平面简谐波波函数

平面简谐波波函数
v
=
−0.025×
π 2
sin⎢⎡ ⎣
π 2
⎜⎛t ⎝
−
x 10
⎟⎞ ⎠
+
3π 2
⎥⎤m ⎦
⋅
s−1
所以 P点(x =20m)在 t =2s 时的速度为
vP
=
−0.025 ×
π 2
⎡π
sin
⎢ ⎣
2
⎜⎛ 2 − ⎝
20 ⎟⎞ + 10 ⎠
3π ⎤
2
⎥ ⎦
= 0.0125π m ⋅ s−1
大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y = Acosω t x=0
y
v
u
P
O
x
x
任取一点 P, 距离 O 点为 x, 当振动传到 P 点, P 点的振 动比 O 点落后一段时间
t′ = x u
平面简谐波波函数
P 点在 t 时刻的振动状态就是 O 点在（t －x/u）时刻 的振动状态, 所以有
y
=
A
cos
ω ⎜⎛ t
−
x
⎞ ⎟
⎝ u⎠
and
y
=
Acosω⎜⎛
t
−
x1
⎞ ⎟
⎝ u⎠
相位:
ω
⎛ ⎜
t
−
x1
⎞ ⎟
y
⎝ u⎠
初相位: − ωx1
O
t
u
思考题: 波线上两个距离相差一个波长 λ 的两个质点, 它们的振动方程有何不同?振动曲线相同吗?
平面简谐波波函数
(2)当 t = t1(常数)时, y = y(x), 表示各质元的位移分布函
数即波形图.
y t 时刻波形 t +Δt 时刻波形
O Y Y′
x
x ∆x = u∆t 波的传播方向
由图波形沿 x 正方向传播, 波速为u=Δx/Δt, 故称为 行波.
平面简谐波波函数
(4)当波动向 － x 轴方向传播时, 波动表达式为
y(x，t
)
=
Acosω⎜⎛t
+
x
⎞ ⎟
⎝ u⎠
(5)一般情况下
y(x，t
)
=
Acos⎢⎣⎡ω⎜⎝⎛
t
m
x u
⎟⎞ ⎠
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+
ϕ ⎥⎤ ⎦
平面简谐波波函数
例题 如图所示为一平面简谐横波在开始时刻(t = 0 )的 波形. 有关物理量的数据一并图示,已知周期 T = 4(s), 建立 该波的波动表达式,并求图中 P 点经 2(s)后的振速.
y(cm)
20
OP
uv
5
x(m)
平面简谐波波函数
波形前移Δx, 由参考圆法得
ϕ
=
3π
⎛ ⎜
−
π
⎞ ⎟
2 ⎝ 2⎠
所以波动表达式为
平面简谐波波函数
y
=
⎡ 0.025cos⎢
⎣
π 2
⎜⎛ ⎝
t
−
x 10
⎟⎞ ⎠
+
3π 2
⎤ ⎥m ⎦
质点振速为
v
=
∂y ∂t
=
−0.025×
π 2
sin⎢⎡ ⎣
π 2
⎜⎛t ⎝
−
x⎞ ⎟
10⎠
+
3π 2
⎥⎤m ⎦
⋅
s−1
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
——平面简谐波波动表达式
因为
ω = 2π = 2πν u = λν = λ
T
T
所以
y(x，t) = Acos 2π⎜⎛ t − x ⎟⎞
⎝T λ⎠
（二）波函数的物理意义
平面简谐波波函数
y
=
A cos
ω
⎛ ⎜
t
−
x
⎞ ⎟
⎝ u⎠
(1)当 x = x1(常数)时, y = y(t), 表示 x1 处质元的振动方程.