不等式课件

当且仅当－
x＝－4
，即 x
x＝－2
时等号成立．
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∴ f(x)＝ 2－ [－4 x＋ (－ x)]≤ 2－ 4＝－ 2，
∴ f(x)的最大值为－ 2.
(2)∵
x＞
0，∴f(x)＝x22＋x
＝ 2 ≤2＝ 1 x＋1x 2
1，
当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时取等号．
(3)xy＝2x＋y＋6≥2 2xy＋6，令 xy＝t2(t＞0)，
可得 t2－2 2t－6≥0，注意到 t＞0，解得 t≥3 2，故 xy 的最小
值为 18.
答案：(1)－2 (2)1 (3)18
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考点2 利用基本不等式解决实际问题 例2 围建一个面积为 360 m2 的矩形场地，要求矩形场地的
一 面利用 旧墙 (利用 的旧墙 需维修 )，其他三 面围墙 要新建 ，在 旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已 知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利用 的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单 位：元)． (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最 少总费用．
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∴y≤15，当且仅当 5x＝2－5x， 即 x＝15时，ymax＝15. (3)∵x>0，y>0，且 x＋y＝1， ∴8x＋2y ＝ (8x＋2y )(x＋ y)＝ 10＋8xy＋2yx
≥10＋2 8xy·2yx＝18，
当且仅当8y＝2x，即 xy
x＝23， y＝13时等 号成立，
来自百度文库
∴8＋2的最小值是 xy
第4课时 基本不等式
教材回顾夯实双基
基础梳理
1．基本不等式： ab≤a＋2 b
(1)基本 不等式成立的条件： __a_>_0_，__b_>_0__.
(2)等号 成立的条件：当且仅当 _a_＝__b__时取等号．
2．常用的几个重要不等式
(1)a2＋ b2≥ __2_a_b_(a， b∈ R)；
(2)ab__≤__(a＋ b)2 (a， b∈ R)； 2
何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当__x_＝__y_时，x＋y 有_最__小___
值是_2__p___.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当_x__＝__y_时，xy 有__最__大____
p2
值是___4__ (简记：和定积最大)
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考点探究讲练互动
考点突破
考点1 利用基本不等式求最值 例1 (1)已知 x＞1，求 f(x)＝x＋x－1 1的最小 值； (2)已知 0＜x＜2，求 y＝2x－5x2 的最大值；
5 (3)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．
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【解】 (1)∵x＞1，∴x－1＞0， ∴f(x)＝x＋x－1 1＝x－1＋x－1 1＋1
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【名师点评】 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细 阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量， 依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解． (2)求所列函数的最值，若用基本不等式时，等号取不到，可利 用函数单调性求解．
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a2 ＋ b2 (3)
_≥____(a＋ b)2 (a， b∈ R)；
2
2
(4)ba＋ab≥_2___(a，b 同号且不为零)．
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3．算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为___2___，几何平均数为 ab，
基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几
18.
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【题后感悟】 利用基本不等式求最值必须具备三个条件：一 正、二定、三相等 ．“一正”就是各项必须为正数．“ 二定” 就是要求和的最小 值，必须把构成和的二项之积转化成 定值； 要求积的最大值 ，则必须把构成积的因式的和 转化成定值．“三 相等”是利用基本 不等式求最值时，必须验证等号成立的条件， 若不能取等号，则 这个定值就不是所求的最值，这也是 最容易 出现错误的地方．
≥2 x－1·x－1 1＋1＝2＋1＝3.
当且仅当
x－
1＝x－1
，即 1
x＝2
时，等号成立 ．
∴f(x)的最小值为 3.
(2)y＝ 2x－ 5x2＝ x(2－ 5x)＝1·5x·(2－ 5x)． 5
∵ 0<x<25，∴ 5x<2,2－ 5x>0，
∴ 5x(2－ 5x)≤(5x＋ 2－ 5x)2 ＝ 1， 2
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跟踪训练
1．(1)已知 x<0，则 f(x)＝2＋4x＋x 的最大值为__________；
(2)当
x＞0
时，则
f(x)＝x22＋x
的最大值 1
为
__________；
(3)若正 实数 x， y 满足 2x＋ y＋ 6＝ xy，则 xy 的 最小值为
__________．
解析：(1)∵x<0，∴－x>0， ∴f(x)＝2＋4x＋x＝2－[－4x＋(－x)]． ∵－4x＋(－x)≥2 4＝4，
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【解】 (1)设矩形场地的另一边长为 a m， 则 y＝45x＋180(x－2)＋180×2a ＝ 225x＋ 360a－ 360. 由已知 xa＝360，得 a＝36x0，所以 y＝225x＋36x02－360(x>2)． (2)∵x>2，∴225x＋36x02≥2 225x×36x02＝10 800. ∴y＝225x＋36x02－360≥10 440， 当且仅当 225x＝36x02时，等号成立，即当 x＝24 m 时，修建围 墙的总费用最少，最少总费用是 10 440 元．