问题探索从兔子问题引出的斐波那契数列

3.斐波拉契数列趣话
数学常常把各个领域奇妙而出乎意料地联 系在一起。斐波拉契数列强有力的印证了 这一事实。
斐波拉契数列在许多ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ域中出现
(1)自然界中花朵的花瓣中存在斐波拉契数列特征
如：带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的螺旋，通常顺时针的螺旋有34 条，逆时针的螺旋有55条，恰为斐波拉契数列的相邻两项，这样的螺旋被称为“斐波 拉契螺旋”，再有很多花朵的花瓣数恰是斐波拉契数列中的数，如梅花5瓣，飞燕草8 瓣，万寿菊13瓣，大多数雏菊都是34瓣、55瓣。
化”的要求，总体来看，对数学文化
中国古代太极图与几何模型 的考查主要体现在以下三个“融于”
·T4
中：
（1）融于程序框图，已考查含有循
“割圆术”圆内接多边形的 环结构的程序框图的输出功能为主.
性质·T11
（2）融于数列，以考查等差数列与
等比数列的基本运算与求和为主. 秦九韶算法与程序框图·T9 （3）融于立体几何，主要有两个方
C 16…这样的数成为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A.289
B.1024
C.1225 D.1378
例3：我国古代，9是数学之极，代表尊贵之 意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关 的设计。例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形
你 还
的石板铺成，最高一层是一块天心石，围绕它
能
的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比 前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数
A.21 B.34 C.52 D.55
数学来源于生活，服务于生活
二、数列知识
等差数列
定义
通项公式
求和公式
等比数列
例1.《九章算术》均输章１8题“今有五人分五钱，令上二人所 得与下三人等。问各得几何？”题意是：已知甲、乙、丙、丁、 戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且 甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。问五人各得多少钱？
这个问题中，甲所得为（ D ）
A.5/4钱 B.5/3钱 C.3/2钱 D.4/3钱
例题解析
例2：（湖北卷）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙
滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由
于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，
2018 2017 2016
卷别
全国卷Ⅲ 北京卷 浙江卷
全国卷Ⅰ 浙江卷 卷Ⅱ
卷Ⅲ
考查内容及考题位置
命题分析
三视图·T3
通过近几年高考命题的情况来看，在 考题中数学文化呈现出“背景”的特
等比数列·T5
征，一般都会有现代文的翻译与解释，
题目难度为中低档，预测2019年高考
方程组解法·T11
命题将继续体现考纲对“增加数学文
生活处处有数学
(2)中国古代弦乐器的发展与斐波拉契的数字有关 中国古代弦乐器中独弦琴有1根弦，二胡2根弦，三弦有3根弦，最早 的古琴5根弦，古筝唐代的有13根弦发展到现代的21根弦
数列—引人入理
某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第9年的分支数分别为
D 1,1,2,3,5，8,13,21,34则预计第10年树的分支数为（ ）。
数列—引人入胜
数学课标中指出：
高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内 容中提出对“数学文化”的学习要求,要求数学文化尽可能 有机地结合高中数学课程的内容，选择介绍一些对数学发 展起重大作用的历史事件和人物.
数学考纲中提出:要考查数学文化。
近三年以“数学文化“为背景的高考试题统计
年份
语
上述数列中的每一个数称为斐波拉契数.
言 表
此数列用递推公式可表示为 :
达 世
a1=1,a2=1，
界
斐波拉契的生平
斐波那契（Fibonacci），１３世纪意大 利著名的数学家。早年随父经商，到北非 跟从一位阿拉伯教师学习算术并认识了印 度数码这一新的记数方法。而后他又去了 非洲和欧洲等地，掌握了各个国家的商业 算术体系。１２００年回到家乡比萨，潜 心钻研，于１２０２年写成名著《算经》， 这部著作主要介绍算术和代数，内容非常 丰富。斐波那契也因此被誉为点燃西方文 艺复兴之火的历史第一人，促使西方数学 步入一个薪新的时期。
面，一是依据数学文化面熟特殊几何
统计图的识别·T4
体，进而研究其几何特征；二是解决 与数学文化相关的求几何体的体积、
表面积的问题等.
数列—引人入趣
玉兔子孙世代传, 棋盘麦塔上摩天
这两句诗介绍了历史上哪两个与数 列有关的故事?
一、数列故事
棋盘麦塔上摩天
1.棋盘麦塔
“棋盘麦塔”讲的是国际象棋发明者向国王 要奖赏的故事。他所要奖赏的麦子总数是2的 0次幂到63次幂所组成的等比数列的和。计算 出来的结果是18446744073709551615，假 如每100粒麦粒重1克，这些麦粒约1845亿吨， 这个数字相当于当时全世界2000年所要生产 的全部小麦。
1.01365=37.8 1.0133=1.39 0.99365=0.03
积跬步以至千里，积怠惰以致深渊
2.兔子数列
玉兔子孙世代传
如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌， 下同），每对兔子第一个月没有生育能力，但从第二个月以后便能每 月生一对小兔子。假定这些兔子都不发生死亡现象，那么从一对刚出 生的兔子开始，一年之后（即第13月）会有多少对兔子呢？
数学文化背景呈现
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是当时世界 上最简练有效的应用数学，在世界数学史上占有重要地位。
用数学眼光观察世界
玉 解答：
兔 子
月 份
1月 2月 3月 4月 5月 6 月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
孙 世
数量 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
代 传
因此，一年之后（第13月）会有 233 对兔子。
斐波拉契数列：
用 数 学
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144......
提
是_______.
出
什
么
问
题
呢
？
我的收获
知识
数学 思想
人生 感悟
五、作业
（必做） 1.以小组为单位，自选形式，对本节课进行总结。 2.收集近三年与数学文化相关的高考试题。 （选做） 观看欣赏斐波拉契数列相关的微课及文档。 （拓展） 上网查找自然界中的斐波拉契数及斐波拉契数列的应用。