高等数学(FIC)系列讲座10：级数的核心性质
（完整版）级数的概念与性质
（完整版）级数的概念与性质第十一章无穷级数教学内容目录：§1—§8本章主要内容：常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。
幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。
泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、e x cossin ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式，幂级数在近、xx、似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。
函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。
教学目的与要求：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。
3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。
4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。
5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。
6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。
8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10、掌握应用 e x,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。
11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。
本章重点与难点：重点:正项级数的审敛法；将一些简单的的函数间接展开成幂级数难点：应用逐项积分、逐项微分的性质求和函数、本章计划学时：16学时（2节习题课）教学手段：课堂讲授、习题课、讨论，同时结合多媒体教学推荐阅读文献：1.高等数学同步辅导(下) (第十一章) 主编同济大学应用数学系彭舟航空工业出版社2.高等数学名师导学(下) (第十一章) 主编大学数学名师导学丛书编写组中国水利水电出版社3.高等数学双博士课堂(第十一章) 主编北京大学数学科学学院机械工业出版社作业：习题11－1：2(2、4) 、3(2)、4(1、3、5)习题11－2：1(1、3、5)、2(2、4)、3(1、3、4)、4(1、3、5)、5(1、3、5) 习题11－3：1(1、3、5、6、8)、2(1、3)习题11－4：1、2(2、3、5)、4、6习题11－7：1(1、3)、2(1)、4、6能力培养及措施:通过精讲多练,启发式教学, 讨论式教学,重点讲授重点、难点，自学部分内容,课堂讨论,结合习题课及多媒体教学培养学生的比较熟练的运算能力、逻辑推理的能力及抽象思维能力,推荐学生阅读相关文献培养学生自学能力.§11-1 常数项级数的概念和性质问题的提出――计算半径为R 圆的面积用内接正3×n 2边形的面积逐步逼近圆面积：正六边形面积A ≈1a ，正十二边形面积A ≈1a +2a ,……正n 23?形面积A ≈1a +2a +……+n a若内接正多边形的边数n 无限增大，则和1a +2a +……+n a 的极限就是所要求的圆面积A 。
微积分级数的概念和性质.ppt
证明 级数的前 n 项和
sn a (a d ) (a 2d ) [a (n 1)d ]
na n(n 1) d 2
显然
lim
n
sn
故所给算术级数是发散的
例3证明调和级数 1 1 1 1
23
n
是发散的.
证明： 由拉格朗日中值公式知
ln(n 1) ln n 1 1 ,(n n 1) n
则，记 u1 u2 ... un ... S
lim(u u u ) s
n
1
2
n
令 Sn u1 u2 un
前n项和
lim s s
n
n
以 Sn为通项的数列 Sn收敛于 S
前n项和数列
无穷级数 un收敛：
n1
当n无限增大时,如果级数 un 的前 n 项和
n1
数列{ sn }有极限 s ,
sn
1
1 2
1 3
1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) [ln(n 1) ln n]
ln1 n ，n
级数发散.
例4.讨论等比级数（几何级数）
aq
n1
a
aq
aq2
aq3
...
n1
的敛散性。其中a,q为非零常数。
解
aq
n 1
的部分和
n 1
s a aq aq 2 aq n1
相加的式子，这就是级数。
一般地，给定一个数列 u1，u2，u3，，un，
称式子 u1 u2 u3 un
u
为无穷级数。简称级数。记为
n1 n
即
u
u u
u
高等数学常数项级数概念及性质
a,d为常 ,且 d数 0. 证明等差级数是发散的.
证因
n(n1) snna 2 d,
nl imsn
所以, 该级数发散.
例 判定级数
1 1的敛散 性. 1 12 23 n(n1)
解 sn11 221 3 n(n11)
11 11 11 2 2 3 nn1
1 1 , n1
nl i msn 1
所以, 该级数收敛, 且其和为1.
7.1.2 收敛级数的基本性质
性质1
u 如结果论级: 级数数的每收一敛项于同s, 乘一个不为零的常数, k是一敛常散数性, 不变. n
n1
则级数
也收敛ku, n
并且其和为ks.
n1
证
令 un与 kun的部分和分别为
n1 n1
sn及n. 则
nk1u k2u kn u ksn
称为(常数项)无穷级数, 简称级数.
记为
un,
n1
即
unu1u2u3 un
n1
u 其中第 n项 称为级数的一般项, 或通项.
n
一般项
unu1u2u3 un (1)
n1
(常数项)无穷级数
如
1301300130n;
1111 (1)n11 ;
234
n
1 1 1 1 ( 1 )n 1 .
以上均为(常)数项级数.
部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限.
定义7.1
级数
u 的前n 项和
n
n1
snu 1u 2 u n
称为级数的部分和.
如 果 {数 sn}有 列极s,限 即
nl imsn s, 则称级数
u 收敛,
n n1
高数大一下知识点总结级数
高数大一下知识点总结级数高数是大学数学中的一门重要课程，对于大一学生来说，学好高数才能够为接下来的学习打下坚实的基础。
下面我将对高数大一下的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、级数的概念与性质在高数中，级数是一个非常重要的概念。
级数由一列数相加而得，可以用于近似计算以及描述实际问题。
级数的概念为我们后续学习提供了很多方便。
1.级数的定义级数是指把同一个数列的各个项按照顺序相加得到的和。
级数由无穷个项相加而成，表示为∑(an)。
2.级数的收敛和发散级数的收敛与发散是级数的一个重要性质。
级数是收敛的，当且仅当其部分和数列有极限。
级数是发散的，当其部分和数列趋向于无穷大或无穷小。
3.级数的收敛性判别法在判断一个级数是否收敛时，我们可以使用不同的收敛性判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等。
这些判别法可以帮助我们快速判断级数的收敛性。
二、常见的级数及其性质在高数中，有很多常见的级数，我们需要了解它们的性质以及求和的方法。
1.等差数列求和等差数列的求和在高中已经学过了，这里只是简单地进行回顾。
等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，前n项和为Sn，有公式Sn = (n/2)(a + an)。
2.等比数列求和等比数列的求和也是高中知识。
等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，前n项和为Sn，有公式Sn = a(1-q^n)/(1-q)。
需要注意的是，当|q|<1时，等比数列的和存在有限值。
3.幂级数幂级数是一种特殊的级数，对于形如∑(an*x^n)的级数，我们称之为幂级数。
在实际问题中，幂级数在分析函数的性质和展开函数等方面有着广泛应用。
三、级数的运算在高数中，我们常常需要进行级数的运算，如级数的加减、乘除以及级数与函数的运算等。
1.级数的加减级数的加减比较简单，只需要将级数的对应项相加或相减即可。
若级数∑(an)收敛，则其加减之和∑(an±bn)也收敛。
高等数学(完整版)详细(课堂PPT)
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
(1)
ln
n1
n
n
1
;
解: (1)
(2) n1n(n11) .
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数 uk n
n1
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
由于n 时, n 与Sk n 极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
将各项依
n1
un u1 u2 u3
n1
un
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
n
Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
称为级数的部分和. 若 lim Sn S 存在, 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
S un
1 n (n 1)n
34
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数 u1 u2 u3 (1)n1un
称为交错级数 .
定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
高数知识汇总之级数
第七章 级数7.1常数项级数的概念与性质7.1.1 常数项级数的概念 常数项级数： 一般的，设给定数列12,,,,n a a a 则该数列所有项相加所得的表达式12n a a a ++++ 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；其中第n 项n a 叫做级数的一般项或通项。
级数简记为：1nn a∞=∑，即121nn n aa a a ∞==++++∑部分和：作（常数项）级数12n a a a ++++ 的前n 项的和121nn n i i S a a a a ==+++=∑ ，n S 称为级数（1）的前n 项部分和。
当n 依次取1，2，3，… 时，它们构成一个新的数列{}n S ，称为部分和数列。
级数收敛与发散： 如果级数1nn a∞=∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=（有限值），则称无穷级数1nn a∞=∑收敛，极限S 叫做该级数的和，并写成12n S a a a =++++。
如果{}n S 没有极限（lim n n S →∞不存在或为±∞），则称无穷级数1nn a∞=∑发散。
常用级数：（1）等比级数（几何级数）：nn q∞=∑111q q - 当时收敛于1q ≥当发散（2）p 级数:11pn n∞=∑ 11p p ≤ 当时收敛当时发散级数的基本性质： 性质1： 若级数1nn a∞=∑收敛于和S ，则级数1nn Ca∞=∑（C 是常数）也收敛，且其和为CS 。
性质2： 若级数1nn a∞=∑和级数1nn b∞=∑分别收敛于和S 、σ，则级数()1nn n ab ∞=±∑也收敛，且其和为S σ±。
注意：如果级数1nn a∞=∑和1nn b∞=∑都发散，则级数()1nn n ab ∞=±∑可能收敛也可能发散；而如果两个级数1nn a∞=∑和1nn b∞=∑中有且只有一个收敛，则()1nn n ab ∞=±∑一定发散。
高等数学中的级数与收敛性
高等数学中的级数与收敛性在高等数学中，级数和收敛性是一个重要的概念。
级数是由一系列无限个数相加而成的数列。
其中，级数的“和”是指该无限数列的极限。
而收敛性则是指这个和是否存在，也就是数列是否有一个确定的极限。
级数一般用符号表示：$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$。
其中，$a_n$是数列中第$n$个元素，也就是级数中的第$n$项。
而符号$\sum$则表示对所有的$n$求和。
在计算级数的和时，我们通常使用“部分和”的概念。
部分和是指级数前 $n$个元素的和，即$S_n=a_1+a_2+...+a_n$。
当$n$趋向于无穷时，如果$S_n$有一个有限的极限，则这个级数就是收敛的。
反之，如果$S_n$趋向于无穷，那么这个级数就是发散的。
但是需要注意的是，即使部分和的极限是无穷大，这并不意味着级数一定是发散的。
有些级数的和可以是无穷大，但是它们仍然是收敛的。
级数的收敛性和发散性是判断级数性质的关键。
为了判断级数的收敛性，我们可以使用一些判别方法。
这些方法可以分为比值判别法、根值判别法、积分判别法等等。
下面，我们将介绍一些常用的判别法。
1. 比值判别法比值判别法适用于正项级数。
假设级数为$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，则在求极限$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$时，如果这个极限存在且小于1，则级数收敛；如果这个极限大于1或不存在，则级数发散；如果这个极限等于1，则判别不出。
2. 根值判别法根值判别法也适用于正项级数。
假设级数为$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，则在求极限$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$时，如果这个极限存在且小于1，则级数收敛；如果这个极限大于1或不存在，则级数发散；如果这个极限等于1，则判别不出。
3. 积分判别法积分判别法适用于比较判断。
假设级数为$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，$f(x)$是一个正函数，且满足$f(x)$在$[1,\infty)$上单调递减，则如果$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$收敛，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛；反之，如果$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$发散，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也发散。
常数项级数的概念及性质ppt课件
n
1 0，
n
n n2 n n 2
所以级数 ( n2 n n)发散.
n1
30
实际上 un 0. 的速度越快， un 收敛的可能性越大
n1
例8：判断级数
n ln
n1
n n1
的敛散性.
解答：由于 lim n ln n lim ln（ n ）n
n n 1 n n 1
1 lim ln
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1 ,
即 收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散， 发散+发散就不一定发散
如 求级数 ( 5 1 )的和.
n1 n(n 1) 2n
5
1
,
n1 n(n 1)
2n 19
n1
例 6
求级数
n1
5 n(n
1 1. 1 x x2 xn
1 x
( x ＜1)
2. 3 3 3 3 1
10 100 1000
10n
3
1
0.33333
第九章 无穷级数
主要研究无限个量相加的问题，包括 无限个数和无限个函数相加的问题 。
常数项级数 无穷级数
幂级数
3
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c s .
n
n
证:
令
S n
u, k
则 n
c
u k
c
S n
,
k 1
k 1
lim n n
cs
这说明
c
u n
高等数学同济大学版10.1 常数项级数的概念和性质
或通项. 级数(1)的前n 项的和
n
sn u1 u2 un ui
(2)
i 1
称为级数(1)的前n项部分和. 当 n依次取1,2,3 时, 它们构
成一个新的数列 {sn }, 即
它们构成一个新的数列{sn }, 即 s1 u1, s2 u1 u2 , , sn u1 u2 un ,
完
例1
讨论级数
1 1 2
1 23
...
1 n(n
1)
...
ห้องสมุดไป่ตู้的收敛性.
解
sn
1 1 2
1 23
...
1 n(n
1)
un
1 n(n 1)
1
1 2
1 2
1 3
...
1 n
n
1
1
1 1 n n1
1
n
1
1.
所以
lim
n
sn
lim 1 n
n
1
1
1
即题设级数收敛，其和为1.
技巧: 利用 “拆项相消” 求和 完
)
.
若 q 1, 有 lim qn 0, n
则
lim
n
sn
1
a
q
.
若 q 1,
有
lim qn ,
n
则
lim
n
sn
.
若 q 1,
有 sn na,
则
lim
n
sn
.
例 4 讨论等比级数(又称为几何级数)
aqn a aq aq2 ... aqn ...(a 0) 的收敛性.
高等数学应试技巧级数知识点归纳与运用
高等数学应试技巧级数知识点归纳与运用在高等数学的学习中，级数是一个非常重要的知识点，也是考试中经常出现的内容。
掌握级数的相关知识和应试技巧，对于提高考试成绩和数学能力都具有重要意义。
本文将对级数的知识点进行归纳，并探讨其在应试中的运用。
一、级数的基本概念级数是指将无穷多个数按照一定的顺序相加所得到的表达式。
常见的级数有正项级数、交错级数和任意项级数。
正项级数是指级数的每一项都是非负的。
判断正项级数的敛散性有多种方法，如比较判别法、比值判别法和根值判别法。
比较判别法是将所给级数与一个已知敛散性的级数进行比较，如果所给级数的每一项都小于（或大于）一个收敛（或发散）的级数的对应项，那么所给级数的敛散性与已知级数相同。
比值判别法是计算级数相邻两项的比值的极限，如果极限小于 1，则级数收敛；如果极限大于 1，则级数发散；如果极限等于 1，则判别法失效。
根值判别法是计算级数通项的 n 次方根的极限，如果极限小于 1，则级数收敛；如果极限大于 1，则级数发散；如果极限等于 1，则判别法失效。
交错级数是指级数的各项正负交替出现。
对于交错级数，我们可以使用莱布尼茨判别法来判断其敛散性。
如果级数满足通项的绝对值单调递减且趋于 0，那么级数收敛。
任意项级数是指级数的各项可正可负。
对于任意项级数，我们通常将其转化为正项级数来判断敛散性。
二、级数的性质级数具有一些重要的性质，在解题中经常会用到。
1、级数的每一项乘以一个常数，敛散性不变，但其和会乘以该常数。
2、两个收敛级数的和或差仍然是收敛级数。
3、在级数中去掉、添加或改变有限项，不改变级数的敛散性。
三、幂级数幂级数是一种特殊的函数项级数，形式为∑a_n x^n 。
幂级数的收敛半径可以通过比值法或根值法来计算。
在收敛区间内，幂级数的和函数是连续的、可导的，并且可以通过逐项求导或积分来得到新的幂级数。
四、函数展开成幂级数将一个函数展开成幂级数是级数中的一个重要应用。
常见的函数如e^x、sin x、cos x 等都可以展开成幂级数。
高数大一知识点无穷级数
高数大一知识点无穷级数高数大一知识点：无穷级数无穷级数是数学分析中一个重要的概念，指的是一个由无穷多个数相加或相乘而得到的数列或数列的和。
在大一的高等数学课程中，无穷级数是一个重要的知识点，本文将介绍无穷级数的定义、性质以及一些常见的无穷级数。
1. 无穷级数的定义在数学中，无穷级数的定义如下：设给定一个数列{an}，则称S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...为该数列的无穷级数。
其中，ai为无穷级数的通项。
2. 无穷级数的性质无穷级数具有以下几个性质：2.1 收敛性：如果无穷级数的部分和数列{Sn}存在有限极限s，即lim(n→∞)Sn = s，则称该无穷级数收敛，s为该无穷级数的和。
2.2 敛散性：如果无穷级数的部分和数列{Sn}不存在有限极限，即lim(n→∞)Sn不存在或为无穷大，则称该无穷级数发散。
2.3 绝对收敛性：如果无穷级数的绝对值级数收敛，则称该无穷级数绝对收敛。
2.4 条件收敛性：如果无穷级数收敛但绝对值级数发散，则称该无穷级数条件收敛。
3. 常见的无穷级数3.1 等差数列的无穷级数等差数列的无穷级数是一类常见的无穷级数。
它的通项可以表示为an = a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差。
等差数列的无穷级数可以用以下公式进行求和：Sn = n(a + a + (n-1)d)/23.2 等比数列的无穷级数等比数列的无穷级数也是常见的无穷级数类型。
它的通项可以表示为an = ar^(n-1)，其中a为首项，r为公比（不等于0）。
等比数列的无穷级数可以用以下公式进行求和：S = a/(1-r)，当|r|<1时3.3 调和级数调和级数是一类极其重要的无穷级数，它的通项可以表示为an = 1/n。
调和级数的部分和数列可以用以下公式表示：Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n4. 无穷级数的应用无穷级数在数学及其他领域中有广泛的应用。
级数的概念及其性质
级数的概念及其性质我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。
下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。
无穷级数的概念设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项.取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，…这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。
如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。
例题：证明级数：的和是1.证明：当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1.级数的性质1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即：注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。
例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。
此级数为调和级数，在此我们不加以证明。
2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。
3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。
4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。
注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。
5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。
正项级数的收敛问题对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。
下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。
判定正项级数敛散性的基本定理定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。
高等数学(FIC)系列讲座10：级数的核心性质
ξn
哈尔滨工程大学理学院应用数学系，卜 长江
关于举办哈尔滨工程大学第十七届数学竞赛的通知
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n =1 ∞
+∞ 1
f ( x)dx 敛散性相
同.
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9.设 ∑ un 为任意项级数.若 ∑ un 收敛,则 ∑ un 收敛,此 时称 ∑ un 绝对收敛. 10..莱布尼兹判别法 趋于零 设 ∑ (−1) n un 为交错级数( un > 0 ),若 un 单调递减、 则 ∑ (−1) n un 收敛.
考虑是交错级数发散不符合莱布尼茨条nnnvvv????????????????????????????????????????????????????????????????件
高等数学学习方法(FIC)系列讲座10
--------级数的核心性质 哈尔滨工程大学理学院应用数学系
卜长江
E-mail:buchangjiang@
哈尔滨工程大学理学院应用数学系，卜 长江
级数敛散性一般判别方法（级数部分解题程序图）：
⎧vn → 0 ⇒ Σvn发散 Σvn ⎨ ⎩vn → 0 ⎧ ⎧ ⎧比较判别法 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v Σ 是抽象级数 ⎪ n ⎨若Sn易求, 考虑Sn是否有上界 ⎪ ⎪ ⎪利用limv = 0的"ε -N"定义+比较判别法 Σ v 是正项级数 ⎨ n ⎪ n ⎪ n→∞ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧含n!或qn项 : 用比值判别法 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Σvn是具体级数 ⎨ p级数类: ⎨ 用比较判别法, 不能用比值判别法 ⎩ ⎩ ⎪ ⎧Σ | vn | 收敛 ⇒ Σvn绝对收敛 ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎧Σvn符合莱布尼茨条件 ⇒ Σvn条件收敛 ⎪ ⎪Σv 是任意项级数: 考虑 是交错级数 | | v v Σ Σ ⎪ n ⎨ n ⎨ ⎪ n 将Σvn拆项 | | v Σ 发散 ⎨ ⎩Σvn不符合莱布尼茨条件: ⎪ n ⎪ ⎪ ⎪ 将Σvn拆项 ⎪ ⎩Σvn不是交错级数: ⎩ ⎩
《高等数学》第十章 无穷级数(电子讲稿)
380 第十章 无穷级数在许多科学技术领域中，常常要求我们将无穷多个数或者函数相加，我们把这种和式叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，本章将先介绍常数项级数的概念及其敛散性的审敛法，然后讨论函数项级数，最后将着重讨论如何将函数展开成幂级数和三角级数的问题．第一节 常数项级数的概念与性质一、常数项级数的基本概念设给定一个数列1u ，2u ，n u ，，用加号把这些项连结起来所构成的和的表达式 1u +2u +n u +（1）称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作1n n u ∞=∑1u =+2u +n u ++，级数的第n 项u n 通常称为级数的一般项或通项．例如 111111!2!3!!n n n ∞==+++++∑,1(1)1111(1)nn n ∞=-=-+-+-+-+∑,1123n n n ∞==+++++∑ 都是常数项级数．上述级数的定义仅仅是一种形式上的定义，这种加法是否具有“和数”，这个“和数”的意义是什么？为了解决这个问题，我们先作（常数项）级数（1）的前n 项和n s =12n u u u +++1ni i u ==∑， （2）n s 称为级数（1）的部分和．当n 依次取1，2，3，…时，部分和又构成一个新的数列11s u =， 122s u u =+，3123,s u u u =++， n s =12n u u u +++，，即数列12,,,,n s s s ．把这个数列{n s }称为级数1n n u ∞=∑的部分和数列（简称为部分和）．当n 趋于无穷大时，如果级数1n n u ∞=∑的部分和数列{n s }有极限s ，即lim n n s s →∞=,则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，并称极限s 为级数的和，写成12n s u u u =+++．如果部分和数列{n s }没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．当级数1n n u ∞=∑收敛时，其部分和n s 是级数的和s 的近似值，它们之间的差值12n n n n r s s u u ++=-=++称为级数的余项．用近似值n s 代替和s 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是n r ．381●●例1 判别无穷级数1123n n n ∞==+++++∑的敛散性．解 由于 (1)122n n n s n +=+++=, 则 (1)lim lim 2n n n n n s →∞→∞+==∞,所以该级数发散．●●例2 讨论级数11111(1)n --+-++-+的敛散性． 解 部分和数列11s =，2110s =-=，31111s =-+=，，11111(1)n n s -=-+-++-．易知，当n 为奇数时，1n s =；当n 为偶数时，0n s =．所以没有极限，故原级数发散． ●●例3 无穷级数20nn n aqa aq aq aq ∞==+++++∑． （3）叫做等比级数（又称为几何级数），其中0a ≠，q 叫做级数的公比，试讨论级数（3）的敛散性．解 如果||1q ≠，级数的部分和1n n s a aq aq-=+++1n a aq q -==-11na aq q q---． 当||1q <时, lim n n s →∞=lim 111n n a aq a q q q →∞⎡⎤-=⎢⎥---⎣⎦, 此时级数（3）收敛，且其和为 1aq -； 当||1q >时，lim n n s →∞=∞，此时级数（3）发散．如果||1q =，则当1q =时，n s na =→∞，因此级数（3）发散；当1q =-时，级数(3)变为n s =a a a a -+-+1(1)n a -+-．显然，n s 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或为零，因此n s 的极限不存在，此时级数（3）也发散．综上讨论可知，等比级数11n n aq ∞-=∑当||1q <时收敛，其和为1aq-，当||1q ≥时发散． 例如级数23422223333⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比213q =<，则该级数是收敛的．又例如级数23433332222⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比312q =>，故该级数是发散的． 二、收敛级数的基本性质由上面的讨论可知，级数的收敛问题，实际上也就是研究它的部分和数列的收敛问题，因此，我们可以应用数列极限的有关知识来研究无穷级数的收敛与发散．从而可以得到收敛级数的一些基本性质．性质1 如果级数123n u u u u ++++收敛于和s ，则它的各项同乘以一个常数a 所得的级数123n au au au au ++++也收敛，且其和为as ． 证 设级数1n n u ∞=∑与级数1n n au ∞=∑的部分和分别为n s 和n σ，则n s =12n u u u +++，n σ12n au au au =+++n as =．382 由数列极限的性质知lim lim n n n n as as σ→∞→∞==．即级数1nn au∞=∑收敛于as ．性质2 如果级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，且其和分别为s 与σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑1122()()()n n u v u v u v =±+±++±+．也收敛，并且有111()nn n n n n n uv u v ∞∞∞===±=±∑∑∑s σ=±．证 令1nn i i s v ==∑，1nn i i u σ==∑，1()nn i i i T u v ==±∑，则1()nn i i i T u v ==±=∑11n ni in n i i u vs σ==±=±∑∑,所以有lim lim()lim lim n n n n n n n n n T s s s σσσ→∞→∞→∞→∞=±=±=±．也就是说，1()n n n u v ∞=±∑收敛于s σ±．●●例4 判别级数212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的敛散性．若收敛时求出它的和．解 由于级数211111222n -+++++与 21213331444n n --+++++都是公比小于1的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为2和4，由性质2知所给级数收敛，其和为212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111222n -⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭21213331444n n --⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭246=+=． 性质3 在级数的前面部分去掉或加上有限项，不改变级数的敛散性.证 设将级数121k k k n u u u u u +++++++++的前k 项去掉，则得级数12k k k n u u u +++++++．令新级数的部分和n T =12k k k n u u u ++++++．则12n k k k n T u u u +++=+++k n k s s +=-，其中k n s +为原级数的前k n +项的和，而k s 12k u u u =+++是常数，所以当n →∞时，n T 和n k s +或者同时具有极限，或者同时没有极限，当有极限时，k T s s =-．其中lim n n T T →∞=，lim k n n s s +→∞=．类似地，可以证明在级数的前面加上有限项，也不改变级数的敛散性． 性质4 收敛级数对其项任意加括弧后所成级数仍为收敛的级数，且其和不变． 应该注意，加括号后的级数收敛时，原来未加括弧的级数未必收敛，例如下面的级数(11)(11)(11)-+-+-+ 收敛于零，但级数111111-+-+-+却是发散的．由性质4可得: 如果加括弧后所成的级数发散，则原来级数也发散．383性质5 （级数收敛的必要条件）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则当n 无限增大时，它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=．证 设级数1n n u ∞=∑的部分和数列为{}n s ，且lim n n s s →∞=．因为1n n n u s s -=-，所以1lim lim()n n n n n u s s -→∞→∞=-0s s =-=．性质5表明，若lim 0n n u →∞≠，则1n n u ∞=∑一定发散，但要注意，若lim 0n n u →∞=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散． ●●例5 无穷级数111123n+++++ （4）称为调和级数．证明调和级数是发散的．证法1 顺序把级数（4）的两项、两项、四项、八项、2m 项、加括号得级数111111112345678⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121222m mm +⎛⎫+++++ ⎪++⎝⎭ 因为 11122+>，1111134442+>+=，111111111,567888882+++>+++=11111111111212222222m m m m m m +++++++>+++=++, 所以这个加括号的级数的前1m +项的和大于12m +，从而可知加括号后的级数发散．由性质4所得的结论可知，调和级数（4）发散．证法2 由0x >时，ln(1)x x >+知，11ln 1n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，所以1111ln 1nn n i i s i i ==⎛⎫=>+ ⎪⎝⎭∑∑341ln 2ln ln ln 23n n +=++++341ln 223n n +⎛⎫=⋅⋅⋅⎪⎝⎭ln(1)n =+．由于lim limln(1)nn n s n →∞→∞≥+=∞，故调和级数发散．●●例6 -+-+11n n +-+-+的敛散性．解 对级数每两项加括号后所成的级数为2n ∞=∑221n n ∞==-∑2121n n ∞==-∑，而211n n ∞=-∑为调和级数，它是发散的，故知原级数发散． 习 题 10-11．写出下列级数的前5项:384 （1）21(2)n nn ∞=+∑； （2）113(21)24(2)n n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑；（3）11(1)10n n n -∞=-∑；（4）1!(1)nn n n ∞=+∑． 2．写出下列级数的一般项:（1）111246+++；（2）231153759711a a a ++++⋅⋅⋅⋅；（3）35791113149162536-+-+-+-；（42242468x x +⋅⋅⋅⋅ (0x >)．3．判定下列级数的敛散性: （1）1n ∞=∑；（2）11(21)(21)n n n ∞=-+∑；（3）1111223(1)n n ++++⋅⋅+；（4）π2ππsin sin sin 666n ++++；（5）1n ∞=∑；（6）13++；（7）22111111323232n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（8）135721357921n n -+++++++；（9）221(n ∞=∑ （0a >）；（10）23111111111111123nn +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 4．证明下列级数收敛，并求其和：11111447710(32)(31)n n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+．5．若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散时，级数1()n n n u v ∞=±∑的敛散性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数1()n n n u v ∞=±∑散敛性又如何？第二节 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法在第一节中，我们介绍了判别一般常数项级数（即级数的各项可以是正数、负数或者零）是否收敛的方法.如果级数1n n u ∞=∑的每一项都是非负的，即0n u ≥（1n =，2，），则称级数1nn u∞=∑为正项级数． 在这一节，我们将对正项级数给出一些常用的审敛判别法．385设正项级数12n u u u ++++ （1） 的部分和为n s ，显然部分和数列{n s }是单调增加数列，也就是说12n s s s ≤≤≤≤根据单调有界数列必有极限的准则可得，如果部分和数列n s 有界，也就是说存在一正数M ，使得n s M ≤对所有的n 都成立，则级数（1）一定收敛；反之，如果正项级数收敛于s ，则数列{n s }一定有界． 由此可得下面的正项级数收敛的基本定理．正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是它的部分和数列{n s }有界．根据这一定理，我们可以得到正项级数收敛或发散的一些基本判别法则．(比较审敛法）设级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑为两个正项级数，且满足不等式n nu v ≤（1n =，2，）则下面的结论成立：（1）如果级数1n n v ∞=∑收敛， 则级数1n n u ∞=∑也收敛； （2）如果级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．证 （1）设1n n v ∞==∑σ，1n n k k s u ==∑，1nn k k v σ==∑，则由条件知n s =12n u u u +++12n v v v ≤+++n σ=≤1nn vσ∞==∑，即部分和数列{n s }有界，由定理1知级数1n n u ∞=∑收敛．（2）反证法，若正项级数1n n v ∞=∑收敛，则根据（1）知级数1n n u ∞=∑收敛，与1n n u ∞=∑发散矛盾，故级数1n n v ∞=∑发散．由第一节的性质1和性质3可知，级数的每一项同乘以不为零的常数k ，以及去掉级数前面部分的有限项不会影响级数的收敛性，于是可得如下推论：推论 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数．如果从某项开始（比如从第N 项开始），满足不等式n n u kv ≤（n N ≥，0k >），则（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑发散．为了便于应用，我们下面接着给出比较审敛法的极限形式．(比较审敛法的极限形式） 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为给定的两个正项级数，(1) 如果lim nn nu l v →∞=（0l ≤<+∞），且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；386 (2) 如果lim 0n n n u l v →∞=>或lim nn nu v →∞=+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．证 (1) 根据极限的定义，对1ε=，存在自然数N ，使得当n N >时，有不等式1nnu l v <+, 即 (1)n n u l v <+ 而级数1n n v ∞=∑收敛，再由比较审敛法的推论，便可知1n n u ∞=∑收敛.(2) 反证法，如果级数1n n u ∞=∑收敛，则由结论(1)得级数1n n v ∞=∑收敛，但已知级数1n n v ∞=∑发散，矛盾．因此，级数1n n u ∞=∑发散．●●例1 证明级数1131nn ∞=+∑是收敛的． 证 因为11313n n ≤+，而且几何级数113n n ∞=∑收敛，故由比较判别法知，1131nn ∞=+∑是收敛的． ●●例2 判别级数11(0)1nn a a ∞=>+∑的收敛性． 解 （1）当01a <<时，11lim 10110n n a →∞==≠++，所以级数111n n a ∞=+∑发散． （2）当1a =时，11lim 012n n a →∞=≠+，所以级数111n n a ∞=+∑发散． （3）当1a >时，111nn a a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭． 由于级数11nn a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，所以级数111nn a ∞=+∑收敛． 综上所述，当01a <≤时，原级数发散，当1a >时，原级数收敛． ●●例3 级数11111123pp p p n nn ∞==++++∑． （2） 称为p -级数，其中0p >是常数，试讨论p -级数的敛散性．解 （1）当1p ≤时，有 11p n n ≤，由于11n n ∞=∑发散，故由比较审敛法知，级数（2）发散．（2）当1p >时，由1k x k -≤≤知 11p p k x≤，所以111k p pk x k k -=≤⎰d 11k p k x x -⎰d ，（2,3,n =） 从而级数（2）的部分和1n s =+21n p k k =≤∑1+12n k p k k x x -=∑⎰d 11n p x x =+=⎰ d 111111p p n -⎛⎫+- ⎪-⎝⎭111p <+-（2,3,n =）， 故数列{}n s 有界，所以级数（2）收 敛．综上所述可得p -级数11pn n∞=∑当1p >时收敛，当1p ≤时发散． ●●例4 判别下列级数的敛散性：387（1）3132n n n n ∞=+-∑； （2）1111n nn∞+=∑； （3）11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）21e n n n ∞-=∑．解 （1）因为 323323312lim lim 122n n n n n n n n n n →∞→∞++-==-，而211n n ∞=∑收敛，所以级数3132n n n n ∞=+-∑收敛． （2）因为111lim 11nn n nn+→∞==，又级数11n n ∞=∑发散，所以级数1111n nn∞+=∑发散． （3）因为321ln 1lim 11n n n nn →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==， 而级数3121n n∞=∑收敛，所以级数11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭收敛．（4）因为 242e lim lim 01e n n n n n n n -→∞→∞==，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数21e n n n ∞-=∑收敛． ●●例5 判别级数11ln 1p n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．（0p >，且为常数）解 因为1ln 1lim 1p n pn n→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1lim ln 1p n p n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln lim 11p n p n n →∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+= ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 而p -级数11p n n ∞=∑当1p >时收敛，所以当1p >时原级数收敛；当1p ≤时11p n n∞=∑发散，故当1p ≤原级数发散．判别级数的敛散性，如果已知一些收敛级数和发散级数，则可以以它们为标准进行比较．常用于比较的级数有p -级数、等比级数与调和级数，因此必须记住它们．由比较审敛法的定理我们知道，它是通过与某个敛散性已知的级数的比较来判断给定级数的敛散性，但有时作为比较对象的级数不容易找到，那么能不能从给定的级数自身直接判别级数的敛散性？为此，下面我们将给出使用上很方便的比值审敛法和根值审敛法．(比值审敛法） 设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且1lim n n nuu ρ+→∞=．则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛； （2）当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．388 正项级数敛散性的这一判别法称为比值审敛法或达朗贝尔（D alembert '）审敛法．证（1）当1ρ<时，取一个适当小的正数ε，使得1r ρε+=<，由1lim n n nuu ρ+→∞=知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式1n nur u ρε+<+=成立，即有1N N u ru +<， 221N N N u ru r u ++<<， 332N N N u ru r u ++<<，…而等比级数23N N N ru r u r u +++收敛（公比1r <），由比较审敛法可知123N N N u u u ++++++收敛．由于级数1n n u ∞=∑只是比级数1nn N u∞=+∑多了前N 项，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，取一个适当小的正数ε ，使得1ρε->，由极限的定义知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式11n n uu ρε+>->成立，也就是1n n u u +>．所以，当n N >时，级数的一般项逐渐增大，因此lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件可知，级数1n n u ∞=∑发散．类似地，可以证明，当1lim n n nu u +→∞=∞时，级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．例如p -级数11p n n ∞=∑，不论0p >为何值，总有1lim n n nu u +→∞=1(1)lim11pn pn n →∞+=．但我们已经知道当1p >时p -级数收敛，而当1p ≤时p -级数发散．所以，仅根据ρ=1是不能判别级数的敛散性的．●●例6 判别级数2222231232222n n +++++的敛散性． 解 因为22n n n u =，22112(1)112lim lim lim 22n n n n n nnn u n n u n ++→∞→∞→∞++⎛⎫== ⎪⎝⎭112=<，根据比值审敛法，所以原级数是收敛的．●●例7 判别级数2132nn n n ∞=∑的敛散性．解 因为232nn n u n =，所以1limn n nu u +→∞=122212323lim lim (1)232(1)n n n nn n n nn n ++→∞→∞⋅=++2313lim 11221n n →∞⎛⎫⎪==> ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭， 所以级数2132nn n n ∞=∑发散．●●例8 判别级数1111123456(21)2n n+++++⋅⋅⋅-⋅的敛散性．389解 由于1(21)2n u n n =-⋅，所以1lim n n nu u +→∞=(21)2lim 1(21)(22)n n nn n →∞-⋅=++，比值审敛法此时失效．但注意到211(21)2n n n <-⋅，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数11(21)2n n n ∞=-⋅∑收敛． (根值审敛法）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且n ρ=,则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛； （2）当1ρ>（或n =+∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．正项级数敛散性的这一判别法称为根值审敛法或柯西审敛法．证 （1）当1ρ<时，由极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在自然数N ，使得当n N >1r ρε<+=<成立，即nn u r <．由于等比级数1n n r ∞=∑（公比1r <）收敛，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，根据极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在正整数N ，使n N >时，1ρε>->成立，即1n u >．由于lim 0n x u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，根值审敛法失效．仍以p -级数11pn n∞=∑为例，由根值审敛法=1p=→（n →∞）． 即1ρ=，但p -级数当1p >时收敛；当1p ≤时发散．因此在1ρ=时级数的敛散性不能由根值审敛法判定． ●●例9 判别级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解因为11e lim 1<155nn n n n →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以由根值审敛法可知级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛． ●●例10 判别级数ln 123nn n ∞=∑的敛散性．解 因为=ln 23n n=，而当n →∞时，ln nn的极限为0，所以n ln 2lim 3n n n→∞=21=>，因此所给级数发散．390 二、交错级数及其审敛法如果级数的各项是正负交替出现的，也就是形如 1234u u u u -+-+1(1)n n u -+-+ （3） 或 1234u u u u -+-++(1)n n u +-+(3')（0n u >，1,2,n =）的级数称为交错级数．下面的定理说明了如何对于交错级数的敛散性进行判别．(莱布尼兹(Leibniz )审敛法） 如果交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑（0,1,2,n u n >=）满足下面的条件：（1）1n n u u +≥（1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=则级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛，且其和1S u ≤，其误差1n n r u +≤．证 先证交错级数（3）的前2n 项和2n s 的极限存在，其和1s u ≤． 因为2n s 可表示为2n s =1234212()()()n n u u u u u u --+-++-，及 2n s =1234522212()()()n n n u u u u u u u u ----------所以由条件（1）知，括弧中的所有项都是非负的，因此由2n s 的第一种表达形式可知，2n s 单调增加，由2n s 的第二个表达式可知，21n s u <．于是，由单调有界数列必有极限的准则可知，当n 无限增大时，2n s 趋于一个极限s ，且s 不大于1u ，即21lim n n s s u →∞=≤．再证交错级数（3）的前21n +项的和21n s +的极限为s ，且1s u ≤． 因为 21221n n n s s u ++=+， 所以由条件（2）知21lim 0n n u +→∞=，所以21221lim lim lim n n n n n n s s u s ++→∞→∞→∞=+=．由于级数的前2n 项的和与前21n +的和趋于同一极限s ，故级数11(1)n n n u ∞+=-∑的部分和n s 当n →∞时具有极限s ，这就证明了交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛于和s ，并且1s u ≤．对于级数（3）的余项n r ，可写成如下的形式：12()n n n r u u ++=±-+．它的绝对值12||n n n r u u ++=-+．也是一个交错级数，也满足交错级数收敛的两个条件，因此其和不超过级数的第一项1n u +，也就是说 1|| n n r u +． ●●例11 判别级数111111(1)234n n+-+-++-+的敛散性，并求其和s 的近似值（精确到0.1）．解 令1n u n =, 显然有 （1） 1111n n u u n n +=>=+， （1,2,n =）， （2）1lim lim0n n n u n→∞→∞==． 由定理6知，原级数收敛．且11111(1)23n n s s n +≈=-+++-．其中11n rn ≤+．因为取9n =时，9110r ≤0.1=，所以111110.74562349s ≈-+-++≈．391●●例12判别级数1(1))πn n n ∞=-∑的敛散性．解 因为(1))πn n -(1)n =-．又s in n u =是单调减少数列，且lim 0n n n u →∞→∞==．由莱布尼兹审敛法可知，原级数收敛．三、绝对收敛与条件收敛上面我们讨论了正项级数和交错级数敛散性的判别法，如果级数1n n u ∞=∑中的项n u(1,2,)n =是任意实数，则把这种级数称为任意项级数．下面我们来讨论任意项级数的敛散性．如果对于任意项级数1n n u ∞=∑中的各项取绝对值所得的正项级数1||n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1||n n u ∞=∑发散，而级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．由上述定义，容易得到结论：收敛的正项级数是绝对收敛的．绝对收敛级数和收敛级数之间有如下重要关系．如果级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．证 令1(||)2n n n v u u =+ （1,2,3,n =）．则当0n u ≥时，n n v u =；当0n u <时，0n v =，所以0n v ≥，且||n n v v =11||||(||||)22n n n n u u u u =+≤+||n u =．因为级数1||n n u ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n v ∞=∑收敛，从而12n n v ∞=∑也收敛．又因为2||n n n u v u =-，所以级数1n n u ∞=∑是由两个收敛级数逐项相减而形成的, 即11(2||)nnnn n u v u∞∞===-∑∑．由级数的性质2可知，级数1n n u ∞=∑收敛．该定理表明，对于任意项级数1n n u ∞=∑，如果由正项级数审敛法判定级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．进而可知，一些任意项级数的敛散性可借助于正项级数的审敛法而得到判定．一般来说，如果1||n n u ∞=∑发散,我们不能断定1n n u ∞=∑发散,但是,如果我们用比值法或根值法，根据1ρ>判定1||n n u ∞=∑发散,则可断定1n n u ∞=∑发散．这是因为从1ρ>可推知lim 0n n u →∞≠，从而可392 知lim 0n n u →∞≠，因此级数1n n u ∞=∑发散．●●例13 证明级数11sin rn n n α∞+=∑（其中0r >）绝对收敛． 证 因为11sin 1r r n nn α++≤，而级数111r n n ∞+=∑收敛，所以由比较审敛法知，11sin r n n n α+∞+=∑收敛，因此所给级数绝对收敛．●●例14 判别级数2111(1)13n n nn n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解 1113nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而11lim 13nn n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭e13=<．故由根值审敛法知所给级数收敛．由定理7，我们注意到每个绝对收敛的级数都是收敛的，但反过来不一定成立．也就是说，并不是每个收敛级数都是绝对收敛的．例如，级数111111(1)234n n+-+-++-+是收敛级数，但对各项取绝对值后得到的级数为11111234n++++++是调和级数，它是发散的．●●例15 判别级数1np n x n∞=∑的敛散性，若收敛，讨论其是绝对收敛还是条件收敛解 对级数11||n np p n n x x n n ∞∞===∑∑应用根值审敛法，因为||n x =，由此可知： 当||1x <时，p 为任意实数，级数收敛（绝对收敛）；当||1x >时，p 为任意实数，级数发散；当1x =时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)1p ≤时，级数发散； 当1x =-时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)01p <≤时，级数收敛（条件收敛）；(3)0p ≤时，级数发散．绝对收敛级数有一些很好的运算性质，我们不加证明地给出如下：绝对收敛级数不因改变项的位置而改变它的和．1n u 及1n n v ∞=∑都绝对收敛，其和分别为s 和σ，则它们的柯西乘积111221()u v u v u v ++++1211()n n n u v u v u v -+++也是绝对收敛的，且其和为s σ．习 题 10-21．用比较审敛法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：（1）1111253647(1)(4)n n ++++⋅⋅⋅+⋅+;（2）1+111357+++;（3）2221111135(21)n +++++-;（4）2222(sin 2)(sin 4)(sin 2)666nn ++++;393（5）ππππsinsin sin sin 2482n +++++． 2．用比值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）234521333n n ++++++; （2）232332!33!3!323n n n n ⋅⋅⋅+++++;（3）231111sin 2sin 3sin sin 2222n n +⋅+⋅+++;（4）21(!)(3)!n n n ∞=∑; （5）n ∞=; （6）1!n n n n ∞=∑; （7）213n n n ∞=∑． 3．用根值审敛法判定下列各级数的敛散性：（1）152n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; （2）2111n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; （3）2122n n n n n ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ ; （4）131ennn ∞=+∑; （5）1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中(),,,n n a a n a b a →→∞均为正数；（6）1(0,lim ,0)nn n n n n x x a a a a ∞→∞=⎛⎫>=> ⎪⎝⎭∑．4．判别下列级数的敛散性：（1）23433332344444⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （2）()11sin 2n n n n ∞=π+∑;（3）1111(1sin1)sin sin 22nn ⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（4）222222ln 1ln 1ln 1123⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（5）222sin 2sin 2sin 333n n πππ⋅+⋅++⋅+;（6）21cos 32nn n n ∞=π∑； （7）111(e e 2)nn n ∞-=+-∑． 5．判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛？ （1）1(1)n n ∞-=-∑ （2）111(1)8n n n n ∞-=-∑; （3）1311(1)sin n n n ∞-=-∑; （4）111(1)ln n n n n ∞-=+-∑;（5）11111234a a a a -+-+-++++（a 不为负整数）;（6）1111ln 2ln3ln 4ln5-+-+;（7）234111sin sin sin 234πππ-+-πππ;394 （8）22221111sinsin sin sin 1234-+-+．第三节 幂级数一、函数项级数的概念在前两节内容中，我们讨论了常数项级数，这一节我们将研究应用更为广泛的函数项级数．如果1()u x ，2()u x ，, ()n u x ，，是定义在区间I 上的函数列，则由该函数列构成的和式12()()()n u x u x u x ++++（1）称为定义在区间I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数, ()n u x 称为一般项或通项．当x 在区间I 中取某个确定的值0x 时，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数10200()()()n u x u x u x ++++,该级数可能收敛，也可能发散．如果常数项级数01()n n u x ∞=∑收敛，则称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果级数01()nn u x ∞=∑发散，则称点0x是函数项级数1()n n u x ∞=∑的发散点． 函数项级数1()n n u x ∞=∑的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域，所有发散点组成的集合称为它的发散域．对应于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．因此，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，我们把()s x 称为函数项级数的和函数，和函数的定义域就是级数的收敛域，并记为()s x =12()()()n u x u x u x ++++．类似于常数项级数，把函数项级数1()n n u x ∞=∑的前n 项的部分和记为()n s x ，则在收敛域内有lim ()()n n s x s x →∞=．把()()()n n r x s x s x =-仍然称为函数项级数的余项． 当然，只有在收敛域上()n r x 才有意义．于是当1()n n u x ∞=∑收敛时，有lim ()0n n r x →∞=．●●例1 级数12111n n n x x x x ∞--==+++++∑是定义在(,)-∞+∞上的函数项级数．它的前n 项和为()n s x =21111n n x x x xx --++++=-当||1x <时，该级数收敛，其和函数为11x-，且有21111n x x x x-=+++++- （2） 而当||1x ≥时该级数发散．该级数的收敛域为(1,1)-，而其发散域为(,1][1,)-∞-+∞．395二、幂级数及其收敛性在函数项级数中，简单且常见的一类级数就是幂级数．它的表达形式是2012n n a a x a x a x +++++， （3） 或2010200()()()n n a a x x a x x a x x +-+-++-+（4）其中，012,,,,,n a a a a 叫做幂级数的系数．由于在函数项级数00()n n n a x x ∞=-∑中，如果作变换0y x x =-，则级数（4）就变成级数0n n n a y ∞=∑，因此由级数（3）的性质可以推得级数（4）的性质，所以这里我们主要讨论幂级数（3）．由例1 知道，幂级数0n n x ∞=∑的收敛域为（1, 1-），发散域为(,1][1,)-∞-+∞．对于一般的幂级数（3），显然至少有一个收敛点0x =，除此之外，它还有哪些收敛点，怎样得到像例1那样的收敛域呢？对此，下面的阿贝尔（Abel ）定理给出了明确的回答．(阿贝尔定理） 如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =（00x ≠）处收敛，则对于满足0||||x x <的一切x ，幂级数0nn n a x ∞=∑绝对收敛；反之，如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =0(0)x ≠处发散，则对于满足0||||x x >的一切x ，幂级数0n n n a x ∞=∑发散．证 设0x 是幂级数（3）的收敛点，即级数2010200nn a a x a x a x +++++收敛．根据级数收敛的必要条件，有0lim 0nn n a x →∞=．于是，存在一个正数M ，使得nn a x ≤M （0,1,2,3,n =）．从而有0000nnn n nn n n n x x a x a x a x x x =⋅=≤0nx M x ． 因为当0x x <时，等比级数00nn xM x ∞=∑收敛（公比01x x <），所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，故级数0nn n a x∞=∑绝对收敛．定理的第二部分可以用反证法证明．如果幂级数0n n n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时发散，如果有一点1x 适合10||||x x >，10nn n a x ∞=∑收敛，则根据该定理的第一部分的证明可知，级数0nn n a x ∞=∑收敛，这与假设矛盾，定理得证．定理1说明，如果幂级数（3）在0x x =处收敛，则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ，幂级数（3）都收敛；如果幂级数（3）在0x x =处发散，则对于闭区间00[||,||]x x -以外的任何x ,幂级数都发散．由此可知，如果幂级数（3）既有非零的收敛点，又有发散点，则收敛396 点和发散点不可能交错地落在同一区间内，也就是一定存在收敛区间和发散区间的分界点x R =与x R =-（0R >）使得当||x R <时，幂级数（3）绝对收敛；当||x R >时，幂级数（3）发散；当x R =与x R =-时，幂级数（3）可能收敛也可能发散．通常称正数R 为幂级数（3）的收敛半径；开区间(,)R R -称为幂级数（3）的收敛区间． 由幂级数（3）在x R =±处的收敛性可以决定它的收敛域，其收敛域是(,)R R -，[,)R R -(,]R R -，或[,]R R -中之一．如果幂级数（3）只在0x =处收敛，则规定其收敛半径为0R =；如果幂级数（3）对一切x 都收敛，则规定其收敛半径为R =+∞，此时的收敛域为（,-∞+∞）．收敛半径的求法由下面的定理给出．设n a 与1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，且1limn n na a ρ+→∞=．如果 （1）0ρ≠，则1R ρ=；（2）0ρ=，则R =+∞；（3）ρ=+∞，则0R =．证 记nn n u a x =，则1lim n n n u u +→∞=111lim lim ||n n n n n n n na x a x a a x +++→∞→∞=||x ρ=．由比值审敛法知： （1） 当||1x ρ<，即1||x ρ<时，级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛；当||1x ρ>即1||x ρ>时，级数0n n n a x ∞=∑发散，因此收敛半径1R ρ=．（2）如果0ρ=，则对任何0x ≠，有||01x ρ=<，所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛，于是收敛半径R =+∞．（3）如果ρ=+∞，则对于除0x =以外的任何x ，有||1x ρ>，所以对任何0x ≠，幂级数（3）发散，即收敛半径0R =．●●例2 求幂级数231(1)23nn x x x x n +-+++-+的收敛半径、收敛区间和收敛域．解 根据定理2有1lim n n na a ρ+→∞==11lim 11n n n→∞+=，所以收敛半径11R ρ==．所给级数的收敛区间为(1,1)-．对于端点1x =，所给幂级数成为交错级数11111(1)23n n +-+-+-+，该级数收敛． 对于端点1x =-，所给幂级数成为111123n------，该级数发散．故所给级数的收敛域为(1,1]-．●●例3求幂级数212nn n x ∞=∑的收敛域．解 本题为缺项幂级数，由于幂级数相邻两项的系数有零，不能直接求收敛半径．可以397利用比值审敛法来处理，考虑幂级数211||2n n n x ∞=∑，因为2212221||112lim lim 122||2n n n n n n x x x x ++→∞→∞==，当2112x <，即||x <时，级数211||2n n n x ∞=∑收敛； 当2112x >,即||x >,级数211||2n n n x ∞=∑发散；收敛半径R =,收敛区间为(；当x =2111(12nn n n ∞∞===∑∑发散，所以幂级数212n n n x ∞=∑的收敛域为(．●●例4 求幂级数12112n n n x ∞--=∑的收敛半径．解 与标准幂级数（3）比较，级数缺少偶次幂项．因此定理2不能直接应用，但可用比值审敛法来求收敛半径．因1lim n n n u u +→∞=2121212lim 22n n n n n x x x +--→∞=．当221x <，即||x <时，级数收敛；当221x >，即||x >R =●●例5求幂级数n n ∞=的收敛域．解 令1t x =-，则1)n nn n x ∞∞==-=．因为1lim ||1n n n n a a +→∞==,所以收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．当1t =-时，1)nnn n ∞∞===-收敛；当1t =时，nn n ∞∞===所以n n ∞=的收敛域为[1,1)-，即11t -≤<，把1t x =-代入，得02x ≤<,故幂级数nn ∞=[0,2)．三、幂级数的运算如果幂级数2012n n a a x a x a x +++++()s x = 的收敛半径为1R ，而幂级数2012n n b b x b x b x +++++()x σ=的收敛半径为2R ，则（1）幂级数的加法和减法：()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===+=+∑∑∑()()s x x σ=+；398 0()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===-=-∑∑∑()()s x x σ=-．收敛半径为12min{,}R R R =．（2）幂级数乘法：n nnnn n a x b x∞∞==⋅∑∑000110()a b a b a b x =++2021120()a b a b a b x ++++0110()n n n n a b a b a b x -+++++()()s x x σ=⋅．收敛半径为12min{,}R R R =．（3）幂级数除法：220120122012n n n n n n a a x a x a x c c x c x c x b b x b x b x +++++=++++++++++．这里假设00b ≠, 将0nn n b x ∞=∑与0nn n c x ∞=∑相乘，所得多项式的系数分别等于0n n n a x ∞=∑中同次幂的系数，从而可求出012,,,,,n c c c c ． 相除后所得幂级数0n n n c x ∞=∑的收敛区间可能比原来的两级数0nn n a x ∞=∑与0n n n b x ∞=∑的收敛区间小得多．关于幂级数的和函数，有下面的重要性质：如果幂级数0nn n a x ∞=∑收敛半径为R （0R >），和函数为()s x ，即()s x 0n n n a x ∞==∑，则有（1）()s x 在收敛区间(,)R R -内连续，且如果级数0n n n a x ∞=∑在收敛区间的端点x R =（或x R =-）也收敛，则和函数()s x 在x R =处左连续（或在x R =-处右连续）． （2）()s x 在收敛区间（,R R -）内可导，并且有逐项求导公式()()n n n s x a x ∞=''=∑0()n n n a x ∞='=∑11n n n na x ∞-==∑．逐项求导后所得到的新级数收敛半径仍为R ．（3）()s x 在收敛区间（,R R -）内可积，并且有逐项积分公式1()d ()d d 1xxxnnn n n n n n n a s t t a t t a t t x n ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰． 逐项积分后所得到的新级数收敛半径仍为R ．●●例6 求幂级数011nn x n ∞=+∑的收敛域及其和函数． 解 因为1limn n n a a ρ+→∞==1lim 12n n n →∞+=+，故所给级数的收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1, 1)-．当1x =时，原级数成为011n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，原级数成为0(1)1nn n ∞=-+∑，是交错级399数，收敛；因此原级数的收敛域为[1,1)-．设所求级数的和函数为()s x ,即() [1,1)1nn x s x x n ∞==∈-+∑，给上面的等式两端乘以x ，得1()1n n x xs x n +∞==+∑．等式两边求导，得11000[()]()()11n n n n n n x x xs x x n n ++∞∞∞==='''===++∑∑∑1 (||).<11x x =-对上式两端从0到x 积分，得0d ()ln(1)1x txs x x t ==---⎰ (||1)x <．故当0x ≠且[1,1)x ∈-时，1()ln(1)s x x x =--，当0x =时，由2() 1123n n x x x s x n ∞===++++∑，得(0)1s =．因此[)1ln(1), 1,0(0,1),()1, =0.x x s x x x ⎧--∈-⎪=⎨⎪⎩●●例7 求幂级数210(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数，并求01(1)21n n n ∞=-+∑的和．解 级数的收敛半径为1，收敛域为[1,1]-． 设级数的和函数为()s x ，即()s x 21(1)21n nn x n +∞==-+∑， 逐项求导，得()s x '210(1)()21n nn x n +∞='=-+∑20(1)n nn x ∞==-∑20()n n x ∞==-=∑211x +． 对上式从0到x 积分，得2001()d d arctan .1xxs t t t x t '==+⎰⎰即所求和函数为()(0)arctan ,s x s x -=又因为(0)0,s =所以()arctan ,[1,1].s x x x =∈-在原级数中，令1x =，得0(1)21n n n ∞=-+∑arctan1=4π=．习 题 10-31．求下列幂级数的收敛域：（1）2323x x x +++; （2）2342221234x x x x -+-+-;（3）23224246x x x +++⋅⋅⋅; （4）2323222222112131x x x ++++++;（5）23423421!22!23!24!x x x x ++++⋅⋅⋅⋅; （6）23423413233343x x x x ++++⋅⋅⋅⋅;400 （7）2111(1)(21)!n n n x n -∞+=--∑; （8）11(1)(1)n n n x n ∞-=--∑; （9）221212n n n n x ∞-=-∑; （10）nn ∞=．2．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数： （1）231234x x x ++++; （2）111(1)n n n nx ∞--=-∑;（3）41141n n x n +∞=+∑;（4）3535x x x +++，并求11(21)2nn n ∞=-∑的和． 第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数第三节讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，由此可知，一个幂级数()nnn a x x ∞=-∑在它的收敛域内收敛于和函数()s x ，即()s x 00()n n n a x x ∞==-∑．但是，在许多应用中，我们需要解决的是与此相反的问题，也就是对于给定的函数()f x ，它是否可以在某个区间上展开成为幂级数？即是否可以找到一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()f x ，如果可以的话，如何来确定这个幂级数．下面我们就来讨论这个问题．由第三章第二节的泰勒公式可知，如果函数()f x 在点0x 的某个邻域内具有直到(1)n +阶连续导数，则在该邻域内()f x 的n 阶泰勒公式为()f x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-+()00()()()!n n n f x x x R x n +-+ （1） 其中()n R x =(1)10()()(1)!n n f x x n ξ++-+ （ξ介于0x 与x 之间）为拉格朗日型余项． 这时在该邻域内()f x 可用n 次多项式()n P x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+- ()00()()!n n f x x x n ++- （2） 来近似地表示，其误差等于余项的绝对值()n R x ．如果()n R x 随着n 的增大而减小，那么我们就可以用增加多项式的项数的办法来提高精确度．如果()f x 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数()f x ',()f x '',(),(),n f x ，则可以设想多项式（2）的项数趋向无穷而成为幂级数200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-++()00()()!n n f x x x n -+⋅⋅⋅ （3） 幂级数（3）称为函数()f x 在0x 处的泰勒级数．显然，当0x x =时，该级数收敛于0()f x ，但除了0x x =外，该级数是否还收敛？如果收敛的话，是否收敛于()f x ？关于这些问题，下。
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∞
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( −1)n 2. ∑ 的敛散性. n n + 4( −1) ∞ ∞ ( −1)n 1 发散. 解： ∑ | |= ∑ n n n + 4( −1) n + 4( −1) n=17 n=17 ( −1)n ∑ n + 4(−1)n 不满足莱布尼茨条件.
n=17 ∞
n =1 ∞
+∞ 1
f ( x)dx 敛散性相
同.
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9.设 ∑ un 为任意项级数.若 ∑ un 收敛,则 ∑ un 收敛,此 时称 ∑ un 绝对收敛. 10..莱布尼兹判别法 趋于零 设 ∑ (−1) n un 为交错级数( un > 0 ),若 un 单调递减、 则 ∑ (−1) n un 收敛.
a ,在 q ≥ 1时发散. 1− q
3.设 ∑ an 为正项级数,则 ∑ an 收敛的充分必要条件是其部分和数 列有上界.
1 4. p –级数 ∑ p 在 p > 1时收敛,在 p ≤ 1时发散. n
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5.比较判别法 设 ∑ an 、 ∑ bn 为正项级数: (1).若 an ≤ bn ,且 ∑ bn 收敛,则 ∑ an 收敛. (2).若 an ≥ bn ,且 ∑ bn 发散,则 ∑ an 发散. 6.极限判别法: 设 ∑ an 、 ∑ bn 为正项级数,且 lim
高等数学学习方法(FIC)系列讲座10
--------级数的核心性质 哈尔滨工程大学理学院应用数学系
卜长江
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高等数学FIC学习方法
F：基础（基础知识，主要内容、问题）； I：思想（问题的核心、本质、体系）； C：分类解题（将数学问题分为若干类，研究 每一类问题的解法，对每一类问题用较固 定的方法处理）。
sin n + n 3. ∑ ( −1) 的敛散性. 2 n sin n + n n −1 sin n + n 解: ∑ | ( −1) |= ∑ 2 n n2
n −1
n sin n + n n − 1 n − 2 1 n −1 sin n + n n > 1, ≥ ≥ = ⇒ − | ( 1) |发散 ∑ 2 2 2 2 n n n n 2n
1. 5. 若级数 A.
∞
∑a
n 收敛
(an ≥ 0) ,则(
C.
)收敛.
∑
an ln n an + 1 . B. ∑ . n n
∑ (−1)
n
a n an +1
an D. ∑ . 1 + an
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1 1 1. ∑ ( − sin ) 的敛散性. n n =1 n 1 3 解： sin x = x − x + o( x 3 ) 3! 1 1 1 1 − sin ∼ n n 3! n3
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一、 基本性质： 1. 级 数 ∑ an 收 敛 的 必 要 条 件 是 lim an = 0 . 即 : 若 ∑ an 收 敛 , 则
lim an = 0 ;若 lim an ≠ 0 ,则 ∑ an 发散.
n→∞ n→∞
∞ n =1
n→∞
2.等比级数 ∑ aq n−1 在 q < 1时收敛,其和为
∑
∞
∞ ( −1)n ( −1)n =∑ n n + 4( −1) n + 4( −1)n n=17
n − 4( −1)n n − 4( −1)n
( −1)n n − 4 ∞ ( −1)n n 4 =∑ = ∑( − ) n − 16 n − 16 n − 16 n=17 n=17
发散
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sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x ) ~ e x − 1 ~ x 1 1 − cos x ~ x 2 , (1 + x )α − 1 ~ α x (α ≠ 0) 2
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三、例题
1 1 ( sin ) 的敛散性. − ∑ n n =1 n ( −1)n 的敛散性. 2. ∑ n n + 4( −1) n −1 sin n + n 的敛散性. 3. ∑ ( −1) 2 n ∞ 3n n ! 4. ∑ n 的敛散性. n =1 n
∑ (−1)
n −1
sin n + n n −1 sin n n −1 1 = ∑ (( −1) + ( −1) ) 2 2 n n n
条件收敛
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3n n ! 4. ∑ n 的敛散性. n =1 n
∞
3n n ! 解： an = n n
3n+1 ( n + 1)! a n +1 3n+1 ( n + 1)! nn ( n + 1)n+1 lim = lim = lim n n n+1 n→∞ a n→∞ n→∞ n 3 ! n n + 3 ! ( 1) n nn nn n n 3 ) = >1 = 3lim = 3lim( n→∞ ( n + 1) n n→∞ n + 1 e
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级数敛散性一般判别方法（级数部分解题程序图）：
⎧vn → 0 ⇒ Σvn发散 Σvn ⎨ ⎩vn → 0 ⎧ ⎧ ⎧比较判别法 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v Σ 是抽象级数 ⎪ n ⎨若Sn易求, 考虑Sn是否有上界 ⎪ ⎪ ⎪利用limv = 0的"ε -N"定义+比较判别法 Σ v 是正项级数 ⎨ n ⎪ n ⎪ n→∞ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧含n!或qn项 : 用比值判别法 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Σvn是具体级数 ⎨ p级数类: ⎨ 用比较判别法, 不能用比值判别法 ⎩ ⎩ ⎪ ⎧Σ | vn | 收敛 ⇒ Σvn绝对收敛 ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎧Σvn符合莱布尼茨条件 ⇒ Σvn条件收敛 ⎪ ⎪Σv 是任意项级数: 考虑 是交错级数 | | v v Σ Σ ⎪ n ⎨ n ⎨ ⎪ n 将Σvn拆项 | | v Σ 发散 ⎨ ⎩Σvn不符合莱布尼茨条件: ⎪ n ⎪ ⎪ ⎪ 将Σvn拆项 ⎪ ⎩Σvn不是交错级数: ⎩ ⎩
（2） ξ n
+ 1 = n ∫ e dt ≥ n ∫
t2 0
ξn
ξn
0
1 n > 1) ，所以 n−1
∞ ∞ ξn 1 1 ，当 λ > 0 时， ∑ λ 收敛。所以 ∑ λ 收敛。 ≤ λ λ n n ( n − 1) n = 2 n ( n − 1) n =1 n
例 设 ∑ un 收敛,则必收敛的级数为( A. C.
).
∑ (−1)n
un n
B.
∑u
2 n
∑ (u
2n
−u2 n−1 )
D.
∑ (u
n
+un+1 )
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“ 汉 光 杯 ” 哈 工 程 大 学 第 十 六 届 数 学 竞 赛 : 数学竞赛(非专业高年级组)
15.（1）证明方程 n ∫ e dt = x + 1 有根ξ n ∈ (0,1) ，其中 n 为正整数；
1 ln n 1 1 1 = (an + 1 3 ) ≤ (an + 3 ), n ≥ N 2 2 n2 n2 n2
an + 1 1 B. ∼ n n
C. | ( −1)n an an+1 |≤
1 ( an + an+1 ) 2
an D. ≤ an 1 + an
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第一部分：数项级数
级数为何收敛与发散？
正项级数 ∑ an 收敛主要原因：通项 an 趋于零且速度较快。 任意项级数 ∑ an 收敛主要原因：
⎧ an → 0, n → ∞ ⎨ ⎩ an有正的, 有负的,即和中有抵消的部分
例如： ∑
1 (-1) n 发散，而 ∑ 收敛。 n n
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常用的不等式：
1 2 1. ab ≤ (a + b 2 ) 2 2.设α > 0 为常数，则存在 X > 0 ，使得当 x ≥ X 时有 ln x ≤ xα 。 3. x ≥ 0 时， ln(1 + x ) ≤ x ， e x ≥ x + 1。
常用的等价无穷小： x → 0 时:
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5.若级数 A.
∑a
n 收敛
(an ≥ 0) ,则(
C.
)收敛.
∑
an ln n an + 1 . B. ∑ . n n
∑ (−1)
n
a n a n +1
an D. ∑ . 1 + an
解：A.
an ln n = an n
ln n ln n 1 ≤ ( an + 2 ) 2 n n
t2 0
x
（2）证明级数 解： （1）令
1
∑ nλ 当 λ > 0 时收敛.
n =1
∞
ξn
f ( x ) = n ∫ e dt − x − 1 ，则 f (0) = −1 < 0,
t2 0
x
f (1) = n ∫ e dt > 0 , ∃ξ n ∈ (0,1) ，使得： f (ξ n ) = 0.