换底公式的证明及其应用

换底公式的证明及其应用

换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.

一、换底公式及证明

换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .

∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例

1.乘积型

例1 (1)计算：log 89·log 2732；

(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .

分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.

解 (1)换为常用对数，得

log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.

(2)由换底公式，得

log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .

评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.

2.知值求值型

例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.

分析 本题可选择以3为底进行求解.

解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a

＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.

3.综合型

例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.

分析 本题可选择以19及π为底进行解题.

解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，

则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，

B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .

评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .