(完整版)第1章复变函数习题答案习题详解
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第一章习题详解
1．求下列复数 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：
1)
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
2)
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
3)
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
4)
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
2．当 、 等于什么实数时，等式 成立？
解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：
5) ；
解：设 ，由 ，表示直线 右边的半平面区域（不含直线），是无界的单连通域。
6) ；
解： 表示由射线 与 所围成的角形区域（不含两射线），是无界的单连通域。
7) ；
解：设 ，由 ，表示以 为圆心半径为 的圆的外部（不含圆周），是无界的多连通域。
8) ；
1) ；
解：设 ，则
即 是以 为圆心，半径为6的圆周。
2) ；
解：设 ，则
即 是以 为圆心，半径为1的圆周及其外部。
3) ；
解：设 ，则
即 是平行于y轴的通过 的直线。
4) ；
解：设 ，则
即 是平行于x轴的通过 的直线。
5) ；
解：设 ，则
即 是平行于x轴。
6) ；
解：设 ，则
即 是以 ， 为焦点，长的半轴为2，短半轴为 的椭圆。
3)如果复数 是实系数方程 的根，那么 也是它的根。
证明：令
因为 是方程 的根，
又因为的系数为实数，
因此 。即 也是方程 的根。即实系数多项式的复根必共轭成对出现。
13．如果 ，证明：
1)
证明：
2)
证明：
14．求下列各式的值：
1)
解：
2)
解：
3)
解：
即： ， ， ， ， ，
4)
解：
即： ， ，
15．若 ,试求 的值。
所以 为等边三角形。同理可知 为等边三角形，于是有：
同理 ，
，所以 均匀地分布在单位圆 上。命题得证。
20．如果复数 满足等式 ，证明 ，并说明这些等式的几何意义。
证明： 且
是等边三角形的充分必要条件是
因此，满足 的点 ， ， 为顶点的三角形是等边三角形，必有
21．指出下列各题中点 的轨迹或所在范围，并作图：
同理可得： 或
分析：如果 ， ，则 ；如果 ， ，则 与 矛盾。 。
同理 。
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法二）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
同理： ， 。于是
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法三）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
即：
2)旋转Hale Waihona Puke Baidu式：
解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：
10．一个复数乘以 ，它的模与辐角有何改变？
解：设
即：一个复数乘以 ，它的模不变，辐角减小 。
11． 证明： ，并说明其几何意义。
证明：
几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的2倍。
12．证明下列各题：
1) ；
解：设 ，则 ，表示不包含实轴的上半平面，是无界的单连通域。
2) ；
解：设 ，由 得 ，表示以 为圆心半径为 的圆（不含圆周）的外部，是无界的多单连通域。
3) ；
解：设 ，则 ，表示介于直线 和 之间的带形区域（不含两直线），是无界的单连通域。
4) ；
解： 表示介于圆 与 之间的圆环域（含两圆周），是有界的多连通域。
即 、 时，等式成立。
3．证明虚数单位 有这样的性质：
证明：
4．证明
1)
证明：设 ，则
2)
证明：设 ， ，则有：
3)
证明：设 ， ，则有：
4)
证明：设 ， ，则有：
5)
证明：设 ，则有
6)
证明：设 ，则
5．对任何 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些 值才成立？
解：设 ，则有：
故当 ，即 是实数时， 成立。
（方法四）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
设
而
同理 ，
即 同理 ，
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法五）
设 ，则 是该方程的三个根。
而
，
所以 是的三个根，即 分别是复数 的三次方根。又因为 ，所以 均匀地分布在单位圆 上，即 是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法六）
如右图所示：
解：
16．
1)求方程 的所有根；
解：
即： ， ，
2)求微分方程 的一般解。
解：微分方程 的特征方程为： 。由前题得： ， ，
微分方程 有三个线性无关的特解： ， ，
微分方程 有三个线性实数特解： ， ，
一般解为：
17．在平面上任意选一点 ，然后在复平面上画出下列各点的位置：
解：
18．已知两点 与 （或已知三点 ），问下列各点 位于何处？
5)仅存在一个数 ，使得 ；
解：假命题。有两个数 ，使 成立。
6) ；
解：假命题。设有两个数 ，使 不成立。
7)
解：真命题。
8．将下列复数化为三角表示式和指数表示式：
1)
解： ，
2)
解： ，
3)
解： ，
4)
解：
另：
另：
5)
解：
，
6)
解：
9．将下列坐标公式写成复数的形式：
1)平移公式：
解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：
1)任何有理分式函数 可以化为 的形式，其中 与 为具有实系数的 与 的有理分式函数；
证明：设 ，则：
，
其中， ， ， ， 皆为关于 的实系数多项式。
其中： ，
为具有实系数的关于 的有理分式函数。
2)如果 为1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么 ；
证明：因为 为具有实系数的有理分式函数，所以
其中： ，
6．当 时，求 的最大值，其中 为正整数， 为复数。
解：
即
的最大值是
7．判定下列命题的真假：
1)若 为实常数，则 ；
解：真命题。因为实数的共轭复数就是它本身。
2)若 为纯虚数，则 ；
解：真命题。设 ，则 ，显然 。
3) ；
解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。
4)零的幅角是零
解：假命题。复数 的幅角是任意的，也是无意义的。
7) ；
解：设 ，则
即 是过 的平行于x轴的直线及其下半平面。
8) ；
解：设 ，则
即 是去掉过 的半平面 。
9) ；
解：满足 的图形是不包含实轴的上半平面。
10) 。
解：设 ，则
即 是以 为端点的射线 ， 。
22．描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：
1) ；
解： 位于 与 连线的中点。
2) ，其中 为实数；
解： 位于 与 连线上，其中 。
3) 。
解： 位于以 , , 为顶点的三角形的重心上。
19．设 三点适合条件 ， 。证明： 是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
证明：（方法一）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
令 ， ，
其中 。 ， ，
或
1．求下列复数 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：
1)
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
2)
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
3)
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
4)
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
2．当 、 等于什么实数时，等式 成立？
解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：
5) ；
解：设 ，由 ，表示直线 右边的半平面区域（不含直线），是无界的单连通域。
6) ；
解： 表示由射线 与 所围成的角形区域（不含两射线），是无界的单连通域。
7) ；
解：设 ，由 ，表示以 为圆心半径为 的圆的外部（不含圆周），是无界的多连通域。
8) ；
1) ；
解：设 ，则
即 是以 为圆心，半径为6的圆周。
2) ；
解：设 ，则
即 是以 为圆心，半径为1的圆周及其外部。
3) ；
解：设 ，则
即 是平行于y轴的通过 的直线。
4) ；
解：设 ，则
即 是平行于x轴的通过 的直线。
5) ；
解：设 ，则
即 是平行于x轴。
6) ；
解：设 ，则
即 是以 ， 为焦点，长的半轴为2，短半轴为 的椭圆。
3)如果复数 是实系数方程 的根，那么 也是它的根。
证明：令
因为 是方程 的根，
又因为的系数为实数，
因此 。即 也是方程 的根。即实系数多项式的复根必共轭成对出现。
13．如果 ，证明：
1)
证明：
2)
证明：
14．求下列各式的值：
1)
解：
2)
解：
3)
解：
即： ， ， ， ， ，
4)
解：
即： ， ，
15．若 ,试求 的值。
所以 为等边三角形。同理可知 为等边三角形，于是有：
同理 ，
，所以 均匀地分布在单位圆 上。命题得证。
20．如果复数 满足等式 ，证明 ，并说明这些等式的几何意义。
证明： 且
是等边三角形的充分必要条件是
因此，满足 的点 ， ， 为顶点的三角形是等边三角形，必有
21．指出下列各题中点 的轨迹或所在范围，并作图：
同理可得： 或
分析：如果 ， ，则 ；如果 ， ，则 与 矛盾。 。
同理 。
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法二）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
同理： ， 。于是
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法三）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
即：
2)旋转Hale Waihona Puke Baidu式：
解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：
10．一个复数乘以 ，它的模与辐角有何改变？
解：设
即：一个复数乘以 ，它的模不变，辐角减小 。
11． 证明： ，并说明其几何意义。
证明：
几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的2倍。
12．证明下列各题：
1) ；
解：设 ，则 ，表示不包含实轴的上半平面，是无界的单连通域。
2) ；
解：设 ，由 得 ，表示以 为圆心半径为 的圆（不含圆周）的外部，是无界的多单连通域。
3) ；
解：设 ，则 ，表示介于直线 和 之间的带形区域（不含两直线），是无界的单连通域。
4) ；
解： 表示介于圆 与 之间的圆环域（含两圆周），是有界的多连通域。
即 、 时，等式成立。
3．证明虚数单位 有这样的性质：
证明：
4．证明
1)
证明：设 ，则
2)
证明：设 ， ，则有：
3)
证明：设 ， ，则有：
4)
证明：设 ， ，则有：
5)
证明：设 ，则有
6)
证明：设 ，则
5．对任何 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些 值才成立？
解：设 ，则有：
故当 ，即 是实数时， 成立。
（方法四）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
设
而
同理 ，
即 同理 ，
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法五）
设 ，则 是该方程的三个根。
而
，
所以 是的三个根，即 分别是复数 的三次方根。又因为 ，所以 均匀地分布在单位圆 上，即 是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法六）
如右图所示：
解：
16．
1)求方程 的所有根；
解：
即： ， ，
2)求微分方程 的一般解。
解：微分方程 的特征方程为： 。由前题得： ， ，
微分方程 有三个线性无关的特解： ， ，
微分方程 有三个线性实数特解： ， ，
一般解为：
17．在平面上任意选一点 ，然后在复平面上画出下列各点的位置：
解：
18．已知两点 与 （或已知三点 ），问下列各点 位于何处？
5)仅存在一个数 ，使得 ；
解：假命题。有两个数 ，使 成立。
6) ；
解：假命题。设有两个数 ，使 不成立。
7)
解：真命题。
8．将下列复数化为三角表示式和指数表示式：
1)
解： ，
2)
解： ，
3)
解： ，
4)
解：
另：
另：
5)
解：
，
6)
解：
9．将下列坐标公式写成复数的形式：
1)平移公式：
解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：
1)任何有理分式函数 可以化为 的形式，其中 与 为具有实系数的 与 的有理分式函数；
证明：设 ，则：
，
其中， ， ， ， 皆为关于 的实系数多项式。
其中： ，
为具有实系数的关于 的有理分式函数。
2)如果 为1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么 ；
证明：因为 为具有实系数的有理分式函数，所以
其中： ，
6．当 时，求 的最大值，其中 为正整数， 为复数。
解：
即
的最大值是
7．判定下列命题的真假：
1)若 为实常数，则 ；
解：真命题。因为实数的共轭复数就是它本身。
2)若 为纯虚数，则 ；
解：真命题。设 ，则 ，显然 。
3) ；
解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。
4)零的幅角是零
解：假命题。复数 的幅角是任意的，也是无意义的。
7) ；
解：设 ，则
即 是过 的平行于x轴的直线及其下半平面。
8) ；
解：设 ，则
即 是去掉过 的半平面 。
9) ；
解：满足 的图形是不包含实轴的上半平面。
10) 。
解：设 ，则
即 是以 为端点的射线 ， 。
22．描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：
1) ；
解： 位于 与 连线的中点。
2) ，其中 为实数；
解： 位于 与 连线上，其中 。
3) 。
解： 位于以 , , 为顶点的三角形的重心上。
19．设 三点适合条件 ， 。证明： 是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
证明：（方法一）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
令 ， ，
其中 。 ， ，
或