浅谈对dirac符号的认识
mathematica dirac符号
mathematica dirac符号Dirac符号，又称为Dirac记号，是一种在量子力学中用来描述物理量和算符的记号方法。
它由英国物理学家保罗·A·M·Dirac于1928年提出，被广泛应用于量子力学、量子场论和相对论量子力学等领域。
Dirac符号的核心思想是将物理量、矢量、矩阵等抽象化为一种形式简洁的符号表示。
在Dirac符号中，我们可以用尖括号来表示物理量的态矢量，用竖线来表示量子力学中的态。
例如，|ψ⟩表示一个态向量，表示系统处于一个态ψ 中。
Dirac符号中的态矢量可以是普通的量子力学态，也可以是矩阵或算符。
例如，我们可以用|0⟩和|1⟩来表示自旋1/2粒子的自旋态，用|↑⟩和|↓⟩来表示自旋向上和向下的态。
Dirac符号还引入了两个重要的算符，即左矢⟨A|和右矢|A⟩。
左矢可以看作是右矢的转置共轭，而右矢表示一个粒子的态。
两者可以进行内积，表示测量结果的概率。
例如，⟨A|A⟩表示测量态|A⟩后得到它自身的概率。
Dirac符号还引入了一个重要的运算符，叫做内积。
内积可以用来计算两个态矢量间的相对关系。
例如，⟨A|B⟩表示计算态矢量|A⟩和|B⟩之间的相对关系。
Dirac符号在量子力学中具有诸多优势。
首先，它大大简化了升降算符的表示。
例如，我们可以用a†|n⟩表示一个产生算符作用在态|n⟩上得到的结果。
其次，Dirac符号使得算符的乘法和加法更加直观。
例如，我们可以用|A+B⟩来表示算符A和B作用在同一个态上的结果。
Dirac符号的应用不仅限于量子力学，还可以应用于相对论量子力学和量子场论中。
例如，在量子场论中，我们可以用Dirac符号来表示场算符和粒子态之间的关系。
在相对论量子力学中，Dirac符号可以用来表示四维时空中的粒子态和态矢量等。
总之，Dirac符号是一种在量子力学中常用的记号方法，它简化了物理量和算符的表示方式，使得量子力学的运算更加直观和方便。
浅谈对dirac符号的认识
浅谈对dirac 符号的认识1. 从牛顿---莱布尼兹积分谈起现代科学始于17世纪牛顿----莱布尼兹创立的微积分。
尤其是莱布尼兹发明了微分号d 和积分号⎰；大大简化了数学的表达方式，也节约了人们的脑力。
数学家黎曼曾说：“只有在微积分发明之后, 物理学才成为一门科学。
” 这以后，积分学有两个主要的发展方向，一个是复变函数的围道积分，另一个是实变函数的勒贝格积分；是牛顿---莱布尼兹积分推动了经典物理的发展。
量子力学是从经典力学“脱胎”而出的，它虽与经典力学大相庭径，却又是与之有着千丝万缕联系的一门科学。
由于量子力学中许多物理概念与经典力学的截然不同，因此量子力学需要有自己的符号，或是“语言”。
Dirac 符号法是量子力学的标准“语言”，自从上世纪初有了量子力学的萌芽，就有了对于其数学符号的需求，于是Dirac 的符号应运而生。
而牛顿－莱布尼兹发明微积分时并无Dirac 符号，该积分方法可否直接运用于对Dirac 符号进行呢？这个问题在量子力学建立后相当长的一段时间没有得到足够的重视。
符号是一门科学的“元胞”；是人们用以思考的“神经元”；是反映物理概念的数学记号；中国的汉字起源于甲骨文,它是古代劳动人们从生产实践中抽象出来的象形符号并通过组合而演变成的文字符号 (见图1殷商的甲骨文，图2是苏美尔的楔形文字的演化；图3和图4分别代表阿拉伯数字和拉丁字母的起源和演化,它们并没有像形的意义,只是符号而已). 由于思想是没有声音的语言，当人们在思考时，心目中的符号便在脑海这张无形无边的“纸”上写字，例如人们在心算时，就是在脑海里对阿拉伯数字符号做演算，因此一套好的记号可以使头脑摆脱不必要的约束和负担，使精神集中于专攻，这就在实际上大量增强了人们的脑力，使人们的思考容易引入深处和问题的症结；这正如音乐有五线谱和简谱两种记录方式，但前者比后者要直观，方便和科学得多，所以国际上都采用五线谱。
诚如海森堡（Heisenberg ）在1926年所说：“在量子论中出现的最大困难 是有关语言运用问题。
mathematica dirac符号
mathematica dirac符号引言：在数学和物理学中，Dirac符号是一种常用的数学表示方法，它由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）在20世纪初提出。
Dirac符号的应用广泛，特别是在量子力学和量子场论中。
本文将详细介绍Dirac符号的概念、特点及其在数学和物理学中的应用。
正文：1. Dirac符号的概念1.1 Dirac符号的引入1.2 Dirac符号的基本表示Dirac符号是由一对尖括号组成的数学记号，用于表示量子力学中的态矢量和算符。
Dirac引入这种符号的目的是为了简化量子力学的数学表达和计算。
Dirac符号的基本表示是用一个右尖括号表示态矢量，如|ψ⟩，而用一个左尖括号表示对应的共轭转置态矢量，如⟨ψ|。
其中，|ψ⟩表示一个列向量，而⟨ψ|表示一个行向量。
2. Dirac符号的特点2.1 内积和外积表示2.2 可加性和线性性质2.3 正交归一性Dirac符号具有许多特点，其中最重要的是内积和外积表示。
内积表示两个态矢量之间的相似度，外积表示两个态矢量之间的叠加关系。
Dirac符号还具有可加性和线性性质，即可以对多个态矢量进行加法和乘法运算。
此外，Dirac符号还满足正交归一性的条件，即两个正交的态矢量的内积为0，归一化的态矢量的内积为1。
3. Dirac符号在量子力学中的应用3.1 表示态矢量和算符3.2 表示物理量的期望值3.3 表示量子力学中的基本运算Dirac符号在量子力学中有广泛的应用。
首先，Dirac符号可以用来表示态矢量和算符，简化了量子力学的数学表达。
其次，Dirac符号可以用来计算物理量的期望值，通过内积的方式将算符作用在态矢量上。
最后，Dirac符号还可以表示量子力学中的基本运算，如叠加、叠乘、变换等。
4. Dirac符号在量子场论中的应用4.1 表示场算符和相互作用哈密顿量4.2 表示费曼规则和传播子4.3 表示量子场的量子化Dirac符号在量子场论中也有重要的应用。
Dirac 浅析
f x x a dx f a ,
(后面将对这个关系式进行证明)
1 ax x , a 1 2 2 x a x a x a , a 0. 2a
注: 上述这些关系的意义是, 当方程两边作 为被积函数的因子时, 所给出的结果相等.
df x0 0 x x0 dx0 dx0
df x dx
18
因此, 每当积分号下出现 (xx0) 时, 其正确意义如下:
d x x df x 0 x x0 f x0 dx0 f x0 dx0 dx dx
注: 如果在使用 函数时把它当作通常类型的数学函数, 而在心目 中记住它的真正意义乃是函数 Sx(x x0) 在 x 0 时的极限, 就可以大大简化书写和讨论的过程.
7
考虑如下积分可以得到 函数的一个最重要的性质:
I f x S x x x0 dx
f x0 S x x x0 dx f x0
xຫໍສະໝຸດ f x dx 0
x f x dx
考虑到f(x)的任意性
x x x
20
6. 函数用任意厄米算符的本征函数展开
ˆ a 若a 是厄米算符Ô 的本征函数, 即 O a a
x x0 * ( x0 ) a ( x)
a
a
(ii)连续本征值谱
x x0 * ( x0 ) a ( x)da
a
上述离散、连续本征值谱的展开是很有 用的结果.
22
9
3. 动量算符在动量表象中的本征函数
dirac符号,正规乘积
§ 坐标、动量表象和粒子数表象表象（representation ）原指客观事物在人类大脑中的映象，量子力学中的“表象”最先由Dirac 引入，用以描述不同坐标系下微观粒子体系的状态和力学量的具体表示形式。
他把系统状态的波函数看成抽象空间中的态矢量在某个表象中的表示，力学量的本征函数即此空间的一组基矢。
完备性是基矢成为表象的必要条件，但完备性的证明那么因其烦琐和缺乏普适而有力的积分方式而成为从来困扰物理学家的一个难题，这极大地限制了新表象的发觉。
由于针对不同的问题选取适当的表象进行求解往往能够达到事半功倍的成效，而新表象的缺乏也使得对量子力学中某些问题的探讨变得异样困难。
IWOP 技术恰恰提供了构建各类新的表象的有效方式。
它给予大体的坐标、动量表象完备关系以清楚的数学内涵并将其化为纯高斯积分的形式，从而使其成为关于数学家而言“犹如2×2=4一样简单的东西”；它也能够简化相干态完备性的证明，其结果与通常的展开相干态为粒子数态（Fock 表象）的方式殊途同归；关于给定的基矢，通过类似的方式也能够容易地查验其完备性或做出适合的推行，致使大量新表象的显现，如多粒子纠缠态表象、相干纠缠态表象等，它们使量子力学理论绚丽多彩。
在介绍IWOP 技术之前，咱们需要回忆一些必要的基础知识.令Q 、P 别离为厄米的坐标和动量算符，知足Heisenberg 正那么对易关系（为普朗克常数）[] , .Q P i= （）Q 和P 的本征态别离是q 和p ，那么有(), ''Q q q q q q q q δ==-；(), ''P p p p p p p p δ==-； （）且dq P iq dq =-， d p Q i p dp=， （） Dirac 给出的完备性关系是1dq q q ∞-∞=⎰， 1dp p p ∞-∞=⎰。
（）Fock 态的引入能够从谐振子哈密顿量的因式分解法（factorization method ）加以说明。
Dirac符号
Dirac符号
8
例如， 例如，在中心力场中能量的本征波函数为 unr lm ( r ) 可表示它为 nr lm
ˆ,L ˆ2 , L ˆ ) 的共同本征函数。 它是 ( H 的共同本征函数。 z
ˆ n r lm = E n l n r lm H r ˆ2 n lm = l ( l + 1) h 2 n lm L r r ˆ n lm = m h n lm L z r r
右矢和左矢的关系
1
展开系数即相当于 Q 表象中的表示： 表象中的表示： ψ + = (a*1, a*2, ..., a*n, ... )
1
2
2
n
n
* 定义|ψ>和 <φ| 的标积为 标积为： < φ |ψ >= ∑ bn an (4.5-1)式 n (4.5-2)式 显然 <φ|ψ >* = <ψ |φ> * 符号表示的 由标积定义得: <ψ |ψ >= ∑anan = 1 用Dirac符号表示的 波函数归一化条件 波函数归一化条件 11 n Dirac符号
Dirac符号
4
§4-5-1 量子态、 量子态、Ket矢，Bra矢(Bracket)
量子力学中的状态， 量子力学中的状态，可以看作某线性空间中的一个矢 量，量子体系的状态用态矢量代表。 代表。 态矢量有两种： 态矢量有两种：Ket矢，右矢， 右矢，刃矢， 刃矢，刃，|> Bra矢，左矢， 左矢，刁矢， 刁矢，刁，<| 右矢空间 一个状态通过一组力学量完全集的测量（ 一个状态通过一组力学量完全集的测量（ 完全测量） 完全测量 ）来 确定， 确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。 通常用所测得的力学量的量子数来确定。
dirac符号表示法
dirac符号表示法
Dirac符号表示法是用于表示量子力学中波函数和算符的一种符号方法。
它由英国物理学家Paul Dirac于20世纪20年代提出，对于描述量子力学系统具有重要意义。
在Dirac符号表示法中，波函数用大写字母表示，如Ψ、Φ等，表示不同粒子的波函数。
算符用拉丁字母表示，如H、S等，表示不同类型的算符。
此外，还有以下一些特殊符号：
1. 空格符（| ）：表示内积运算，如|Ψ⟩表示波函数Ψ的归一化内积。
2. bra-ket符号（⟩⟩）：表示量子态的线性组合，如⟩Ψ|Φ⟩表示波函数Ψ和Φ的内积。
3. 希尔伯特空间符号（〈⟩）：表示量子态的归一化内积，如〈Ψ|Φ⟩表示归一化内积。
4. 指标运算符（α、β等）：用于表示不同粒子的指标，如αβ表示两个不同粒子的指标。
Dirac符号表示法在量子力学、量子场论等领域有广泛应用，有助于简化计算过程并提高表达式的可读性。
掌握Dirac符号表示法对于理解和学习量子力学至关重要。
二Dirac符号
态矢量先合成以后，才能计算合成后的和矢量的长短（模），以及模的平方问题。
在欧几里得空间我们不是也是这样做的吗？不过，这两个矢量有夹角，于是合成的 结果的模的平方会出现三角函数。这就是双缝干涉几率结果中的第三项。大家知道 三角函数随空间坐标是周期性变化的，有时最大，有时为0，这不就是干涉条纹吗！
有了希尔伯特空间的概念，再看叠加态是不是就好理解“薛定谔猫佯谬”了？ 在二维笛卡尔坐标系中的一个矢量，可以分解为两个坐标轴矢量的叠加：
解
ˆ 由于 a | F | b 是复数，复数的厄米共轭就是复数的复共轭，故
* ˆ ˆ ˆ ˆ a | F | b a | F | b (| b ) F ( a |) b | F | a
这就是厄米共轭算符定义的Dirac表示。 ˆ ˆ ˆ ˆ 将厄米算符的定义 F F 代入上式得： a | F | b * b | F | a 这就是厄米算符定义的Dirac 表示。
在右矢空间中的向量 | a ，应该对应在左矢空间中的向量 * a | ，这 是因为如果设 | a | c ，它在右矢空间对应 c | 。以任意| b 与
c|
作内积，再根据内积性质有：
c | b b | c b | a b | a a | b
a , b b , a a , b a , b a , b * a , b a , b c a , b a , c a , a 0
*
高等量子力学 第一章
希尔伯特空间（量子力学的表述形式）
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 量子力学的基本原理（基本假设） 量子力学的表述形式 Dirac符号 用Dirac符号表示的几个重要关系式 本征问题 谱分解定理及其应用
狄拉克(Dirac)符号
< n | F | ψ >=< n | ϕ > < n | ϕ >= ∑ < n | F | m >< m | ψ >= ∑ Fnm < m | ψ >
m m
∧
注意 ： ）式是抽象的算符方程 ， ） ）式是具体表象中的算符方程， 意： （ 24 24） 程， （ 25 25） ， （ 26 26） < m | ψ >, < n | ϕ > 是算符作用前、后的态矢在 {| n >}表象中的分量， Fnm 也是具体表象中 的矩阵元。 1.4.2 连续谱 （1）算符作用在基矢 | λ > 上
（6）
n
这里 < B | A >=< A | B > * 1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱
| n >, | λ > 仍为抽象的本征矢
力学量完全集的本征函数 {u n } 具有离散的本征值 {Qn }时，对应的本征矢 | 1 >, | 2 >,⋯ | n > 或 | nlm > 等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ | 1 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ | 2 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ | n >= ⎜ 1 ⎟ ← 第 n 行 ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ （8）
∧ ∧
） （29 29） （30 ） 30） ） （31 31）
< λ ′ | ϕ >=< λ ′ | F | ψ >
< λ ′ | ϕ >= ∫ | < λ ′ | F | λ > dλ < λ | ψ >= ∫ Fλ ′λ < λ | ψ > dλ 例如 < x ′ | ϕ >=< x ′ | F | ψ >= ∫ Fx′x < x | ψ > dx 即为 x 表象中方程
P四章第四讲狄拉克符号
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。
1. 狄拉克(Dirac)符号
定义：左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
A *(rr )Aˆ (rr )drr ( , Aˆ ) Aˆ
t
ih m m Hˆ
t
m Hˆ 1
m Hˆ n n n
ih t am n Hmnan
平均值公式1的矩阵形式
F Fˆ 1 Fˆ 1
m m Fˆ n n mn
am* Fmnan mn
平均值公式2的的矩阵形式
( , ) 2 d 3r * d 3r 1
本征矢的正交归一化
x | x
x | x ' ( x', x ) (x x ') pr | pr ') ( pr ', pr ) ( pr ' pr )
n | n m n (um , un ) mn
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第四章：表象与矩阵力学
第四讲：狄拉克(Dirac)符号
引入：一对奇妙的组合
狄拉克：沉默寡 言，追求精确。
剑桥大学同事 定义了“一个小 时说一个字”为 一个“狄拉克” 单位
海森堡：活泼开 朗，喜唱歌跳舞， 是团队中的开心 果。
F | an |2 fn n n Fˆ n
量子力学教程 第二版 4.5 狄拉克符号.
于是： A n n A
n
（完全性关系）
（上式复数共轭）
()
同样可得 A A n n
所以： n n 1
n
n
Q 的本征矢 n 的封闭性，即插入算符（恒等算符） 此即为力学量 。
' ' 说明： n n 1在 x 表象中的表示为 u 。 x u x x x n n n n
表示为 m ，其正交归一性为： , m ' , m ' ' mm'
4. 封闭性 (a)连续谱情况：任何一态矢 A 在坐标表象中用波函数 x ' , t
描写， x ' , t x ' A 就是刃 A 在 x 表象中的分量。
ˆ 在自身表象中的基矢 x ' x x ' 组成完全系，则 A 由于 x
可按 x
展开，即：
'
A x ' dx ' x ' , t
x t A x
'
用 x 与 A 作标积，得：
x A x x ' dx ' x ' , t x x ' dx ' x ' , t x, t
所以展开系数为：
ˆ 的本 征值为分立谱Q n 1,2, ，本征 刃 Q (b) 分立谱情况： n
ˆ n 具有完全性，可将任意刃矢 A 按 Q A n Cn n 而 m A m n C C
n m n
的本征刃展开，即：
即展开系数 Cn n A （ C ，它表示 A 在基矢 n 上 n A n ） 的投影。
4.5狄喇克符号
∑
n
a n ( t )un ( x )
an (t ) =
∫u
n
n
* ( x ) Ψ ( x . t ) dx
即为
| ψ >= ∑ an | u n >
an = un Ψ
所以
| ψ >= ∑ an | u n >|= ∑ | u n >< u n | ψ >
n n
| ψ >= ∑ an | u n >|= ∑ | u n >< u n | ψ >
n n
所以
∑
n
| un >< un |= 1
上式即为本征矢的封闭性.
B | 。刃和
刁是两种性质不同的矢量，两者不能相加， 刁是两种性质不同的矢量，两者不能相加，它们在同一种
态矢量在Q表象中的分解是 态矢量在 表象中的分解是
ψ = ∑ cnun
n
ψ = ∑ cn n ,
n
基δ mn
*
m n = δ mn ,
平均值公式是: 平均值公式是:
|
微观体系的状态可以用一种矢量来表示， 微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是 称为刃矢 右矢） 简称为刃 刃矢（ ，称为刃矢（右矢），简称为刃，表示某一确定的刃 称为刁矢 左矢） 刁矢（ | ，称为刁矢（左矢），
矢A，可以用符号 | A 。微观体系的状态也可以用另一种 ， 矢量来表示， 矢量来表示，这种矢量符号是 简称为刁 表示某一确定的刁矢 可以用符号 简称为刁。表示某一确定的刁矢B可以用符号 表象中的相应分量互为共厄复数。 表象中的相应分量互为共厄复数。
§4.4 狄喇克(Dirac)符号
量子力学第四章 第5节Dirac 符号
因为|ψ> 在 x 表象的表示 是ψ(x, t)，所以显然有：
x | (x,t) | x x | * * (x,t)
3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算。
4 本征函数的封闭性
I 分立谱
展开式
两边左乘 <m| 得:
| an | n
n
| | n n |
n
m | an (t) m | n an (t)mn am (t)
n
n
将 a n 代回原式得：
aq (t) (q'q) dq
| | q dq q |
因为 |ψ > 是任意态矢，所以有
| q dq q | 1
同理，对于 |x'> 和 |p' > 分别 有
aq'(t)
| x' dx' x'| 1 | p' dp' p'| 1
由于
这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
| n n | 1
n
| q' dq' q'| 1
| x' dx' x'| 1
所以它们也称为单位算符，在运 算中可插入到（乘到）公式任何地方而 不改变原公式的正确性。
例如：在 |ψ > 左侧插入算符
| n n |
右矢空间和左矢空
间称为伴空间或对偶空
间，<ψ | 和 |ψ> 称 为 伴 矢 量 。 <p’ |, <x’|, <Qn| 组 成 左 矢
空间的完备基组， 任
量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac符号系统与表象一、Dirac符号1.引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax ,Ay,Az)表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为Dirac 符号。
2.（1）.（或基组）（2（3<ψ|按定义有：ψψa）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；b）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；c）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。
（4）.本征函数的封闭性a）分立谱展开式：可得：因为|ψ>是任意态矢量，所以：b）连续谱对于连续谱|q>，q取连续值，任一状态|ψ>展开式为：因为|ψ>是任意态矢量，所以：这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
c ）投影算符|Q n ><Q n |或|q><q|的作用相当一个算符，它作用在任一态矢|ψ>上，相当于把|ψ>投影到左基矢|Q n >或|q>上，即作用的结果只是留下了该态矢在|Q n >上的分量<Q n |ψ>或<q|ψ>。
故称|Q n ><Q n |和|q><q|为投影算符。
因为|ψ>在X 表象的表示是ψ(x,t)，所以显然有：在分立谱下：所以*(')()(')n n nu x u x x x δ=-∑。
在连续谱下：所以*(')()(')u ⎰。
3.（1X 即Q （2即有：4.到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。
量子力学中的算符和Dirac符号
二、Dirac符号的引入
• 量子力学的语言是Dirac符号法，它有两个优点： 一是无需采用具体表象来讨论问题； 二是运算简洁。
• Dirac符号法，也称为q数理论，而q数理论核心 内容之一就是表象可以用以坐标为变量的波函数 Ψ (x ,t )来描写， 力学量则以作用在这种波函数上的算符来表示，这是 量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可 以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 • 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示 形式称为表象。
• 线性算符的充分条件：
ˆ [ f ( x) g ( x)] A ˆ f ( x) A ˆ g ( x) A ˆ [cf ( x)] cA ˆ f ( x) A
量子力学的一个基本假设：力学量用线性厄米算符表 示，即，量子力学中表示力学量的算符一定是线性厄 米算符。 利用力学量的算符可以预言在给定状态里测量这一力 学量所得结果的期望值——平均值。 可得到给定状态里该力学量的表象
• 算符的加法满足通常的代数法则； • 算符的乘法满足通常的结合律和分配率，但一般 不满足交换律。 ˆ和B ˆB ˆ ，则称算符 A ˆ =B ˆA ˆ 是可对易的。 如果A
算符的对易
定义算符的对易关系：
ˆ与 B ˆ 满足交换律，那么就称算符可对 • 如果算符 A ˆ ,B ˆ ]= 0 易，即 [A ˆ 和B ˆ 有共同的本征函 ˆ 、 ˆ 相互对易，则 A 若A B 数系； ˆ 和B ˆ 有共同的本征函数系，则A ˆ 相互对 ˆ 和B 若A 易。 如果两个算符之间不对易，则它们不能同时有确 ˆ p和 r 定值。 如 ˆ
a , a , , a ,
* 1 * 2 * n
• 力学量 O的狄拉克符号表示：
P(四章第四讲)狄拉克符号
ˆ (t ), H ˆ ˆ (t )] A 则 d A(t ) 1 [ A dt i t
(4)
上式称为Heisenberg方程。
3）狄拉克（Dirac）绘景与狄拉克方程 也称相互作用绘景（I绘景），他把哈密顿量 分解成两部分（比如：能精确求解的和含微扰的 哈密顿量；也称不含时的和含时的哈密顿量）
展开系数构成坐标矩阵
3、描述量子力学的波函数、算符和定律等在不同表象中虽具有 不同的矩阵形式，却可相互转换（幺正变换）
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。
1. 狄拉克(Dirac)符号 定义： 左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
ˆ (r )dr ( , A ˆ) A ˆ A (r )A
定义波函数演化算符：
ˆ (t , t ) (t ) (t ) U 0 0
分析： ˆ (t , t ) I （1） U 0 0
(1)
作用于 t0 时刻的态 (t0 ) 得到t时刻的态 (t )
ˆ (t , t ) (t ) (t ), U 0 0 0 0
（2）求它的具体形式 ˆ (t ) i (t ) H t ˆ ˆ ˆ (t , t ) (t ) i U (t , t0 ) (t0 ) HU 0 0 t
*量子力学到经典力学的过渡
在海森堡绘景中，只是算符随时间深化，现考察自由粒子的位 置算符随时间的演化
现令t0=0
d 1 1 iHt / 2 iHt / r (t ) [ r (t ), H ] e [ r , p / 2 m]e dt i i p iHt / p iHt / e e m m
狄拉克符号(Dirac)
狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。
问题：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间任何力学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的一个态矢，有∑=nn n u a ψ （1）n a 即为态矢ψ在基矢n u 上的分量，态矢ψ在所有基矢{}n u 上的分量{}n a 构成了态矢在{}n u 这个表象中的表示（矩阵）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= n a a a 21ψ () ,,,,**2*1n a a a =+ψ （2） 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是ψ的{}n u表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态矢A ψ与B ψ在同一表象{}n u 中的分量表示各为{}n a 与{}n b ，则两态矢内积的定义为()∑=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n B A b a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ （3）注意：A B B Aψψψψ++≠ 1.1.3狄拉克符号的引入态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间⇒伴随空间 引入符号>，称为右矢 [Ket 矢，Bra 矢（Bracket 括号><）]微观体系的一个量子态ψ用>ψ表示，>ψ的集合构成右矢空间，>ψ在右矢空间中的分量表示可记为矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=> n a a a 21ψ （4）约定：右矢空间的态矢 ,,,B A ψψψ一律用字母 ,,,>>>B A ψψψ表示力学量的本征态矢一律用量子数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表示 引入符号 <，称为左矢 微观体系的一个量子态ψ也可用ψ<表示，但在同一表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ （5）ψ<的集合构成左矢空间引入狄拉克符号后，任意两个态矢>>B A ,的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=<nn n n n b a b a b a A B ***11| （6）这里*||>>=<<B A A B >>λ|,|n 仍为抽象的本征矢1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱力学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征矢>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 0011| ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛>= 0102| …… ←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 010|n 第n 行 （7）（1）基矢具有正交归一性 mn n m δ>=<| （8） （2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ （9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=<nm mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性 把>=<ψ|n a n 代入>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以1||=<>∑n n n（11）称为基矢的封闭性 ※狄拉克符号运算中非常重要的关系式 1.2.2 连续谱当力学量本征值构成连续谱λ时，对应的基矢记为{}>λ|（1）正交归一性 )(|λλδλλ'->='< （12） （2）展开定理 ⎰'>'>=λλψλd a || （13） >=<ψλλ|a （14） （3）封闭性 1||=<>⎰λλλd （15）注意： >>>λ|,|,|nlm n 只表示某力学量抽象的本征矢，例如>'x |只表示本征值为x '的力学量x 的本征矢，而具体的基矢形式为：x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p-=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>=<n n ),,(|ϕθψr nlm x nlm >=< px ie p x2/1)2(1|π>=<1.3 态矢在基矢下的形式 1.3.1 离散谱基矢为{}>n |，态矢记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，用基矢展开><>>=⋅>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛><><><=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>=ψψψψ||2|1|21n a a a n （17） 相应的左矢 ∑><<=<nn n |||ψψ （18）()()><><><==<n a a a n |2|1||**2*1ψψψψ （19）1.3.2 连续谱⎰><>>=ψλλλψ|||d （20） 或 ⎰<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表示一个抽象的态矢，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄米算符的作用 1.4.1 离散谱（1）算符作用在基矢上∑∑>>=><>=∧∧nnnm n F m F n n m F ||||| （22）算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23） （2）算符作用在态矢上（算符方程）>>=∧ϕψ||F （24） 即有 >>=<<∧ϕψ|||n F n （25） 或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψϕ||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符方程，（25），（26）式是具体表象中的算符方程，><><ϕψ|,|n m 是算符作用前、后的态矢在{}>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。
7.4 Dirac符号
( 4 3 )
1 * 2 d p d p () p p ( pp )( p ) 2 m 1 * 2 d p () p p () p ( 4 4 ) 2 m
4. Schrödinger方程在不同表象中的表示
2 设粒子在势场V(x)中运动， H p/2 mVx () ,
( 1 )
若满足
0
则称
若满足 1 则称 若力学量完全集F的本征态(离散)记为 k 则其正交归一性可写为
与 正交。 为归一化态矢。
kj k j
( 2 )
对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为
x x ( x x )
而动量算符的本征态的正交归一性可写为
ˆ x xx x( x ( 实 ) ) ( 2 6 )
本征态的正交归一关系为
x x ( xx )
( 2 7 )
任一量子态
在x表象中表示为 x
通常记为
() x x
( x ) x x ( x x )
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浅谈对dirac 符号的认识1. 从牛顿---莱布尼兹积分谈起现代科学始于17世纪牛顿----莱布尼兹创立的微积分。
尤其是莱布尼兹发明了微分号d 和积分号⎰；大大简化了数学的表达方式，也节约了人们的脑力。
数学家黎曼曾说：“只有在微积分发明之后, 物理学才成为一门科学。
” 这以后，积分学有两个主要的发展方向，一个是复变函数的围道积分，另一个是实变函数的勒贝格积分；是牛顿---莱布尼兹积分推动了经典物理的发展。
量子力学是从经典力学“脱胎”而出的，它虽与经典力学大相庭径，却又是与之有着千丝万缕联系的一门科学。
由于量子力学中许多物理概念与经典力学的截然不同，因此量子力学需要有自己的符号，或是“语言”。
Dirac 符号法是量子力学的标准“语言”，自从上世纪初有了量子力学的萌芽，就有了对于其数学符号的需求，于是Dirac 的符号应运而生。
而牛顿－莱布尼兹发明微积分时并无Dirac 符号，该积分方法可否直接运用于对Dirac 符号进行呢？这个问题在量子力学建立后相当长的一段时间没有得到足够的重视。
符号是一门科学的“元胞”；是人们用以思考的“神经元”；是反映物理概念的数学记号；中国的汉字起源于甲骨文,它是古代劳动人们从生产实践中抽象出来的象形符号并通过组合而演变成的文字符号 (见图1殷商的甲骨文，图2是苏美尔的楔形文字的演化；图3和图4分别代表阿拉伯数字和拉丁字母的起源和演化,它们并没有像形的意义,只是符号而已). 由于思想是没有声音的语言，当人们在思考时，心目中的符号便在脑海这张无形无边的“纸”上写字，例如人们在心算时，就是在脑海里对阿拉伯数字符号做演算，因此一套好的记号可以使头脑摆脱不必要的约束和负担，使精神集中于专攻，这就在实际上大量增强了人们的脑力，使人们的思考容易引入深处和问题的症结；这正如音乐有五线谱和简谱两种记录方式，但前者比后者要直观，方便和科学得多，所以国际上都采用五线谱。
诚如海森堡（Heisenberg ）在1926年所说：“在量子论中出现的最大困难 是有关语言运用问题。
首先，我们在使用数学符号与用普通语言表达的概念相联系方面无先例可循；我们从一开始就知道的只是不能把日常的概念用到原子结构上”。
爱因斯坦（Einstein ）也十分重视物理学中符号的正确运用，他说：“任何写出的，讲过的词汇或语言在我思考的结构中似乎不起任何作用，作为思维元素存在的物质实体似乎是某些符号，和一些或明或暗的想象，这些想像被‘随心所欲’地再生和组合，…这些组合性的思维活动似乎是创造性思维的基本特征－这种思维活动产生于存在一种能用文字或其它符号与其他人交流的逻辑结构之前”。
正是Dirac奠定了量子力学的符号法，引入了右矢和左矢的记号，在此基础上又建立了表象及相应的变换理论，解决了量子力学的语言问题。
但如果仅仅把符号法理解为只是一种数学方法，那就实际上没有理解Dirac 在物理观念上对量子力学所作的革命性的贡献。
Dirac 说[1]：“关于新物理的书如果不是纯粹描述实验工作的，就必须从根本上是数学性的。
虽然如此，数学毕竟是工具，人们应当学会在自己的思想中能不参考数学形式而把握住物理概念。
” Dirac 的符号法更能深入事物的本质。
由他搭好的这个符号法框架，多年来，被认为是简明扼要而又深刻形象地反映了物理概念和物理规律。
例如：他把入态记为in ，经过仪器或相互作用（算符，用F ∧ 表示），而变为出态out ，这个过程形象地被记为out F in ∧。
诚然，初学者在开始接触Dirac 符号时，会感到抽象。
关于抽象，基本粒子物理学家盖尔曼（Gell—Mann）曾这样说过：“在我们的工作中，我们总是处于进退两难的窘境之中；我们可能会不够抽象，并错失了重要的物理学；我们也可能过于抽象，结果把我们模型中假设的目标变成了吞噬我们的真实的怪物。
”现在看来，Dirac并不是为我们抽象出了一个“怪物”，而是物理学中的“天使”。
正如阿拉伯数字符号0，1，2，…，9被发明后，需要引入相应的加、减、乘、除运算规则，而它们又是不断地被发展着，从平方、乘方、取对数 直到牛顿－莱布尼兹发明微分、积分。
因此，对量子力学符号也应发展相应的运算规则，特别是对连续态右矢和左矢所组成的投影算符的积分运算，从1930年Dirac的《量子力学原理》[2]问世以来，并没有受到人们的关注去真正实现这类积分，为什么如此呢？其两个主要的原因可能是：1)天才的Dirac所创造的这套符号比较抽象，人们不知道它是怎么被想出来的，也没能真正地、完全地理解它，以致于也提不出对连续态右矢和左矢所组成的投影算符实现积分的问题, 可谓曲高和寡。
2)一般认为Dirac深入研究过的课题别人也很难再有所作为。
尽管Dirac在该书中对符号法预言：“ 在将来当它变得更为人们所了解，而且它本身的数学得到发展时，它将更多地被人们所采用。
”但是从1930年到1980年的半个世纪中，我们没有看到一篇真正地、直接地发展Dirac符号法的文献，以致于人们慢慢遗忘了Dirac的这种期望。
作者之一范洪义在1967年前后自学《量子力学原理》一书时就意识到牛顿----莱布尼兹积分规则对由Dirac 符号组成的算符的积分存在困难，原因是这些算符包含着不可对易的成分，例如怎样完成积分/2?dq q q ∞-∞=⎰，其中q 是坐标本征态，/2q q 蕴含着不对易的算符成分。
当时正值“文化大革命”，正常的课堂教学和科研秩序被“革”掉了，所以他也无从向人请教。
但是范洪义总想应当发明一个办法去实现这类积分，因为这类积分包括大量的么正变换，也可用于表明各种表象的完备性；完成这类积分，人们就可以找到许多新的物理态与新的表象，从而推陈出新使量子力学有一个别开生面的发展。
换言之，他觉得必须要把对经典函数的牛顿－莱布尼兹积分理论推广到对于算符的积分，才能使符号法更完美更实用。
为了实现Dirac 生前的期望，范洪义与其他一些中国学者倾心奋斗二十余年，发明了有序（包括正规乘积、反正规乘积和Weyl 编序（或对称编序））算符（玻色型和费米型）内的积分技术，英文称之为the Technique of Integration of Within an Ordered Product (IWOP) of Operator [3 ~12]，达到了牛顿－莱布尼兹积分理论直捷可用于算符积分的目的。
一位外国同事曾说“只有在IWOP 技术发明之后，量子力学的数理基础才趋于完善”。
所以这位外国人在国际杂志上专门发表综述文章（Review ），介绍和赞扬这一方法，并称之为“范氏”方法。
在IWOP 技术的基础上，范洪义根据爱因斯坦等人的量子纠缠思想，不但创建了连续纠缠态表象，找到了大量的物理应用，而且革新和充实了量子光学的数理基础，明显地发展了相干态，压缩态，Wigner 函数和Husimi 函数，位相算符等理论。
可以说，如果一个人光知道Dirac 符号，而不知道有序算符内的积分技术，那么他就看不到Dirac 符号更深层次的美感与震撼力，也不能体会为什么Dirac 曾不止一次地讲到他一生中最喜欢的工作就是用符号法对量子力学所作的诠释，更不用说灵活运用Dirac 符号了。
了解IWOP 技术以后就可以对Dirac 符号知其然又知其所以然，极大地提高科研能力和对量子理论的鉴赏能力，要知道鉴赏本身也需要人们的创新思维。
我国当代文学家王蒙曾在一篇题为“符号的组合与思维的开拓”一文中指出[13]：“语言是一种符号，但符号本身有它相对的独立性与主动性。
思想内容的发展变化会带来语言符号的发展变化，当然，反过来说，哪怕仅仅从形式上制造新的符号或符号的新排列组合，也能给思想的开拓以启发”；他又说：“思想比较丰富的人语言才会丰富，思想比较深沉的人语言才会深沉，思路比较灵活的人语言才会灵活”；“反转过来，语言的灵活性、开拓性、想象力也可以促进思想的灵活、开拓，促进想象力的弘扬与经验的消化生发”。
这就解释了为什么是Dirac 而不是其他什么著名的物理学家发明了符号法，因为Dirac 不但有极高的数学天份，而且具有不说废话的魅力。
作者相信本书介绍的有序算符内的积分技术不但能成为Dirac 符号法的有机组成部分，而且可以使读者研究物理的灵活性、开拓性、想象力得到极大的提高。
一般认为数学、音乐和符号是提高人类智商的最有效训练，我们认为Dirac 的符号和莫扎特的音乐有异曲同工之妙。
当范洪义在国外讲学时，有的外国听众说：“如果Dirac 还健在，他会感谢范洪义发展了他的符号法。
”2. 问题的提出为了促进Dirac 符号的发展，我们必须找到原有理论的不完美和局限性，正确地提出有普遍意义的问题，才能另辟蹊径给以解决。
以下我们就四个方面置疑：1. 对Dirac 的抽象而深刻的q 数理论我们还有什么不理解的？2. 如何发展符号法本身的特殊数学，尤其是对符号的积分如何进行？3. 怎样找到符号法更多的物理应用？4. 怎样揭示与欣赏Dirac 符号法更深层次的美感？并努力把寓于Dirac 符号法中深层次的物理内涵与应用潜力揭示出来，在看似已臻完美的量子力学理论体系中开辟新的研究方向，进一步体现符号法的强大生命力和永恒的科学价值，验证Dirac 所说的“符号法正在开创某种将来可能永垂不朽的东西”。
为了解答以上问题, 让我们简单回顾一下诺贝尔奖得主Dirac 对非相对论量子力学的贡献.“符号法”的正规使用起始于Dirac 的名著《量子力学原理》[2]一书中，该书自1930年问世以来，在大半个多世纪中一直是该领域的一本基本的、权威的教科书。
在该书中，就非相对论量子力学内容而言，Dirac 总结了Heisenberg 的用矩阵表示力学量的做法和薛定谔（Schrodinger ）按照德波罗意（de Broglie ）思想在原子理论中引入态的概念，提出了自己独特的表述量子论的数学形式——符号法( Symbolic method )，使得量子论成为严密的理论体系。
正如Dirac 后来回忆道：“Heisenberg 和Schrodinger 给了我们两种形式的量子力学，马上就发现是等价的。
他们提供了两个图像，用一种确定的数学变换联系起来”；“符号法，用抽象的方式直接地处理有根本重要意义的一些量......”，“但是符号法看起来更能深入事物的本征，它可以使我们用简洁精练的方式表达物理规律“。
众所周知，天才的Dirac 引入了左矢、右矢的概念，简洁而深刻地反映了量子力学中力学量和态矢之间的关系；在他发明δ函数的同时，把非对易的量子变量称为q 数（对易的经典量称为c 数），发展出比矩阵力学更为抽象的、普遍的q 数理论，其中包括表象理论。
例如，坐标的量子力学量Q 是一个q 数，它的本征态是q ，坐标表象q 的正交为()''q q q q δ=-，完备性是1dq q q ∞-∞=⎰；以及不对易量q 数为基础的方程。