2017-2018长郡中学高三理科数学期末试卷

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湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2017-2018学年高考数学二模试卷(理科) Word版含解析

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）一．选择题1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5} B．{4，5，6} C．{x|3＜x≤6} D．{x|3≤x＜6}2．（6分）下列中，真是（）A．∃x0∈R，使得B．s in2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．D．64．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．y=f（x+1）一定是偶函数5．（6分）已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（）A．B．C．D．6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣10077．（6分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．f p=f B．f p=f C．f=f p D．f=f p9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．18．已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．21．（13分）已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5} B．{4，5，6} C．{x|3＜x≤6} D．{x|3≤x＜6}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集．解答：解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B={4，5，6}．故选B．点评：本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法．化简A、B两个集合，是解题的关键．2．（6分）下列中，真是（）A．∃x0∈R，使得B．s in2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．∀x∈R，e x＞0，即可判断出正误；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，即可判断出正误；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，即可判断出正误；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，即可判断出正误．解答：解：A．∀x∈R，e x＞0，因此是假；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，因此是假；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，因此共有3个，是假；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，因此a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，是真．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、函数零点的判定方法、不等式的性质、指数函数的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；图表型．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个正三棱柱，其高已知，底面正三角形的高已知，由此可先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．解答：解：如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面连长为a，则，∴a=6．故体积．故答案为C．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的可能．4．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．y=f（x+1）一定是偶函数考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件可得x=1是函数f（x）的一条对称轴，故函数y=f（x+1）为偶函数，从而得出结论．解答：解：∵函数f（x）在x=1处取最大值，∴x=1是函数f（x）的一条对称轴，将函数f（x）向左平移1个单位，得到函数f（x+1）的图象，此时函数关于y轴对称，则函数y=f（x+1）为偶函数，故A、B、C都不正确，故选：D．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数最值和对称轴之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．5．（6分）已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（）A．B．C．D．考点：三角函数的化简求值；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：对于m值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f（m）•f（n）=0的个数，以及所有的个数，即可得到f（m）•f（n）=0的概率．解答：解：已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0m=3，9时，满足f（m）•f（n）=0的个数为m=3时8个m=9时8个，n=3时8个，n=9时8个，重复2个，共有30个．从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）的值有72个，所以函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为：=，故选A．点评：本题考查概率的应用，排列组合的应用，注意满足题意，不重复不要漏，考查计算能力．6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣1007考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答：解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件n＜2015，S=1，k=2；满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3；满足条件n＜2015S=2，k=4；满足条件n＜2015S=﹣2，k=5；满足条件n＜2015S=3，k=6；满足条件n＜2015S=﹣3，k=7；满足条件n＜2015S=4，k=8；…观察规律可知，有满足条件n＜2015S=1006，k=2012；满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013；满足条件n＜2015S=1007，k=2014；满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015；不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007．故选：D．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键，属于基础题．7．（6分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：求出以OP为直径的圆的方程，y2=4x代入整理，利用在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．解答：解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，y2=4x代入整理可得x2+（4﹣m）x=0，∴x=0或x=m﹣4，∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，∴m﹣4＞0，∴m＞4，故选：B．点评：本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．f p=f B．f p=f C．f=f p D．f=f p考点：分段函数的应用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，求出f2（x）=，再对选项一一加以判断，即可得到答案．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，∴f2（x）=，∴A．f p=f2（﹣1）=2，f=f（﹣1）=1+2﹣1=2，故A成立；B．f p=f2（﹣2）=2，f=f（﹣2）=4+4﹣1=7，故B不成立；C．f=f（﹣1）=2，f p=f2（﹣1）=2，故C成立；D．f=f（2）=﹣1，f p=f2（2）=﹣1，故D成立．故选：B．点评：本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题．9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．．故选B．点评：本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．10．（6分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．解答：解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．点评：本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．【选做题】11．（6分）如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若，AE=6，则EC=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连结OE，由切线的性质定理得到OE⊥AC，从而可得OE∥BC．根据切割线定理得AE2=AD•AB，解出AB=，可得AO=，最后利用比例线段加以计算得到AC长，从而可得EC的长．解答：解：连结OE，∵AC与半圆相切于点E，∴OE⊥AC，又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．由切割线定理，得AE2=AD•AB，即36=，解得AB=，因此，半圆的直径BD=，AO=BD=．可得，所以AC==9，EC=AC﹣AE=3．故答案为：3点评：本题给出半圆满足的条件，求线段EC之长．着重考查了切线的性质定理、切割线定理与相似三角形等知识，属于中档题．【【选做题】12．（3分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0上一点，点Q为曲线为参数）上一点，则|PQ|的最小值为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为直角坐标方程x﹣y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得：|PQ|=．再利用二次函数的单调性即可得出最小值．解答：解：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为x﹣y﹣4=0．由点到直线的距离公式可得：|PQ|===≥=．当且仅当t=2时取等号．∴|PQ|的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，属于基础题．【选做题】13．（3分）已知函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，若对任意的x∈R，f（x）≥f（3）=f（4）都成立，则k的取值范围为．考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的几何意义得出f（x）≥f（3）=f（4）都成立，意义为k，2k的距离之和，即：即2≤k≤3成立，求解即可．解答：解：∵函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，∴函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|的最小值为|k|，∵f（x）≥f（3）=f（4）都成立，∴根据绝对值的几何意义得出：即2≤k≤3．故答案为：点评：本题考查了绝对值不等式的解法，几何意义，关键是理解给出的条件，属于中档题．五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．（5分）设a=（sinx+cosx）dx，则二项式的展开式的常数项是﹣160．考点：二项式系数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：求定积分可得a的值，在二项式的展开式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．解答：解：∵a=（sinx+cosx）dx==2，则二项式=，它的展开式的通项公式为T r+1=（﹣1）r•，令3﹣r=0，求得r=3，故展开式的常数项是﹣=﹣160，故答案为：﹣160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，求定积分，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．15．（5分）如果实数a，b满足条件：，则的最大值是．考点：简单线性规划的应用；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，求出的范围，利用函数的最值求解表达式的最大值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，如图，表示可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，设z的几何意义表示可行域内点P与原点O（0，0）连线的斜率，∵当连线OP过点B（，）时，取最大值，最大值为3，连线OP过点A（1，1）时，取最小值，最小值为1，∈．∴===2﹣，∵∈．∴的最大值为：．故答案为：．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，是中档题．16．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由•=1，•=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵•=1，•=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．点评：本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．三．解答题17．（12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，先求出其对立事件“取出的3个球恰有两个编号相同”的概率．由古典概型公式，计算可得答案．（II）X的取值为1，2，3，4，分别求出P（X=1），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X的分布列和X的数学期望．解答：解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，设“取出的3个球恰有两个编号相同”为事件B，则P（B）===，∴P（A）=1﹣P（B）=．答：取出的3个球编号都不相同的概率为．（Ⅱ）X的取值为1，2，3，4．P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X 1 2 3 4PX的数学期望EX=1×+2×+3×+4×=．点评：本题考查等可能事件的概率计算与排列、组合的应用以及离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．18．已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在上的单调递减区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，再利用正弦定理化简，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∴f（x）的最大值为，∴=2，又m＞0，∴m=，∴f（x）=2sin（x+），令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），则f（x）在上的单调递减区间为；（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得====2，化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，得sinA+sinB=2sinAsinB，由正弦定理得：+=2×，即a+b=ab①，由余弦定理得：a2+b2﹣ab=9，即（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①式代入②，得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得：ab=3或ab=﹣（舍去），则S△ABC=absinC=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间角；空间向量及应用．分析：（I）根据PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，结合菱形ABCD中AC⊥BD，利用线面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，从而得到平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，由线面平行的性质定理得到PD∥OE，从而在△PBD中得到E为PB的中点．由PD⊥面ABCD得到OE⊥面ABCD，可证出平面EAC⊥平面ABCD，进而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，证出AE⊥BF，由二面角平面角的定义得∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°．分别在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等积关系的三角函数定义，算出OE=，由此即可得到PD：AD的值．解答：解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°设AD=BD=a，则OB=a，OA=a，在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE即a•OE=a•，解之得OE=∴PD=2OE=，可得PD：AD=：2即PD：AD的值为．点评：题给出一个特殊四棱锥，要我们证明面面垂直，并在已知二面角大小的情况下求线段的比值，着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和二面角平面角的求法等知识，属于中档题．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设b n=a2n﹣，则=﹣，==，由此能证明数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，得+，从而a2n﹣1+a2n=﹣2•（）n﹣6n+9，由此能求出S2n．从而能求出满足S n＞0的所有正整数n．解答：（Ⅰ）证明：设b n=a2n﹣，则=（）﹣=﹣，====，∴数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，∴+，由a2n=﹣3（2n﹣1），得a2n﹣1=3a2n﹣3（2n﹣1）=﹣•（）n﹣1﹣6n+，∴a2n﹣1+a2n=﹣﹣6n+9=﹣2•（）n﹣6n+9，S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）=﹣2﹣6（1+2+3+…+n）+9n==（）n﹣3（n﹣1）2+2．由题意得n∈N*时，{S2n}单调递减，又当n=1时，S2=＞0，当n=2时，S4=﹣＜0，∴当n≥2时，S2n＜0，S2n﹣1=S2n﹣a2n=﹣，故当且仅当n=1时，S2n+1＞0，综上所述，满足S n＞0的所有正整数n为1和2．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前2n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、等比数列性质、分组求和法的合理运用．21．（13分）已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题．分析：（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．（II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x0的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM 和PN的距离．求得x0和y0的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当时，|MN|取得最大值，进而求得y0，则P点坐标可得．解答：解：（I）∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心是（1，0），∴椭圆的右焦点F（1，0），∵椭圆的离心率是，∴∴a2=2，b2=1，∴椭圆的方程是．（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），由得，∴．直线PM的方程：，化简得（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0．又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，∴，∴（y0﹣m）2+x02=（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+x02m2，化简得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0=0，同理有（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0．∴，，∴=．∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴，∴，记，则，时，f'（x）＜0；时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递减，在内也是单调递减，∴，当时，|MN|取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在上为增函数，故f′（x）的值域为，即．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在上恒成立，故f（x）在上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．。

湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答案B。

2. 设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若| ，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．详解：依据定义，A B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义：A*B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．点睛：本小题考查函数的定义域和值域，考查集合交并运算的知识，考查运算能力，属于中档题．3. 阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C4. 使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.5. 已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题6. 在直角坐标系中，若角的终边经过点，在（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角的终边经过点，即点，则，由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7. 定义运算，，例如，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．8. 若在区间上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．详解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.9. 已知，，分别为内角，，的对边，且，，成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式=所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.10. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】分析：由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．详解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜（+，＞=0，即为||=cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．点睛：本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．11. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（）A. 1B.C. 3D. 0【答案】C【解析】由导数的几何意义得所以=，故选C.12. 设，则使得的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，对函数f（x）求导分析可得函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x ﹣3|，解可得x的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（e x﹣1+e1﹣x）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）=﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．13. 已知函数，其中为函数的导数，则（）A. 2B. 2019C. 2018D. 0【答案】A【解析】由题意易得：∴函数的图象关于点中心对称，∴由可得∴为奇函数，∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于y轴对称，∴∴故选：A14. 中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则( )A. 7B. 8C. 5D. 6【答案】A【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=7．故选：A．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．15. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设则，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．详解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12=故所求的最小值为故选：C．点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件【答案】①【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．17. 对于，，规定，集合，则中的元素的个数为__________．【答案】41【解析】分析：由⊕的定义，a b=36分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=36；a和b同奇偶，则a+b=36．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可详解：a b=36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．18. 已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是__________．【答案】【解析】分析：根据向量的模求出•=1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2•=3，解得•=1，∴在方向上的投影是=，故答案为：点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．19. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得因此，当且仅当时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20. 已知集合，且下列三个关系：，，中有且只有一个正确，则函数的值域是__________．【答案】【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程，巧解韦达定理表示，解得其值.试题解析：（1）由曲线C的原极坐标方程可得，化成直角方程为．（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，∵，于是点P在AB之间，∴．点睛：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为 (t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为 (t1＋t2)222. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若点在边上，且是的平分线，，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.23. 已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是；单调递减区间是.（2）【解析】试题分析：(1)，根据题意，由于函数当t=-e时，即导数为,,函数的单调递增区间是；单调递减区间是（2) 根据题意由于对于任意，不等式恒成立，则在第一问的基础上，由于函数,只要求解函数的最小值大于零即可，由于当t>0,函数子啊R递增，没有最小值，当t<0，那么可知，那么在给定的区间上可知当x=ln（-t）时取得最小值为2，那么可知t的取值范围是．考点：导数的运用点评：主要是考查了导数的运用，以及函数最值的运用，属于中档题。

湖南省长沙市长郡中学2018届高三数学实验班选拔考试试题理(含解析)

长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，时量120分钟，满分150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数（其中，为虚数单位）的虚部为1，则A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】,的虚部为，，故选C.2.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】,,故选B.3.长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的人恰为一男一女的概率为，故选B.4.已知等差数列的前项和为，若，则A. 23B. 96C. 224D. 276 【答案】D 【解析】是等差数列，可设首项为，公差为，由，可得，，故选D.5.已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】设右焦点关于渐近线：的对称点为，则在上交于，由点到直线距离公式可得，为直角三角形，三边分别为，由对称性知，，，故选C.6.下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是 A. B.C. D.【答案】C 【解析】对于.函数是奇函数，在为整数）上递增，则不满足；对于.函数为奇函数，由于，则在上递增，则满足；对于.函数为偶函数，则不满足；对于.函数既不是奇函数，也不是偶函数，则不满足，故选C. 7.执行如图所示的程序框图，若输，则输出的结果为（）A. 7B. 9C. 10D. 11 【答案】B 【解析】执行程序框图，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；结束循环，输出，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 8.若二项式展开式的各项系数之和为，则含项的系数为A. 560B.C. 280D.【答案】A 【解析】因为二项式展开式的各项系数之和为，所以，的通项为，令项的系数为，故选A.9.某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是A. B.C. D.【答案】C【解析】依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组合体，且直三棱柱底面为两直角边为和的直角三角形，高为，半圆柱的底面半径为，高为，所以该几何体的体积为，故选C.10.已知椭圆，若直线经过，与椭圆交于两点，且，则直线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线斜率为，，，由与联立可得，，则，解得，故选B.11.已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，底面，且二面角的正切值为4，则球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】设中点为，可得，则是“二面角”的平面角，由于“二面角” 的正切值为，，由余弦定理知，，由正弦定理知，外接圆直径，设外接球半径为，则，球的表面积为，故选D.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.12.已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在区间上有两个零点，等价于与的图象有两个交点，设与的图象相切，切点为，则，解得，因为关于的方程，与有两个交点，，故选A.【方法点睛】判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】画出表示的可行域如图，由图知，直线平移经过点时，有最小值为，故答案为. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.设，，且，则__________．【答案】【解析】由，可得，故答案为.15.已知，，则__________．【答案】【解析】，，故答案为.16.在数列中，首项不为零，且，为的前项和．令，则的最大值为__________．【答案】【解析】数列首项，所以数列是公比为的等比数列，，，，所以，设，令,当且时取等号，，即的最大值为，故答案为.三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在锐角中，分别为角的对边，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求面积的取值范围．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得，从而可得结果；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，又，∴，∴，又∵，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵，∴①，又∵，∴②，又③，将①，②，③代入已知得：，整理得，即，又∵，∴，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵为锐角三角形，∴且，解得，在中，由正弦定理得：，∴，又，∴，∴，又∵，∴．18.如图，在直三棱柱中，，为线段的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析；（2）或.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由直棱柱的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量及，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 试题解析：（Ⅰ）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，又平面∴，∵，是的中点，∴，又平面平面，∴平面，又平面，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，故以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，则，∴，· 设平面的一个法向量，则，即，则，令可得，，故，设直线与平面所成角为，则，解得或，即或．19.某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）算出样本中心点的坐标，利用公式求得，由可得，即可得回归方程，再将时代入即可得结果；（Ⅱ）分别求出安装2台光照控制仪的周利润的均值、安装3台光照控制仪的均值，与安装1台光照控制仪可获得周利润进行比较即可得结果.试题解析：（Ⅰ），，，，所以关于的线性回归方程为，当时，百斤＝550斤，所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是500斤．（Ⅱ）记商家总利润为元，由已知条件可知至少需安装1台，①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，②安装2台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为所以元，③安装3台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪运行，此时元，当时，三台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为所以元，综上，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．【方法点晴】本题主要考查线性回归方程及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；(2) 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知是抛物线上一点，到直线的距离为，到的准线的距离为，且的最小值为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，若，直线的斜率为，求证：直线恒过定点．【答案】(1) ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）的最小值等价于点到直线的距离，∴，解得，从而可得结果；（Ⅱ）设，由可得，由中点坐标公式以及斜率公式可得的斜率，直线的方程可化为，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，则，其最小值为点到直线的距离，∴，解得（舍去负值），∴抛物线的方程为．（Ⅱ）设，由可得，则，所以∴的中点的坐标为，同理可得点的坐标为，则直线的斜率，则，则直线的方程可化为，即，令可得，∴直线恒过定点．【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及韦达定理、直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) 当时，函数在上单调递减；当时，函数在上递减，函数在上单调递增；（2）.【解析】试题分析: （Ⅰ）求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间，得减区间；（Ⅱ）原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.试题解析：（Ⅰ）因为，所以过点的直线的斜率为，而，由导数的几何意义可知，，所以，所以．则，当时，，函数在上单调递减；当时，由得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，设，若，则，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即当时，恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以实数的取值范围为．22.设，，，，是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标，，，，使得．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：可设，则，，，，都属于区间，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含其中的3个数，5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．试题解析：不妨设，考虑以下5个分数：，，，，，①它们都属于区间．把区间分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为，，）．将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（与是相邻的），即，，中至少有两个数是相邻的．假设与相邻，则．另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．于是，、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．23.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系中，直线的方程为：，直线的方程为．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围．【答案】(1) 以为圆心，为半径的圆；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用平方法可消去参数，从而可得曲线的直角坐标方程，进而得它是何种曲线；（Ⅱ）设，，曲线的方程化成极坐标方程，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）由（为参数）消去参数得：，∴曲线是以为圆心，为半径的圆．（Ⅱ）设，，∵三点共线，则①，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，代入①得：，用代得：又∵，∴，∴，∵，∴。

2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学(理)试题(解析版)

2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{|A x y ==，{|1}B x a x a =≤≤+，若A B A = ，则实数a的取值范围为（）A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[2,1]-D ．[2,)+∞ 【答案】C【解析】试题分析：{}{||22A x y x x ===-≤≤，又因为A B A = 即B A ⊆，所以122a a +≤⎧⎨≥-⎩，解之得21a -≤≤，故选C.【考点】1.集合的表示；2.集合的运算.2．设复数2()1a i z i+=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（） A ．12- B ．12i - C ．32- D ．32i -【答案】C【解析】试题分析：2222122(1)1()1222a i a ai a a i a z a i i i +-+---====-+,因为z 的实部为2，所以2a =，所以z 的虚部为221322--=-,故选C. 【考点】1.复数数的概念；2.复数的运算.3．“0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】试题分析：当0a <时，在区间(,0)-∞上，1()|(1)|()f x x ax ax x a=+=--单调递减，但()|(1)|f x x ax =+区间(,0)-∞上单调递减时，0a ≤，所以“0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的,故选A. 【考点】1.函数的单调性；2.充分条件与必要条件.4．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围为（）A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e【答案】D【解析】试题分析：由()(21)0x f x e x ax a =--+<得(21)(1)x e x a x -<-，令()(21),()(1)xh x e x g x a x =-=-，则若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <等价于存在唯一的整数0x 使00()()h x g x <，在同一坐标系内作出两个函数的图象，由图象可知0()0f x <等价于存在唯一的整数0x 使00()()h x g x <等价于(0)(0)(1)(1)h g h g <⎧⎨-≥-⎩，解之得312a e≤<,故选D.【考点】函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数与不等式,中档题；函数与不等式是高考考查的重要内容，数形结合是解决函数与不等式的重要途径，通常可把所有的数学表达式移到不等式的一边，构造一个函数作图解决不等式问题，也可象本题这样把变量放在不等式的两边，构造两个函数，在同一坐标系内作出两个函数的图象，通过图象求解. 5．将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（） A ．54π-B ．4π-C ．4π D ．34π【答案】C【解析】试题分析：1sin()cos()sin(2)222y x x x ϕϕϕ=++=+的图象沿x 轴向右平移8π个单位后得到的函数解析式为11sin[2()]sin(2)2824y x x ππϕϕ=-+=+-,因为该函数为偶函数,所以()42k k Z ππϕπ-=+∈即3()4k k Z πϕπ=+∈,由此可知选项C 不符合题意,故选C.【考点】1.三角函数的图象与性质；2.函数图象平移变换.6．已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ∙= ，则MA BA ∙的取值范围是（）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3D ．[3【答案】C 【解析】试题分析：设1122(,),(,)A x yB x y ，则11221(1,),(1,),(,)M A x y M B xyB A x x y y=-=-=--，由题意有121(1)(1)0M A M B x x y y ∙=--+=，所以 21121121112112(1)()()(1)(1)MA BA x x x y y y x x x x y y y ∙=--+-=---+-[]22221111212111111(1)(1)(1)114x x y x x y y x x x x x =-+---++-=-+--+ 221111334222(),[2,2]4433x x x x =-+=-+∈- 所以，当2x =-时，MA BA ∙ 有最大值9，当43x =时，MA BA ∙ 有最小值23，故选C.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.向量的运算. 7．如图所示程序框图中，输出S =（）A ．45B ．-55C ．-66D ．66 【答案】B【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：222222222212345678910(12345678910)55S =-+-+-+-+-=-+++++++++=-，故选B.【考点】程序框图.8．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为（）A ．ln 22 B ．1ln 22- C ．1ln 22+ D ．2ln 22- 【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，四边形OABC 的面积122S =⨯=，阴影部分的面积可分为两部分，一部分是四边形OEDC 的面积11212S =⨯=，另一部分是曲边梯形的面积11121221ln ln 2S dx x x ===⎰，所以点M 来自E 内的概率为121ln 22S S P S ++==，故选C.【考点】1.几何概型；2.积分的几何意义.【名师点睛】本题考查几何概型、积分的几何意义，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过积分运算来完成的，把积分运算与几何概型有机的结合在一起是本本题的亮点.9．在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，P 在线段1BD 上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（） A ．1 B ．32C ．92D ．与M 点的位置有关【答案】B【解析】试题分析：三棱锥M PBC -的高为点M 到平面PBC的距离，即2h =底面三角形PBC 的底为3BC=，高为P到BC的距离23=，所以三棱锥M P B C-的体积1133322V=⨯⨯=，故选B.【考点】1.正方体的性质；2.多面体的体积.10．已知点A是抛物线2:2(0)C x py p=>上一点，O为坐标原点，若,A B是以点(0,10)M为圆心，||OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO∆为等边三角形，则P的值是（）A．52B．53C．56D．59【答案】C【解析】试题分析：由抛物线的性质及题意可知，,A B两点关于y轴对称，所以可设1111(,),(,)A x yB x y-，则2222211111(10)4x y x y x+=+-=，解之得2112535xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，又因为点A在抛物线上，所以25253p=⨯，解得56p=，故选C.【考点】抛物线的标准方程与几何性质.11．设,x y满足约束条件1210,0y xy xx y≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，则目标函数(0,0)z abx y a b=+>>的最大值为11，则a b+的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】试题分析：在直角坐标系中作出可行域，如下图所示，因为0,0a b>>，所以目标函数z abx y=+取得最大值时的最优解为(2,3)B，所以1123ab=⨯+，即4ab=，所以4a b+≥=，当且仅当2a b==时取等号，故选B.【考点】1.线性规划；2.基本不等式.12．设函数61(),0()0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，则当0x >时，[()]f f x 表达式的展开式中常数项为（）A ．-20B ．20C ．-15D ．15 【答案】A【解析】试题分析：因为0x >，所以()0f x x =<，所以66[()](f f x ==，其展开式的通项为626166((1)rr r r rr r T C C --+==-，当3r =时为常数项，所以[()]f f x 表达式的展开式中常数项为3346(1)20T C =-=-,故选A.【考点】1.分段函数的表示；2.二项式定理.【名师点睛】本题考查分段函数的表示与二项式定理，属中档题；分段函数的表示与二项式定理是最近高考的常考内容，但两者很少在同一个题目中出现，本题在考查分段函数的同时，考查二项式定理的应用，可谓立意新颖、思维独特.二、填空题13．若423401234(12)x a ax a x a x a x -=++++，则013||||||a a a ++等于 .【答案】41【解析】试题分析：423(12)18243216x x x xx -=-+-+，所以0131,8,32a a a ==-=-，013||||||41a a a ++=.【考点】二项式定理.14．给定双曲线22:1C x =，若直线l 过C 的中心，且与C 交于,M N 两点，P为曲线C 上任意一点，若直线,PM PN 的斜率均存在且分别记为,P M P N k k ，则P M P N k k ∙= .【答案】12【解析】试题分析：设直线l 的方程为y kx =，1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)P x y ，则01020102,,PM PNy y y y k k x x x x --==--由221x y kx ⎧=⎪⎨⎪=⎩得，222)1)0k x -=,所以有12120,x x x x +==， 2220102001212001212220102001212001212()()()()PM PNy y y y y y y y y y y ky x x k x x k k x x x x x x x x x x x x x x x x ---++-++⋅=⨯==---++-++20x +===. 【考点】1.双曲线的标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.斜率公式.15．已知点(,)P x y 的坐标满足0200y x y -<+<⎨⎪≥⎪⎩，则的取值范围为 .【答案】[【解析】0y +=，如下图所示，过点P 作PF ⊥0y +=于点F ，表示可行域内的点(,)P x y到直线0y +=的距离PF表示可行域内的点P 到原点O 的距离PO ，所以sin PF POF PO==∠，当点P 在直线0y +=上时，222sin0POF===∠=，当点P在直线0y+=r222sin POF===∠，此时的取值范围为，当点P在直线0y+=r在左下方时，222sin POF==-=-∠，的取值范围为[的取值范围为[.【考点】1.线性规划；2.点到直线距离、两点间的距离；3.直角三角形中正弦函数定义.【名师点睛】本题考查线性规划、两点间的距离公式、点到直线距离公式、直角三角形中正弦函数定义，属难题；对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.本题利用两个距离的比构成了一个角的三角函数值，再数形结合求解，可谓是匠心独运，视角独特.16．在数列{}na中，11a=，122133232(2)n n nn na a n----=-∙+≥，nS是数列1{}nan+的前n项和，当不等式*1(31)()1()3()mnmnS mm NS m++-<∈-恒成立时，mn的所有可能取值为 .【答案】1或2或4【解析】试题分析：由122133232(2)n n nn na a n----=-∙+≥得1212213(1)3(1)33232(2)n n n n nn na a n------+=++--∙+≥，即1213(1)3(1)2(2)n nn na a n---+=++≥，所以数列{}13(1)nna-+是以1113(1)2a-+=为首项、2为公比的等比数列，所以13(1)2n n a n -+=，由1123n n a n -+=，12(1)133(1)1313n n n S ⨯-==--，所以 1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3m m m n m n n mn n m m n m m n mm n n m S m m m m S m m m m +++++++--+---+----⋅-===+<-------即(3)32330(3)33n m m n mm m +--⋅-<--，当3m =时，该不等式不成立，当3m ≠时有233330133m nn m m⋅+--<--恒成立，当1m =时，19322n <<，1n =，这时1mn =，当2m =时，1321n<<，1,2n =，这时2mn =或4mn =，当4m ≥时，233330133m nn m m⋅+--<--不成立，所以mn 的所有可能取值为1或2或4. 【考点】1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列{}13(1)n n a -+是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力. 三、解答题17．已知函数2()2sin (0)2xf x x ωωω=->的最小正周期为3π.（1）求函数()f x 在区间3[,]4ππ-上的最大值和最小值；（2）已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 中角,,A B C 的对边，且满足2,()1b f A =2sin b A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）min ()1f x =，max ()1f x =；（2【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得()2sin()16f x x πω=+-，由周期为3π，可求ω的值，由三角函数性质可求函数的最值.（22sin b A =及正弦定理可求得sin B =，从而是求出解B的值，由()1f A =可求出角4A π=及角51246C πππ==+，由正弦定理求出边a ，即可求三角形面积.试题解析：（1）∵1c o s ()22s i n ()126xf xx x ωπωω-=-⨯=+-，∴23ππω=，∴23ω=， ∴2()2sin()136f x x π=+-，∵34x ππ-≤≤，∴253366x πππ-≤+≤，∴2sin()136x π≤+≤，所以当34x π=-时，()f x取最小值1；当2x π=时，()f x 取最大值1. （22sin b A =2sin sin A B A =，∴sin 2B =，∵02B π<<，∴3B π=，由()1f A =得锐角4A π=，由正弦定理得：a =11sin 222ABC S ab C ∆===.【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理与余弦定理,属中档题；此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数解析式从而达到求最值的目的，三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 18．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程y bx a =+；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.参考公式：^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.【答案】（1）13(2013)260.2y x =-+；（2）351.2万吨【解析】试题分析：（1）由公式先求出,x y ，再利用公式求出 ,b a 即可求回归方程；（2）将2020x =代入所求回归方程求出y 的值即可. 试题解析：（1）解法一：容易算得：2013,260.2x y ==，121()()13()niii nii x x y y b x x ==--==-∑∑，260.2132013a y bx =-=-⨯，故所求的回归直线方程为13260.213201313(2013)260.2y x x =+-⨯=-+ 解法二：由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似值直线上升，为此时数据预处理如下表：对预处理后的数据，容易算得：110n i i x x n ===∑，11 3.2ni i y y n ===∑，12211301310()ni ii nii x y nx yb xn x ==-===-∑∑， 3.2a y bx =-= 所求的回归直线方程为257(2013)13(2013) 3.2y b x a x -=-+=-+，即13(2013)260.2y x =-+.（2）根据题意，该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用水量相当，当2020x =时，满足（1）中所求的回归直线方程，此时13(2013)260.2351.2y x =-+=（万吨）【考点】线性回归方程及其应用.19．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤ ，试求cos θ的取值范围.【答案】（1）由余弦定理求出2AC ，由勾股定理的逆定理证明BC AC ⊥即可；（2）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立所示空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤,求出平面MAB 与平面FCB 的法向量（用λ表示）即可求cos θ的范围.【解析】试题分析：试题解析：（1）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠= ，∴2AB =， ∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-∙∙= ， ∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥，∴平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE .（2）由（1）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴发建立如图所示空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤，则(0,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ，∴(,0),(,1,1)AB BM λ==-. 设1(,,)n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则1(1)n λ=，∵2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，∴1212||cos ||||n n n n θ∙=== .∵0λ≤≤0λ=时，cos θ，当λ=cos θ有最大值12，∴1cos ]2θ∈. 【考点】1.空间直线与直线垂直的判定；2.空间向量的应用.20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F，2F ，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M . （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ，问12k k +是否为定值？并证明你的结论.【答案】（1）2213x y +=;（2）12k k +为定值2. 【解析】试题分析：（1）由以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M 可得1b =，由焦点坐标得c =2223a b c =+=，从而可求出椭圆方程；（2）当直线l 的斜率不存在时,求出点,A B 的坐标，可求得122k k +=；当当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-,代入椭圆方程得2222(31)6330k x k x k +-+-=,则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，计算12k k +的值即可.试题解析：（1）由已知得：222c a b =-=，由已知易得||1b OM ==，解得a =则椭圆C 的方程为2213x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,3x y ==±，设(1,A B，122233222k k +=+=. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简，得 2222(31)6330k x k x k +-+-=，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，所以12122112121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++22122222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21)26(21)k k +==+ 综上得：12k k +为定值2.（说明：若假设直线l 为1x my =+，按相应步骤给分）【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,属难题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.21．设1()1xxa f x a+=-（0a >且1a ≠），()g x 是()f x 的反函数.（1）设关于x 的方程2log ()(1)(7)a tg x x x =--在区间[2,6]上有实数解，求t 的取值范围；（2）当a e =（e为自然对数的底数）时，证明：22()nk g k =>∑（3）当102a <≤时，试比较1|()|nk f k n =-∑与4的大小，并说明理由.【答案】（1）[5,32]；（2）见解析；（3）1|()|4nk f k n =-<∑【解析】试题分析：（1）由反函数的定义先求出()g x 的解析式，代入已知条件可得2(1)(7)t x x =--，[2,6]x ∈，求导，研究函数2(1)(7)t x x =--的单调性，即可求t的取值范围；（2）21231(1)()ln ln ln ln ln 34512nk n n n g k n =-+=++++=-+∑ ,构造函数 2211()ln 2ln ,0z u z z z z z z z-=--=-+->，求导研究其单调性可得()u z 在(0,)+∞上是增函数，从而(1)0u u >=，即(1)12ln 0(1)n n n n +->+,可证结论成立；（3）当1n =时易得2|(1)1|24f p-=≤<，当2n ≥时，由122(1)122()11(1)1(1)1k k k k k k k k p f k p p C p C p C p ++==+=++-+-+++ 可得1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+===+-+++，求和可得1()(1)14nk n fkf n n =<<++≤+∑，即可得到1|()|4nk f k n =-<∑.试题解析：（1）由题意，得101xy a y -=>+，故1()log 1ax g x x -=+，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ ，由21log log (1)(7)1aa t x x x x -=--+，得2(1)(7)t x x =--，[2,6]x ∈ 则'2318153(1)(5)t x x x x =-+-=---，令'0t >，得25x ≤<，知2(1)(7)t x x =--在区间[2,5)上递增；令'0t <，得56x <≤，知2(1)(7)t x x =--在区间(5,6]上递减，所以当5t =时，32t =最大值，有当2x =时，5t =；6x =时，25t =，所以5t =最小值，所以t 的取值范围为[5,32] （2）212311231(1)()ln ln ln ln ln()ln 345134512nk n n n n g k n n =--+=++++=⨯⨯⨯⨯=-++∑ 令2211()ln 2ln ,0z u z z z z z z z-=--=-+-> 则'22211()1(1)0u z z z z=-++=-≥，所以()u z 在(0,)+∞上是增函数，又因为当2n ≥10>>，所以(1)0u u >=即(1)12ln0(1)n n n n +->+，即22()nk g k =>∑（3）设11a p=+，则1p ≥，121(1)131a f a p +<==+≤-当1n =时，2|(1)1|24f p-=≤<，当2n ≥时，设*2,k k N ≥∈时，则122(1)122()11(1)1(1)1k k k k kk k k p f k p p C p C p C p ++==+=++-+-+++ ，所以1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+===+-+++ 从而24441()111211nk n f k n n n n n =-<≤-+-=+-<+++∑所以1()(1)14nk n f k f n n =<<++≤+∑，综上所述，总有1|()|4nk f k n =-<∑【考点】1.反函数的定义与求法；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式. 22．已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连接,FB FC .（1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120EAC ∠=，BC =AD 的长. 【答案】（1）见解析；（2）6 【解析】试题分析：（1）欲证FB FC =，只要证FBC FCB ∠=∠即可，由AD 平分EAC ∠可得EAD DAC ∠=∠，由圆内接四边形性质得DAC FBC ∠=∠，又因为同弧上的圆周角相等、对顶角相等，所以EAD FAB FCB ∠=∠=∠，即可证得FBC FCB ∠=∠；（2）120EAC ∠= ，∴60DAC BAC ∠=∠=，所以在Rt ACB∆中，∵BC =60BAC ∠=可求出3AC =，从而求出AD 的值.试题解析：（1）证明：∵AD 平分EAC ∠，∴E A D D A C ∠=∠，因为四边形AFBC 内接于圆，∴DAC FBC ∠=∠，又∵EAD FAB FCB ∠=∠=∠，∴FBC FCB ∠=∠，∴FB FC =.（2）∵AB 是圆的直径，∴90ACD ACB ∠=∠= ，∵120EAC ∠=，∴60DAC BAC ∠=∠= ，∴30D ∠=，在R t A C B ∆中，∵BC =60BAC ∠=，∴3AC =，又在Rt ACD ∆中，30D ∠=，3AC =，∴6AD =. 【考点】1.三角形外角平分线性质；2.圆的性质.23．已知曲线C的参数方程为31x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；（2）若直线的极坐标方程为1sin cos θθρ-=，求直线被曲线C 截得的弦长.【答案】（1）C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+,表示圆；（2【解析】试题分析：（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式进行转换即可;（2）将1sin cos θθρ-=转换为直角坐标方程，求出圆心C 到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.试题解析：（1）∵曲线C的参数方程为31x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.∴曲线C 的普通方程为22(3)(1)10x y -+-=. 曲线C 表示以(3,1)为圆心，为半径为圆，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得：6cos 2sin ρθθ=+，即曲线C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+. （2）∵直线的直角坐标方程为1y x -=∴圆心C到直线的距离为2d == 【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.直线坐标与极坐标的互化；3.直线与圆的位置关系.24．已知函数1()||||f x x a x a=+++(0)a >. （1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()()4f m f m +-≥. 【答案】（1）111{|}44x x x <->或;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）当2a =时，分区间去绝对值，分别解不等式即可；（2）由绝对值不等式的性质及基本不等式可得111111()()||||||||2|f m f m a a m m m m a m a m+-=++-++++-+≥. 试题解析：（1）当2a =时，1()|2|||2f x x x =+++，原不等式等价于21232x x x <-⎧⎪⎨---->⎪⎩或1221232x x x ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪+-->⎪⎩或121232x x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪+++>⎪⎩ 解得：114x <-或φ或14x > 不等式的解集为111{|}44x x x <->或（2）11111()()||||||||f m f m a m a m a m m a+-=++++-++-+11111||||||||2||m a a m m m a m a m=++-++++-+≥+ 12(||)4||m m =+≥ 当且仅当11m a =±⎧⎨=⎩时等号成立.【考点】1.绝对值不等式的解法；2.绝对值不等式的性质.。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第13次周测数学(理)试题 Word版含答案

2017-2018学年数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =->，集合(){}|y lg 1B x x ==-，则A B =（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．()(),02,-∞+∞ D ．()(),01,-∞+∞2.已知复数z 满足264z z i +=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设,αβ是两个不同的平面，直线l 满足l β⊄，以下中错误的是（） A ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ B ．若//,//l ααβ，则//l β C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若,l ααβ⊥⊥，则//l β4.已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3510,,a a a 成等比数列，则（） A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS >< C ．140,0a d dS <> D ．140,0a d dS <<5.如图给出了计算111124660++++的值的程序框图，其中①②分别是（）A ．30,2i n n <=+B ．30,2i n n ==+C ．30,2i n n >=+D ．30,1i n n >=+ 6.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（） A ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 7.已知实数,x y 满足43120220220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若()0z kx y k =+<的最大值为5，则实数k 的值为（） A ．43-B ．-3C ．2918-D ．192- 8.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为（） A．0x ±= B ．20x y ±= C0y ±= D ．20x y ±= 9.已知()f x 是定义在()0,+∞上的函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112210x f x x f x x x -<-，记()()0.20.2sin 3log 27,,3log 2sin 7f f f a b c ππππ⎛⎫⎪⎝⎭===，则（） A ．c b a << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b <<10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A B 1++ C ．外接球的表面积为4π11.已知在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC ++=，过点P 作直线l 分别交AB AC 、于M N 、，若(),0,0AM mAB AN nAC m n ==>>，则m n +的最小值为（） A ．43 B ．53C ．2D ．3 12.函数()f x 在[],a b 上有定义，若对任意[]12,,x x a b ∈，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，则称()f x 在[],a b 上具有性质P ，设()f x 在[]1,3上具有性质P ，现给出如下：①()f x 在[]1,3上的图象是连续不断的；②()2f x 在⎡⎣上具有性质P ；③若()f x 在2x =处取得最大值1，则()[]1,1,3f x x =∈； ④对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有()()()()12341234144x x x x f f x f x f x f x +++⎛⎫≤+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭．其中真的序号是（） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f 的值为__________．14.已知向量()()1,3,3,a b m ==，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 夹角为__________．15.已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的,x y R ∈，都有()()()f x y xf y yf x =+成立．数列n a 满足()3n n a f n N +=∈，且13a =，则数列的通项公式为n a =____________．16.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5,8,AB AC BC AD ===⊥底面,ABC G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为___________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c A 为钝角，且tan b a B =．（1）证明：2A B π-=；（2）求sin 2sin B C +的取值范围． 18.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，1,,//2AB AD CD AB AD AB CD ==⊥，点M 是PC 的中点．（1）求证：//MB 平面PAD ；（2）求二面角P BC D --的余弦值； 19.（本小题满分 12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[](](](]5,15,15,25,25,35,35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a 的值；并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均数；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[]5,15内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）． 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 为动点，已知点)(),AB ，直线PA 与PB 的斜率之积为定值12-．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若()1,0F ，过点F 的直线l 交抛物线E 于,M N 两点，以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程． 21.（本题满分12分）设函数()()()()222cos 1ln 1,f x x x x x g x k x x ⎛⎫=--+++=+ ⎪⎝⎭．其中0k ≠．（1）讨论函数()g x 的单调区间；（2）若存在(]11,1x ∈-，对任意21,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()()126f x g x k -<-成立，求k 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin ,P ρθθ=+的点极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，倾斜角为3π．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11PA PB+的值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()231f x x x =++-．（1）解不等式()4f x >；（2）若存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()1a f x +>成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题13. 13- 14. 30° 15. 3n n 16. 6349π三、解答题17.（1）证明：由tan b a B =及正弦定理得sin sin cos sin B b BB a A==，因为ABC ∆中，sin 0B ≠，所以cos sin B A =，即sin sin 2B A π⎛⎫+=⎪⎝⎭；由A 为钝角，所以,22B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故2B A π+=，即由0sin B <<2133334sin 81616B ⎛⎫<--+≤⎪⎝⎭，所以sin 2sin B C +的取值范围是3316⎤⎥⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.（1）证明：取PD 中点H ，连结,MH AH ，因为M 为PC 中点，所以1//,2HM CD HM CD = 因为1//,2AB CD AB CD =，所以//AB HM 且AB HM =，所以四边形ABMH 为平行四边形，所以//AH BM ．因为BM ⊄平面,PAD AH ⊂平面PAD ，所以//BM 平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）取AD 中点O ，连结PO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分取BC 中点K ，连结OK ，则//OK AB ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系．．．．．．．．．．．．7分设2AB =，则()()()()(1,0,0,1,2,0,1,4,0,1,0,0,A B C D P --， ()(2,2,0,1,2,BC PB =-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分平面BCD的法向量(OP =，设平面PBC 的法向量(),,n x y z =，由00BC n PB n ⎧=⎨=⎩得22020x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则(1,1,3n =．．．．．．．．．．．．10分15cos ,5OP n OP n OP n==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分由图可知，二面角P BC D --是锐二面角，所以二面角P BC D --．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.（1）由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分解得0.03a =；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）．．．．．．．．．．． 3分而50个样本小球重量的平均值为：0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）．．．．．．．．．．．．．．．．5分故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，．．．．．．．．．．．．．．．6分则13,,5XB X ⎛⎫⎪⎝⎭的可能取值为0、1、2、3，．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ()()0320133146414480,155********P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()23233314121412,35512555125P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴6448121301231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．（或者13355EX =⨯=）．．．．．．．．．12分 20.（1122x =-+，．．．．．．．．．．．．．．．2分整理得2212x y +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分 ∴所以所求轨迹E 的方程为()22102x y y +=≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）当直线l 与x 轴重合时，与轨迹E 无交点，不合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分当直线l 与x 轴垂直时，:1l x =，此时,1,M N ⎛⎛ ⎝⎝，以MN 对角线的正方形的另外两个顶点坐标为1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，不合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分当直线l 与x 轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线()():10l y k x k =-≠，()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点1212,122x x x x Q k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得()2222214220k x k x k +-+-=，得212221224212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，．．．．．．．．．．8分所以2222,2121k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则线段MN 的中垂线m 的方程为：222122121kk y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，整理得直线2:21x km y k k =-++，则直线m 与y 轴的交点20,21kR k ⎛⎫⎪+⎝⎭，注意到以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，当且仅当RM RN ⊥，即112222,,02121kk RM RN x y x y k k ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ()()212121222202121k k x x y y y y k k+-++=++，①由()()221212122121221212221k y y k x x x x k k y y k x x k ⎧=-++=-⎡⎤⎪⎣⎦⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩，②将②代入①解得 1k =±，即直线l 的方程为()1y x =±-，综上，所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．．．．．．．．．．．．．．．12分21.（1）()()3222122k x k g x kx x x -'=-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分当0k >时，令()0g x '>，得1x >，∴()g x 的递增区间为()1,+∞，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分令()0g x '<，得1,0x x <≠，∴()g x 的递减区间为()(),0,0,1-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分0k <当时，同理得()g x 的递增区间为()(),0,0,1-∞；递减区间为()1,+∞．．．．．．．．．．．．．5分（2）()()()2sin 1ln 112sin ln 1f x x x x x '=-+++=++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵当(]1,1x ∈-时，2sin y x =及()ln 1y x =+均为增函数，∴()f x '在(]1,1-为增函数，又()00f '=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当(]0,1x ∈时，()0f x '>，从而，()f x 在()1,0-上递减在(]0,1上递增，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()f x 在(]1,1-上的最小值为()02f =-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∵()()126f x g x k -<-，∴()()126f x k g x <-+，∴()()min min 6f x k g x <-+，当0k >时，∴()()min 13g x g k ==，∴462k ->-，∴1k >．当0k <时，()()min 25g x g k ==，∴662k ->-，∴23k >，又0k <，∴0k <时不合题意，综上，()1,k ∈+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.（1）曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为22240x y x y +--=，化为标准方程为：()()22125,3,2x y P π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭化为直角坐标为()0,3P ，直线l 的参数方程为cos 33sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2211152t ⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，整理得：)2130t t +--=，显然有0∆>，则12123,1t t t t =-+=+，121212133,PA PB t t t t PA PB t t t===-=+=+=-=，所以11PA PB PA PB PA PB ++==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 23.（1）∵()231f x x x =++-，∴()332,234,1232,1x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．2分()342324x f x x ⎧<-⎪>⇔⎨⎪-->⎩或31244x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>⎩或1324x x >⎧⎨+>⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分2x ⇔<-或01x <≤或1x >．．．．．．．．．．．．．．．．5分综上，不等式()4f x >的解集为()(),20,-∞-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()1a f x +>成立⇔()()min 1a f x +>．．．．．．．．．．．．7分由（1）知，3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =+，∴32x =-时，()()min 52f x =．．．．．．．．．．． 8分53122a a +>⇔>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴实数a 的取值范围为32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

2017-2018学年湖南省长沙市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数2．（5分）已知命题p：∃x0＞0，x0+a﹣1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）3．（5分）已知18x＝2y＝3，则＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣24．（5分）在△AOB中，OA＝OB＝1，OA⊥OB，点C在AB边上，且AB＝4AC，则＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知某二棱锥的三视图如图所示，其中俯视图由直角三角形和斜边上的中线组成，则该几何体的外接球的体积为（）A．B．C．4πD．12π6．（5分）已知，且2sin2α＜0，则的值为（）A．7B．﹣7C．D．7．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N＝r（modm），例如10＝2（mod4）．下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i等于（）A．3B．9C．27D．818．（5分）设函数，已知f（x）的最小正周期为4π，且当时，f（x）取得最大值．将函数f（x）的图象向左平移个单位得函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）A．g（x）是奇函数，且在[0，2π]内单调递增B．g（x）是奇函数，且在[0，2π]内单调递减C．g（x）是偶函数，且在[0，2π]内单调递增D．g（x）是偶函数，且在[0，2π]内单调递减9．（5分）如图，有一直角墙角BA和BC，两边的长度足够长．拟在点P处栽一棵桂花树，使之与两墙的距离分别为a（0＜a＜12）和4（单位：m），同时用16米长的篱笆，利用墙角围成一个矩形护栏ABCD，使得P处的桂花树围在护栏内（包括边界）．设矩形ABCD 的面积为S（m2），S的最大值为f（a），则函数y＝f（a）的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），点A，B在双曲线C的左支上，0为坐标原点，直线B0与双曲线C的右支交于点M．若直线AB的斜率为3，直线AM的斜率为1，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．3D．411．（5分）已知直线l经过不等式组表示的平面区域，且与圆O：x2+y2＝25相交于A，B两点，则当|AB|最短时，直线l的方程是（）A．2x+y﹣10＝0B．2x﹣y﹣6＝0C．x+2y﹣8＝0D．2x+y﹣8＝0 12．（5分）将正整数n表示为，其中a1＝1，当0≤i ≤k﹣1时，a1为0或1．记k（n）为上述表示式中a1为0的个数（例如），则k（3×210）+k （218﹣3）＝（）A．9B．10C．11D．12二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．（5分）在8的展开式中x3的系数是．14．（5分）某种活性细胞的存活率y（%）与存放温度x（℃）之间具有线性相关关系，样本数据如表所示：经计算得回归直线的斜率为﹣3.2．若存放温度为6℃，则这种细胞存活率的预报值为%．15．（5分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，已知AB＝6，AD＝5，CD＝1，B＝30°，∠ADB为锐角，则AC边的长为．16．（5分）过抛物线x2＝8y的焦点F作倾斜角为锐角的直线l，与抛物线相交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OM的斜率的取值范围是．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，已知a1＝1，4S n＝a2n+1﹣4n ﹣1（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设与，数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞成立的正整数n的最小值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，P A⊥底面ABCD，AB＝，AD＝，AP＝2，∠ABC＝60°．（I）证明：平面PCA⊥平面PCD；（Ⅱ）设E为侧棱PD上一点，若直线CE分别与平面ABCD、平面PBC所成的角相等，求的值．19．（12分）某科研所共有30位科研员，其中60%的人爱好体育锻炼．经体检调查，这30位科研员的健康指数（百分制）如下茎叶图所示．体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般．（I）根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”？（Ⅱ）现将30位科研员的健康指数分为如下5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），其频率分布直方图如图所示．计算该所科研员健康指数的平均数，由茎叶图得到的真实值记为，由频率分布直方图得到的估计值记为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），求与的误差值；（Ⅲ）从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中爱好体育锻炼的人数的分布列和数学期望．附：K2＝．30位科研员健康指数的和x i＝2288．20．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为F1（，0），F2（，0），点E在椭圆C 上，且∠F1EF2＝60°，．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过x轴正半轴上一点M作直线l，交椭圆C于AB两点．问：是否存在定点M，使当直线l绕点M任意转动时，为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数，其中“a＞0为常数．（I）若f（x）在区间（0，3]内单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点x0，记[x0]表示不超过x0的最大整数，求[x0]的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设A、B为曲线C上两动点，且OA丄OB，求|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+3|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求不等式|2x﹣1|+x＜m的解集；（Ⅱ）已知|a|＜，|b|＜，证明：|4ab﹣1|＞2|a﹣b|．2017-2018学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵＝，∴z的虚部为1，|z|＝，z2＝2i为纯虚数，，∴正确的结论是C．故选：C．2．【解答】解：∵p为假命题，∴￢p为真命题，即：∀x＞0，x+a﹣1≠0，即x≠1﹣a，∴1﹣a≤0，则a≥1．∴a的取值范围是[1，+∞）．故选：D．3．【解答】解：∵18x＝2y＝3，∴x＝log183，y＝log23，∴＝log318，＝log32，∴﹣﹣＝log318﹣log32＝log39＝2，故选：B．4．【解答】解：法一：∵OA＝OB＝1，OA⊥OB，∴AB＝，∠OAB＝45°∴＜＞＝135°，∵C在AB边上，且AB＝4AC，∴AC＝，则＝（）＝＝＝法二：由已知可设＝（1，0），＝（0，1），则＝＝4，∴＝＝（），∴＝﹣＝．故选：A．5．【解答】解：由已知可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥P﹣ABC，顶点P在底面ABC内的射影O是BC的中点，且AB＝2，AC＝2，OP＝M因为AB⊥AC则BC＝＝，设其外接球半径为R，球心为：O，R＝故此三棱锥的外接球的体积为：V＝πR3＝4π，故选：A．6．【解答】解：∵已知＝﹣sinα，∴sinα＝﹣，∵2sin2α＝2sinαcosα＜0，∴cosα＞0，∴cosα＝＝，tanα＝＝﹣，则＝＝，故选：D．7．【解答】解：模拟程序的运行，可得N＝11，i＝1i＝3，N＝14满足条件“N＝2（mod 3）“，不满足条件“N＝1（mod 7）“，i＝9，N＝23，满足条件“N＝2（mod 3）“，不满足条件“N＝1（mod 7）”，i＝27，N＝50满足条件“N＝2（mod 3）“，满足条件“N＝1（mod 7）“，退出循环，输出i的值为27．故选：C．8．【解答】解：∵函数，已知f（x）的最小正周期为＝4π，∴ω＝．∵当时，f（x）取得最大值，∴×+φ＝，∴φ＝，∴f（x）＝sin（+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位得函数g（x）＝f（x+）＝sin（+）＝cos的图象，故g（x）是偶函数，且在[0，2π]内单调递减，故选：D．9．【解答】解：由题意，设AD＝x，可得CD＝16﹣x，则，可得a≤a≤12，那么S＝x（16﹣x）＝﹣（x﹣8）2+64，当0＜a≤8时，f（a）＝S（8）＝64；当8＜a＜12时，f（a）＝S（a）＝a（16﹣a）；由此判断函数y＝f（a）的大致图象是D．故选：D．10．【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），据题意，点B，M关于坐标原点对称，则点M（﹣x2，﹣y2），由已知，k AB＝＝3，k AM＝＝1，两式相乘，得＝3，因为点A，B在双曲线上，则，，两式相减，得，即，所以＝3，则e2＝4，所以e＝2，故选：B．11．【解答】解：不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P，则AP⊥OP，所以|OP|最长时，AB最小，因为最小l经过可行域；由图形可知点点P为直线x﹣y﹣2＝0与y﹣2＝0的交点（4，2）时，|OP|最长，因为k OP＝，则直线l的方程为：y﹣2＝﹣2（x﹣4），即2x+y﹣10＝0．故选：A．12．【解答】解：因为3×2n＝2n+1+2n＝2n+1+2n+0×2n﹣1+0×2n﹣2+…+0×20，则k×（3×2n）＝n，所以k×（3×2n）＝10，因为2n﹣3＝2n﹣4+1＝＝2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+0×21+20，则k（2n﹣3）＝1，所以k（218﹣3）＝1，即k（3×210）+k（218﹣3）＝11，故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．【解答】解：由于8的通项公式为T r+1＝•28﹣r•x4﹣r，令4﹣r＝3，求得r＝1，可得展开式中x3的系数为•27＝1024，故答案为：1024．14．【解答】解：由题意，设回归方程为＝﹣3.2+a，由表中数据可得：＝1，＝50；带入回归方程可得a＝53.2．当x＝6时，可得y＝﹣3.2×6+53.2＝34故答案为：3415．【解答】解：在△ABD中，由正弦定理可得：＝＝10，则：sin∠ADB＝，因为：∠ADB为锐角，则cos∠ADB＝，在△ACD中，由余弦定理可得：AC2＝25+1﹣2×5×1×（﹣）＝18，解得：AC＝．故答案为：．16．【解答】解：抛物线x2＝8y的焦点F（0，2），由题意设直线l的斜率为k，则k＞0，直线方程为y＝kx+2，与抛物线x2＝8y联立，可得x2﹣8kx﹣16＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝8k，M为线段AB的中点，O为坐标原点，可得M的横坐标为＝4k，纵坐标为4k2+2，则直线OM的斜率为：＝k+≥2＝当且仅当k＝，即k＝±等号成立．直线OM的斜率的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，已知a1＝1，4S n＝a2n+1﹣4n﹣1①，当n≥2时，4S n﹣1＝a2n﹣4（n﹣1）﹣1②①﹣②整理得：a n+1﹣a n＝2，所以：数列{a n}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列．解得：a n＝2n﹣1．（Ⅱ）＝，则①，②，①﹣②得：，解得：T n＝．由于T n＝＞，解得：2n＞60，故n的最小值为6．18．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，∵AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，∴AC＝＝3，∴CD2+AC2＝AD2，∴CD⊥AC，即CD⊥平面P AC，∴CD⊂平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD；解：（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（，0，0），C（0，3，0），，，设为平面PBC的法向量，则，⇒．设，则．∴＝＝（﹣，3λ﹣3，2﹣2λ），∵P A⊥底面ABCD，则＝（0，0，2）是面ABCD的法向量．∵直线CE分别与平面ABCD、平面PBC所成的角相等，∴＝，∵，，＝5，＝2，∴＝|2﹣2λ|，解得，或（舍去）．∴的值为．．19．【解答】解：（I）根据题意填写2×2列联表如下，计算K2＝＝10＞7.879，所以有99.5%把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”；（Ⅱ）由茎叶图知，各组数据的频数分别为3、7、7、8、5，则＝55×+65×+75×+85×+95×＝×（165+455+525+680+475）＝，＝x i＝，∴﹣＝＝＝0.4，∴与的误差值为0.4；（Ⅲ）设这2人中爱好体育锻炼的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，其中P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：数学期望为Eξ＝0×+1×+2×＝．20．【解答】解：（Ⅰ）在△F1EF2中，由余弦定理得|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°＝|F1F2|2，∴（|MF1|+|MF2|）2﹣3|MF1||MF2|cos60°＝4，∴|MF1|MF2|＝8，又|MF1|+|MF2|＝2a，|F1F2|＝4，则4a2﹣24＝48，∴a2＝18，∵c＝2，∴b2＝a2﹣c2＝6，∴椭圆C的标准方程为＝1．（Ⅱ）设点M（m，0），（m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），（1）当直线l与x轴不重合时，设l的方程为x＝ty+m，代入椭圆方程，得：（ty+m）2+3y2＝18，即（t2+3）y2+2tmy+m2﹣18＝0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴＝＝＝（）＝•＝＝•[（）2﹣]＝•[（）2﹣]＝•＝，令＝1，解得m2＝9，即m＝3，此时，＝为定值．（2）当直线l与x轴重合时，点A（﹣3，0），B（3，0），M（3，0），则＝＝＝为定值．综上，存在点M（3，0），使当直线l绕点M任意转动时，为定值．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x＞0）．∵f（x）在区间（0，3]内单调递减，则当x∈（0，3]时，f′（x）≤0恒成立．即x3﹣3ax﹣3≤0，∴a≥在（0，3]上恒成立．令y＝，得y＝在（0，3]内单调递增，当x＝3时，．∴a的取值范围为[，+∞）；（Ⅱ）设g（x）＝x3﹣3ax﹣3（x≥0），则g′（x）＝3x2﹣3a．∵a＞0，由g′（x）＜0，得0＜x＜，由g′（x）＞0，得x＞．∴g（x）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增．∵g（0）＝﹣3＜0，g（a+2）＝（a+2）3﹣3a（a+2）﹣3＝a3+3a2+6a+5＞0．∴g（x）在（0，+∞）内有唯一零点．设x＝m为g（x）的零点，则当0＜x＜m时，g（x）＜0，从而f′（x）＜0；当x＞m，g（x）＞0，从而f′（x）＞0．∴f（x）在（0，m）内单调递减，在（m，+∞）内单调递增．∵f（x）在（0，+∞）内仅有一个零点x0，由＜0，得m＞＞1．又f（1）＝＞0，当x充分大时，f（x）＞0，∴x0＝m．由f（x0）＝0，得，即．又g（x0）＝g（m）＝0，则，即，代入上式得：，即．设h（x）＝（），则x0为函数h（x）的零点．∵2＜e＜3，则ln2＜1，ln3＞1，从而h（2）＝，h（3）＝＜0．∵h（x）＝在（，+∞）内单调递减，则x0∈（2，3），∴[x0]＝2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（θ为参数）．∴曲线C的参数方程消去参数θ，得曲线C的直角坐标方程为3x2+y2＝1，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2（3cos2θ+sin2θ）＝1，即．（Ⅱ）∵OA⊥OB，在极坐标中，设A（ρ1，θ），B（ρ2，90°+θ），∴|AB|2＝|OA|2+|OB|2＝＝＝＝．∵0≤sin22θ≤1，∴∈[1，]，∴|AB|∈[1，]．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5，当（x+3）（x﹣2）≤2时取“＝”，则f（x）的最小值是5，故m＝5，由|2x﹣1|+x＜5，得或，即﹣4＜x＜或≤x＜2，即﹣4＜x＜2，故不等式的解集是（﹣4，2）；（Ⅱ）证明：（4ab﹣1）2﹣4（a﹣b）2＝4a2（4b2﹣1）﹣（4b2﹣1），＝（4a2﹣1）（4b2﹣1），∵m＝5，则|a|＜，得a2＜，即4a2＜1，同理4b2＜1，故（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，从而（4ab﹣1）2﹣4（a﹣b）2＞0，∴|4ab﹣1|＞2|a﹣b|．。

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数z＝cos+i sin在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）1、设A、B为非空集合，定义集合A*B为如图非阴影部分表示的集合，若，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A*B＝（）A．（0，2）B．[0，1]∪[2，+∞）C．（1，2]D．[0，1]∪（2，+∞）3．（3分）阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a的取值范围为（）A．5≤a≤6B．5＜a＜6C．5≤a＜6D．5＜a≤64．（3分）使不等式|x+1|≤4成立的一个必要不充分条件是（）A．2≤x≤3B．﹣6≤x≤3C．﹣5≤x≤3D．﹣6≤x≤2 5．（3分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则从A到B的映射f满足f（3）＝3，则这样的映射共有（）个．A．3B．4C．5D．66．（3分）在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π﹣α）＝（）A．B．C．D．7．（3分）定义运算a*b，，例如1*2＝1，则函数y＝1*2x的值域为（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，1]8．（3分）若f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）9．（3分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，且B ＝，则+＝（）A．B．C．D．10．（3分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．11．（3分）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是+2，则f （1）+f′（1）的值等于（）A．1B．C．3D．012．（3分）设f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），则使得f（x+1）＜f（2x﹣2）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，）∪（1，+∞）D．（，1）13．（3分）己知函数f（x）＝+sin x，其中f′（x）为函数f（x）的导数，求f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝（）A．2B．2019C．2018D．014．（3分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a+b+c＝20，三角形面积为，A＝60°，则a＝（）A．7B．8C．5D．615．（3分）在△ABC中，已知，sin B＝cos A•sin C，S△ABC＝6，P为线段AB上的一点，且．，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．（3分）《左传•僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的条件（将正确的序号填入空格处）．①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件17．（3分）对于a，b∈N规定a*b＝，集合M＝{（a，b）a*b ＝36，a，b∈N+}M中的元素的个数为．18．（3分）已知平面向量，满足||＝1，||＝2，|﹣|＝，则在方向上的投影是．19．（3分）已知函数f（x）＝2x﹣sin x，若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）＝0，则的最小值是．20．（3分）已知集合{a，b，c}＝{2，3，4}，且下列三个关系：a≠3，b＝3，c≠4有且只有一个正确，则函数的值域是．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21．（8分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．22．（8分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos A＝b cos C+c cos B．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．23．（8分）已知函数f（x）＝e x+tx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当t＝﹣e时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．24．（8分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）＝（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．25．（8分）已知函数f（x）＝，g（x）＝alnx﹣x（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由题意可知，z＝cos+i sin＝+i，对应的点在第二象限．故选：B．2．【解答】解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A＝{x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y＝3x（x＞0）的值域，解得B＝{y|y＞1}；依据定义：A*B＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．3．【解答】解：由框图的流程得：第1次循环S＝0+1＝1，i＝2；第2次循环S＝1+2＝3，i＝3；第3次循环S＝3+3＝6，i＝4；第4次循环S＝6+4＝10，i＝5；第5次循环S＝10+5＝15，i＝6；此时满足条件6＞a，退出循环，输出S的值．综上可得：5≤a＜6．故选：C．4．【解答】解：不等式|x+1|≤4，即﹣4≤x+1≤4，即﹣5≤x≤3，故“﹣6≤x≤3”是“﹣5≤x≤3”的一个必要不充分条件，故选：B．5．【解答】解：若f（3）＝3，则f（1）＝3或f（1）＝4；f（2）＝3或f（2）＝4；故这样的映射的个数是2×2＝4个，故选：B．6．【解答】解：∵角α的终边经过点，可得cosα＝sin＝，sinα＝cos＝﹣，∴sin（π﹣α）＝sinα＝﹣，故选：C．7．【解答】解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y＝1*2x＝1当1＞2x时，即x＜0时，函数y＝1*2x＝2x∴f（x）＝由图知，函数y＝1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．8．【解答】解：令u＝x2﹣2ax+1+a，则f（u）＝lgu，配方得u＝x2﹣2ax+1+a＝（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x＝a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u＝x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u＝x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x＝1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x＝1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．9．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，利用正弦定理化简得：sin2B＝sin A sin C，∵B＝，∴原式＝+＝＝＝＝＝．故选：C．10．【解答】解：由题意可得•＝0，可得|+|＝＝，（﹣）•（﹣）＝2+•﹣•（+）＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0，即为||＝cos＜+，＞，当cos＜+，＞＝1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．11．【解答】解：由已知点点M（1，f（1））在切线上，所以f（1）＝，切点处的导数为切线斜率，所以，即f（1）+f'（1）＝3，故选C．12．【解答】解：根据题意，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）＝﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y＝﹣（x﹣1）2+1与函数y＝2（e x﹣1+e1﹣x）都关于直线x＝1对称，则函数f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x＝1对称，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）＝﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）＝﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．13．【解答】解：函数f（x）＝+sin x＝sin x++1，设g（x）＝sin x+，则g（﹣x）＝sin（﹣x）+＝﹣（sin x+）＝﹣g（x），即g（﹣x）+g（x）＝0，即f（﹣x）+f（x）＝2，则f（2018）+f（﹣2018）＝g（2018）+1+g（﹣2018）+1＝2，又f′（x）＝g′（x），由g（x）为奇函数，则g′（x）为偶函数，可得f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝g′（2019）﹣g′（﹣2019）＝0，即有f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝2，故选：A．14．【解答】解：由题意可得，S△ABC＝bc sin A＝bc sin60°∴bc sin60°＝10∴bc＝40∵a+b+c＝20∴20﹣a＝b+c．由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos60°＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣120解得a＝7．故选：A．15．【解答】解：△ABC中设AB＝c，BC＝a，AC＝b∵sin B＝cos A•sin C，∴sin（A+C）＝sin C cos A，即sin A cos C+sin C cos A＝sin C cos A，∴sin A cos C＝0，∵sin A≠0，∴cos C＝0 C＝90°∵，S△ABC＝6∴bc cos A＝9，∴，根据直角三角形可得sin A＝，cos A＝，bc＝15∴c＝5，b＝3，a＝4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得＝（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴＝（x，0）+（0，y）＝（x，y）∴x＝3λ，y＝4﹣4λ则4x+3y＝12＝故所求的最小值为故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．【解答】解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①17．【解答】解：a⊕b＝36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab＝36，满足此条件的有1×36＝3×12＝4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b＝36，满足此条件的有1+35＝2+34＝3+33＝4+32＝…＝18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．18．【解答】解：∵||＝1，||＝2，|﹣|＝，∴||2+||2﹣2•＝3，解得•＝1，∴在方向上的投影是＝，故答案为：19．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x﹣sin x，有f′（x）＝2﹣cos x＞0，则函数f（x）为增函数，又由f（﹣x）＝2（﹣x）﹣sin（﹣x）＝﹣（2x﹣sin x）＝﹣f（x），则函数为奇函数，若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）＝0，则有f（a）＝﹣f（2b﹣1）＝f（1﹣2b），又由函数为增函数，则a＝1﹣2b，即a+2b＝1，＝（）（a+2b）＝9++≥9+2＝9+4，当且仅当b＝a时等号成立，即的最小值是9+4，故答案为：9+4．20．【解答】解：由{a，b，c}＝{2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a＝2时，b＝3、c＝4时，a≠3，b＝3，c≠4都正确，不满足条件．当a＝2时，b＝4、c＝3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a＝3时，b＝2、c＝4时，都不正确，此时不满足题意；当a＝3时，b＝4、c＝2时，c≠4成立，此时满足题意；当a＝4时，b＝2，c＝3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a＝4时，b＝3、c＝2时，a≠3，b＝3成立，此时不满足题意；综上得，a＝3、b＝4、c＝2，则函数＝，当x＞4时，f（x）＝2x＞24＝16，当x≤4时，f（x）＝（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，即ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．（2）直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C方程y2＝4x．可得（1+t）2＝4（1+t），整理得，∵t1•t2＝﹣15＜0，∴点P在AB之间，∴|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝4．22．【解答】解：（1）∵2a cos A＝b cos C+c cos B，∴2sin A cos A＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos A＝，∴A＝．（2）在△ABC中，由余弦定理的cos A＝＝，解得AC＝1+或AC＝1﹣（舍）．∵BD是∠ABC的平分线，∴＝，∴AD＝AC＝．23．【解答】解：（Ⅰ）当t＝﹣e时，f（x）＝e x﹣ex，f'（x）＝e x﹣e．由f'（x）＝e x﹣e＞0，解得x＞1；f'（x）＝e x﹣e＜0，解得x＜1．∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）依题意：对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，即e x+tx＞0恒成立，即在x∈（0，2]上恒成立．令，∴．当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜2时，g'（x）＜0．∴函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减．所以函数g（x）在x＝1处取得极大值g（1）＝﹣e，即为在x∈（0，2]上的最大值．∴实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．所以对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立的实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．24．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）＝2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）＝30•x%+40（1﹣x%）＝40﹣；当30＜x＜100时，g（x）＝（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）＝﹣x+58；∴g（x）＝；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．25．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：当a＜0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，又f（0）＝a，f（e）＝所以f（x）min＝a，同样地，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，所以g（x）max＝g（a）＝alna﹣a，因为a﹣（alna﹣a）＝a（2﹣lna）＞a（2﹣lne）＝a＞0，所以对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max＝g（e）＝alna﹣a＜a＝f（x）min．所以对于任意x1，x2∈（0，e]，仍有x1，x2∈（0，e]．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．…（13分）。

湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟考试理数试题(考试版)

1绝密★启用前2017-2018学年度湖南省长郡中学高三数学（理）模拟考卷考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，但其中第11题相对比较新颖，第8、12、16题突出考查逻辑思维能力与运算能力，同时也注重知识交汇性的考查，如第2、15题等，解答题重视数学思想方法的考查，如第21题考查了分类讨论的思想、转化的思想和整体的思想，第17题考查了三角函数的有界性、推理和计算能力，第21题在分类讨论时易出现错误．本卷适合第一轮复习使用．一、选择题1．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于x 轴对称，且112z i =+，则12z z =（） A. 4355i -+ B. 3455i -+ C. 1322i -+ D. 1322i --2．设集合()22{,|1}416x y A x y =+=， (){,|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是（）A. 2B. 4C. 8D. 163．若实数,x y 满足约束条件0{022x y x y ≥≥+≤，则2z x y =-的最大值是（）A. 2B. 1C. 0D. 44．小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔和笔帽套在一起，但偶尔会将笔和笔帽搭配成不同色.将笔和笔帽随机套在一起，请问小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是（）A. 16B. 13C. 12D. 565．已知O 是ABC ∆所在平面内一点， D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A. AO OD =B. 2AO OD =C. 3AO OD =D. 2AO OD = 6．已知()()sin (0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是x ，将()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则()()sin f x x ωϕ=+ （）A. 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 B. 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增7．按下图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =（）A. 45B. 47C. 49D. 51 8．设()0.3222,0.3,log 0.3(1)x a b c x x ===+>，则,,a b c 的大小关系是（）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. b c a <<9．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a ，则该三棱锥的表面积为（）A. 2a22aD. 2 10．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF-的最小值为（）A. 2B. 56C. 32 11．2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯((Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为PH ， AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面；与PH 夹角2a πθ>>时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a θ=时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角0a θ>>时，截口曲线为双曲线.如图，底面内的直线AM AB ⊥，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴.那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴顶点的轨迹为（）A. 圆的部分B. 椭圆的部分C. 双曲线的部分D. 抛物线的部分12．设曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（） A. []1,2- B. []3,+∞ C. 21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．4213x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是__________．14．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每第!语法错误，*页共6页 ◎ 第4页共6页 2人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为__________．（用数字作答） 15．下列共用四个命题.（1）命题“0x R ∃∈， 20013x x +>”的否定是“x R ∀∈， 213x x +<”；（2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好；（3）,a bR ∈， :p a b <，110b a<<，则p 是q 的充分不必要条件；（4）已知幂函数()()233m f x m m x =-+为偶函数，则()24f -=.其中正确的序号为_________．（写出所有正确命题的序号）16．已知()021nn a x dx =+⎰， ()*n N ∈，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，数列{}n b 的通项公式为8n b n =-，则n n b S 的最小值为__________．三、解答题17．四边形ABCD 如图所示，已知2AB BC CD ===，AD =（1cos A C -的值；（2）记ABD ∆与BCD ∆的面积分别是1S 与2S ，求2212S S +的最大值.18．为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，长郡中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15 小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（2）（ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ⅱ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这附： ()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ， E 是PB 中点， 12CD PD AD AB ===．（Ⅰ）求证： CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若CE = 4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小．20．在平面直角坐标系xOy 中，动点S 到点()1,0F 的距离与到直线2x =的距离的比 . （1）求动点S 的轨迹E 的方程；（2）过点F 作与x 轴不垂直的直线l 交轨迹E 于P ， Q两点，在线段OF 上是否存在点(),0M m ，使得()0MP MQ PQ +⋅=？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 21．已知函数()ln 1af x x x=+-， a R ∈. （1）若关于x 的不等式()112f x x ≤-在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()()f x g x x=，若()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为： {3x y θθ==（其中θ为参数）.（1）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程为： {x tcosa y tsina==（其中t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,A B 两点，且|AB =l 的斜率.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()213f x x =+. （1）若不等式()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对于实数,x y，有113x y++≤，1233y-≤，求证：()23f x≤.3。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第四次月考数学试卷(理科) Word版含解析

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为（）A．﹣2 B．2C．1D．﹣12．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8﹣S3=10，则S11的值为（）A．12 B．18 C．22 D．443．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+4．（5分）设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（）A．﹣1 B．2C．1D．﹣25．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）△ABC中，锐角A满足sin4A﹣cos4A≤sinA﹣cosA，则（）A．0＜A≤B．0＜A≤C．≤A≤D．≤A≤7．（5分）斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知等边△ABC中，点P在线段AB上，且=，若••，则实数λ的值为（）A．2B．C．D．9．（5分）已知方程kx+3﹣2k=有两个不同的解，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）的展开式中的常数项为．12．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a5•a7=4a42，a2=1，则a1=．13．（5分）由l，2，3，4，5，6，7这七个数字构成的七位正整数中，有且仅有两个偶数相邻的个数是．14．（5分）存在x＜0使得不等式x2＜2﹣|x﹣t|成立，则实数t的取值范围是．15．（5分）已知圆O：x2+y2=1与x轴交于点A和B，在线段AB上取一点D（x，0），作DC⊥AB 与圆O的一个交点为C，若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长，则x的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的最大值和最小值．17．（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=l，E是PD的中点．（1）求AB与平面AEC所成角的正弦值；（2）若点F在线段PD上，二面角E﹣AC﹣F所成的角为θ，且tan，求的值．18．（12分）已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a﹣x）=2b，则函数y=g （x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数，定义域为A．（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称；（2）当x∈时，求证：；（3）对于给定的x1∈A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，x n+1=f（x n）．如果x i∈A （i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果x i∉A，构造过程将停止．若对任意x1∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．19．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，且当x=时，函数f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x取得极值．（1）若b n=2n﹣1•a n，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）试证明：n＞3（n∈N*）时，S n＞．20．（13分）如图，已知两点A（﹣，0）、B（，0），△ABC的内切圆的圆心在直线x=2上移动．（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）过点M（2，0）作两条射线，分别交（Ⅰ）中所求轨迹于P、Q两点，且=0，求证：直线PQ必过定点．21．（13分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为（）A．﹣2 B．2C．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由复数的运算，化简可得复数为，由纯虚数的定义可得答案．解答：解：∵==，因为为纯虚数，故2﹣a=0且a+2≠0，解得a=2，故选B点评：本题考查纯虚数的概念，涉及复数代数形式的乘除运算，属基础题．2．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8﹣S3=10，则S11的值为（）A．12 B．18 C．22 D．44考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：设公差为d，由S8﹣S3=10 可得a1+5d=2，代入S11=11a1+=11（a1+5d ）运算求得结果．解答：解：设公差为d，由S8﹣S3=10 可得，8a1+﹣3a1﹣=10，故有a1+5d=2，∴S11=11a1+=11（a1+5d ）=22，故选C．点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，求出a1+5d=2，是解题的关键，属于中档题．3．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．解答：解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是2017-2018学年高考的新增考点，不时出现在2017-2018学年高考试题中，应予以重视．4．（5分）设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（）A．﹣1 B．2C．1D．﹣2考点：定积分；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：求出f（1）的值，然后利用f（f（1））=1，通过积分求解a的值．解答：解：f（1）=lg1=0，又f（f（1））=1，所以0+=1，a3=1，解得a=1．故选C．点评：本题考查定积分，分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的值的求法，考查计算能力．5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．6．（5分）△ABC中，锐角A满足sin4A﹣cos4A≤sinA﹣cosA，则（）A．0＜A≤B．0＜A≤C．≤A≤D．≤A≤考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原不等式转化为：sin2A﹣cos2A=（sinA﹣cosA）（sinA+cosA）≤sinA﹣cosA，依题意，可求得sinA+cosA∈（1，]，继而可得sinA﹣cosA≤0，于是可得答案．解答：解：∵sin4A﹣cos4A=（sin2A﹣cos2A）（sin2A+cos2A）=sin2A﹣cos2A，∴原不等式转化为：sin2A﹣cos2A=（sinA﹣cosA）（sinA+cosA）≤sinA﹣cosA，∴（sinA﹣cosA）≤0．又A∈（0，），A+∈（，），∴sinA+cosA=sin（A+）∈（1，]，∴sinA+cosA﹣1≥0，∴sinA﹣cosA≤0，∴0＜A≤．故选：B．点评：本题考查三角函数的化简求值，考察因式分解与辅助角公式的应用，求得sinA+cosA∈（1，]是关键，考查运算求解能力，是中档题．7．（5分）斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a2b2，求得关于的方程求得e．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆方程中a，b和c的关系．8．（5分）已知等边△ABC中，点P在线段AB上，且=，若••，则实数λ的值为（）A．2B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将••利用已知三角形的三边对于向量表示，然后得到关于λ的等式解之．解答：解：因为等边△ABC中，点P在线段AB上，且=，由••，得（）=﹣λ，所以﹣+=﹣λ×，所以，解得λ=，由点P在线段AB上，且=，得λ＞0，所以λ=；故选C．点评：本题考查了向量的数量积运算，考查学生的运算能力．9．（5分）已知方程kx+3﹣2k=有两个不同的解，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：如图，当直线在AC位置时，斜率k==，当直线和半圆相切时，由半径2=解得k值，即得实数k的取值范围．解答：解：由题意得，半圆y=和直线y=kx﹣2k+3有两个交点，又直线y=kx﹣2k+3过定点C（2，3），如图：当直线在AC位置时，斜率k==．当直线和半圆相切时，由半径2=，解得k=，故实数k的取值范围是（，]，故选：C．点评：本题考查方程有两个实数解的条件，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求出直线在AC位置时的斜率k值及切线CD的斜率，是解题的关键．10．（5分）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；压轴题．分析：先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．解答：解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为=，故选D．点评：本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）的展开式中的常数项为15．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，根据要求展开式的常数项，只要使得变量的指数等于0，求出r的值，代入系数求出结果．解答：解：∵的展开式的通项是=要求展开式中的常数项只要使得5﹣5r=0，即r=1∴常数项是C51×3=15，故答案为：15点评：本题考查二项式定理，本题解题的关键是写出展开式的通项，这是解决二项式定理有关题目的通法，本题是一个基础题．12．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a5•a7=4a42，a2=1，则a1=．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：利用等比数列的推广的通项公式将a4，a5，a7利用a2及公比表示，列出关于公比q 的方程，求出公比q，再利用通项公式求出首项．解答：解：设公比为q∵a5=a2q3，a4=a2q2，a7=a2q5又a5•a7=4a42，a2=1∴q8=4q4∵等比数列{a n}的公比为正数∴q=∴故答案为：．点评：解决等比数列、等差数列问题一般的思路是围绕通项及前n项和公式列出方程组，求解．即基本量法．13．（5分）由l，2，3，4，5，6，7这七个数字构成的七位正整数中，有且仅有两个偶数相邻的个数是2880．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：排列组合．分析：选两个偶数，并把这两个偶数捆绑在一起看做一个复合元素，再将这个复合元素和另外一个偶数插入到1，3，5，7进行全排列形成5个间隔中，根据分步计数原理可得答案解答：解：先选两个偶数，并把这两个偶数捆绑在一起看做一个复合元素，再将这个复合元素和另外一个偶数插入到1，3，5，7进行全排列形成5个间隔中，故有且仅有两个偶数相邻的个数有=2880故答案为：2880点评：本题主要考查了分步计数原理，以及相邻问题用捆绑，不相邻问题用插空，属于中档题14．（5分）存在x＜0使得不等式x2＜2﹣|x﹣t|成立，则实数t的取值范围是（﹣，2）．考点：绝对值不等式．专题：计算题．分析：本题利用纯代数讨论是很繁琐的，要用数形结合．原不等式x2＜2﹣|x﹣t|，即|x﹣t|＜2﹣x2，分别画出函数y1=|x﹣t|，y2=2﹣x2，这个很明确，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x＜0使不等式|x﹣t|＜2﹣x2成立，则y1的图象应该在第二象限（x＜0）和y2的图象有交点，再分两种临界讲座情况，当t≤0时，y1的右半部分和y2在第二象限相切；当t＞0时，要使y1和y2在第二象限有交点，最后综上得出实数t的取值范围．解答：解：不等式x2＜2﹣|x﹣t|，即|x﹣t|＜2﹣x2，令y1=|x﹣t|，y1的图象是关于x=t对称的一个V字形图形，其象位于第一、二象限；y2=2﹣x2，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x＜0，使不等式|x﹣t|＜2﹣x2成立，则y1的图象应该在第二象限和y2的图象有交点，两种临界情况，①当t≤0时，y1的右半部分和y2在第二象限相切：y1的右半部分即y1=x﹣t，联列方程y=x﹣t，y=2﹣x2，只有一个解；即x﹣t=2﹣x2，即x2+x﹣t﹣2=0，△=1+4t+8=0，得：t=﹣；此时y1恒大于等于y2，所以t=﹣取不到；所以﹣＜t≤0；②当t＞0时，要使y1和y2在第二象限有交点，即y1的左半部分和y2的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要y1与y轴的交点小于2即可；y1=t﹣x与y轴的交点为（0，t），所以t＜2，又因为t＞0，所以0＜t＜2；综上，实数t的取值范围是：﹣＜t＜2；故答案为：（﹣，2）．点评：本小题主要考查函数图象的应用、二次函数、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．15．（5分）已知圆O：x2+y2=1与x轴交于点A和B，在线段AB上取一点D（x，0），作DC⊥AB 与圆O的一个交点为C，若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长，则x的取值范围为；．考点：圆方程的综合应用．专题：计算题．分析：本题考查的是如何判断三角形的形状，由圆O：x2+y2=1与x轴交于点A和B，在线段AB上取一点D（x，0），作DC⊥AB与圆O的一个交点为C，我们可以将线段AD、BD、CD都用变量x表示，再根据判断三角形形状的方法，构造不等式，解不等式即可得到x的取值范围解答：解：由已知易得A（﹣1，0），B（1，0），若在线段AB上取一点D（x，0），作DC⊥AB与圆O的一个交点为C则﹣1＜x＜1，则AD=x+1，BD=x﹣1，CD=当x＜0时，BD为最大边，此时若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长，则BD2＜AD2+CD2即：（x﹣1）2＜（x+1）2+（1﹣x2）解得：同理可求：当x＞0时，又∵x=0时，AD=BD=CD=1，也满足要求综上x的取值范围为故答案为：点评：要判断三角形的形状，我们要先判断出三角形的最大边C，如果①c2＜a2+b2，则三角形为锐角三角形；②c2=a2+b2，则三角形为直角三角形；③c2＞a2+b2，则三角形为钝角三角形；三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用二倍角的三角函数公式和诱导公式，对f（x）的分子分母进行化简整理，约分可得f（x）=2cos2x，由此即可算出的值；（2）由（1）的结论，得，再根据x的取值范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得到g（x）的最大值为，最小值为1．解答：解：（Ⅰ）∵cos2x=，cos22x=，sin（）=cos（）∴=…（4分）因此，…（6分）（Ⅱ）∵f（x）=2cos2x，∴…（8分），可得…（10分）∴当时，，当x=0时．g min（x）=1即的最大值为，最小值为1．…（12分）点评：本题给出三角函数表达式，要求我们将其化简成最简形式并求函数g（x）的最大、最小值．着重考查了三角函数的诱导公式、二倍角的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．17．（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=l，E是PD的中点．（1）求AB与平面AEC所成角的正弦值；（2）若点F在线段PD上，二面角E﹣AC﹣F所成的角为θ，且tan，求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线与平面的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（1）建立空间直角坐标系O﹣xyz，平面AEC的一个法向量=（x，y，z），利用向量垂直的性质求出一个法向量，利用法向量与AB的夹角解答；（2）设，），=（0，），平面AFC的一个法向量为=（a，b，c），利用法向量与平面内向量的垂直关系，得到关于λ的等式解之．解答：解：（1）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），E（0，，1），=（2，1，0），=（0，，1），=（2，0，0），设AB与平面AEC所成的角为α，平面AEC的一个法向量=（x，y，z），则，所以，取y=﹣2，=（1，﹣2，1），sinα=|cos＜＞|=；（2）设，则F（0，），=（0，），令平面AFC的一个法向量为=（a，b，c），则，即，取b=﹣2，得=（1，﹣2，λ），由tanθ=得cosθ==|cos＜＞|=，所以3λ2﹣10λ﹣5=0，所以λ=，又λ＞0，所以λ=，即．点评：本题考查了空间向量的运用解答线面角和面面角的有关问题，关键是适当的建立坐标系，正确写出所需向量的坐标，利用线面角、面面角的三角函数与平面的法向量夹角的关系解答，属于中档题．18．（12分）已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a﹣x）=2b，则函数y=g （x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数，定义域为A．（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称；（2）当x∈时，求证：；（3）对于给定的x1∈A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，x n+1=f（x n）．如果x i∈A （i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果x i∉A，构造过程将停止．若对任意x1∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．考点：函数的值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：本题的要求较高，需要理解新的定理，第（1）小问是对函数对称性的考查，第（2）小问是对函数值域求法的考查，相对比较容易，对于第（3）问要求理解构造的一个新数列的各项不会出现函数定义域A之外的元素，构造过程才可以继续，这就转化为恒成立的问题，进而分类讨论求出a．解答：（1）∵，∴．由已知定理，得y=f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称．（3分）（2）先证明f（x）在上是增函数，只要证明f（x）在（﹣∞，a）上是增函数．设﹣∞＜x1＜x2＜a，则，∴f（x）在（﹣∞，a）上是增函数．再由f（x）在上是增函数，得当x∈时，f（x）∈，即．（7分）（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴对任意x∈A恒成立．∴方程无解，即方程（a+1）x=a2+a﹣1无解或有唯一解x=a．∴或由此得到a=﹣1（13分）点评：本例考查的数学知识点有，函数的对称性，函数的定义域和值域的求法；数学思想有极限思想，方程思想；是一道函数综合题．19．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，且当x=时，函数f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x取得极值．（1）若b n=2n﹣1•a n，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）试证明：n＞3（n∈N*）时，S n＞．考点：数列与不等式的综合．专题：计算题；证明题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，由极值的定义，得f′（）=0，得a n+1=a n+2﹣n，由b n=2n﹣1•a n，则b n+1﹣b n=1，由等差数列的通项公式即可得到；（2）运用错位相减法求数列的和，注意解题步骤，运用等比数列求和公式即可得到；（3）运用二项式定理，展开2n=（1+1）n，即可得证．解答：（1）解：f′（x）=a n x+2﹣n﹣a n+1，由题意得f′（）=0，得a n+1=a n+2﹣n，由a n+1=a n+2﹣n，得2n a n+1﹣2n﹣1•a n=1，由b n=2n﹣1•a n，则b n+1﹣b n=1，则数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）×1=1+n﹣1=n；（2）解：由（1）得，a n=n•21﹣n，则S n=1•21﹣1+2×21﹣2+3×21﹣3+…+（n﹣1）×21﹣（n﹣1）+n•21﹣n，2S n=1×2+2×21﹣1+3×21﹣2+…+n•22﹣n，两式相减得，S n=1×2+1×21﹣1+1×21﹣2+1×21﹣3+…+1×21﹣（n﹣1）﹣n•21﹣n=﹣n•21﹣n=4﹣；（3）证明：由S n=4﹣=4﹣=4﹣n＞3时，S n＞4﹣=4﹣=4﹣=．点评：本题考查导数的运用：求极值，考查数列的通项公式的求法，注意构造数列，运用等差数列的通项公式和等比数列求和公式，考查错位相减求和，以及二项式定理用于证明不等式的方法，属于中档题和易错题．20．（13分）如图，已知两点A（﹣，0）、B（，0），△ABC的内切圆的圆心在直线x=2上移动．（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）过点M（2，0）作两条射线，分别交（Ⅰ）中所求轨迹于P、Q两点，且=0，求证：直线PQ必过定点．考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由题意，根据平面几何知识可知C的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（不含右顶点），由|CA|﹣|CB|=|AD|﹣|BD|求出实半轴，结合b2=c2﹣a2求出b2，则C点的轨迹可求；（Ⅱ）设出直线PQ与x轴的交点，由此写出直线PQ所在直线方程，和双曲线方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系得到P，Q两点的纵坐标的和与积，结合=0列式求出PQ与x轴交点的横坐标为定值．解答：解：（Ⅰ）设△ABC内切圆切AB边于点D，则．∴点C的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（不含右顶点），由a=2，c=，得．所以点C的方程为；（Ⅱ）设PQ：x=my+a（a＞2），代入，得（m2﹣4）y2+2amy+a2﹣4=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．∵=．∴．化简，得3a2﹣16a+20=0，解得a=2（舍去）或．故直线PQ必过定点．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，利用方程的根与系数的关系是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．21．（13分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈时，F'（x）≥0，所以F（x）在上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．点评：本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(精编含解析)

2
2
10.
化简��(��
‒
��)��(3��
‒
��)��(
‒
��
‒
��)��(9��
2
+
��)的结果是（）
解析式为 f（x）=（）
A. �� + 4
B. 2 ‒ ��
C. 3 ‒ |�� + 1|
D. 2 ‒ |�� + 1|
3��
13. 若函数��(��) = �� ‒ 3��，ω＞0，x∈R，又 f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为 2 ，则 ω
2017-2018 学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试
卷
一、选择题（本大题共 15 小题，共 45.0 分）
1. 设集合 A={1，3}，集合 B={1，2，4，5}，则集合 A∪B=（）
A. {1,3，1，2，4，5}
B. {1}
C. {1,2，3，4，5}
D. {2,3，4，5}
a、b、c，若��
=
��
��，则△ABC
的形状是（）
A. 等腰三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形

【推荐】2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷

2017-2018 学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共15 个小题，每小题 3 分，共45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（ 3 分）设集合A＝ {1 ， 3} ，集合 B＝ {1 ， 2， 4， 5} ，则集合 A∪B＝（）A ．{1 ， 3， 1， 2，4， 5}B． {1}C． {1 ， 2， 3， 4， 5}D． {2 ， 3， 4， 5}2．（ 3 分）已知 tan，，则 sinα的值为（）A ．B ．C．D．3．（ 3 分）已知 ||＝ 4，||＝ 3，且与不共线，若向量与互相垂直，则 k 的值为（）A ．B ．C．D．4．（ 3 分）如果奇函数 f（ x）在区间 [2， 8]上是减函数且最小值为6，则 f（ x）在区间 [﹣ 8，﹣ 2]上是（）A ．增函数且最小值为﹣6B．增函数且最大值为﹣6C．减函数且最小值为﹣6D．减函数且最大值为﹣ 6x）5．（ 3 分）函数 f（ x）＝ 2 +3x﹣ 7 的零点所在的区间是（A ．（﹣ 1， 0）B ．（0， 1）C．（ 1， 2）D．（ 2，3）6．（ 3 分）△ ABC 中，内角 A， B，C 所对的边分别是222a， b，c，若 a ﹣ c +b ＝ ab，则 C＝（）A ．30°B ．60°C． 120°D． 60°或 120°7．（ 3 分）在△ ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边分别是a、 b、 c，若，则△ ABC 的形状是（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．（ 3 分）已知集合，若A∩ B＝?，则实数 a 的取值范围是（）A ．1＜ a＜ 2B ．1≤ a≤ 2C． ?D． 1＜ a≤ 29．（ 3 分）设α是第二象限角， P（ x，4）为其终边上的一点，且 cosα＝x，则 tanα＝（）A ．B ．C．D．10．（ 3 分）化简的结果是（）A ．1B ．sinαC．﹣ tanαD． tanα11．（ 3 分）先把函数f（ x）＝ sin（ x﹣）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移个单位，得到 y＝ g（x）的图象．当 x∈[]时，函数 g（ x）的值域为（）A ．[]B ．[]C． []D． [ ﹣ 1， 00 12．（ 3 分）设 f（ x）是定义在R上的周期为 2的偶函数，已知x∈[2， 3]时， f（ x）＝ x，则x∈[﹣ 2， 0]时， f（x）的解析式为f（ x）＝（）A ．x+4B ．2﹣ x C． 3﹣ |x+1|D． 2﹣ |x+1|13．（ 3 分）若函数，ω＞0， x∈R，又 f（ x1）＝ 2， f（ x2）＝ 0，且 |x1﹣ x2|的最小值为，则ω的值为（）A ．B ．C．D． 214．（ 3 分）如图，正△ ABC 的中心位于点G（ 0， 1）， A（0， 2），动点 P 从 A 点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ AGP＝x（ 0≤ x≤2π），向量在＝（ 1，0）方向的射影为y（ O 为坐标原点），则 y 关于 x 的函数 y＝ f（ x）的图象是（）A．B．C．D．15．（ 3 分）已知定义在R 上的奇函数f（x），当 x＞ 0 时，f（x）＝则关于 x 的方程6[f（ x） ]2﹣ f（ x）﹣ 1＝ 0 的实数根个数为（）A ．6B ．7C． 8D． 9二、填空题（每题 3 分，满分15 分，将答案填在答题纸上）16．（ 3．分） lg 2+lg 5+π＝17．（ 3分）已知 tanα＝ 3，则＝．18．（ 3 分）已知向量，满足 ||＝ 2，与的夹角为60°，则在上的投影是．19．（32﹣kx﹣ 3 在区间 [ ﹣ 2，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围分）若函数 f（ x）＝ 2x是．20．（3分）在△ ABC 中，已知，P 为线段 AB 上的一点，且，则的最小值为．三、解答题（本大题共 5 小题，共40 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．（ 2）求（ ?R A ）∪ B ．22．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b ＝ 2 ， sinC ＝ 2sinA ，求 a ， c 的值．23．已知函数 f （ x ）＝2．sinxcox ﹣cos x+（ 1）求 f （ x ）的单调递增区间；（ 2）若角 α， β的终边不共线，且 f （α）＝ f （ β），求 tan （α+β）的值．24．已知向量＝（ cos α， sin α），＝（ cos β， sin β）， | ﹣ |＝．（ 1）求 cos （ α﹣ β）的值；（ 2）若 0＜ α＜，﹣＜ β＜ 0，且 sin β＝﹣，求 sin α．25．已知二次函数2f （ x ）＝ x +x ，若不等式 f （﹣ x ）+f （ x ）≤ 2|x|的解集为 C ．（ 1）求集合 C ；（ 2）若函数 g （ x ）＝ f （ a x ）﹣ ax+1﹣ 11（ a ＞ 0 且 a ≠ 1）在集合 C 上存在零点，求实数a 的取值范围．。

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学实验班高三(上)选拔考试数学试卷(理科)

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学实验班高三（上）选拔考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为1，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．2．（5分）已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0，x∈Z}，集合B={x|lnx＜2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．∅3．（5分）长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a12﹣a8=8，a10﹣a6=4，则S23=（）A．23 B．96 C．224 D．2765．（5分）已知F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．6．（5分）下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x3+1C．f（x）=log2（+x）D．f（x）=7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入i=1，S=0，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．（5分）若二项式（x2+）7展开式的各项系数之和为﹣1，则含x2项的系数为（）A．560 B．﹣560 C．280 D．﹣2809．（5分）某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（）A．192+96πB．256+96π C．192+100πD．256+100π10．（5分）已知椭圆C：+=1，若直线l经过M（0，1），与椭圆交于A、B两点，且=﹣，则直线l的方程为（）A．y=±x+1 B．y=±x+1 C．y=±x+1 D．y=±x+111．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的每个顶点都在球O的表面上，SA⊥底面ABC，AB=AC=4，BC=2，且二面角S﹣BC﹣A的正切值为4，则球O的表面积为（）A．240πB．248πC．252πD．272π12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在区间[，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足，则z=3x+y的最小值为．14．（5分）设=（，m），=（m，），且•=1，则||=．15．（5分）已知cos（﹣α）+sin（π﹣α）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（2α+）=．16．（5分）在数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），S n为{a n}的前n项和，令T n=，n∈N*，则T n的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sinAcos2A ﹣cos（B+C）=sin3A+．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的取值范围．18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA=BC=5，AC=8，D为线段AC 的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥A1D；（Ⅱ）若直线A 1D 与平面BC 1D 所成角的正弦值为，求AA 1的长．19．（8分）某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y （百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=x +；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y 是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：=，=﹣．20．（12分）已知P是抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点，P到直线x﹣y+4=0的距离为d1，P到E的准线的距离为d2，且d1+d2的最小值为3．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）直线l1：y=k1（x﹣1）交E于点A，B，直线l2：y=k2（x﹣1）交E于点C，D，线段AB，CD的中点分别为M，N，若k1k2=﹣2，直线MN的斜率为k，求证：直线l：kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0恒过定点．21．（12分）已知函数f（x）=﹣1（b∈R，e为自然对数的底数）在点（0，f （0））处的切线经过点（2，﹣2）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）+ax（a∈R）的单调性；（Ⅱ）若∀x∈R，不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，求实数c的取值范围．22．（14分）设a1，a2，a3，a4，a5是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标i，j，k，l，使得|﹣|＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（8分）在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为（β为参数），在极坐标系中，直线l1的方程为：α1=θ，直线l2的方程为α2=θ+．（Ⅰ）写出曲线M的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学实验班高三（上）选拔考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为1，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：由复数z==的虚部为1，得，即a=2．∴z=1+i．则|z|=．故选：C．2．（5分）已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0，x∈Z}，集合B={x|lnx＜2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．∅【解答】解：集合A={x|x2+2x﹣3≤0，x∈Z}={x|﹣3≤x≤1，x∈Z}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|lnx＜2}={x|0＜x＜e2}，则A∩B={1}．故选：B．3．（5分）长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，基本事件总数n==10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数m==6，选取的2人恰为一男一女的概率为p==．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a12﹣a8=8，a10﹣a6=4，则S23=（）A．23 B．96 C．224 D．276【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4+a12﹣a8=8，a10﹣a6=4，∴a1+7d=8，4d=4，解得d=1=a1．则S23=23+=276．故选：D．5．（5分）已知F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：双曲线C：﹣=1的左焦点为F（﹣c，0），渐近线方程为y=±x，设F关于y=x的对称点为（m，﹣m），由题意可得=﹣，（*）且（0﹣m）=•（m﹣c），可得m=c，代入（*）可得b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，则离心率e==2．故选：C．6．（5分）下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x3+1C．f（x）=log2（+x）D．f（x）=【解答】解：逐一考查所给选项中函数的性质：A．f（x）=sinx是定义域上的奇函数，函数不具有单调性，不合题意；B．f（x）=x3+1是定义域上的非奇非偶函数，函数单调递增，不合题意；C．是定义域上的奇函数，函数单调递增，符合题意；D．是定义域上的奇函数，函数单调递减，不合题意；故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入i=1，S=0，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0，满足条件S＜2，执行循环体，S=ln3，i=3满足条件S＜2，执行循环体，S=ln3+ln=ln5，i=5满足条件S＜2，执行循环体，S=ln5+ln=ln7，i=7满足条件S＜2，执行循环体，S=ln7+ln=ln9＞2，i=9此时，不满足条件S＜2，退出循环，输出i的值为9．故选：B．8．（5分）若二项式（x2+）7展开式的各项系数之和为﹣1，则含x2项的系数为（）A．560 B．﹣560 C．280 D．﹣280【解答】解：令x=1，可得：（1+a）7=﹣1，解得a=﹣2．∴的通项公式：T r==（﹣2）r x14﹣3r，+1令14﹣3r=2，解得r=4．∴含x2项的系数==560．故选：A．9．（5分）某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（）A．192+96πB．256+96π C．192+100πD．256+100π【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是半圆柱体与直三棱柱的组合体，且组合体的底面积与俯视图相同；如图所示，∴俯视图的面积为S底=π•52+×8×6=+24，∴该几何体的体积是V几何体=（+24）×8=100π+192．故选：C．10．（5分）已知椭圆C：+=1，若直线l经过M（0，1），与椭圆交于A、B两点，且=﹣，则直线l的方程为（）A．y=±x+1 B．y=±x+1 C．y=±x+1 D．y=±x+1【解答】解：设直线l的方程为m（y﹣1）=x．A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（9+5m2）y2﹣10m2y+5m2﹣45=0，∴y1+y2=，y1y2=，∵=﹣，∴y1﹣1=﹣．联立解得m=±3．则直线l的方程为：y=x+1．故选：B．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的每个顶点都在球O的表面上，SA⊥底面ABC，AB=AC=4，BC=2，且二面角S﹣BC﹣A的正切值为4，则球O的表面积为（）A．240πB．248πC．252πD．272π【解答】解：由题意，AB=AC=4，BC=2，底面是等腰三角形，过A作BC垂直交于D，AD⊥BC，且D是BC中点．可得AD=1．底面外接圆半径r=8．SA⊥底面ABC，AB=AC=4∴SC=SB．D是BC中点．∴SD⊥BC．平面S﹣BC﹣A的二面角是∠SDA，二面角正切值为4，∴AS=4AD．可得AS=4．外接球R2=解得：R2=68球O的表面积S=4πR2=272π．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在区间[，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：令f（x）=0可得：，令，则，令t（x）=x2+3x﹣4﹣2lnx，则，据此可得函数t（x）在区间上单调递增，且t（1）=0，故当x∈（0，1）时，t（x）＜0，h’（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，t（x）＞0，h’（x）＞0，则函数h（x）在区间上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，而：，据此可得：实数k的取值范围为．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足，则z=3x+y的最小值为﹣2．【解答】解：作出不等式表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（﹣2，4），由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移y=﹣3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以z=3x+y的最小值：﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）设=（，m），=（m，），且•=1，则||=．【解答】解：∵=（，m），=（m，），且•=1，∴==1，解得m=1，∴=（1，），∴||==．故答案为：．15．（5分）已知cos（﹣α）+sin（π﹣α）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（2α+）=．【解答】解：由cos（﹣α）+sin（π﹣α）=﹣，可得cos cosα+sin sinα+sinα=．即cosα+sinα=．∴sin（α+）=．∵﹣＜α＜0，∴﹣＜α+＜，∴cos（α+）=则cos（2α+）=cos2（α+）﹣sin2（α+）=故答案为：．16．（5分）在数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），S n为{a n}的前n项和，令T n=，n∈N*，则T n的最大值为2+2．【解答】解：数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），∴数列{a n}为等比数列，首项为a1，公比为．∴，．S n=，S2n=，T n====≤=2（），当且仅当n=2时取等号．∴T n的最大值为2+2．故答案为：2+2．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sinAcos2A ﹣cos（B+C）=sin3A+．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵4sinAcos2A﹣cos（B+C）=sin3A+，∴4sinAcos2A+cosA=sin3A+，∴2cosAsin2A+cosA=sin2AcosA+cos2AsinA+，整理可得：cosA+sinA=，∴可得：sin（A+）=，∵A∈（0，），可得：A+∈（，），∴A+=，可得：A=．（Ⅱ）∵A=，b=2，=sinA==c．∴S△ABC又∵由正弦定理，可得：，∴c===+1，∵B，C为锐角，可得：B∈（30°，90°），可得：tanB∈（，+∞），可得：∈（0，3），可得：c=+1∈（1，4），=c∈（，2）．∴S△ABC18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA=BC=5，AC=8，D为线段AC 的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥A1D；（Ⅱ）若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为，求AA1的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴BD⊥AA1，∵BA=BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC，又AC∩AA1=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1D⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1D．（Ⅱ）过A1作A1E⊥C1D于E，由（I）可知BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥A1E，又BD∩C1D=D，∴A1E⊥平面BC1D，∴∠A1DE为直线A1D与平面BC1D所成角，即sin∠A1DE=，∴cos∠A1DE=±．设AA1=x，则A1D=C1D=，在△A1DC1中，由余弦定理得：=±，解得x=2或x=8．∴AA1=2或8．19．（8分）某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y （百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=x +；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y 是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：=，=﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，则：，所以y关于x的线性回归方程为，当x=10时，百斤=550斤，所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y是550斤．（Ⅱ）记商家总利润为Y元，由已知条件可知至少需安装1台，①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，②安装2台光照控制仪的情形：当X＞70时，一台光照控制仪运行，此时Y=5000﹣800=4200元，当30＜X≤70时，两台光照控制仪都运行，此时Y=5000+5000=10000元，故Y的分布列为所以EY=4200×0.2+10000×0.8=8840元，③安装3台光照控制仪的情形：当X＞70时，一台光照控制仪运行，此时Y=5000﹣1600=3400元，当50≤X≤70时，两台光照控制仪运行，此时Y=5000+5000﹣800=9200元，当30＜X＜50时，三台光照控制仪都运行，此时Y=5000+5000+5000=15000元，故Y的分布列为所以EY=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620元，综上，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．20．（12分）已知P是抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点，P到直线x﹣y+4=0的距离为d1，P到E的准线的距离为d2，且d1+d2的最小值为3．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）直线l1：y=k1（x﹣1）交E于点A，B ，直线l2：y=k2（x﹣1）交E于点C，D，线段AB，CD的中点分别为M，N，若k1k2=﹣2，直线MN的斜率为k，求证：直线l：kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0恒过定点．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，抛物线E：y2=2px，则其焦点为，由抛物线的定义可得d2=|PF|，则d1+d2=d1+|PF|，其最小值为点F到直线x﹣y+4=0的距离，∴，解得p=4（舍去负值），∴抛物线E的方程为y2=8x；证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得，则，所以y1+y2=k1（x1﹣1）+k1（x2﹣1）；∴AB的中点M的坐标为，同理可得点N的坐标为，则直线MN的斜率，则k（k1+k2）=﹣2，则直线l的方程kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0可化为y=kx﹣k（k1+k2），即y=kx+2，令x=0可得y=2，∴直线l恒过定点（0，2）．21．（12分）已知函数f（x）=﹣1（b∈R，e为自然对数的底数）在点（0，f （0））处的切线经过点（2，﹣2）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）+ax（a∈R）的单调性；（Ⅱ）若∀x∈R，不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，求实数c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=b﹣1，所以过点（0，b﹣1），（2，﹣2）的直线的斜率为k=﹣，而f′（x）=﹣，由导数的几何意义可知，f′（0）=﹣b=﹣，所以b=1，所以f（x）=﹣1，则F（x）=ax+﹣1，F′（x）=a﹣，当a≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在R上单调递减；当a＞0时，由F′（x）=a﹣=0，得x=﹣lna，当x∈（﹣∞，﹣lna）时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减，当x∈（﹣lna，+∞）时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．（Ⅱ）不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，即不等式e x+cx﹣c≥0恒成立，设g（x）=e x+cx﹣c，g（x）=e x+c，若c≥0，则g′（x）＞0，函数g（x）单调递增且不存在最小值，不满足题意；当c＜0时，由g′（x）=e x+c=0，得x=ln（﹣c），当x∈（﹣∞，ln（﹣c））时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（ln（﹣c），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（ln（﹣c））=﹣2c+cln（﹣c），要使得g（x）≥0恒成立，只需﹣2c+cln（﹣c）≥0恒成立，由于c＜0，所以有ln（﹣c）≤2，解得﹣e2≤c＜0，即当c∈[﹣e2，0）时，g（x）≥0恒成立，即e x+cx﹣c≥0恒成立，也即不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，所以实数c的取值范围为[﹣e2，0）．22．（14分）设a1，a2，a3，a4，a5是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标i，j，k，l，使得|﹣|＜．【解答】证明：不妨设a1≤a2≤a3≤a4≤a5，考虑以下5个分数：，，，，，①它们都属于区间（0，1]…（3分）把区间（0，1]分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为a，b，c）…（6分）将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（与是相邻的），即a，b，c中至少有两个数是相邻的…（10分）假设a与b相邻，则另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．于是，a、b对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，一定存在4个互不相同的下标i，j，k，l，使得|﹣|＜．…（14分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（8分）在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为（β为参数），在极坐标系中，直线l1的方程为：α1=θ，直线l2的方程为α2=θ+．（Ⅰ）写出曲线M的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由（β为参数）消去参数β得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8，∴曲线M是以（1，1）为圆心，为半径的圆．（Ⅱ）设|OA|=ρ1，|OC|=ρ2，∵O，A，C三点共线，则①，将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2﹣2ρ（sinθ+cosθ）﹣6=0，∴，代入①得：，用代θ得：又∵l1⊥l2，∴，∴，∵sin22θ∈[0，1]，∴．。

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炎德·英才大联考长郡中学2018届高三期末试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数12z i =-，2()z m i m R =+∈，若动12z z ⋅为纯虚数，则12z z ⋅=（） A ．52i B ． 52C ． 2i -D ．-2 2. 下列判断正确的是（）A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p 且q ”为真命题B ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =.则0x ≠”C ．“1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件 D ．命题“对任意x R ∈，20x >成立”的否定是“存在0x R ∈.使020x ≤成立”3. 等差数列{}n a 有两项m a 和()k a m k ≠，满足1m a k =，1k a m=，则该数列前mk 项之和为（） A ．12mk - B ．2mk C ． 12mk + D ． 12mk +4. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．403 B ．803C. 40 D ．80 5. 在OAB ∆中，OA a =，OB b =,OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等于（） A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅-- C.()a b a a b ⋅-- D ．()a ab a b⋅--6. 若152a -=,125b -=，1cos 220c xdx π=⎰,则实数a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b a c << C. c b a << D ．b c a << 7. 已知函数()sin 2cos 2(,)f x a x b x a b R =+∈的图象过点(,2)12π，且点(,)6π-０是其对称中心，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式为（） A ．()2sin 2g x x = B ．()2cos 2g x x = C.()2sin(2)6g x x π=+D ．()2sin(2)6g x x π=-8. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（） A ．1939 B ．2143C. 2245 D ．20419. 已知以原点为中心，实轴在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为34y x =，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为（）A ．221169x y -=B ． 221916x y -= C. 2216436x y -= D ．2213664x y -= 10. 求形如()()g x y f x =的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：ln ()ln ()y g x f x =，再两边同时求导得11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x '''=+，于是得到：()1()()ln ()()()()g x y f x g x f x g x f x f x ⎡⎤'''=+⎢⎥⎣⎦，运用此方法求得函数1x y x =的一个单调递增区间是（）A ．(,4)eB ．(36)， C. (0)e ， D ．(2)，311. 已知递减的等比数列{}n a ，各项均为正数，且满足123123269111132a a a a a a ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，则数列{}n a 的公比q 的值为（）A ．12 B ．13 C. 23 D ．3412. 设点P 在曲线112x y e =⋅+上，点Q 在曲线ln(22)y x =-上，则PQ 的最小值为（）A ．2ln 2- Bln 2)- C. 2+ln2 Dln 2)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号的横线上.13.)(0)n a a x>展开式中，若第三项中228x ，则此展开式中的第六项为． 14. 使关于x 的不等式1x k x ++<；有解的实数k 的取值范围是．15. 已如1F ，2F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共集点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若121F F F A =，则2C 的离心率是．16. 已知两个正数a ，b ，可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ，在,,a b c 三数中取两个较大的数，按上规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个数称为一次操作.若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnq p ++-（m ，n 为正整数），则m n +的值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c 且sin cos 0a B b A -=. （Ⅰ）求角A 的大小：（Ⅱ）若a =2b =.求ABC ∆的面积.18. 为振兴旅游业，香港计划向内陆地区发行总量为2000万张的紫荆卡，其中向内陆人士（广东户籍除外）发行的是紫荆金卡（简称金卡），向广东籍人士发行的是紫荆银卡（简称银卡）.某旅游公司组织了一个有36名内陆游客的旅游团到香港名胜旅游，其中34是非广东籍内陆游客，其余是广东籍游客.在非广东新游客中有13持金卡，在广东籍游客中有23持银卡. （Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的广东籍游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD CB ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =（Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若异面直线AP 与BMPMPC的值.20. 已知椭圆：22210259tan 2(tan 1)2x y a a a π⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭+，当椭圆形状最圆时为椭圆C.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过椭圆C 左焦点的两条弦MN 、PQ 斜率分别为1k 、2k ，当121k k =时，是否存在1t ≥使11t MN PQ+=成立，若存在，求出满足条件的t ；若不存在，请说明理由.21. 关于x 的函数2()ln af x x ax x=+-. （Ⅰ）若()f x 为单调函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅱ）讨论()f x 的零点个数.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （Ⅰ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程：（Ⅱ）过点M 平行于直线l 的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若3MA MB ⋅=，求点M 轨迹的直角坐标方程.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()223f x x a x =-++，()12g x x =-+. （Ⅰ）解不等式()5g x <；（Ⅱ）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ADCAB 6-10: DADCC 11、12：BB 二、填空题 13.356x 14. (,1)-∞- 15. 23 16.21 三、解答题17. （Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=. 即sin (sin cos )0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为(0,)A π∈，所以4A π=.（Ⅱ）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则220442c c ⎛⎫=+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.即2160c -=.解得c =-c =又1sin 2S bc A =，所以12422S =⨯⨯=.方法二：∵a =2b =，由（Ⅰ）知4A π=，∴由sin sin a bA B=得2sin sin b A B a ===，∵sin sin B A =<=，∴B为锐角，∴cos B =，∴3sin sin sin )4C B B B π⎛⎫=-=+== ⎪⎝⎭∴11sin 2422ABC S ab C ∆==⋅=18.（Ⅰ）由题意得，非广东籍游客有27人，其中9人持金卡：广东籍游客有9人，其中6人持银卡，设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件2A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”.1211192196211233363692736()()+()3417085C C C C C P B P A P A C C ==+=+=，所以在该团中随机来访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685. （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3.33391(0)84C P C ξ===，1263393(1)14C C P C ξ===， 21633915(2)28C C P C ξ===，36395(3)21C P C ξ===，所以ξ的分布列为所以()0123284142821E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.注：所以即为作答，否则扣1分. 19.（Ⅰ）证明：∵//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ . ∵90ADC ∠=︒，∴90AQB ∠=︒，即QB AD ⊥. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =.∵BQ ⊥平面PAD .∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD . （Ⅱ）∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =.∴PQ ⊥平面ABCD .如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)Q ，(1,0,0)A，(0,0,P，(0,0)B，(1,0)C -，设000(,,)M x y z ，∴(1,0AP =-，(1,PC =-，000(,,,PM x y z =. 由M 是PC 上的点，设(01)PM tPC t =≤≤，化简得(,M t --+. 设异面直线AP 与BM 所成角为θ，则cos cos ,7AP BM AP BMAP BMθ⋅====12t =或1114，故12PM PC =或1114. 注：若只算出一个答案，扣1分；算出两个t 值即得满分.20.（Ⅰ）∵2225259272(tan 1)9tan tan 0222525a αα⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴225(tan 1)9tan 2aa +>. ∴45c e a ====≥，当且仅当tan 1a =时等号成立，此时椭圆形状最圆，故椭圆C 的方程为221259x y +=. （Ⅱ）由题设知，1(4,0)F -，则1:(4)MN y k x =+，2:(4)PQ y k x =+，将MN 与C 的方程联立消y 得：2222111(259)2004002550k x k x k +++-=.“*”设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1x 、2x 是“*”的两根，则211221211221200259400225259kx xkkx x⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩.则MN====212190(1)259kk+=+.同理：222290(1)259kPQk+=+.∵121k k=，∴22122212111190(1)90(1)259259k kMN PQk k+=+++++222222222 1212211212 222222212121112 259259(259)(1)(259)(1)18343450() 90(1)90(1)90(1)(1)901() k k k k k k k k k k k k k k k k k k++++++++++=+==+++++⎡⎤+++⎣⎦2212221268343490(2)k kk k++=++[)2212221234(2)171,90(2)45k kk k++==∉+∞++.∴不存在满足题设条件的t使题设成立.21．（Ⅰ）()f x的定义域为(0)+∞，，32212()2a ax x af x axx x x-+-'=--=①0a≤时，()0f x'>恒成立，故()f x为单调递增函数.②0a>时，令3()2(0)g x ax x a x=-+->，2()616g x ax a x x⎛'=-+=-⎝.当0x <<时，()0g x '>，当x >()0g x '<. ∴()g x 在0⎛⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎭上单调递减. ∴x =()g x 的极大值点，也是(0)∞，＋上的最大值点.若20g a =--≤，得3a ≥∴a ≥时，()0g x ≤，则()0f x '≤，∴()f x 在(0)+∞，上单调递减. 综上，若()f x 为单调函数，实数a 的取值范围是(]32,0+3⎡⎫-∞∞⎪⎢⎪⎣⎭，. 若使用变量分离法，参照标准给分.（Ⅱ）由题设知，(1)0f =，①由（Ⅰ）知，0a ≤或3a ≥时，()f x 单调，故()f x 只一个零点. ②若()0f x '=得(1)310g a =-+=得13a =，则33211111()(231)(1)333322g x x x x x x x x ⎛⎫⎛-+=-+-=--+=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当102x -+<<或1x >时()0g x <，即()0f x '<，1x <<时()0g x >.即()0f x '>.()f x 在0⎛ ⎝⎭和(1)+∞，上单调递减，在1⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴()f x 的极小值点x =1x =.又1(1)02f f ⎛⎫-<= ⎪ ⎪⎝⎭，根据函数的增长速度，0x →时()+f x →∞，x →+∞时()f x →-∞，∴()f x有两个零点，一个在区间102⎛-+ ⎝⎭，，另一个为1x =. ③103a <<或13a <<时，有0g >. 又()g x在0⎛⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎭上单调递减，且(0)0g a =-<，x →+∞时3()2g x ax x a =-+-→-∞，故必存在不为1的1x ，2x ，使得12()()0g x g x ==，故12(0,)(,+)x x x ∈∞时，()0g x <，则()0f x '<；12(,)x x x ∈时，()0g x >，则()0f x '>.∴()f x 在1(0)x ，和2(,+)x ∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增. )1103a <<时，(1)310g a =-+>，故1201x x <<<，由12()(1)0()f x f f x <=<及0x →时()+f x →∞，x →+∞时()f x →-∞知，()f x 有三个零点.)1233a <<时， ∵23222211()101a e ae a e a e a f a e e e e e-+---⎛⎫=-+-⋅==< ⎪⎝⎭. 1(1)313103g a =-+<-⨯+=，即(1)0f '<， ∴必有1201x x <<<且1()0f x <，2()(1)0f x f >=.又0x →时()+f x →∞，x →+∞时()f x →-∞，故()f x 有三个零点.综上，0a ≤或3a ≥等时，()f x 只一个零点；13a =时，()f x 有两个零点；103a <<或13a <<时，()f x 有三个零点. 请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为4πθ=，所以直线斜率为1，直线:l y x =. 曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数），消去参数θ，可得曲线22:1C x y +=. （Ⅱ）设点00(,)M x y 及过点M的直线为010:2x x L y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.由直线1L 与曲线C 相交可得：2220000)10t x y t x y +++-=. 因为3MA MB ⋅=，所以220013x y +-=，即：22004x y +=. 222222201y x m x mx m x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，由0m ∆>⇒<<.故点M 的轨迹的直角坐标方程为：224x y +=（夹在两直线y x =±之间的两段圆弧）.23．（Ⅰ）由125x -+<，得5125x -<-+<， ∴713x -<-<，得不等式的解为24x -<<（2）因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{}{}()()y y f x y y g x =⊆=，又()()()2232233f x x a x x a x a =-++≥--+=+， ()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-，所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-.。