推理与证明解答题精选(含答案)

推理与证明
1．（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.
（2）已知
试用分析法证明：
.
2．2．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为 ．
3．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案， 这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放 规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形．
时，
，即
．
令
，则有
，
．
，
．
(法二)当
时，
．
，
，即
时命题成立．
……… 15分
设当
时，命题成立，即
．
时，
．
根据（Ⅰ）的结论，当
时，
，即
．
令
，则有
，
则有 因此，由数学归纳法可知不等式成立．
，即
时命题也成立． ……… 15分
18.【解析】（1）
，又
，
，
，
（2）猜想
下面用数学归纳法证明：
1°当 n=1时，
，猜想正确；
又：
，
但
时，
⑥
综合 ⑤、⑥ 得：
16.【解析】（1）证明 ∵Sn+1=4an+2，
∴Sn+2=4an+1+2，两式相减，得 Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,…), 即 an+2=4an+1-4an, 变形得 an+2-2an+1=2(an+1-2an) ∵bn=an+1-2an(n=1,2,…),∴bn+1=2bn. 由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列. （2）证明 由 S2=a1+a2=4a1+2，a1=1. 得 a2=5,b1=a2-2a1=3.故 bn=3·2n-1.
24．数列 中，
，其前 n 项和 满足
，
(1)计算
；
(2)猜想 的表达式并用数学归纳法证明。
25．.已知数列 的各项均为正数，
，
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明
对一切
恒成立。
推理与证明答案
1. 【解析】（1）证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于 60°， 即均小于 60°， 则三内角和小于 180°，与三角形中三内角和等于 180°矛盾，故假设不成立 .原命题成立 .
∵cn= (n=1,2,…),
∴cn+1-cn=
-=
将 bn=3·2n-1代入得
=.
cn+1-cn= (n=1,2,…),
由此可知，数列{cn}是公差为 的等差数列，
它的首项 c1= = ，故 cn= n- (n=1,2,…).
（3）解 ∵cn= n- = (3n-1). ∴an=2n·cn=(3n-1)·2n-2 (n=1,2,…) 当 n≥2时，Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2. 由于 S1=a1=1也适合于此公式， 所以{an}的前 n 项和公式为 Sn=（3n-4）·2n-1+2.
(1) 求出
，
并猜测
的表达式；
(2) 求证：
＋
＋
＋…＋
．
4．数列 的前 项和 满足
.
（1）计算
的值；
（2）猜想数列 的通项公式并用数学归纳法证明.
5．(本小题满分13分) 已知正项数列{an}的首项 a1＝，函数 f(x)＝，g(x)＝. (1)若正项数列{an}满足 an＋1＝f(an)(n∈N*)，证明：{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)若正项数列{an}满足 an＋1≤f(an)(n∈N*)，数列{bn}满足 bn＝，证明：b1＋b2＋…＋bn<1； (3)若正项数列{an}满足 an＋1＝g(an)，求证：|an＋1－an|≤·()n－1
∵
，
，且
，∴ ≤
,
即 ≤ ，故 ≤1成立，所以原不等式成立.
14.【解析】（I）证明：由 从而有
及
可归纳证明
所以，当
成立.
（II）证法一：当
所以 证法二：当
故当
所以
故当
.
15.【解析】（I）由于函数定义，对任意整数 ，有
（II）函数
在 R 上可导，
令
，得：
若
，则
，这与
①
矛盾，所以
。
当
时，
由于函数
的图象和函数
，
所以
，
பைடு நூலகம்
这与已知
矛盾。
所以
中至少有一个是负数。
2分
即
，
中至少有一个小于 2。
10. （1）
（当且仅当
（2）证明：（数学归纳法）
当
时，显然成立
时取等号）………4 分
假设当
时成立，即
……………………6 分
当
时，左边
右 边
即当
时，也成立．………………………10 分
由
知，
成立．…………………………12 分
4.解：（1）
.…………4 分
（2）猜想
证明如下： …………5 分
①当
时，
成立. ……………………6 分
②假设当
时成立，即
，
则当
时，
……8 分
所以 所以
时结论也成立.………………………………10 分
由①②知，对任意的
，
都成立.
5.证明：(1)∵an＋1＝f(an)＝，∴＝＝＋1，即－＝1， ∴{}是以 2 为首项，1 为公差的等差数列. ∴＝2＋(n－1)，即 an＝.(3 分) (2)证明：∵an＋1≤，an>0，∴≥，即－≥1. 当 n≥2 时，－＝(－)＋(－)＋…＋(－)≥n－1， ∴≥n＋1，∴an≤. 当 n＝1 时，上式也成立，∴an≤(n∈N*)， ∴bn＝≤<＝－， ∴b1＋b2＋…＋bn<(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.(8 分) (3)∵a1＝，a2＝g(a1)＝，a2－a1＝－＝>0. 又∵an＋1－an＝－＝， 由迭代关系可知，an＋1－an>0，∴an≥a1＝. 又∵(2＋an)(2＋an－1)＝(2＋)(2＋an－1)＝5＋4an－1≥7， ∴≤，
12. (1)证明：
又
故 (6 分)
（2）证明：假设结论不成立，又
，则假设
或
（7
分）
①若
，又
，则
②若
，又
，与已知条件 ，则
矛盾，故
不成立
（9 分）
由①②可知
或
故原命题成立，即
，与已知条件
矛盾，故
不成立，则假设不成立
不成立
13.【答案】解：（Ⅰ）分别令
，2，3，得
（11 分）
∵
，∴
，
，
.
（Ⅱ）证法一：猜想：
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想 ，并证明．
，记
求证：
中至少
．
10．已知
．经计算得
，
，
，
，
，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．
（1）试写出这个一般性的结论； （2）请用数学归纳法证明这个一般性的结论；
（3）对任一给定的正整数 ，试问是否存在正整数 ，使得
？
若存在，请给出符合条件的正整数 的一个值；若不存在，请说明理由．
19 ． 数 列
的前 项组成集合
，从集合 中任取
个数，其所有可能的 个数的乘积的和为 （若只取一个数，规定乘积为此
数本身），记
．例如：当
时，
，
，
；当
时，
，
，
．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）猜想 ，并用数学归纳法证明．
20．.数列 满足：
，且
（1）设 （3）设
，证明数列 是等差数列；（2）求数列 、 的通项公式；
2. 【解析】证明：设直角三角形两个锐角分别为
，则有：
． 因为等量减等量差相等， 所以
大前提
，
小前提
所以
．
结论
考点：本题主要考查演绎推理的意义，“三段论”推理一般形式。 点评：“三段论”是演绎推理的一般形式，包括：大前提——已知的一般原理；小前提，所研究 的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。 3.解析：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25， ∴f(5)＝25＋4×4＝41. (2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4， 由上式规律得出 f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)， f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，… f(2)－f(1)＝4×1，∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2 －2n＋1(n≥2)，又 n＝1 时，f(1)也适合 f(n)．∴f(n)＝2n2－2n＋1. (3)当 n≥2 时，＝＝， ∴＋＋＋…＋＝1＋＝1＋＝－.
（2）设 cn= (n=1,2,…),求证：数列{cn}是等差数列； （3）求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式.
17．（本小题满分15分）已知函数
．
（1）当
时，求
在
最小值；
（2）若
存在单调递减区间，求 的取值范围；
（3）求证：
（
）．
18．设数列 的前 项和为 ，且对任意
都有：
；
（1）求
；
（2）猜想 的表达式并证明．
∴
∴
6. 【解析】（1）证明：构造函数
则
因为对一切
，恒有
，所以
故得
．
（2）推广：若 ， ，…，
，
(13 分) ， ，
则
．
证明：构造函数
则
．
因为对一切
，恒有
，所以
故得
．
， ，
7. 证明：假设
都不小于 2，则
因为
，所以
，
5分
这与已知
相矛盾，故假设不成立。综上
8. 【解析】：假设
都是非负数
因为
，
所以
，
又
17.试题解析：（1）
，定义域为
．
，
在
上是增函数．
.
（2） 因为
因为若
存在单调递减区间，所以
即
有
的解
①
当
时，明显成立 .
有正数解.
②当
时，
解；
③当
时，
即方程
因为
，
所以方程
当
时，
开口向下的抛物线，
开口向上的抛物线， 有正根.
有两正根. ；
……… 4分
总有
的
，解得
．
综合①②③知：
．
……… 9分
（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当
， 为数列 的前 项和，证明
.
21．已知 C 为正实数,数列 由
,
(Ⅰ)对于一切的
,证明：
；
(Ⅱ)若 是满足
证明：
.
的正实数,且
确定. ,
22． （本题10分）
已知
（1）当
时，求
（2）设
（
），
的值；
，试用数学归纳法证明：
当
时，
。
23．数列 满足
（1）写出
并猜想 的表达式
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
，由
①
可知， 当 ≥2时，
②
①-②，得
，即
.
1）当
时，
，∵
，∴
；
2）假设当
（ ≥2）时，
.
那么当
时，
，
∵
， ≥2，∴
，
∴
.
这就是说，当
时也成立，
∴
（ ≥2）. 显然
时，也适合.
故对于 n∈N*，均有
（Ⅲ）要证
≤
，
只要证
≤
，
即
≤
，
将 即要证
代入，得 ≤
≤
，w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
，即 ≤1.
（3）存在……………………………………13 分
可取
……………………………16 分
注：答案不唯一
11. 【解析】第一问中，利用因为
，则
第二问，若
，则
的
则存在 使得
，
与
矛盾，运用反证法得到结论。
解：（1）因为
，则
--------6 分
（2）若
，则
的
则存在 使得
，
与
矛盾。所以假设不成立，原命题为
真
-----------8 分
（Ⅲ）设
，
，且
，证明：
（n∈N*）.
≤
.
14．数列{xn}由下列条件确定：
．
（Ⅰ）证明：对 n≥2，总有 xn≥ ；
（Ⅱ）证明：对 n≥2，总有 xn≥ ．
15．设函数 （Ⅰ）证明
其中为 k 为整数
（Ⅱ）设 为
的一个极值点，证明
（Ⅲ）设
在（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为
，证明：
16．已知数列{an}中，Sn 是它的前 n 项和，并且 Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1. （1）设 bn=an+1-2an(n=1,2,…)，求证：数列{bn}是等比数列；
11．已知定义在 R 上的函数
，
定义：
.
(1)若
，当
时比较
与 的大小关系.
(2)若对任意的
，都有使得
，用反证法证明：
.
12．真命题：若
，则
.
（1）用“综合法”证之 （2）用“反证法”证之
13．设数列{ }的前 n 项和为 ，并且满足
，
（Ⅰ）求 ， ， ；
（Ⅱ）猜想{ }的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
② 的图象知，
有解。
当
时，
（II）证明：由函数
的图象和函数
的图象知，对于任意整数 ，在开区间（
，
）内方程
只有一个根 ，
当
时，
，当
时，
而
在区间（
，
）内，要么恒正，要么恒负
因此
时
的符号与
时
综合以上，得：
的每一个根都是
的极值点 ③
的符号相反
由
得，当
时，
，即对于
时，
④
综合 ③、④ ：对于任意
，
由：
和
，得：
⑤
（2）证明：要证上式成立，需证
需证
需证
需证
需证
，
只需证 1>0 因为 1>0 显然成立，所以原命题成立 . 考点：反证法． 点评：反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立， 则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那 么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2°假设当 n=k 时，猜想正确，即
，
那么，n=k+1时，由
，猜想也成了，
综上知，
对一切自然数 n 均成立。
考点：本题主要考查归纳、猜想、证明的推理方法，数学归纳法。 点评：利用数学归纳法证明问题，要注意其步骤规范，做好“两步一结”。
6．命题“若 ，
，
，则
，则
，所以 试解决下列问题：
，故得
（1）若 ， ，
，
，求证
（2）试将上述命题推广到 n 个实数，并证明你的结论．
．”可以如下证明：构造函数
，因为对一切
，恒有
．
；
7．已知
中至少有一个小于2。
8．已知 有一个是负数。
，且
9． (本小题满分12分)
若数列 的通项公式
（Ⅰ）计算
的值；