• 数学上曲线常见以多项式表达为主（ Polynomial equations ）
x (u ) 3 2 3 i P(u ) y (u ) a0 a1u a2u a3u ai u i 0 z (u )
2. 易于规定曲线、曲面的范围。 3. 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。
一条二维三次曲线的显式表示为： y ax 3 bx 2 cx d
（ 4 个系数控制曲线形状 ）而二维三次曲线的参数表达式为：
P( u) a1u3 a2u2 a3u a4
（8个系数控制曲线形状）
Solid Edge
Inventor
CATIA
UG NX
Pro/E
主要内容：
5.1 认识曲线与曲面
5.2 曲面造型的发展历程 5.3 曲线曲面的参数表达 5.4 Bezier曲线 5.5 B样条曲线 5.6 NURBS曲线
5.3 曲线曲面参数表达
曲线曲面常见有显式、隐式及参数表达方法
显式表达:如曲面方程 z=f(x，y)，式中每个z值对应唯一的x、y值，该表 示计算非常方便，但无法描述多值或封闭面，如球。
由端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为： P(t) = P1 + ( P2 - P1 )u u∈[0, 1]
5.3 曲线曲面参数表达
曲线参数表达优点： 1. 易满足几何不变性要求，可以对参数方程直接进行几何变换，节 省计算量。
几何不变性：曲线曲面表示的几何不变性是指它们不依赖于坐标系的选 择或者说在旋转和平移变换下不变的性质
(u) du s (u ) P
u0 u
5.3 曲线曲面参数表达
曲线基本参数：
弧长：
s (u )
u
u0
(u) du P
反函数
u u( s )
Байду номын сангаас
曲线弧长参数表示: 曲线对弧长导矢：
P P(u( s)) P( s) dP dP P( s) , 1 (dP2 ds 2 ) ds ds
Ferguson曲面问题：角点平坦（Flat spots）
0 0
0 0
• 1964年，MIT孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面(增加扭矢控制)。 同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。
Coons曲面问题：中间形状控制能力不足
5.2 曲线曲面发展历程
• 1971 年，法国雷诺（ Renault）汽车公司的贝塞尔（ Bezier）发表了一种用控制多 边形定义曲线和曲面的方法。
拟合：插值和逼近则统称为拟合（Fitting）。
Interpolation
Approximation
主要内容：
5.1 认识曲线与曲面
5.2 曲面造型的发展历程 5.3 曲线曲面的参数表达 5.4 Bezier曲线 5.5 B样条曲线 5.6 NURBS曲线
Bezier曲线
定义：给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则定义 的n次Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：
5.3 曲线曲面参数表达
曲线基本参数： 切矢量 T：
副法矢:
T P P P P B P P
曲线对弧长导矢：
N TB
T N B k
对T,N，B分别对弧长S求导， 得曲线 Frenet-Serret 公式

b1u3 b2u2 b3u b4 u [0,1]

5.3 曲线曲面参数表达
曲线参数表达优点： 4. 易于处理多值问题和斜率无穷大的情形。
5. 易于计算曲线、曲面上的点。而隐式方程需求解非线性或超越 方程，另外，求导、等距的计算也被简化；
6. 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而 且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩 展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式 处理几何分量。
它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由 Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。 经多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面 (Rational B-spline Surface)为基础的参数化特征设计和隐式代数 曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值 (Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理 论体系。
P(u) Pi Bi ,n (u)
P(u, v ) Pi , j Bi ,n (u )B j ,m (v )
j 0 i 0
n
i 0 m n
• 1974 年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将 B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。
P0 P P(u ) F0 (u ) F1 (u ) G0 (u ) G1 (u ) 1 P0 P1
• 1963 年 美国波音飞机公司的弗格森（ Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线 曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向切 矢定义的弗格森双三次曲面片。
n i
Bezier曲线（三次）
由P0、P1、P2、P3四个控制点定义的3次Bezier曲线，其基函数
Bi,3 u Ci3ui 1 u
3i
3 2
i 0,1,2,3
上式分别展开为： B0,3 u 1 u
B1,3 u 3u 1 u B3, 3 u u 3
二类：自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船 舶的外形零件。这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的。
自由曲线和曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚，成为工程师们首 要解决的问题。人们一直在寻求用数学方法唯一定义自由曲线和曲面的形状。
曲线曲面主要研究内容
曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容， 主要研究在计算机图象系统的环境下对曲线曲面的表示、设计、 显示和分析。
k 0
P ( u, v )

i 0 j 0 m n i 0 j 0
i, j i, j
P N i,k ( u ) N j,l ( v ) N i,k ( u ) N j,l ( v )

i, j
5.2 曲线曲面发展历程
•非均匀有理B样条（NURBS）成为当前大多数商用CAD软件系统的内部表达技术。
P0 P P(u ) F0 (u ) F1 (u ) G0 (u ) G1 (u ) 1 P0 P1
Q’ 0 Q0
t= 0
Q0 1 Q’ 1 Q1
t= 1 v
Q1 1
Q0 0 图 Ferguson曲线
u
Q1 0
图 Ferguson曲面
5.2 曲线曲面发展历程
T( s ) N( s ) k B( s )
P P kP
3
2 P, P, P P P
5.3 曲线曲面参数表达
曲线常用定义方法： 插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些 数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。常用插值 方法有线性插值、抛物线插值等(Interpolation)。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数 据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线(Approximation)。