2020-2021学年山东省济宁市曲阜市九年级(上)期中数学试卷(解析版)
山东省济宁市曲阜市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题 (1)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．点P（﹣2，4）关于坐标原点对称的点的坐标为（ ）
A．（4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（2，4）D．（2，﹣4）
详解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
∴△AIF∽△EDB，
∴ ，∴ ②，
任务：(1)观察发现： ， (用含R，d的代数式表示)；
(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm.
12．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为_________．
13．如图， 为 的直径，弦 于点 ，已知 ， ，则 的半径为______.
14．如图已知二次函数y1＝x2+c与一次函数y2＝x+c的图象如图所示，则当y1＜y2时x的取值范围_____．
15．如图，直线 ： （ ）与 ， 轴分别交于 ， 两点，以 为边在直线 的上方作正方形 ，反比例函数 和 的图象分别过点 和点 .若 ，则 的值为______.
A． B．
C． D．
2021-2022学年山东省济宁市曲阜市九年级(上)期中数学试卷-附答案详解
2021-2022学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程属于一元二次方程的是()=5 D. x2+2x=3A. x2+y+2=0B. x+y=5C. x+1x2.对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是()A. B. C. D.3.将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位，以下错误的是()A. 开口方向不变B. 对称轴不变C. y随x的变化情况不变D. 与y轴的交点不变4.如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC=60°，则∠OAB的度数是()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°5.用配方法解方程x2−6x+5=0，配方后所得的方程是()A. (x+3)2=−4B. (x−3)2=−4C. (x+3)2=4D. (x−3)2=46.已知点A(3,y1)，B(4,y2)，C(−3,y3)均在抛物线y=2x2−4x+m上，下列说法中正确的是()A. y3<y2<y1B. y2<y1<y3C. y3<y1<y2D. y1<y2<y37.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，那么旋转角等于()A. 145°B. 130°C. 135°D. 125°8.某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为()A. 800(1−x)2=968B. 800(1+x)2=968C. 968(1−x)2=800D. 968(1+x)2=8009.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2.已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是()A. 1米B. (4−√7)米C. 2米D. (4+√7)米10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a>0；②b2−4ac>0；③4a+b=1；④不等式ax2+(b−1)x+c<0的解集为1<x<3，正确的结论个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.已知一元二次方程x2+kx−3=0有一个根为1，则k的值为______．12.请写出一个开口向下，并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式______．13.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C.连接BC，若∠P=36°，则∠B=______．14.如图，A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，C点的坐标为(5,3)，D点的坐标为(3,−1).小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是___________．15.对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号max{a,b}表示a、b中较大的数，如：max{2,4}=4，按照这个规定：方程max{x,−x}=2x+1的解为______．x三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）16.解一元二次方程：x2+4x−5=0．17.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(−3,3)，B(0,1)，C(−1,−1)．(1)请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1，并写出点A1，C1的坐标；(2)四边形AC1A1C的面积为______ ．18.已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．19.如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC⏜的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．20.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个.如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．(1)请直接写出y(个)与x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？(3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？21.如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．(1)M是CD的中点，OM=3，CD=12，求圆O的半径长；(2)点F在CD上，且CE=EF，求证：AF⊥BD．22.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD=2S△ABC，求点D的坐标；(3)若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC=S△APB，直接写出点P的坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A.方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B.是二元一次方程，故此选项不符合题意；C.是分式方程，故此选项不符合题意；D.是一元二次方程，故此选项符合题意．故选：D．根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高次数为2次，这样的整式方程为一元二次方程，即可做出判断．此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．故选：A．根据中心对称图形的定义即可作出判断．本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D【解析】解：A、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．B、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．C、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．D、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．故选：D．由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．4.【答案】C【解析】解：∵∠AOC=60°，∠AOC=30°，∴∠B=12∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，故选：C．根据圆周角定理直接来求∠B的度数，进而解答即可．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5.【答案】D【解析】解：∵x2−6x+5=0，∴x2−6x=−5，则x2−6x+9=−5+9，即(x−3)2=4，故选：D．先移项，再两边都加上一次项系数一半的平方，继而写成完全平方式即可．本题主要考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤．6.【答案】D【解析】解：∵抛物线y=2x2−4x+m，=1，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x=−−42×2∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，∵点C(−3,y3)离对称轴最远，点A(3,y1)离对称轴最近，∴y1<y2<y3．故选：D．求得抛物线对称轴为直线x=1，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．7.【答案】B【解析】解：∵∠C=90°，∠B=40°，∴∠BAC=50°，由旋转的性质可知，∠B1AC1=∠BAC=50°，∴∠BAC1=80°，∴∠CAC1=130°，故选：B．根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据旋转变换的性质求出∠BAC1=80°，得到∠CAC的度数即可．本题考查的是旋转变换的性质、三角形内角和定理的应用，旋转变换的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．8.【答案】B【解析】解：依题意得：800(1+x)2=968．故选：B．根据该种植基地2018年及2020年的蔬菜产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：连接OC交AB于D，连接OA，∵点C为运行轨道的最低点，∴OC⊥AB，AB=3(米)，∴AD=12在Rt△OAD中，OD=√OA2−AD2=√42−32=√7(米)，∴点C到弦AB所在直线的距离CD=OC−OD=(4−√7)米，故选：B．AB，根据勾股定理求出OD，结连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD=12合图形计算，得到答案．本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：①抛物线开口向上，则a>0，故正确；②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即△<0∴△=b2−4ac<0，故错误；③由图象可知：抛物线过点(1,1)，(3,3)，即当x=1时，y=a+b+c=1，当x=3时，ax2+bx+c=9a+3b+c=3，∴8a+2b=2，即b=1−4a，∴4a+b=1，故正确；故正确；④∵点(1,1)，(3,3)在直线y=x上，由图象可知，当1<x<3时，抛物线在直线y=x的下方，∴ax2+(b−1)x+c<0的解集为1<x<3，故正确；故选：C．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．11.【答案】2【解析】解：把x=1代入方程得1+k−3=0，解得k=2．故答案是：2．根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1+k−3=0，然后解一元一次方程即可．本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12.【答案】y=−x2+1(答案不唯一)【解析】解：抛物线解析式为y=−x2+1(答案不唯一)．故答案为：y=−x2+1(答案不唯一)．根据二次函数的性质，抛物线开口向下a<0，然后写出即可．本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．13.【答案】27°【解析】解：∵PA切⊙O于点A，AB是直径，∴∠OAP=90°，∵∠P=36°，∴∠AOP=54°，∠AOP=27°．∴∠B=12故答案为：27°．直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP的度数是解题关键．14.【答案】(1,1)或(4,4)【解析】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，∵A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，∴E点的坐标为(1,1)；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，∵A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，∴M点的坐标为(4,4)．综上所述：这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4)．故答案为：(1,1)或(4,4)．分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解．本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．15.【答案】−1或1+√2，【解析】解：当x>−x，即x>0时，方程变形为x=2x+1x去分母得：x2−2x−1=0，=1±√2，解得：x=2±2√22此时x=1+√2，经检验x=1+√2是分式方程的解；，当x<−x，即x<0，方程变形为−x=2x+1x去分母得：x2+2x+1=0，解得：x1=x2=−1，经检验x=−1是分式方程的解，综上，x的值为−1或1+√2，故答案为：−1或1+√2根据题中的新定义化简方程，求出解即可得到x的值．此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.【答案】解：(x+5)(x−1)=0，x+5=0或x−1=0，所以x1=−5，x2=1．【解析】利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17.【答案】16【解析】解：(1)如图，△A1BC1为所作，点A1，C1的坐标分别为(3,−1)，(1,3)；(2)∵AB=A1B，CB=C1B，∴四边形AC1A1C为平行四边形，∴四边形AC1A1C的面积=4×4=16．故答案为16．(1)延长AB到A1使BA1=AB，延长CB到C1，使BC1=BC；(2)利用平行四边形的面积公式．本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．18.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−4m，c=3m2，∴△=b2−4ac=(−4m)2−4×1×3m2=4m2．∵无论m取何值时，4m2≥0，即△≥0，∴原方程总有两个实数根；(2)解：∵x2−4mx+3m2=0，即(x−m)(x−3m)=0，∴x1=m，x2=3m．∵m>0，且该方程的两个实数根的差为2，∴3m−m=2，∴m=1．【解析】(1)根据方程的系数，结合根的判别式可得出△=4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即△≥0，再利用“当△≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；(2)利用因式分解法求出x1=m，x2=3m.由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．本题考查了根的判别式、以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有实数根”；(2)利用因式分解法求出方程的解．19.【答案】解：(1)如图，AE为所作；(2)连接OE交BC于F，连接OC，如图，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴BE⏜=CE⏜，∴OE⊥BC，∴EF=3，∴OF=5−3=2，在Rt△OCF中，CF=√52−22=√21，在Rt△CEF中，CE=√32+(√21)2=√30．【解析】本题考查了作图−作角平分线，圆周角定理，垂径定理及勾股定理等．(1)利用基本作图作AE平分∠BAC；(2)连接OE交BC于F，连接OC，如图，根据圆周角定理得到BE⏜=CE⏜，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．20.【答案】解：(1)由题意，得：y=100−2(x−60)=−2x+220(60≤x≤110)；(2)由题意可得：(−2x+220)(x−40)=2400，解得：x=70或x=80，答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；(3)设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得w=(−2x+220)(x−40)=−2x2+300x−8800=−2(x−75)2+2450，∵−2<0，∴当x=75时，w有最大值，最大值为2450元，答：每件定价为75元时利润最大，最大利润为2450元．【解析】(1)依据每个星期的销售利润=每件的利润×销售的件数列方程求解即可；(2)根据销售利润为2400元列出关于x的一元二次方程，从而可求得售价；(3)利用配方法可求得抛物线的最大值以及此时自变量的取值．本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出y与x的函数关系式是解题的关键．21.【答案】解：(1)连接OD，如图：∵M是CD的中点，CD=12，∴DM=1CD=6，OM⊥CD，∠OMD=90°，2Rt△OMD中，OD=√OM2+DM2，且OM=3，∴OD=√32+62=3√5，即圆O的半径长为3√5；(2)连接AC，延长AF交BD于G，如图：∵AB⊥CD，CE=EF，∴AB是CF的垂直平分线，∴AF=AC，即△ACF是等腰三角形，∵CE=EF，∴∠FAE=∠CAE，∵BC⏜=BC⏜，∴∠CAE=∠CDB，∴∠FAE=∠CDB，Rt△BDE中，∠CDB+∠B=90°，∴∠FAE+∠B=90°，∴∠AGB=90°，∴AG⊥BD，即AF⊥BD．【解析】(1)连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD=90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；(2)连接AC，延长AF交BD于G，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE=∠CAE，又弧BC=弧BC，有∠CAE=∠CDB，故∠FAE=∠CDB，即可由∠CDB+∠B=90°，得∠AGB=90°，从而得证AF⊥BD．本题考查垂径定理及推论，涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠FAE =∠CDB ．22.【答案】解：(1)∵点A 和点B 在二次函数y =x 2+bx +c 图象上，{0=1−b +c 0=9+3b +c， 解得{b =−2c =−3， ∴二次函数的解析式为y =x 2−2x −3；(2)连接BC ，由题意可得：A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)，y =x 2−2x −3，∴S △ABC =12×4×3=6，∵S △ABD =2S △ABC ，设点D(m,m 2−2m −3)，∴12×AB ×|y D |=2×6，即12×4×|m 2−2m −3|=2×6， 解得：m =1+√10或1−√10，代入y =x 2−2x −3，可得：y 值都为6，∴D(1+√10,6)或(1−√10,6)；(3)设P(n,n 2−2n −3)，∵点P 在抛物线位于x 轴上方的部分，∴n <−1或n >3，当点P 在点A 左侧时，即n <−1，可知点C 到AP 的距离小于点B 到AP 的距离，∴S △APC <S △APB ，不成立；当点P 在点B 右侧时，即n >3，∵△APC 和△APB 都以AP 为底，若要面积相等，则点B 和点C 到AP 的距离相等，即BC//AP ，设直线BC 的解析式为y =kx +p ，则{0=3k +p −3=p，解得：{k =1p =−3， 则设直线AP 的解析式为y =x +q ，将点A(−1,0)代入，则−1+q =0，解得：q =1，则直线AP 的解析式为y =x +1，将P(n,n 2−2n −3)代入，即n 2−2n −3=n +1，解得：n =4或n =−1(舍)，∴n 2−2n −3=5，∴点P 的坐标为(4,5)．【解析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)先求出△ABC 的面积，设点D(m,m 2−2m −3)，再根据S △ABD =2S △ABC ，得到方程求出m 值，即可求出点D 的坐标；(3)分点P 在点A 左侧和点P 在点A 右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数的性质，解题的关键是将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．。
2020-2021学年九年级第一学期期中考试数学试卷(含答案)
2020-2021学年九年级第一学期期中考试数学试卷（含答案）一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分）1、抛物线y = 2(x+1)2-3的顶点坐标是（ ）A. (-1，-1)B. （1，3）C. (-1，3)D. （1，-3）2、在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5)(x-3)经变换后得到抛物线y=(x+3(x-5)，则这个变化可以是（ ）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移2个单位3、已知点A(1，-3)关于y 轴的对称点A ′在反比例函数y=k x 的图象上，则实数k 的值为（ ） A. 3 B. 31 C. -3 D. - 314、已知学校航母组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式h=-t 2+24t+1，则下列说法中正确的是( )A. 点火后9s 点火后13s 的升空高度相同B. 点火后24s 火箭落于地面C. 点火后10S 的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m5、已知y=x 2+(t-2)x-2，当x>1时y 随x 的增大而增大，则t 的取值范围是（ ）A. t > 0B. t = 0C. t < 0D. t ≥ 06、如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，AE=3CE ，AB=8，则AD 的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6第6题 第7题 第8题 第9题7、如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ，将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b=( )A. 2：1B. 2：1C. 3：3D. 3：28、如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的对称轴是直线x=1，则以下四个结论中：① abc>0，② 2a+b=0， ③ 4a+b 2< 4ac ，④ 3a+c< 0.正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49、孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则这个小孔的水面宽度为（ ）A. 52米B. 43米C. 7米D. 213米10、若一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x的图象在第二象限内有两个交点，且其中一个交点的横坐标为-1，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图像可能是（ ）A B C D二、填空题（每小题5分，满分20分）11、若35a b b -=，则a b = . 12、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于x 的方程y=ax 2+bx+c 的两个根的和为 .第12题 第13题13、如图，点C 在反比例函数y=k x(x>0)的图像上，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且AB=BC ， 已知△AOB 的面积为1，则k 的值为 .14、已知抛物线y=ax 2+bx-1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛线上. （1）此抛物线的对称轴是直线 ；（2）已知点P （12，-1a），Q （2，2），若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，则a 的取值范围是 . 三、（每小题8分，满分16分）15、已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，3），（2，-1），求此二次函数的表达式，并求出当0≤x ≤3时， y 的最值.16、已知234a b c ==，且a+3b-2c=15，求4a-3b+c 的值 四、（每小题8分，满分16分）17、如图，二次函数y=(x+2)2+m 的图像与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且点B 与点C 关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A(-1,0)及点B.（1）求二次函数的解析式；（2）根据图像，写出满足kx+b ≥(x+2)2+m 的x 的取值范围.18、如图是反比例函数y=k x的图象，当-4≤x ≤-1时,-4≤y ≤-1. （1）求该反比例函数的解析式；（2）若M 、N 分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN 长度的最小值五、（每小题10分，满分20分）19、如图，点R 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AR> RB ，S 1表示AR 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BR 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，求S 3：S 2的值20、如图，在△ABC 中，AB=12cm ，AE=6cm ，EC=4cm ，且EC AE BD AD =.（1）求AD 的长； （2）求证：ACEC AD BD =.六、本题12分21、如图，函数y 1=k 1x+b 的图象与函数22k y x=的图象交于点A(2，1)、B ，与y 轴交于点C （0，3）. （1）求函数y 1的表达式和点B 的坐标； （2）观察图像，比较当x>0时y 1与y 2的大小.七、本题12分22、如图，开口向下的抛物线与x 轴交于点A （-1，0）、B （2，0），与y 轴交于点C(0，4)，点P 是第一象限内抛物线上的一点.（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP 的面积为S 求S 的最大值.八、本题14分x（1≤x≤80）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x≤40 41≤x≤80售价（元/件）x+40 90每天销量（件） 200-2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元。
山东省济宁市曲阜市、鱼台县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年山东省济宁市曲阜市、鱼台县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（3分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．赵爽弦图B ．笛卡尔心形线C ．科克曲线D ．斐波那契螺旋线2．（3分）下列函数中，y 是x 反比例函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）二次函数y ＝（x ﹣2）2﹣8的顶点坐标为（ ）A ．（2，﹣8）B ．（2，8）C ．（﹣2，8）D ．（﹣2，﹣8）4．（3分）某小组做“用频率估计棍率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）A ．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上B ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”C ．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D ．任意写一个整数，它能被2整除2xy =-21y x =+2y x =2y x=-5．（3分）关于的方程mx2+2x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）A．m＜1B．m≤1C．m＜1且m≠0D．m≤1且m≠06．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠BDC的度数为（ ）A．62°B．52°C．28°D．56°7．（3分）如图，反比例函数的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值是（ ）A．3B．﹣3C．2D．﹣28．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（ ）A．B．C．D．9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：BE＝3：4，BD与CE交于O，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．410．（3分）如图，一段抛物线y＝﹣x2+4x（0≤x≤4），记为抛物线C1，它与x轴交于点O，A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3．…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2023，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）A．﹣3B．3C．﹣4D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．（3分）点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是 ．12．（3分）若a、b是方程x2+2x﹣2023＝0的两实数根，则a2+3a+b＝ ．13．（3分）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式的解集是 ．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为 ．15．（3分）如图所示，扇形AOB中，∠AOB＝140°，点C为OA中点，OA＝8，CD⊥AO交于D，以OC 为半径画交OB于E，则图中阴影部分面积为 ．三、解答题：本大题共7小题，共55分.16．（6分）（1）解方程：x2+6x﹣7＝0；（2）计算：4sin45°﹣+（﹣1）0﹣tan30°．17．（6分）如图，在直角坐标系中，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格中，解答下列问题：（1）以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1，画出△AB1C1．（2）以C1为旋转中心，将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1．①画出△A1B2C1；②求点A的运动路径长．18．（6分）2018年9月，第24届山东省运动会在青岛举行，有20名志愿者参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；（2）若该分会场的某项工程只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．19．（8分）曲阜尼山圣境孔子像，背山面湖，面南而立，为世界最高最大的孔子像，成为儒客和游人朝拜、瞻仰必到之处．一游客想知道孔子像AB的高度．如图，AB与水平面BD垂直，在点D处测得顶部A的仰角是37°，向前走了24米至点E处，测得此时顶部A的仰角是45°，请聪明的你帮他求出孔子像AB的高度．（参考数据：，，）20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．21．（8分）正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．（1）如图1，双曲线过点E，求点E的坐标和反比例函数的解析式；（2）如图2，将正方形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线与AB交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．22．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．2023-2024学年山东省济宁市曲阜市、鱼台县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（3分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．赵爽弦图B ．笛卡尔心形线C ．科克曲线D ．斐波那契螺旋线【解答】解：A ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C ．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D ．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C ．2．（3分）下列函数中，y 是x 反比例函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、y ＝﹣不符合y ＝的形式，不是反比例函数，不符合题意；B 、y ＝不符合y ＝的形式，不是反比例函数，不符合题意；C 、y ＝是反比例函数，符合题意；D 、y ＝﹣x 2不符合y ＝的形式，不是反比例函数，不符合题意．故选：C ．3．（3分）二次函数y ＝（x ﹣2）2﹣8的顶点坐标为（ ）A ．（2，﹣8）B ．（2，8）C ．（﹣2，8）D ．（﹣2，﹣8）【解答】解：已知二次函数顶点式：y ＝a （x ﹣h ）2+k 的顶点为（h ，k ），∴y ＝（x ﹣2）2﹣8的顶点坐标为（2，﹣8）．故选：A ．4．（3分）某小组做“用频率估计棍率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）2xy =-21y x =+2y x =2y x=-A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D．任意写一个整数，它能被2整除项不符合题意；此选项符合题意；近于0.33不符，此选项不符合题意；故选：B．5．（3分）关于的方程mx2+2x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）A．m＜1B．m≤1C．m＜1且m≠0D．m≤1且m≠0【解答】解：∵关于的方程mx2+2x+1＝0有两个实数根，∴m≠0且△≥0，即22﹣4×m×1≥0，解得m≤1且m≠0．故选：D．6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠BDC的度数为（ ）A．62°B．52°C．28°D．56°【解答】解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∠BFD＝90°，∴∠ABD＝∠CEA＝28°，∴∠BDC＝90°﹣28°＝62°．故选：A．7．（3分）如图，反比例函数的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值是（ ）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【解答】解：设点B（a，b），∴OD＝﹣a，BD＝b，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，点P为BD的中点，∵BD⊥CD，∴BD⊥AB，又∵∠DOA＝90°，∴四边形ABDO为矩形，∴AB＝OD，∴OD＝CD＝﹣a，∵▱ABCD的面积为6，∴CD•BD＝6，即﹣ab＝6，∵点P为BD的中点，∴点P的坐标为（a，b），∵反比例函数的图象经过点P，∴k＝ab＝﹣3．故选：B．8．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵AB＝5，BC＝＝5，AC＝＝，∴BA＝BC，∴∠ACB＝∠CAB，∴cos∠ACB＝cos∠CAB＝＝，故选：D．9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：BE＝3：4，BD与CE交于O，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵AE：BE＝3：4，∴，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，＝，则①，②错误；∵DE∥BC，∴△EOD∽△COB，∴＝，则③正确；∵△EOD∽△COB，∴，∴，∴，则④正确；故选：B．10．（3分）如图，一段抛物线y＝﹣x2+4x（0≤x≤4），记为抛物线C1，它与x轴交于点O，A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3．…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2023，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）A．﹣3B．3C．﹣4D．4【解答】解：∵y＝﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），∴A1（4，0），∴整个函数图象，每隔4×2＝8个单位长度，函数值就相等，∵2023÷8＝252……7，∴m的值与x＝7时的函数值相同，∵x＝7在C2上，∵将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2，∴OA1＝A1A2，∴A2（8，0），∴C2：y＝（x﹣4）（x﹣8），当x＝7时，y＝m＝（7﹣4）×（7﹣8）＝﹣3；故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．（3分）点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是 （1，﹣2） ．【解答】解：点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是（1，﹣2）．故答案为：（1，﹣2）．12．（3分）若a、b是方程x2+2x﹣2023＝0的两实数根，则a2+3a+b＝ 2021 ．【解答】解：∵a是方程x2+2x﹣2023＝0的根，∴a2+2a﹣2023＝0，即a2+2a＝2023，∵a，b是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣2，∴a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝2023﹣2＝2021．故答案为：2021．13．（3分）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式的解集是 ﹣1＜x＜0或x＞2 ．【解答】解：由题意得，不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，∴不等式的解集是﹣1＜x＜0或x＞2．故答案为：﹣1＜x＜0或x＞2．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为 ．【解答】解：方法一：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO＝2，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP′＝，∴则PQ的最小值为2OP′＝，方法二：过点A作AE⊥BC垂足为E当PQ⊥BC时，符合题意，则四边形AEPQ是矩形，∴PQ＝AE＝2.4．故答案为：．15．（3分）如图所示，扇形AOB中，∠AOB＝140°，点C为OA中点，OA＝8，CD⊥AO交于D，以OC为半径画交OB于E，则图中阴影部分面积为 8π+8 ．【解答】解：如图，连接OD．∵点C为OA中点，OA＝8，∴OC＝OA＝4，∵OD＝OA＝8，CD⊥AO，∴∠CDO＝30°，∴∠COD＝60°，∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCE﹣（S扇形OAD﹣S△OCD）＝﹣﹣（﹣×4×4）＝8π+8，故答案为：8π+8．三、解答题：本大题共7小题，共55分.16．（6分）（1）解方程：x2+6x﹣7＝0；（2）计算：4sin45°﹣+（﹣1）0﹣tan30°．【解答】解：（1）∵x2+6x﹣7＝0，∴（x+7）（x﹣1）＝0，∴x1＝﹣7，x2＝1（2）原式＝17．（6分）如图，在直角坐标系中，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格中，解答下列问题：（1）以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1，画出△AB1C1．（2）以C1为旋转中心，将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1．①画出△A1B2C1；②求点A的运动路径长．【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求；（2）①如图所示，△A1B2C1即为所求；②由图形可知，AC1＝＝2，∴点A的运动路径为＝＝π．18．（6分）2018年9月，第24届山东省运动会在青岛举行，有20名志愿者参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；（2）若该分会场的某项工程只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．【解答】解：（1）∵共20名志愿者，女生12人，∴选到女生的概率是：＝；（2）不公平，根据题意画图如下：∵共有12种情况，和为偶数的情况有4种，∴牌面数字之和为偶数的概率是＝，∴甲参加的概率是，乙参加的概率是，∴这个游戏不公平．19．（8分）曲阜尼山圣境孔子像，背山面湖，面南而立，为世界最高最大的孔子像，成为儒客和游人朝拜、瞻仰必到之处．一游客想知道孔子像AB的高度．如图，AB与水平面BD垂直，在点D处测得顶部A的仰角是37°，向前走了24米至点E处，测得此时顶部A的仰角是45°，请聪明的你帮他求出孔子像AB的高度．（参考数据：，，）【解答】解：由题意得DE＝24米，在Rt△ABE中，∠AEB＝45°，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE．设AB＝BE＝x米，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，∴tan37°＝，∴≈，解得x＝72，经检验x＝72是原方程的解，∴AB＝72米．答：孔子像AB的高度为72米．20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠BDC＝∠A，∴∠BDC+∠ODB＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠ADB＝90°，tan∠BED＝，∴，∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，∴△BDC∽△DAC，∴＝，∵AC＝9，∴，∴CD＝6，∴，∴BC＝4，∴AB＝AC﹣BC＝9﹣4＝5．∴⊙O的半径为．21．（8分）正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．（1）如图1，双曲线过点E，求点E的坐标和反比例函数的解析式；（2）如图2，将正方形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线与AB交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E，∴C（4，4），∵点E是OC的中点，∴E（2，2），将E点坐标代入双曲线，得2＝，解得k1＝4，∴双曲线的解析式为y＝；（2）∵正方形边长为4，由（1）知E（2，2），∴AE＝2，①当AP＝AE＝2时，∵P（m，2），E（m+2，2），点P、E在反比例函数图象上，∴2m＝2（m+2），∴m＝2+2；②当EP＝AE时，点P与点B重合，∵P（m，4），E（m+2，2），点P、E在反比例函数图象上，∴4m＝2（m+2），∴m＝2；③当EP＝AP时，点P、E不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在；综上所述，满足条件的m的值为2或2+2．22．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+6，∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，连接FB，设F（x，﹣x2+2x+6），则FG＝|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，∴△FBG∽△BDE，∴＝，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，∴BG＝6﹣x，∴＝，当点F在x轴上方时，有＝，解得x＝﹣1或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；当点F在x轴下方时，有＝﹣，解得x＝﹣3或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，﹣）；综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上，∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．。
2020-2021学年济宁市曲阜市九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年济宁市曲阜市九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若关于x的一元二次方程是ax2−3x+2=0有实数根，则a的值可以是()A. a=1B. a=2C. a=3D. a=02.下列“表情图”中，不是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.m是方程x2+x−1=0的根，则式子2m2+2m+2020的值为()A. 2018B. 2019C. 2021D. 20224.抛物线y=x2−4x−2的顶点坐标是()A. (2,6)B. (−2,−6)C. (2,−6)D. (−2,6)5.如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°.则∠BAD的度数是()A. 72°B. 54°C. 45°D. 36°6.如图，△ABO的顶点坐标分别为A(1,4)，B(2,1)，O(0,0)，如果将△ABO绕点O按逆时针方向旋转90○，得到△A′B′O，那么点A′，B′的对应点的坐标是()A. A′(一4，2)，B′(一1，1)B. A′(−4,1)，B′(−1,2)C. A′(−4,1)，B′(−1,1)D. A′(−4,2)，B′(−1,2)7.二次函数y=x2−2ax+3(a为常数)在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y有最小值2a，则a的值为()A. −3B. 1C. 76D. 328.如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，连接交⊙O于点，连接，则的度数是()A.B.C.D.9.若关于x的一元二次方程(k−2)x2−2kx+k=0有实数根，则k的取值范围为()A. k≥0B. k≥0且k≠2C. k≥32D. k≥32且k≠210.已知二次函数y=kx2−7x−7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为A. k>B. k<且k≠0C. k≥D. k>且k≠0二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.平面直角坐标系中，点P的坐标是(2,−1)，则点P关于原点对称的点的坐标是______．12.当m______ 时，函数y=(m2−2m−3)x2+(m−2)x+m是二次函数．13.波音公司生产某种型号飞机，7月份的月产量为50台，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98台，设8、9月飞机生产量平均每月增长率为x，则可列方程为______ ．14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠DAC=30°，AC=12，BC=5√3，点P从B点出发，沿着边BC运动到点C停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则BP的长是______ ．15.在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为ρ(希腊字母读作“柔”)，OP看作由x轴的正半轴逆时针旋转而成的夹角α，则用[ρ,α]表示点P的雷达坐标，则点P(−7,7)的雷达坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）16.解方程：x(x−1)=3(x−1)．17.如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−2,3)，B(−6,0)，C(−1,0)．(1)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；(2)请直接写出：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．18.某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y 1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：月份x123456789价格y 1(元/件)560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y 2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y 1与x之间的函数关系式．根据如图所示的变化趋势，直接写出y 2与x之间满足的一次函数关系式；(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其他成本30元，该配件在1至9月的销售量p 1(万件)与月份x满足函数关系式p 1=0.1x+1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p 2(万件)与月份x满足函数数关系式p 2=−0.1x+2.9(10≤x≤12，且x取整数).求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20％，其他成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a％，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a％.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992=9801，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025)19. 已知：关于x的方程mx2−3(m−1)x+2m−3=0.求证：m取任何实数时，方程总有实数根．20. 如图，在△ABC中，CA=CB，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD、BE，延长BE交AD于点F．(1)求证：△ABD是等边三角形；(2)求证：BF⊥AD，AF=DF．21. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E，F.求证：四边形DECF是正方形．22. 已知直线y=12x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=12x2+mx−2经过点A，和x轴的另一个交点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；(3)如图2，经过点M(−4,1)的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE⋅OF的值．备注：抛物线顶点坐标公式(−b2a ,4ac−b24a)参考答案及解析1.答案：A解析：试题分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且△=32−4×a×2≥0，然后求出a的取值范围，再对各选项进行判断．根据题意得a≠0且△=32−4×a×2≥0，且a≠0．解得a≤98故选A．2.答案：D解析：解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．根据轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3.答案：D解析：解：∵m是方程x2+x−1=0的根，∴m2+m−1=0，即m2+m=1，∴2m2+2m+2020=2(m2+m)+2020=2+2020=2022．故选：D．根据一元二次方程的解的定义得到m2+m−1=0，即m2+m=1，然后利用整体代入的方法计算2m2+2m+2015的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4.答案：C解析：解：∵y=x2−4x−2=(x−2)2−6，∴抛物线的顶点坐标是(2,−6)．故选C．。
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
山东省济宁市2021年九年级上学期数学期中考试试卷(I)卷
山东省济宁市2021年九年级上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017八下·山西期末) 以下五家银行行标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）一元二次方程的一次项系数和常数项依次是A . -1和1B . 1和1C . 2和1D . 0和13. （2分）已知函数：①y=3x﹣1；②y=3x2﹣1；③y=3x3+2x2；④y=2x2﹣2x+1，其中二次函数的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）(2016·宜宾) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C 落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A .B . 2C . 3D . 25. （2分） (2020八上·南召期末) 已知x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A . 20或16B . 20C . 16D . 126. （2分） (2016九下·临泽开学考) 将方程x2﹣6x﹣5=0化为（x+m）2=n的形式，则m，n的值分别是（）A . 3和5B . ﹣3和5C . ﹣3和14D . 3和147. （2分） (2016九上·鼓楼期末) 已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（）A . m﹣1＞0B . m﹣1＜0C . m﹣1=0D . m﹣1与0的大小关系不确定8. （2分）二次函数的图象如图所示，反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共10分)9. （1分）在直角坐标系中，点（﹣4，1）关于原点对称的点的坐标是________．10. （1分） (2018九上·昆明月考) 把方程（x﹣1）（x﹣2）=4化成一般形式是________.11. （1分） (2018九上·杭州月考) 请选择一组你喜欢的、、的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下，②对称轴是直线；③顶点在轴下方，这样的二次函数的解析式可以是________．12. （5分）(2018·莱芜) 已知x1 ， x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=________．13. （1分） (2016九上·防城港期中) 某抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），开口方向、形状与抛物线y=3x2相同，则此抛物线的解析式是________．14. （1分）(2019·温州) 图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO ＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为________分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为________分米．三、解答题 (共9题；共81分)15. （10分） (2018九上·武汉月考) 解方程：（1） 2x2－16＝0；（2） x(x－2)＋x－2＝016. （5分） (2016九上·三亚期中) 青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．17. （5分） (2017七上·温岭期末) 如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC ，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方.（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图1所示，此时∠BOM=；在图1中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示,使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM 与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为________（直接写出结果）.18. （10分）已知二次函数y=﹣x2+4x．（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．19. （10分）(2018·仙桃) 已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．20. （10分）(2018·吉林模拟) （某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？21. （10分） (2019九上·秀洲期中) 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为150件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售单价为（元，每天的销售量为（件，每天所得的销售利润（元．（1）求出与之间的函数关系式；（2）求出与之间的函数关系式，并求当销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润为多少？22. （6分） (2018八上·大石桥期末) 如图，①在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；②在x轴上找出一点P, 使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）23. （15分）(2019·广州模拟) 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝ x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝ x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共10分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共9题；共81分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、第11 页共11 页。
2020-2021学年山东省济宁市曲阜市九年级(上)第三次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年山东省济宁市曲阜市九年级第一学期第三次月考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．将汽油滴在水中，汽油会浮在水面上D．如果a2＝b2，那么a＝b2．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x﹣4＝0B．x2﹣4x+10＝0C．x2﹣4x+4＝0D．x2+4x﹣5＝0 3．（3分）若将抛物线y＝﹣x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y＝﹣（x+3）2﹣2B．y＝﹣（x﹣3）2﹣2C．y＝（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x+3）2+24．（3分）若1﹣是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（）A．﹣2B．4﹣2C．3﹣D．1+5．（3分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3 6．（3分）函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（m，2），N（n，﹣1）．若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞18．（3分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB 的长为8cm，则图中阴影部分的面积为（）cm2．A．9πB．16πC．25πD．36π9．（3分）如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π+10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共5小题）.11．（3分）请写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式：．12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是．13．（3分）若点P（n，1），Q（n+6，3）在反比例函数图象上，请写出反比例函数的解析式．14．（3分）为了估计一个鱼塘里鱼的多少，第一次打捞上来20条，做上记号放入水中，第二次打捞上来50条，其中4条有记号，鱼塘大约有鱼．15．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．三、解答题：（55分）16．（5分）解方程：2x2﹣4x＝1（用配方法）17．（7分）如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（不要求写作法）（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．18．（7分）在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张．（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；（2）我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点A、与y轴交于点B，连接AB．（1）求证：P为线段AB的中点；（2）求△AOB的面积．20．（8分）已知：△ABC中∠ACB＝90°，E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于D，与AC相交于F，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）连接OC，如果∠B＝30°，CF＝1，求OC的长．21．（10分）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．（1）y关于x的函数关系式是，x的取值范围是；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．22．（10分）我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y 轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．（1）求⊙C的标准方程；（2）求抛物线的解析式；（3）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．将汽油滴在水中，汽油会浮在水面上D．如果a2＝b2，那么a＝b解：A、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上，是随机事件，不符合题意；B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；C、将汽油滴在水中，汽油会浮在水面上，是必然事件，符合题意；D、一如果a2＝b2，那么a＝b，是随机事件，不符合题意；故选：C．2．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x﹣4＝0B．x2﹣4x+10＝0C．x2﹣4x+4＝0D．x2+4x﹣5＝0解：A、△＝（﹣2）2﹣4×（﹣4）＝20＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B、△＝（﹣4）2﹣4×10＝﹣24＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C、△＝（﹣4）2﹣4×4＝0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项不符合题意；D、△＝42﹣4×（﹣5）＝36＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．3．（3分）若将抛物线y＝﹣x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y＝﹣（x+3）2﹣2B．y＝﹣（x﹣3）2﹣2C．y＝（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x+3）2+2解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣2），所以，平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）2﹣2．故选：A．4．（3分）若1﹣是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（）A．﹣2B．4﹣2C．3﹣D．1+解：∵关于x的方程x2﹣2x+c＝0的一个根是1﹣，∴（1﹣）2﹣2（1﹣）+c＝0，解得，c＝﹣2．故选：A．5．（3分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣3＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜x2＜0，∴A、B两点在第二象限，C点在第三象限，∴y2＞y1＞y3．故选：A．6．（3分）函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝（k≠0）过一、三象限；②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象象限；y＝（k≠0）过二、四象限．观察图形可知，只有B选项符合题意．故选：B．7．（3分）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（m，2），N（n，﹣1）．若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞1解：∵点M（m，2），N（n，﹣1）分别代入y1＝x+1，求得m＝1，n＝﹣2，∴M（1，2），N（﹣2，﹣1），根据图象得到若y1＞y2，则x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1，故选：D．8．（3分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB 的长为8cm，则图中阴影部分的面积为（）cm2．A．9πB．16πC．25πD．36π解：连接OC，OB，∵AB于小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC＝AC＝AB＝×8＝4（cm），∵圆环（阴影）的面积＝π•OB2﹣π•OC2＝π（OB2﹣OC2），又∵Rt△OBC中，OB2＝OC2+BC2，∴圆环（阴影）的面积＝π•OB2﹣π•OC2＝π（OB2﹣OC2）＝π•BC2＝16π（cm2），故选：B．9．（3分）如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π+解：连接CD、OC、OD．∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC＝OD，∴△OAC、△OCD是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∵弧CD的长为，∴＝，解得：r＝1，∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．故选：A．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，∴b＝4a，c＝﹣5a，∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，故①正确，5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故②错误，∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故④错误，故选：B．二、填空题：（15分）11．（3分）请写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式：y＝2（x+1）2（答案不唯一）．解：顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，即k＝0，例如y＝2（x+1）2．（答案不唯一）12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是65π．解：由已知得，母线长l＝13，半径r为5，∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝13×5×π＝65π．故答案为65π．13．（3分）若点P（n，1），Q（n+6，3）在反比例函数图象上，请写出反比例函数的解析式y＝﹣．解：设反比例函数解析式为y＝，由题意得，k＝n＝3（n+6），解得n＝﹣9，k＝﹣9，∴反比例函数的解析式为y＝﹣，故答案为y＝﹣．14．（3分）为了估计一个鱼塘里鱼的多少，第一次打捞上来20条，做上记号放入水中，第二次打捞上来50条，其中4条有记号，鱼塘大约有鱼250．解：设鱼塘中估计有鱼x条，依题意得50：4＝x：20，∴x＝250．∴鱼塘中估计有鱼250条．故答案为：250．15．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得BC＝4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即5×OE+2×OE＝2×3，解得OE＝，∴⊙O的半径是．故答案为：．三、解答题：（55分）16．（5分）解方程：2x2﹣4x＝1（用配方法）解：方程整理得：x2﹣2x＝，配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．17．（7分）如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（不要求写作法）（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．解：（1）作图如图：（2）线段BC所扫过的图形如图所示．根据网格图知：AB＝4，BC＝3，所以AC＝5，阴影部分的面积等于扇形ACC1与△ABC的面积和减去扇形ABB1与△AB1C1，故阴影部分的面积等于扇形ACC1减去扇形ABB1的面积，两个扇形的圆心角都90度．∴线段BC所扫过的图形的面积S＝π（AC2﹣AB2）＝（cm2）．18．（7分）在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张．（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；（2）我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6，所以抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率＝＝．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点A、与y轴交于点B，连接AB．（1）求证：P为线段AB的中点；（2）求△AOB的面积．【解答】（1）证明：∵点A、O、B在⊙P上，且∠AOB＝90°，∴AB为⊙P直径，即P为AB中点；（2）解：∵P为（x＞0）上的点，设点P的坐标为（m，n），则mn＝12，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，∴M的坐标为（m，0），N的坐标为（0，n），且OM＝m，ON＝n，∵点A、O、B在⊙P上，∴M为OA中点，OA＝2 m；N为OB中点，OB＝2 n，∴S△AOB＝OA•O B＝2mn＝24．20．（8分）已知：△ABC中∠ACB＝90°，E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于D，与AC相交于F，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）连接OC，如果∠B＝30°，CF＝1，求OC的长．【解答】（1）证明：连接OD，∴OD＝OA，∴∠1＝∠2，∵BC为⊙O的切线，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AD是∠BAC的平分线；（2）解：连接DF，∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠3＝30°，∵BC是⊙O的切线，∴∠FDC＝∠3＝30°，∴CD＝CF＝，∴AC＝CD＝3，∴AF＝2，过O作OG⊥AF于G，∴GF＝AF＝1，四边形ODCG是矩形，∴CG＝2，OG＝CD＝，∴OC＝＝．21．（10分）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．（1）y关于x的函数关系式是y＝，x的取值范围是x＞0；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．解：（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，∴xy＝2，∴xy＝4，∴y关于x的函数关系式是y＝，x的取值范围为x＞0，故答案为：y＝，x＞0；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，解，整理得，x2﹣（3+a）x+4＝0，∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个交点，∴△＝（3+a）2﹣16＝0，解得a＝1，a＝﹣7（不合题意舍去），故此时a的值为1．22．（10分）我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y 轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．（1）求⊙C的标准方程；（2）求抛物线的解析式；（3）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．∵与y轴相切于点D（0，4），∴CD⊥OD，∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，∴四边形ODCM是矩形，∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，∵B（8，0），∴OB＝8，∴BM＝8﹣r，在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，∴r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5，∴C（5，4），∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．（2）点C的坐标为（5，4），则抛物线的对称轴为x＝5，点B（8，0），根据函数的对称性，点A（2，0），则抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）（x﹣8），将点D的坐标代入上式得：4＝a（﹣2）（﹣8），解得a＝，故抛物线的表达式为y＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣x+4．（3）结论：AE是⊙C的切线．理由：连接AC，CE．由抛物线的表达式知，顶点E（5，﹣），∵AE＝＝，CE＝4+＝，AC＝5，∴EC2＝AC2+AE2，∴∠CAE＝90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙C的切线．。
【市级联考】山东省曲阜市2021届九年级上学期期中考试数学试题
【分析】
利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．
17．某中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与设计．小明同学方案如图，设计草坪的总面积为540平方米，求道路的宽．
18．已知m、n是方程x2﹣4x﹣12的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）
A．1或−2B．− 或
C． D．1
二、填空题
10．请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是1；②方程有两个相等的实数根，此方程可以是________．
11．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为_____．
2．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB=50°，那么∠AOB的度数是（）
A．90°B．95°C．100°D．120°
3．函数 的图象大致为（）
A． B． C． D．
4．下列方程中没有实数根的是（）
A．x2﹣x﹣1=0B．x2+3x+2=0
C．2018x2+11x﹣20=0D．x2+x+2=0
作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO=∠A′C′O=90°.
∵∠COC′=90°，
∴∠AOA′−∠COA′=∠COC′−∠COA′，
∴∠AOC=∠A′OC′.
在△ACO和△A′C′O中，
，
∴△ACO≌△A′C′O(AAS)，
∴AC=A′C′,CO=C′O.
∵A(−2,5)，
2020-2021学年山东省济宁市曲阜市九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）若关于x的方程（a﹣2）x2+x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为（）A．a＝2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a≠22．（3分）下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9B．4.5C．3D．﹣34．（3分）抛物线y＝2（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣25．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠DAC＝25°，则∠CAB的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．（3分）如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣1）C．（0，0）D．（﹣1，﹣1）7．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（）A．（0，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，1）8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P ＝30°，则AC＝（）A．4B．4C．4D．39．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0且k≠1B．k≠1C．k≥0D．k≤010．（3分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝．12．（3分）已知是二次函数，则m＝．13．（3分）某测温仪公司2020年四月份生产测温仪1000台，2020年六月份生产测温仪4000台，设五、六月份每月的平均增长率为x，根据题意可列方程．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将Rt△OAB绕点O逆时针旋转60°后得到Rt△OA1B1，依此方式，绕点O连接旋转20次得到Rt△OA20B20，如果点A的坐标为（1，），那么点B20的坐标为．三、解答题（共7小题，满分55分）16．（6分）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．17．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．18．（7分）如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）任取一个你喜欢的m值代入，并求出此时方程的根．20．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC．（Ⅰ）把△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E落在AB边上，用尺规作图的方法作出△DEC；（保留作图痕迹，不写作法）（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接AD，求证：AD＝BC．21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O 是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．22．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．（1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P在第四象限，连接P A、PE及AE，当t为何值时，△P AE的面积最大？最大面积是多少？（3）是否存在点P，使△P AE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期中数学试卷试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．【解答】解：由题意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，故选：D．2．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．3．【解答】解：把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，解得a＝4.5．故选：B．4．【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2﹣8的对称轴是：直线x＝﹣1．故选：B．5．【解答】解：∵弧AD＝弧CD，∴∠ABD＝∠DAC＝25°，∴∠ADB＝90°，∴∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝65°﹣25°＝40°．故选：B．6．【解答】解：如图，点M的坐标是（1，﹣1），故选：B．7．【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位长度，得：y＝2（x+1）4﹣1；再向上平移2个单位长度，得：y＝2（x+4）2+1．故选：D．8．【解答】解：∵P A切⊙O于点A，∴OA⊥P A，在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∵∠AOP＝∠C+∠OAC＝60°，∴∠C＝30°，故选：A．9．【解答】解：由题意可知：k﹣1≠0且4k2﹣4k（k﹣1）≥0，∴k≥0且k≠8，故选：A．10．【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，且开口向下，∴x＝1时，y＝a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x＝﹣1时，a﹣b+c＝7，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2﹣3ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），∴A（3，0），故选：B．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．【解答】解：∵点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，∴a﹣1＝﹣4，﹣2b﹣1＝﹣3，∴2a+b＝﹣1，故答案为：﹣7．12．【解答】解：∵是二次函数，∴m+2≠0，m3﹣2＝2，故答案为：2．13．【解答】解：根据题意可列方程为1000（1+x）2＝4000，故答案为：1000（1+x）2＝4000．14．【解答】解：如图所示，连接OD．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，又∵CD＝16，又∵OD＝AB＝10，∴∠OED＝90°，根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，则OE的长度为5．15．【解答】解：∵A（1，），∴OB＝1，AB＝，∴∠AOB＝60°，∴AO＝2OB，∴B5（，），6次一个循环，∴B20与B2坐标相同，B20（﹣，）．故答案为（﹣，）．三、解答题（共7小题，满分55分）16．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝5，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3．17．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）顶点D的坐标为：D1（1，7）或D2（﹣3，﹣1）或D3（﹣5，6）．故答案为：（1，1）或（﹣3，﹣1）或（﹣6，3）．18．【解答】解：（1）以O为原点，抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y＝a（x﹣8）2+8，解得：，（5）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，4.8＜6，故该车辆能通行．19．【解答】（1）证明：∵△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）解：当m＝0时，方程x2﹣mx+m﹣1＝4为方程x2﹣1＝0，解得x3＝﹣1，x2＝3．故m＝0时，方程的根是x1＝﹣8，x2＝1．20．【解答】解：（Ⅰ）如图，△DEC即为所作；∵AB＝AC，∴∠DCE＝∠B，∴∠CEB＝∠B．∴AB∥CD，又∵CA＝BA，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC．21．【解答】解：（1）证明：连结OE，∴∠CBE＝∠ABE∴∠CBE＝∠BEO又∠C＝90°∴OE⊥AC，（2）连结DE，∴Rt△CDE≌△Rt△HFE（HL），∵CD＝1，∵OH＝3，∴OE2＝（OE﹣1）2+32∴BH＝7∴．22．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），∴抛物线的对称轴为x＝8，∴C（2，﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，（2）如图，过点P作y轴的平行线交AE于点H，由点A，E的坐标得直线AE的表达式为y＝x﹣3，∴△P AE的面积S＝PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t）＝﹣，（3）∵直线AE表达式中的k值为1，①当∠PEA＝90°时，∴直线PE与x轴的夹角为45°，∴直线PE的表达式为y＝﹣x+2，解得x＝﹣2或3（不合题意，舍去）②当∠P AE＝90°时，同理可得，点P（1，﹣4），综上，点P的坐标为（﹣2，3）或（1，﹣4）．。
人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案(含2套题)
密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和4 B ．3和﹣4 C ．3和﹣1 D ．3和1 2．二次函数y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3） 3．将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130° B ．50° C ．40° D ．60°4．用配方法解方程x 2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x+3）2=﹣4 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=5 D ．（x+3）2=± 5．下列方程中没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1=0 B ．x 2+3x+2=0 C ．2015x 2+11x ﹣20=0 D ．x 2+x+2=06．平面直角坐标系内一点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）7．如图，⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC=3：5，则AB 的长为（ ）A ． cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm8．已知抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c ，则下列说法中错误的是（ ）A ．a 确定抛物线的形状与开口方向B ．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变 C ．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D ．若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 、b 、c 的值全变 9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD 的面积最大值是（ ）A ．64B ．16C ．24D ．32封线内不得10．已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＜0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是_________．12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为_________．13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离_________．14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC•AB，AD2=CD•AC，AE2=DE•AD，则AE的长为_________．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_________．16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E点，则DE长度的取值范围是_________．三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程：x2+x﹣2=0．18．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y轴的交点是（﹣4），求这个二次函数的解析式．19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根（1）求x1+x2，x1x2的值；（2）求2x12+6x2﹣2015的值．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题20．如图所示，△ABC 与点O 在10×10的网格中的位置如图所示（1）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形； （2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转180°后的图形；（2）若⊙M 能盖住△ABC ，则⊙M 的半径最小值为_________．21．如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，垂足为E ，点D 在CA 的延长线上，若∠DAB+ ∠AOB=60°（1）求∠AOB 的度数； （2）若AE=1，求BC 的长．22．飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是：S=60t ﹣1.5t 2（1）直接指出飞机着陆时的速度； （2）直接指出t 的取值范围；（3）画出函数S 的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停来？23．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点D 从B 点出发沿B →A 方向在线段BA 上以a cm/s 速度运动，与此同时，点E 从线段BC 的某个端点出发，以b cm/s 速度在线段BC 上运动，当D 到达A 点后，D 、E 运动停止，运动时间为t （秒）（1）如图1，若a=b=1，点E 从C 出发沿C →B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF ．当0＜t ＜6时：密封 线 内 不 得①求∠AFC 的度数； ②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E 从B 点出发沿B →C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C →B 方向运动．当t ≥3时，连DE ，以DE 为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长．24．定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．（1）已知抛物线的焦点F （0，），准线l ：，求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的解析式为：y=x 2﹣n 2，点A （0，）（n ≠0），B （1，2﹣n 2），P 为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P 点坐标；（3）若（2）中抛物线的顶点为C ，抛物线与x 轴的两个交点分别是D 、E ，过C 、D 、E 三点作⊙M ，⊙M 上是否存在定点N ？若存在，求出N 点坐标并指出这样的定点N 有几个；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．B ． 2．A ． 3． B ．4.C ．5.D ．6.D ．7.B ．8.D ． 9. D ．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10.C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣1的对称轴是 直线x=﹣ ． 12．已知x=（b 2﹣4c ＞0），则x 2+bx+c 的值为 0 ．13．⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ．则AB 和CD 之间的距离 7cn 或17cm ．14．如图，线段AB 的长为1，C 在AB 上，D 在AC 上，且AC 2=BC •AB ，AD 2=CD •AC ，AE 2=DE •AD ，则AE 的长为 ﹣2 ．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是 x ＞3或x ＜﹣1 ．16．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是 （2﹣3）a ≤DE ≤a ． ．三、解答题（共8小题，共72分）17． 解：分解因式得：（x ﹣1）（x+2）=0， 可得x ﹣1=0或x+2=0，题解得：x 1=1，x 2=﹣2．18.解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a ﹣1，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣3）2﹣1．19.解：（1）∵∴x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣5，；（2）∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 12﹣3x 1﹣5=0， ∴x 12=3x 1+5，∴2x 12+6x 2﹣2015=2（3x 1+5）+6x 2﹣2015=6（x 1+x 2）﹣2015=﹣1987．20.解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作； （2）如图，△A ″B ″C ″为所求；（3）如图，点M 为△ABC 的外接圆的圆心，此时⊙M 是能盖住△ABC 的最小的圆，⊙M 的半径为=．故答案为．21.解：（1）连接OC ， ∵OA ⊥BC ，OC=OB ，∴∠AOC=∠AOB ，∠ACO=∠ABO ，∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB ，∠ACO=∠OAB ， ∴∠DAB=∠AOC ，∴∠DAB=∠AOB ，又∠DAB+∠AOB=60°， ∴∠AOB=30°； （2）∵∠AOB=30°， ∴BE=OB ，设⊙O 的半径为r ，则BE=r ，OE=r ﹣1， 由勾股定理得，r 2=（r ）2+（r ﹣1）2， 解得r=4，∵OB=OC ，∠BOC=2∠AOB=60°， ∴BC=r=4．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22.解：（1）飞机着陆时的速度V=60； （2）当S 取得最大值时，飞机停下来，则S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600， 此时t=20因此t 的取值范围是0≤t ≤20； （3）如图，S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600． 飞机着陆后滑行600米才能停下来．23.解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t ． ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ，∠B=∠ECA=60°． 在△BDC 和△CEA 中，，∴△BDC ≌△CEA ， ∴∠BCD=∠CAE ，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°， ∴∠AFC=120°；②延长FD 到G ，使得FG=FA ，连接GA 、GB ，过点B 作BH ⊥FG于H ，如图2，∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA ，密 封 内∴△FAG 是等边三角形，∴AG=AF=FG ，∠AGF=∠GAF=60°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°， ∴∠GAF=∠BAC ， ∴∠GAB=∠FAC ． 在△AGB 和△AFC 中，，∴△AGB ≌△AFC ，∴GB=FC ，∠AGB=∠AFC=120°， ∴∠BGF=60°． 设AF=x ，FC=y ，则有FG=AF=x ，BG=CF=y ． 在Rt △BHG 中，BH=BG •sin ∠BGH=BG •sin60°=y ，GH=BG •cos ∠BGH=BG •cos60°=y ， ∴FH=FG ﹣GH=x ﹣y ． 在Rt △BHF 中，BF 2=BH 2+FH 2 =（y ）2+（x ﹣y ）2=x 2﹣xy+y 2．∴==1；（2）过点E 作EN ⊥AB 于N ，连接MC ，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t ，CE=2（t ﹣3）=2t ﹣∴BE=6﹣（2t ﹣6）=12﹣2t ，BN=BE •cosB=BE=6﹣t ， ∴DN=t ﹣（6﹣t ）=2t ﹣6， ∴DN=EC ．∵△DEM 是等边三角形， ∴DE=EM ，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°∴∠NDE=∠MEC ． 在△DNE 和△ECM 中，，∴△DNE ≌△ECM ， ∴∠DNE=∠ECM=90°，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴M 点运动的路径为过点C 垂直于BC 的一条线段．当t=3时，E 在点B ，D 在AB 的中点， 此时CM=EN=CD=BC •sinB=6×=3；当t=6时，E 在点C ，D 在点A ， 此时点M 在点C ．∴当3≤t ≤6时，M 点所经历的路径长为3．24.解：（1）设抛物线上有一点（x ，y ）， 由定义知：x 2+（y ﹣）2=|y+|2，解得y=ax 2；（2）如图1，由（1）得抛物线y=x 2的焦点为（0，），准线为y=﹣，∴y=x 2﹣n 2由y=x 2向下平移n 2个单位所得， ∴其焦点为A （0，﹣n 2），准线为y=﹣﹣n 2， 由定义知P 为抛物线上的点，则PA=PH ， ∴PA+PH 最短为P 、B 、A 共线，此时P 在P ′处， ∵x=1，∴y=1﹣n 2＜2﹣n 2， ∴点B 在抛物线内，∴BI=y B ﹣y I =2﹣n 2﹣（﹣﹣n 2）=，∴PA+PB 的最小值为，此时P 点坐标为（1，1﹣n 2）； （3）由（2）知E （|n|，0），C （0，n 2），设OQ=m （m ＞0），则CQ=QE=n 2﹣m ，在Rt △OQE 中，由勾股定理得|n|2+m 2=（n 2﹣m ）2， 解得m=﹣， 则QC=+=QN ，∴ON=QN ﹣m=1， 即点N （0，1）， 故AM 过定点N （0，1）．密 封 线 得 人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程x 2=3x 的解是（ ）A ．x=﹣3B ．x=3C ．x 1=0，x 2=3D ．x 1=0，x 2=﹣3 3．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和134．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．45．若a 为方程x 2+x ﹣5=0的解，则a 2+a+1的值为（ ）A ．12B ．6C ．9D ．166．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x+k=0则k 的范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ≥17．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC A 逆时针旋转60°后得到的△AB ′C ′，则∠BAC ′等于（A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°8．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ A ．y=1+x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 9．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向上平移3到的抛物线，其解析式是（ ）A ．y=2（x+1）2+3B ．y=2（x ﹣1）2﹣3C ．y=2（x+1）2﹣3D ．y=2（x ﹣1）2+3 10．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（﹣2，1） C ．（2，﹣1） D ．（﹣2，﹣1）11．函数y=﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣1） B ．（﹣2，1） C ．（﹣2，﹣1） D ．2，1）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的x 、y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 2 3y51﹣1 ﹣1 1则该二次函数图象的对称轴为（ ）A ．y 轴B ．直线x=C ．直线x=2D ．直线x= 13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 、b 、c满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014．已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知0≤x ≤，那么函数y=﹣2x 2+8x ﹣6的最大值是（ ） A ．﹣10.5 B ．2 C ．﹣2.5 D ．﹣6 二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解方程：x 2﹣4x+2=0．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ． （1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由．19．一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店日净收入．（ 日净收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出 ）（1）当5＜x ≤10时，y= ；当x ＞10时， y= ；（2）若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．21．已知关于x的一元二次方程．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．22．某房地产开放商欲开发某一楼盘，于2010年初以每亩100万的价格买下面积为15亩的空地，由于后续资金迟迟没有到位，一直闲置，因此每年需上交的管理费为购买土地费用的10%，2012年初，该开发商个人融资1500万，向银行贷款3500万后开始动工（已知银行贷款的年利率为5%，且开发商预计在2014年初完工并还清银行贷款），同时开始房屋出售，总面积为5万平方米，费用的5%开发商聘请调查公司进行了市场调研，发现在该片区，定位每平方米3000100元，则会少卖1000平方米，且卖房时间会延长2.5房地产开发商预计售房净利润为8660万．（1）问：该房地产开发商总的投资成本是多少万？（2）若售房时间定为2年（2发商不再出售，准备作为商业用房对外出租）每平方米多少元？23．正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C另一条直角边与边CD的延长线交于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EGEG=BE+DG；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题24．如图，已知点A （0，1），C （4，3），E （，），P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部（不在各边上）的一动点，点D 在y 轴上，抛物线y=ax 2+bx+1以P 为顶点． （1）说明点A ，C ，E 在一条直线上；（2）能否判断抛物线y=ax 2+bx+1的开口方向？请说明理由； （3）设抛物线y=ax 2+bx+1与x 轴有交点F 、G （F 在G 的左侧），△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，这时能确定a 、b 的值吗？若能，请求出a ，b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围．参考答案一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．B ．2. C ．3. B ．4. C ．5．B ．6．A ．7．A ．8．D ．9．A ． 10.B ．11.B ．12.D ．13.A ．14.D ．15.C ．二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解：x 2﹣4x=﹣2 x 2﹣4x+4=2 （x ﹣2）2=2或 ∴，．17．解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4， ∵抛物线经过点B （3，0）， ∴a （3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1，∴y=（x ﹣1）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣3．18．（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴∠OCD=60°，CO=CD ， ∴△OCD 是等边三角形； （2）解：△AOD 为直角三角形． 理由：∵△COD 是等边三角形．答 题∴∠ODC=60°，∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC ﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD 是直角三角形．19.解：（1）由题意得：当5＜x ≤10时，y=400（x ﹣5）﹣600； 当x ＞10时，y=（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=﹣40x 2+100x ﹣4600．即y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10）．故答案是：400（x ﹣5）﹣600；﹣40x 2+100x ﹣4600； （2）由（1）知，y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10） 当y=1560时，（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=1560， 解得：x 1=11，x 2=14，答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元；20．解：（1）作图如右：△A 1B 1C 1即为所求；（2）作图如右：△A 2B 2C 2即为所求；（3）x 的值为6或7．21.解：（1）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以，方程有两个实数根；（2）若腰=3，则x=3是方程的一个根，代入后得：k=2， 原方程为x 2﹣5x+6=0⇒x 1=2，x 2=3即，等腰三角形的三边为3，3，2． 则周长为8，面积为若底为3，则原方程为x 2﹣4x+4=0⇒x 1=x 2=2 即，等腰三角形的三边为2，2，3． 则周长为7，面积为22.解：（1）15×100=1500万， 1500×10%×2=300万，1500+3500+3500×5%×2=5350万， 1500×5%×2=150万，四者相加1500+300+5350+150=7300万． 答：该房地产开发商总的投资成本是7300万；（2）设房价每平方米上涨x 个100元，依题意有 （5﹣0.1x ）=8660+7300， 解得x 1=12，x 2=8，又因为当x 1=12时，卖房时间为30个月，此时超过两年，所以舍去；当x 2=8时，卖房时间为20个月； 则房价为3000+8×100=3800元． 答：房价应定为每平方米3800元．23.解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ． ∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD ，∴∠EAF ﹣∠EAD=∠BAD ﹣∠EAD ， ∴∠BAE=∠DAF ． 在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE ≌△ADF （ASA ） ∴AE=AF ；（2）如图②，连接AG ， ∵∠MAN=90°，∠M=45°， ∴∠N=∠M=45°， ∴AM=AN ．∵点G 是斜边MN 的中点， ∴∠EAG=∠NAG=45°．密 封 题∴∠EAB+∠DAG=45°． ∵△ABE ≌△ADF ， ∴∠BAE=∠DAF ，AE=AF ， ∴∠DAF+∠DAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG ． 在△AGE 和AGF 中，，∴△AGE ≌AGF （SAS ）， ∴EG=GF ． ∵GF=GD+DF ， ∴GF=GD+BE ， ∴EG=BE+DG ；（3）G 不一定是边CD 的中点． 理由：设AB=6k ，GF=5k ，BE=x ， ∴CE=6k ﹣x ，EG=5k ，CF=CD+DF=6k+x ， ∴CG=CF ﹣GF=k+x ，在Rt △ECG 中，由勾股定理，得 （6k ﹣x ）2+（k+x ）2=（5k ）2， 解得：x 1=2k ，x 2=3k ，∴CG=4k 或3k ．∴点G 不一定是边CD 的中点．24.解：（1）由题意，A （0，1）、C （4，3）两点确定的直线解析式为：y=x+1 将点E 的坐标（，），代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=．∵左边=右边∴点E 在直线y=x+1上， 即点A 、C 、E 在一条直线上；（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 的内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下． 解法二：∵抛物线y=ax 2+bx+1的顶点P 的纵坐标为，且P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜＜3，由1＜1﹣得﹣＞0．∴a ＜0．∴抛物线开口向下； （3）连接GA 、FA ．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵S △GAO ﹣S △FAO =3∴GO •AO ﹣FO •AO=3． ∵OA=1， ∴GO ﹣FO=6．设F （x 1，0），G （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx+1=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0 ∴x 1•x 2=＜0， ∴x 1＜0＜x 2 ∴GO=x 2、FO=﹣x 1∴x 2﹣（﹣x 1）=6，即x 2+x 1=6 ∵x 2+x 1=，∴=6∴b=﹣6a∴抛物线的解析式为：y=ax 2﹣6ax+1，其顶点P 的坐标为（3，1﹣9a ）∵顶点P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜1﹣9a ＜3， ∴﹣＜a ＜0① 由方程组，得ax 2﹣（6a+）x=0， ∴x=0或x==6+，当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点， 则有：0＜6+≤， 解得：﹣a ＜﹣②，综合①②，得﹣＜a ＜﹣，∵b=﹣6a ， ∴＜b ＜．。
2020-2021学年山东省潍坊市诸城市九年级上学期期中数学试卷 (Word版 含解析)
2020-2021学年山东省潍坊市诸城市九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（3分）下列关于“圆”的说法不正确的是（）A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心B．垂直于弦的直径一定平分这条弦C．相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴2．（3分）若锐角A满足cos A＝，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，其中a、b、c表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中与△ABC不一定相似的图形是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．没有变化5．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），则OP的最小值是（）A．2.5B．3C．3.5D．46．（3分）如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（）A．B．C．D．247．（3分）如图，△ABC为⊙O的一个内接三角形，过点B作⊙O的切线PB与OA延长线交于点P，连接OB，已知∠P＝34°，则∠ACB＝（）A．17°B．27°C．28°D．30°8．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD 的面积为15，那么△ABD的面积为（）A．15B．10C．7.5D．59．（3分）边长为6的正三角形的外接圆的周长为（）A．πB．2πC．3πD．4π10．（3分）如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1．求矩形ABCD的面积为（）A．1B．C．D．211．（3分）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为（）A．πB．πC．πD．π12．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，BE⊥AC，垂足为点F，下列结论：①△AEF～△CAB；②CF＝2AF；③tan∠CAD＝，其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个二．填空题13．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，则tan B＝．14．（3分）若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝8，AD＝3，则EC的长是．15．（3分）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O 与直线CA的公共点的个数为．16．（3分）如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝．17．（3分）再如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为多少km．18．（3分）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC 交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有．①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；②I到△ABC三个顶点的距离相等；③∠BIC＝90°+∠BAC；④点D是△BIC的外心．三、解答题（共7小题，满分46分）19．（8分）（1）tan45°﹣cos60°．（2）sin30°+tan60°﹣cos45°+tan30°．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点B2的坐标为（2，﹣2）．（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是．21．（6分）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，若AB＝2，求AC的长．22．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DE＝CD，连接BE与AC，AD，FE分别交于点O，F．（1）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．（2）求证OB2＝OE•OF．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．（1）求证：BD＝CD；（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．24．（6分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．25．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，对角线BD为⊙O的直径，AC与BD交于点E．点F为CD延长线上，且DF＝BC．（1）证明：AC＝AF；（2）若AD＝2，AF＝，求AE的长；（3）若EG∥CF交AF于点G，连接DG．证明：DG为⊙O的切线．参考答案一、选择题1．（3分）下列关于“圆”的说法不正确的是（）A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心B．垂直于弦的直径一定平分这条弦C．相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴解：A、圆是中心对称图形，圆心就是对称中心，故本选项正确；B、垂直于弦的直径一定平分这条弦符合垂径定理，故本选项正确；C、只有在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等，故本小题错误；D、圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴，故本选项正确．故选：C．2．（3分）若锐角A满足cos A＝，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°解：∵cos A＝，∴∠A＝30°．故选：A．3．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，其中a、b、c表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中与△ABC不一定相似的图形是（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：甲三角形的两边AC，BC的夹角不一定等于72度，故与△ABC不一定相似的图形，故选此选项正确；乙可以利用两边对应成比例且夹角相等得出相似；丙、丁可以利用两角对应相等得出相似；故选：A．4．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．没有变化解：根据锐角三角函数的概念，知若各边长都扩大2倍，则sin A的值不变．故选：D．5．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），则OP的最小值是（）A．2.5B．3C．3.5D．4解：作OC⊥AB于点C，连接OA，如图所示：则AC＝AB＝4，∵OA＝5，∴OC＝＝＝3，则OP的最小值是3；故选：B．6．（3分）如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（）A．B．C．D．24解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：则四边形BEFC是矩形，∴BE＝CF，∵背水坡CD的坡比i＝1：1，CD＝米，∴CF＝DF＝CD＝6（米），∴BE＝CF＝6米，又∵斜坡AB的坡比i＝1：2＝，∴AE＝2BE＝12（米），∴AB＝＝＝6（米），故选：C．7．（3分）如图，△ABC为⊙O的一个内接三角形，过点B作⊙O的切线PB与OA延长线交于点P，连接OB，已知∠P＝34°，则∠ACB＝（）A．17°B．27°C．28°D．30°解：∵PB切⊙O于B，∴OB⊥PB，∴∠OBP＝90°，∵∠P＝34°，∴∠POB＝180°﹣90°﹣34°＝56°，∴∠ACB＝∠AOB＝28°，故选：C．8．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD 的面积为15，那么△ABD的面积为（）A．15B．10C．7.5D．5解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∵AC＝2AD，∴＝（）2＝，∴＝，∵△ACD的面积为15，∴△ABD的面积＝×15＝5，故选：D．9．（3分）边长为6的正三角形的外接圆的周长为（）A．πB．2πC．3πD．4π解：如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，作OD⊥BC于D，连接OB、OC，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠OBD＝30°，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3，在Rt△OBD中，OD＝BD＝，∴OB＝2OD＝2，∴⊙O的周长＝2π×2＝4π．故选：D．10．（3分）如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1．求矩形ABCD的面积为（）A．1B．C．D．2解：由矩形ABCD∽矩形EABF可得，设AE＝x，则AD＝BC＝2x，又AB＝1，∴，可得：，∵矩形的长不能是负数，解得：，∴BC＝2x＝2×＝，∴S矩形ABCD＝BC×AB＝×1＝．故选：C．11．（3分）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E 落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为（）A．πB．πC．πD．π解：连接AC、AF，由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE，∵DE＝EF，∴DE＝BC＝AD，在Rt△ADE中，DE＝AD，∴∠DAE＝45°，AE＝＝3，∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋转角为45°，∴∠FAC＝45°，在Rt△ABC中，AC＝＝＝9，∴的长＝＝，故选：A．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，BE⊥AC，垂足为点F，下列结论：①△AEF～△CAB；②CF＝2AF；③tan∠CAD＝，其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正确；设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，由△BAE∽△ADC，有＝，即b＝a，∴tan∠CAD＝＝＝，故③不正确；正确的有①②，2个，故选：B．二．填空题13．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，则tan B＝．解：由勾股定理得，AC＝＝＝12，∴tan B＝＝，故答案为：．14．（3分）若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝8，AD＝3，则EC的长是．解：设EC＝x，∵AC＝8，∴AE＝8﹣x，∵△ABC∽△ADE，∴，∴，解得：x＝，故答案为：．15．（3分）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O 与直线CA的公共点的个数为2个．解：过O作OD⊥OA于D，∵∠AOB＝30°，OC＝6，∴OD＝OC＝3＜4，∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，故答案为：2个．16．（3分）如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝12．解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意得30°＝，∴n＝12，故答案为：12．17．（3分）再如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为多少（30+10）km．解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30km，∴AE＝BE＝AB＝30（km），在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝10（km），∴AC＝AE+CE＝30+10（km），∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故答案为：（30+10）．18．（3分）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC 交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有①③④．①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；②I到△ABC三个顶点的距离相等；③∠BIC＝90°+∠BAC；④点D是△BIC的外心．解：∵I是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合，所以①正确；∵I是△ABC的内心，∴点I到三角形三边的距离相等，所以②错误；∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∴∠1＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，∵∠BIC＝180°﹣∠1﹣∠ICB，∴∠BIC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，所以③正确；∵∠1＝∠2，∠3＝∠CAD＝∠4，∴∠2+∠3＝∠1+∠4，而∠5＝∠2+∠3，∴∠5＝∠1+∠4，即∠5＝∠DBI，∴DB＝DI，∵∠3＝∠CAD，∴＝，∴BD＝CD，∴DB＝DI＝DC，∴点B、I、C在以点D为圆心，DB为半径的圆上，即点D是△BIC的外心．所以④正确．故答案为①③④．三、解答题（共7小题，满分46分）19．（8分）（1）tan45°﹣cos60°．（2）sin30°+tan60°﹣cos45°+tan30°．解：（1）原式＝1﹣＝；（2）原式＝×+﹣+＝．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点B2的坐标为（2，﹣2）．（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是1：2．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是：1：2．故答案为：1：2．21．（6分）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，若AB＝2，求AC的长．解：过A点作AD⊥BC于D点，在直角三角形ABD中，∠B＝45°，AB＝2，∴AD＝AB•sin B＝2，在直角三角形ADC中，∠C＝30°，∴AC＝2AD＝4．22．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DE＝CD，连接BE与AC，AD，FE分别交于点O，F．（1）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．（2）求证OB2＝OE•OF．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵DE＝CD，∴＝＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴△DEF∽△ABF，∴＝＝，又∵S△DEF＝2，∴S△ABF＝8；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴＝＝＝，∴S△CBE＝9×2＝18，∴S四边形BCDF＝S△CBE﹣S△DEF＝18﹣2＝16，∴平行四边形ABCD的面积为：8+16＝24．（2）证明：∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB，∴＝，∵AB∥DC，∴△ABO∽△CEO，∴＝，∴＝，∴OB2＝OE•OF．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．（1）求证：BD＝CD；（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连结AD，∵AB为⊙O直径，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）解：连结OE，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴∠BOE＝90°，BO＝EO＝2，∠AOE＝90°，∴S阴＝S△BOE+S扇形OAE＝×2×2+＝π+2．24．（6分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，∴DP＝OP＝灯高．在△CEA与△COP中，∵AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP．∴△CEA∽△COP，∴．设AP＝xm，OP＝hm，则，①，DP＝OP＝2+4+x＝h，②联立①②两式，解得x＝4，h＝10．∴路灯有10m高．25．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，对角线BD为⊙O的直径，AC与BD交于点E．点F为CD延长线上，且DF＝BC．（1）证明：AC＝AF；（2）若AD＝2，AF＝，求AE的长；（3）若EG∥CF交AF于点G，连接DG．证明：DG为⊙O的切线．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°．∵∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADF．在△ABC与△ADF中，，∴△ABC≌△ADF（SAS）．∴AC＝AF；（2）解：由（1）得，AC＝AF＝．∵AB＝AD，∴．∴∠ADE＝∠ACD．∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD．∴，则AE＝＝＝；（3）证明：∵EG∥CF，∴．∴AG＝AE．由（2）得，∴．∵∠DAG＝∠FAD，∴△ADG∽△AFD．∴∠ADG＝∠F．∵AC＝AF，∴∠ACD＝∠F．又∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ADG＝∠ABD．∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°．∴∠ABD+∠BDA＝90°．∴∠ADG+∠BDA＝90°．∴GD⊥BD．∴DG为⊙O的切线．。
2020-2021学年九年级上册数学第1章《二次函数》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年九年级上册数学第 1章《二次函数》单元测试卷式是（）1. 卜列关于X 的函数一定为二次函数的是（ A . y=4xB , y= 5x2 - 3xC. y=ax 2+bx+cD , y=x 3-2x+12.将二次函数y= 2x 2+5的图象先向左平移 3个单位，再向下平移 1个单位，则平移后的函数关系A. y=2 (x+3) 2+6 B . y=2 (x+3) 2+4 C. y=2 (x- 3) 2+6D. y=2 (x-3) 2+43. 如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长） ,其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为 50m,门宽为2m.若饲养室长为 xm,占地面积为ym 2,则关于x 的函数表达式为（:2+26x (2<x<52)B. C. -2 .y= - . x +50x (2w x< 52) y= - x 2+52x (2< x< 52) - 2 一 一 一 __________ y=一方x2+27x- 52 (2<x< 52)（aw0）在同一坐标系中的图象可能是（D .5.以下抛物线的顶点坐标为（2, 0）的是（10.如图，已知顶点为（-3, -6）的抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1, -4）,则下列结论:-1;⑤若点（-2, m ） , （- 5, n ）在抛物线上，则 m>n,其中正确的个数共有（二.填空题⑥y= （ x+1 ） 2- x 2.这六个式子中，二次函数有12.把二次函数 y=x 2- 4x+5化为y=a （x —h ） 2+k 的形式，那么h+k=A . y= 3x 2+2B . y= 3x2 - 2C. y=3 (x — 2) 2D. y=3 (x+2) 26.二次函数y= ax 2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴是x=-1, 卜列结论中正确的是（8.二次函数C. 2a+b=0D. a - b+c>2 (x-1) 2+b (aw0)的图象经过点(0, 2) a+b 的值是（ B. - 1C. 2D. 3 x 2- 2x+c 在-3< x< 2的范围内有最大值为一5, 则c 的值是（B. 3C. - 3D. - 69.二次函数 y=ax 2—2ax+b 中，当—1wxw 4 时，—2wyw3,贝U b — a 的值为( B. - 6或 7C. 3D. 3 或—2①b 2>4ac ；② ax 2+bx+c< - 6；③ 9a- 3b+c= - 6；④关于 x 的二次方程 ax 2+ bx+ c= - 4 的根为B. 2个C. 3个D. 4个11.观察：① y = 6x 2；② y=- 3x 2+5；③2 1y=200x 2+400x+200;④ y=x 3-2x;⑤ ¥二工 二.（只填序号）13. 一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度 y （m ）与水平距离 x （m ）之间的关系是7.二次函数 y= a2B. 4ac< b -114 .已知抛物线的顶点坐标是(-2, 3),其图象是由抛物线 y=-8x 2+1平移得到的，则该抛物线的解析式为.15 .抛物线y=a (x- h) 2+k (a<0)经过(-1,3)、( 5, 3)两点，则关于 x 的不等式a (x- h -1) 2+k<3的解集为.16 .已知二次函数 y=ax 2+bx+c (aw0, a, b, c,为常数)，对称轴为直线 x=1,它的部分自变量x 与函数值y 的对应值如下表.请写出ax 2+bc+c= 0的一个正数解的近似值 (精确到0.1)x - 0.4 — 0.3 — 0.2 — 0.117 .若函数y=x 2+2x+m 的图象与x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 .18 .已知二次函数 y=ax 2+ (a-1) x- 2a+1,当1vxv3时，y 随x 的增大而减小，则 a 的取值范围是.19 .如果二次函数y=a (x-1) 2(aw0)的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是.20 .小甬是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=-/父2的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O,两直角边与该抛物线交于A, B 两点 (如图)，对该抛物线，小甬将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A, B 的连线段总经过一个固定的点，则该点的坐标是三.解答题21 .已知二次函数 y=2x 2+4x- 6,(1)将二次函数的解析式化为y= a (x-h) 2+k 的形式.(2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. 22 .已知二次函数(k 为常数)，求k 的值.__ 1 2 产12工m,则这名男生抛实心球的成绩是3m.y= ax 2+ bx+c0.920.38—0.12—0.5823.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ax2+4ax+4a-4 (aw0)的顶点为A.(1)求顶点A的坐标；(2)过点(0, 5)且平行于x轴的直线1,与抛物线y=ax2+4ax+4-4 (aw 0)交于B、C两点.①当a=1时，求线段BC的长；②当线段BC的长不小于8时，直接写出a的取值范围.532 -11— I I E II」] ■ I J 、-5 一4 4-2 口, 1 2 3 4 5x-2~-3-4-5 _____________24.已知二次函数的图象y=- x2+bx+c如图所示，它与轴的交点坐标为(- 1,0), (3, 0)(1)求b, c的值；(2)根据图象，直接写出函数值y<0时，自变量x的取值范围.25.二次函数y=ax2+bx+c (aw0)与一次函数y=x+k (kw0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；(2)写出不等式ax2+bx+c- x- k< 0的解集；(3)写出二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2+bx+c= m有两个不等的实数根，求m的取值范围;26.如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m,设花园的面积为sm2,平行于墙的边为xm.若x不小于17m,(1)求出s关于x的函数关系式;(2)求s的最大值与最小值.花园27.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y = x2-2mx+1图象与y轴的交点为A,将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B.(1)直接写出点A的坐标为，点B的坐标为;(2)若函数y=x2-2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围.参考答案与试题解析・选择题1.解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；B、是二次函数，故此选项符合题意；C、当a=0时不是二次函数，故此选项不符合题意；D、不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：B.2.解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y= 2x2+5向左平移3个单位，再向下平移1个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y=2 (x+3) 2+4.故选：B.3.解：y关于x的函数表达式为：y=g (50+2-x) x b-l= ---- x+26x (2W x<52).故选：A.4,解：①当a>0时，二次函数y= ax2-a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y= ax - a (aw0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a<0时，二次函数y= ax2-a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y=ax-a (aw0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点.对照四个选项可知D正确.故选：D.5.解：抛物线y= 3x2+2的顶点为(0, 2);抛物线y= 3x2-2的顶点为(0, - 2);抛物线y=3 (x-2) 2的顶点为(2, 0);抛物线y=3 (x+2) 2的顶点为(-2, 0);故选：C.6.解：A、由抛物线的开口向下知a<0,对称轴在y轴的左侧，a、b同号，即b<0,与y轴的交点为在y轴的正半轴上，. 0,因此abc>0,故错误;B、抛物线与x轴有两个交点，b2 - 4ac>0,即4acv b2,故正确;C、对称轴为x= ----- --= - 1,得2a = b,23.2a- b= 0,故错误；D、•.当x= - 1 时，y>0• -a- b+c>0,故错误.故选：B.7.解：二.二次函数y=a (x- 1) 2+b (aw0)的图象经过点(0, 2),a+b = 2.故选：C.8.解：把二次函数y= - x2-2x+c转化成顶点坐标式为y= - (x+1) 2+c+l,又知二次函数的开口向下，对称轴为x=- 1,故当x= - 1时，二次函数有最大值为- 5,故-1+2+c= - 5,故c= - 6.故选：D.2 29.解：:抛物线y=ax — 2ax+b=a (x—1) +b- a,「•顶点(1, b - a)当a>0 时，当-1WxW4 时，—2WyW3,函数有最小值，b - a= - 2,当a<0 时，当—1wxw4 时，—2wyw3,函数有最大值，b - a= 3,故选：D.10.解：二•抛物线与x轴有2个交点，•・△= b2- 4ac>0,即b2>4ac,所以①正确；•.•抛物线的顶点坐标为(-3, - 6),即x= - 3时，函数有最小值，•.ax2+bx+c> - 6,所以②错误；•.•抛物线的顶点坐标为(-3, - 6),•••9a-3b+c= - 6,所以③正确；•••抛物线y= ax2+bx+c 经过点(-1, - 4),而抛物线的对称轴为直线x= - 3,.二点(-1, - 4)关于直线x= - 3的对称点(-5, - 4)在抛物线上，••・关于x的一元二次方程ax2+bx+c= - 4的两根为-5和-1 ,所以④错误；•••抛物线开口向上，对称轴为直线x= - 3,而点(-2, m) , ( - 5, n)在抛物线上，: - 3 - ( - 5) > - 2 - ( - 3),m<n,所以⑤错误.故选：B.二.填空题11.解：这六个式子中，二次函数有：①y=6x2；②y=- 3x2+5；③y= 200x2+400x+200;故答案为：①②③.12.解：y=x —4x+5= ( x _ 2) 2+1,. .h=2, k= 1,h+k=2+1= 3.故答案为：3.13.解：•••一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系是7T小亭卷i 2: 1・・・当y=0,则0 = - y；5-x2+Vx+—, _L 乙O R-J解得：x1= 10, x2= - 2,，这名男生抛实心球的成绩为10m,故答案为：10.14.解：,•,该抛物线是由抛物线y= - 8x2+1平移得到的，a= - 8,又•••抛物线的顶点坐标是(- 2, 3),该抛物线的解析式为y=- 8 (x+2) 2+3.故答案为：y=- 8 (x+2) 2+3.15.解：二.抛物线y=a (x-h) 2+k (a>0)经过(-1, 3) , ( 5, 3)两点,，大致图象如图所示：•1-y= a (x- h- 1) 2+k (a>0)经过(0, 3) , (6, 3)两点则关于x的不等式a (x-h-1) 2+kW3的解集为：x< 0或x>6.故答案为：*^0或*>6.16.解：由表可知，当x= - 0.2时，y的值最接近0, 所以，方程ax2+bx+c= 0一个解的近似值为-0.2, 设正数解的近似值为a,.•.对称轴为直线x=1,一+(一。
2020-2021学年山东省济宁市曲阜市九年级(上)期中数学试卷 解析版
2020-2021学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若关于x的方程（a﹣2）x2+x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为（）A．a＝2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a≠22．下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9B．4.5C．3D．﹣34．抛物线y＝2（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2 5．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠DAC＝25°，则∠CAB的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣1）C．（0，0）D．（﹣1，﹣1）7．将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（）A．（0，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，1）8．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（）A．4B．4C．4D．39．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0且k≠1B．k≠1C．k≥0D．k≤010．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x 轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝．12．已知是二次函数，则m＝．13．某测温仪公司2020年四月份生产测温仪1000台，2020年六月份生产测温仪4000台，设五、六月份每月的平均增长率为x，根据题意可列方程．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为．15．如图，在平面直角坐标系中，将Rt△OAB绕点O逆时针旋转60°后得到Rt△OA1B1，依此方式，绕点O连接旋转20次得到Rt△OA20B20，如果点A的坐标为（1，），那么点B20的坐标为．三、解答题（共7小题，满分55分）16．（6分）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．17．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．18．（7分）如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）任取一个你喜欢的m值代入，并求出此时方程的根．20．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC．（Ⅰ）把△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E落在AB边上，用尺规作图的方法作出△DEC；（保留作图痕迹，不写作法）（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接AD，求证：AD＝BC．21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE 的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．22．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．（1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P在第四象限，连接P A、PE及AE，当t为何值时，△P AE的面积最大？最大面积是多少？（3）是否存在点P，使△P AE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若关于x的方程（a﹣2）x2+x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为（）A．a＝2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a≠2【分析】根据一元二次方程定义可得a﹣2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，故选：D．2．下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．3．若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9B．4.5C．3D．﹣3【分析】把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，然后解关于a的方程即可．【解答】解：把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，解得a＝4.5．故选：B．4．抛物线y＝2（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2【分析】根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2﹣2的对称轴是：直线x＝﹣1．故选：B．5．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠DAC＝25°，则∠CAB的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】利用圆周角定理得到∠ABD＝∠DAC＝25°，∠ADB＝90°，然后利用三角形内角和计算∠CAB的度数．【解答】解：∵弧AD＝弧CD，∴∠ABD＝∠DAC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣25°＝65°，∴∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝65°﹣25°＝40°．故选：B．6．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣1）C．（0，0）D．（﹣1，﹣1）【分析】作出对应点连线的垂直平分线，它们的交点就是M点．【解答】解：如图，点M的坐标是（1，﹣1），故选：B．7．将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（）A．（0，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，1）【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位长度，得：y＝2（x+1）2﹣1；再向上平移2个单位长度，得：y＝2（x+1）2+1．此时抛物线顶点坐标是（﹣1，1）．故选：D．8．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（）A．4B．4C．4D．3【分析】先根据切线的性质得∠OAP＝90°，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到AP＝OA＝4，接着计算出∠C＝30°，从而得到AC＝AP＝4．【解答】解：∵P A切⊙O于点A，∴OA⊥P A，∴∠OAP＝90°，在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，AP＝OA＝4，∵∠AOP＝∠C+∠OAC＝60°，而∠C＝∠OAC，∴∠C＝30°，∴AC＝AP＝4．故选：A．9．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0且k≠1B．k≠1C．k≥0D．k≤0【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：k﹣1≠0且4k2﹣4k（k﹣1）≥0，∴k≥0且k≠1，故选：A．10．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x 轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，且开口向下，∴x＝1时，y＝a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），∴A（3，0），故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝﹣1．【分析】根据关于原点对称点的坐标特点可得a﹣1＝﹣2，﹣2b﹣1＝﹣3，解出a、b的值，然后可得答案．【解答】解：∵点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，∴a﹣1＝﹣2，﹣2b﹣1＝﹣3，解得：a＝﹣1，b＝1，∴2a+b＝﹣1，故答案为：﹣1．12．已知是二次函数，则m＝2．【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0，m2﹣2＝2，求出即可．【解答】解：∵是二次函数，∴m+2≠0，m2﹣2＝2，解得：m＝2，故答案为：2．13．某测温仪公司2020年四月份生产测温仪1000台，2020年六月份生产测温仪4000台，设五、六月份每月的平均增长率为x，根据题意可列方程1000（1+x）2＝4000．【分析】由该测温仪公司2020年四月份及六月份生产测温仪的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意可列方程为1000（1+x）2＝4000，故答案为：1000（1+x）2＝4000．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为6．【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD 的长求出DE的长，又由直径的长求出半径OD的长，在直角三角形ODE中，由DE及OD的长，利用勾股定理即可求出OE的长．【解答】解：如图所示，连接OD．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝16，∴CE＝DE＝CD＝8，又∵OD＝AB＝10，∵CD⊥AB，∴∠OED＝90°，在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，∴OE＝＝6，则OE的长度为6．15．如图，在平面直角坐标系中，将Rt△OAB绕点O逆时针旋转60°后得到Rt△OA1B1，依此方式，绕点O连接旋转20次得到Rt△OA20B20，如果点A的坐标为（1，），那么点B20的坐标为（﹣，）．【分析】求出B1，B2，B3…的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：∵A（1，），∴OB＝1，AB＝，∴tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝60°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OB，∴OB1＝AB1，∴B1（，），由题意B2（﹣，），B3（﹣1，0），B4（﹣，﹣），B5（，﹣），B6（1，0），…，6次一个循环，20÷6＝3…2，∴B20与B2坐标相同，B20（﹣，）．故答案为（﹣，）．三、解答题（共7小题，满分55分）16．（6分）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】先把方程左边分解，原方程转化为x+1＝0或x﹣3＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3．17．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标（1，1）或（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）．【分析】（1）根据旋转的性质即可作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）根据网格即可写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）顶点D的坐标为：D1（1，1）或D2（﹣3，﹣1）或D3（﹣5，3）．故答案为：（1，1）或（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）．18．（7分）如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式得出答案；（2）直接利用已知得出x＝4，进而得出y的值，即可得出答案．【解答】解：（1）以O为原点，抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y＝a（x﹣8）2+8，将点O（0，0）代入上式得：0＝64a+8，解得：，故函数的表达式为：，（0≤x≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x＝7.5﹣3.5＝4，当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）任取一个你喜欢的m值代入，并求出此时方程的根．【分析】（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可；（2）取m＝0时，得到方程x2﹣1＝0，解方程即可求解．【解答】（1）证明：∵△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）解：当m＝0时，方程x2﹣mx+m﹣1＝0为方程x2﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1．故m＝0时，方程的根是x1＝﹣1，x2＝1．20．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC．（Ⅰ）把△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E落在AB边上，用尺规作图的方法作出△DEC；（保留作图痕迹，不写作法）（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接AD，求证：AD＝BC．【分析】（Ⅰ）根据旋转的性质即可把△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B 的对应点E落在AB边上；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接AD，根据等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质即可证明AD＝BC．【解答】解：（Ⅰ）如图，△DEC即为所作；（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠DCE＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B．∴∠DCE＝∠B，又由（Ⅰ）知CE＝CB，∴∠CEB＝∠B．∴∠CEB＝∠DCE，∴AB∥CD，由（Ⅰ）CD＝CA，又∵CA＝BA，∴AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC．21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE 的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．【分析】（1）连结OE，根据BE平分∠ABC，可得∠CBE＝∠ABE，证明OE∥AC，进而可以证明AC是⊙O的切线；（2）连结DE，根据AE平分∠ABC，AC⊥BC、EH⊥AB，可得CE＝EH，再证明Rt△CDE≌△Rt△HFE，得CD＝HF，再根据勾股定理即可求得BE的长．【解答】解：（1）证明：连结OE，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE又OB＝OE，∠ABE＝∠BEO，∴∠CBE＝∠BEO∴OE∥BC又∠C＝90°即AC⊥BC．∴OE⊥AC，即AC是⊙O的切线；（2）连结DE，∵AE平分∠ABC，AC⊥BC、EH⊥AB∴CE＝EH，DE＝EF，∴Rt△CDE≌△Rt△HFE（HL），∴CD＝HF，∵CD＝1，∴HF＝1∵OH＝3，∵OE2＝OH2+HE2，∴OE2＝（OE﹣1）2+32解得：0E＝5，∴BH＝9∴．22．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．（1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P在第四象限，连接P A、PE及AE，当t为何值时，△P AE的面积最大？最大面积是多少？（3）是否存在点P，使△P AE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），则函数的对称轴为：x＝1，即可求解；（2）△P AE的面积S＝PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t），即可求解；（3）分∠PEA＝90°、∠P AE＝90°两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），∴抛物线的对称轴为x＝1，∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点A（0，﹣3），∴C（2，﹣3），抛物线表达式为y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，过点P作y轴的平行线交AE于点H，由点A，E的坐标得直线AE的表达式为y＝x﹣3，设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），∴△P AE的面积S＝PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t）＝﹣，∴当t＝时，S有最大值；（3）∵直线AE表达式中的k值为1，∴∠AEO＝45°，①当∠PEA＝90°时，∵PE⊥AE，∴直线PE与x轴的夹角为45°，∴设直线PE的表达式为y＝﹣x+b，将点E的坐标代入并解得b＝3，∴直线PE的表达式为y＝﹣x+3，联立得，解得x＝﹣2或3（不合题意，舍去）故点P的坐标为（﹣2，5），②当∠P AE＝90°时，同理可得，点P（1，﹣4），综上，点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）．。
济宁市曲阜市2020-2021学年第一学期九年级数学期末试卷
济宁市曲阜市2020-2021学年第一学期九年级数学期末试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（3分）方程240x -=的解是( ) A ．2x =B ．2x =-C ．2x =±D ．4x =±2．（3分）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）已知反比例函数2ky x=图象经过点(5,2)-，则k 的值为( ) A ．10-B ．10C ．20-D ．5-4．（3分）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，连接AC ，OC ，OD ，若20A ∠=︒，则COD ∠的度数为( )A ．40︒B ．60︒C ．80︒D ．100︒5．（3分）下列说法中，正确的是( ) A ．随机事件发生的概率为12B ．不可能事件发生的概率为0C ．概率很小的事件不可能发生D ．投掷一枚硬币100次，正面朝上的次数必为50次6．（3分）将抛物线221y x =-向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为( ) A ．22(1)1y x =-+B ．22(1)3y x =+-C ．22(1)3y x =--D ．22(1)1y x =++7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为( )A ．5B ．2C ．4D ．258．（3分）二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，若点1(0,)A y 和2(3,)B y -在此函数图象上，则1y 与2y 的大小关系是( )A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法确定9．（3分）定义新运算：对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{max a ，}b 表示a ，b 中的较大值，如：{2max ，4}4=．因此，{2max -，4}2-=-；按照这个规定，若{}232,2x x max x x ---=，则x 的值是( ) A ．1-B ．1-533+C 533+ D ．1533- 10．（3分）如图，在等腰ABC ∆中，25AB AC ==，8BC =，按下列步骤作图：①以点A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ； ②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ； ③以点O 为圆心，线段OA 长为半径作圆． 则O 的半径为( )A ．25B ．10C ．4D ．5二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．（3分）在平面直角坐标系中，点(2,3)P -关于原点对称点P '的坐标是 ． 12．（3分）若关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，则a = ．13．（3分）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y 轴交于点(0,2)，这个二次函数的解析式可以是 ．14．（3分）如图，在66⨯的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A 、B 、C 为格点，作ABC ∆的外接圆，则BC 的长等于 ．15．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，90ABO ∠=︒，点A 的坐标为(1,2)-，将AOB ∆绕点A 顺时针旋转90︒，点O 的对应点D 恰好落在双曲线ky x=上，则k 的值为 ．三、解答题：（共55分）16．（6分）解一元二次方程：2230x x +-=． 17．（6分）如图，在ABC ∆与ADE ∆中，AB ACAD AE=，且EAC DAB ∠=∠．求证：ABC ADE ∆∆∽．18．（7分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B19．（8分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 20．（8分）如图，一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象相交，其中一个交点的横坐标是2． （1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数1y x =+的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数ky x=图象的交点坐标； （3）直接写出一个一次函数，使其过点(0,5)，且与反比例函数ky x=的图象没有公共点．21．（9分）在O 中，弦CD 与直径AB 相交于点P ，63ABC ∠=︒．（Ⅰ）如图①，若100APC ∠=︒，求BAD ∠和CDB ∠的大小；（Ⅱ）如图②，若CD AB ⊥，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点E ，求E ∠的大小．22．（11分）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，且OC OB =．（1）求点C 的坐标和此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，BC ，求BCE ∆面积的最大值；（3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针旋转90︒后，点A 的对应点A '恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．【解答】解：24x =，2x ∴=±． 故选：C ．2．【解答】解：A 、不是中心对称图形，故本选项错误；B 、是中心对称图形，故本选项正确；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B ．3．【解答】解：将点(5,2)-代入2ky x=得， 222(5)20k xy ==⨯⨯-=-．故选：C ．4．【解答】解：弦CD AB ⊥，∴BD BC =，222040BOD BOC A ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒， 404080COD ∴∠=︒+︒=︒．故选：C ．5．【解答】解：A ．随机事件发生的概率视不同的随机事件而确定，此选项错误；B ．不可能事件发生的概率为0，此选项正确；C ．概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，此选项错误；D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，此选项错误；故选：B ．6．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y 将抛物线221y x =-向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为22(1)12y x =+--，即22(1)3y x =+-， 故选：B ．7．【解答】解：以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆成位似图形，且相似比为2:1，而(1,2)A ，(3,1)C ， (2,4)D ∴，(6,2)F ，22(26)(42)25DF ∴=-+-=．故选：D ．8．【解答】解：点1(0,)A y 和2(3,)B y -在抛物线对称轴2x =-的两侧，且点A 比点B 离对称轴要远，因此12y y >， 故选：A ．9．【解答】解：若x x >-，即0x >，则2322x x x --=，解得5332x +=（负值舍去）；若x x <-，即0x <，则2322x x x ---=，解得1x =-（正值舍去）；故选：B ．10．【解答】解：如图，设OA 交BC 于T ．半径为r ，25AB AC ==AO 平分BAC ∠，AO BC ∴⊥，4BT TC ==，2222(25)42AT AC CT ∴--， 在Rt OCT ∆中，则有222(2)4r r =-+， 解得5r =， 故选：D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．【解答】解：根据中心对称的性质，得点(2,3)P -关于原点的对称点P '的坐标是(2,3)-． 故答案为：(2,3)-．12．【解答】解：关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，∴把1x =代入方程得：120a +-=，解得：1a =，故答案为：1．13．【解答】解：设二次函数的解析式为2y ax bx c =++． 抛物线开口向下， 0a ∴<．抛物线与y 轴的交点坐标为(0,2)， 2c ∴=．取1a =-，0b =时，二次函数的解析式为22y x =-+． 故答案为：22y x =-+（答案不唯一）．14．【解答】解：每个小方格都是边长为1的正方形， 25AB ∴=，10AC =，10BC =，222AC BC AB ∴+=， ACB ∴∆为等腰直角三角形， 45A B ∴∠=∠=︒，∴连接OC ，则90COB ∠=︒，5OB =∴BC 9055π⋅⨯，5． 15．【解答】解：过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，延长CD 交x 轴于点E ，则CE x ⊥轴，(1,2)A - AOB ∆绕点A 顺时针旋转90︒ AOB ADC ∴∆≅∆，90BAC ∠=︒又90C ABO ∠=∠=︒，∴四边形ACEB 是矩形，2AC DF EB AB ∴====，1CD BC AF ===，211DE BF AB AF∴==-=-=，213OE OB BE=+=+=，(3,1)D∴-点D恰好落在双曲线kyx=上，(3)13k∴=-⨯=-．故答案为：3-．三、解答题：（共55分）16．【解答】解：移项，得2230x x+-=，(1)(3)0x x-+=，10x-=或30x+=，解得11x=，23x=-．17．【解答】解：EAC DAB∠=∠，EAC BAE DAB BAE∴∠+∠=∠+∠，BAC DAE∴∠=∠，AB ACAD AE=，ABC ADE∴∆∆∽．18．【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是19．19．【解答】解：（1）45045012%504+⨯=（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x ， 依题意，得：2350(1)504x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．20．【解答】解：（1）将2x =代入13y x =+=，故其中交点的坐标为(2,3)， 将(2,3)代入反比例函数表达式并解得：236k =⨯=， 故反比例函数表达式为：6y x=①； （2）一次函数1y x =+的图象向下平移2个单位得到1y x =-②， 联立①②并解得：2332x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或， 故交点坐标为(2,3)--和(3,2)；（3）设一次函数的表达式为：5y kx =+③， 联立①③并整理得：2560kx x +-=，两个函数没有公共点，故△25240k =+<，解得：2524k <-， 故可以取2k =-（答案不唯一），故一次函数表达式为：25y x =-+（答案不唯一）． 21．【解答】解：（1）APC ∠是PBC ∆的一个外角， 1006337C APC ABC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，由圆周角定理得：37BAD C ∠=∠=︒，63ADC ABC ∠=∠=︒，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，906327CDB ADB ADC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）连接OD ，如图②所示： CD AB ⊥， 90CPB ∴∠=︒，90906327PCB ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，DE 是O 的切线，DE OD ∴⊥， 90ODE ∴∠=︒，254BOD PCB ∠=∠=︒，90905436E BOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．22．【解答】解：（1）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -， 3OB ∴=，OC OB =，3OC ∴=，3c ∴=，∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩， ∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+，(0,3)C ．（2）如图2，连接BC ，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，设(E a ，223)(30)a a a --+-<<， 223EF a a ∴=--+，3BF a =+，OF a =-，()111222BEC BOC BOCE S S S BF EF OC EF OF OB OC ∆∆∴=-=⋅++⋅-⋅⋅四边形 22119(3)(23)(26)()222a a a a a a =+⋅--++--+⋅-- 23922a a =--23327()228a =-++， ∴当32a =-时，BEC S ∆最大，且最大值为278． （3）抛物线223y x x =--+的对称轴为1x =-，点P 在抛物线的对称轴上， ∴设(1,)P m -，线段PA 绕点P 逆时针旋转90︒后，点A 的对应点A '恰好也落在此抛物线上， ①当0m 时，PA PA ∴='，90APA ∠'=︒，如图3，过A '作A N '⊥对称轴于N ，设对称轴于x 轴交于点M ， 90NPA MPA NA P NPA ∴∠'+∠=∠'+∠'=︒，NA P NPA ∴∠'=∠，在△A NP '与PMA ∆中，A NP PMA NA P MPA PA AP ∠'=∠⎧⎪∠'=∠⎨⎪'=⎩，∴△()A NP PMA AAS '≅∆，A N PM m ∴'==，2PN AM ==，(1,2)A m m ∴'-+，代入223y x x =--+得：22(1)2(1)3m m m +=----+， 解得：1m =，2m =-（舍去），②当0m <时，要使222P A P A =，由图可知2A 点与B 点重合，2290AP A ∠=︒，22MP MA ∴==，2(1,2)P ∴--．∴满足条件的点P 的坐标为(1,1)P -或(1,2)--．。
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2020-2021学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．若关于x的方程（a﹣2）x2+x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为（）A．a＝2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a≠22．下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9B．4.5C．3D．﹣34．抛物线y＝2（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2 5．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠DAC＝25°，则∠CAB的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣1）C．（0，0）D．（﹣1，﹣1）7．将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（）A．（0，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，1）8．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（）A．4B．4C．4D．39．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0且k≠1B．k≠1C．k≥0D．k≤010．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x 轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共5小题）11．已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝．12．已知是二次函数，则m＝．13．某测温仪公司2020年四月份生产测温仪1000台，2020年六月份生产测温仪4000台，设五、六月份每月的平均增长率为x，根据题意可列方程．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为．15．如图，在平面直角坐标系中，将Rt△OAB绕点O逆时针旋转60°后得到Rt△OA1B1，依此方式，绕点O连接旋转20次得到Rt△OA20B20，如果点A的坐标为（1，），那么点B20的坐标为．三、解答题（共7小题，满分55分）16．（6分）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．17．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．18．（7分）如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）任取一个你喜欢的m值代入，并求出此时方程的根．20．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC．（Ⅰ）把△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E落在AB边上，用尺规作图的方法作出△DEC；（保留作图痕迹，不写作法）（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接AD，求证：AD＝BC．21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE 的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．22．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E （3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．（1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？（3）是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．若关于x的方程（a﹣2）x2+x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为（）A．a＝2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a≠2解：由题意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，故选：D．2．下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．3．若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9B．4.5C．3D．﹣3解：把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，解得a＝4.5．故选：B．4．抛物线y＝2（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2解：抛物线y＝2（x+1）2﹣2的对称轴是：直线x＝﹣1．故选：B．5．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠DAC＝25°，则∠CAB的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°解：∵弧AD＝弧CD，∴∠ABD＝∠DAC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣25°＝65°，∴∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝65°﹣25°＝40°．故选：B．6．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣1）C．（0，0）D．（﹣1，﹣1）解：如图，点M的坐标是（1，﹣1），故选：B．7．将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（）A．（0，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，1）解：抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位长度，得：y＝2（x+1）2﹣1；再向上平移2个单位长度，得：y＝2（x+1）2+1．此时抛物线顶点坐标是（﹣1，1）．故选：D．8．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（）A．4B．4C．4D．3解：∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，AP＝OA＝4，∵∠AOP＝∠C+∠OAC＝60°，而∠C＝∠OAC，∴∠C＝30°，∴AC＝AP＝4．9．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0且k≠1B．k≠1C．k≥0D．k≤0解：由题意可知：k﹣1≠0且4k2﹣4k（k﹣1）≥0，∴k≥0且k≠1，故选：A．10．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x 轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，且开口向下，∴x＝1时，y＝a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），∴A（3，0），故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝﹣1．解：∵点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，∴a﹣1＝﹣2，﹣2b﹣1＝﹣3，解得：a＝﹣1，b＝1，∴2a+b＝﹣1，故答案为：﹣1．12．已知是二次函数，则m＝2．解：∵是二次函数，∴m+2≠0，m2﹣2＝2，解得：m＝2，故答案为：2．13．某测温仪公司2020年四月份生产测温仪1000台，2020年六月份生产测温仪4000台，设五、六月份每月的平均增长率为x，根据题意可列方程1000（1+x）2＝4000．解：根据题意可列方程为1000（1+x）2＝4000，故答案为：1000（1+x）2＝4000．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为6．解：如图所示，连接OD．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝16，∴CE＝DE＝CD＝8，又∵OD＝AB＝10，∵CD⊥AB，∴∠OED＝90°，在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，∴OE＝＝6，则OE的长度为6．15．如图，在平面直角坐标系中，将Rt△OAB绕点O逆时针旋转60°后得到Rt△OA1B1，依此方式，绕点O连接旋转20次得到Rt△OA20B20，如果点A的坐标为（1，），那么点B20的坐标为（﹣，）．解：∵A（1，），∴OB＝1，AB＝，∴tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝60°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OB，∴OB1＝AB1，∴B1（，），由题意B2（﹣，），B3（﹣1，0），B4（﹣，﹣），B5（，﹣），B6（1，0），…，6次一个循环，20÷6＝3…2，∴B20与B2坐标相同，B20（﹣，）．故答案为（﹣，）．三、解答题（共7小题，满分55分）16．（6分）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3．17．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标（1，1）或（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）顶点D的坐标为：D1（1，1）或D2（﹣3，﹣1）或D3（﹣5，3）．故答案为：（1，1）或（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）．18．（7分）如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．解：（1）以O为原点，抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y＝a（x﹣8）2+8，将点O（0，0）代入上式得：0＝64a+8，解得：，故函数的表达式为：，（0≤x≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x＝7.5﹣3.5＝4，当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）任取一个你喜欢的m值代入，并求出此时方程的根．【解答】（1）证明：∵△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）解：当m＝0时，方程x2﹣mx+m﹣1＝0为方程x2﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1．故m＝0时，方程的根是x1＝﹣1，x2＝1．20．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC．（Ⅰ）把△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E落在AB边上，用尺规作图的方法作出△DEC；（保留作图痕迹，不写作法）（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接AD，求证：AD＝BC．解：（Ⅰ）如图，△DEC即为所作；（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠DCE＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B．∴∠DCE＝∠B，又由（Ⅰ）知CE＝CB，∴∠CEB＝∠B．∴∠CEB＝∠DCE，∴AB∥CD，由（Ⅰ）CD＝CA，又∵CA＝BA，∴AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC．21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE 的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．解：（1）证明：连结OE，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE又OB＝OE，∠ABE＝∠BEO，∴∠CBE＝∠BEO∴OE∥BC又∠C＝90°即AC⊥BC．∴OE⊥AC，即AC是⊙O的切线；（2）连结DE，∵AE平分∠ABC，AC⊥BC、EH⊥AB∴CE＝EH，DE＝EF，∴Rt△CDE≌△Rt△HFE（HL），∴CD＝HF，∵CD＝1，∴HF＝1∵OH＝3，∵OE2＝OH2+HE2，∴OE2＝（OE﹣1）2+32解得：0E＝5，∴BH＝9∴．22．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E （3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．（1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？（3）是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），∴抛物线的对称轴为x＝1，∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点A（0，﹣3），∴C（2，﹣3），抛物线表达式为y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，过点P作y轴的平行线交AE于点H，由点A，E的坐标得直线AE的表达式为y＝x﹣3，设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），∴△PAE的面积S＝PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t）＝﹣，∴当t＝时，S有最大值；（3）∵直线AE表达式中的k值为1，∴∠AEO＝45°，①当∠PEA＝90°时，∵PE⊥AE，∴直线PE与x轴的夹角为45°，∴设直线PE的表达式为y＝﹣x+b，将点E的坐标代入并解得b＝3，∴直线PE的表达式为y＝﹣x+3，联立得，解得x＝﹣2或3（不合题意，舍去）故点P的坐标为（﹣2，5），②当∠PAE＝90°时，同理可得，点P（1，﹣4），综上，点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）．。