江苏省高二上学期数学期末考试试卷
江苏省南通市如东县2023-2024学年高二上学期期末学情检测数学试卷
江苏省南通市如东县2023-2024学年高二上学期期末学情
检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．n S 为数列{}n
a 的前n 项和，已知对任意的*n ÎN ，1
21++=+n n a a n ，下列说法正确
的是（ ）A ．2
3
S =B ．1
1
a =C ．8
36
S =D ．n
a n
=10．已知7名同学排成一排，下列说法正确的是（ ）
A ．甲不站两端，共有165
6
A A 种排法
B ．甲、乙必须相邻，共有525
2
A A 种排法
C ．甲、乙不相邻，共有255
5
A A 种排法
可得1
1
AC AB AD CC AB =++=uuuu v uuu v uuu v uuuu v uuu v 又AC AB 2bAD 3a cA A =++=uuuu v uuu v uuu v uuuv
（2）设直线AP 的方程为y =则()1
0,G k -，()20,H k -，设存在定点则2120TG TH t k k ×=+=uuu r uuu r ，所以当PQ 不垂直于x 轴时，设直线联立方程组()2y k x ì=+í，消去
【点睛】方法点睛：对于直线与圆化成关于横坐标或纵坐标有关的一。
2022-2023学年江苏省泰州市高二上学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省泰州市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）{21},{12}A x x B x x =-<≤=-<≤∣∣A B = A ．B ．C ．D ．(]1,1-(2,2]-(2,1]-(1,2]-【答案】A【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.【详解】集合，所以.{21},{12}A x x B x x =-<≤=-<≤∣∣(1,1]A B ⋂=-故选：A 2．复数，则（ ）1i1i z +=-3z =A ．B ．C ．-1D ．1i -i【答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用即可求出结果．2i 1=-【详解】解：，21i (1i)i 1i (1i)(1i)z ++===--+ ，33i i z ∴==-故选：A ．3．已知点，，若直线与直线垂直，则（ ）()1,0A ()3,1B AB 10x my -+=m =A ．B ．C ．D ．2-12-122【答案】B【分析】先求出直线的斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为即可求的值．AB 1-m 【详解】依题意可得直线的斜率为，AB 101312-=-因为直线与直线垂直，AB 10x my -+=且直线的斜率为，10x my -+=2-所以，解得．12m =-12m =-故选：B ．4．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，，，，，，{}:1n a 12358其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称 3121a a ==21n n n a a a ++=+为“斐波那契数列”若，则（ ）.()36912621m a a a a a =+++++m =A ．B ．C ．D ．126127128129【答案】C【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法2n n a a +=-1n a +求得，然后将的系数倍展开即可求解．21n n S a +=-()36912621a a a a +++++2【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，121a a ==由，得 ，所以，，，()*21n n n a a a n ++=+∈N 2n n a a +=-1n a +132a a a =-243a a a =-⋯2n n a a +=-，1n a +将这个式子左右两边分别相加可得：，所以.n 1221n n n S a a a a +=+++=-21n n S a ++=所以.()3691261234567891241251261261282111a a a a a a a a a a a a a a a a S a +++++=++++++++++++=+=故选：C ．5．已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）C y 2y x =±C AB ．CD2【答案】A【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的离心率.ab 【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，y 由于双曲线的渐近线方程为，2y x =±所以，即，2ab =12ba =所以c e a =====故选：A6．已知函数的导函数为，且，则（ ）()f x ()'f x ()2cos 6f x xf xπ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭6f π⎛⎫=⎪⎝⎭A ．B ．CD12-126π6π【答案】D【分析】将求导并代入即可得出，即可得到的具体解析式，再代入()f x 6x π=6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭()f x 即可得出答案.6x π=【详解】，()2cos 6f x xf xπ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭ ，()2sin 6f x f xπ⎛⎫''∴=- ⎪⎝⎭令，则，6x π=2sin666f f πππ⎛⎫⎛⎫''=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，162f π⎛⎫'=⎪⎭∴⎝则，()cos f x x x=+ cos 6666f ππππ⎛⎫=+= ⎪⎭⎝∴故选：D.7．已知等差数列中， 记，，则数列的前项和为（ ）{}n a 452a a +=11n n n a b a +=-*N n ∈{}n b 8A ．B ．C ．D ．04816【答案】C【分析】分离常数可得，设，当，时，可得，故21,1n n b a =+-21n n c a =-18n ≤≤*N n ∈90n n c c -+=可得数列的前项和．{}n b 8【详解】由等差数列性质得945n n a a a a -++＝11221,111n n n n n n a a b a a a +-+===+---设，当，时，21n n c a =-18n ≤≤*N n ∈()()()()94599992222220,111111n n n n n n n n n n a a a a c c a a a a a a -----+-+-+=+=⋅=⋅=------故1238b b b b ++++1281282221118111c c c a a a =++++++=++++---()()()()1827364588c c c c c c c c =++++++++=故选：C 8．已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，记，若()f x ()f x 'R ()1f x +()()g x f x '=是奇函数，则（ ）()g x ()10g =A ．B ．C ．D ．201-2-【答案】B 【分析】根据是奇函数，可得，两边求导推得，()1f x +()()11f x f x -+=-+()()2g x g x =-+，再结合题意可得4是函数的一个周期，且，进而可求解．()()20g g =()g x ()00g =【详解】因为 是奇函数，所以，()1f x +()()11f x f x -+=-+两边求导得 ，()()11f x f x ''--+=-+即，()()11f x f x ''-+=+又，()()g x f x '=所以，即，()()11g x g x -+=+()()2g x g x =-+令 ，可得 ，2x =()()20g g =因为是定义域为的奇函数，所以，即．()g x R ()00g =()20g =因为是奇函数，()g x 所以 ，又，()()g x g x -=-()()2g x g x =-+所以，则，，()()2g x g x -+=--()()2g x g x +=-()()()42g x g x g x +=-+=所以4是函数的一个周期，()g x 所以．()()1020g g ==故选：B ．二、多选题9．已知圆，点，，则（ ）:C ()()225516x y -+-=()4,0A ()0,2B A ．点在圆外B ．直线与圆相切A C 1x =C C ．直线与圆相切D ．圆与圆相离AB C 2249x y +=C 【答案】AB【分析】根据已知写出圆心、半径.代入点坐标，即可判断A 项；分别求出圆心到直线的距离，A 比较它们与半径的关系，即可判断B 、C 项；求出圆心距，根据与两圆半径的关系即可判OCOC断D 项.【详解】解：由题，圆的圆心坐标为，半径为，C ()5,5C 4r =对于A 项，因为，所以点在圆外，故A 正确；()()2245052616-+-=>A C 对于B 项，圆心到直线的距离为，故直线与圆相切，故B 项正确；1x =1514d r=-==1x =C 对于C 项，直线的方程为，整理得，则圆心到直线的距离为AB 142x y+=240x y +-=C AB，24d r >=所以直线与圆相离，故C 错误；AB C 对于D 项，圆的圆心坐标为，半径为，则圆心间的距离为2249x y +=()0,0O 7R ==因为，所以圆与圆相交，故D 错误.310R r R r -=<<=+2249x y +=C 故选：AB ．10．已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的{}n a n n S 7n =n S 0k S >正整数可能为（ ）k A ．B ．C ．D ．12131415【答案】BC 【分析】由题意可得，公差，且，，分别求出，讨论的10a >0d <70a >80a <131415S S S ，，78a a +符号即可求解．【详解】因为当且仅当时，取得最大值，7n =n S 所以，公差，且，．10a >0d <70a >80a <所以，，，()113137131302a a S a ⨯+==>()()11414781472a a S a a ⨯+==+()115158151502a a S a ⨯+==<故时，．15n ≥0n S <当时，，则满足的最大的正整数为；780a a +>140S >0k S >k 14当时，，则满足的最大的正整数为，780a a +≤140S ≤0k S >k 13故满足的最大的正整数可能为与．0k S >k 1314故选：BC ．11．已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，则（ ）2:4C y x =F ()00P x y ，C ()21A ，A ．当时，02x =3PF =B ．当时，在点处的切线方程为01y =C P 2210x y -+=C ．的最小值为PA PF+3D ．的最大值为PA PF-【答案】ACD 【分析】当时，求出判断A ；02x =PF 设切线与抛物线联立使求出切线方程判断B ；Δ0=利用抛物线的定义转化求解的最小值可判断C ；PA PF+根据三角形两边之差小于第三边判断D ．【详解】因为抛物线，所以准线的方程是.2:4C y x =l =1x -对于，当时，，此时，故A 正确;A 02x =24p =0||2132pPF x =+=+=对于B ，当时，，令切线方程为:，与联立得01y =014x =1(1)4m y x -=-24y x =2y -，4410my m +-=令，解得，即切线方程为:，即，故B 错2161640m m ∆=-+=12m =11(1)24y x -=-4210x y -+=误;对于C ，过点分别作准线的垂线，垂足为,P A l ,,Q B则，所以的最小值为故C 正确.||||||||||3PA PF PA PQ AB +=+≥=||||PA PF +3,对于D ，因为焦点，所以(1,0)F ||||||PA PF AF -≤==所以故D 正确.||||PA PF -故选：ACD12．已知 ，则（ ）22e e x yx y --<-A ．B ． ()ln 10x y ++<2()1e x yx y +++<C ．D ．sin sin x y x y +>--22cos cos x y y x ->-【答案】BC【分析】根据条件构造函数，求导，计算出x 与y 的关系，再根据函数的性质逐项分析.【详解】因为 ，即 ．22e e x y x y --<-()22e e x y x y --<--令 ，则有，()2e xf x x =-()()f x f y <-则 ，令，则，()'2e x f x x =-()2e xg x x =-()'2e xg x =-令 ，可得，()'2e 0x g x =-=ln2x =当时，，函数单调递增，()ln2x ∈-∞，()'0g x >()g x 当时，，函数单调递减，()ln2x ∈+∞，()'0g x <()g x 故，()()max ln22ln220g x g ==-<所以总有 ，故单调递减；所以，即；()'0f x <()f x x y >-0x y +>对于A ，，故A 错误；()ln 1ln10x y ++>=对于B ，设 ，则，()()2e 10x h x x x =-->()()''e 20x h x x f x =-=->故在上单调递增，所以，()h x ()0+∞，()()00h x h >=所以，因为，所以，故B 正确；()21e 0x x x +<>0x y +>()21ex yx y +++<对于C ，，即．sin sin x y x y +>--()()sin sin x x y y +>-+-设，则，()sin u x x x=+()()u x u y >-则，所以单调递增．()1cos 0u x x ='+≥()u x因为，所以，故C 正确；x y >-()()u x u y >-对于D ，，即，22cos cos x y y x ->-22cos cos x x y y +>+令，则，()2cos t x x x=+()()t x t y >因为，所以为偶函数，()()()()22cos cos t x x x x x t x -=-+-=+=()2cos t x x x=+所以即为．()()t x t y >()()t x t y >-则 ，令，则，所以单调递增．()'2sin t x x x=-()2sin m x x x =-()'2cos 0m x x =->()m x 又，()00m =所以当时，，，函数单调递减；()0x ∈-∞，()0m x <()'0t x <()t x 当时，，，函数单调递增，()0x ∈+∞，()0m x >()'0t x >()t x 当时，，故D 错误；0y x -<<()()t y t x ->故选：BC.三、填空题13．已知等比数列的公比不为，，且，，成等差数列，则__________．{}n a 111a =2a 4a 3a 5a =【答案】/0.0625116【分析】根据条件求出公比q ，再运用等比数列通项公式求出 .5a 【详解】根据题意得，， 且，32420a a a +-=2311120a q a q a q ∴+-=2320q q q +-=1q ≠解得，，；12q =-11a = 445111216a a q ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭故答案为： .11614．已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大()50A -，()50B ，P PA PB 1625-PAB 值为__________．【答案】20【分析】根据条件，运用斜率公式求出P 点的轨迹方程，再根据轨迹确定 面积的最大值.PAB 【详解】设，由题意可知，，()P m n ，2216552525PA PBn n n k k m m m ⋅=⋅==-+--整理得；()22152516m n m +=≠±得动点的轨迹为以，为长轴顶点的椭圆除去，两点，P A B (A B )显然当点位于上下顶点时面积取得最大值，P PAB 因为，，5a =4b =所以；()max 12202PAB S a b =⨯⨯= 故答案为：20.15．已知函数及其导函数的定义域均为，为奇函数，且则不等()f x ()f x 'R ()f x ()()0.f x f x '->式的解集为__________．()2320f x x -+>【答案】()1,2【分析】设，由导数法可得单调递减，可转化为()()x f x g x =e ()g x ()2320f x x -+>，根据单调性即可求解．()()2320g x x g -+>【详解】设，则，故单调递减．()()x f x g x =e ()()()0xf x f xg x e '-'=<()g x 因为为奇函数，定义域为，所以，故．()f x R ()00f =()()0000e f g ==可转化为，即．()2320f x x -+>()223232ex x f x x -+-+>()()2320g x x g -+>因为单调递减，所以，解得．()g x 2320x x -+<12x <<故答案为：．()1,216．已知实数，，，满足，，，则1x 2x 1y 2y 22114x y +=22229x y +=12120x x y y +=的最大值是___________．112249x y x y +-++-【答案】1313+【分析】由已知得分别在圆和圆上，利用数形结合法，将所求问题转化,A B 224x y +=229x y +=为两点到直线和倍，再利用三角函数求出其最大值即,A B 40x y +-=90x y +-=可．【详解】解：由，可知，22114x y +=22229x y +=点，分别在圆和圆上，()11,A x y ()22,B x y 224x y +=229x y +=如图，作直线，过作于，过A 作于，:l y x =-B BD l ⊥D AE l ⊥E而，1122|4||9|x y x y +-++-表示A 到直线的距离，40x y +-=1d表示到直线的距离，B 90x y +-=2d 因为与，平行，y x =-40x y +-=90x y +-=且与的距离为，y x =-40x y +-=3d与的距离为y x =-90x y +-=4d 要使的取最大值，则需在直线的左下角这一侧，112249x y x y +-++-,A B :l y x =-所以1||d AE =+2||d BD =由得，12120x x y y +=OA OB ⊥设，因为，所以，π,0,2DOB θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭OA OB ⊥π2AOE θ∠=-从而，π||||sin 3sin ,||||sin 2cos 2BD BO AE AO θθθθ⎛⎫=⋅==⋅-= ⎪⎝⎭故，()||||3sin 2cos BD AE θθθθθϕ⎫+=+=+⎪⎭其中，π20,,tan 23ϕϕ⎛⎫∈=⎪⎝⎭故当时，π2θϕ=-||||BD AE +从而，)1122124913x y x y d d +-++-=+=≤即．1122|4||9|x y x y +-++-13．13【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，再借助三角函数的性质求出最值.四、解答题17．已知中，．ABC )222sin sin sin 2sin sin cos A B C A BC +-=-(1)求；C (2)若，，求的面积．45A =2BC =ABC 【答案】(1)π6【分析】由正弦定理得，再由余弦定理得，可得()1)2222cos a b c abC +-=cos cos C C =；cos C =C 由正弦定理得，得出，再得出，由三角形面积公式可得的面积．()22sin45sin30BA= BA sin B ABC 【详解】（1）设，，对边长，，A B C a b c因为)222sin sin sin 2sin sin cos A B C A BC +-=由正弦定理，2sin sin sin a b cR A B C ===所以，)2222cos a b c abC +-=所以，222cos 2a b c Cab +-=即，cos cos C C =-所以，cos C =因为，()0,πC ∈所以；π6C =（2）中，，，，ABC 45A =2BC =30C =因为，sin sin BC BAA C =所以，2sin45sin30BA=所以，BA =因为，()sin sin sin45cos30cos45sin30B A C =+=+= 所以1sin 2ABC S BA BC B =⋅⋅122=⨯．=18．已知数列中，，当时，记，．{}n a 15a =2n ≥1221.nn n a a -=+-12n n n a b -=*n N ∈(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式{}n b {}n a ;(2)求数列的前项和．{}1n a -n n T 【答案】(1)证明见解析，()121n n a n =++(2)．12n n T n +=⋅【分析】（1）对递推公式变形，求出 的通项公式，再求出 的通项公式；{}n b {}n a （2）运用错位相减法求和.【详解】（1）因为且当时，，15a =2n ≥1221nn n a a -=+-所以当时，，2n ≥()11212nn n a a --=-+所以，因为，即，1111122n n nn a a ----=+12n n n a b -=11n n b b --=所以是以为首项，为公差的等差数列，{}n b 11122a b -==1所以，()121112n na n n -=+-⨯=+所以；()121n n a n =++（2）由知，()2()1()112n n a n -=+则…①…②，()12223212nn T n =⨯+⨯+++⨯ ()2312223212n n T n +=⨯+⨯+++⨯ ①-②得()12312222212n n n T n +-=⨯++++-+⨯ 所以；()()1141241212n n n -+-=+-+-()111442122n n n n T n n +++=-+-++=⋅综上，， .()121n n a n =++12n n T n += 19．已知函数．()()ln 1=1x x f x x +--(1)求函数的最大值；()f x (2)记，．若函数既有极大值，又有极小值，求()()()()21211g x x f x x a x =+++--+a ∈R ()g x 的取值范围．a 【答案】(1)2(2)()+∞【分析】（1）对函数求导，研究函数的单调性，从而可得函数的最值；（2）条件等价于方程在区间上有两个不相等的实数根，列关于()22430x a x a +-+-=()1,-+∞的不等式，求解即可．a 【详解】（1）由函数，则其定义域为，，()()ln 1=1x x f x x +--()1,∞+()()()2ln 1=1x f x x '---当时，；当时，，()1,2x ∈()0f x ¢>()2,x ∈+∞()0f x '<所以函数在区间上为增函数；在区间为减函数，()f x ()1,2()2,+∞所以；()()max 22f x f ==（2）由，()()()()()()221211ln 123g x x f x x a x x x a x =+++--+=++--+(1)x >-则，()()()224312211x a x a g x x a x x +-+-=+--='++因为既有极大值，又有极小值，()g x 即等价于方程在区间上有两个不相等的实数根，()22430x a x a +-+-=()1,-+∞即，解得()()()22430414Δ4830a a a a a ⎧--+->⎪-⎪>-⎨⎪⎪=--->⎩a >所以所求实数的取值范围是．a ()+∞20．设数列的前项积为，且．{}n a n nT22nn T =(1)求数列的通项公式{}n a ;(2)记区间内整数的个数为，数列的前项和为，求使得的最[]()*1,m m a a m N +∈m b {}m b m m S 2023m S >小正整数．m 【答案】(1)212n n a -=(2)5【分析】（1）根据与的关系，类比与的关系求通项即可；n T n a n S n a （2）根据定义求出的通项，再由公式法求和，最后解不等式即可.m b 【详解】（1）因为数列的前项积，{}n a n 22n n T =①当时，，1n =12a =当时，，2n ≥2(1)1212n n a a a --⋅=②除以得，①②212n n a -=又时，满足，1n =12a =212n na -=所以.212n n a -=（2）因为区间内整数的个数为，[]()*1,m m a a m N +∈m b 所以，212121221321m m m m b +--=-+=⋅+所以.()214324214m mm S m m -=⨯+=⨯+--由，得，即，2023m S >2422023m m ⨯+->242025m m ⨯+>当时，，4m =424451245162025⨯+=+=<当时，，5m =52452048520532025⨯+=+=>因为随的增大而增大，24mm ⨯+m 所以的最小整数为．2023m S >521．已知椭圆，，左、右顶点分2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F 别为，，上顶点为，的周长为点，异于两点且在上，直线，1A 2A B 12BF F △ 4.P Q 12,A A C 1A P ，的斜率分别为，，，且2A Q 2A P 1k 2k3k 123k k =(1)证明为定值13k k ;(2)求点到直线距离的最大值．B PQ 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用题意得到关于的等式，联立方程组即可求得，设，代入椭圆,,a b c ,,a b c ()11,P x y 方程可得到，然后利用两点斜率公式即可求证；221114x y +=（2）先推断出直线斜率必不为，设其方程为，与椭圆进行联立得到二次方PQ 0()2x ty n n =+≠±程，可得到代入即可算出答案12221222444tn y y t n y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()1223121212122y y kk x x ⋅-==--【详解】（1）设椭圆焦距为，2c 由题知，解得，222224c a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为，2214x y +=依题意，，设椭圆上任一点，则，()12,0A -()22,0A ()11,P x y 221114x y +=所以；21211113221111114·22444x y y y k k x x x x -⋅====-+---（2）设，若直线的斜率为，则，关于轴对称，必有，不合题意，()22,Q x y PQ 0P Q y 12k k =-所以直线斜率必不为，设其方程为，PQ 0()2x ty n n =+≠±与椭圆联立，整理得：，C 2244x y x ty n⎧+=⎨=+⎩()2224240t y tny n +++-=所以，且()221640t n ∆=+->12221222444tn y y t n y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由（1）知，即，123134k k k =-=23121k k ⋅=-即，即，()()121212122y y x x =---()()()121212121224y y ty n ty n t y y n =-⎡⎤++-+++⎣⎦即，()()122212121212(2)y y t y y t n y y n =-+-++-即，()()()()22212212224n t n t n n t +=-+-+-+所以，此时，1n =-()()2221641630t n t ∆=+-=+>故直线恒过轴上一定点，:1PQ x ty =-x ()1,0D -所以点到直线B PQ 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.22．已知函数，其中，()ln f x a x bx=-a .b R ∈(1)若，求函数的单调区间1a =()f x ;(2)若，函数有两个相异的零点，，求证：．1b =()f x 1x 2x 212e x x >【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）不妨令，用分析法对进行等价转化，最后可构造函数即可证明结论成立．120x x >>212e x x >【详解】（1）当时，，定义域为，1a =()ln f x x bx=-()0+∞，所以，，()11bx f x b x x -'=-=所以，时，在上恒成立，0b ≤()0f x '≥()0+∞，故在上单调递增，()f x ()0+∞，当时，令得，0b >()0f x '=1x b =所以，当时，，单调递增，11x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x ¢>()f x 时，，单调递减，1x b ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()'0f x <()f x 综上，时，在上单调递增，0b ≤()f x ()0+∞，时，在上单调递增，在上单调递减；0b >()f x 10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1b ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，（2）由题知，，1b =()ln f x a x x=-因为函数有两个相异零点，，且，()y f x =1x 2x ()11f =-所以且，，即，11x ≠21x ≠1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨-=⎩1122ln ln x a x x a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，方程有两个不相等的实数根，ln xa x =令，则，()ln x g x x =()2ln 1(ln )x g x x -'=故当时，，时，，()()011e x ∈⋃，，()0g x '<()e x ∈+∞，()0g x '>所以，在，上单调递减，在上单调递增，()g x ()01，()1e ，()e ，+∞因为，，，，()01x ∈，()0g x <()1x ∈+∞，()0g x >所以，要使方程有两个不相等的实数根，ln xa x =则，()e ea g >=不妨令，则，，120x x >>11ln a x x =22ln a x x =所以，()()1212121212ln ln ln ln ln a x x a x x x x a x x x x +==+-=-，要证，只需证，即证：，212ex x >12ln 2x x >1212ln 2x x x x a +=>因为，1212ln ln 1x x a x x -=-所以，只需证，()121211212122ln ln ln 2x x x x x x x x x x x x -++=>--只需证，即，1211221ln 21x x xx x x +>-1112221ln 21x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故令，121x t x =>故只需证，成立，()()1ln 21t t t +>-1t >令，，()()()1ln 21h t t t t =+--1t >则，()11ln 2ln 1+'=+-=+-t h t t t t t 令，()1ln 1g t t t =+-在恒成立，()221110t t t g t t '-=-=>()1+∞，所以，在上单调递增，()h t '()1+∞，因为，()10h '=所以在恒成立，()0h t '>()1+∞，所以，在上单调递增，()h t ()1+∞，所以，，即，()()10h t h >=()()1ln 21t t t +>-所以，成立．212e x x >【点睛】思路点睛：本题第二问令，用分析法对进行等价转化，最后可构造函数120x x >>212e x x >即可证明结，本题考查了函数的零点、应用导数研究函数的单调性、最值，对于恒成立问题往往转化为函数最值解决，属于难题．。
江苏省高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．在等比数列中，，公比，则（ ） {}n a 13a =2q =4a =A ．24 B ．48 C ．54 D ．66【答案】A【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出答案.【详解】．33413224a a q ==⨯=故选：A2．曲线处的切线与直线平行，则实数（ ） y =()1,1y kx =k =A ． B ．C ．D ．12-12-12【答案】C【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】时，，所以． y '=1x =12y ¢=12k =故选：C ．3．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则α()13,0,n λ= β()22,1,6n =αβ⊥λ=（ ）A ．B ．4C ．D ．1921-【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为，则可得，αβ⊥12n n ⊥且，， ()13,0,n λ= ()22,1,6n =则可得，解得 660λ+=1λ=-故选:C4．若直线与圆相切，则实数取值的集合为（ ）340x y m ++=2220x y y +-=mA ．B ．C ．D ．{}1,1-{}9,1-{}1{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到d r =结果.【详解】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，2220x y y +-=()2211x y +-=()0,11则圆心到直线的距离340x y m ++=d 因为直线与圆相切，340x y m ++=2220x y y +-=所以，解得或，d r =11m =9m =-即实数取值的集合为 m {}9,1-故选:B5．已知，则n ＝（ ）22A C 30n n +=A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】利用排列数、组合数公式得到，解方程即得解. ()31302n n -=【详解】解：，整理得， ()()()22131A C 13022n nn n n n n n --+=-+==2200n n --=解得（舍），． n =-45n =故选：C ．6．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是y ()y ()f x f x ==，的导函数y ()f x =A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D ．0x =【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图x 0x 象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单0x x 0x 调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．'()f x ()f x 7．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ()A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：=6，24C 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：种． 36363A ⨯=故选D.8．已知数列首项为2，且，则（ ）{}n a 112n n n a a ++-=n a =A ． B ． C ． D ．2n 121n -+22n -122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得，，则当时，有112n n n a a ++-=12a =2n ≥ ，12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==-- 经检验当时也符合该式．∴.1n =122n n a +=-故选：D二、多选题9．下列四个选项中，不正确的是（ ） A ．数列，的一个通项公式是 2345,,,3456⋯1n n a n =+B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列1-1-⋯1-1-⋯D ．数列，，是递增数列11,24⋯12n 【答案】ACD【分析】由可判断A ；由数列的通项公式以及可判断B ；由数列定义可判断C ； 11223a =≠N*n ∈由递减数列定义可判断D ． 【详解】对于A ，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A 错误；1n n a n =+11223a =≠对于B ，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B 正确； N*n ∈对于C ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C 错误；对于D ，数列，，是递减数列，故选项D 错误．11,24⋯12n 故选：ACD ．10．下列结论中正确的有（ ） A ．若，则B ．若，则 sin3y π=0y '=2()3(1)f x x f x =-'(1)3f '=C ．若，则D ．若，则y x =1y ='+sin cos y x x =+cos sin y x x +'=【答案】ABC【解析】根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可.【详解】选项A 中，若，故A 正确； sin3y π==0y '=选项B 中，若，则， 2()3(1)f x x f x =-⋅'()6(1)f x x f '-'=令，则，解得，故B 正确； 1x =(1)6(1)f f ''=-(1)3f '=选项C 中，若，则，故C 正确；y x =+1y ='+选项D 中，若，则x ，故D 错误． sin cos y x x =+cos sin y x x '=-故选:ABC【点睛】1.常见的基本初等函数的导数公式 (1) (C 为常数); ()0C '＝(2)； ()1()nn x nx n '∈N －＋＝(3); ； ()sinx cosx '＝()cosx sinx '＝-(4);，且)； ()xx e e '＝()(0x x a a lna a '>＝1a ≠(5)； ，且)． 1(ln )'=x x a a 1 (log )'=log e(a>0x x1a ≠2.常用的导数运算法则法则1： ． ()()()()[]u x v x u x v x ±''±'＝法则2：． ()()()()()()[]u x v x u x v x u x v x '''＝＋法则3： ()()()()()()()()22[](0)u x u x v x u x v x v x v x v x '''≠-＝11．已知名同学排成一排，下列说法正确的是（ ） 7A ．甲不站两端，共有种排法 1656A A B ．甲、乙必须相邻，共有种排法 5252A A C ．甲、乙不相邻，共有种排法2555A A D ．甲不排左端，乙不排右端，共有种排法7657652A A A -+【答案】AD【分析】A 选项通过特殊元素法判断；B 选项利用捆绑法判断；C 选项利用插空法判断；D 选项用总情况减去不满足的情况即可.【详解】A 选项：甲不站两端，甲有种，剩余6人全排，共有种排法，正确；15A 1656A A B 选项：甲、乙必须相邻，甲、乙捆绑有种，作为整体和剩余5人全排，共有种排法，错22A 2626A A 误；C 选项：甲、乙不相邻，先排其他5人有种，再把甲、乙插入6个空中，共有种排法，错55A 5256A A 误；D 选项：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排减去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同时乙在右端的，共有种排法，正确.7657652A A A -+故选：AD.12．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，OABC M OA 2OM MA =N G BC的中点，则用向量，，表示向量中正确的为（ ）MN OA OB OCA ．B ．111344GN OA OB OC =-++111344OG OA OB OC =-+C ． D ．113232GM OA OB OC =++111344GM OA OB OC =--【答案】AD【分析】连接，利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可. ON 【详解】连接，ON因为点，分别是线段，的中点，N G BC MN 所以，111211()222322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 化简可得，故B 错误；111344OG OA OB OC =++所以，故A 正确 1111111()()2344344GN ON OG OB OC OA OB OC OA OB OC =-=+-++=-++ ，故C 错误，D 正确；11121113443344GM GO OM OA OB OC OA OA OB OC =+=---+=--故选：.AD三、填空题13．已知，1，、，2，、，，，若向量与垂直为坐标原(2A 3)(4B -)x (1C x -2)OA OB + OC(O点），则等于__． x 【答案】4【分析】由向量垂直的坐标表示求解.【详解】，()()()2,1,3,4,2,,1,,2OA OB x OC x ==-=-，∴()2,3,3OA OB x +=-+向量与垂直，OA OB + OC，∴()·23260OA OB OC x x +=--++=．4x ∴=故答案为：4．四、双空题14．已知函数，则函数的单调递增区间是______，值域为______．()()212log 43f x x x =-+-【答案】[2,3)[0,)+∞【解析】令，求得函数的定义域，根据在其定义域内为单调减函2430t x x =-+->()12log f x t =数，求函数的单调递增区间转化为求函数在定义域内的减区间，再利用()()212log 43f x x x =-+-t 二次函数的值域求整个函数的值域.【详解】解：令，可得，故函数的定义域为. 2430t x x =-+->13x <<()1,3因为在其定义域内为单调减函数，()12log f x t =故求在定义域内的减区间，又函数在定义域内的减区间为，243t x x =-+-t [2,3)所以函数的单调递增区间为，()()212log 43f x x x =-+-[2,3)当时，，则，()1,3x ∈243(0,1]t x x =-+-∈()12log [0,)f x t =∈+∞即函数的值域为. ()()212log 43f x x x =-+-[0,)+∞故答案为：；.[2,3)[0,)+∞【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查.五、填空题15．求和：Sn ＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.1(12+11(1)24++1214181111(1)242n -+++⋯+【答案】2n ＋－2 112n -【分析】先化简数列，结合分组求和法即可求解． 1212k ka ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】被求和式的第k 项为：111111121211242212kk k k a -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++==- ⎪⎝⎭-所以Sn ＝2＝22111(1)(1(1)222n -+-+⋯+-231111(2222n n ⎡⎤-+++⋯+⎢⎥⎣⎦ 111111222212212212n n n n n n -⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦故答案为：2n ＋－2． 112n -16．如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能441种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）5【答案】260【分析】先分1，3相同与1，3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2，4相同或不同两类求解，然后再分类计数原理求和.【详解】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种， ()5411380⨯⨯⨯+=当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种， ()54312180⨯⨯⨯+=所以不同的种植方案共有种， 80180260+=故答案为：260【点睛】本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题.六、解答题17．已知等比数列的首项为2，前项和为，且. {}n a n n S 234230S S S -+=(1)求；n a(2)已知数列满足：，求数列的前项和. {}n b n n b na ={}n b n n T 【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由可得公比，再由等比数列的通项公式即可得到结234230S S S -+=q 果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为，{}n a q 因为，所以，234230S S S -+=()234320S S S S -+-=所以，所以，所以.342a a =2q =112n n n a a q -==（2）由（1）得，，所以，……①2nn b n =⨯212222n n T n =⨯+⨯++⨯ 所以，……②()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ①-②，得，()()21112122222212212n nn n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯-- 所以.()1122n n T n +=-⋅+18．已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为-.2222:1x y C a b-=()0,0a b >>4()-（1）求双曲线的标准方程;（2）已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，且的方程.1l C A B AB =l 【答案】（1）；（2）22148x y -=1y x =±【分析】（1）由双曲线的实轴长及焦点坐标，再由，，之间的关系求出，进而求出双曲线a b c b 的方程；（2）由题意设直线的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的AB ||AB 值，再由题意可得参数的值，即求出直线的方程．AB【详解】（1）由得，又，24a =2a =c =2228b c a =-=故双曲线的方程为．22148x y -=（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得，l y x m =+22280x mx m ---=设，，，，则，．1(A x 1)y 2(B x 2)y 122x x m +=2128x x m =--因为||AB ==， ==1m =±所以直线的方程为．l 1y x =±19．从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？ 【答案】24【分析】分步完成：第一步选3面旗帜，第二步3面旗帜全排列，由此可得．【详解】从4面不同颜色旗子中，选出3面排成一排能组成种信号．3343C A 24=20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm ）满足关系：，设为C x ()()4011035C x x x =≤≤+()f x 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式；()f x (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． ()f x 【答案】(1) 800()635f x x x =++()110x ≤≤(2)当隔热层修建5cm 厚时，总费用最小，最小值为70万元．【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式； （2）利用导数求得最小值．【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， 40()35C x x =+6x ．． ()()800206635f x C x x x x ∴=+=++()110x ≤≤（2），令得或（舍． ()()22400'635f x x =-+()0f x '=5x =253x =-)当时，，当时，．∴15x ≤<()0f x '<510x <≤()0f x '>在，上单调递减，在，上单调递增．()f x ∴[15)[510]当时，取得最小值（5）．∴5x =()f x f 70=当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．∴5cm21．三棱柱中，，，线段的中点为，且111ABC A B C -112AB AB AA AC ====120BAC ∠= 11A B M .BC AM⊥(1)求证：平面；AM ⊥ABC (2)点在线段上，且，求二面角的余弦值. P 11B C 11123B P B C =11P B A A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由、根据线面垂直的判定定理可得平面；AB AM ⊥BC AM ⊥AM ⊥ABC （2）以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，求出平面、A 、、AN AC AM x y z 、、11B AA 平面的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.1PB A 【详解】（1）三棱柱中，，111ABC A B C -11//AB A B 在中，，线段的中点为，所以，所以；11AB A △11AB AA =11A B M 11A B AM ⊥AB AM ⊥因为，平面，平面，，平面，所以BC AM ⊥BC ⊂ABC AB ⊂ABC AB BC B ⋂=AB BC ⊂、ABC 平面； AM ⊥ABC （2）做交于点，AN AC ⊥BC N 以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，A 、、AN AC AM x y z 、、则，，， ()0,0,0A )1,0B-112B -，.()0,2,0C (M 所以，，，112AB =-()BC =(AM = 因为，所以，111222,033B P B C BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭32P ⎛ ⎝所以，32AP ⎛= ⎝ 设平面的一个法向量，则， 11B AA ()1111,,n x y z =11111111020n AB y n AM ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩ 解得，令，所以， 10z=1y 11x =()1n = 设平面的一个法向量，则， 1PB A ()2222,,n x y z =222221222302102n AP y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩令，，所以， 2y =23x =21z =-()21n =- 设二面角的平面角为，则11P B A A --()0180θθ≤≤ ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==== 由图知二面角的平面角为锐角，11P B A A --所以二面角11P B A A --22．已知函数，．()()2e x f x x ax a =--R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x (2)当时，证明：．0a =()2(ln 2)f x x x >+【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出不等式，的解集作()f x ()f x '()0f x '<()0f x ¢>答.（2）将不等式等价变形，再分别证明和即可作答.e 1x x >+ln 1x x ≥+【详解】（1）依题意，，令，则或()()()()222e 2e x x f x x a x a x x a '⎡⎤=+--=+-⎣⎦()0f x '=2x =-.x a =当时，，则函数在上单调递增； 2a =-()()22e 0x f x x '+≥=()f x R 当时，当时，，当时，，2a >-()2,x a ∈-()0f x '<()(),2,x a ∈-∞-∞+ ()0f x ¢>于是得在，上单调递增，在上单调递减；()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -当时，当时，，当时，，2a <-(),2x a ∈-()0f x '<()(),2,x a ∞∞-∈-+ ()0f x ¢>因此函数在、上单调递增，在上单调递减，()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -所以当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；2a >-()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -当时，在上单调递增；2a =-()f x R 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.2a <-()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -（2）当时，，，，0a =()2e x f x x =0x >()222(ln 2)e (ln 2)e ln 2x x f x x x x x x x >+⇔>+⇔>+令，则，函数在上单调递增，()e 1,0x g x x x =-->()e 10x g x '=->()g x (0,)+∞，，即，(0,)∀∈+∞x ()(0)0g x g >=e 1x x >+令，，当时，，当时，， ()ln 1,0h x x x x =-->1()1h x x'=-01x <<()0h x '<1x >()0h x '>即函数在上单调递减，在上单调递增，，，即()h x (0,1)(1,)+∞(0,)∀∈+∞x ()(1)0h x h ≥=，ln 1x x ≥+于是得，而，因此，，e 1ln 2x x x >+≥+20x >22e (ln 2)x x x x >+所以成立.()2(ln 2)f x x x >+【点睛】关键点睛：利用导数探讨含参函数的单调性，求出导数后分类讨论解不等式是解决问题的关键.。
江苏省苏州市2023~2024学年高二上学期期末考试数学试卷及答案
苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学2024.1注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3～请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：10x ++=的倾斜角为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2214x y -=的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O 的对称点为B ，则AF BF -=（）A ．-B ．C ．4-D ．43．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b-C ．a b + ，a b - ，cD ．a b + ，a b c ++ ，c4．已知{}n a 是等比数列，若243a a a =，458a a =，则1a =（）A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：0mx y m +-=被圆M ：224210x y x y +--+=截得的最短弦的长度为（）A B ．2C ．D ．46．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面{}00P n P P α=⋅= ，其中点()01,2,3P ，法向量()1,1,1n =，则下列各点中不在平面α内的是（）A ．()3,2,1B ．()2,5,4-C ．()3,4,5-D ．()2,4,8-7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过()1,0A -，且与圆C ：()2219x y -+=相切，则圆心P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、1R 为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、2R 为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且1235R R =，3AB CD =，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：221x y m m +=-，则下列说法正确的有（）A ．若1m >，则C 是椭圆B ．若2m >，则C 是椭圆C ．若0m <，则C 是双曲线D ．若1m <，则C 是双曲线10．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a pa q +=+（p ，q ∈R ，*n ∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的有（）A ．若1p =-，3q =，则102a =B ．若1p =-，3q =，则1030S =C ．若2p =，1q =，则101024a =D ．若2p =，1q =，则102036S =11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =，则A ．1A E BD ⊥B ．1A E ⊥平面11BDD BC ．1BD =D ．直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，T 是C 的准线与x 轴的交点．若124k k =-，则（）A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在1k ，2k ，使得52AB =C ．AOB △面积的最小值为34D ．AF AT BFBT=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知荾形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程：______．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2A ，记抛物线C ：24y x =上的动点P 到准线的距离为d ，则d PA -的最大值为______．15．已如圆台的高为2，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆2O 的半径为4，A ，B 两点分别在圆1O 、圆2O 上，若向量1O A 与向量2O B的夹角为60°，则直线AB 与直线12O O 所成角的大小为______．16．函数[]y x =被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如：[]11-=-，[]4.24=．已知数列{}n a 的通项公式为()2log 21n a n =+⎡⎤⎣⎦，设{}n a 的前n 项和为n S ，则使得300n S ≤的最大正整数n 的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程；（2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()4211n n S n a =++（*n ∈N ）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF BE =，11B F C E ⊥．（1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥1A AEF -的体积最大时，求平面1A EF 与平面11ACC A 夹角的余弦值20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为（1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，11cos πn n a a n +=++（*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 及{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22b =且2121k k b a --=，2223k k b b +=（*k ∈N ），记{}n b 的前n 项和为n S ，试求所有的正整数m ，使得2212m m S S -=成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：222212x y a a -=+的右焦点为()2,0F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以12A A 为直径的圆为圆O ．（1）当l 与圆O 相切时，求DE ；（2）求证：直线AQ 与直线2A P 的交点S 在圆O 内．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 【解析】35πtan 36k αα==-⇒=，选A 2．【答案】D【解析】由双曲线的定义知24AF BF a -==，选D 3．【答案】C【解析】对于A ，()()12b bc b c ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向是b c + ，b ，b c - 共面对于B ，()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向量a ，a b + ，a b -共面对于D ，()()c a b c a b =++-+，所以三个向量a b + ，a b c ++ ，c 共面对于C ，若()()c x a b y a b =++- ，不存在实数x ，y 使得等式成立，所以a b + ，a b - ，c不共面选C4．【答案】A【解析】由224333a a a a a =⇒=，所以30a >，则31a =，由233453888a a a q q =⇒=⇒=，所以2q =所以31214a a q ==，选A 5．【答案】C【解析】直线l ：0mx y m +-=过定点()1,0A ，圆M ：()()22214x y -+-=，圆心()2,1M ，半径2R =因为点()1,0A 在圆M 内，由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时，弦长最短为==，选C6．【答案】B【解析】对于B ，若点()2,5,4P -，则()03,3,1P P =-，则033110n P P ⋅=-++=≠ ，所以点()2,5,4-不在平面a 内，选B 7．【答案】B【解析】因为点A 在圆C 内，所以圆P 内切与圆C ，由两圆内切的关系可知，3C P PC r r AP =-=-从而32AP PC AC +=>=，所以点P 轨迹是以AC 为焦点的椭圆8．【答案】A【解析】法1：不妨设13R =，25R =，CD m =，则3AB m =，253MB R AB m =-=-，132OM R MB m =-=-所以21324151MD R OM OC CD m R m m m ==++=-++=+=⇒=所以13a c OC R -===①，212329a AC MA OM OC R m R ==++=+-+=②联立①②解得92a =，32c =，所以椭圆离心率1e 3c a ==选A法2：13R =，25R =，设轨道Ⅱ得长轴和焦距分别为2a 和2c25AM DM R ===，3OB OC ==则()2AB AM MB AM OB OM OM=-=--=+()2CD MD MC MD OC OM OM=-=-+=-3AB CD =，得：1OM =则6OA OM AM a c =+==+，3OC a c==-()2a c a c +=-，得：3a c =，故1e 3=，选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC 10．【答案】AD【解析】若1p =-，3q =，则13n n a a ++=，213n n a a +++=，两式相减可得2n n a a +=，所以{}n a 为周期2的周期数列11a =，22a =，则1022a a ==，A 正确；()101255315S a a =+=⨯=，B 错误若2p =，1q =，则()1121121n n n n a a a a ++=+⇒+=+，因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，则21n n a =-，所以1010211023a =-=，C 错误()10111021210212203612S -=-=-=-，D 正确故选AD11．【答案】ACD【解析】易知11A AB A AD ≌△△，所以11A D A B =，设AC BD O = ，O 为BD 中点，则1AO BD ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11A ACC ，1A E ⊂平面11A ACC ，所以1A E BD ⊥，A正确；对于B ，因为1123A E AA AB AD =-++，所以211111112221110333223A E AA AA AB AD AA AA AB AA AD AA ⎛⎫⋅=-++⋅-+⋅+⋅=-++=≠ ⎪⎝⎭，所以1A E 与1AA 不垂直，即1A E 与1BB不垂直所以1A E 与平面11BDD B 不垂直，B 错误对于C ，11111BD BA AA A D AB AA AD =++=-++，所以()()()2222211111222BD AB AA AD ABAA ADAB AA AB AD AA AD=-++=++-⋅-⋅+⋅111132222222BD =-⨯-⨯+⨯=⇒=C 正确对于D ，选项A 中已经证明BD ⊥平面11A ACC ，所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角即为直线1BD 与BD 所成角的余角，BD AD AB =-，而1BD = ，()()111BD BD AD AB AB AA AD ⋅=-⋅-++=所以111cos ,2BD BD BD BD BD BD ⋅==⋅，所以直线1BD 与BD 所成角为π4所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π4，D 正确故选ACD法2：{}1,,AB AD AA为空间基底来解决问题由题意知：1112AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=1111111233A E AE AA AC CE AA AB AD AA AA AB AD AA =-=+-=++-=+- DB AB AD =-，则：2211122033A E DB AB AD AA AB AA AD ⋅=--⋅+⋅= 2111111121033A E BB A E AA AB AA AD AA AA ⋅=⋅=⋅+⋅-=≠ 故A 正确，B 错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，则：1BD == ，C 正确；显然有BD AC ⊥，且1BD =又()11110BD AA AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅= 故1BD AA ⊥，从而易得：BD是平面11ACC A 的一个法向量()()1111111112222BD BD AD AA AB AD AB ⋅=+-⋅-=--= 设1BD 与平面11ACC A 所成角为θ，则1sin cos ,BD BD θ== ，D 正确；因此，选ACD ．12．【答案】ABD【解析】()11,A x y ，()22,B x y ，则1212121244y y k k x x y y ===-得：2121y y p =-=-，故直线AB 过焦点F ，选项AD 正确22AB p ≥=，故选项B 正确；设直线AB 的倾斜角为θ，则2112sin 2sin 2AOBp S θθ==≥△，选项C 错误；（或注意到当AB 为通径时，213224AOB p S ==<△，故选项C 错误）因此，选ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】2214x y +=（答案不唯一）14．【答案】5【解析】由抛物线的定义知，d PF =，所以()()2221205d PA PF PA AF -=-≤=-+-=当点P 位于射线AF 与抛物线交点时，取最大值515．【答案】3π【解析】法1：AB 在12O O 上的投影向量为12O O ，故212124AB O O O O ⋅== ()221122124416216AB AO O O O BO A O B =++=++-⋅=设直线AB 与直线12O O 所成角为θ，则12121cos 2AB O O AB O O θ⋅== ，即3πθ=法2：如图，12O A O C ∥，则260BO C ︒∠=，2BO C △为等边三角形，点A 在圆2O 上的射影为D ，则D 为2O C 中点，所以224223BD =-=，2AD =，在Rt ADB △中tan 3BDBAD AD∠==，则π3BAD ∠=即AB 与12O O 所成角为π3法3：以2O 为原点建系，()10,0,2O ，()0,2,2A ，()23,2,0B 故12121241cos ,242AB O O AB O O AB O O ⋅===⨯，即所成角为π3．16．【答案】59【解析】12k a k -=，()122log 211k k a k +⎡⎤=+=+⎣⎦故122k k n -≤<时，n a k =，共11222k k k ---=项其和为()()1121222k k k k k k --⋅=-⋅--⋅()()()()1021121021212021222121k k k k S k k k --=⋅--⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅--⋅=-⋅+6321321300k S S -==>又3263n ≤<时，6n a =，故60303S =，59297S =因此，所求正整数n 的最大值为59.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）因为E 为BD 中点，()2,0B ，()0,1D ，所以11,2E ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥，由()1,1A --，()2,0B ，得13AB k =，所以13CD AB k k ==．由l CD ⊥知直线l 的斜率为3-，所以直线l 的方程为()1312y x -=--，即所求直线l 的方程为6270x y +-=．（2）因为四边形ABCD 为平行四边形，且()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ，设(),C m n ，由BC AD = 得212,m n -=⎧⎨=⎩解得()3,2C ，又由1BD BC k k ⋅=-得BC BD ⊥，且BC =，所以点C 为圆心，与直线BD 相切的圆的标准方程为()()22325x y -+-=．18．【解析】（1）令1n =得11a =因为()4211n n S n a =++（*n ∈N ），所以()114211n n S n a --=-+（2n ≥，*n ∈N ），两式相减得()()142121n n n a n a n a -=+--（2n ≥，*n ∈N ），即()()12321n n n a n a --=-．所以12123n n a n a n --=-（2n ≥，*n ∈N ），所以3212135211323n n a a a n a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-，即121n a n a =-，所以21n a n =-（2n ≥，*n ∈N ），又11a =，所以21n a n =-（*n ∈N ）．（2）由（1）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111121335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19．【解析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，因为90BAC ∠=︒，所以AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系（如图），设1AA a =（0a >），AF BE λ==（02λ<<）又2AB AC ==，所以可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()10,0,A a ，()12,0,B a ，()10,2,C a ，()2,0,0E λ-，()0,,0F λ，所以()12,,B F a λ=-- ，()12,2,C E a λ=---，因为11B F C E ⊥，所以110B F C E ⋅= ，所以22420a λλ--+=，所以2a =，即该直三棱柱的高为2．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AA ⊥平面AEF ，又90BAC ∠=︒，由（1）知12AA =，AE BE λ==（02λ<<），所以()111112333A AEF AEF V S AA λλ-=⋅=⋅-≤△，当且仅当1λ=时取“＝”即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥1A AEF -的体积最大．此时()1,0,0E ，()0,1,0F ，()10,0,2A ，所以()11,0,2A E =- ，()10,1,2A F =-，设()1,,n x y z =是平面1A EF 的一个法向量，则11110,0,A E n A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1z =，得()12,2,1n = ，又平面11ACC A 的一个法向量为()21,0,0n =，所以12121222cos ,313n n n n n n ⋅===⨯⋅，因为平面1A EF 与平面11ACC A 的夹角θ为锐角，所以2cos 3θ=．20．【解折】（1）由题意2c =c ==，又因为2a b =，所以4a =，2b =，所以C 的标准方程为221164x y +=．（2）设直线l ：12y x m =+（0m ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，()33,P x y ．将12y x m =+代入C ：221164x y +=中，化简整理得222280x mx m ++-=，于是有2122123240,2,28,m x x m x x m ⎧∆=->⎪+=-⎨⎪=-⎩所以12AB x =-===因为点O 关于l 的对称点为P ，所以333302,0001,222y x y x m -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩解得334,58.5x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即48,55P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为P 在C 上，所以2248551164m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得22517m =．又因为点O 到直线l的距离d ==，所以由对称性得2OAB OAPB S S AB d ==⋅=四边形△22==第二问法2：设l：12y x m=+，OP：2y x=-，则(),2P x x-，0x≠=，0x≠，解得45mx=-，则48,55m mP⎛⎫- ⎪⎝⎭代入C：221612525m m+=，得：22517m=，则5OP==22222222804160y x mx mx mx y=+⎧⇒++-=⎨+-=⎩A Bx x-==A BAB x=-=故110111217S AB OP=⋅=．21．【解析】（1）将2,3n=代入11cosπn na a n+=++，得21a=，33a=，令2,21n k k=-，得2122k ka a+=+，221k ka a-=，所以21212k ka a+-=+，又11a=，从而()2112121ka k k-=+-=-，所以22121k ka a k-==-，从而,,1,.nn nan n⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（2）由212121k kb a k--==-，又22b=，2223k kb b+=，所以{}2k b是以2为首项、3为公比的等比数列，所以1223kkb-=⋅，所以()()*1*2,21,23,2,nnn n k kbn k k-⎧=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩NN因为2212m mS S-=，所以221m mb S-=．因为()()21122113212422m m m mS b b b b b b b b b----=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11223112131231mmm mm---+-=+=+--，所以1122331m m m--⋅=+-，即1231m m-=-当1m=时，1231m m-=-无解；当1m >时，因为()22211112230333mm mm m m m -+---++-=<，所以当且仅当2m =时，2113m m --取最大值1，即1231m m -=-的解为2m =．综上所述，满足题意的m 的值为2．第2问法2：（2）212121k k b a k --==-，2223k k b b +=，22b =，则2223k kb b +=故{}2n b 是首项为2，公比为3的等比数列，则1122323n n n b b --=⋅=⋅()()21321242m m m S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()222133113m m m m ⋅-=+=+--2212m m S S -=，即()2222m m m S S b =-，即222m mS b =213143m m m -+-=⋅，即1231m m -=-令()2113n n f n --=，则()()2221212231333nn nn n n n n f n f n -+--+++-=-=1n =时，()()10f n f n +->，即()()12f f <2n ≥时，()()10f n f n +-<，即()()()234f f f >>>⋅⋅⋅()10f =，2n ≥时，()()21f n f <=故满足方程1231m m -=-的正整数m 只有2即使得2212m m S S -=成立的正整数m 为222．【解析】（1）因为()2,0F ，所以()2224a a ++=．所以21a =，所以圆O 的半径1r =．由题意知l 的斜率存在，设l ：()2y k x =-（0k ≠）．当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d r =，1=，解得33k =±由()222,0,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22223440k x k x k --+=，即2210x x +-=，解得1D x =-，12E x =，所以D E DE x =-=（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由()222,1,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()222234430k x k x k --++=，此时0k ≠，0∆>，21224303k x x k +=<-，解得203k <<，且21222212224124,3343154,33k x x k k k x x k k ⎧+==+⎪⎪--⎨+⎪==+⎪--⎩所以()1212514x x x x =+-，因为()11,0A -，()21,0A ，所以1AQ ：()2211y y x x =++，2A P ：()1111yy x x =--，联立1AQ ，2A P 方程，消去y 得()()()()()()2121121212121221112221111222x y k x x x x x x x x x y k x x x x x x ++-+--+===------+．所以()()121212121212211221125931223224443531221221444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+----+--===---++---+-++，即131x x +=--，所以12x =．将12x =代入2A P 方程得()1121y y x -=-，即()111,221y S x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭．因为11x <-，所以()()()()()2211121111313132310,214141441x x y x x x x -⎛⎫+⎡⎤-⎛⎫===+∈ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪---⎝⎭-⎣⎦⎝⎭所以()221111221y x ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即直线1AQ ，2A P 的交点S 在圆O 内．法2：（1）2224a a ++=，得：21a =，故C ：2213y x -=()2,0F ，圆O 半径为1，设l ：2x my =+1=，得：23m =()22222311212003x my m y my y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩231D E y y m -=-，则243331D E DE y m =-==-；（2）证：设l ：2x my =+，33,,33m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11,P x y ，()22,Q x y ()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩1221231m y y m -+=-，122931y y m =-，显然有()121234my y y y =-+()1212211212222y y x y x y my y y y ++=++=，21121222x y x y y y -=-()()()2212122112122112121211211311:1221321:11212A P y y y x y x y y y A Q y x x x x y x y y y y y y y A P y x y k x x ⎧⎧-⎪⎪++-=+===⎪⎪+⎪-++-⇒⎨⎨⎪⎪=-=-=-⎪⎪--⎪⎩⎩即211,22A P S k ⎛⎫-⎪⎝⎭，双曲线的渐近线斜率为2A P k <所以1OS =<，因此，点S 在圆O 内。
江苏省高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
南通市海安县如东县2022-2023学年度第一学期高二数学期末试卷解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则( ) A ={x |‒2<x ≤1}B ={x |‒1<x ≤2}A ∩B =A. B. C. D. (‒1,1](‒2,2](‒2,1](‒1,2]【答案】A 【解析】【分析】本题考查交集及其运算，是基础题． 直接由交集运算得答案． 【解答】解：集合，， A ={x |‒2<x ≤1}B ={x |‒1<x ≤2}所以．A ∩B =(‒1,1]2. 已知复数，则( ) z =1+i1‒i z 3=A. B. C. D.1‒1i ‒i 【答案】D【解析】 【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用即可求出结果． i 2=‒1【解答】解：， ∵z =1+i 1‒i =(1+i )2(1‒i)(1+i)=i ， ∴z 3=i 3=‒i 故选：．D3. 已知点，，若直线与直线垂直，则( )A (1,0)B (3,1)AB x ‒my +1=0m =A. B. C. D. ‒2‒12122【答案】B【解析】 【分析】本题考查了两直线垂直与斜率的关系，考查了过两点的斜率公式，属于基础题． 求出直线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为即可求的值． AB ‒1m 【解答】解：直线的斜率为， AB 1‒03‒1=12因为直线与直线垂直， AB x ‒my +1=0所以直线的斜率为．x ‒my +1=0‒2所以，解得．1m =‒2m =‒124. 数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，，，，，{a n }: 112358，其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，⋯3a 1=a 2=1a n +2=a n +1+a n 这样的数列称为“斐波那契数列”若，则( ) .a m =2(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+1m =A. B. C. D. 126127128129【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查数列递推关系在解题中的应用，考查阅读能力和分析解决问题的能力，属于中档题．根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法a n =a n +2‒a n +1求得，然后将的系数倍展开即可求解． S n =a n +2‒12(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+12【解答】解：由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，a 1=a 2=1由，得 ，所以，，a n +2=a n +1+a n (n ∈N ∗)a n =a n +2‒a n +1a 1=a 3‒a 2a 2=a 4‒a 3a 3，， ，将这个式子左右两边分别相加可得：=a 5‒a 4…a n =a n +2‒a n +1n ，所以 S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+⋯+a n =a n +2‒1S n +1=a n +2所以2(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+1=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+⋯a 124+， a 125+a 126+1=S 126+1=a 128故选C ．5. 已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为( )C y y =±2x C A.B. C. D.52235【答案】A【解析】 【分析】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．由焦点在轴上，渐近线方程为可得，从而求得离心率的值． y y =±2x ab =2【解答】解：由题意可得，即，ab =2b =12a 所以． c a =a 2+b 2a 2=a2+a 24a 2=54=526. 已知函数的导函数为，且，则( ) f (x )f '(x )f (x )=2xf '(π6)+cos x f (π6)=A.B.C.D.‒12123‒π63+π6【答案】D【解析】 【分析】本题考查了导数的运算，属于基础题． 求导，代入，可得，从而可求 x =π6f '(π6)=12f (π6).【解答】解：， ∵f (x )=2xf '(π6)+cosx ，∴f '(x )=2f '(π6)‒sinx 令，则，x =π6f '(π6)=2f '(π6)‒sin π6即， f '(π6)=12则，．f (x )=x +cosx 7. 已知等差数列中，记，，则数列的前项和为( ){a n }a 4+a 5=2.b n =a n +1a n‒1n ∈N ∗{b n }8A. B. C. D. 04816【答案】C【解析】 【分析】本题考查了等差数列的性质与分组求和法，属于中档题． 分离常数可得，设，当时，可得，b n =1+2a n ‒1c n =2a n‒1c n +c 9‒n =0故可得数列的前项和． {b n }8【解答】解：，b n =a n +1a n ‒1=a n ‒1+2a n ‒1=1+2a n ‒1设，c n =2a n‒1当时，c n +c 9‒n =2a n ‒1+2a 9‒n ‒1=2·a n +a 9‒n ‒2(a n ‒1)(a 9‒n ‒1)，=2·a 4+a 5‒2(a n ‒1)(a 9‒n ‒1)=0故 b 1+b 2+b 3+⋯+b 8=1+2a 1‒1+1+2a 2‒1+⋯+1+2a 8‒1=8+c 1+c 2+⋯+c 8．=8+(c 1+c 8)+(c 2+c 7)+(c 3+c 6)+(c 4+c 5)=88. 已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，记，f (x )f '(x )R f (x +1)g (x )=f '(x )若是奇函数，则( ) g (x )g (10)=A. B. C. D.20‒1‒2【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．根据 是奇函数，可得 ，两边求导推得，f (x +1)f (‒x +1)=‒f (x +1)g (x )=g (‒x +2)，再结合题意可得是函数的一个周期，且，进而可求解． g (2)=g (0)4g (x )g (0)=0【解答】解：因为 是奇函数，所以 ， f (x +1)f (‒x +1)=‒f (x +1)两边求导得 ， ‒f '(‒x +1)=‒f '(x +1)即， f '(‒x +1)=f '(x +1)又，g (x )=f '(x )所以 ，即， g (‒x +1)=g (x +1)g (x )=g (‒x +2)令 可得 ，x =2g (2)=g (0)因为是定义域为的奇函数，所以， g (x )R g (0)=0即．g (2)=0因为是奇函数，g (x )所以 ，又， g (‒x )=‒g (x )g (x )=g (‒x +2)所以， g (‒x +2)=‒g (‒x )则，g (x +2)=‒g (x )， g (x +4)=‒g (x +2)=g (x )所以是函数的一个周期， 4g (x )所以． g (10)=g (2)=0故选B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知平面α的一个法向量()13,0,n λ=，平面β的一个法向量()22,1,6n =，若αβ⊥，则λ=（ ） A ．92B ．4C ．1-D ．1【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为αβ⊥，则可得12n n ⊥， 且()13,0,n λ=，()22,1,6n =， 则可得660λ+=，解得1λ=- 故选:C2．若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（ ） A ．52B ．3C ．5D ．152【答案】C【分析】根据题意，设中间的边为a ，由等差数列的定义，结合勾股定理即可得到a 的值，从而得到结果.【详解】由题意设中间的边为a ，则三边依次为2,,2-+a a a 由勾股定理可得()()22222a a a +=-+，解得8a =或0a =（舍） 即斜边为210a +=，所以外接圆的半径为1052= 故选:C3．已知P 为双曲线22:133x y C -=与抛物线22y x =的交点，则P 点的横坐标为（ ）A ．3B ．2CD ．1-【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.【详解】依题意，220x y =≥，则由22223y x x y ⎧=⎨-=⎩解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以P 点的横坐标为3.故选：A4．若直线340x y m ++=与圆2220x y y +-=相切，则实数m 取值的集合为（ ） A ．{}1,1- B ．{}9,1- C ．{}1 D ．{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得d r =，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由圆2220x y y +-=可得()2211x y +-=，表示圆心为()0,1，半径为1的圆，则圆心到直线340x y m ++=的距离d =因为直线340x y m ++=与圆2220x y y +-=相切，所以d r =1=，解得1m =或9m =-，即实数m 取值的集合为{}9,1- 故选:B5．已知数列{}n a 首项为2，且112n n n a a ++-=，则n a =（ ） A ．2n B ．121n -+ C ．22n - D ．122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得112n n n a a ++-=，12a =，则当2n ≥时，有12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++，()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==--经检验当1n =时也符合该式．∴122n n a +=-.故选：D6．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，CA CB =，P 为1A B 的中点，Q 为棱1CC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．1PQ AB ⊥ B ．AC //平面1A BQ C ．1PQ CC ⊥D ．PQ //平面ABC【答案】B【分析】A 选项可以利用三线合一证明垂直关系，B 选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C 选项先通过类似A 选项的证明得到线线垂直，结合AC 的结论得到线面垂直后判断，D 选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明， 【详解】不妨设棱柱的高为2h ，AC CB x ==.B 选项，根据棱柱性质，11AC //AC ，而11A C ⋂平面11A BQ A =，若AC //平面1A BQ ，无论怎样平移直线AC ，都不会和平面1A BQ 只有一个交点，于是得到矛盾，故B 选项错误；A 选项，计算可得，221QA QB x h ==+P 为1A B 的中点，故1PQ A B ⊥（三线合一），A 选项正确；C 选项，连接11,,QB QA AB ，根据平行四边形性质，1AB 过P ，计算可得，221QA QB x h =+P 为1AB 的中点，故1PQ AB ⊥（三线合一），结合A 选项，1PQ A B ⊥，11AB A B P =，11,AB A B ⊂平面11ABB A ，故PQ ⊥平面11ABB A ，由1AA ⊂平面11ABB A ，故PQ ⊥1AA ，棱柱的侧棱1AA //1CC ，故1PQ CC ⊥，C 选项正确；D 选项，取AB 中点E ，连接,PE CE ，结合P 为1A B 的中点可知，PE 为1ABA △中位线，故PE //1AA ，且112PE AA =，即PE //CQ ，且PE CQ =，故四边形PECQ 为平行四边形，故PQ //CE ，由PQ ⊄平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，故PQ //平面ABC ，D 选项正确. 故选：B7．在数列{}n a 中，若存在不小于2的正整数k 使得1k k a a -<且1k k a a +<，则称数列{}n a 为“k -数列”.下列数列中为“k -数列”的是（ ） A ．n b n = B ．2n n b =C ．9n b n n=+ D ．123n b n =- 【答案】C【分析】利用“k -数列”定义逐项判断可得答案.【详解】对于A ，n b n =，11n b n +=+，1110+=+-=>-n n b b n n ，数列{}n b 是单调递增数列， 所以数列{}n b 不是“k -数列”，故A 错误；对于B ， 2nn b =，112++=n n b ，112220++-=-=>n n n n n b b ，数列{}n b 是单调递增数列，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故B 错误；对于C ，对于函数()()90f x x x x=+>，令123x x >>，()()()121212129--=-x x f x f x x x x x ， 因为123x x >>，所以12120,9->>x x x x ，()12121290-->x x x x x x ，所以()()12f x f x >， ()f x 在()3,x ∈+∞上为单调递增函数，令2103<<<x x ，()()()121212129--=-x x f x f x x x x x ， 因为2103<<<x x ，所以12120,09-><<x x x x ，()12121290x x x x x x --<，所以()()12f x f x <，()f x 在()0,3x ∈上为单调递减函数，所以对于9n b n n=+，当23n ≤≤时，有1n n b b -<，当3n ≥时，有1n n b b +<，存在3k =使得数列{}n b 是“k -数列”，故C 正确；对于D ，11b =-，2n ≥时，因为{}23n -的单调递增数列，123⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n 是单调递减数列，所以不存在不小于2的正整数k 使得1k k a a -<且1k k a a +<，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故D 错误. 故选：C.8．已知O 为坐标原点，A 点坐标为()2,0，P 是抛物线21:2C y x =在第一象限内图象上一点，M 是线段AP 的中点，则OM 斜率的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)2,+∞C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D．⎛ ⎝⎦【答案】A【分析】设()()22,0>P y y y ，可得()221=+OM y k y ，再利用基本不等式可得答案.【详解】设()()22,0>P y y y ，所以21,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭y M y ，所以()22112141212===≤+⎛⎫++ ⎪⎝⎭OMyy k y y y y ，当且仅当1y y=即1y =时等号成立， 则OM 斜率的取值范围是10,4⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二、多选题9．已知正四面体的棱长均为1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（ ） A ．0 B ．12C ．2 D【答案】AB【分析】由[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈-，排除C 、D ；取,a AD b BC ==，求出0a b ⋅=；取,a AD b AC ==，求出12a b ⋅=.即可判断A 、B. 【详解】在正四面体ABCD 中，棱长均为1.任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为1. 任取两个向量,a b ，则1a b ==.所以[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈-.故C 、D 错误； 取,a AD b BC ==.设BC 中点为E ,连接,AE DE . 因为ABCD 为正四面体，所以,AE BC DE BC ⊥⊥. 因为AEDE E =,AE ⊂面ADE ，DE ⊂面ADE ，所以BC ⊥面ADE .因为AD ⊂面ADE ，所以BC AD ⊥，所以,90a b =︒. 所以cos ,cos900a b a b ⋅==︒=.故A 正确； 取,a AD b AC ==，则,60a b =︒. 所以1cos ,cos602a b a b ⋅==︒=.故B 正确. 故选：AB10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为3C ．12PF F △3D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=【答案】BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=，解得2,1a c ==，2223b a c =-=， 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误； 对于B ，椭圆C 的短轴长为223b =，故B 正确； 对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y ，当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时03==y b ，所以12PF F △面积的最大值为3，故C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n ==， 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==，6mn =，所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（ ） A ．异面直线1AB 与CD 所成角的为45 B ．异面直线11A B 与1AC 所成角的为45 C ．直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33D ．二面角1C AD B --的大小为45 【答案】ACD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断AB 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项. 【详解】如下图所示：对于A 选项，//CD AB ，则1AB 与CD 所成的角为145BAB ∠=，A 对；对于B 选项，11//AB A B ，所以，1AC 与11A B 所成角为1BAC ∠或其补角，因为2AB =，1BC =1AC ==22211AB BC AC ∴+=，则1AB BC ⊥，所以，11tan BC BAC AB∠==145BAC ∠≠，B 错； 对于C 选项，11B C ⊥平面11AA B B ，故直线1AC 与平面11ABB A 所成角为11B AC ∠， 1AB ⊂平面11AA B B ，则111B C AB ⊥，所以，11111sin B C B AC AC ∠== 因此，直线1AC 与平面11ABB AC 对； 对于D 选项，AD ⊥平面11CC D D ，CD 、1C D ⊂平面11CC D D ，则AD CD ⊥，1AD C D ⊥，所以，二面角1C AD B --的平面角为145CDC ∠=，D 对. 故选：ACD.12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，将数列{}n a 和{}n b 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列{}n c ，则下列结论正确的是（ ） A ．1216c = B ．数列{}n c 中n b 与1n b +之间共有12n -项 C ．22n n b a = D ．121n n n b c -+-=【答案】AB【分析】根据题意可得：数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则21n a n =-，2nn b =，然后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列{}n a 的前n 项和2n S n =，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；经检验，当1n =时也满足，所以21n a n =-；又因为数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，所以2nn b =.则数列{}n c 为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,，所以1216c =，故选项A 正确；数列{}n a 是由连续奇数组成的数列，1,n n b b +都是偶数，所以n b 与1n b +之间包含的奇数个数为112222n nn +--=，故选项B 正确；因为2nn b =，则222n n b =为偶数，但1222121n n n a +=⨯-=-为奇数，所以22n n b a ≠，故选项C 错误；因为2nn b =，前面相邻的一个奇数为21n -，令2121n k a k =-=-，解得：12n k -=，所以数列{}n c 从1到2n 共有12n n -+，也即122n nn n c b -+==，故选项D 错误，故选：AB三、填空题13．已知等差数列{}n a 前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为______. 【答案】78【分析】先求得等差数列{}n a 的首项和公差，然后求得前12项和. 【详解】设等差数列的公差为d ，则1133661521a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以前12项的和为1126678a d +=. 故答案为：7814．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C 的共轭双曲线的离心率为3，则双曲线C 的离心率为______.【分析】不妨设双曲线C 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，根据双曲线的离心率公式可得出b =，进而可求得双曲线C 的共轭双曲线的离心率.【详解】不妨设双曲线C 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，则3c a =，可得b =， 所以，双曲线C 的共轭双曲线的实轴长为2b ，虚轴长为2a，焦距为2c =，因此，双曲线C的共轭双曲线的离心率为c b. 15．已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______. 【答案】932##0.28125【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案. 【详解】画出轴截面如下图所示， 圆锥的轴截面为正三角形ABC ，设球心为O ，圆锥底面圆心为1O ，球的半径为R ，则圆锥的高为1322R R R +=，底面半径为32R ，所以圆锥与球的体积之比为23133π32294π323R R R ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=⨯. 故答案为：932四、双空题16．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线．．）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点P 运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆O 的方程为()2220x y RR +=>，半径为1的动圆M 内切于定圆O 作无滑动的滚动，切点P 的初始位置为(),0R .若4R =，则PO 的最小值为______；若2R =，且已知线段MP 的中点N 的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为______. 【答案】 2 2219144x y += 【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案. 【详解】当4R =时，PO 的最小值为21422R -⨯=-=.当2R =时，N 初始位置为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，圆O 的四分之一弧长为12π2π4⨯⨯=，圆M 的半周长为12π1π2⨯⨯=， 所以N 的轨迹过点10,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭， 所以31,22a b ==，椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为2219144x y +=. 故答案为：2；2219144x y +=五、解答题17．如图，PA 是三棱锥-P ABC 的高，线段BC 的中点为M ，且AB AC ⊥，2AB AC PA ===.(1)证明：BC ⊥平面PAM ；(2)求A 到平面PBC 的距离.【答案】(1)证明见解析23【分析】（1）根据已知条件证明BC AM ⊥，PA BC ⊥，由直线与平面垂直的判定定理即可证明. （2）法一：在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，证明AH ⊥平面PBC ，再求值即可；法二：A 到平面PBC 的距离，是三棱锥A PBC -的高，利用等体积法求解.【详解】（1）因为AB AC =，线段BC 的中点为M ，所以BC AM ⊥.因为PA 是三棱锥-P ABC 的高，所以PA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为PA ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ，PA AM A =，所以BC ⊥平面PAM（2）法一：（综合法）在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，如图所示，因为BC ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以BC AH ⊥.因为AH PM ⊥，BC ⊂平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，PMBC M =，所以AH ⊥平面PBC . 在Rt BAC 中，22111442222AM BC AB AC ==++=所以在Rt PAM 中，22426PM PA AM =++ 所以22236PA AM AH PM ⨯==A 到平面PBC 23法二：（等体积法）设A 到平面PBC 的距离为d ，则在Rt BAC 中，22111442222AM BC AB AC ==++在Rt PAM 中，22426PM PA AM ++= 因为PA 是三棱锥-P ABC 的高，所以11142223323P ABC ABC V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯=△， 11142263323P ABC PB PBC C A V V S d d --==⨯=⨯⨯=△，解得23d =， 所以A 到平面PBC 23. 18．已知等比数列{}n a 的首项为2，前n 项和为n S ，且234230S S S -+=.(1)求n a ；(2)已知数列{}n b 满足：n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由234230S S S -+=可得公比q ，再由等比数列的通项公式即可得到结果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为234230S S S -+=，所以()234320S S S S -+-=，所以342a a =，所以2q ，所以112n n n a a q -==.（2）由（1）得，2n n b n =⨯，所以212222n n T n =⨯+⨯++⨯，……① 所以()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，……②①-②，得()()21112122222212212n n n n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯--， 所以()1122n n T n +=-⋅+.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，右焦点F 到32x =的距离为12. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1y x =-与双曲线C 交于M ，N 两点，求MNF 的面积.【答案】(1)2213y x -= (2)32【分析】（1）由双曲线实轴长为2可得1a =，再利用右焦点F 到32x =的距离为12可得2c =，即可求得双曲线C 的方程；（2）联立直线和双曲线方程容易解出M ，N 两点坐标即可求得MNF 的面积.【详解】（1）设双曲线C 的焦距为()20c c >，因为双曲线C 的实轴长为2，所以22a =，解得1a =.因为右焦点F 到32x =的距离为12，所以3122c -=，解得1c =或2c =. 因为c a >，所以2c =.可得222413b c a =-=-=，所以双曲线C 的方程为2213y x -=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ， 联立直线和双曲线22113y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()223130x x ---=， 即220x x +-=，1x =或2x =-不妨设11x =，22x =-，所以2130,y y ==-. 所以2121113132222MNF S MF y c x y =⨯=-⨯=⨯⨯=△. 即MNF 的面积为3220．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且满足______.①22a =，22n n a a +-=；②()21n n S n a =+；③()12n n nS n S +=+.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求n a ；(2)求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)n a n = (2)13112212n T n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【分析】（1）当选①时，分n 为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据n S 与n a 的关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得到()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是常数数列，从而得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）选①因为22n n a a +-=，所以当n 为奇数时，1122n n a a n -=+⨯=； 同理，当n 为偶数时，2222n n a a n -=+⨯=. 所以n a n =.选②因为()21n n S n a =+，（*）所以当2n ≥时，112n n S na --=，（**）（*）-（**），得()11n n n a na --=，即11n n a a n n -=-， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列， 所以n a n =.选③因为()12n n nS n S +=+，所以()()()1211n n S S n n n n +=+++，所以数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12的常数列， 所以()12n n n S +=，所以当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 当1n =时，也符合上式.所以n a n =.（2）由（1）得，()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以111111111311123243522212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 21．三棱柱111ABC A B C 中，112AB AB AA AC ====，120BAC ∠=，线段11A B 的中点为M ，且BC AM ⊥.(1)求证：AM ⊥平面ABC ；(2)点P 在线段11B C 上，且11123B P BC =，求二面角11P B A A --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析313【分析】（1）由AB AM ⊥、BC AM ⊥根据线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面ABC ； （2）以A 为原点，以、、AN AC AM 所在的直线为x y z 、、建立空间直角坐标系，求出平面11B AA 、平面1PB A 的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C 中，11//AB A B ，在11AB A △中，11AB AA =，线段11A B 的中点为M ，所以11A B AM ⊥，所以AB AM ⊥； 因为BC AM ⊥，BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，AB BC ⊂、平面ABC ，所以AM ⊥平面ABC ；（2）做AN AC ⊥交BC 于N 点，以A 为原点，以、、AN AC AM 所在的直线为x y z 、、建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A，)1,0B -，112B -⎝， ()0,2,0C，(M .所以13122AB ⎛=- ⎝，()BC =-，(AM =， 因为111222,033B P B C BC ⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭，所以32P ⎛⎝， 所以32AP ⎛=- ⎝，设平面11B AA 的一个法向量()1111,,n x y z =，则11111113102230n AB x yn AM z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，解得10z =，令1y 11x =，所以()11,3,0n =，设平面1PB A 的一个法向量()2222,,n x y z =，则222221222306231022n AP y n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令2y 23x =，21z =-，所以()23,1n =-，设二面角11P B A A --的平面角为()0180θθ≤≤，则1212126cos cos ,2n n n n n nθ⋅====⨯ 由图知二面角11P B A A --的平面角为锐角，所以二面角11P B A A --22．已知31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，上、下顶点分别为A 、B ，右顶点为C ，且225a b +=.(1)求椭圆E 的方程；(2)点P 为椭圆E 上异于顶点的一动点，直线AC 与BP 交于点Q ，直线CP 交y 轴于点R .求证：直线RQ 过定点.【答案】(1)2214x y += (2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得22,a b ，从而求得椭圆E 的方程.（2）设出直线BP 的方程，求得点Q 的坐标，联立直线BP 的方程和椭圆E 的方程，求得P 点坐标，进而求得直线PC 的方程，从而求得R 点的坐标，由此求得直线RQ 的方程并确定定点坐标.【详解】（1）因为3P ⎛ ⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，所以221314a b +=. 因为225a b +=，所以2213154b b +=-，整理得42419150b b -+=，解得21b =或2154b =. 当2154b =时，254a =，与a b >矛盾.所以21b =，24a =. 椭圆E 的方程为2214x y +=. （2）设直线BP 的斜率为k ，则:1BP l y kx =-.因为1:12AC l y x =-+， 由1112y kx y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得421Q x k =+，2121Q k y k -=+. 因为22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()224140x kx +--=，整理得()221480k x kx +-=， 所以2841P k x k =+，224141P k y k -=+. 所以2222241412141888242241PCk k k k k k k k k k --++===--+---+，所以()21:242PC k l y x k +=---. 令0x =，得2121R k y k +=-. 所以()()222221212121822121414144421212121RQ k k k k k k k k k k k k k k k +--+---+--====-----+++， 所以221:2121RQ k k l y x k k +=-+--. 所以()242:12212121RQ k k k l y x x k k k +=-+=-----. 所以直线RQ 过定点2,1.。
江苏省高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） (1,0)A B AB A ． B ． C ． D ．30︒45︒60︒135︒【答案】A【分析】利用两点坐标求出直线的斜率，再求对应的倾斜角即可． AB【详解】由直线经过，， (1,0)A B设直线的倾斜角为，则有， θtan θ=又，所以. 0180θ︒≤<︒30θ=︒故选：A.2．若直线与直线互相平行，则实数（ ） 1:20l x y +=2:10l mx y ++=m =A ． B ．C ．D ．2122-12-【答案】A【分析】判断不合题意，再根据直线的平行列出相应的比例式，即可求得答案. 0m =【详解】当时，直线，直线与不平行， 0m =2:10l y +=1l 2l 当时，，0m ≠12//l l ，解得， ∴21011m =≠2m =故选：A.3．若等差数列的前项和为，且，则的值为（ ） {}n a n n S 21012a a +=11S A ． B ． C ． D ．334466132【答案】C【分析】根据结合即可求解. 110211a a a a +=+1111111()2a a S +=【详解】等差数列的前项和为，且， {}n a n n S 21012a a +=由等差数列的基本性质，得，21101112a a a a +=+=. ∴1111111()11126622a a S +⨯===故选：C.4．若直线与圆交于，两点，且，关于直线对1y kx =+2240x y kx my +++-=M N M N 20x y +=称，则实数的值为（ ）k m -A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【分析】先对圆的方程配方，求出圆心，再根据两直线以及圆之间的关系求解. 【详解】由圆的方程： 得： ， 2240x y kx my +++-=222242244k m k m x y ⎛⎫⎛⎫+++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭圆心坐标为 ，,22k m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线与圆交于，两点，且，关于直线对称， 1y kx =+2240x y kx my +++-=M N M N 20x y +=则直线必定经过圆心，，，20x y +=(2k -2m -20k m --=又根据垂径定理：直线与直线垂直，可得，即，1y kx =+20x y +=1()12k ⋅-=-2k =所以，故； 1m =-213k m -=+=故选：A.5．数列满足，，，则数列的前10项和为（ ）{}n a 10a =21a =222,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数{}n a A ．51 B ．56C ．83D ．88【答案】A【分析】按照已知条件可以发现奇、偶项分别成等差和等比数列，一一列举前10项求和即可.【详解】数列满足，，，{}n a 10a =21a =222,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数不难发现，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2， 所以数列的前10项和为：. {}n a (02468)(124816)51+++++++++=故选：.A 6．已知为双曲线的右焦点，为的左顶点，过点且斜率为的直线F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>A C A 1l与交于另一点，且垂直于轴．则的离心率为（ ） C B BF x C AB ．2C D ．3【答案】B【分析】根据题意先求出，，再根据可得到关于，的关系式，进而即可得到|BF |AF 1BF AF=a c 双曲线的离心率．C【详解】联立，解得，所以， 22222221x cx y a b c b a=⎧⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩2||b BF a =依题可得，，即， 1BFAF=AF c a =+()2221b c a a c a a c a -==++整理得，所以双曲线的离心率为． 2c a =C 2ce a==故选：B ．7．已知等差数列前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项不正确{}n a n n S 670,90,d S a ≠=3a 9a 的是（ ） A ．B ．120a =2d =-C ．当，时，取得最大值 D ．当时，的最大值为2110n =11n S 0n S >n 【答案】D【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的定义、等差数列的前项进行求解即可. n 【详解】因为是与的等比中项，7a 3a 9a 所以，()()()22739111162810a a a a d a d a d a d =⋅⇒+=++⇒=-由，有，611906659060159022S a d d d d =⇒+⨯⨯=⇒-+=⇒=-120a =，()221121441121224n S na n n d n n n ⎛⎫=+⋅-=-+=--+ ⎪⎝⎭当，时，取得最大值，10n =11n S ，的最大值为，2210021n S n n n =-+>⇒<<n 20故选：D8．已知函数满足：，，则不等式的解集为()f x ()01f =()()'f x f x <()x f x e <A ． B ． C ．D ．()0,∞+(),0∞-()1,+∞(),1∞-【答案】A【详解】是减函数，由得： ()()()0,x xf x f x f x e e ''-⎛⎫=< ⎪⎝⎭()x f x e ()x f x e <0()(0)1,0x f x f x e e <=∴>故选A.点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如()()f x f x '<()()x f x g x e=构造；如构造；如构()()0f x f x '+<()()x g x e f x =()()xf x f x '<()()f xg x x=()()0xf x f x '+<造等.()()g x xf x =二、多选题9．下列求导运算正确的是（ ） A ． 211()1x xx +'=-B ．(cos )sin x x x ⋅'=-C ．222(e )e x xx x x -'=D ．，则 ()sin(21)f x x =-)cos ()221(f x x '=-【答案】ACD【分析】利用导数计算公式分析各选项可得答案.【详解】A 选项，，故A 正确；()2111()1x x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭''+'=+=-B 选项，，故B 错误；()()(cos )cos cos cos sin x x x x x x x x x ''⋅'=+=-C 选项，，故C 正确； ()()()2222222e e 2e e 2(ee e e xx x x xx xx x x xx x x x ''---'===D 选项，，则，D 正确. ()sin(21)f x x =-)cos ()221(f x x '=-故选：.ACD 10．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（ ）xOy 221412x y -=A ．离心率为2B ．渐近线方程为 y =C ．实轴长为2D ．右焦点到渐近线的距离为【答案】ABD【分析】根据双曲线方程确定的值，即可一一判断各选项，即得答案. ,,a b c 【详解】由双曲线的方程可得，，，，24a =212b =22216c a b =+=所以，，实轴长，离心率，所以A 正确，C 不正确， 2a =b =4c =24a =2ca=所以，渐近线方程为，所以B 正确， by x a=±=因为右焦点为，不妨取渐近线， (4,0)y =0y -=则到渐近线距离为D 正确.(4,0)y =d =故选：ABD.11．设数列的前项和为，且，则（ ） {}n a n n S 2121,log +=-=n n n n S a b a A ．数列是等比数列B ．{}n a 1(2)n n a -=-C ．D ．的前项和为22221232213n n a a a a -++++= {}n n a b +n 2n212n n n T +=-+【答案】ACD【分析】由已知可得数列是，2为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断A 、B ，{}n a 11a =进而可以求的值判断C ，也易求得的前项和判断D.2222123n a a a a ++++ {}n n a b +n 【详解】由已知，当时，可得21n n S a =-1n =11a =选项A ，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A 正11122,2-----===n n n n n n n S S a a a a a {}n a 11a =确；选项B ，由选项A 可得解得，故B 错误；1121-==，n n a a a 1n 2n a -=选项 C ，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以2{}n a ，故C 正确； 222212321441211433n n n n a a a a ---++++===- 选项D ，因为，故D 正确.212n+1n (12)(1)log ,2211222n n nn n n n n n n b a n a b n T --++==+=+=+=-+-，故选：ACD.12．已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ） 3()1f x x ax =-+2x =A ．3a =B ．在上单调递减 ()f x [1,1]-C ．(1)(1)lim0x f x f x∆→+∆-=∆D ．的图象关于原点中心对称 ()f x 【答案】ABC【分析】根据导数的几何意义求得的值，即可判断A ；根据函数单调性与导数的关系，即可判断aB ；由导数的定义可判断C ；由函数的对称性即可判断D. 【详解】，则， 3()1f x x ax =-+2()3f x x a '=-因为函数的图象在处切线的斜率为9， ()f x 2x =所以，解得，故A 正确；()2129f a ='-=3a =，则，3()31,R f x x x x =-+∈2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+令，可得，所以在上单调递减，故B 正确； ()0f x '≤11x -≤≤[1,1]-由于，故C 正确；20(1)(1)lim(1)3130x f x f f x'∆→+∆-==⨯-=∆函数，则，3()31,R f x x x x =-+∈3()31f x x x -=-++所以，则的图象关于点中心对称，故D 不正确. ()()2f x f x +-=()f x ()0,1故选：ABC.三、填空题13．等比数列中，则__. {}n a 59740,a a a -=7a =【答案】4【分析】利用等比数列性质可得，结合条件即可得答案.2597a a a =【详解】由题可得，， 259774a a a a ==70a ≠所以. 74a =故答案为：4.14．已知，则__.()2()e 0xf x xf '=-()1f '=【答案】22e 1-【分析】根据导数运算求得正确答案.【详解】，则，()2()e 0xf x xf '=-2()2e (0)x f x f ''=-将代入可得，，解得，0x =()()()002e 020f f f '''=-=-()01f '=故，，2()e x f x x =-()22e 1xf x '=-所以.()2122e 12e 11f ⨯=-=-'故答案为：.22e 1-15．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，O ()2:20C y px p =>F P C PF x 为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．Q x PQ OP ⊥4FQ =C 【答案】=1x -【分析】设点，求得点，由已知条件得出，求出正数的值，即,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭4,02p Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0PQ OP ⋅= p 可得出抛物线的准线方程.C 【详解】抛物线的焦点，()2:20C y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为上一点，轴，所以，将代入抛物线的方程可得，P C PF x ⊥2P p x =2P px =P y p =±不妨设，因为为轴上一点，且，所以在的右侧．,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭Q x PQ OP ⊥Q F 又，得，即点，所以，， 42Qp FQ x =-= 42Q p x =+4,02p Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()4,PQ p =- 因为，所以，，，PQ OP ⊥2402p PQ OP p ⋅=⨯-= 0p > 2p ∴=所以抛物线的准线方程为． C =1x -故答案为：． =1x -16．函数有两个零点，则的取值范围是 __. ln ()2x kf x x =-k 【答案】20,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，构造函数，利ln ()2x kf x x =-ln 2x k x =ln ()(0)x g x x x=>用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图像，根据图象即可得解. ()g x 【详解】函数有两个零点，方程有两个根， ln ()2x k f x x =-∴ln 02x kx -=即方程有两个根， ln 2x kx =设，则函数与的图像有两个交点， ln ()(0)xg x x x =>()g x 2k y =， 21ln ()xg x x -'=当时，，单调递增； (0,e)x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减，(e,)x ∈+∞()0g x '<()g x 函数在时，取得最大值，∴()g x e x =()1e eg =又当时，；当时，且，0x →()g x →-∞x →+∞()0g x >()0g x →函数的大致图像，如图所示，∴()g x由图像可知，，102ek <<的取值范围是.k ∴20,e⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.20,e ⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题17．已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l 过点． 1C 34100x y +-=(1,2)M (1)求圆的标准方程；1C(2)若直线l 被圆所截得的弦长为l 的方程． 1C 【答案】(1)； 224x y +=(2)或 1x =3450x y -+=【分析】（1）直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；（2）先由弦长公式求出，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由解出1d =1d =直线斜率，即可求解.【详解】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；r 2r ==1C 224x y +=（2）设圆心到直线到的距离为，则；当直线l 斜率不存在时，易得l d =1d =，此时圆心到的距离，符合题意；:1l x =l 1d =当直线l 斜率存在时，设，即，则，解得，即:2(1)l y k x -=-20kx y k -+-=1d 34k =，:3450l x y -+=故直线l 的方程为或.1x =3450x y -+=18．已知等差数列满足. {}n a 13424,2a a a a +=-=(1)求数列的通项公式及前项和； {}n a n n S (2)记数列的前项和为，若,求的最小值. 1{}n S n n T 9950n T >n 【答案】(1) ()1,2n n n n a n S +==(2) 100【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；n （2）利用（1）的结论及裂项相消法求数列的前项和，结合不等式的解法即可求解. n 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 {}n a d 因为，13424,2a a a a +=-=所以，即，解得. ()11112432a a d a d a d ++=⎧⎨+-+=⎩1222a d d +=⎧⎨=⎩111a d =⎧⎨=⎩所以数列的通项公式为， {}n a ()111n a n n =+-⨯=所以数列的通项公式及前项和为.{}n a n ()()1122n S n n n n ++==（2）由（1）知，， ()12n n n S +=所以， ()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列的前项和为 1{}n S n 1231111n nT S S S S =++++ 111111224122223113n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎪⎛⎫- ⎪-++- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎭ 111111*********n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭因为， 9950n T >所以，即，于是有，解得， 19921150n ⎛⎫->⎪+⎝⎭19911100n ->+111100n <+99n >因为， *N n ∈所以的最小值为.n 10019．已知：函数. 32()3f x x ax x =--(1)若，求的单调性；(3)0f '=()f x(2)若在上是增函数，求实数的取值范围. ()f x [)1x ∈+∞，a 【答案】(1)答案见解析；(2). (]0-∞，【分析】（1）求出导函数，利用，求出的值，解不等式，即可求出(3)0f '=a ()()''>0<0，f x f x ()f x 的单调性；（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围.a 【详解】（1），，32()3f x x ax x =-- 2()323'∴=--f x x ax ，，.(3)0'= f 27630∴--=a 4a ∴=将代入得，令得或. 4a =()2383'=--f x x x ()0f x '=13x =-3x =x1()3-∞-，13-1(3)3-， 3(3)+∞， ()f x ' +0 -0 +()f x↑↓↑在上单调递减，在上单调递增. ()f x ∴1(3)3∈-，x 1()(3)3∈-∞-+∞，，，x （2）方法1：在上是增函数， ()f x [)1x ∈+∞，在上恒成立， 2()3230f x x ax ∴--'=≥[)1+∞，， 31()2a x x∴≤-当时，是增函数，其最小值为，1x ≥31(2x x-3(11)02-=.实数的取值范围是. 0a ∴≤a (]0-∞，方法2：在上是增函数， ()f x [)1x ∈+∞，在上恒成立， 2()3230f x x ax ∴--'=≥[)1+∞，，. (1)2013f a a=-≥⎧⎪⎨≤'⎪⎩0a ∴≤实数的取值范围是. a (]0-∞，20．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．{}n a 2a 3a 44a -(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，设数列的前n 项和，求证：． 21log n n na b a +={}n b n T 13n T ≤<【答案】(1)2n n a =(2)证明见解析【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明.【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，2a 3a 44a -32442a a a =+-又因为数列的公比为2，所以，{}n a 2311122242a a a ⨯=+⨯-即，解得，所以．1118284a a a =+-12a =1222n n n a -=⨯=（2）由（1）知，则， 2nn a =221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===所以， ① 2323412222n n n T +=++++L ， ② 231123122222n n n n n T ++=++++ ①②得 -23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---． 11112133122222n n n n n +++++=+--=-所以． 3332n n n T +=-<又因为， 102n nn b +=>所以是递增数列，所以，所以．{}n T 11n T T =≥13n T ≤<21．已知函数，其中. 211()()ln 2=-++f x x a x x a0a >(1)当时，求曲线在点处切线的方程；1a =()y f x =()()1,1f (2)试讨论函数的单调区间.()f x 【答案】(1)； 32y =-(2)答案见解析.【分析】（1）利用导数几何意义结合条件即得；（2）求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利()f x a 用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性.【详解】（1）当时，,则， 1a =21()2ln 2f x x x x =-+1()2f x x x'=-+，又， ()10f '∴=()312f =-在点处切线的方程为； ∴()y f x =()()1,1f 32y =-（2）由题可得， 1()()11()(0)x a x a f x x a x a x x --⎛⎫'=-++=> ⎪⎝⎭令，解得或， ()0f x '=x a =1x a =若，，当变化时，，的变化情况如表： 01a <<1a a <x ()f x '()f x x (0,)a a 1(,)a a 1a ,1(a )∞+ ()f x ' +0-0 + ()f x 增函数减函数增函数的单调增区间为和,，单调减区间为； ()f x ∴(0,)a 1(a )∞+1(,)a a②若，，当变化时，，的变化情况如表： 1a >1a a <x ()f x '()f x x1(0,)a 1a , 1(a )a a (,)a +∞ ()f x ' +0-0 + ()f x 增函数减函数增函数的单调增区间为和，单调减区间为； ()f x ∴1(0,)a(,)a +∞1(,)a a③若，则，函数的单调增区间为；1a =()0f x '≥()f x ()0,∞+综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，01a <<()f x (0,)a 1(a )∞+1(,a a1a >()f x 的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为1(0,a(,)a +∞1(,)a a 1a =()f x .()0,∞+22．已知椭圆过点，且焦距为2222:1(0)x y C a b a b+=>>(2,1)P --(1)求椭圆的方程；C (2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：l )P C A B PA PB 1-l 过定点.【答案】(1) 22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.,,a b c C （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标.AB 1PA PB k k +=-【详解】（1）由题意可得，解得，22222411c aba b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩椭圆的方程：.∴C 22182x y +=（2）当直线的斜率不存在时，设其方程为，AB,x t x =-<<2x ≠-则， ,,A t Bt ⎛⎛⎝⎝所以， 212PA PB k k t +===-+解得（舍去），4t =-所以直线的斜率存在.AB 设直线的方程为，其中，AB y kx m =+21m k ≠-联立方程，消去得：， 22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 22(4)8801k x kmx -+=+设，()()1122,,,A x y B x y 则，， 122841km x x k -+=+21224841m x x k -⋅=+所以 12121122PA PB m kx m k k x k x x +++++=+++ 1212(2)21(2)2122k x m k k x m k x x ++-+++-+=+++ 122121()22m k m k k k x x -+-+=+++++ 12112(21)()22k m k x x =+-++++ 12121242(21)2()4x x k m k x x x x ++=+-++++ 2222841842(21)482()44141k m k m km k k k m k +-+-+=+-+-+++ 222221684412(21)16441641k km k k m k k m kmk -++=+-+⋅+--+ 224212(21)(2)1k km k m k k m -+=+-+⋅--， 24212121k km k k m -+-=+=--+整理得，直线的方程为，4m k =AB ()4y k x =+所以直线恒过定点.l ()4,0-【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”,,a b c .求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中222a b c =+参数的关系，从而求得定点的坐标.。
苏教版高二年级上期末试题含答案
高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x ﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF ⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则z的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x≥0时，y=2x+1=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；当x＜0时，y=2﹣x2=1，解得x=±1，应取x=﹣1；综上，x的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线mx﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线mx﹣y﹣3m﹣2=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆3x2+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（x0，y0），M（x M，y M），∵，∴=（x0+c，y0）=（x M+c，y M）∴M（x0﹣c，y0），=（x0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（x0，y0）∴（x0﹣c）x0+y02=0即x02+y02=2cx0，联立方程得：，消去y0得：c2x02﹣2a2cx0+a2（a2﹣c2）=0，解得：x0=或x0=，∵﹣a＜x0＜a，∴x0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，由z+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴z=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0⇒∃x∈[2，16]，有解．又x∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得k∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴k=2；②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（x，y），x2+y2=4，，，因为，所以（x﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（x﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2ax+4y﹣a2﹣8=λ2（2mx+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（x0，y0），M是线段NE的中点，N（2x0﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于x，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8x+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：x2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF ⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥x轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（x+4），又左准线l：x=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x0，y0），由=λ1，得（x1+2，y1+3）=λ1（x0﹣x1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：x0+y0+2=0，即点Q在定直线x﹣y+2=0上．。
江苏省泰州中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
江苏省泰州中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________128a =令()'2e 0x g x =-= ，可得ln2x =，当()ln2x Î-¥，时， ()'0g x > ，函数()g x 单调递增，当()ln2x Î+¥，时，()'0g x < ，函数()g x 单调递减，故()()max ln22ln220g x g ==-<，所以总有()'0f x < ，故()f x 单调递减；所以x y >-，即0x y +>；对于A ，()ln 1ln10x y ++>=，故A 错误；对于B ，设()()2e 10x h x x x =--> ，则()()''e 20x h x x f x =-=-> ，故()h x 在()0+¥，上单调递增，所以()()00h x h >=，所以()21e 0x x x +<> ，因为0x y +>，所以()21e x y x y +++< ，故B 正确；对于C ，sin sin x y x y +>--，即()()sin sin x x y y +>-+-．设()sin u x x x =+，则()()u x u y >-，则()1cos 0u x x =¢+³ ，所以()u x 单调递增．因为x y >-，所以()()u x u y >-，故C 正确；对于D ，22cos cos x y y x ->-，即22cos cos x x y y +>+，令()2cos t x x x =+，则()()t x t y >，因为()()()()22cos cos t x x x x x t x -=-+-=+=，所以()2cos t x x x =+为偶函数，所以()()t x t y >即为()()t x t y >-．则()'2sin t x x x =- ，令()2sin m x x x =-，则()'2cos 0m x x =-> ，所以()m x 单调递增．【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题角函数的性质求出最值.17．(1)π6+(2)132。
2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．设正项等比数列{}n a 满足4336a a -=，26a =，则1a =（）A ．3B ．12C ．2D ．13【正确答案】C【分析】本题可设公比为q ，然后根据4336a a -=得出26q q -=，通过计算求出3q =，最后通过21aa q=即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为4336a a -=，26a =，所以22236a q a q -=，即26636q q -=，26q q -=，解得3q =或2-（舍去），3q =，则21623a a q ===，故选：C.2．“k =是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d =，即214k +=，23k ∴=，即k =，∴“k 是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件，故选：A ．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础．3．如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么它的焦点坐标为（）A ．（1，0）B ．（2，0）C ．（3，0）D ．()1,0-【正确答案】D【分析】结合抛物线的知识确定正确答案.【详解】由于抛物线的准线是直线1x =，所以它的焦点为()1,0-.故选：D4．过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为60，则||||AF BF 的值为（）A ．2B ．3C ．32D ．52【正确答案】B【分析】求出直线方程，联立直线和抛物线方程，解得A ，B 坐标，即可由抛物线定义求得,AF BF ，得出所求.【详解】由题可得()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，（12x x >），直线l 的倾斜角为60 ，∴则直线l 的方程为)1y x =-，联立)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，由抛物线的定义可得12414,13AF x BF x =+==+=，则||3||AF BF =.故选：B.5．已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．2π-B ．0C ．1D ．2π【正确答案】A【分析】先利用诱导公式把()f x 化简为()cos f x x x =，再利用常见函数的导数公式和函数乘积的导数的运算法则求出()f x '，代入2π可得所求的导数值.【详解】()sin cos 2f x x x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()cos sin f x x x x '=-，所以22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故选：A.本题考查诱导公式及导数的运算，注意函数乘积的导数的运算法则的正确应用，本题属于基础题.6．若2()24ln f x x x x =--,则()0f x ¢>的解集为（）A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)【正确答案】C【详解】()242220,0,x x f x x x x --'=-->()()0,210,2x x x x >∴-+>∴> 7．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值为10，则=a （）A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3【正确答案】C【分析】根据函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，可知f '（1）0=和f （1）10=，可求出a .【详解】由322()f x x ax bx a =+++，得2()32f x x ax b '=++，函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，f ∴'（1）0=，f （1）10=，∴2230110a b a a b ++=⎧⎨+++=⎩，∴411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当33a b =-⎧⎨=⎩时，2()3(1)0f x x '=-，∴在1x =处不存在极值；当411a b =⎧⎨=-⎩时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-11(3x ∴∈-，1)，()0f x '<，(1,)x ∈+∞，()0f x '>，∴符合题意.故选：C本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．过抛物线2:8C y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若6AF =，则BF =（）A ．9或6B ．6或3C ．9D ．3【正确答案】D设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用抛物线的定义可求得点A 的坐标，进而可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，由韦达定理可求得点B 的横坐标，进而可求得BF .【详解】设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则1>0x ，10y >，则由题意可得：点()2,0F ，126AF x =+=，则14x =，由2118y x =，得1y =，所以42AB k ==-AB 方程为)2y x =-，将直线AB 的方程代入28y x =化简得2540x x -+=，所以21x =，所以223F x B =+=，故选：D ．结论点睛：过抛物线()220y px p =>焦点F 的弦AB ，点A 在第一象限，直线AB 的倾斜角为θ.（1）1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+；（2）22sin pAB θ=；（3）112AF BF p+=.二、多选题9．已知()0,πα∈，关于曲线C ：22sin cos 1x y αα+=，下列说法正确的是（）A ．曲线C 不可能是圆B ．曲线C 可能是焦点在x 轴上的椭圆C ．曲线C 不可能是焦点在y 轴上的椭圆D ．曲线C 可能是双曲线【正确答案】BD【分析】根据α的不同取值，结合椭圆和双曲线标准方程的形式，即可判断选项.【详解】A.当π4α=时，ππsin cos 44=22x y +=，即为圆的方程，故A 错误；B.曲线方程整理为22111sin cos x y αα+=，当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110sin cos αα>>，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；C.当ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110cos sin αα>>，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，故C 错误；D.当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110,0cos sin αα<>，曲线C 表示双曲线，故D 正确.故选：BD10．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，1251n n n a a b +=-+，1251n n n b b a +=-+．则下列结论不正确的是（）A ．数列{}n n a b -为等比数列B ．数列{}n n a b +为等差数列C ．6695a b +=D ．()11132312n n n a --=⨯+-【正确答案】BCD【分析】对A ，条件两等式相减，根据定义判断等比数列；对B ，条件两等式相加，根据定义判断等差数列；对C ，由B 的结论求出通项，再求第6项；对D ，由AB 的结论求出通项公式，再两式相加.【详解】对A ，()()()11251516n n n n n n n n a b a b b a a b ++-=-+--+=-，即()113n n n n a b a b ++-=-，1110a b -=≠，故数列{}n n a b -为首项为1，公比为3的等比数列，A 对；对BC ，()()112515142n n n n n n n n a b a b b a a b +++=-++-+=++，即()1121n n n n a b a b +++=++，即()11121n n n n a b a b ++++=++，故数列{}1n n a b ++为首项为1114a b ++=，公比为2的等比数列，故111422n n n n a b -+++=⨯=，故121n n n a b ++=-，故数列{}n n a b +不为等差数列，76621127a b +=-=，BC 错；对D ，由A 得13n n n a b --=，又121n n n a b ++=-，两式相加得112231n n n a +-=+-，即()11142312n n n a --=⨯+-，D 错.故选：BCD11．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论中正确的是（）A ．三棱锥11A PB D -的体积不变B ．DP 平面11AB D C ．11A P BD ⊥D ．平面1ACP ⊥平面PBD 【正确答案】ABD【分析】利用等体积法判断体积不变，A 正确；证明平面11//AB D 平面1BDC ，即知//DP 平面11AB D ，B 正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C 错误D 正确即可.【详解】对于A ，11AB D 的面积是定值，11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，∴1//BC 平面11AB D ，故P 到平面11AB D 的距离为定值，∴三棱锥11P AB D -的体积是定值，即三棱锥11A PB D -的体积不变，故A 正确；对于B ，由选项A 知，1//BC 平面11AB D ，同理//DB 平面11AB D ，而1BC BD B = ，1,BC BD ⊂平面1BDC ，∴平面11//AB D 平面1BDC ，DP ⊂ 平面1BDC ，//DP ∴平面11AB D ，故B正确；对于C ，以1D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 在1BC 上，故可设(,2,),02P a a a ，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,0,0)A B D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)BD =---，则()1122424A P BD a a a ⋅=----=-不一定为0，1A P ∴和1BD 不垂直，故C 错误；对于D ，设(,2,),02P a a a，则11(2,0,0),(0,2,2),(2,2,2),(0,0,0),(0,0,2)A C B D D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)A C =- ，(,2,2)DP a a =- ，(2,2,0)DB =，设平面1ACP 的法向量(,,)n x y z =，则11(2)202220n A P a x y az n A C x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得221,,22a a n a a -⎛⎫= --⎝⎭ ，设平面PBD 的法向量(,,)m a b c =，则20220m DP ax y az m DB x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，得()1,1,1m =-- ，221022a a m n a a-⋅=--=-- .∴平面1ACP 和平面PBD 垂直，故D 正确.故选：ABD.12．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '满足()()f x f x '<，则（）A ．()()1e 0f f <B ．()()1e 0f f >C ．()()e ln 221f f <D ．()()e ln 221f f >【正确答案】BC 【分析】构造函数()()xf xg x =e，利用导数分析函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】构造函数()()x f x g x =e ，其中x ∈R ，则()()()0e xf x f xg x '-'=>，所以，函数()g x 为R 上的增函数，则()()10g g >，即()()10ef f >，所以，()()1e 0f f >，A 错B 对；因为ln 2ln e 1<=，则()()ln 21g g <，即()()ln 212ef f <，所以，()()e ln 221f f <，C 对D 错.故选：BC.三、填空题13．已知定义在区间()0,π上的函数()2sin f x x =-，则()f x 的单调递增区间为______．【正确答案】π,π4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对()f x 求导，求出()0f x ¢>的解即可求出答案.【详解】因为()2sin f x x =-,则()2cos f x x '=令()2cos 0f x x '=>,即cos x <且()0,πx ∈所以π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()f x 的单调递增区间为π,π4⎛⎫⎪⎝⎭故π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭14．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为___________．【分析】取11B C 的中点F ，连接EF ，1ED ，证得1//CC 平面1D EF ，把1C C 上任一点到平面1D EF 的距离即为两条异面直线1D E 与1CC 的距离，过点1C 作11C M D F ⊥，利用面面垂直的性质定理，证得1C M ⊥平面1D EF ，过点M 作//MP EF 交1D E 于点P ，得到1//MP C C ，取1C N MP =，连接PN ，证得NP ⊥平面1D EF ，在直角11D C F 中，求得1C M 的值，即可求解.【详解】解：如图所示，取11B C 的中点F ，连接EF ，1ED ，所以1//CC EF ，又EF ⊂平面1D EF ，1CC ⊄平面1D EF ，所以1//CC 平面1D EF ，所以直线1C C 上任一点到平面1D EF 的距离即为两条异面直线1D E 与1CC 的距离，过点1C 作11C M D F ⊥，因为平面1D EF ⊥平面1111D C B A ，且1C M ⊂平面1111D C B A ，所以1C M ⊥平面1D EF ．过点M 作//MP EF 交1D E 于点P ，则1//MP C C ，取1C N MP =，连接PN ，则四边形1MPNC 是矩形，可得NP ⊥平面1D EF ，在直角11D C F 中，由11111C MD F D C C F ⋅=⋅，所以1111111·2D C C F C M D F ⨯===故点P 到直线1CC15．已知数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2410n ta n n++≥恒成立，则实数t 的取值范围是__________【正确答案】[9,)-+∞【分析】根据题意化简得到1111(1)n n n a na +-=+，利用等差数列的通项公式化简得1(1)n a n n =+，把不等式2410nta n n++≥，转化(4)(1)n n t n ++≥-恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】由数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，可得1111(1)n n n a na +-=+，且112a =，所以数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公差为1的等差数列，所以111=+(1)1n n n na a -=+，所以1(1)n a n n =+，又由2410n ta n n++≥恒成立，即(4)(1)n n t n ++≥-对n N *∈恒成立，因为(4)(1)44(5)(25)9n n n n n n n++-=-++≤-⋅+=-，当且仅当2n =时取等号，所以9t ≥-，即实数t 的取值范围是[9,)-+∞.16．已知正项数列{}n a 满足递推关系11(2)21n n n a a n a --=+，且114a =，数列{}n b 满足21n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12231n b b bn ++⋅⋅⋅+=+________.【正确答案】226n n +【分析】将1121n n n a a a --=+两边取倒数得1112n n a a --=，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个首项114a =，公差为2的等差数列，可求14(1)222n n n a =+-⨯=+，继而求出4(1)1n b n n =++，所以数列1n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以8为首项，4为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可求解.【详解】将1121n n n a a a --=+两边取倒数得1112n n a a --=，这说明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个等差数列，又首项114a =，公差为2，所以14(1)222nn n a =+-⨯=+，于是2214(1)n n b n a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，于是4(1)1n b n n =++，所以数列1n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以8为首项，4为公差的等差数列，故212(1)84262312n b b b n n n n n n -++⋅⋅⋅+=+⨯=++.故答案为.226n n+本题考查等差数列的推导证明以及等差数列的求和问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.四、解答题17．在①71a =，②848S =，③894a a +=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，440S =，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S 的最大值．【正确答案】(1)215n a n =-+(2)49【分析】（1）分别选①②③，根据等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得1,a d 的值，进而求得数列的通项公式；（2）由113a =，2d =-，利用等差数列的求和公式，化简得到2(7)49n S n =--+，结合二次函数的性质，即可得到答案.【详解】（1）解：选①，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得7141614640a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.选②，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得8141828484640S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.选③，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得8914121544640a a a d S a d +=+=-⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.（2）解：由113a =，2d =-，所以2213(215)14(7)492n n S n n n n +-+=⨯=-+=--+，所以当7n =时，n S 取得最大值为49．18．已知圆C 过两点()3,5A -，()1,7B ，且圆心在直线230x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()4,4P -作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程．【正确答案】(1)()()221225x y -+-=；(2)4x =或3440x y ++=．【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解；（2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可.【详解】（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则222222(3)(5)(1)(7)230a b r a b r a b ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为()()221225x y -+-=．（2）设圆心()1,2C 到直线l 的距离为d ，则8M N ===，则3d =．当直线l 的斜率不存在时，直线l ：4x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()44y k x +=-，即440kx y k ---=，所以3d =，解得34k =-，此时，直线l 的方程为()3444y x +=--，即3440x y ++=．综上所述，直线l 的方程为4x =或3440x y ++=．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232-=n n n S ，*N n ∈，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且1b ，26b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)32n a n =-，3n n b =(2)123332n n n n T +-+-=【分析】(1)根据,n n a S 关系,结合应用等差等比数列基本量运算即可得出通项公式;(2)计算n c 后再应用等差数列前n 项和公式,等比数列前n 项和公式分组求和即可.【详解】（1）因为232-=n n n S ，所以当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()22131133222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，1n =时也成立，所以32n a n =-．设等比数列{}n b 公比q ，因为1b ，26b +，3b 成等差数列，且1212b b +=，所以()122131226b b b b b +=⎧⎨+=+⎩，则21111121212b q b b q b b q ⎧+=+⎨+=⎩，所以133b q =⎧⎨=⎩，所以3n n b =．（2）因为nc 为在区间(32,3n n ⎤-⎦中的整数个数，所以()332n n c n =--，则()()()122313132333333143213222n n n n n n n n T n +-+---=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-=-=--所以123332n n n n T +-+-=．20．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，1190,1,2,5BAC AB BC BB C D CD ∠====== ，平面1CC D ⊥平面11ACC A （1）求证：1AC DC ⊥；（2）若M 为1DC 中点，求证：//AM 平面1DBB ；【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，易得1CC AC ⊥，又平面1CC D ⊥平面11ACC A ，利用面面垂直的性质定理证明即可；（2）由1AA ⊥平面111A B C ，且90BAC ∠= ，建立空间直角坐标系，求得平面1DBB 的一个法向量为(),,n x y z = ，证明AM n ⊥ 即可；【详解】（1） 在直三棱柱111ABC A B C -中，∴1CC ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴1CC AC ⊥，∵平面1CC D ⊥平面11ACC A ,且平面1CC D ⋂平面111ACC A CC =，又AC ⊂ 平面11ACC A ,∴AC ⊥平面1CC D ，又1DC ⊂平面1CC D ，∴1AC DC ⊥（2）直三棱柱111ABC A B C -中，∵1AA ⊥平面111A B C ，而1111,A B A C ⊂平面111A B C ∴111111,AA A B AA AC ⊥⊥，又90BAC ∠= ，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,0,,,2,0,1,0,0,1,2A C C B B D ，所以()()12,0,0,1,1BB BD =-=- ，设平面1DBB 的一个法向量为(),,n x y z = ，则100n BB n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则(0,1,n = ，∵M 为1DC的中点，则12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以32AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0AM n ⋅= ，所以AM n ⊥ ，又AM ⊄平面1DBB ，∴//AM 平面1DBB .方法点睛：证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．21．已知函数32()f x x ax x b =-++在1x =处取得极值.（1）当2b =-时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 有三个零点，求实数b 的取值范围.【正确答案】（1）20x y --=（2）4027b b ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】先对函数()f x 求导，根据函数()f x 在1x =处取得极值，求出a ；（1）将2b =-代入()f x 解析式，再由导数的方法求出其在0x =处的切线斜率，进而可求出结果；（2）函数()f x 有三个零点，等价于方程322x x x b -+=-有三个不等实根，也即是函数()322g x x x x =-+与直线y b =-有三个不同的交点，由导数的方法研究函数()322g x x x x =-+的极值，即可得出结果.【详解】解：()2'321f x x ax =-+，由题意知()'10f =，所以3210a -+=，即2a =.所以()322f x x x x b =-++.（1）当2b =-时，()3222f x x x x =-+-，()2'341f x x x =-+，所以()'01f =，()02f =-，所以()f x 在0x =处的切线方程为()20y x --=-，即20x y --=.（2）令()0f x =，则322x x x b -+=-.设()322g x x x x =-+，则()y g x =与y b =-的图象有三个交点.()()()2'341311g x x x x x =-+=--，所以当x 变化时，()g x ，()'g x 的变化情况为x 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()'g x +0-0+()g x 增函数极大值减函数极小值增函数所以14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =.又当x →-∞时，y →-∞；当x →+∞时，y →+∞，所以4027b <-<，即4027b -<<.所以b 的取值范围是4027b b ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义；对于求函数在某点的切线方程，只需对函数求导，求出切线斜率，再由点斜式求出切线方程即可；对于函数零点问题，可转化为两个函数图像交点的问题，由导数的方法研究函数的极值，进而可求出结果.22．如图，在六面体PABCD 中，PAB 是等边三角形，二面角P AB D --的平面角为30°，4PC AB ====.(1)证明：AB PD ⊥；(2)若点E 为线段BD 上一动点，求直线CE 与平面PAB 所成角的正切的最大值.【正确答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面θ，满足sin θ=利用换元法结合二次函数的最值即可求解.【详解】（1）证明：取AB 中点M ，连接,PM DM ，因为,PA PB DA DB ==，所以,PM AB DM AB ⊥⊥，且PM DM M = ，所以AB ⊥平面PMD ，又PD ⊂平面PMD ，所以AB PD ⊥.（2）连接CM ，则CM AB ⊥，由4AC BC AB ===，可得2CM =，于是22216CM PM PC +==，所以PM CM ⊥，又,PM AB AB CM M ⊥⋂=，所以PM ⊥平面ABC ，以M 为原点，,,MC MB MP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,M C B P ，由120CMD ∠= ，可得(D -，平面PAB 的法向量为()1,0,0n = ，设([]1,,0,1BE BD λλλ==--∈，则()2,22,CE CB BE λλ=+=--- ，设CE 与平面PAB 所成角为θ，则sin cos ,n CE θ=令[]2,2,3t t λ+=∈，则sin θ令()[]248368,2,3f t t t t=-+∈，由对称轴138t =知，当138t =，即23λ=时，min 5()4f t =，max (sin )5θ==，于是max (tan ) 2.θ=直线CE 与平面PAB 所成角的正切的最大值为2.。
江苏省高二上学期期末数学试题(解析版)
高二考试试卷一、单选题1．椭圆的短轴的长是（ ）221169x y +=A ．3 B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据椭圆方程确定其焦点位置，再根据短轴长的定义确定其短轴长.【详解】椭圆的，，且焦点在轴上，221169x y +=4a =3b =x 所以椭圆的短轴长为， 26b =故选：C.2．过抛物线的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段中点的横坐标为3，则24y x =AB AB 等于（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D【分析】根据抛物线方程得它的准线为，从而得到线段中点到准线的距离等于:1l x =-AB M 4．过、分别作、与垂直，垂足分别为、，根据梯形中位线定理算出A B AC BD l C D ，结合抛物线的定义即可算出的长．||||2||8AC BD MN +==AB 【详解】解：抛物线方程为，抛物线的焦点为，准线为 24y x =∴(1,0)F :1l x =-设线段的中点为，则到准线的距离为：， AB 0(3,)M y M ||3(1)4MN =--=过、分别作、与垂直，垂足分别为、， A B AC BD l C D 根据梯形中位线定理，可得， ||||2||8AC BD MN +==再由抛物线的定义知：，，||||AF AC =||||BF BD =．||||||||||8AB AF BF AC BD ∴=+=+=故选：D.3．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，若，则（ ）21231112,2a a a a ++==3S =A ．8 B ．7 C ．6 D ．4【答案】A【分析】结合等比数列性质化简已知条件，由此可求.3S 【详解】已知为等比数列，，且，{}n a 1322a a a ∴=22a =所以，则S 3＝8． 13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===故选：A ．4．若曲线在处的切线垂直于直线，则（ ） ()1ln y a x x =--2x =22y x =-+=a A ．2 B ．1C ．4D ．3【答案】B【分析】求导，利用导函数的几何意义得到切线斜率，根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，列出方程，求出的值. a 【详解】，，()1f x a x'=-()122f a '=-由题意得：，解得：1212a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭1a =故选：B5．我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与4钱，第三人赠与5钱，继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人？”在上述问题中，获得赠与的人数为（ ） A ．191 B ．193C ．195D ．197【答案】C【分析】利用等差数列前项和公式求解．n【详解】设有人，第人赠与钱数为，是等差数列，，公差， n n n a {}n a 13a =1d =则，， (1)31002n n n S n n -=+=195n =故选：C ．6．函数在区间上的大致图象为 ()211sin f x x x x π=+-[]2,2ππ-A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】令，易知是奇函数，则的图象关于点对称，排除部21()sin g x x x x=+()g x ()f x 10,π⎛⎫-⎪⎝⎭分选项，然后再利用特殊值法确定.【详解】因为，()()2211()sin sin =()⎛⎫-=-+=-+- ⎪-⎝⎭g x x x x x g x x x 所以是奇函数，()g x 所以的图象关于点对称，排除B 、C 两个选项，()1()π=-f xg x 10,π⎛⎫- ⎪⎝⎭又，当时，，()0f π=(0,)x π∈211sin 0,x x x π>>所以，排除D .()0f x >故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了理解辨析，转化求解问题的能力，属于中档题.7．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，过右焦点且22221(0,0)x y a b a b-=>>22(3)4x y ++=垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，则双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22154x y -=2212016x y -=2213216x y -=2211632x y -=【答案】C【分析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，根据被圆所截得的弦长为0bx ay -=22(3)4x y ++=2，利用弦长公式求得a ，b 的关系，再根据A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，由右焦点到渐近线的距离为A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线求解.【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，22221(0,0)x y a b a b-=>>0bx ay -=圆的圆心到渐近线的距离为， 22(3)4x y ++=3bd c=因为被圆所截得的弦长为2，22(3)4x y ++=所以，即，即，2314b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223b c =222b a =右焦点到渐近线的距离，d b ==因为A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，且右焦点到渐近线的距离为A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线， 所以，则，4b =232a =所以双曲线的方程为，2213216x y -=故选：C8．已知，，，则，，的大小关系为（ ） 0.12.1a -=0.11.2b -=0.22.1c -=a b c A ． B ． C ． D ．b c a >>b a c >>a b c >>a c b >>【答案】B【分析】由于，进而结合幂函数在上单调递减比较大小即可.0.20.1211. 4.4c --==0.1y x -=()0,∞+【详解】解：，()00.12.1.202.124..411c ---⎡⎤==⎣⎦=因为幂函数在上单调递减，， 0.1y x -=()0,∞+ 1.2 2.1 4.41<<所以，即. 0.10.10.11.221.1 4.4--->>b a c >>故选：B二、多选题9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，()y f x =R ()y f x '=()()1y x f x '=-则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数在上递减，在上递减 ()y f x =(),2-∞-()2,+∞B ．函数在上递增，在上递增 ()y f x =(),2-∞-()2,+∞C ．函数有极大值和极小值 ()y f x =()2f ()2f -D ．函数有极大值和极小值 ()y f x =()2f -()2f 【答案】BD【分析】结合函数图象，对分区间讨论与大小关系，从而推导出在区间上的单调性即x ()f x '0()f x 可；【详解】解：由图可知：当时，，故在上单调递增； <2x -0y >10()0x f x '->⇒>()f x (,2)-∞-当时，，故在上单调递减； 2<<1x -0y <10()0x f x '->⇒<()f x (2,1)-当时，，故在上单调递减； 12x <<0y >10()0x f x '-<⇒<()f x (1,2)当时，，故在上单调递增； 2x >0y <10()0x f x '-<⇒>()f x (2,)+∞故函数在时取得极大值，在时取得极小值， ()f x 2x =-2x =即函数有极大值和极小值； ()y f x =()2f -()2f 故选：BD ．10．等差数列中，前项和为，若，则下列命题中真命题的是（ ）{}n a n n S 12131314,S S S S <>A ．公差 0d <B ．1512S S <C ．是各项中最大的项 13a D ．是中最大的值 13S n S 【答案】ABD【分析】由得：，进而结合等差数列的性质逐个判断即可 12131314,S S S S <>13140,0a a ><【详解】因，所以， 12131314,S S S S <>13140,0a a ><所以公差成立，所以A 正确，0d <因为公差，所以等差数列为递减数列，所以各项中是最大的项， C 错误， 0d <{}n a 1a 因为，所以，B 成立.15121514131430S S a a a a -=++=<1512S S <设等差数列的前项的和最大，则，故，{}n a k 11k k k k S S S S +-≥⎧⎨≥⎩100k ka a +≤⎧⎨≥⎩又等差数列为递减数列，且， {}n a 13140,0a a ><所以，即是中最大的值，D 正确. 13k =13S n S 故选：ABD.11．下列命题中是真命题有（ ）A ．若，则是函数的极值点 ()00f x '=0x ()f xB ．函数的切线与函数可以有两个公共点()y f x =C ．函数在处的切线方程为，则当时，()y f x =1x =20x y -=0x ∆→()()1112f f x x-+∆=∆D ．若函数的导数，且，则不等式的解集是 ()y f x =()1f x '<()12f =()1f x x >+(),1∞-【答案】BD【分析】利用极值点的定义，举例判断A ；举例判断B ；利用导数的极限定义判断C;构造函数，利用单调性解不等式.【详解】A ：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当()3f x x =0x =()00f '=0x <()f x 0x >时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A 选项错误；()f x 0()f xB ：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；()sin f x x =[]0,3x π∈,12π⎛⎫⎪⎝⎭1y =()f x C ：根据导数的定义可知，，即，0x ∆→()()()1112f x f f x +∆-'==∆0x ∆→()()1112f f x x -+∆=-∆，故错误；D ：令，则有，，故的解集是()()1g x f x x =--()()10g x f x ''=-<()()11110g f =--=()0g x >，故的解集是，正确； (),1∞-()1f x x >+()1-∞，故选：BD.12．已知是公比为的等比数列，且，曲线：，．（ ）{}n a q 11a =n C 2211++=n n x y a a *n ∈N A ．若且，则是椭圆0q >1q ≠n C B ．若存在，使得表示离心率为的椭圆，则 *n ∈N n C 1243q =C ．若存在，使得表示渐近线方程为的双曲线，则*n ∈N n C 20x y ±=14q =-D ．若，表示双曲线的实轴长，则 2q =-n b n C 12206138++⋅⋅⋅+=b b b 【答案】ACD【分析】由等比数列的定义判断项的正负，并结合椭圆、双曲线的方程及其几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】因为且，所以，且，所以表示椭圆，所以A 正确． 0q >1q ≠0n a >10n a +>1+≠n n a a n C当表示椭圆时，显然且，若，则，，令n C 0q >1q ≠1q >1n n a a +>e ==，解得； 12=43q =若，则，，解得，所以故B 错01q <<1n n a a +>e ==1234q =误．若表示双曲线．显然，故双曲线的一条渐近线方程为， n C 0q <n C y，解得，所以C 正确．12=14q =-若，当为偶数时，，，双曲线的焦点在轴上，则为奇数2q =-n 0n a <10n a +>n C y n b =n时，，，双曲线的焦点在轴上，则0n a >10n a +<n C x n b =所以122022b b b ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅++42⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅-+，所以D 正确．1010111242212326613812-=⨯-+⨯⨯=⨯-=-【点睛】方法点睛：解决本题的关键有两个：（1）能根据公比的取值情况判断，的正负；q 1n a +n a （2）能根据椭圆、双曲线的方程和几何性质建立，的数量关系．1n a +n a三、填空题13．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：___________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为.13【答案】（答案不唯一）22198x y +=【分析】根据题干要求得到椭圆方程，要满足，答案不唯一 2289a b =【详解】只要椭圆方程形如或即可.221(0)98x y m m m +=>221(0)98y x m m m+=>故答案为：.（答案不唯一）22198x y +=14．现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的，从第2天开始每天截取前一天13剩下长度的，则第5天截取的长度是______米.13【答案】163【分析】设第n 天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为，由等比数列计算，进而可求解出n a 5a 答案.【详解】设第n 天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为， n a 由题意，数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1323则，故第5天截取的长度是米.4551216333a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭516168133⨯=故答案为：. 16315．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是__．21()()2f x x lnx a e x =++-1(,)2+∞a 【答案】，[2e -)∞+【分析】由题意得到恒成立，利用分离参数法和基本不等式即可求出的11()0()2f x x a e x x'=++->…a 取值范围.【详解】解：在上是增函数，21()()2f x x lnx a e x =++-1(,)2+∞， 11()0(2f x x a e x x ∴'=++->…，min 1()a e x x∴-++…由基本不等式得：（当且仅当，即时取“”，12x x +…1x x=1x ==)，∴min 1(2x x+=，解得，2a e ∴-+…2a e -…故答案为：，，[2e -)∞+16．如图，抛物线的焦点为,点与关于坐标原点对称，过的直线与抛物线交24E y x =：F M F O F 于两点，使得，又点在轴上的投影为，则,A B AB BM ⊥A x C AF AC BF BC +--=____________．【答案】4【分析】由题意结合抛物线的性质和点的坐标分别求得的值和的值即可确定AF BF -AC BC -的值. AC BF BC --【详解】设,()()1122,,,A x y B x y 对于一般的抛物线方程和过焦点的直线方程， 22y px =2p x my =+联立直线方程与抛物线方程有：，则，， 2220y pmy p --=212y y p =-2221212224y y p x x p p =⋅=据此可得本题中，又，得B 在以MF 为直径的圆上，121=x x AB BM ⊥故，而 ，22221x y +=2224y x =得，2222214x y x -==又 ， ()22212122222141114x x AF BF x x x x x x x x --=+-+=-=-===由，可得：（负值舍去），22214x x -=22x =-则，从而可得：，，1212xx ==2,A +2,B--注意到，据此可得：，)2,0C))222424420AC BC ⎡⎤-=+-+=⎣⎦则，0AC BC -=故 4.AF AC BF BC +--=【点睛】本题主要考查抛物线的性质，抛物线定义的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.四、解答题17．在等差数列中，已知，. {}n a 612a =1836a =（1）求数列的通项公式； {}n a n a （2）若____，求数列的前项和. {}n b n n S 在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其14n n n b a a +=(1)nn n b a =-A 2na n nb a =A 求解.【答案】（1）；（2）答案见解析.*2,n a n n N =∈【分析】（1）设等差数列的公差为，然后根据条件建立方程组求解即可；{}n a d （2）若选条件①，用裂项相消法求解，若选条件②，用分组求和法求解，若选条件③，用错位相【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，则{}n a d ，解得， 115121736a d a d +=⎧⎨+=⎩122a d =⎧⎨=⎩，.2(1)22n a n n ∴=+-⨯=N*n ∈（2）方案一：选条件①由（1）知，，144122(1)(1)n n n b a a n n n n +===++A 12n n S b b b =++⋯+ 1111223(1)n n =+++⨯⨯+ (1111112231)n n =-+-+⋯+-+ 11n 1=-+. 1n n =+方案二：选条件②由（1）知，，(1)(1)2n n n n b a n =-=-A A ，122468(1)2n n n S b b b n ∴=++⋯+=-+-+-⋯+-A 当为偶数时，()i n12n n S b b b =++⋯+，2468(1)2n n =-+-+-⋯+-A(24)(68)[2(1)2]n n =-++-++⋯+--+222=++⋯+ 22n =⨯，n =当为奇数时，为偶数，()ii n n 1-12n n S b b b =++⋯+，2468(1)2n n =-+-+-⋯+-A(24)(68)[2(2)2(1)]2n n n =-++-++⋯+--+--2222n =++⋯+- 1222n n -=⨯-； ,,1,.n n n S n n ⎧∴=⎨--⎩为偶数为奇数方案三：选条件③由（1）知，， 222224na n n n nb a n n ===A A A ，1231224446424n n n S b b b n ∴=++⋯+=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，231424442(1)424n n n S n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯两式相减，可得123132424242424n n n S n +-=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯12118(1444)24n n n -+=⨯+++⋯+-⨯ 11482414nn n +-=⨯-⨯-. 12(13)8433n n +-=-A . 12(31)8499n n n S +-∴=+A 【点睛】本题考查的是等差数列的基本运算和数列求和的方法，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.18．已知函数.()33f x x x =-（1）求曲线在处的切线方程；()f x 0x =（2）求函数的单调区间与极值.()f x 【答案】（1）；（2）增区间，，减区间，函数的极大值为3y x =-(),1-∞-()1,+∞()1,1-()y f x =2，极小值为.2-【解析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；()0f ()0f '（2）求出函数的极值点，列表分析函数的单调性以及导数符号的变化，即可得()y f x =()y f x =出函数的单调区间和极值.()y f x =【详解】（1），，则，.()33=- f x x x ()233'∴=-f x x ()00f =()03f '=-因此，曲线在处的切线方程为；()y f x =0x =3y x =-（2）令，得，列表如下：()2330f x x '=-=1x =±x(),1-∞- 1- ()1,1- 1 ()1,+∞ ()f x ' + 0 -0 + ()f x A 极大值 A 极小值A 所以，函数的增区间为，，减区间，()y f x =(),1-∞-()1,+∞()1,1-极大值为，极小值为.()12f -=()12f =-【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.19．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切()22:21M x y -+=()1,P t -:1l x =-P M 线，切点分别为.,A B(1)若，求切线所在直线方程；1t =-(2)求的最小值.AB 【答案】(1)或1y =-3410x y --=【分析】（1）假设切线方程，由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率，由此可得切线方程；（2）设，可得，结合可求得最小值. MPA MAN θ∠=∠=2cos AB θ=11sin 3PM θ=≤AB 【详解】（1）由题意知：切线的斜率存在，可设切线方程为，即，()11y k x +=+10kx y k -+-=由圆的方程知：圆心为，半径，()2,01r =则圆心到切线的距离，解得：或， M 1d 0k =34k =所求切线方程为：或.∴1y =-3410x y --=（2）连接交于点，,PM AB N设，则，MPA MAN θ∠=∠=2cos 2cos AB AM θθ==在中，， Rt MAP △1sin AMPM PM θ==，，3PM ≥Q ()max 1sin 3θ∴=()min cos θ∴==min AB ∴=20．已知数列的各项均为正数，前项和为，，．{}n a n n S 11a =121n n n a a S +=+（1）求数列的项；{}n a 21n a -（2）求数列的前项和.{}n a 2n 2n S 【答案】（1）（2）2121n a n -=-2222n S n n =+【分析】（1）由递推关系式确定数列的特征，然后结合等差数列通项公式可得数列的项； {}n a 21n a -（2）结合题意和(1)的结论首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可确定数列的前项和.2n 2n S 【详解】（1）由得，，121n n n a a S +=+12121n n n a a S +++=+两式相减得，因为数列为正项数列，()1212n n n n a a a a +++-={}n a 所以，又，22n n a a +-=11a =故数列是以为首项，公差为2的等差数列，{}21n a -11a =所以.()2111221n a n n -=+-⨯=-（2）由（1）知，，由及得22n n a a +-=11a =121n n n a a S +=+23a =故数列是以为首项，公差为2的等差数列，{}2n a 23a =所以-()23122+1n a n n =+-⨯=所以2123212n n n S a a a a a -=+++++ . ()()212132+12222n n n n n n +-⨯+⨯=+=+【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，等差数列前n 项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上. 2222:1(0)x y C a b a b+=>>F 20（，）2（C （1）求椭圆的方程及离心率；C （2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证F ,A B x A P x 明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．PB 【答案】（1）2）答案见解析. 22184x y +=【分析】（1）由题意得到关于a ,b ,c 的方程组，求解方程组确定a ,b ,c 的值即可确定椭圆方程和椭圆的离心率；(2)设，，，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得，结合韦()11,P x y ()22,B x y ()11,A x y -AF FB k k =达定理和直线斜率的定义得到m 与k 的关系，代入直线PB 的方程即可证得直线过定点.【详解】（1）由已知得，解得， 22222421{ 2a b a b c c +==+=228{ 4a b ==∴椭圆的标准方程，C 22184x y +=∴椭圆的离心率C c e a ==(2)设，，则，()11,P x y ()22,B x y ()11,A x y -可设的直线方程为，PB y kx m =+联立方程，整理得， 22{ 184y kx mx y =++=()222214280k x kmx m +++-=∴， 2121222428,2121km m x x x x k k --+==++，∴， AF FB k k = 121222y y x x =--整理得，，()()1212240kx x m k x x m +-+-=∴，解得， ()2222842402121m km k m k m k k --⋅+-⋅-=++4m k =-∴的直线方程为：，PB ()44y kx k k x =-=-直线恒过定点.PB ()4,0【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．设函数.2()(ln )(0)f x x a x a x a =-+≠（1）讨论的单调性；()f x （2）当时，若的最小值为，证明：. 0a >()f x 0222231+++ln(1)()12n n n N n*+⋅⋅⋅>+∈【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求函数的导数，然后结合定义域分类讨论；（2）由，得，从而， 令，有()min 0f x =1a =2ln x x x -≥*11,n x n N n+=>∈，由不等式的可加性可获得证明. ()211ln ln 1ln n n n n n n ++⎛⎫>=+- ⎪⎝⎭【详解】（1）由题意函数的定义域为，()f x ()0,∞+， ()()()2222'21x a x a a x ax a f x x a x x x +---⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭当时，，0a >()()()()0,,'0,,,'0x a f x x a f x ∈<∈+∞>所以在上单调递减，在上单调递增；()f x ()0,a (),a +∞当时，， a<0()()0,,'0,,,'022a a x f x x f x ⎛⎫⎛⎫∈-<∈-+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在上单调递减，在上单调递增. ()f x 0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，()()2min ln 0f x f a a a ==-=所以，1a =所以，()2ln 0f x x x x =--≥即，对于任意恒成立，当且仅当时，等号成立，2ln x x x -≥0x >1x =令，则， *11,n x n N n +=>∈2111ln n n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得， ()211ln ln 1ln n n n n n n ++⎛⎫>=+- ⎪⎝⎭所以. ()()()()222231···ln 2ln1ln 3ln 2···ln 1ln ln 112n n n n n++++>-+-+++-=+⎡⎤⎣⎦【点睛】关键点睛：含有参数的单调性讨论，一般要注意定义和找准临介值，证明和数列有关的不等式，一是要注意结合单调性和最值找到恰当的不等式，二是不等式可加性或可乘性的运用.。
2022-2023学年江苏省淮安市高二上学期1月期末数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省淮安市高二上学期1月期末数学试题一、单选题 1．以直线32y =为准线的抛物线标准方程为（ ） A ．23x y =- B ．23x y = C ．26x y =- D ．26x y =【答案】C【分析】根据给定条件，直接写出抛物线标准方程作答. 【详解】因为抛物线的准线是直线32y =，则该抛物线焦点在y 轴上，开口向下，其标准方程为26x y =-，所以所求抛物线标准方程为26x y =-. 故选：C2．已知直线1l ：10x my +-=，2l ：()2330m x y -++=，若12l l ⊥，则m = （ ） A ．－1 B ．3C ．12-D ．12【答案】D【分析】根据直线垂直得到()2130m m -⨯+=，即可求得结果. 【详解】因为直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，且12l l ⊥， 故()2130m m -⨯+=，解得12m =. 故选：D.3．设数列{}n a 是等比数列，且12341a a a a +++=，34562a a a a +++=，则78910a a a a +++=（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64【答案】A【分析】根据给定条件，利用等比数列通项列式，求出公比q 的平方即可求解作答. 【详解】设等比数列{}n a 的公比q ，因为12341a a a a +++=，34562a a a a +++=，则32124(2)q a a a a +++=，解得22q =，所以237891012346)()(8a a q a a a a q a a +=++=+++=.故选：A4．直线1y kx =+与曲线()3f x ax b =+相切于点()1,2P ，则b =（ ）A ．13B ．1C ．53D ．2【答案】C【分析】直线1y kx =+与曲线()3f x ax b =+相切于点()1,2P ,可得1,k =求得()f x 的导数,可得a ,即可求得答案.【详解】直线1y kx =+与曲线()3f x ax b =+相切于点()1,2P将()1,2P 代入1y kx =+可得:12k += 解得:1k =()3f x ax b =+∴ 2()3f x ax '=由(1)31f a '==,解得:13a =.可得()313b f x x =+, 根据()1,2P 在()313b f x x =+上 ∴ ()1123f b =+=,解得:53b =故选:C .5．已知直线l ：3470x y -+=，圆C ：()()22210x y r r -+=>，若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则r =（ ） A ．1 B ．3 C ．125D ．4【答案】B【分析】由数形结合结合点线距离即可求【详解】由题意得，()1,0C ，则点C 到直线l 的距离为372916d，圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则如图所示，直线l 交圆于A 、B 垂直半径CP 于B ，1BP =. 故12BC d r ，故3r =.故选：B6．数列{}n a 满足11a =-，()()*111n n a a n +-=∈N ，则n a 的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．12D ．－1【答案】B【分析】根据递推公式，写出数列的前几项，判断数列的周期，即可求解.【详解】由条件可知，11a =-，()()*111n n a a n +-=∈N ，则111n na a +=-， 则211112a a ==-，32121a a ==-，413111a a a ==-=-，所以数列{}n a 是周期为3的数列，由前3项可知，n a 的最大值为2. 故选：B7．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线E 的左支上，且12π6F F A ∠=，212AF AF =，则双曲线E 的离心率为（ ）A 3B 5C ．3D ．7【答案】A【分析】根据题意得24AF a =，12AF a =，12π6F F A ∠=，122F F c =，由余弦定理解决即可. 【详解】由双曲线定义知，212AF AF a -=， 因为212AF AF =，所以2124AF AF a ==，12AF a =， 因为12π6F F A ∠=，122F F c =， 所以在12F F A △中，由余弦定理得2222121122123cos 2AF F F AF F F A AF F F +-∠==⋅ 即222216443242a c a a c +-=⋅⋅(230e =，所以3e =， 故选：A8．已知ln 22a =，ln 4b =，()2ln 2ln 2c =+，则（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．b c a >>【答案】C【分析】构造函数，利用数形结合即可得出结论.【详解】因为0ln1ln 2ln 1e =<<=，即0ln 21<<，假设ln 2x =，则01x <<， 此时构造函数2x a =，ln 42ln 22b x ===，()22ln 2ln 2c x x =+=+， 由函数图像可知，在01x <<时222x x x x >>+，故a b c >>.故选：C二、多选题9．已知()0,πα∈，关于曲线C ：22sin cos 1x y αα+=，下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 不可能是圆B ．曲线C 可能是焦点在x 轴上的椭圆 C ．曲线C 不可能是焦点在y 轴上的椭圆D ．曲线C 可能是双曲线 【答案】BD【分析】根据α的不同取值，结合椭圆和双曲线标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】A.当π4α=时，ππ2sin cos 44==222x y +=，即为圆的方程，故A 错误； B.曲线方程整理为22111sin cos x y αα+=，当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110sin cos αα>>，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；C.当ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110cos sin αα>>，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，故C 错误； D. 当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110,0cos sin αα<>，曲线C 表示双曲线，故D 正确. 故选：BD10．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，1251n n n a a b +=-+，1251n n n b b a +=-+．则下列结论不正确的是 （ ）A ．数列{}n n a b -为等比数列B ．数列{}n n a b +为等差数列C ．6695a b +=D ．()11132312n n n a --=⨯+- 【答案】BCD【分析】对A ，条件两等式相减，根据定义判断等比数列； 对B ，条件两等式相加，根据定义判断等差数列； 对C ，由B 的结论求出通项，再求第6项； 对D ，由AB 的结论求出通项公式，再两式相加.【详解】对A ，()()()11251516n n n n n n n n a b a b b a a b ++-=-+--+=-， 即()113n n n n a b a b ++-=-，1110a b -=≠，故数列{}n n a b -为首项为1，公比为3的等比数列，A 对； 对BC ，()()112515142n n n n n n n n a b a b b a a b +++=-++-+=++， 即()1121n n n n a b a b +++=++，即()11121n n n n a b a b ++++=++， 故数列{}1n n a b ++为首项为1114a b ，公比为2的等比数列， 故111422n n n n a b -+++=⨯=，故121n n n a b ++=-，故数列{}n n a b +不为等差数列，76621127a b +=-=，BC 错；对D ，由A 得13n n n a b --=，又121n n n a b ++=-，两式相加得112231n n n a +-=+-，即()11142312n n n a --=⨯+-，D 错.故选：BCD11．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '满足()()f x f x '<，则（ ） A ．()()1e 0f f < B ．()()1e 0f f > C ．()()e ln 221f f < D ．()()e ln 221f f >【答案】BC【分析】构造函数()()xf xg x =e，利用导数分析函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】构造函数()()x f x g x =e ，其中x ∈R ，则()()()0e xf x f xg x '-'=>， 所以，函数()g x 为R 上的增函数，则()()10g g >，即()()10ef f >，所以，()()1e 0f f >，A 错B 对；因为ln 2lne 1<=，则()()ln 21g g <，即()()ln 212ef f <，所以，()()e ln 221f f <，C 对D 错. 故选：BC.12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线，经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1P 射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ） A ．121x x =- B ．254AB =C ．APQ △的面积为558D ．延长AO 交直线=1x -于点M ，MQ MB λ= 【答案】BCD【分析】A 选项，求出1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭，进而求出直线AB 的方程，与抛物线方程联立，得到121=x x ，A 错误；求出()4,4B -，利用两点间距离公式求出254AB =，B 正确； 求出111344AP =-=，并求出高，得到三角形面积，C 正确； 求出直线AO 的方程，得到()1,4M --，根据,,M Q B 三点共线，得到D 正确.【详解】24y x =中，令1y =，即41x =，解得：14x =，故1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则直线AB 必经过焦点()1,0F ，故直线AB 的方程为11410114x y --=--， 即4433y x =-+，联立4433y x =-+与24y x =得：241740x x -+=，故121=x x ，所以24x =，A 错误；将24x =代入24y x =中，2244y x =-=-，故()4,4B -， ()2212544144AB ⎛⎫=-+--=⎪⎝⎭，B 正确； 由于12l l //，则APQ △以AP 为底，则高为12145y y -=+=， 其中111344AP =-=， 故111555248APQS=⨯⨯=，C 正确；直线AO 的方程为4y x =，令=1x -，则4y =-，故()1,4M --， 由于直线2:4l y =-，点Q 纵坐标为-4，故,,M Q B 三点共线，故延长AO 交直线=1x -于点M ，MQ MB λ=，D 正确. 故选：BCD三、填空题13．若圆1C ：224x y +=与圆2C ：()()22325x y m -++=外切，则实数m =______．【答案】±【分析】根据两圆外切列方程，从而求得m 的值. 【详解】圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2. 圆()()22325x y m -++=的圆心为()3,m -，半径为5.257=+=，得240m =.故解得m =±故答案为：±14．已知定义在区间()0,π上的函数()2sin f x x -，则()f x 的单调递增区间为______． 【答案】π,π4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对()f x 求导，求出0fx的解即可求出答案.【详解】因为()2sin f x x -,则()2cos f x x ' 令()2cos 0f x x '>,即cos x <且()0,πx ∈ 所以π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()f x 的单调递增区间为π,π4⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：π,π4⎛⎫⎪⎝⎭15．已知1F ，2F 是双曲线C ：2213x y -=的两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点M ，则12MF F △的面积为______．【答案】【分析】根据题意求出圆方程和渐近线方程，联立求出M 点的坐标，进而可求面积. 【详解】由题可知1,2a b c ===， 所以线段12F F 为直径的圆方程为224x y +=，渐近线为a y x x b =±=，联立224x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得23x =，因为M在第一象限，所以M x =所以121212MF F M SF F x =⨯=故答案为: 16．小张计划连续十年向某公司投放资金，第一年年初投资10万元，以后每年投资金额比前一年增加2万元，该公司承诺按复利计算，且年利率为10%，第十年年底小张一次性将本金和利息取回，则小张共可以取得______万元．（结果用数字作答）． 参考数据：91.1 2.36=，101.1 2.59=，111.1 2.85=． 【答案】305【分析】根据给定信息，构建数列，再利用错位相减法求和作答.【详解】依题意，小张每年向公司投资金额构成以10为首项，2为公差的等差数列{},N ,10n a n n *∈≤， 102(1)28n a n n =+-=+，因此每年的投资到第十年年底的本金和利息和为11111.1(28) 1.1n n n n b a n --=⨯=+⨯，10次投资到第十年年底本金和利息总和为S ， 则2391028 1.126 1.124 1.112 1.110 1.1S =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯，于是得23410111.128 1.126 1.124 1.112 1.110 1.1S =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯， 两式相减得23910110.128 1.12(1.1 1.1 1.1 1.1)10 1.1S -=⨯-++++-⨯2911111.1(1 1.1)30.8210 1.15530 1.11 1.1-=-⨯-⨯=-⨯-，则有11300 1.1550300 2.85550305S =⨯-≈⨯-=， 所以小张共可以取得305万元. 故答案为：305四、解答题17．在①71a =，②848S =，③894a a +=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，440S =，______． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求n S 的最大值．注：作答前请先指明所选条件．．．．．．．．．．．，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)215n a n =-+；(2)49.【分析】（1）选择①②③，利用已知列出关于等差数列公差、首项的方程组，再解方程组即可作答. （2）利用（1）中结论，求出n S ，再求其最大值作答.【详解】（1）选①，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意，7141614640a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113,2a d ==-，所以数列{}n a 的通项公式为()()1312215n a n n =+-⋅-=-+.选②，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意，8141828484640S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113,2a d ==-，所以数列{}n a 的通项公式为()()1312215n a n n =+-⋅-=-+.选③，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意，8914121544640a a a d S a d +=+=-⎧⎨=+=⎩，解得113,2a d ==-，所以数列{}n a 的通项公式为()()1312215n a n n =+-⋅-=-+. （2）由（1）知，()()2213215147492n n S n n n n +-+=⨯=-+=--+，所以当7n =时，n S 取得最大值49．18．已知圆C 过两点()3,5A -，()1,7B ，且圆心在直线230x y -+=上． (1)求圆C 的方程；(2)过点()4,4P -作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程． 【答案】(1)()()221225x y -+-=； (2)4x =或3440x y ++=．【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解；（2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可. 【详解】（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=， 则222222(3)(5)(1)(7)230a b r a b r a b ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为()()221225x y -+-=． （2）设圆心()1,2C 到直线l 的距离为d ，则8M N =，则3d =． 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：4x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()44y k x +=-，即440kx y k ---=， 所以3d ==，解得34k =-，此时，直线l 的方程为()3444y x +=--，即3440x y ++=． 综上所述，直线l 的方程为4x =或3440x y ++=．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232-=n n nS ，*N n ∈，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且1b ，26b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)32n a n =-，3nn b =(2)123332n n n n T +-+-=【分析】(1)根据,n n a S 关系,结合应用等差等比数列基本量运算即可得出通项公式; (2)计算n c 后再应用等差数列前n 项和公式,等比数列前n 项和公式分组求和即可. 【详解】（1）因为232-=n n nS ，所以当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()22131133222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-， 1n =时也成立，所以32n a n =-．设等比数列{}n b 公比q ，因为1b ，26b +，3b 成等差数列，且1212b b +=，所以()122131226b b b b b +=⎧⎨+=+⎩，则21111121212b q b b q b b q ⎧+=+⎨+=⎩，所以133b q =⎧⎨=⎩，所以3n n b =．（2）因为n c 为在区间(32,3n n ⎤-⎦中的整数个数，所以()332nn c n =--， 则()()()122313132333333143213222n n nn n n n nT n +-+---=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-=-=-- 所以123332n n n n T +-+-=．20．已知函数()32123f x x x ax =-+++，R a ∈．(1)当3a =时，求函数()f x 的极值； (2)当403a <<时，若函数()f x 在[]0,4上的最小值为23，求实数a 的值．【答案】(1)()f x 的极小值为13，极大值为11；(2)1a =.【分析】（1）把3a =代入，利用导数求出函数()f x 的极值作答.（3）利用导数探讨函数()f x 在[]0,4的单调性，求出最小值即可求解作答.【详解】（1）当3a =时，函数()321323f x x x x =-+++定义域为R ，()()()22313f x x x x x '=-++=-+-，当1x <-或3x >时，()0f x '<，当13x -<<时，()0f x '>，即函数()f x 在(),1-∞-，()3,+∞上递减，在()1,3-上递增，因此当=1x -时，()f x 取得极小值()113f -=，当3x =时，()f x 取得极大值()311f =， 所以()f x 的极小值为13，极大值为11．（2）函数()32123f x x x ax =-+++，403a <<，求导得()22f x x x a '=-++，因为04x ≤≤，则由()0f x '=得1x =14，当01x <<()0f x '>，当14x +<时，()0f x '<， 因此函数()f x在[0,1+上单调递增，在(14]上单调递减，而()02f =，()104423f a =-<，则函数()f x 在[]0,4上的最小值为()1024433f a =-=，解得1a =， 所以实数a 的值为1. 21．已知函数()2ln x af x x+=，a ∈R ． (1)若()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若()1e 1xf x x x≤+-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(],2-∞- (2)(],2-∞【分析】（1）()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递增，即()0f x '≥在(20,e ⎤⎦上恒成立，由函数单调性讨论恒成立问题即可；（2）由导数法直接研究或由换元法化简后研究恒成立问题.【详解】（1）()222ln x a f x x--'=，因为()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递增， 所以(20,e x ⎤∀∈⎦，()222ln 0x a f x x--'=≥恒成立，即2ln 20x a -+-≥恒成立， 因为2ln 2y x a =-+-在(20,e ⎤⎦上单调递减，所以2min 2220y lne a a =-+-=--≥，则2a ≤-． 故实数a 的取值范围为(],2-∞-； （2）因为()2ln 1e 1x x af x x x x+=≤+-恒成立，所以22ln e 10x x x x a +-+-≤恒成立， 设()222ln e 1g x x x x a =+-+-，0x >，则()()()222112e 2e x x g x x x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎝'⎪⎭， 设()21e xh x x =-，0x >，则()32e 0x h x x -'-=<，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，且1402h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11e 0h =-<，则01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()00201e 0x h x x =-=，即()00g x '=，且0201e x x =，002ln x x =-，列表得所以()()02200000002max 012ln e 1120x g x g x x x x a x x x a a x ==+-+-=--⋅+-=-≤，则2a ≤. 解法二：()2ln 1e 1x x af x x x x+=≤+-恒成立，即22ln e 10x x x x a +-+-≤恒成立， 令2e x t x =，0x >，则()22e 0xt x x '=+>，所以2e x t x =在()0,∞+上单调递增，因为0x =时，0=t ，所以2e x t x =在()0,∞+上的值域为()0,∞+．因为()222ln ln ln e ln x xx x lne x x t +=+==，所以()0,t ∀∈+∞，ln 10t t a -+-≤恒成立，设()ln 1t t t a ϕ=-+-，()0,t ∈+∞，则()111tt t tϕ-=-='，令()0t ϕ'=得1t =，列表得所以()()max 120t a ϕϕ==-≤，则2a ≤． 解法三：()2ln 1e 1x x af x x x x+=≤+-恒成立，即22ln e 10x x x x a +-+-≤恒成立， 令2ln t x x =+，0x >，则2ln t x x =+在()0,∞+上单调递增，2ln t x x =+的值域为R ． 因为22ln 2ln e e e e e x x x x x t x +=⋅==，所以t ∀∈R ，e 10t t a -+-≤恒成立，设()e 1t t t a ϕ=-+-，t ∈R ，则()1e tt ϕ'=-，令()0t ϕ'=得0=t ，列表得所以()()max 020t a ϕϕ==-≤，则2a ≤．故实数a 的取值范围是(],2-∞．22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>A ，B 为椭圆的左、右顶点，C 为椭圆的上顶点，原点O 到直线AC． (1)求椭圆E 的方程；(2)P 为椭圆上一点，直线AC 与直线PB 交于点Q ，直线PC 与x 轴交于点T ，设直线PB ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，求122k k -的值． 【答案】(1)2214x y +=(2)12-【分析】（1）根据条件建立关于,,a b c 的方程组，即可求解；（2）解法一：首先设点()00,P x y ，利用点P 的坐标表示直线PB 的斜率1k ，以及直线PC 的方程，并利用直线方程联立求得点Q 和T 的坐标，代入并化简直线QT 的斜率2k ，计算122k k -的值； 解法二：设直线PB ：()12y k x =-，与直线AC 方程联立求点Q 的坐标，并于椭圆方程联立求点P 的坐标，再求直线PC 方程，得到点T 的坐标，即可求直线QT 的斜率2k ，并计算122k k -的值. 【详解】（1）原点O 到直线AC ：1x y a b +=-即0bx ay ab -+=的距离d =，又c e a ==222a b c =+，解之得2a =，1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）解法一：设()00,P x y ，则220014x y +=，直线PB 的斜率0102y k x =-，因为()2,0A -，()2,0B ，()0,1C ，所以PC ：0011y y x x -=+， 令0y =得01x x y =-，所以00,01x T y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，又AC ：112y x =+，PB ：()0022y y x x =--，联立可得00000002444,2222x y y Q y x y x ⎛⎫+- ⎪-+-+⎝⎭， 直线QT 的斜率()00000222000000000004041222444484221y y y y x k x y x x y x y y y x y ---+==+---+---+- ()()()0000022200000000004141184822444484y y y y y y x y y x y y yx y y ---===--++----+-，所以()()()()()00000001200000022212122222222y x y y x y y k k x x y x x y +------=-⨯=-+--+- ()22000000000022000000000022242224124442442444y x y x y y x y x y x x y x y y x y x y -++--++-===-+--+-+--+．解法二：因为()2,0A -，()2,0B ，()0,1C ，所以AC ：112y x =+， 与PB ：()12y k x =-联立可得1111424,2121k k Q k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭， 将PB ：()12y k x =-代入2214x y +=得()222211141161640k x k x k +-+-=，所以2121164241P k x k -=+，则21218241P k x k -=+，2111221182424141P k k y k k k ⎛⎫--=-= ⎪++⎝⎭， 所以2112211824,4141k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 则直线PC 的斜率为()()()()()1222111112211111214121214144182822212122141PCk k k k k k k k k k k k k ---+-++---====--+--+， 所以PC ：()()11211221k y x k -+=+-，令0y =得114221k x k -=+，则1142,021k T k ⎛⎫-⎪+⎝⎭， 所以QT 斜率为()()()()()()1111111************42142121142424221422116242121k k k k k k k k k k k k k k k k k --++-====++-++-----+， 则12122k k -=-．。
江苏省高二上学期数学期末考试试卷
江苏省高二上学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020 高二上·哈尔滨开学考) 已知，则（）A.B. C. D. 2. （2 分） 命题“∀ n∈N* ， f（n）∈N*且 f（n）≤n”的否定形式是（ ） A . ∀ n∈N* ， f（n）∉N*且 f（n）＞n B . ∀ n∈N* ， f（n）∉N*或 f（n）＞n C . ∃ n0∈N* ， f（n0）∉N*且 f（n0）＞n0 D . ∃ n0∈N* ， f（n0）∉N*或 f（n0）＞n0 3. （2 分） “直线 l 与平面 a 内无数条直线都平行”是“直线 l 与平面 a 平行”的（ ） A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件D . 不充分也不必要条件4. （2 分） (2018·吉林模拟) F1 ， F2 分别是双曲线的左、右焦点，过 F1 的直线与双曲线的左、右两支分别交于 A、B 两点．若△ABF2 是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A.第 1 页 共 18 页B. C. D. 5. （2 分） 已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的离心率等于（ ）A. B.C.D.6. （2 分） (2017 高二上·邯郸期末) 在空间直角坐标系中，A，B，C 三点到坐标分别为 A（2，1，﹣1），B（3，4，λ），C（2，7，1），若，则 λ=（ ）A.3B.1C . ±3D . ﹣37. （2 分） (2017 高一下·河北期末) 已知 P 是椭圆 + =1（a＞b＞0）上一点，F1、F2 分别是椭圆的 左、右焦点，若△PF1F2 的周长为 6，且椭圆的离心率为 ，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（ ）A. B.1C. D.2第 2 页 共 18 页8. （2 分） (2017·淮北模拟) 已知三个数 1，a，9 成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）A. B.C. 或D. 或9. （2 分） 在椭圆中，， 则该椭圆离心率的取值范围是（分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点 P 使得 ）A.B.C.D.10. （2 分） (2018·佛山模拟) 已知双曲线，若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为（的左焦点为 ），右顶点为，虚轴的一个端点为A.B.C.D.11. （2 分） (2020 高三上·云南月考) 已知向量，向量 在 方向上的投影为-4，若，则实数 的值为（ ）第 3 页 共 18 页A.3B. C.D.12. （2 分） (2020 高二上·上海期中) 已知是直线则方程表示的直线（ ）上一点，A . 与 重合B . 与 交于点 C . 过 与 平行 D . 过 与 相交二、 填空题 (共 3 题；共 3 分)13. （1 分） (2017 高二上·如东月考) 抛物线的准线方程是________．是 外一点，14. （1 分） (2018 高二上·沭阳月考) 已知椭圆 C：的左、右焦点为 F1 ， F2 ， 离心率为 ，过 F2 的直线 交 C 于 A，B 两点．若△AF1B 的周长为，则 C 的标准方程为________。
江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
南京市高二年级期末试卷数学（答案在最后）2024.01注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系xOy 中，若直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.-1B.23C.32D.32.现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（）A.53 B.35A C.35C D.353.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a <，且01q <<”是“对于任意*N 都有1n n a a +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.在空间直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,1,1,1a b x =--=-- ，且a 与b的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.()0,3 C.()3,+∞ D.()()0,33,⋃+∞5.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B —AC —M 的余弦值为（）A.66B.36C.26D.166.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222:(6)(6)9C x y -++=.若圆心在x轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是（）A.2281x y +=B.2264x y +=C.2249x y += D.2236x y +=7.已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=+，则35991a a a a ++++ 的值是（）A .25B.50C.75D.1008.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（）A.4B.6C.8D.16二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.30x y +-= B.30x y ++= C.10x y --= D.20x y -=10.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（）A.若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序C.若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序D.若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序11.在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（）A.AB 的最小值为2B.以线段AF为直径的圆与y 轴相切C.111FA FB+=D.当3AF FB =时，直线AB 的斜率为1±12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 满足()101,01BE BC BB λμλμ=+≤≤≤≤，则（）A.若λμ=，则1B C AE ⊥B.若1λμ+=，则1B C 平面1A DEC.若1λμ+=，则1AE D E +D.若221λμ+=，则AE 与平面11BB C C 的所成角为定值π4第II 卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1121n n C -+=，那么n =________；14.在直三棱柱111ABC A B C -中，3,3,AC BC AB ===,14AA =,则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为__________．15.数列{}n a 满足1111,2n na a a +=-=，则2024a =__________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:14yC x -=的左､右顶点分别为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若DP t DQ =且2DQP DPQ ∠=∠，则t 的值是__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17.如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN =.（1）用向量OAOB OC，，表示OP；（2）求||OP .18.在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线2:170l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.19.在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++< ．20.如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS的中点.（I）求证：SD //平面ACE ；（II）若平面ABS ⊥平面ABCD ，120ABC ∠=︒，求直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.21.数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，对任意的*n ∈N 有0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b ，15-2b =，*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=，求数列{}n b 的通项公式.22.已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过点(作椭圆的两条切线，且两切线垂直.（1）求a ；（2）已知点()0,1Q -，若直线l 与椭圆交于,M N ，且以MN 为直径的圆过点Q （,M N 不与Q 重合），求证直线MN 过定点，并求出定点.南京市高二年级期末试卷数学2024.01注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系xOy 中，若直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.-1B.23C.32D.3【答案】C 【解析】【分析】根据两直线垂直的条件列方程求解．【详解】直线()210x a y +-+=与直线310ax y +-=互相垂直，则1(2)30a a ⋅+-⋅=，解得32a =.故选：C2.现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（）A.53B.35A C.35C D.35【答案】A 【解析】【分析】利用分步计数原理即得．【详解】每一位同学有3种不同的选择，则5名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是53.故选：A ．3.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a <，且01q <<”是“对于任意*N 都有1n n a a +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可【详解】若10a <，且01q <<，则111111(1)0n n n n n a a q a q a q q a -+--=-=->，所以1n n a a +>，反之，若1n n a a +>，则111111(1)0n n n n n a a q a q a q q a -+--=-=->，所以10a <，且01q <<或10a >，且1q >，所以“10a <，且01q <<”是“对于任意*N ，都有1n n a a +>”的充分不必要条件.故选：A4.在空间直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,1,1,1a b x =--=-- ，且a 与b的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.()0,3 C.()3,+∞ D.()()0,33,⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意得出0a b ⋅< 且a 与b 不共线，根据数量积公式列出不等式并排除两个向量反向时x 的值，从而得解.【详解】因为a与b的夹角为钝角，所以0a b ⋅< ，且a 与b 不共线，又()()1,2,1,1,1,1a b x =--=--则()()11211120a b x x ⋅=⨯--⨯--⨯=-<，解得0x >，若a与b共线，则111112x --==--，即3x =，此时a b =- ，a 与b 反向，需要舍去，所以x 的取值范围为0x >且3x ≠，即()()0,33,x ∈⋃+∞.故选：D.5.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B —AC —M 的余弦值为（）A.6B.6 C.26D.16【答案】A 【解析】【分析】以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ，求平面AMC 的一个法向量n以及平面ABC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】因为BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥BC ，又PA ⊥AB ，且BC ∩AB ＝B ，所以PA ⊥平面ABCD .以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz .则A (0，0，0)，C (1，2，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，M 1,0,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,2,0AC = ，1,0,12AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得平面AMC 的一个法向量为n＝(－2，1，1)，又平面ABC 的一个法向量AP＝(0，0，2)，所以cos 〈n ，AP〉＝6n AP n AP⋅=== .所以二面角B --AC --M的余弦值为6.故选：A【点睛】本题考查了空间向量法求面面角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222:(6)(6)9C x y -++=.若圆心在x轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是（）A .2281x y += B.2264x y +=C.2249x y += D.2236x y +=【答案】A 【解析】【分析】由题知圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径，圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径，进而设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r 得2222121,9r CC r CC =+=+，再结合距离公式解方程即可得答案.【详解】圆C 平分圆C 1等价于圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径．同理圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r ，则()222x a y r -+=，所以2222121,9r CC r CC =+=+，即()()()222222481669a r a r⎧-+-+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得20,81.a r =⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为2281x y +=．故选：A7.已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=+，则35991a a a a ++++ 的值是（）A.25B.50C.75D.100【答案】B 【解析】【分析】根据所给递推关系可得317599972a a a a a a +=+==+= ，即可得解.【详解】由1(1)21nn n a a n ++-=+，故2212212(1)41nn n n n a a a a n +++-=+=+，21221221(1)41n n n n n a a a a n ---+-=-=-，则()()212221212141412n n n n n n a a a a a a n n +-+-+--=+=+--=，故317599972a a a a a a +=+==+= ，故91359502502a a a a ++=⨯+=+ .故选：B.8.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（）A.4B.6C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】由12F F 在1F P上的投影等于1F P 可知PF 1⊥PF 2，利用椭圆与双曲线的焦距相同找到1e 和2e 的关系，最后构建函数利用导数求出22129e e +的最小值.【详解】如图，设半焦距为c ．∵点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P上的投影等于1F P，∴PF 1⊥PF 2．设1PF m =，2PF n =，则12m n a +=，22m n a -=．∴22()()4m n m n mn +--=＝21a ﹣22a ．在12PF F △中，由勾股定理可得：()()22222221124242c m n m n mn a a a =+=+-=--.∴222122c a a =+．两边同除以c 2，得2＝221211+e e ，所以()()222222121212222212219111==1199++10+10+6=8222e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭++，当22123=e e即1=3e 时取等号，因此9e 12+e 22的最小值是8．故选：C.【点睛】求最值题目一般分为三步：①写表达式；②消元；③求值域.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.30x y +-=B.30x y ++= C.10x y --= D.20x y -=【答案】ACD 【解析】【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设.【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为1x ya b+=，由题可得211,,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩所以211,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或211,,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩解得3,3a b =⎧⎨=⎩或1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以直线方程为30x y +-=或10x y --=，故A ，C 正确；当直线的截距为0时，设直线方程为y kx =，由题可知12k =，故直线方程为20x y -=，D 正确．故选：ACD10.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（）A.若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序C.若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序D.若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序【答案】AC 【解析】【分析】对AB ：根据分步计数原理，先安排特殊的工序，再安排其它工序即可；对C ：采用捆绑法，再根据分步计数原理即可求得结果；对D ：采用插空法，再根据分步计数原理即可求得结果.【详解】假设有甲乙丙丁戊，这5道工序.对A ：假设甲工序不能放到最后，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理，所有的安排顺序有：4432196⨯⨯⨯⨯=种，故A 正确；对B ：假设甲乙2道工序不能放到最前，也不能放到最后，先安排甲乙，则共有326⨯=种安排方式；再安排剩余3道工序，共有3216⨯⨯=种；根据分步计数原理，则所有的安排顺序有：6636⨯=种，故B 错误；对C ：假设甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有4321248⨯⨯⨯⨯=种加工顺序，故C 正确；对D ：假设甲乙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲乙，故共有：3214372⨯⨯⨯⨯=种加工顺序，故D 错误.故选：AC.11.在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（）A.AB 的最小值为2B.以线段AF为直径的圆与y 轴相切C.111FA FB+=D.当3AF FB =时，直线AB 的斜率为1±【答案】BC 【解析】【分析】根据题意设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程可得124y y m +=，124y y =-，进而可得21242x x m +=+，()241AB m =+，根据抛物线的定义结合韦达定理逐项分析判断即可得.【详解】由题意可知：拋物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线为=1x -，且直线l 的斜率可以不存在，但不为0，设直线:1l x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得2440y my --=，则216160m ∆=+>，可得12124,4y y m y y +==-，可得()()()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()212241AB x x m =++=+，对于选项A ：因为()2414AB m =+≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以AB 的最小值为4，故A 错误；对于选项B ：因为线段AF 的中点为111,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，1112p AF x x =+=+，则M 到y 轴的距离112x d +=，以以线段AF 为直径的圆的半径为112x +，即圆心到y 轴的距离等于该圆半径，故y 轴与该圆相切，故B 正确；对于选项C ：因为12121111111122FA FB x x my my +=+=+++++()()2212222212124444412448444m y y m m m y y m y y m m m ++++====+++-+++，所以111FA FB+=，故C 正确；对于选项D ：因为()()11221,,1,AF x y FB x y =--=-uuu r uu r ，且3AF FB =，则123y y -=，即123y y =-，联立121234y y y y m =-⎧⎨+=⎩，解得1262y my m =⎧⎨=-⎩，代入124y y =-可得2124m -=-，解得3m =±，所以直线l的斜率为，故D 错误.故选：BC.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 满足()101,01BE BC BB λμλμ=+≤≤≤≤，则（）A.若λμ=，则1B C AE ⊥B.若1λμ+=，则1B C 平面1A DEC.若1λμ+=，则1AE D E +D.若221λμ+=，则AE 与平面11BB C C 的所成角为定值π4【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 选项，点E 为1BC 中点，连接1AB 和AC ，易知1B C AE ⊥；对于B 选项，点E 在线段1B C 上运动，1B ，C ，1A ，D 四点共面，平面1A DE 和平面11B CA D 为同一平面；对于C 选项，AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，将这两个平面独立出来展开成同一个平面即可求解；对于D 选项，点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动，AE 扫过的图形为圆锥面，据此即可求解.【详解】对于A 选项，因为λμ=，所以易知点E 为1BC 中点，如图，连接1AB 和AC ，由正方形易知1AB AC =，因为点E 是1B C 的中点，所以1B C AE ⊥，故A 选项正确；对于B 选项，由题意得点E 在线段1B C 上运动，由正方体的性质可知11//B C A D ，所以1B ，C ，1A ，D 四点共面，因为点1E C B ∈，所以点E ∈平面11CDA B ，所以平面1A DE 和平面11B CA D 为同一平面，所以1B C 在平面1A DE ，故B 选项错误；对于C 选项，由题意得AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，所以将这两个平面独立出来展开成同一个平面，易知当点A 、E 、1D 三点共线时1AE ED +最短，所以1162260AE ED AD +≥=︒=，故C 选项正确；对于D 选项，由11BC BB ==和221λμ+=易知点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动，因为AB ⊥平面11BCC B ，所以AE 扫过的图形为圆锥面，所以12AE AB AC ===，且AE 为圆锥的母线，因为圆锥的母线与底面的夹角是恒定的，所以AE 与平面11BB C C 的所成的线面角θ恒定，因为1t n 11a h r θ===，所以π4θ=，故D 选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于AE 扫过的平面为平面1AB C ，1D E 扫过的平面为平面11D B C ，点E 在以B 为圆心半径为1的14圆上运动的分析.第II 卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1121n n C -+=，那么n =________；【答案】6【解析】【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；【详解】解：因为1121n n C -+=，所以2121n C +=，即()1212n n +=，即2420n n +-=，解得6n =或7n =-（舍去）故答案为：614.在直三棱柱111ABC A B C -中，3,3,32AC BC AB ===,14AA =,则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为__________．【答案】1625【解析】【分析】先由题意可得1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出直线1AC 与1BC 的方向向量，根据向量夹角余弦值即可得出结果.【详解】因为3,3,32AC BC AB ===，所以角C 为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()10,0,4C ，()13,0,4A ，()0,3,0B ，所以()13,0,4A C =-- ，()10,3,4BC =-，设异面直线1AC 与1BC 所成角为θ，则1111114416cos cos 25916916A C BC A C BC A C BC θ⋅-⨯====+⨯+，.故答案为1625【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，空间向量法求异面直线所成角，是一种常用的方法，属于常考题型.15.数列{}n a 满足1111,2n na a a +=-=，则2024a =__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.【详解】由题设312411,2, (2)2,,a a a a =-===，所以{}n a 是周期为3的数列，则202436742212a a a ⨯+===.故答案为：1216.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:14yC x -=的左､右顶点分别为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若DP t DQ =且2DQP DPQ ∠=∠，则t 的值是__________.【答案】233【解析】【分析】设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，由4DP DQ k k ⋅=得出cos 3θ=，再由正弦定理有||||sin 2sin DP DQ θθ=，即可得出t .【详解】如图所示，设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，设11(,)D x y ，则221114y x -=，即212141y x =-，由双曲线方程可得(1,0),(1,0)P Q -，所以211121114111DP DQy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，又2DQP DPQ ∠=∠，()tan ,tan π2DP DQ k k θθ==-，则()tan tan π24θθ⋅-=，解得tan θ=，则cos 3θ=，在DPQ V 中，由正弦定理得||||sin 2sin DP DQ θθ=，可得||sin 2232cos ||sin 3DP t DQ θθθ====.故答案为：3.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17.如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN = .（1）用向量OAOB OC ，，表示OP；（2）求||OP.【答案】（1）111444OP OA OB OC=++ （2）6||4OP =【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；（2）先计算22111444OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再开方即可求解.【小问1详解】因为M 是棱BC 的中点，点N 满足2ON NM =，点P 满足34AP AN = .所以()33131324444443OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON OA OM=+=+=+-=+=+⨯()111111422444OA OB OC OA OB OC =+⨯+=++；【小问2详解】因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，所以1OA OB OC === ，π3AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以111122OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，所以22111444OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222111111111222161616444444OA OB OC OA OB OB OC OA OC =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 11111131616161616168=+++++=，所以||4OP = .18.在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线2:170l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.【答案】（1）22(3)16x y ++=（2）7170x y -+=或7170x y +-=.【解析】【分析】（1）设出圆心，借助点到直线距离公式可解得圆心坐标，即可得方程；（2）结合三角形面积与点到直线距离公式及勾股定理计算即可得.【小问1详解】由已知可设圆心()0,(0)C b b <，4=，解得3b =-或7b =（舍），所以圆C 的方程为22(3)16x y ++=；【小问2详解】设圆心C 到直线2l 的距离为d ，则182ABC AB S AB d ==⨯== ，即4216640d d -+=，解得d =又d ==所以7k =或7-，所以直线2l 的方程为7170x y -+=或7170x y +-=.19.在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++< ．【答案】（1）32n a =或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得32n a =或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由于{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭ ，其前n 项和为()1114414n -<+.【详解】（1）假设等比数列{a n }公比为q,3339,22a S == ，313·2a a q ∴==，且()3312113S a a a a q -=+=+=，解得1132q a =⎧⎪⎨=⎪⎩或1126q a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，32n a ∴=或1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由题意{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，222222166log log log 22162n n nn b na +====⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，()111111·4141n n n c b b n n n n +⎛⎫∴===- ⎪++⎝⎭，()123111111111111142231414414n c c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫∴++++=-+-+-=-=-< ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭ ．20.如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS的中点.（I）求证：SD //平面ACE ；（II）若平面ABS ⊥平面ABCD ，120ABC ∠=︒，求直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）5.【解析】【分析】（I）连接BD 交AC 于点F，再连接EF，利用EF 是三角形DBS 的中位线，判断出DS 平行EF，再利用线面平行的判定得证;（II）取AB 的中点为O，利用已知条件证明DO、SO、BO 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面ADC 的法向量，再利用线面角的公式求出直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.【详解】（I）证明：连接BD 角AC 于点F，再连接EF.因为四边形ABCD 是菱形，所以点F 是BD 的中点，又因为点E 是BS 的中点，所以EF 是三角形DBS 的中位线，所以DS 平行EF，又因为EF ⊂平面ACE，SD ⊄平面ACE 所以SD //平面ACE（II）因为四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，所以1602ABD ABC ∠=∠= 又AB=AD，所以三角形ABD 为正三角形.取AB 的中点O，连接SO，则DO ⊥AB 因为平面ABS ⊥平面ABCD ，平面ABS平面ABCD =AB所以DO ⊥平面ABS，又因为三角形ABS 为正三角形则以O为坐标原点建立坐标系设AB=2a，则(0,,0),,0,0),(0,0,),(0,2,)A a S D C a-(0,),,,0),(0,3)AD a AS a AC a ===设平面ADS 的一个法向量为(,,)n x y z =则0000y AD n AS n y ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎩ 取x=1，则1y z ==所以(1,n =r设直线AC 与平面ADS 所成角为θ则sin cos ,5AC n AC n AC nθ⋅===⋅【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及运用空间向量去解决立体几何的问题，如何建系和求法向量是解题的关键，属于中档题.21.数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，对任意的*n ∈N 有0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b ，15-2b =，*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）21n a n =-；（2）232n nn b +=-.【解析】【分析】（1）利用递推关系化简，消去S n ，得到a n 与a n+1间的关系，满足等差数列定义，从而求得通项公式；（2）将（1）中通项代入递推关系中，化简得到等差数列乘等比数列的形式，利用错位相减法求和，即可得到数列通项.【详解】解：（1）()214n n a s +=①，2n+11(+1)4n a s +=②②-①得到()()11124n n n n n aa a a a +++++-=，所以()()1120n n n n a a a a +++--=因为10n n a a ++>所以12n n a a +-=所以数列{}n a 为等差数列，又因为11a =所以21n a n =-（2）因为*111,2()n n n n n N b b a +++∀∈-=所以11112122n n n n n a n b b +++++-==所以11232211()())()n n n n n b b b b b b b b b b ---=-+-++-+-+ （1322-12353522222n n n n --=++++- ③所以12212n-12353252222n n n n b ---=++++- ④.所以④-③得到1222222112222n n n n n b ---=+++-- =2111-)212322112212n n n n n --+--=--（【点睛】方法点睛：化简转化递推关系，转化为满足等差数列的形式，利用错位相减法求解等比数列与等差数列乘积形式的前n 项和.22.已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过点(作椭圆的两条切线，且两切线垂直.（1）求a ；（2）已知点()0,1Q -，若直线l 与椭圆交于,M N ，且以MN 为直径的圆过点Q （,M N 不与Q 重合），求证直线MN 过定点，并求出定点.【答案】（1；（2）证明过程见解析，定点坐标为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）设切线方程，联立直线与椭圆，利用相切，得判别式为0，再利用切线垂直，即可得a 的值；（2）设直线MN 的方程，由以MN 为直径的圆过点Q ，得0QM QN ⋅=，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】由题可知，切线斜率存在，则设切线y kx =，联立得222220x k x a+++=，即()22222120a k x kx a +++=，相切得：()42222Δ12810a k aa k=-+=，即2220a k -=，所以12,=-=k k a a由两切线垂直得：12221k k a-⋅==-a ∴=；【小问2详解】由（1）得，椭圆方程为2212x y +=由题可知，直线MN 的斜率存在，设:=+MN y nx t ，联立得()222214220+++-=n x ntx t 设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得：2121222422,2121--+==++nt t x x x x n n 由题意MN 为直径的圆过点Q ，1122121212(,1)(,1)10QM QN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=+++∴+=①又22221212121222()()()21-=++=+++=+t n y y nx t nx t n x x nt x x t n 12121222()()()221=+++=++++=t y y nx t nx t n x x t n代入①式得：23210t t +-=13t ∴=或1-（舍去），所以MN 过定点10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系，结合圆的几何性质是解题的关键.。
2022-2023学年江苏省苏州市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年江苏省苏州市高二上册期末数学质量检测试题一、填空题1．半径为1cm 的球的体积是___________3cm .【正确答案】4π3【分析】根据球体积公式计算．【详解】由题意球体积为()3344π1πcm 33V =⨯=．故4π3．2．设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.【分析】设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，可知O 为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案．【详解】如图，设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，四面体为正四面体，∴O 为底面正三角形的中心，连接CO 并延长交BD 于G ，则G 为BD 中点，底面边长为1，23CO CG ∴==AO ∴∴该正四面体的高为3．故3．3．两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.【正确答案】35##0.6【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为：35=.故答案为.354．若直线l 的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.【正确答案】0x =【分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数.【详解】若直线l 的一个法向量为(-，可设直线方程为0x c -++=，由直线过原点，∴0c =，故所求直线方程为0x -=，即0x -=.故0x -=5．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.【分析】根据直观图和平面图的关系可求出O A ''，进而利用面积公式可得三角形A B C '''的面积【详解】由已知可得122O A ''=⨯则122A B C S '''=⨯故答案为6．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．【正确答案】2π【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积12222S ππ=⨯⨯=．故2π.7．一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.【正确答案】2根据已知可知：2a b =，再代入离心率公式e =即可.【详解】由题知：222a b =⨯，即2a b =.2c e a=====.本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.8．已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.【正确答案】π3π[0,][,π)44⋃【分析】由题意可得直线l 的斜率cos [1,1]k θ=-∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]β∈-，[0,π)β∈，再根据正切函数的性质即可求得答案.【详解】解：因为直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，所以直线l 的斜率cos k θ=-，所以[1,1]k ∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]k β=∈-，又因为[0,π)β∈，所以π3π[0,][,π)44β∈⋃.故π3π[0,][,π)44⋃9．已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为111sin 602⨯⨯⨯︒122sin 602⨯⨯⨯︒=三棱台的体积为1713412⎛⨯⨯= ⎝.故1210．已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.【正确答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(1,1)--，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线()():20l a b x b a y a -+--=化为(21)()0a x y b x y --+-+=，210101x y x x y y --==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩，恒过定点(1,1)--，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(1,1)--=圆心到直线()():20l a b x b a y a -+--=，此时直线弦长为最小值=故答案为.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.【正确答案】8π【分析】由正方体性质确定三棱锥M NPQ -的性质，从而确定其外接球球心O 所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．【详解】如图，取PQ 中点K ，11A D AD H = ，由正方体性质知HK ⊥平面11BCC B ，由已知NPQ △是等腰直角三角形，PQ 是斜边，则三棱锥M NPQ -的外接球球心O 在HK 上，连接,OM OP ，由HK ⊥平面11BCC B 知1,HK KB HK PQ ⊥⊥，同理111A B B K ⊥，1OKB M 是直角梯形，11MB =，1B K =，1KP =，设外接球半径为R ，则1OK =在直角三角形OPK 中，222(11R =+，解得R =．所以球表面积为248S R ππ==．故8π．关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径．12．如图，已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，A 为椭圆的下顶点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 为直径作圆N ，射线ON 与圆N 交于点Q ，则AQ 的取值范围为______.【正确答案】22⎡⎣【分析】由题意求得点Q 轨迹，根据轨迹判断计算AQ 的取值范围.【详解】F '为椭圆右焦点，连接PF '，如图所示：,O N 分别为,FF FP '的中点，12ON PF '=，PF 为直径，12NQ PF =，()1112222OQ ON NQ PF PF PF PF ''=+=+=+=，所以点Q 轨迹是以O 为圆心2为半径的圆，(0,3A -在圆内，所以AQ 的最小值为23，最大值为23，即AQ 的取值范围为23,23⎡⎤+⎣⎦.故23,23⎡⎣二、单选题13．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【正确答案】A【分析】由公理2的推论()()12即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234P P P P 、、、在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上,但1234P P P P 、、、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面;()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;14．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP⋅ 的最小值为A ．22-B ．12C ．22+D ．1【正确答案】B【详解】试题分析：设点，所以，由此可得(,)(1,)OP FP x y x y ⋅=⋅-，[2,2]x ∈，所以OP FP ⋅ 的最小值为12.向量数量积以及二次函数最值．15．已知曲线C ：()3222216x y x y +=，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C 上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A ．p 、q 都是真命题B ．p 是真命题，q 是假命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．p 、q 都是假命题【正确答案】A【分析】结合均值不等式得到当且仅当22x y =时，等号成立，以及224x y +≤，从而可判断命题q 的真假性，检验点()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------是否在曲线上即可判断命题p 的真假性.【详解】因为()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当22x y =时，等号成立，所以224x y +≤，因此曲线C 所围成的区域的在圆224x y +=2£，故曲线C 上的点到原点的最大距离是2，因此命题q 为真命题，圆224x y +=上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------，其中点()0,0显然在曲线C 上，但是()()()()()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------不在曲线上，故曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p 为真命题，故选：A.16．四面体ABCD 的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A ．1,22⎤⎢⎣⎦B ．12⎤⎥⎣⎦C ．142⎤⎥⎣⎦D ．4⎣⎦【正确答案】D【分析】设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，分别讨论11C D 、在11A B 两侧、11C D 、其中一点在11A B 上、11C D 、在11A B 同侧时的投影图形，其中11C D 、在11A B 同侧时，CD α⊥时面积最小、平面ABD α 时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积.【详解】四面体ABCD 的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知AB CD ⊥,正四面体的侧面上的高为2h ¢=，正四面体的高3h ==.∵棱AB 平面α，设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，则111A B AB ==，i.当11C D 、在11A B 两侧时，构成的图形即为四边形1111A C B D ，此时1111A B C D ^，11h C D CD <£，即111C D <£，则所求面积即1111111111,262A B C D S A B C D ç=鬃ç棼；ii.当11C D 、在11A B 同侧或其中一点在11A B 上时，构成的图形即为111A B C △，1D 在111A B C △的高1C E 上（或1C 在111A B D 的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中①当平面ABD α^时，1C E h ==②当平面ABD α 时，1C E h ¢==；③当CD α⊥时，1C E 为CD 到面α的距离，即12C E ==.故122C E＃，则所求面积即11111112A B C S A B C E =鬃臌.综上，四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是,44⎥⎣⎦.故选：D 三、解答题17．已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．【正确答案】（１）22(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或【详解】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为=1x -；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试题解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=，解方程组260{2x y y x-+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径r AC ==C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，所以有=解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=.18．如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.(1)求证：直线//EF 平面ABD ；(2)若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.【正确答案】(1)证明见解析；(2)45【分析】（1）根据//EF BD 即可证明；（2）证明AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，进而结合已知条件证明ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠= ，再根据二面角的概念求解即可.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.所以，在BCD △中，//EF BD ，因为EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以，直线EF P 平面ABD（2）解：因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，AD ⊂平面ACD AD AC ⊥,所以AD ⊥平面ABC ，所以，DCA ∠是直线CD 与平面ABC 所成的角，因为直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，所以，45DCA ∠= ，所以AD AC=因为AD ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，AD AB ⊥，因为AB BC ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，所以，BDC ∠是直线CD 与平面ABD 所成角，因为直线CD 与平面ABD 所成角为30°，所以30BDC ∠=o ，所以1,2BC CD BD ==，不妨设1BC =，则2,1CD BD AD AC AB =====，所以，ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠=因为AD AB ⊥，AD AC ⊥，所以BAC ∠是二面角B AD C --的平面角，所以二面角B AD C --的大小为4519．如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.(1)求码头Q 点的坐标；(2)海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.【正确答案】(1)()42Q ，(2)(1,5)C 【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON 方程，再求解Q 点坐标.（2）由直线AQ 的方程求解B 点坐标，进而求解AB 的直线方程.由（1）知C 为垂足，可联立直线AB 与PC 方程，即可求解C 点坐标.【详解】（1）由已知得，(6,0)A ，直线ON 方程：3y x=-设00(,2)(0)Q x x >5=及图，得04x =，()42Q ∴，.（2）直线AQ 的方程为(6)y x =--即60x y +-=由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得39x y =-⎧⎨=⎩，即(3,9)B -则直线AB 方程60x y +-=，点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C ，因为PQ OM ⊥，且6km PQ =，()42Q ，，(4,8)P ∴，则直线PC 方程为40x y -+=联立6040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标为(1,5).20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.(1)证明：11B C D E ⊥；(2)设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CF CC 的值，若不存在，说明理由；(3)求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.【正确答案】(1)证明详见解析(2)存在，且112CF CC =(3)1arcsin 3⎡⎢⎣⎦【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11B C D E ⊥.（2）根据向量法列方程，从而求得1CF CC .（3）利用向量法求得直线AB 与平面1DEC 所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()1110,0,1,1,2,1,0,2,0,1,0,1D B C B C =-- ，设()1,,0,02E t t ≤≤，则()11,,1D E t =- ，111010D E B C ⋅=-++= ，所以11B C D E ⊥.（2）若E 是AB 的中点，则()1,1,0E ，()10,2,1C ，设平面1DEC 的法向量为()111,,x n y z = ，则11111020n DE x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，故可设()1,1,2n =-- ，设()0,2,,01F λλ≤≤，()()1,2,0,1,0,B BF λ=- ，若//BF 平面1DEC ，BF ⊄平面1DEC ，则1120,2n BF λλ⋅=-== ，所以F 是1CC 的中点，所以112CF CC =.（3）()0,2,0AB = ，设()1,,0,02E t t ≤≤，设平面1DEC 的法向量为()222,,m x y z = ，则22122020m DE x ty m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可设(),1,2m t =-- ，设直线AB 与平面1DEC 所成角为π,02θθ≤≤，则2221sin 255m AB m AB t t θ⋅===⋅⨯++ ，由于22202,04,559,553t t t t ≤≤≤≤≤+≤≤+≤，所以2115sin ,355t θ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，所以15arcsin ,arcsin 35θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.21．已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y (1)若点N 的坐标为()2,0-，求PNQ V 的周长；(2)设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；(3)求直线AB 倾斜角的最小值.【正确答案】(1)8(2)证明见解析(3)直线AB倾斜角的最小值为arctan 2【分析】（1）利用椭圆C 的标准方程和点N 的坐标，结合题中条件可得PNQ V 为焦点三角形，周长为4a ；（2）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，求出直线PM 的斜率，QM 的斜率，推出k k'为定值．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．直线PA 的方程为y kx m =+直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解AB 坐标，然后求解AB 的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线AB 倾斜角的最小值．【详解】（1）椭圆22:142x y C +=，由方程可知，椭圆两焦点坐标为()，若点N的坐标为()，点N 为左焦点，点()0,M m 是线段PN 的中点，故点P的坐标为)m ，PQ 垂直于x 轴，则PQ 与x 轴交点为椭圆右焦点，可得PNQ V 的周长为点P 到两焦点距离之和加上点Q 到两焦点距离之和，,P Q 都在椭圆上，所以PNQ V 的周长为8.（2）证明：设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，所以直线PM 的斜率002m m m k x x -==，QM 的斜率0023m m m k x x '--==-，所以0033mk x m k x -'==-，所以k k'为定值．（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222(21)4240k x mkx m +++-=，根据根与系数可得20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=+，同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++，所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----==++++，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m k m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++，所以221216111644ABy y kk kx x k k-+⎛⎫===+⎪-⎝⎭．由0m>，00x>，可得0k>，所以16kk+≥16kk=，即6k=时，取得等号，=m=所以直线AB斜率的最小值为2AB倾斜角的最小值为arctan2．。
江苏省高二上学期期末数学试卷
江苏省高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二上·嘉定期中) 若直线过点，，则直线的倾斜角取值范围是（）A .B .C .D .【考点】2. （2分） (2015高一上·秦安期末) 两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A . 4B .C .D .【考点】3. （2分） (2020高二下·丽水期末) 已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（）A .B .C .D .【考点】4. （2分）直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（）A . 2,B . -2,-C . -,-3D . ﹣2，﹣3【考点】5. （2分） (2019高二上·襄阳期中) 已知点在椭圆上，点为平面上一点，为坐标原点，则当取最小值时，椭圆的离心率为（）A .B .C .D .【考点】6. （2分） (2017高一下·广东期末) 设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1∥l2 ，则k=（）A . ﹣1B . 1C . ±1D . 0【考点】7. （2分）已知圆C的圆心为y= x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切，则圆C的方程为（）A .B .C . （x﹣1）2+y2=1D . x2+（y﹣1）2=1【考点】8. （2分） (2020高二上·诸暨期末) 正方体中，在内部（不含边界）存在点，满足点到平面的距离等于点到棱的距离.分别记二面角为，为，为，则下列说法正确的是（）A .B .C .D . 以上说法均不正确【考点】9. （2分）设圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（）A . 3<r<5B . 4<r<6C . r>4D . r>5【考点】10. （2分）已知直线l的方程y=k（x﹣1）+1，圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣1=0，则直线l与C的位置关系是（）A . 相切B . 相交C . 相离D . 不能确定【考点】11. （2分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A . 5B . +C . 7+D . 6【考点】12. （2分） (2019高三上·深圳月考) 如图，平面四边形ABCD中，E、F是AD、BD中点，AB＝AD＝CD＝2， BD ＝2 ，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△ ，使平面⊥平面BCD，则四面体中，下列结论不正确是（）A . EF∥平面B . 异面直线CD与所成的角为90°C . 异面直线EF与所成的角为60°D . 直线与平面BCD所成的角为30°【考点】二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知点P1（x1 ， y1）是直线l：f（x，y）=0上的一点，P2（x2 ， y2）是直线l外的一点，则f（x，y）﹣f（x1 ， y1）﹣f（x2 ， y2）=0方程表示的直线l的位置关系是________．【考点】14. （1分） (2016高二上·苏州期中) 设直线l的方程为2x+（k﹣3）y﹣2k+6=0（k≠3），若直线l在x轴、y轴上截距之和为0，则k的值为________．【考点】15. （1分） (2017高一下·邯郸期末) 若圆C：x2+（y﹣2）2=5与恒过点P（0，1）的直线交于A，B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程为________．【考点】16. （1分） (2020高二下·浙江期中) 已知椭圆，为y轴上一动点.若存在以点P 为圆心的圆P与椭圆C有四个不同的公共点，则m的取值范围是________.【考点】三、解答题 (共8题；共90分)17. （15分） (2016高二上·万州期中) 已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x ﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．（1）求AC边所在直线方程；（2）求顶点C的坐标；（3）求直线BC的方程．【考点】18. （15分） (2020高二上·茂名期末) 已知向量，， .（1）求（2）若，求m，n.（3）求【考点】19. （10分） (2016高二上·苏州期中) 如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2 ， l1交y轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．（1）若A（0，1），求点C的坐标；（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．【考点】20. （10分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1 ， BB1 ， A1B1 ，A1D1的中点.求证：（1）直线BC1∥平面EFPQ.（2）直线AC1⊥平面PQMN.【考点】21. （10分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，Q是AA1的中点，点P在线段B1D1上；（1）试在线段B1D1上确定点P的位置，使得异面直线QB与DP所成角为60° ，并请说明你的理由；（2）在满足（1）的条件下，求四棱锥Q﹣DBB1P的体积．【考点】22. （10分） (2019高二上·宜昌月考) 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，．（1）若，求直线的方程；（2）若直线与轴交于点，设，，，，求的值．【考点】23. （10分）(2016·上饶模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD为菱形，A点E 为AD的中点，若BE=PE．（1）求证：PB⊥BC；（2）若∠PEB=120°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】24. （10分）(2013·浙江理) 如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1 ， l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【考点】参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共90分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、考点：解析：。
高二数学苏教版高二数学上学期期末试卷
ABCD第一学期期末考试高二数学试卷(理)（考试时间为120分钟 ：总分为160分） 一、选择题（每题5分 ：共计50分） 1．已知()ln f x x = ：则()f e '的值为A ．1B ．-1C ．eD ．1e2．设(,4,3)a x = ：(3,2,)b z = ：且//a b ：则xz 等于 A ．4-B ．9-C ．9D ．6493．函数()y f x =的图象如图所示 ：则导函数()y f x '=的图象大致是4．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5 ： 0)的距离是15 ： 则点P 到点(－5 ： 0)的距离是A ．7B ．23C ．11或19D ．7或235．已知实数x ：y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥≤0420y x x y y ：则z = x + 3y 的最小值是A ．316 B ．316-C ．12D ．－126．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的 A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同7．“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不允分也不必要条件8．设P 是ABC ∆所在平面外一点 ：若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ：则点P 在这 个平面上的射影是ABC ∆的A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心9．删除正整数数列1 ：2 ：3 ：……中的所有完全平方数 ：得到一个新数列．这个新数列的第2007项是A ．2050B ．2051C ．2052D ．2053 10．已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立 ：则正实数a 的最小值为 A ．8 B ．6 C ．4 D ．2二、填空题（每题5分 ：共计30分）11．双曲线14322=-x y 的渐近线方程是 ▲ ． 12．命题：“若0xy = ：则0x =或0y =”的否命题是 ▲ ．13．等差数列的第2 ：3 ：6项顺次成等比数列 ：该等差数列不是常数列 ：则这个等比数列的公比为 ▲ ．14．设点P 在抛物线212x y =上 ：且点P 到此抛物线的焦点的距离为6 ：则点P 的坐标 为 ▲ ．15．在曲线sin y x =(0)x π<<上取一点M ：使过M 点的切线方程与直线y =23x 平行 ：则M 点的坐标是点 ▲ ．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点 ：k 为正常数 ：||||PA PB k += ：则动点P 的轨迹为椭圆 ：②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点 ： ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 ：④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=． 其中真命题的序号为 ▲ ．三、解答题（共计80分）17．（本题满分14分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点 ：它的准线经过双曲线2C ：22221x y a b-=的一个焦点1F 且垂直于2C 的两个焦点所在的轴 ：若抛物线1C 与双曲线2C 的一个交点是2(3M ． （1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标 ：（2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．18．（本题满分16分）如图 ：已知长方体1111ABCD A BC D -中 ：2AB = ：11AA = ：直 线BD 与平面11AA B B 所成的角为30 ：AE 垂直 BD 于点E ：F 是11A B 的中点．（1）求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值 ： （2）求直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值 ：19．（本小题满分16分）已知数列1230,,,a a a ：其中1210,,,a a a 是首项为1 ：公差为1的等差数列 ：201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列 ：302120,,,a a a 是公差为2d的等差数列（0d ≠）．（Ⅰ）若20a = 30 ：求d ：（Ⅱ）试写出a 30关于d 的关系式 ：并求a 30的取值范围 ： （Ⅲ）续写已知数列 ：可以使得403130,,,a a a 是公差为d3的等差数列 ：请你依次类推 ：把已知数列推广为无穷数列 ：试写出10n a 关于d 的关系式（n ∈N *） ：（Ⅳ）在（Ⅲ）条件下 ：且1d ≠ ：试用d 表示此数列的前100项和10012100...S a a a =+++．20．（本小题满分16分）已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时 ：都取得极值． (1) 求,a b 的值 ：(2)若3(1)2f -= ：求()f x 的单调区间和极值 ： (3)若对[1,2]x ∈-都有3()f x c< 恒成立 ：求c 的取值范围．21．（本小题满分18分）已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点 ：点A 是长轴的一个顶点 ：BC 过椭圆中心O ：如图 ：且0AC BC ⋅= ：||2||BC AC =． （1）求椭圆的方程 ：（2）如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ：则总存在实数λ ：使AB PQ λ= ：请给出证明．D 1C 1B 1A 1EFD CBA班级________________ 姓名________________ 学号_________________ ……………………………………装…………………………………………………………订…………………………线……………………第一学期期末考试高二数学试卷答卷（理）二、填空题（每题5分 ：共计30分）11． 12．13． 14． 15． 16．三、解答题（共计80分）17．（本题满分14分）18．（本题满分16分）D 1C 1B 1A 1EFDCB A19．（本题满分16分）20．（本题满分16分）21．（本题满分18分）…………………………装……………………………………………………订……………………………………………线…………………………………第一学期期末考试高二数学试卷参考答案（理）一、选择题（每题5分 ：共计50分）二、填空题（每题5分 ：共计30分）11．y x = ： 12．若0xy ≠ ：则0x ≠且0y ≠ ： 13．3 14．(6,3)± ： 15．1(,)62π ： 16．②③三、解答题（共计80分）17．（本题满分14分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点 ：它的准线经过双曲线2C ：22221x y a b -=的一个焦点1F 且垂直于2C 的两个焦点所在的轴 ：若抛物线1C 与双曲线2C 的一个交点是2(3M ．（1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标 ： （2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．解：（1）由题意可设抛物线1C 的方程为22y px =． (2分)把2(3M 代入方程为22y px = ：得2p = (4分)因此 ：抛物线1C 的方程为24y x =． (5分) 于是焦点(1,0)F (7分)（2）抛物线1C 的准线方程为1y =- ：所以 ：1(1,0)F - (8分) 而双曲线2C 的另一个焦点为(1,0)F ：于是17522333a MF MF =-=-= 因此 ：13a =(10分) 又因为1c = ：所以22289b c a =-=． 于是 ：双曲线2C 的方程为2211899x y -=． (12分) 因此 ：双曲线2C 的离心率3e =． (14分)18．（本题满分16分）如图 ：已知长方体1111ABCD A BC D -中 ：2AB = ：11AA = ：直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30 ：AE 垂直BD 于点E ：F 是11A B 的中点． （1）求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值 ： （2）求直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值 ：解：在长方体1111ABCD A BC D -中 ：以AB 所在的直线为x 轴 ：以AD 所在的直线为y 轴 ：以1AA 所在的直线为z 轴 ：建立如图 所示空间直角坐标系．由已知2AB = ：11AA = ：可得(0,0,0)A ：(2,0,0)B ：(1,0,1)F ．又AD ⊥平面11AA B B ：从而BD 与平面11AA B B 所成的角为30DBA ∠= ：而2AB = ： AE BD ⊥ ：1AE = ：233AD =：因此易得13(,,0)22E ：23(0,,0)3D ． (4分)（1）因为1(2AE = ：(1,0,1)BF =- ：所以12cos ,42AE BF AE BF AE BF-⋅<>===-⋅．于是 ：异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为4． (10分) （2）易知直线1AA 的一个方向向量为(0,0,1)m =：设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量：(BD =- ：由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩00n BF n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩020x z x y -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x z y =⎧⎪⇒= 取1x = ：得(1,3,1)n = ：所以5cos ,5m n m n m n⋅<>==⋅ ：即直线1AA 与平面BDF (16分)19．（本小题满分16分）已知数列1230,,,a a a ：其中1210,,,a a a 是首项为1 ：公差为1的等差数列 ：201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列 ：302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0d ≠）． （Ⅰ）若20a = 30 ：求d ：（Ⅱ）试写出a 30关于d 的关系式 ：并求a 30的取值范围 ： （Ⅲ）续写已知数列 ：可以使得403130,,,a a a 是公差为d3的等差数列 ：请你依次类推 ：把已知数列推广为无穷数列 ：试写出10n a 关于d 的关系式（n ∈N *） ：（Ⅳ）在（Ⅲ）条件下 ：且1d ≠ ：试用d 表示此数列的前100项和10012100...S a a a =+++． 解：（Ⅰ）1010a =20101030a d =+=于是 ：2d = (4分) （Ⅱ）1010a =201010a d =+22302010101010a a d d d =+=++因此 ：230110()7.57.52a d =++≥ (8分) （Ⅲ）32340301010101010a a d d d d =+=+++ 11010,11010......1010(1),11n n n n d a d d d d d-=⎧⎪=+++=⎨-≠⎪-⎩ (12分) （Ⅳ）10012100......S a a a =+++12101112209192100(......)(......)......(......)a a a a a a a a a =++++++++++++29102090110110110110(10)(1010)(1010)...(1010)2222a d a d a d ++++=⨯++⨯++⨯+++⨯2910209010(......)55(1......)a a a d d d =++++++++29100(9......)1d d d d =-----+101551d d-⋅- 1110255451055955(1)d d d d +-+=- (16分)20．（本小题满分16分）已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时 ：都取得极值． (1) 求,a b 的值 ：(2)若3(1)2f -= ：求()f x 的单调区间和极值 ： (3)若对[1,2]x ∈-都有3()f x c <恒成立 ：求c 的取值范围． 解：（1）f ′(x )＝3x 2＋2a x ＋b ＝0．由题设 ：x ＝1 ：x ＝－错误!为f ′(x )＝0的解．－错误!a ＝1－错误! ：错误!＝1×(－错误!)．∴a ＝－错误! ：b ＝－2． (4分)经检验得：这时1x =与23x =-都是极值点． (5分)（2）f (x )＝x 3－错误!x 2－2 x ＋c ：由f (－1)＝－1－错误!＋2＋c ＝错误! ：c ＝1． ∴f (x )＝x 3－错误!x 2－2 x ＋1．（－错误! ：1）． 当x ＝－错误!时 ：f (x )有极大值 ：f (－错误!)＝错误! ：当x ＝1时 ：f (x )有极小值 ：f (1)＝－错误!．(10分)（3）由（1）得 ：f ′(x )＝(x －1)(3x ＋2) ：f (x )＝x 3－错误!x 2－2 x ＋c ：f (x )在[－1 ：－错误!)及（1 ：2]上递增 ：在（－错误! ：1）递减．而f (－错误!)＝－错误!－错误!＋错误!＋c ＝c ＋错误!．f (2)＝8－2－4＋c ＝c ＋2． ∴ f (x )在[－1 ：2]上的最大值为c ＋2．∴ 32c c+< ∴ 2230c c c+-< ∴ 20230c c c >⎧⎨+-<⎩ 或20230c c c <⎧⎨+->⎩ ∴ 01c <<或3c <-． (16分)21．（本小题满分18分）已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点 ：点A 是长轴的一个顶点 ：BC 过椭圆中心O ：如图 ：且0AC BC ⋅= ：||2||BC AC =．（1）求椭圆的方程 ：（2）如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ：则总存在实数λ ：使AB PQ λ= ：请给出证明．解：（1）2a = ：即2OA = ：02AC BC ACB π⋅=⇒∠=． 12OC OB BC AC === ∴ 2OA OC ==∴ (1,1)C (4分)如图建立直角坐标系 ：设椭圆的方程为22221x y a b+=(0)a b >>． 则由(1,1)C 代入22221x y a b+=得22111a b += ： 把2a =代入22111a b +=得243b =． 所以椭圆的方程为223144x y += (8分) （2）设PCQ ∠的平分线CD 交OA 于点D ：则CD OA ⊥．由PCD QCD ∠=∠可知直线PC 与QC 的倾斜角互补． (10分) 于是直线PC 与QC 的斜率互为相反数 ：因此可设：直线PC 的方程为1(1)y k x -=-和直线QC 的方程为1(1)y k x -=--．由2231441(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩解得2222361321(,)3131k k k k P k k ----+++ ： (14分) 同理由2231441(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=--⎩解得2222361321(,)3131k k k k Q k k +--++++． ∴ 直线PQ 的斜率13PQ k = ：而13AB k =（特例）． (16分)∴ //PQ AB∴ 总存在实数λ ：使AB PQ λ=． (18分)。
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江苏省高二上学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高二上·嘉兴月考) 已知集合，，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2016高三上·平罗期中) 已知向量 =（4，2）， =（x，3）向量，且，则x=（）
A . 1
B . 5
C . 6
D . 9
3. （2分）以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2020高一上·重庆月考) 已知命题，则是（）.
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
5. （2分） (2020高二下·长春期末) 已知，那么下列不等式中成立的是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）
A . p是q的充分必要条件
B . p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C . p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D . p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
7. （2分） (2020高二下·化州月考) 已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a，则等于（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）命题“若a＞2，则a＞1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
10. （2分） (2017高二上·广东月考) 已知双曲线的左焦点为，左、右顶点为、，
为双曲线上任意一点，则分别以线段，为直径的两个圆的位置关系为（）
A . 相交
B . 相切
C . 相离
D . 以上情况都有可能
11. （2分） (2020高一下·大庆期中) 设 .若是与的等比中项，则的最小值（）
A . 2
B .
C . 4
D . 8
12. （2分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE所成的角为（）
A . 0°
B . 30°
C . 45°
D . 90°
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x•4y的最大值为________
14. （1分） (2019高一下·上杭期中) 数列满足， ,则数列的前21项和为________.
15. （1分） (2020高二上·包头期中) 设椭圆的左顶点为上顶点为
且椭圆的离心率为则过椭圆的右焦点且与直线平行的直线的方程为
________.
16. （2分）在△ABC中，AB=2，AC=3，=1，则BC=________
三、解答题 (共6题；共54分)
17. （10分） (2020高一下·宁波期中) 在数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
18. （10分） (2019高二上·衡阳月考) 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的横坐标为，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过焦点且倾斜角为的交抛物线于两点，求线段的长．
19. （2分） (2019高三上·湖南月考) 设的内角，，的对边分别是，，，且三个内角，，依次成等差数列.
（1）若，求角；
（2）若为钝角三角形，且，求的取值范围.
20. （15分）(2017·浦东模拟) 数列{an}的前n项a1 ， a2 ，…，an（n∈N*）组成集合An={a1 ， a2 ，…，an}，从集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{2n﹣1}，当n=1时，A1={1}，T1=1；n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1•3；
（1）若集合An={1，3，5，…，2n﹣1}，求当n=3时，T1 ， T2 ， T3的值；
（2）若集合An={1，3，7，…，2n﹣1}，证明：n=k时集合Ak的Tm与n=k+1时集合Ak+1的Tm（为了以示区别，用Tm′表示）有关系式Tm′=（2k+1﹣1）Tm﹣1+Tm ，其中m，k∈N*，2≤m≤k；
（3）对于（2）中集合An ．定义Sn=T1+T2+…+Tn ，求Sn（用n表示）．
21. （2分）(2017·石景山模拟) 已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y= +m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
22. （15分） (2018高一上·沈阳月考) 己知函数 .
（Ⅰ）当时，解关于x的不等式；
（Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围。
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共54分)答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、
答案：20-3、考点：
解析：
答案：21-1、考点：
解析：
答案：22-1、
考点：解析：。