中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析

中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析

在动态几何问题中，当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与它相关的另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这类问题称为几何定值问题。定值问题由于有时甚至不知道定值的结果，而使人难以下手，给问题解决带来困难。解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在“可变”的元素中寻求“不变”的量．一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定值。以下以2010年中考题为例说明具体的求解策略 一、长度定值 例1．（2010山东聊城）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 的一个动点，矩形的两条边AB 、

BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）

A ．125

B ．65

C ．245

D ．不确定

解析：因为四边形ABCD 是矩形，由勾股定理得AC =BD =5.

过点P 分别作AC 、BD 的垂线PE 、PF ，容易得△PDF ∽△BDA ， ∴PD PF BD AB =，即53PD PF =，∴35

PF PD =， 同理3

5PE PA =，

∴PE +PF ＝312

()55

PA PD +=．故答案为A 。

点评：本题属于矩形中动点定值问题，在选择题中，可以采取特殊点法求解，譬如P 与A 重合、P 与B 重合或P 为AD 的中点等特殊情形下，求出PE ＋PF 的值探求答案． 二、角度定值 例2．（2010年广东广州）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段

OP ，点D 是APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．

（1）求弦AB 的长；

（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）略

分析：（1）连接OA ，OP 与AB 的交点为F ，则△OAF 为直角三角形，且OA ＝1，OF ＝

12

，借助勾股定理可求得AF 的长，根据垂径定理求得AB ；（2）要判断∠ACB 是否为定值，只

需判定∠CAB ＋∠ABC 的值是否是定值，由于⊙D 是△ABC 的内切圆，所以AD 和BD 分别为∠CAB 和∠ABC 的角平分线，因此只要∠DAE ＋∠DBA 是定值，而∠DAE ＋∠DBA 等于弧AB 所对的圆周角，这个值等于∠AOB 值的一半，只需看∠AOB 值即可。 解：（1）连接OA ，取OP 与AB 的交点为F ，则有OA ＝1．

∵弦AB 垂直平分线段OP ，∴OF ＝

12OP ＝1

2

，AF ＝BF ． 在Rt △OAF 中，∵AF

，∴AB ＝2AF

（2）∠ACB 是定值.

理由：由（1）易知，∠AOB ＝120°，

因为点D 为△ABC 的内心，所以，连结AD 、BD ，则∠CAB ＝2∠DAE ，∠CBA ＝2∠DBA ，

因为∠DAE ＋∠DBA ＝

1

2

∠AOB ＝60°，所以∠CAB ＋∠CBA ＝120°，所以∠ACB ＝60°； （3）略

点评：本题是圆为载体的角度定值问题，考查了三角形内切圆、角平分线的性质、三角形内角和、同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系及整体思想综合运用，采用了直接推理、计算得到定值。 三、周长定值

例3．（2010重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy 中，边长为2的等边△OAB 的顶

点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC ＝AC ，∠C ＝120°．现有两动点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）（2）略

（3）如图（2），现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB 、AB 交于点M 、N ，连接MN ．将

∠MCN 绕着C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M 、N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

解：（1）（2）略

（3）BMN ∆的周长不发生变化．

延长BA 至点F ，使AF OM =，连结CF ．（如图③）

∵90,MOC FAC OC AC ∠=∠=︒=， ∴MOC ∆≌FAC ∆．

∴MC CF =，MCO FCA ∠=∠．

∴FCN FCA NCA MCO NCA ∠=∠+∠=∠+∠60OCA MCN =∠-∠=． ∴FCN MCN ∠=∠．

又∵,MC CF CN CN ==．

∴MCN ∆≌FCN ∆．∴MN NF =．

∴BM MN BN BM NF BN ++=++AF BA OM BO ++-=BA BO =+4=． ∴BMN ∆的周长不变，其周长为4．

点评：本题是定角（60°）在等边三角形内旋转的动态几何问题，探究运用过程中的BMN ∆的周长是否定值，解题时通过旋转变换，将三角形的周长转化为直线段上线段和差，直接计算证明了周长为定值。解题时，也可让∠MCN 运动到MN 平行于OA 或M 与O 重合或N 与A 重合（退化的三角形）这几种特殊情形，探求不变的周长的值。 三、面积定值 例3．（2010广州）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），

点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－

1

2

x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）略 （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，

试探究O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由

.

思路点拨：（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化． 解：（1）略

（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积。

由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形 根据轴对称知，∠MED ＝∠NED

又∠MDE ＝∠NED ，∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形． 过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，