低秩矩阵恢复算法综述
《2024年快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究》范文
《快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究》篇一一、引言在信号处理和数据分析领域，矩阵和张量的恢复问题是一个重要的研究方向。
其中，低秩矩阵和张量恢复在图像处理、视频分析、推荐系统等领域有着广泛的应用。
然而，随着数据规模的增大和复杂性的提高，传统的低秩矩阵与张量恢复算法面临着计算效率低下的问题。
因此，本文致力于研究快速低秩矩阵与张量恢复的算法，旨在解决计算效率和准确度之间的矛盾，并改善当前方法的局限性。
二、低秩矩阵与张量恢复概述低秩矩阵和张量恢复的主要目标是从噪声数据或损坏的数据中恢复出原始的低秩结构。
在许多实际应用中，如图像去噪、视频背景提取等，低秩性是一个重要的特性。
传统的低秩矩阵和张量恢复算法主要包括奇异值阈值法（SVT）等优化算法，这些算法通常在数据规模较小的情况下表现出良好的效果。
然而，在处理大规模数据时，这些算法的计算复杂度较高，无法满足实时处理的需求。
三、快速低秩矩阵恢复算法研究针对低秩矩阵恢复问题，本文提出了一种基于近似奇异值分解的快速算法。
该算法通过引入近似奇异值分解技术，降低计算复杂度，提高计算效率。
同时，通过引入正则化项，优化模型以更好地适应噪声数据和损坏数据的情况。
此外，本文还对算法的收敛性和稳定性进行了理论分析，证明了算法的有效性。
四、快速张量恢复算法研究对于张量恢复问题，本文提出了一种基于张量分解的快速算法。
该算法利用张量的低秩性，通过张量分解技术将高维数据转换为低维数据进行处理。
在分解过程中，本文采用了并行化处理技术，进一步提高计算效率。
此外，为了适应不同类型的数据和不同的噪声情况，我们还设计了多种正则化项和优化策略。
五、实验与分析为了验证本文提出的快速低秩矩阵与张量恢复算法的有效性，我们进行了大量的实验。
实验结果表明，本文提出的算法在计算效率和准确度方面均优于传统算法。
在处理大规模数据时，本文算法能够在较短的时间内完成恢复任务，并获得较好的恢复效果。
此外，我们还对算法的稳定性和泛化能力进行了评估，证明了算法在实际应用中的可行性。
基于低秩矩阵恢复与协同表征的人脸识别算法
基于低秩矩阵恢复与协同表征的人脸识别算法作者：何林知赵建民朱信忠吴建斌杨凡郑忠龙来源：《计算机应用》2015年第03期摘要针对人脸图像不完备的问题和人脸图像在不同视角、光照和噪声下所造成训练样本污损的问题，提出了一种快速的人脸识别算法——RPCA_CRC。
首先，将人脸训练样本对应的矩阵D0分解为类间低秩矩阵D 和稀疏误差矩阵E ；其次，以低秩矩阵D 为基础，得到测试样本的协同表征；最后，通过重构误差进行分类。
相对于基于稀疏表征的分类（SRC方法，所提算法运行速度平均提高25倍；且在训练样本数不完备的情况下，识别率平均提升30%。
实验证明该算法快速有效，识别率高。
关键词低秩；稀疏；人脸识别；协同表征；误差矩阵中图分类号 TP391.4； TP18文献标志码 A0引言人脸识别技术作为生物识别技术的一个重要领域，近年来取得了显著发展，已广泛用于政府、军队、银行、社会福利保障、电子商务、安全防务等领域，具有巨大的潜在应用前景。
现实自然图像能被大量冗余的结构元素所稀疏编码[1]，由于l0范数和l1范数理论的发展[2-4]，稀疏编码和稀疏表征成为解决各类图像恢复及有关逆问题的有效工具之一[5-6]。
2009年，Wright等发表一项引人注目的工作，将稀疏表征应用于人脸识别领域（Sparse Representation based Classification， SRC[7]，并取得了极大成功。
该方法具有良好的鲁棒性，即使人脸图像被噪声和误差干扰，也能获得良好的效果。
但由于SRC本身算法的限制，使得其计算开销过大；同时SRC算法用于稀疏表征的训练字典中的观测样本随着视角不同、光照强弱、噪声干扰和数量限制，使得训练字典类间特征模糊且不完备。
Yang等[8]结合稀疏编码和线性空间金字塔匹配技术，应用于人脸识别领域。
Gao等[9]提出核稀疏表征，Yang等[10]提出Gabor特性来减少SRC的计算开销。
另一些关于稀疏表征的应用也应运而生[11]。
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《快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究》篇一一、引言在大数据时代，低秩矩阵与张量的恢复问题在众多领域中具有极其重要的应用价值。
从图像处理到视频分析，从推荐系统到信号处理，低秩矩阵和张量的恢复算法对于数据的有效表示和修复至关重要。
本文主要针对快速低秩矩阵与张量恢复的算法进行研究，分析现有算法的优缺点，并提出一种高效的算法解决方案。
二、低秩矩阵与张量恢复背景低秩矩阵与张量恢复的主要目标是在面对大量高维、复杂数据时，找到数据中潜在的低秩结构并进行有效恢复。
这类问题常用于图像和视频数据的降噪和压缩、网络数据的可视化分析等领域。
近年来，随着大数据技术的不断发展，如何快速准确地实现低秩矩阵与张量的恢复成为研究热点。
三、现有算法概述及问题分析当前，低秩矩阵与张量恢复算法主要分为两大类：基于凸优化的方法和基于迭代优化的方法。
前者计算复杂度较高，但能保证解的稳定性；后者通常能较快地找到近似解，但可能陷入局部最优。
然而，这两种方法在处理大规模数据时仍存在计算效率不高的问题。
此外，现有算法在处理复杂张量结构时，往往难以同时保证恢复精度和计算速度。
四、快速低秩矩阵与张量恢复算法设计针对上述问题，本文提出一种基于分布式优化和近似梯度下降的快速低秩矩阵与张量恢复算法。
该算法采用分布式框架将大规模问题分解为多个小规模子问题，以减少每次迭代的计算复杂度。
同时，引入近似梯度下降策略来加快收敛速度。
具体步骤如下：1. 初始化：对原始数据进行预处理，确定合适的秩估计值。
2. 分布式优化：将原始问题分解为多个子问题，并分配到不同的计算节点上并行处理。
3. 近似梯度下降：在每个子问题上应用近似梯度下降策略进行迭代优化。
4. 合并与优化：将各子问题的解合并并进行全局优化，得到最终的恢复结果。
五、算法性能分析通过在多种不同类型的数据集上进行实验验证，本文所提出的快速低秩矩阵与张量恢复算法在计算效率上具有明显优势。
相较于传统的基于凸优化的方法，新算法能够在较短的时间内达到相近的恢复精度；同时，新算法也能够快速地处理复杂张量结构，并保证较高的恢复质量。
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《快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究》篇一一、引言在大数据时代，低秩矩阵与张量的恢复技术已经成为众多领域的研究热点。
无论是图像处理、视频分析，还是机器学习、信号处理，低秩恢复技术都发挥着重要作用。
低秩矩阵与张量恢复的核心在于利用矩阵或张量的结构特征来处理各种问题。
其中，快速的恢复算法成为近年来研究的焦点，对于实时应用尤为关键。
本文将对快速低秩矩阵与张量恢复的算法进行研究与探讨。
二、低秩矩阵恢复的背景与意义低秩矩阵恢复技术是指通过分析高维数据，利用其低秩特性进行信息提取和重构的技术。
在图像处理、推荐系统等领域，该技术得到了广泛应用。
由于噪声、数据损坏等影响，往往需要对原始数据进行低秩恢复。
因此，快速而准确的低秩矩阵恢复算法显得尤为重要。
三、快速低秩矩阵恢复算法的研究现状当前，针对低秩矩阵恢复的算法已经取得了显著的进展。
其中，基于奇异值分解（SVD）的方法是最常用的手段之一。
然而，传统的SVD方法在处理大规模数据时效率较低。
为此，许多学者开始探索更高效的算法，如基于迭代阈值法的低秩矩阵恢复算法、基于加速近端梯度（APG）的方法等。
这些方法在提高恢复速度的同时，也保证了良好的恢复效果。
四、快速低秩张量恢复算法的探讨张量是比矩阵更高阶的数据结构，在多维数据处理中发挥着重要作用。
随着高阶数据的广泛应用，低秩张量恢复问题也受到了广泛关注。
在张量恢复中，不仅需要考虑其低秩特性，还需要考虑其多线性特征。
目前，针对张量的快速恢复算法主要基于高阶奇异值分解（HOSVD）或其扩展技术，这些技术能在保持低秩特性的同时实现数据的快速恢复。
五、快速恢复算法的核心技术及优势（1）高效计算：快速的恢复算法依赖于高效的计算框架和计算资源，采用适当的数学方法和工具，如分布式计算、GPU加速等手段，可大幅提高计算效率。
（2）多任务处理：结合其他先进的数据处理方法如稀疏表示和正则化技术等，能够更有效地解决多种类型的低秩问题。
（3）准确度与速度：良好的快速恢复算法应同时兼顾准确度和速度。
低秩矩阵恢复模型
低秩矩阵恢复模型
低秩矩阵恢复模型是一种用于从不完整、噪声或有缺失数据的矩阵中恢复真实低秩结构的方法。
在许多实际场景中，我们可能只能观察到矩阵的部分元素，但我们希望能够利用这些部分观测来估计完整的矩阵。
低秩矩阵恢复模型的主要思想是，假设观测到的矩阵可以表示为一个相对较低秩的矩阵加上一个噪声项。
通过利用观测到的部分矩阵数据，我们可以使用优化算法来最小化原始矩阵与低秩矩阵的差异，并同时降低噪声的影响。
常见的低秩矩阵恢复方法包括奇异值分解（SVD）、核范数
规则化、迭代阈值算法等。
这些方法将低秩矩阵恢复问题转化为求解一个优化问题，通过最小化误差函数来估计原始矩阵。
此外，一些方法还引入了正则化项，以提高恢复结果的稀疏性，从而更好地应对噪声和缺失数据。
低秩矩阵恢复模型在很多领域有广泛应用，如图像恢复、视频处理、推荐系统等。
通过恢复低秩结构，可以提高模型的鲁棒性和泛化性能，并从有限的观测数据中获得更准确的信息。
基于矩阵RIP条件的低秩矩阵恢复算法
基于矩阵RIP条件的低秩矩阵恢复算法作者：蔡云石莹来源：《科技风》2019年第30期摘;要：低秩矩阵恢复问题考虑从较少的线性测量信号中来恢复一个未知的低秩的矩阵，该问题在高维图像处理等有着广泛的应用。
本文主要介绍低秩矩阵恢复的一些数学背景以及常用的恢复算法，最后给出基于矩阵RIP条件的恢复结果。
关键词：低秩矩阵恢复;矩阵RIP条件;恢复算法中图分类号：O29文献标识码：A近年来，考虑从较少的线性测量信号中恢复未知的高维稀疏信号的问题即压缩感知问题已经成为了热点研究问题，并引起了国内外研究者们的高度关注，已经在许多领域产生了重要的应用，并取得了许多重要的研究成果，谷歌学术上有关压缩感知的学术论文数以千计，并激发了包括应用数学、统计、计算机科学、工程等领域研究者们的极大的兴趣，成为近十余年来最热门的研究方向。
低秩矩阵恢复问题是压缩感知的推广问题，此时要恢复的是一个矩阵，即考虑从线性观测向量中来恢复一个未知的矩阵。
这样的问题中在实际应用中普遍存在，例如图像处理、音频和视频处理、文本及语义分析等，最特别的例子就是Netflix百万大奖问题等。
因此，低秩矩阵恢复问题也得到了研究者门的高度关注，在信号处理、模式识别、在线推荐系统等方面已经有了广泛的应用。
[1-2]一、低秩矩阵恢复在低秩矩阵恢复问题中，我们有观测模型y=A（X）+z，其中y∈Rm是测量向量，A∈R;n1×n2→Rm（mSymbolcB@n1n2）是线性测量算子，z∈Rm是测量噪声。
研究目标是从已知的观测向量y和测量算子A中来恢复未知的矩阵X。
一个特别情况是矩阵填充问题，在矩阵填充中我们得到的观测值是矩阵X的部分已知元素构成的矩阵，矩阵填充问题是矩阵恢复的一个特例，而且矩阵填充最著名的例子是美国的Netflix百万大奖问题，该问题实际上也是一个在线推荐系统问题，在现实生活中广泛存在，对人们的购物消费等习惯具有较好的指引作用。
注意到低秩矩阵恢复问题实际上是压缩感知问题在高维上的推广问题，当矩阵X是一个对角矩阵时，低秩矩阵恢复问题就变成压缩感知问题y=Ax+z，但实际上无论低秩矩阵恢复问题还是压缩感知问题都是病态的反问题。
《2024年快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究》范文
《快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究》篇一一、引言随着大数据时代的到来，矩阵和张量的处理在众多领域中发挥着越来越重要的作用。
其中，低秩矩阵与张量恢复技术在图像处理、信号处理、机器学习等领域得到了广泛的应用。
然而，传统的低秩矩阵与张量恢复算法往往存在计算复杂度高、恢复速度慢等问题。
因此，研究快速低秩矩阵与张量恢复的算法具有重要的理论意义和实际应用价值。
二、低秩矩阵恢复算法研究1. 算法背景与挑战低秩矩阵恢复是利用矩阵的稀疏性和低秩性，从损坏的或者不完整的数据中恢复出原始的低秩矩阵。
这一技术广泛应用于图像处理、推荐系统等领域。
然而，传统的低秩矩阵恢复算法通常面临着计算量大、恢复速度慢等问题。
2. 快速低秩矩阵恢复算法设计针对上述问题，本文提出了一种基于近似奇异值分解（SVD）的快速低秩矩阵恢复算法。
该算法通过利用矩阵的稀疏性和低秩性，快速提取出主要成分，从而实现对矩阵的快速恢复。
同时，本文还采用了优化算法对目标函数进行优化，以提高恢复的准确性和效率。
三、张量恢复算法研究1. 张量恢复的应用场景与挑战张量作为多维数据的一种表现形式，在多维信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用。
然而，由于数据的缺失、噪声等问题，往往需要进行张量恢复。
传统的张量恢复算法面临着数据量大、计算复杂度高等问题。
2. 快速张量恢复算法设计为了解决上述问题，本文提出了一种基于并行计算的快速张量恢复算法。
该算法利用GPU加速计算，实现对张量的快速恢复。
同时，为了防止过拟合和提升模型的泛化能力，我们还引入了正则化项。
四、实验与结果分析1. 实验数据与环境设置为验证所提出算法的有效性，我们采用了多个公开数据集进行实验。
实验环境为高性能计算机，并使用MATLAB和Python 等编程语言进行实现。
2. 实验结果与分析通过对比传统算法与本文所提出的快速低秩矩阵与张量恢复算法，我们发现所提出的算法在计算效率和恢复准确性方面均有所提升。
具体而言，在低秩矩阵恢复方面，本文所提出的算法在保证恢复准确性的同时，大大提高了计算速度；在张量恢复方面，利用GPU加速计算的方法进一步提高了恢复速度，并有效防止了过拟合现象的发生。
一种改进的阵列信号降采样低秩矩阵恢复方法_杨东_廖桂生_朱圣棋_王凯
i 1 k i k 1
uu
i i
M
H i
,
(4)
其中 i 代表了第 i 个特征值，相应的特征向量为 u i 。前 k 个大特征值对应的特征向量{u1 , u2 ,, uk } 定义为 信号子空间 Us ，其补空间为噪声子空间 U n 。因此，基于 MUSIC 的 DOA 估计方法表示为
X(t ) a(i )si (t ) N(t ) t t1 , t2 ,, t N .
i 1 k
(6)
可以看出当来波信号个数稀疏时，上述信号在不考虑噪声时满足低秩特性。这样的结构使得我们可以 利用矩阵填充方法去恢复丢失的数据，在降采样条件下得到全采样的估计结果。将观测的数据定义为一个 全采样数据在子集 Ω 上的投影，那么接收的信号可以表述为
第5期
杨东等：一种改进的阵列信号降采样低秩矩阵恢复方法
37
1 e j 2 dl/ sin j 2 d / sin j 2 d (l 1)/ sin e e ( ) a j 2 d (l 1)/ sin j 2 d (2l 1)/ sin e e
2 阵列信号 DOA 模型
快拍
阵元
1 2
d
来波信号
M
图 1 阵列信号模型
阵列模型如图 1 所示，一个均匀等距线阵包含 M 个阵元，其接收信号为： (1) X(t ) A( )s(t ) N(t ), t t1 , t2 ,, tN , 其中 X(t) [ x( t1 是 N 个快拍下的接收信号， s(t ) 是信号的幅度， N(t ) 是高斯随机白噪声， k 个 ), , x ( t )] N 远场窄带信号的导向矢量表示为 A( ) [a(1 ), a(2 ),, a(k )] ，其中i 即信号波达方向（DOA）估计问题 中所需求解的参量。导向矢量具体写为
面向背景减除的低秩矩阵恢复算法的研究
目录摘要 (i)ABSTRACT (ii)第一章绪论 (1)1.1 研究背景及意义 (1)1.2 研究现状 (3)1.2.1 背景减除研究现状 (3)1.2.2 低秩矩阵恢复研究现状 (4)1.2.3 背景剪除与低秩矩阵恢复的联系 (6)1.3 论文工作 (7)1.4 论文组织结构 (7)第二章低秩矩阵恢复相关基础 (9)2.1 低秩矩阵恢复介绍 (9)2.1.1 低秩矩阵恢复的基本原理 (9)2.1.2 低秩矩阵恢复存在的问题 (9)2.2 优化方法 (11)2.2.1 奇异阈值法 (11)2.2.2 加速近端梯度法 (12)2.2.3 对偶法 (13)2.2.4 增广拉格朗日乘子法 (14)2.2.5 优化方法总结 (14)2.3 测试数据和实验评估方法 (15)2.3.1 测试数据 (15)2.3.2 实验评估方法 (16)2.4 本章小结 (17)第三章基于连续近似的连续最小化低秩矩阵恢复模型 (18)3.1 引言 (18)3.2 非凸近似 (19)3.3 连续策略 (20)3.4 连续近似的连续最小化的低秩矩阵恢复模型 (21)3.4.1 模型推导 (21)3.4.3 算法过程 (23)3.4.4 收敛性分析 (24)3.5 实验结果 (27)3.5.1 模拟数据 (27)3.5.2 真实数据 (29)3.6 本章小结 (31)第四章基于方程约束的低秩矩阵恢复模型 (32)4.1 引言 (32)4.2 方差约束 (33)4.3 方差约束的地址矩阵恢复模型 (34)4.3.1 模型推导 (34)4.3.2 参数更新 (35)4.3.3 算法过程 (36)4.4 实验结果 (37)4.4.1 模拟数据 (37)4.4.2 真实数据 (38)4.5 本章小结 (39)第五章工作总结与展望 (40)5.1 工作总结 (40)5.2 未来工作展望 (40)致谢 (42)参考文献 (44)作者在学期间取得的学术成果 (51)附录A 英文缩写词参考表 (52)表2.1 LRMR 算法的优化方法对比 (15)表3.1 常用的非凸松弛函数 ...................................................................................... 19 表3.2 当e ρ设置为0.1，r ρ以步长0.05在区间[0.1，0.35]上变化模拟数据上的性能评估 ............................................................................................................................ 27 表3.3 当e ρ设置为0.2，r ρ以步长0.05在区间[0.1，0.35]上变化模拟数据上的性能评估 ............................................................................................................................ 28 表3.4 tanh-RPCA 、RPCA 、WNNM-RPCA 、NoncvxRPCA 和PRMF 在数据集上的定量结果. ................................................................................................................... 30 表4.1 当e ρ设置为0.1，r ρ以步长0.05在区间[0.1，0.35]上变化模拟数据上的性能评估 ............................................................................................................................ 37 表4.2 当e ρ设置为0.2，r ρ以步长0.05在区间[0.1，0.35]上变化模拟数据上的性能评估 ............................................................................................................................ 37 表4.3 var-RPCA 、WNNM-RPCA 、RPCA 、TVRPCA 和PRMF 在数据集上的定量结果. (39)图1.1 背景减除的应用场景 (2)图1.2 背景减除的影响因素 (3)图1.3 背景减除 (4)图1.4 低秩矩阵恢复 (5)图1.5 基于低秩矩阵恢复的背景减除 (6)图2.1 Water Surface、Hall和Airport数据及真实前景 (16)图2.2 Bootstrap，Camouflage，Time Of Day和Waving Tree数据及真实前景.. 16图3.1 低秩近似函数对比 (20)图3.2 RPCA收敛曲线 (28)图3.3 WNNM-RPCA收敛曲线 (29)图3.4 tanh-RPCA收敛曲线 (29)图3.5 通过tanh-RPCA，WNNM-RPCA，RPCA，NoncvxRPCA和PRMF分别在七个数据集上恢复原始帧，真实前景和恢复帧. (30)图4.1 var-RPCA、RPCA在真实数据集上1(11))nT TT A I Ar(的值. (34)图4.2 通过var-RPCA，WNNM-RPCA，RPCA，TVRPCA和PRMF分别在七个数据集上恢复原始帧，真实前景和恢复帧. (38)摘要背景减除是视频分析中的一个重要研究方向，是指将视频帧序列中的前景从背景中分离出来，可用于视频监控、人机交互、医学图像处理等各种视觉任务中。
大规模低秩恢复中的黎曼优化算法
大规模低秩恢复中的黎曼优化算法
大规模低秩恢复（Large-scale low-rank recovery）是一类常见
的优化问题，涉及到在高维数据中找到低秩矩阵的最优近似。
黎曼优化算法是一种在黎曼流形（Riemannian manifold）上进
行优化的方法，用于解决这类问题。
在大规模低秩恢复问题中，我们希望找到一个低秩矩阵，使得它与给定的高维数据之间的误差最小。
黎曼优化算法采用一种特殊的参数更新方式，能够有效地在黎曼流形上进行优化。
黎曼流形是一种曲线空间，用于描述矩阵的低秩结构。
黎曼优化算法的思想是通过迭代的方式，依次更新参数以逐步逼近最优解。
在每次迭代中，算法计算当前参数点所在位置的切空间（tangent space），并在该切空间上进行参数更新。
这
样可以保证每次更新都是在曲线空间内进行的，从而更好地逼近最优解。
具体而言，黎曼优化算法在每次迭代中，首先计算当前参数点在曲线空间中的切空间，然后基于切空间上的梯度信息进行参数更新。
这个过程可以看作是在黎曼流形上进行梯度下降优化。
通过反复迭代，算法逐渐接近最优解。
总结起来，大规模低秩恢复中的黎曼优化算法是一种在黎曼流形上进行优化的方法，用于解决高维数据中的低秩恢复问题。
它通过迭代更新参数，逐步逼近最优解，能够有效地处理大规模数据，并获得较好的恢复效果。
快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究
快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究一、引言随着大数据时代的到来，数据存储和处理的需求不断增加。
然而，随之而来的挑战是海量数据的处理效率与存储空间的需求。
因此，如何从海量数据中恢复低秩矩阵和张量变得尤为重要。
低秩矩阵和张量恢复是一种重要的数据处理技术，它可以在大数据场景下高效地降低存储空间和计算复杂度。
二、低秩矩阵恢复算法研究1. 传统矩阵恢复算法传统的矩阵恢复算法主要有奇异值分解法和基于矩阵分解的方法。
奇异值分解法通过对待恢复的矩阵进行分解，将其分解为一个秩较低的矩阵乘积的形式。
基于矩阵分解的方法则是通过将待恢复的矩阵分解为多个低秩矩阵的乘积，从而实现低秩矩阵的恢复。
2. 快速矩阵恢复算法快速矩阵恢复算法是一种通过减少计算和存储复杂度的方法，以提高矩阵恢复的效率。
这类算法主要包括基于随机采样的方法和基于块状结构的方法。
其中，基于随机采样的方法通过从原始矩阵中随机选择一些列或行进行采样，然后通过对采样数据进行处理得到低秩矩阵的估计。
基于块状结构的方法则是将原始矩阵分割为多个块，每个块都是一个低秩矩阵，从而实现低秩矩阵的恢复。
三、低秩张量恢复算法研究1. 传统张量恢复算法传统的张量恢复算法主要有基于低秩分解的方法和基于张量分解的方法。
基于低秩分解的方法通过对张量进行分解，将其分解为一个低秩张量的乘积的形式。
基于张量分解的方法则是将张量分解为多个低秩张量的和，从而实现低秩张量的恢复。
2. 快速张量恢复算法快速张量恢复算法是一种通过减少计算和存储复杂度的方法，以提高张量恢复的效率。
这类算法主要包括基于核范数的方法和基于局部信息的方法。
基于核范数的方法通过对数据进行局部核化，然后通过核范数约束进行恢复。
基于局部信息的方法则是通过对数据进行划分，每个划分都可以看作是一个低秩张量，并通过这些低秩张量的恢复来实现原始张量的恢复。
四、算法性能评价与比较1. 运行时间对于矩阵恢复算法而言，快速算法相比传统算法具有更快的运行速度，因为快速算法通过减少计算和存储复杂度来提高效率。
《2024年快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究》范文
《快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究》篇一一、引言在信息技术领域，数据的存储与处理常以矩阵与张量形式进行，这些数据的处理对机器学习和数据科学具有深远的影响。
尤其在一些大型应用场景中，数据矩阵的秩往往较低，其低秩特性常被用于恢复数据。
因此，快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究具有重要的理论和应用价值。
本文将探讨此类算法的原理、应用及研究进展。
二、低秩矩阵与张量恢复的基本原理低秩矩阵与张量恢复主要基于矩阵和张量的低秩特性。
在许多实际问题中，如图像处理、视频分析等，数据往往具有低秩特性。
通过恢复这些数据的低秩特性，我们可以提高数据的处理效率和质量。
具体而言，我们通常采用一种基于优化的方法，如奇异值分解或迭代算法等，将受损的低秩数据转化为无损的数据。
三、快速低秩矩阵恢复算法研究1. 算法概述针对低秩矩阵的快速恢复，研究者们提出了一系列算法。
这些算法主要基于奇异值分解（SVD）和梯度下降法等优化方法。
其中，基于SVD的算法能快速找到数据的低秩特性，而基于梯度下降法的算法则能在保持数据低秩特性的同时进行数据修复。
2. 算法优化与改进为提高算法的运行速度和准确性，研究者们对上述算法进行了优化和改进。
例如，通过引入稀疏约束和正则化项，可以在一定程度上提高算法的鲁棒性；同时，采用并行计算和分布式计算等策略可以显著提高算法的运行速度。
此外，针对不同类型的数据和问题，研究者们还提出了各种定制化的算法。
四、快速低秩张量恢复算法研究1. 算法概述与低秩矩阵恢复类似，针对低秩张量的快速恢复也发展出了一系列算法。
这些算法主要利用张量的多维特性进行优化和恢复。
由于张量数据具有更高的复杂性和维度，因此张量恢复算法通常比矩阵恢复算法更为复杂。
2. 张量恢复与高阶数据处理张量恢复在高阶数据处理中具有广泛的应用，如视频监控、高光谱图像处理等。
在这些应用中，张量恢复算法能有效地处理多维度的数据，提高数据的处理效率和准确性。
此外，结合深度学习和神经网络等技术，张量恢复算法在人工智能领域也具有广阔的应用前景。
低秩矩阵恢复的近似迭代再加权算法
等教 育教 学 改革 项 目 （ ３ ０ ５ ２ ７ ０ ０ ３ ，Ｊ Ｇ ２ ０ １ ４ ０ １ ０） ；广 东省 普 通 高校 特 色创 新 类项 目（ ２ ０ １ ６ Ｇ Ｘ Ｊ Ｋ１ ６ １ ）
二
（ １ ）
其中，ｆ ＞ ０ 为正则化参数；Ｉ ｌ １ Ｉ ， ＝ （ ∑ （ ｘ ） ） “ ， Ｐ ∈ （ ０ ， １ ） ；ｂ 是一个已知的向 量． 由 于式 （ １ ） 是一
ｉ ＝ １
个非 凸优 化 问题 ，对 于 ， 。 最 小 化 问题 文 献 【 ｌ － ３ 】 提 出采 用 迭 代 再 加 权 算 法 求 解 ，本 文 给 出 一种 新 的求 解式 （ １ ）的 近似 迭 代 再 加权 算 法 ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｌ ｏ ｗ ｒ ａ ｎｋ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｒ ｅ ｃ ｏ ｖ ｅ ｒ ｙ ； ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ｒ ｅ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｅ ｄ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍｓ ；ｓ ｉ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｖ ａ ｌ ｕｅ ｄ ｅ ｃ ｏ ｍｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ
第 ３ ｌ 卷 第 ２期
２０１ ７定
五 邑大学学 报 （ 自然科学 版 ）
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ ＮＡ Ｌ Ｏ Ｆ ＷＵⅥ ＵＮ Ｉ ＶＥ ＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ）
、 幻１ ． ３ １ Ｎｏ ． ２ Ｍａ ｖ ｌ ２ ０１ ７
摘要 ：低秩 矩 阵恢 复 问题 常 常正 则化 为非 凸非 光滑 的最优 化 问题 ，并 用迭 代再 加权 算 法求解 ．
本 文借 助迹 算子 的次梯度 提 出了一 种近似 算 法 ，避 免 了求 解线性 方程 组 而直接 求解． 关键词 ：低秩 矩 阵恢复 ；迭代 再加权 ；Ｓ Ｖ Ｄ 分解
粒子群优化的加权核范数低秩矩阵补全算法
0引言低秩矩阵补全是恢复二维矩阵缺失信息的一种新兴技术[1,2]。
该技术利用缺失信息与观测数据之间的相关性,通过优化秩最小化模型获得一个与原观测矩阵近似的低秩矩阵,从而恢复矩阵中的缺失元素[3]。
由于相关恢复算法的收敛精度较高,低秩矩阵现已成为机器学习领域的研究热点之一[4,5]。
加权核范数最小化方法(Weighted NuclearNorm Minimization,WNNM)是Shuhang Gu 等人[6]于2017年提出的一种改进版本的奇异值阈值化方法。
该方法能够根据阈值决策函数动态调整矩阵奇异值的阈值:奇异值越大,获得的阈值越小。
这种策略能够更好地保留矩阵中的有效信息并抑制矩阵中的噪声信息[1]。
与奇异值阈值化算法(SVT)[7]等基于核范数最小化的补全方法相比,WNNM 算法具有更高的收敛精度。
因此,该算法一经提出就受到机器学习[8-10]等领域的广泛关注。
然而,WNNM 算法因阈值决策函数单一,导致该算法在不同数据矩阵上的恢复性能不稳定的问题也越来越受到许多学者的重视。
为了获得收敛精度高的恢复结果,必须针对特定的测试数据合理设置相应参数的取值。
这样,WNNM 算法批量化处理大量矩阵数据的能力必然受到一定的限制:很难找到统一的参数设置使得WNNM 算法在不同数据上都能获得较好的收敛效果。
与WNNM 类似,同时期的其他多种类型的加权核范数最小化方法则尝试不同的加权方式来提升算法的恢复精度。
2016年,胡尧[11]等人提出截断核范数正则化低秩矩阵补全方法,强调矩阵的前几个较大的奇异值主要用来恢复矩阵的有效信息,不对其进行阈值化操作能够尽可能多的保留矩阵的主体信息;因此,只对剩余的较小奇异值进行优化,在一定程度上提升了算法的收敛精度。
2019年,Liu [3]等人提出一种泛化的加权核范数最小化方法,也即加权L 2,1范数最小化的矩阵补全方法。
该方法的最优化模型在理论上能够收敛到加权核范数最小化模型,具有与加权核范数最小化方法类似的收敛精度。
低秩矩阵恢复算法综述
优化问题式（９）是 ＮＰ难的，因此需要对此优化问题的目
标函数进行松弛。由于矩阵的核范数是矩阵秩的包络，矩阵的
（１，１）范数是 ０范数的凸包，故将问题式（９）松驰到如下凸优
化问题：
ｍＡ，ｉＥｎ‖Ａ‖ ＋λ‖Ｅ‖１，１ ｓ．ｔ． Ａ＋Ｅ＝Ｄ
（１０）
在实际计算中，文献［８］建议取 λ＝１／槡ｍａｘ（ｍ，ｎ）。优化 问题式（１０）也称为鲁棒主成分分析。下面简要介绍求解 ＲＰ
＝ｍａｘ １≤ｉ≤ｎ
ａｉ 。
定义 ２ 矩阵的内积。对于两个同型的 ｍ×ｎ维实矩阵 Ａ
和 Ｂ，它们的内积为〈Ａ，Ｂ〉＝∑ｍｉ＝１∑ｎｊ＝１ａｉｊｂｉｊ。 定义 ３ 矩阵的范数。矩阵 Ａ＝（ａｉｊ）ｍ×ｎ∈Ｒｍ×ｎ的 Ｆｒｏｂｅ
槡 ｎｉｕｓ范数为‖Ａ‖Ｆ ＝ ∑ｍｉ＝１∑ｎｊ＝１ａ２ｉｊ，０范数‖Ａ‖０ 为矩阵 Ａ
（１２）
使用迭代阈 值 算 法 （ｉｔｅｒａｔｉｖｅｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ，ＩＴ）交 替 更 新 矩
阵 Ａ、Ｅ和 Ｙ。当 Ｅ＝Ｅｋ，Ｙ＝Ｙｋ时，
Ａｋ＋１＝ａｒｇｍＡｉｎＬ（Ａ，Ｅｋ，Ｙｋ）＝ａｒｇｍＡｉｎ‖Ａ‖ ／μ＋ ‖Ａ－Ｙｋ／μ‖２Ｆ／２＝Ｄ１／μ（Ｙｋ／μ）＝μ－１Ｄ１（Ｙｋ）
（１３）
当 Ａ＝Ａｋ＋１，Ｙ＝Ｙｋ时，
ＣＡ的几种主要的算法。
迭代阈值算法［］
将最优化问题式（１０）正则化，便得到优化问题：
ｍｉｎ ‖Ａ‖
Ａ，Ｅ
＋λ‖Ｅ‖１，１ ＋μ（‖Ａ‖２Ｆ ＋‖Ｅ‖２Ｆ）／２
ｓ．ｔ．Ａ＋Ｅ＝Ｄ
（１１）
其中：参数 μ为比较小的正数。优化问题式（１１）的拉格朗日 （Ｌａｇｒａｎｇｅ）函数为
Ｌ（Ａ，Ｅ，Ｙ）＝‖Ａ‖ ＋λ‖Ｅ‖１，１＋ μ（‖Ａ‖２Ｆ ＋‖Ｅ‖２Ｆ）／２＋〈Ｙ，Ｄ－Ａ－Ｅ〉
快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究
快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究快速低秩矩阵与张量恢复的算法研究矩阵和张量在数学和计算机科学中扮演着重要的角色。
它们的应用涵盖了各个领域，如信号处理、图像处理、机器学习等。
然而，在实际应用中，由于采集噪声、数据丢失等原因，矩阵和张量的部分元素通常是未知的。
因此，如何从不完整的数据中恢复出原始的矩阵或张量，是一个非常具有挑战性的问题。
近年来，快速低秩矩阵与张量恢复算法被广泛研究。
这种算法利用了矩阵和张量的低秩性质，通过最小化秩的方法来恢复原始信息。
其中，低秩表示矩阵或张量具有较少的独立维度，即其元素之间具有一定的相关性。
在矩阵恢复中，通常假设矩阵具有低秩结构，同时给定了部分观测元素。
而在张量恢复中，将矩阵扩展到更高维度，考虑未知元素的多样性和相关性。
传统的矩阵和张量恢复算法，如SVD（奇异值分解）和张量分解，计算复杂度较高，对于大规模数据难以处理。
因此，研究者开始探索开发快速低秩矩阵与张量恢复的算法。
这些算法通过结合矩阵或张量的结构特点和优化方法，实现高效而精确的恢复。
以下将介绍几种常见的快速低秩矩阵与张量恢复算法。
首先，我们介绍一种基于核范数的矩阵恢复算法：迭代硬阈值算法。
该算法通过迭代优化目标函数，将迭代过程中的结果进行硬阈值处理，保留满足一定条件的元素，从而实现低秩矩阵的恢复。
该算法具有较快的收敛速度和较高的恢复准确度。
其次，我们介绍一种基于非凸优化的矩阵恢复算法：交替方向乘子法。
该算法将原始问题转化为一系列子问题，并通过交替求解这些子问题来逼近原始问题的最优解。
该算法通过引入拉格朗日乘子和交替更新变量的方法，实现低秩矩阵的高效恢复。
在张量恢复方面，一种常见的方法是张量核范数正则化算法。
该算法通过将张量分解为若干个矩阵相乘的形式，通过最小化核范数来恢复原始张量。
该算法利用了张量的低秩结构，同时具有较快的计算速度和较好的恢复效果。
除了以上介绍的算法，还有很多其他的快速低秩矩阵与张量恢复算法。
这些算法涵盖了不同的数学理论和计算方法，如凸优化、鲁棒统计等。
低秩矩阵恢复的一般形式
低秩矩阵恢复的一般形式
低秩矩阵恢复是将退化图像看做一组低维数据加上噪声形成的，因此退化前的数据就可以通过低秩矩阵来逼近。
设$B$为模糊图像，根据低秩分解有$B=I+N$，其中$I$为清晰图像，是低秩的，$N$为噪声具有稀疏性。
低秩矩阵恢复的一般形式有以下几种：- RPCA（Robust Principal Component Analysis）：通过将原始矩阵分解为低秩部分和一个稀疏部分来实现恢复。
稀疏部分通常包含噪声和异常值，而低秩部分则可以近似为原始矩阵。
RPCA的目标是找到一个低秩矩阵，使得其重构误差（即原始矩阵与低秩矩阵的差）的$L_2$数最小。
- NMF（Non-negative Matrix Factorization）：将原始矩阵分解为两个非负矩阵的乘积，其中一个矩阵具有低秩性质。
这种方法通常用于图像处理和推荐系统中。
- LRR（Low-Rank Representation）：一种基于低秩表示的方法，它可以用于异常值检测和低秩矩阵恢复。
LRR的目标是找到一个低秩矩阵，使得原始矩阵可以表示为该低秩矩阵和一个小规模扰动矩阵的乘积。
该扰动矩阵通常包含噪声和异常值。
需要注意的是，低秩矩阵恢复算法的性能主要取决于两个因素：准确性和鲁棒性。
准确性是指算法能否准确恢复原始矩阵；而鲁棒性则是指算法能否有效处理存在噪声和异常值的数据。
低秩矩阵恢
低秩矩阵恢最近在研读图像恢复相关论文中，对于利用图像低秩特性进行噪声信息建模进行了学习，以下是一些总结概述低秩矩阵恢复（LRMR）广泛用于图像处理中的图像恢复，比如去噪、去模糊等。
一幅清晰的自然图像其数据矩阵往往是低秩或者近似低秩的，这是因为其中的图像信息就有很大的相关性，但如果图像中引入噪声，那么存在随机幅值任意大但是分布稀疏的误差破坏了原有数据的低秩性。
低秩矩阵恢复是将被噪声污染的退化图像看做一组低维数据加上噪声形成的，因此要得到退化前图像的数据就可以通过低秩矩阵来逼近。
1.背景知识秩对于矩阵的秩这一概念，我们首先从数学中的线性方程组引入：对一个线性方程组来说，假设其方程组中第一个方程和第二个方程联立具有不同的解，而第二个方程和第三个方程的解完全相同。
从这个意义上说，第三个方程是“多余”的，因为它没有带来任何的信息量，把它去掉，所得的方程组与原来的方程组同解。
为了从方程组中去掉多余的方程，自然就导出了“矩阵的秩”这一概念。
先给出矩阵的秩的定义：设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A）。
并规定零矩阵的秩等于0.求解方法：对矩阵作初等行变换为行阶梯矩阵，其中非零行的个数为矩阵的秩。
其物理意义矩阵中的最大不相关的向量的个数。
矩阵的秩的度量其实就是矩阵的行列之间的相关性。
如果矩阵的各行或列是线性无关的，矩阵就是满秩的。
非零元素的行数或列数决定了秩的多少。
低秩矩阵低秩是指矩阵的秩比较小，而矩阵的低秩性是指矩阵的秩相对矩阵的行数或列数而言很小。
图像处理中，rank可以理解为图像所包含的信息的丰富程度，在现实生活中，一张图片大部分是相似的。
比如一张大草原的图片可以理解为，草原是由很多草组成的，而草是相似的，所以如果全是草，那么这张图所包含的信息量是很少的的，因为可以理解为草是草的复制品。
而图中的蒙古包，人，马之类的则可以理解为图片所包含的信息，实际上，相对于只有草的草原图片和有草和蒙古包的草原图片，后者的秩是较高的。
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计 算 机 应 用 研 究
Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｏ ｆ Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ ｓ
Ｖｏ １ ． ３ ０ Ｎｏ ． ６
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０１ ３
低 秩矩 阵恢 复算 法综 述 术
问题 。
关键 词 ：低 秩矩 阵恢 复 ；鲁棒 主成 分分析 ；矩阵补 全 ；低秩 表示 ； 增 广拉格 朗 日乘子 算法
中 图分类 号 ：Ｔ Ｐ ３ ９ １
文献标 志码 ：Ａ
文章编 号 ：１ ０ ０ １ — ３ ６ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — １ ６ ０ １ — ０ ５
史加荣 ， 郑秀云 ， 魏宗 田 ， 杨 威
（ 西安建 筑科技 大 学 理 学院 ， 西安 ７ １ ０ ０ ５ ５ ） 摘 要 ：将 鲁棒 主成 分分析 、 矩 阵补 全和低 秩表 示统 称为 低秩 矩 阵恢 复 ， 并对 近年 来 出现 的低 秩 矩 阵恢 复 算 法
进行 了简要 的 综述 。讨 论 了鲁棒 主成 分分析 的各 种优化模 型及 相应 的迭代 算 法 ， 分析 了矩 阵补 全 问题及 求解 它 的不 精确 增广拉 格 朗 日乘 子 算 法 ， 介 绍 了低 秩 表 示 的 优 化 模 型 及 求 解 算 法 。最 后 指 出 了有待 进 一 步研 究 的
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｒ ｅ ｄ ｒ ｏ ｂ ｕ ｓ ｔ ｐ ｉ ｒ ｎ ｃ ｉ ｐ ａ ｌ ｃ ｏ ｍｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ，ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｌ ｏ ｗ－ ｒ ａ ｎ ｋ ｒ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ａ ｓ ｌ ｏ ｗ－ ｒ ａ ｎ ｋ ｍａ ｔ ｉ ｒ ｘ ｒ ｅ ｃ ｏ ｖ ｅ ｒ ｙ．ａ ｎ ｄ ｍａ ｄ ｅ ａ ｂ ｒ ｉ ｅ ｆ ｓ ｕ ｒ ｖ ｅ ｙ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍｓ ｏ ｆ ｌ ｏ ｗ－ ｒ ａ ｎ ｋ ｍａ ｔ ｉｘ ｒ ｒ ｅ ｃ ｏ ｖ ｅ ｙ ．Ｆ ｒ ｉ ｒ ｓ ｔ ｌ ｙ ，ｉ ｔ ｄ ｉ ｓ — ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ｖ ａ ｒ ｉ ｏ ｕ ｓ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｓ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ａ ｌ ｇ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍｓ ｆ ｏ ｒ ｒ ｏ ｂ ｕ ｓ ｔ ｐ ｉ ｒ ｎ ｃ ｉ ｐ ａ ｌ ｃ ｏ ｍｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ．Ｎ ｅ ｘ ｔ ，ｉ ｔ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉｘ ｒ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ａ ｎ ｄ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｅ ｘ ａ ｃ ｔ ａ ｕ ｇ ｍｅ ｎ ｔ ｅ ｄ Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ ｍｕ ｈ ｉ ｐ ｌ ｉ ｅ ｒ ｓ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ － ｌ ｅ ｍ．Ｉ ｎ ａ ｄ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ．ｉ ｔ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｓ ｏｒ ｆ ｔ ｈ ｅ １ Ｏ Ｗ — ｒ ａ ｎ ｋ ｒ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ａ ｎ ｄ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ａ ｌ —
ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈｍ ． Ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｙ，ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕｓ ｓ ｅ ｄ ｓ ｅ ｖ ｅ ｒ ａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｂｌ ｅ ｍｓ ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｎ ｅ ｅ ｄ ｆ ｕ ｒ ｔ ｈ ｅ ｒ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ： ｌ ｏ ｗ－ ｒ ａ ｎ ｋ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｒ ｅ ｃ ｏ ｖ ｅ ｙ ；ｒ ｒ ｏ ｂ ｕ ｓ ｔ ｐ ｒ ｉ ｎｃ ｉ ｐ ａ ｌ ｃ ｏ ｍｐｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ａ ｎａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ；ｍａ ｔ ｉｘ ｒ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｌ ｏ ｗ— ｒ ａ ｎｋ ｒ ｅ ｐｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ；ａ ｕｇ — ｍｅ ｎ ｔ ｅ ｄ Ｌａ ｇ ｒ ａ ｎｇ ｅ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｐ ｌ ｉ ｅ ｒ ｓ
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