辽宁省葫芦岛市高中名校2016届高三上学期期中考试数学(文)试题(含答案)

2015-2016学年度上学期期中考试高三数学（文）试题时间：120分钟 满分：150分说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。

第Ⅰ卷为选择题，一律答在答题卡上; 第Ⅱ卷为主观题，按要求答在试卷相应位置上。

第Ⅰ卷（选择题60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知集合{|lg(2)},{|M x y x N y y ==-==，则 （ ）A.M N ⊆B.N M ⊆C.M N =D.N M ∈ 2. 已知,a b R ∈,i 是虚数单位，若2a bi bi +=-，则()2a bi += ( ) A . i 43- B . i 43+ C .i 34- D i 34+. 3. 在△AB C 中，C=90°，且CA=CB=3，点M 满足等于( )A ．]1,21[ B ．2 C ．3 D ．44.如图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是（ ）5. 命题p ：若sin sin x y >，则x y >；命题q ：222x y xy +≥，下列命题为假命题的是( ) A ．qB ．p ⌝C ．p q 或D ．p q 且6关于x 的不等式x 2﹣4ax+3a 2＜0（a ＞0）的解集为（x 1，x 2），则的最小值是( ) A ．B ．C ．D ．7．“1-=k ”是“直线12:-+=k kx y l 在坐标轴上截距相等”的( )条件． A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件8.我们知道，在边长为a，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为ABa CD ．a9．已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6πωω和g(x)=2cos (2x+)+1ϕ的图象的对称轴完全相同，若x [0,]2π∈，则f(x)的取值范围是（ ）A ．3-,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]-3,3C ．33-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．⎡⎢⎣ 10．若c b a ,,均为单位向量，，b y a x c += ),(R y x ∈，则y x +的最大值是（ ） A ．１CD. ２ 11. 数列{}n a 中，112a =，111n n na a a ++=-（其中*n ∈N ），则使得12372n a a a a ++++≥成立的n 的最小值为A ．236 B. 238 C ．240 D. 242 12. 已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，当1x ，2x ∈[0，3], 且1x ≠2x 时，都有2121)]()([x x x f x f -->0，给出下列命题：①0)3(=f ；②直线6-=x 是函数)(x f y =的图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在[-9，-6]上为增函数；④函数)(x f y =在[-9，9]上有四个零点； 其中所有正确的命题的序号为__________A ．②③④ B. ①②③ C ．①②④ D. .①③④第Ⅱ卷 非选择题二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13. 若()αx x f =是幂函数，且满足()()324=f f ，则)21(f ＝14.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--0,00023y x y x y x ，若目标函数的最大值为2，___________.15. 和不等式220ax bx +->有相同的解集，则实数,a b 的值分别为___________.16．设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 。

三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. (本小题满分10分)已知命题P:函数log (21)a y x =+在定义域上单调递增； 命题q:不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立, 若p 且q ⌝为真命题求实数a 的取值范围. 18．（本小题满分12分）已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+, 且b a x f⋅=)(.(1) 求函数()f x 的解析式;并求其最小正周期和对称中心。

(2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.19. （本小题满分12分）已知1x =是 （1）求函数()f x 的单调减区间； （2，若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求a 的取值范围20．（本小题满分12分）在三角形ABC ∆中，2sin 2cos sin 3A A A A -+= （1）求角A 的大小（2）已知,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若1a =且()sin sin 2sin 2A B C C +-=，求三角形ABC ∆的面积。

21.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 是递增数列，,3252=a a 1243=+a a ，又数列{}n b 满足12log 2+=n n a b ，n S 是数列{}n b 的前n 项和 （1） 求n S ；（2） 若对任意+∈N n ，都有kkn n a S a S ≤成立，求正整数k 的值22.（本小题满分12分）已知函数()()ln x f x e a =+（a 为常数，e 为自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数．(1)求实数a 的值；(2)若()21g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围； (3)讨论关于x 的方程()2ln 2xx ex m f x =-+的根的个数．2015-2016学年度上学期期中考试高三文数答案一、选择题：1-5 BACBD 6-10 CBAAD 11-12 BC二、填空： 13、1314、sin 2y x = 15、-4、-9 16、[﹣1，2] 三、解答题： 17.∵命题P 函数log (21)a y x =+在定义域上单调递增；∴a>1……………………………………………2分 又∵命题Q 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立； ∴2=a ………………………………………4分或⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)2(16)2(4022a a a ，22<<-∴a …………6分 综上所述：22≤<-a ……………………………………………8分∵p 且q ⌝为真命题 ∴p 真 q 假　或　⎩⎨⎧>-≤>∴221a a a ()+∞∈∴,2a …………………………………10分18．解: (1) =⋅=+⋅-+()(sin ,cos )(cos ,cos )f x a b x m x x m x 3即22()cos cos f x x x x m =+-21sin(2)62x m π=++-…………………3分 最小正周期为π 对称中心为()Z k m k ∈⎪⎭⎫⎝⎛--221,122ππ…………………6分(2) 21cos 2()2xf x m +=-21sin(2)62x m π=++-由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 52,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦, 1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,211422m ∴-+-=-, 2m ∴=±…………………10分 max 15()1422f x ∴=+-=-, 此时262x ππ+=, 6x π=.…………………12分以3b = ----------------------------------------------------2分所以函数的单调递减区间为(0,1] -------------------------------------6分（2所以()22max2,2a x x a x x ≥--≥--即--------10分而在[]1,2上()2max2=-3x x --所以3a ≥-- -------12分20．解：（1）2sin 2cos sin3A A A A -=()2sin 2cos sin 2A A A A A -++sin 2cos cos2sin sin A A A A A A A -=2sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin sin 33A A ππ⎛⎫⎛⎫∴+=∴+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭------------------------3分 ()420,,,,,333333A A A A πππππππ⎛⎫∈∴+∈∴+=∴= ⎪⎝⎭;------------6分 (2)()()()sin sin 2sin 2,sin sin 4sin cos A B C C B C B C C C +-=∴++-=2sin cos 4sin cos ,cos 0sin 2sin B C C C C B C ∴=∴==或,①cos 0=tan 26C C B b a B ππ=∴=∴=当时，，，=,11122ABC S ab ∆∴==⨯=分sin 2sin B C =当时，,由正弦定理可得2b c =又由余弦定理2222cos ,a b c bc A =+-可得222211144,23c c c c =+-⨯∴=- 11sin 23ABC S bc A ∆∴===综上，6ABC S ∆∴=-----------------------12分 21.解：（Ⅰ）因为324352==a a a a ，1243=+a a ，且{}n a 是递增数列，所以8,443==a a ，所以1,21==a q ，所以12-=n n a …………2分 所以n a b n n n 22log 2log 212===+. ………… 4 分 所以 2(22)24+22n n n S n n n +=++==+. ………… 6分 （2）令122-+==n n n n nn a S C 则.()()()()()n n n n n n n n n n n n n n n a S a S C C 221212211111-+=+-++=-=--+++. ………9分 所以 当1n =时，12c c <； 当2n =时，32c c =；当3n ≥时，10n n c c +-<，即345c c c >>>.所以 数列{}n c 中最大项为2c 和3c .所以 存在2k =或3，使得对任意的正整数n ，都有k nk nS S a a ≥. ……… …12分 22．解：(1)()ln()x f x e a =+是奇函数，()()f x f x -=-，即ln()ln()x x e a e a -+=-+恒成立，2()()1,11x x x x e a e a ae ae a --∴++=∴+++=．即()0x x a e e a -++=恒成立， 故0a = ……… …3分(2)由(l)知()()sin g x f x x λ=+，[]'()cos ,1,1g x x x λ∴=+∈-∴要使()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，则有'()0g x ≤恒成立，1λ∴≤-．又max ()(1)sin1,g x g λ=-=--∴要使2()1g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立，只需2sin11t t λλ--≤++在1λ≤-时恒成立即可．2(1)sin110t t λ∴++++≥(其中1λ≤-)恒成立即可．令2()(1)sin110(1)h t t λλλ=++++≥≤-，则10,(1)0,t h +≤⎧⎨-≥⎩即210,sin10,t t t +≤⎧⎨-+≥⎩而2sin10t t -+≥恒成立，1t ∴≤- ……… …7分(3)由(1)知方程2ln 2()x x ex m f x =-+，即2ln 2xx ex m x =-+，令212ln (),()2xf x f x x ex m x==-+ 121ln '()xf x x -=当(]0,x e ∈时，11'()0,()f x f x ≥∴在(]0,e 上为增函数；当[,)x e ∈+∞时，11'()0,()f x f x ≤∴在[,)e +∞上为减函数；当x e =时，1max 1()f x e=． 而2222()2()f x x ex m x e m e =-+=-+-当(]0,x e ∈时2()f x 是减函数，当[,)x e ∈+∞时，2()f x 是增函数，∴当x e =时，22min ()f x m e =-．故当21m e e ->，即21m e e >+时，方程无实根；当21m e e -=，即21m e e =+时，方程有一个根；当21m e e -<，即21m e e<+时，方程有两个根．……… …12分。